CAPITULO II
2. COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES
Acreditamos que os conceitos de Combinação Linear (CL) e de Dependência Linear serão melhor entendidos se forem apresentados a partir de dois vetores e, depois, generalizados para uma quantidade finita qualquer.
2.1. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
Sejam u e v dois vetores não nulos e não paralelos de V. Considerando dois números reais 1 e 2 quaisquer, teremos os vetores 1u e 2v, respectivamente, paralelos a u e v.
O vetor w1u2v representa todas as somas obtidas com os vetores u e v. Chamamos a cada vetor w de Combinação Linear (CL) dos vetores u e v.
Exemplificando:
u
w ½ u
w = ½ u+ 1.v v w
v w1.u1.v
u w
1. u v u
w v
w = 1. u + 1. v w = 2. u + 0 . v Fig 2.1
Portanto, a cada par de números reais 1 e 2 estará associado um vetor w. Nestas condições, imagina-se uma infinidade de vetores w que são gerados por u e v.
Definição 2.1. Generalizando:
Sejam v1,v2, ,v3 v4, ... ,vn
, (n1), vetores distintos de V e escalares (números reais) 1, 2, 3, 4, ... ,n, (n1). O vetor w tal que
w1.v12.v23.v34.v4 ... n.vn
chama-se Combinação Linear dos vetores v1,v2, ,v3 v4, ... ,vn
, com coeficientes 1, 2, 3, 4, ... , n
.
2.2. DEPENDÊNCIA LINEAR
Queremos discutir w 0 como combinação linear de um conjunto finito com n vetores de V, isto é,
01.v12.v23.v34.v4 ... n.vn
.
A pergunta que se faz é : A única maneira de se obter o vetor 0 é tornando todos os coeficientes dos vetores iguais a zero ?.
Exemplificaremos, utilizando dois vetores, que existe a possibilidade de obtermos 0 sem que todos os coeficientes destes vetores sejam zeros.
a) Seja o conjunto {u, v}, com u e v não nulos e paralelos.
Se u é paralelo a v, então existe um número real (escalar) k0 tal que v = k .u. Assim, 0 = 1. v + k . u. Note que os coeficientes de u e v não são zeros.
A outra possibilidade de se escrever o vetor nulo é: 0 = 0.v + 0.u. b) Seja o conjunto {u, v}, com u e v não nulos e não paralelos.
Neste caso, a única maneira de se escrever o vetor nulo é 0= 0.v + 0.u. Vejamos: imaginemos a possibilidade de se obter 0= r. u + s.v sem que os coeficientes r e s sejam zeros, então, teríamos s.v = r. u e, daí, v ( r s u/ )., evidenciando que u e v são paralelos, mas isto é uma contradição, pois u não é paralelo a v. O tal fato ocorreu porque admitimos que r e s eram diferentes de zero. Logo, r e s são ambos iguais a zeros.
2.2.1. CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE DEPENDENTE (LD).
O exemplo (a) acima mostra que certos conjuntos de vetores possuem dois modos de se escrever o vetor 0: com algum coeficiente não zero e, o caso óbvio, com todos os coeficientes zeros. Nestas condições o conjunto de vetores é chamado de Linearmente Dependente (LD).
Definição 2.2:
Dado um conjunto com n , n1, vetores { ,v1 v2,v3,v4, ... , }vn
e escalares 1, 2
, 3, 4, ... , n. Diz-se que o conjunto de vetores é Linearmente Dependente (LD)
se existirem escalares não todos iguais a zeros tal que
01.v12.v23.v34.v4 ... n.vn
2.2.2. CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTE (LI).
O exemplo (b) acima mostrou que certos conjuntos de vetores possuem uma só maneira de se escrever o vetor 0: com todos os coeficientes iguais a zero. Neste caso o conjunto de vetores é chamado de Linearmente independente (LI).
Definição 2.3:
Dado um conjunto com n , n1, vetores { ,v1 v2,v3,v4, ... , }vn
e escalares 1, 2
, 3, 4, ... , n. Diz-se que o conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI)
se
01.v12.v23.v34.v4 ... n.vn
sómente quando os coeficientes forem todos iguais a zeros.
Nota: Segue das definições 2.2 e 2.3 que “Se um conjunto de vetores não é LD, então é LI”. É usual dizer que os vetores v1,v2,v3,v4, ... ,vn
são LI ou LD se o conjunto destes vetores for LI ou LD, respectivamente. (ver HOFMANN / KUNGE, página 43 – Álgebra Linear).
--- EXEMPLO 2.1
1) Apresente, geometricamente, situações que permitam entender a proposição: “Um conjunto de três vetores {u, v, w}, sendo u, v e w não nulos e coplanares, é LD”. Solução:
a) Os três vetores coplanares possuem direções distintas
Podemos imaginar representantes 1u e 2v de cada um dos vetores u e v num mesmo plano, de modo que se obtenha o vetor w, isto é, w1u2v para algum par de reais 1 e 2
v w u
Sendo w1u2v, teremos 1.w1u2v 0, onde se vê que um dos
coeficientes da combinação linear dos vetores é diferente de zero. Então, {u, v, w} é LD.
b) Apenas dois dos três vetores coplanares têm mesma direção 1u
u w1u2v
v
1º. Caso : //u w
Temos que u 1 w0. Fazendo u0v1w 0 vê-se que ao menos um dos coeficientes da combinação linear não é zero, evidenciando que {u, v, w} é LD. Nesta situação, w = u + 0 v é escrito como combinação linear de ue v. Mas
v
não pode ser escrito como combinação linear de u e w. Verifique!. 2º. Caso : //u v
Temos que u 1 v0. Fazendo u1v0w 0 vê-se que ao menos um dos coeficientes da combinação linear não é zero, evidenciando que {u, v, w} é LD. Nesta situação, w não pode ser escrito como combinação linear de ue v. Contudo, tem-se que v = u + 0 w ou u = (1/ ) v + 0 w.
c) Os três vetores possuem mesma direção ( // //u v w)
Assim, w+ v = 0 e 2 u+ v = 0. Adicionando as igualdades, Temos a combinação linear 1w2u2v 0, onde nem todos os coeficientes são zeros.
Neste caso, muitas são as maneiras de se escrever w como combinação linear de ue v. Por exemplo, w = v 4 u, w = 2v 6 u, w= v + 0 u, etc.
u w v
w Supor w = u,* u
v Fig 2.3
u v w Supor w= v e v = 2 u
Fig 2.4 u v w
v Supor v = u,* u
Nota: Todas as situações apresentadas mostram o vetor 0 escrito como combinação linear
de u, v e w sem que todos os coeficientes sejam zeros, mostrando que {u, v, w} é LD.
É importante ressaltar que {u, v, w} é LD se um dos vetores for nulo.
Se, por exemplo, v 0, então podemos escrever 0w0u v 0, *, evidenciando que nem todos os coeficientes da combinação linear de u, v e w seja zero. Podemos afirmar que “todo conjunto de vetores que possuir o vetor nulo é LD”, visto que 0 pode ser obtido pela combinação linear, onde se associa o coeficiente diferente de zero ao vetor nulo e coeficientes iguais a zero a cada um dos demais vetores do
conjunto.
2) Justifique a proposição: “Um conjunto de três vetores {u, v, w}, sendo u, v e w não nulos e não coplanares, é LI”.
Solução:
Suponhamos, por absurdo, que os vetores u, v e w não nulos e não coplanares formam um conjunto LD. Sendo assim, existem escalares 1, 2 e3 não todos iguais a zeros tais que
1.w2.u3.v 0.
Caso 1 seja um dos coeficientes diferente de zero, então, 2 3
1 1
( ) ( )
w u v
. u w Supor v 0
Fig 2.5
w
v
A relação acima diz que w é combinação linear dos vetores u e v, portanto, os três vetores são coplanares, contradizendo a hipótese de que não eram coplanares. Tal
contradição ocorreu pelo fato de termos admitido {u, v, w} LD. Então, {u, v, w} é LI.
3) Quatro vetores do espaço V3 forma um conjunto LD (quaisquer que sejam os vetores)
Solução:
O fato de três vetores num plano (dimensão 2) formarem um conjunto LD é análogo ao de quatro vetores no espaço (dimensão 3) formarem um conjunto LD. Isto é, podemos mostrar que um destes quatro vetores pode ser escrito como combinação linear dos demais.
Seja o conjunto { , , , }u v w t formado de vetores não nulos de V3.
a) Se três vetores são coplanares, por exemplo, u, v e w, onde se tem
1 2
w u v
, então podemos escrever
1.w1u2v0 t0
evidenciando que pelo menos um dos coeficientes não é zero, figuras 2.7 a e 2.7 b.
Portanto, { , , , }u v w t é LD.
Fig 2.7 a Fig 2.7 b
Nota: Entendemos do exposto que se um dado conjunto possuir um subconjunto
LD, então será também LD (Fig. 2.7b).
t
u w v
u, v, w e t são coplanares
t
u
w
v
b) Não possui três vetores coplanares
Consideremos os representantes dos quatro vetores com origem num ponto P. Temos que u= PA, v = PB, w = PT e t = PQ.
Conduzindo pela extremidade Q do vetor t uma paralela ao vetor w, obtemos o ponto R no plano PAB. Conduzindo por R paralelas aos vetores v e uobtemos D e C tais que PD =1u e PC =2v. Conduzindo por Q plano paralelo a PAB, temos o ponto E tal que PE= 3w.
Temos, por construção, que t = PR + RQ, sendo PR=1u+ 2v e RQ=
3w
.Assim, t = 1u + 2v + 3w.
Então, 1. t1u 2v 3w = 0. O fato da combinação linear dos quatro vetores ser 0 e ter coeficientes não todos iguais a zeros, segue que { , , , }u v w t é LD.
4) Mostre que se o conjunto { , }u v é LI, então o conjunto { , (u uv)} é LI. Solução:
A condição para que { , (u uv)} seja LI é que ocorra u (u v) 0 somente se 0.
Vejamos: u (u v) 0 u uv 0 ( )uv 0. Sendo por hipótese que { , }u v é LI, então
0 0
0. Portanto, o conjunto { , (u uv)}
é LI. ---
T
w Q
E
t
3w B
v
2v C
R
P
Fig 2.8 1u
D
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2.1
Prove que:
1) O conjunto { ,u u} é LD.
2) Se { , }u v é LI, então o conjunto { , , (u v uv)} é LD.
3) Se { , , }u v w é LI, então o conjunto {(u v), (u v), (uw)} é LI.
4) Se A é um conjunto de vetores e 0A, então A é LD.
5) O conjunto { 0} é LD.
6) Se A é um conjunto de vetores e B um subconjunto LD de A, então A é LD.
7) Se { , , }u v w é LI, então para cada vetor g de V3 existe uma única terna de
números reais 1, 2 e3 tal que g1.u2.v3.w.
8) O conjunto { (u v), (u v)} é LI somente se { ,u v } é LI.
