Aula04-IntroducaoTranslacaoEscalaRotação2D

(1)

Transformações em

Pontos e Objetos

A habilidade de representar um objeto em

várias posições no espaço é fundamental

para a compreensão da sua forma.

A possibilidade de submeter o objeto a

diversas transformações é importante em

(2)

Transformações em

Pontos e Objetos

Transformações ou operações de corpos

físicos a serem estudadas:

Translação

Rotação

Escala

(3)

Princípios das

transformações 2D

Dois aspectos importantes:

1. Uma transformação é uma Entidade Matemática

Única e portanto pode ser Denotada, ou

identificada, por um nome, ou símbolo, também

único.

2. Duas transformações podem ser Combinadas, ou

Concatenadas,

produzindo

uma

única

(4)

Conceitos Básicos de Matrizes

As imagens na Computação Gráfica são

geradas a partir de uma série de Segmentos de

Linha que, por sua vez, são representados

pelas Coordenadas de seus Pontos extremos.

(5)

Conceitos Básicos de Matrizes

Envolve produtos simples e a soma de

elementos das matrizes.

A

(1,3)

. B

(3,2)

= C

(1,2)



5

29 

6

3

5

4

7

1 )

5

3

2 (



















(6)

Conceitos Básicos de Matrizes

Diferentemente da Multiplicação de Números

a Multiplicação de Matrizes não é Comutativa

A (1,3) . B (3,2) # B (3,2) . A (1,3)

A Multiplicação de Matrizes é Associativa.

(7)

Conceitos Básicos de Matrizes

Existe um grupo de Matrizes que quando

Multiplicada por outra Matriz tem a

Propriedade de Reproduzir essa mesma

Matriz. Este tipo de Matriz recebe o nome de

Identidade.

(8)

Transformação de Translação

Significa movimentar o objeto de lugar

Aplicada sobre cada vértice

Altera o objeto como um todo

A topologia não é modificada

Translação desloca cada ponto para a nova

posição usando a Adição de Valores.

(9)

Transformação de Translação

Ou seja:

Dx unidades, deslocadas paralelamente ao Eixo X

Dy unidades, deslocadas paralelamente ao Eixo Y

Podendo ser descrito como (2D):

xp’= xp + dx

yp’= yp + dy

(10)

Transformação de Translação

(11)

Transformação de Translação

(12)

Transformação de Escala

Significa mudar as dimensões de escala

Aplicada sobre cada vértice

Altera o objeto como um todo

A topologia não é modificada

Para fazer com que uma imagem mude de

tamanho teremos que multiplicar os valores de

(13)

Transformação de Escala

Ou seja:

S representa o fator de escala no eixo X

Sy representa o fator de escala no eixo Y

Podendo ser descrito como:

**xp’= xp * sx**

**yp’= yp * sy**

(14)

Transformação de Escala

(15)

Transformação de Escala

(16)

Transformação de Rotação

Significa girar o objeto

Aplicada sobre cada vértice

Altera o objeto como um todo

A topologia não é modificada

Como obter as

coordenadas (xp’, yp’)

em função das

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Transformação de Rotação

A Matriz de Transformação para uma Rotação Anti-Horária de

φ graus em torno da origem é

(18)

Coordenadas Homogêneas e a

Representação Matricial

A representação Matricial para Translação, Escala e

Rotação é, respectivamente,

P’ = P + T

P’ = P . S

P’ = P . R

Infelizmente, segundo essas equações, a Translação

é tratada diferentemente (como uma Adição) em

comparação

com

a

Escala

e

a

Rotação

(Multiplicações). Seria importante podermos tratar

todas as três Transformações de forma Uniforme ou

(19)

Coordenadas Homogêneas e a

Representação Matricial

No Espaço 2 e 3 D, (w) será adotado como igual a 1 e

portanto não executaremos as divisões.

(20)

Coordenadas Homogêneas e a

Representação Matricial

(21)

Coordenadas Homogêneas e a

Representação Matricial

(22)

Transformações 2D

Passos Básicos:

Transladar P1 até a Origem;

Rotar/Escalar e