GA aula4

Geometria Analítica

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2019.1

Já sabemos

o que é um vetor

somar dois ou mais vetores

multiplicar um vetor por um número real o que são sequências LI e LD

o que é uma base

como somar vetores e multiplicar vetor por escalar tendo suas coordenadas em alguma base como vericar se uma sequência de vetores é LI ou LD com as coordenadas desses vetores em alguma base

Já sabemos

o que é um vetor

somar dois ou mais vetores

multiplicar um vetor por um número real o que são sequências LI e LD

o que é uma base

como somar vetores e multiplicar vetor por escalar tendo suas coordenadas em alguma base como vericar se uma sequência de vetores é LI ou LD com as coordenadas desses vetores em alguma base

Já sabemos

o que é um vetor

somar dois ou mais vetores

multiplicar um vetor por um número real o que são sequências LI e LD

o que é uma base

como somar vetores e multiplicar vetor por escalar tendo suas coordenadas em alguma base como vericar se uma sequência de vetores é LI ou LD com as coordenadas desses vetores em alguma base

Já sabemos

o que é um vetor

somar dois ou mais vetores

multiplicar um vetor por um número real

o que são sequências LI e LD o que é uma base

como somar vetores e multiplicar vetor por escalar tendo suas coordenadas em alguma base como vericar se uma sequência de vetores é LI ou LD com as coordenadas desses vetores em alguma base

Já sabemos

o que é um vetor

somar dois ou mais vetores

multiplicar um vetor por um número real o que são sequências LI e LD

o que é uma base

como somar vetores e multiplicar vetor por escalar tendo suas coordenadas em alguma base como vericar se uma sequência de vetores é LI ou LD com as coordenadas desses vetores em alguma base

Já sabemos

o que é um vetor

somar dois ou mais vetores

multiplicar um vetor por um número real o que são sequências LI e LD

o que é uma base

como somar vetores e multiplicar vetor por escalar tendo suas coordenadas em alguma base como vericar se uma sequência de vetores é LI ou LD com as coordenadas desses vetores em alguma base

Já sabemos

o que é um vetor

somar dois ou mais vetores

multiplicar um vetor por um número real o que são sequências LI e LD

o que é uma base

como somar vetores e multiplicar vetor por escalar tendo suas coordenadas em alguma base

como vericar se uma sequência de vetores é LI ou LD com as coordenadas desses vetores em alguma base

Já sabemos

o que é um vetor

somar dois ou mais vetores

multiplicar um vetor por um número real o que são sequências LI e LD

o que é uma base

como somar vetores e multiplicar vetor por escalar tendo suas coordenadas em alguma base como vericar se uma sequência de vetores é LI ou LD com as coordenadas desses vetores em alguma base

Objetivos

Apresentar um tipo especial de base: bases ortonormais

Denir uma das operações de produto entre vetores: o produto interno Entender a interpretação geométrica do produto interno

Estudar projeção ortogonal de um vetor sobre outro

Base Ortonormal

Denição

A base B = (u→1,u→2,u→3) é ortonormal se os vetoresu→1,u→2 e u→3 são unitários e dois a dois

Base Ortonormal

Denição

A base B = (u→1,u→2,u→3) é ortonormal se os vetoresu→1,u→2 e u→3 são unitários e dois a dois

ortogonais.

A conguração de uma base ortonormal é como na gura

Calculando comprimento com coordenadas

Seja E = (e→1,e→2,e→3) uma base ortonormal

Se →v = (a, b, c)_E então →v é diagonal de um paralelepípedo que tem lados paralelos a e→1,e→2 e →

Calculando comprimento com coordenadas

Seja E = (e→1,e→2,e→3) uma base ortonormal

Se →v = (a, b, c)E então →v é diagonal de um paralelepípedo que tem lados paralelos a e→1,e→2 e →

e3.

→

v = ae→1 +be→2 +ce→3

Calculando comprimento com coordenadas

Seja E = (e→1,e→2,e→3) uma base ortonormal

Se →v = (a, b, c)_E então →v é diagonal de um paralelepípedo que tem lados paralelos a e→1,e→2 e →

e3.

→

v = (ae→1 +be→2) + ce→3

O vetor ae→1 +be→2 é diagonal de um retângulo, portanto seu comprimento é dado pelo teorema

de Pitágoras

O vetor →v = (ae→1 +be→2) + ce→3 também é diagonal de um retângulo, portanto seu

comprimento também é dado pelo teorema de Pitágoras

k→v_k2=k ae→1 +be→2k2 +k ce→3k2= a2+ b2+k ce→3k2= a2+ b2+ c2

Resumindo:

Se E = (e→1,e→2,e→3) é uma base ortonormal e→v = (a, b, c)E então

k→v_k=pa2_{+ b}2_{+ c}2

Se a base tem outra conguração qualquer e não é ortonormal então essa expressão não serve para calcular comprimento de um vetor por suas coordenadas na referida base.

Produto Interno

Vamos denir o Produto Interno ou Produto Escalar entre dois vetores →u e →v. A notação é

→

u .→v e o resultado é um número real. Há duas situações:

Um dos vetores é nulo.

Se nenhum dos dois é o vetor nulo então existem representantes desses vetores que formam um ângulo θ.

Produto Interno

Vamos denir o Produto Interno ou Produto Escalar entre dois vetores →u e →v. A notação é

→

u .→v e o resultado é um número real. Há duas situações:

Um dos vetores é nulo.

Se nenhum dos dois é o vetor nulo então existem representantes desses vetores que formam um ângulo θ.

Produto Interno

Vamos denir o Produto Interno ou Produto Escalar entre dois vetores →u e →v. A notação é

→

u .→v e o resultado é um número real. Há duas situações:

Um dos vetores é nulo. Nesse caso,→u .→v = 0

Se nenhum dos dois é o vetor nulo então existem representantes desses vetores que formam um ângulo θ.

Produto Interno

Vamos denir o Produto Interno ou Produto Escalar entre dois vetores →u e →v. A notação é

→

u .→v e o resultado é um número real. Há duas situações:

Um dos vetores é nulo. Nesse caso,→u .→v = 0

Se nenhum dos dois é o vetor nulo então existem representantes desses vetores que formam um ângulo θ.

Produto Interno

Vamos denir o Produto Interno ou Produto Escalar entre dois vetores →u e →v. A notação é

→

u .→v e o resultado é um número real. Há duas situações:

Um dos vetores é nulo. Nesse caso,→u .→v = 0

Se nenhum dos dois é o vetor nulo então existem representantes desses vetores que formam um ângulo θ. Dizemos que Ang(→u ,→v ) = θ.

Produto Interno

Vamos denir o Produto Interno ou Produto Escalar entre dois vetores →u e →v. A notação é

→

u .→v e o resultado é um número real. Há duas situações:

Um dos vetores é nulo. Nesse caso,→u .→v = 0

Se nenhum dos dois é o vetor nulo então existem representantes desses vetores que formam um ângulo θ. Dizemos que Ang(→u ,→v ) = θ.

Nesse caso

→

Propriedades do Produto Interno

→

u .→v =_k→u_{k . k}→v_{k . cos θ} Algumas propriedades do produto interno são bem óbvias:

1. →u .→v =→v .→u 2. →v .→v =_k→v_k2

Outras nem tanto

3. (λ→u ).→v =→u .(λ→v ) = λ(→u .→v ) 4. (→u +→v ).→w=→u .→w +→v .→w

Propriedades do Produto Interno

→

u .→v =_k→u_{k . k}→v_{k . cos θ} Algumas propriedades do produto interno são bem óbvias:

1. →u .→v =→v .→u

2. →v .→v =_k→v_k2

Outras nem tanto

3. (λ→u ).→v =→u .(λ→v ) = λ(→u .→v ) 4. (→u +→v ).→w=→u .→w +→v .→w

Propriedades do Produto Interno

→

u .→v =_k→u_{k . k}→v_{k . cos θ} Algumas propriedades do produto interno são bem óbvias:

1. →u .→v =→v .→u 2. →v .→v =_k→v_k2

Outras nem tanto

3. (λ→u ).→v =→u .(λ→v ) = λ(→u .→v ) 4. (→u +→v ).→w=→u .→w +→v .→w

Propriedades do Produto Interno

→

u .→v =_k→u_{k . k}→v_{k . cos θ} Algumas propriedades do produto interno são bem óbvias:

1. →u .→v =→v .→u 2. →v .→v =_k→v_k2

Outras nem tanto

3. (λ→u ).→v =→u .(λ→v ) = λ(→u .→v )

Propriedades do Produto Interno

→

u .→v =_k→u_{k . k}→v_{k . cos θ} Algumas propriedades do produto interno são bem óbvias:

1. →u .→v =→v .→u 2. →v .→v =_k→v_k2

Outras nem tanto

3. (λ→u ).→v =→u .(λ→v ) = λ(→u .→v ) 4. (→u +→v ).→w=→u .→w +→v .→w

Usando as propriedades do produto interno podemos deduzir algumas identidades interessantes

(→u +→v ).(→u +→v ) =_k→u_k2₊₂→_{u .}→_{v +k}→_vk2

Usando as propriedades do produto interno podemos deduzir algumas identidades interessantes (→u +→v ).(→u +→v ) =_k→u_k2₊₂→_{u .}→_{v +k}→_vk2

(→u ₋→v ).(→u ₋→v ) =_k→u_k2₋₂→_{u .}→_{v +k}→_vk2

Usando as propriedades do produto interno podemos deduzir algumas identidades interessantes (→u +→v ).(→u +→v ) =_k→u_k2₊₂→_{u .}→_{v +k}→_vk2 _ou

k→u +→v_k2=k→u_k2+2→u .→v +_k→v_k2

Usando as propriedades do produto interno podemos deduzir algumas identidades interessantes (→u +→v ).(→u +→v ) =_k→u_k2₊₂→_{u .}→_{v +k}→_vk2 _ou

k→u +→v_k2=k→u_k2+2→u .→v +_k→v_k2 (→u ₋→v ).(→u ₋→v ) =_k→u_k2₋₂→_{u .}→_{v +k}→_vk2

Usando as propriedades do produto interno podemos deduzir algumas identidades interessantes (→u +→v ).(→u +→v ) =_k→u_k2₊₂→_{u .}→_{v +k}→_vk2 _ou

k→u +→v_k2=_k→u_k2+2→u .→v +_k→v_k2 (→u ₋→v ).(→u ₋→v ) =_k→u_k2₋₂→_{u .}→_{v +k}→_vk2 _ou

O produto interno em coordenadas

O cálculo do produto interno em coordenadas depende do cálculo de comprimento e, portanto é dependente da conguração da base.

Se as coordenadas de →u e →v em uma base ortonormal são

→

u = (a, b, c) e →v = (x, y, z) então

O produto interno em coordenadas

O cálculo do produto interno em coordenadas depende do cálculo de comprimento e, portanto é dependente da conguração da base.

Se as coordenadas de →u e →v em uma base ortonormal são

→

u = (a, b, c) e →v = (x, y, z) então

O produto interno em coordenadas

O cálculo do produto interno em coordenadas depende do cálculo de comprimento e, portanto é dependente da conguração da base.

Se as coordenadas de →u e →v em uma base ortonormal são

→ u = (a, b, c) e →v = (x, y, z) então k→u_k2= a2+ b2+ c2 e _k→v_k2= x2+ y2+ z2 → u ₋→v = (a_{− x, b − y, c − z)} k→u ₋→v_k2= (a− x)2_{+ (b− y)}2_{+ (c− z)}2

Para calcular →u .→v em função das coordenadas desses vetores em uma base ortonormal, usaremos a identidade

Para calcular →u .→v em função das coordenadas desses vetores em uma base ortonormal, usaremos a identidade

k→u ₋→v_k2=_k→u_k2 ₋₂→u .→v +_k→v_k2 Portanto, basta calcular

→

u .→v = 1 2(k

→

u_k2 +_k→v_k2 _{− k}→u ₋→v_k2)

Mãos à obra

→ u .→v = 1 2(k → u_k2 +_k→v_k2 _{− k}→u ₋→v_k2) → u .→v = 1 2(a 2_{+ b}2_{+ c}2_{+ x}2_{+ y}2_{+ z}2_{− ((a − x)}2_{+ (b− y)}2_{+ (c− z)}2₎ = 1 2(a 2_{+ b}2_{+ c}2_{+ x}2_{+ y}2_{+ z}2 −

−(a2− 2ax + x2+ b2_{− 2by + y}2+ c2_{− 2cz + z}2))

→

Aplicações do produto escalar

Exemplo

Se, em alguma base ortonormal, são dados

→

v1= (2,−3, 6) e v→2= (−1, 3, −1)

Determine o ângulo θ entrev→1 ev→2

Aplicações do produto escalar

Exemplo

Se, em alguma base ortonormal, são dados

→

v1= (2,−3, 6) e v→2= (−1, 3, −1)

Determine o ângulo θ entrev→1 ev→2

Pela denição do produto interno sabemos que cos θ =

→

v1.v→2

Ângulo entre

v

→1

= (2,

−3, 6) e

v

→2

= (

−1, 3, −1) ( referentes a uma base

ortonormal)

Fazendo os cálculos → v1 .v→2= (2,−3, 6).(−1, 3, −1) = −2 − 9 − 6 = −17 kv→1k= √ 4 + 9 + 36 =√49 = 7 kv→2k= √ 1 + 9 + 1 =√11 Portanto, cos θ = −17 7√11 ⇒ θ = arccos −17√11 77

Projeção Ortogonal

Dados os vetores→u e →v com →v₆₌O.→

Vamos denir a projeção ortogonal de→u sobre →v. Proj→u → v Denição O vetor Proj→u → v é um vetor paralelo a → v e tal que → u _−Proj→u _⊥→v

Visualizando

Ang(→u ,→v )agudo b →_u → v → u −Proj→u → v Proj→→u v Ang(→u ,→v ) obtuso b → u → v → u −Proj→u → v Proj→→u v

Determinando o vetor Proj

→u

→

v

Em qualquer caso o vetor Proj→u

→_v = λ→v é um cateto de um triângulo retângulo.

Se θ = Ang(→u ,→v )é agudo então λ > 0 e cos θ = k Proj → u →_v k k→u_k ⇒k Proj → u → v k=k → u_{k . cos θ} λ_k→v_k=k→u_{k .} → u .→v k→u_{k . k}→v_k ⇒ λ = → u .→v k→v_k2

Determinando o vetor Proj

→u

→

v

Se θ = Ang(→u ,→v )é obtuso então λ < 0 e cos(180_{− θ) =} k Proj → u → v k k→u_k ⇒k Proj →_u → v k=k → u_{k . cos(180 − θ) =k}→u_{k .(− cos θ)} |λ| k→v_k=k→u_{k .} −( → u .→v ) k→u_{k . k}→v_k ⇒ −λ = −(→u .→v ) k→v_k2 ⇒ λ = → u .→v k→v_k2

Determinando o vetor Proj

→u → v Em qualquer caso, λ = → u .→v k→v_k2 = → u .→v → v .→v Portanto Proj→u →_v = λ→v = → u .→v → v .→v. → v e k Proj→→u v k= |→u .→v _| k→v_k

Exemplo

Usando os dados do exemplo anterior. Se, em alguma base ortonormal são dados

→

u = (2,_{−3, 6)} e →v = (_{−1, 3, −1)} Vamos calcular a projeção de→u sobre→v e a projeção de →v sobre→u.

Exemplo

Usando os dados do exemplo anterior. Se, em alguma base ortonormal são dados

→

u = (2,_{−3, 6)} e →v = (_{−1, 3, −1)} Vamos calcular a projeção de→u sobre→v e a projeção de →v sobre→u.

Proj→u → v = → u .→v → v .→v. → v Proj→u →_v = −2 − 9 − 6 1 + 9 + 1 (−1, 3, −1) = − 17 11(−1, 3, −1) =  17 11,− 51 11, 17 11 

Exemplo

Usando os dados do exemplo anterior. Se, em alguma base ortonormal são dados

→

u = (2,_{−3, 6)} e →v = (_{−1, 3, −1)} Vamos calcular a projeção de→u sobre→v e a projeção de →v sobre→u.

Proj→v → u = → v .→u → u .→u. → u Proj→v →_u = −2 − 9 − 6 4 + 9 + 36(2,−3, 6) = − 17 49(2,−3, 6) =  −34 49, 51 49,− 102 49 

Exercícios

1 Sendo ABCD um tetraedro regular de aresta unitária, calcule_{AB .}→ _DA→ 2 Sabendo que E e F são bases ortonormais e que →u = (1, 1, 2)E = (b, a, 1)F e

→

v = (1, 2, 3)_E = (3, 1, 2)F, determine a e b.

3 Em alguma base ortonormal, sabe-se que→_{u = (x, 0, 3)} e→_{v = (1, x, 3)}. Determine x de