Apostila de
CONVERSÃO DE
ENERGIA ELÉTRICA
Prof. Dsc. Elenilton Teodoro Domingues
2013
CAPÍTULO 0 ... 1
0.1. INTRODUÇÃO ... 1
0.1.1. CAMPO MAGNÉTICO ... 1
0.1.2. MAGNÉTISMO... 1
0.1.3. LINHAS DE CAMPO MAGNÉTICO OU LINHAS DE INDUÇÃO ... 2
0.1.4. CAMPO MAGNÉTICO DA TERRA ... 3
0.1.5. SUBSTÂNCIAS MAGNÉTICAS ... 3
CAPÍTULO 1 ... 4
1.1. LEI DE BIOT E SAVART ... 4
1.2. FORÇA MAGNÉTICA EM CONDUTORES ... 19
CAPÍTULO 2 ... 43
2.1. MATERIAIS MAGNÉTICOS ... 43
2.2. CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO ... 43
2.3. LAÇO DE HISTERESE, REMANÊNCIA E FORÇA COERCITIVA ... 45
2.4. FLUXO MAGNÉTICO ... 46 2.5. PERMEABILIDADE MAGNÉTICA ... 47 2.6. CIRCUITOS MAGNÉTICOS ... 48 CAPÍTULO 3 ... 65 1.4. INTRODUÇÃO ... 65 1.5. OBJETIVO ... 67
1.6. PRINCÍPIO DE CONSTRUÇÃO DE UM TRANSFORMADOR 1Ø ... 67
1.7. TIPOS DE TRANSFORMADORES ... 68
1.8. SÍMBOLOS DOS TRANSFORMADORES ... 69
1.9. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO ... 70
1.10. PERDAS NO TRANSFORMADOR ... 72
1.11. PERDAS NO MATERIAL DOS ENROLAMENTOS ... 72
1.12. PERDAS NO FERRO DO NÚCLEO MAGNÉTICO ... 73
1.13. TIPOS DE LIGAÇÃO DOS ENROLAMENTOS TRIFÁSICOS ... 75
1.14. LIGAÇÃO TRIÂNGULO OU DELTA (∆) ... 75
1.15. LIGAÇÃO ESTRELA (Y) ... 77
1.16. TRANSFORMADORES COM DERIVAÇÕES NO SECUNDÁRIO ... 78
1.17. POTÊNCIA NOS TRANSFORMADORES ... 78
1.18. CONDIÇÕES ESPECIAIS DE UM TRANSFORMADOR ... 79
1.19. PARTES QUE COMPÕEM UM TRANSFORMADOR ... 80
1.20. NÚCLEO ... 80 1.21. BOBINAS ... 82 1.22. COMUTADOR ... 84 1.23. ÓLEO ISOLANTE ... 84 1.24. SISTEMA DE REFRIGERAÇÃO ... 85 1.25. JUNTAS DE VEDAÇÃO ... 87 1.26. BUCHAS ... 87 1.27. TANQUES ... 88 1.28. PINTURA ... 88 1.29. PLACA DE IDENTIFICAÇÃO ... 89 1.30. ACESSÓRIOS ... 90 1.31. CIRCUITOS EQUIVALENTES ... 93
1.32. TRANSFORMADOR MONOFÁSICO IDEAL ... 93
1.33. TRANSFORMADOR MONOFÁSICO REAL ... 94
1.34. TESTES EM TRANSFORMADORES ... 97
1.35. ENSAIO A VAZIO ... 97
1.36. ENSAIO EM CURTO CIRCUITO ... 100
1.37. RENDIMENTO DOS TRANSFORMADORES ... 102
1.38. RENDIMENTO EM FUNÇÃO DA CARGA ... 102
1.39. REGULAÇÃO DE TENSÃO ... 103
CAPÍTULO 5 ... 117 5.1. INTRODUÇÃO ... 117 CAPÍTULO 6 ... 118 6.1. INTRODUÇÃO ... 118 CAPÍTULO 7 ... 119 7.1. INTRODUÇÃO ... 119
7.2. PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF ... 119
CAPÍTULO 8 ... 120
CAPÍTULO 0
REVISÃO - CAMPO MAGNÉTICO
0.1. INTRODUÇÃO
O magnetismo é um fenômeno básico no funcionamento de motores elétricos, geradores, reprodução de voz e imagens, gravação de informações na memória do computador e várias outras aplicações tecnológicas.
0.1.1. CAMPO MAGNÉTICO
Chama se campo magnético a região do espaço modificada pela presença de um ímã, de um condutor percorrido por uma corrente elétrica ou de um corpo eletrizado em movimento.
Vetor indução magnética (B) - Caracteriza a intensidade, a direção e o sentido do campo
magnético em um ponto do espaço.
Unidade de indução magnética no S.I. é o tesla (T) , sendo T = N/ (A .m).
0.1.2. MAGNÉTISMO
O magnetismo é uma força invisível de atração e repulsão que incide em alguns materiais que naturalmente apresentam esta propriedade. Há muitos séculos atrás, uma pedra foi encontrada na região da Magnésia, esta pedra exercia o efeito de atrair e repelir metais. A essa pedra deu-se o nome de magnetita e hoje conhecemos como ÍMÃS.
Os ÍMÃS são pedaços de metais ferrosos que têm a propriedade de se atraírem ou repelirem mutuamente e de atraírem pedaços de ferro. Podem ser naturais ou artificiais. A magnetita é um ímã natural.
PÓLOS MAGNÉTICOS DOS ÍMAS: Em qualquer ímã, por menor que ele seja, existem duas regiões distintas onde as suas propriedades magnéticas se manifestam mais intensamente. Essas regiões são denominadas pólos magnéticos do ímã. Como eles se orientam no sentido norte e sul, chamamos pólo norte e pólo sul.
INTERAÇÃO ENTRE PÓLOS DE ÍMÀS: Pólos magnéticos iguais se repelem enquanto pólos magnéticos diferentes se atraem.
0.1.3. LINHAS DE CAMPO MAGNÉTICO OU LINHAS DE INDUÇÃO
LINHAS DE INDUÇÃO: São linhas que permitem uma visualização do campo magnético. Têm as seguintes características:
a) são tangentes ao vetor indução magnética em cada ponto; b) são orientados no sentido deste vetor;
c) são sempre fechadas, isto é, não tem fontes nem sorvedouros;
d) a densidade das linhas de indução permite avaliar a intensidade do campo magnético em determinada região.
0.1.4. CAMPO MAGNÉTICO DA TERRA
Em torno da Terra, existe um campo magnético chamado de campo magnético Terrestre. Uma pequena agulha magnética (ímã de prova) ali colocada se orienta de modo a apontar sempre a mesma extremidade para um ponto situado nas vizinhanças do Pólo Norte Geográfico.
Pólo Norte Magnético – Quando um ímã está livre para girar em torno do seu centro de gravidade , num plano horizontal, um dos seus pólos aponta sempre para o norte geográfico da Terra. Esse pólo é chamado Pólo Norte Geográfico do ímã. O outro pólo, que aponta para o sul geográfico , é chamado pólo Sul magnético do ímã.
0.1.5. SUBSTÂNCIAS MAGNÉTICAS
PARAMAGNÉTICAS: são aquelas que, na presença de um campo magnético, se imantam muito fracamente, fazendo com que o valor do campo magnético seja ligeiramente aumentado.
DIAMAGNÉTICAS: em presença de um campo magnético se imantam fracamente, fazendo, com que o valor do campo magnético se torne ligeiramente menor.
FERROMAGNÉTICAS (ferro, níquel e cobalto e suas ligas) sob a ação de um campo magnético, estas substâncias se imantam fortemente, fazendo com que o campo magnético resultante seja muitas vezes maior do que o campo aplicado.
CAPÍTULO 1
INDUÇÃO MAGNÉTICA
1.1. LEI DE BIOT E SAVART
Seja um condutor filamentar com corrente elétrica I. Por filamentar entendemos um fio de espessura muito pequena. Se o condutor tem corrente elétrica, nele há cargas elétricas em movimento. Seja V a velocidade de escoamento das cargas no interior do condutor. Mas cargas elétricas em movimento criam campo magnético.
Queremos uma expressão para calculo da indução B em função da corrente I do filamento.
Seja dum diferencial de comprimento do filamento , seja dq a quantidade de carga elétrica contida no elemento d, considerando apenas as cargas em movimento (pois somente as cargas que estão em movimento criam campo magnético). A carga dq pode ser considerada puntiforme (corpo eletrizado cujas dimensões são desprezíveis em comparação com as distâncias que o separam de outros corpos eletrizados). Ela cria no ponto P, a intensidade de campo elétrico
dE: 0 2 K dQ ˆ dE r r (1.1)
Onde K = é a constante eletrostática. A constante K depende da permissividade elétrica do meio. No vácuo K é dado por: K = K0. O valor da constante K0 é 9×109 N.m²/C².
A constante K é dada por: 1 K 4 No vácuo: 0 0 1 K
A indução magnética a no ponto P, devido a carga puntiforme dQ, vale: 2 1 dB V ^ dE c (1.2) Levando (1.1) em (1.2) vem: 0 2 2 1 K dQ ˆ dB V ^ r c r 0 2 2 ˆ V ^ r K dQ dB c r (1.3) Temos que: dQ d (1.4)
Onde: (C/m) é a densidade linear de carga em movimento. Ou seja:
d (m) --- dQ (C) 1 (m) --- dQ d Logo: 0 2 2 ˆ V ^ r K d dB c r (1.5)
Orientando d no sentido da corrente I, teremos d com a mesma direção e sentido que os de V. Assim d V V d (1.6) Levando (1.6) em (1.5) temos: 0 2 2 ˆ d ^ r K V dB c r (1.7) Onde: dQ d e d V dt
Assim: dQ d dQ V =I d dt dt Então: dQ = I dt Logo: V I (1.8) Substituindo (1.8) em (1.7) temos: 0 2 2 ˆ d ^ r K I dB c r (1.9) Como: 0 0 2 0 0 1 4 K = 1 4 c 0 2 K = 4 c (1.10) Onde:
0:Permeabilidade magnética no vácuo e vale:
7 0 4 10 A mWb Substituindo (1.10) em (1.9) resulta: 0 0 2 ˆ I d ^ r dB 4 r (1.11)
Integrando dB sobre todos os elementos do filamento , resulta:
0 0 2 ˆ I d ^ r B(p) 4 r [Tesla]Exercícios:
01) Determinar a indução magnética num ponto P afastado h de um filamento retilíneo infinito com corrente elétrica I.
Solução:
Da figura temos que: d dx i 0 ˆr cos( ) i + sen( ) j Portanto:
ˆ0 d ^ r dx i ^ cos( ) i + sen( ) j ˆ0 d ^ r sen( ) dx kDe acordo com a Lei de Biot e Savart temos:
0 0 0 2 2 ˆ I d ^ r I sen( ) dx B(p) k 4 r 4 r
0 2 I k sen( ) B(p) dx 4 r (I)Cuidado !!!!!
Temos três variáveis: x, e r. Precisamos encontrar um artificio para deixar a integral com apenas uma variável.
Da figura temos que
0 h tg( ) x x 0 h x x tg( ) 0 x x h cotg ( )
Derivando x em relação a temos:
2 dx 0 h [-cossec ( )] d 2 dx h cossec ( ) d 2 h dx d sen ( ) (II)
Uma outra relação da figura:
h sen( ) r h r sen( ) 2 2 2 h r sen ( ) 2 2 2 1 sen ( ) r h (III)
Substituindo as eqs (II) e (III) em (I) temos:
0 2 I k sen( ) B(p) dx 4 r
0 2 0 2 2 I k sen ( ) h B(p) sen( ) d 4 h sen ( )
0 I k 0 B(p) sen( ) d 4 hLembrando que: sen( ) d
- cos( ) c 0 0 I k 0 I k
B(p) cos( ) = cos(0) cos( )
4 h 4 h 0 I k 0 I k 0 I B(p) 1 ( 1) = 2 k 4 h 4 h 2 h 0 I B(p) k 2 h [T]
Podemos generalizar este resultado:
1) Módulo da indução magnética
0 I B(p) 2 h
[T]
2) Direção do vetor indução magnética
3) Sentido do vetor Indução
Dada pela regra da mão direita
02) Consideremos uma circunferência de raio h e centro no condutor. Desenhe o vetor indução em diversos pontos da circunferência.
Solução
Conclusão: A circunferência é em todos os seus pontos tangentes ao vetor indução B, logo ela é uma linha de campo do campo magnético do filamento retilíneo infinito.
03) Determine a indução magnética B no ponto.
Solução:
Da figura temos que: d dx i 0 ˆr cos( ) i + sen( ) j Portanto
ˆ0 d ^ r dx i ^ cos( ) i + sen( ) j ˆ0 d ^ r sen( ) dx kDe acordo com a Lei de Biot e Savart temos:
2 1 0 0 0 2 2 ˆ I d ^ r I sen( ) dx B(p) k 4 r 4 r
2 1 0 2 I k sen( ) dx B(p) 4 r (I)Cuidado !!!!!
Temos três variáveis: x, e r. Precisamos encontrar um artificio para deixar a integral com apenas uma variável.
Da figura temos que:
h tg( ) L x h L x h cotg( ) tg( ) x L h cotg ( )
Derivando x em relação a temos:
2 dx 0 h [- cossec ( )] d 2 dx h cossec ( ) d 2 h dx d sen ( ) (II)
Uma outra relação da figura:
h sen( ) r h r sen( ) 2 2 2 h r sen ( ) 2 2 2 1 sen ( ) r h (III)
Substituindo as eqs (II) e (III) em (I) temos:
2 1 0 2 I k sen( ) dx B(p) 4 r
2 1 2 0 I k sen ( ) B(p) sen( ) 4 h2 h 2 sen ( ) d
2 1 0 I k B(p) sen( ) d 4 hLembrando que: sen( ) d
- cos( ) c 2 1 0 0 1 2 I k I
B(p) cos( ) = cos( ) cos( ) k
4 h 4 h 0 1 2 I B(p) cos( ) cos( ) k 4 h [T]
04) Determine a indução magnética B no ponto dos filamentos retilíneos infinitos
Vamos considerar o condutor como formado por 2 filamentos retilíneos. Por superposição teremos:
1 2
B(p) B (p) B (p)
Da figura temos que: o 1 45 , 2 180o e h a 0 1 1 2 I B (p) cos( ) cos( ) 4 h 0 1 I 2 B (p) ( 1) 4 a 2 0 1 I 2 B (p) 1 k 4 a 2 Vamos calcular B (p)2 :
Da figura temos que:
o 1 0 , 2 135o e h a 0 2 1 2 I B (p) cos( ) cos( ) 4 h 0 2 I 2 B (p) 1 4 a 2 0 2 I 2 B (p) 1 k 4 a 2
Logo: 1 2 B(p) B (p) B (p) 0 I 2 0 I 2 B(p) 1 k + 1 k 4 a 2 4 a 2 0 I 2 B(p) 1 k 2 a 2
05) Determine a indução magnética B no ponto P
A indução no ponto P vale:
12 23
B(p) 2 B (p) 2 B (p)
Pois são simétricos os lados 12 e 34 e os lados 23 e 41, em relação ao ponto P Vamos calcular B (p)12 : Da figura vem: 1 2 2 2 2 b b 2 cos( ) a b a b 2 2
Temos que: 1 2 180 2 180 1 Logo:
cos(a b) cos(a) cos(b) sen(a)sen(b)
1 0
1 1 1 1
cos(180 ) cos(180 ) cos( ) sen(180 ) sen( ) cos( )
2 1 1
cos( ) cos(180 ) cos( )
2 1 cos( ) cos( ) 2 1 2b 2 cos( ) cos( ) a b Assim: a h 2 0 12 1 2 I B (p) cos( ) cos( ) 4 h 0 12 2 2 2 2 I b b B (p) a a b a b 4 2 0 12 2 2 I b B (p) 2 2 a a b 0 12 2 2 I b B (p) k a a b Vamos calcular B (p) : 23
Da figura vem: 1 2 2 2 2 a a 2 cos( ) a b a b 2 2 Temos que: 1 2 180 2 180 1 Logo: 2 1 1
cos( ) cos(180 ) cos( )
2 1 cos( ) cos( ) b h 2 0 23 1 2 I B (p) cos( ) cos( ) 4 h 0 23 2 2 2 2 I a a B (p) b a b a b 4 2 0 23 2 2 I a B (p) 2 2 b a b 0 23 2 2 I a B (p) k b a b Logo: 12 23 B(p) 2 B (p) 2 B (p) 0 0 2 2 2 2 I b I a B(p) 2 k 2 k a a b b a b 0 2 2 2 I b a B(p) + k a b a b
1.2. FORÇA MAGNÉTICA EM CONDUTORES
Consideremos um condutor com corrente elétrica I num campo magnético de indução B. Queremos determinar a força magnética sobre o condutor:
Considerando que o condutor esta uniformemente carregado com densidade de carga (C/m), temos que: d (m) dq(C) 1 (m) (C) dq d
Onde (C/m) é a densidade de carga por unidade de comprimento
Seja d um diferencial de comprimento do filamento. Logo dq d é a carga contida em
d considerando apenas as cargas que estão em movimento, isto é as cargas que formam a corrente elétrica I.
A força magnética sobre a carga dq ou a força magnética sobre d vale:
dfmg dq u ^ B Ou dfmg d u ^ B
Mas d u = u d desde que orientemos d no sentido de u, isto é, no mesmo sentido da corrente elétrica I. Então:
Temos que: dq d e d u dt Portanto: dq u d d dq dt dt Como: dq I
dt (valor instantâneo da corrente elétrica I) Logo: u I Assim: dfmg I d ^ B
A força resultante sobre o condutor vale:
fmg I d ^ BObs: Lembrar que d é sempre orientado no sentido da corrente elétrica I.
Exercícios
01) Dois condutores, retilíneos, infinitos, paralelos, afastados a uma distância h conduzem as correntes elétricas I1 e I2 de sentidos opostos. Determine a força magnética sobre os dois condutores por unidade de comprimento.
Solução:
a) A força magnética sobre o filamento com corrente elétrica I1 vale:
1 1 fmg I d ^ BOnde B(p) é a indução magnética nos pontos do filamento 1. A corrente elétrica I1 não cria campo magnético nos pontos do filamento 1. A corrente I2 cria nos pontos do filamento 1 a indução: 0 I 2 B(p) 2 h
Direção: Perpendicular ao plano formado pelo condutor e o ponto P; Sentido: Regra da mão direita.
Logo: 0 I 2 B(p) k 2 h e
d dx i Pois o filamento 1 está paralelo ao eixo x Assim temos:
1 1 fmg I d ^ B p
0 2 1 1 I fmg I dx i ^ k 2 h
0 0 x 0 1 2 1 x 1 I I fmg -j dx 2 h
0 0 x 0 1 2 0 1 2 1 x 1 0 0 I I ˆ I I ˆ fmg (-j) x = (-j) x x 1 2 h 2 h
0 1 2 1 I I ˆ fmg j 2 h [N]b) A força magnética sobre o filamento com corrente elétricas I2 vale:
2 2 fmg I d ^ B(p )Onde B(p ) é a indução magnética nos pontos do filamento 2. A corrente elétricas I2 não cria campo magnético nos pontos do filamento 2. A corrente I1 cria nos pontos do filamento 2 a indução:
0 1 I B(p ) 2 h
Direção: Perpendicular aso plano formado pelo condutor e o ponto P; Sentido: Regra da mão direita.
Logo: 0 1 I B(p ) k 2 h e
d dx i Pois o filamento 1 está paralelo ao eixo x Assim temos:
2 2 fmg I d ^ B p
0 2 2 2 I fmg I dx i ^ k 2 h
0 0 x 1 0 1 2 2 x I I ˆ fmg (-j) dx 2 h
0 0 x 1 0 1 2 0 1 2 2 x 0 0 I I ˆ I I ˆ fmg (-j) x = (-j) x 1 x 2 h 2 h
0 1 2 2 I I ˆ fmg j 2 h [N]As forças magnéticas fmg 1 e fmg 2 tem a mesma intensidade, a mesma direção, porém com sentidos opostos. É uma ação e uma reação.
02) Calcule a força magnética por unidade de comprimento sobre o condutor com corrente elétrica de 50A. Os três condutores são retilíneos, infinitos e paralelos.
SOLUÇÃO
A indução num ponto P genérico do filamento com corrente elétrica de 50A vale:
1 3 I I B(p) B (p) B (p)
0 1 0 3 12 23 I I B(p) k k 2 h 2 h 0 1 3 12 23 I I B(p) k 2 h h 4 10 7 20 30 B(p) k 2 0,10 0,20 5 B(p) 10 k [T]A força magnética sobre o condutor com 50 A de corrente vale:
2 2 fmg I d ^ B p
5 2 ˆ fmg 50 dx i ^ 10 k
5 1 2 ˆ 0 fmg 50 10 j dx
5 1 2 ˆ 0 fmg 50 10 j x|
5 2 ˆ fmg 50 10 j 1 (0)
5 2 ˆ fmg 50 10 j [N/m]As intensidades de campo magnético e força magnética por unidade de comprimento (fmg ) sobre o condutor com corrente elétrica de 50A estão representados na figura abaixo. 2
02) Calcule a força magnética sobre cada lado na malha retangular da figura abaixo e a força resultante sobre a malha. São dados: I = 20 A e B 0,50 i (T).
SOLUÇÃO:
a) Cálculo da força sobre o lado AB
d dx i Pois o filamento AB está paralelo ao eixo x
AB fmg I d ^ B
B AB A fmg 20 dx i ^ 0,50 i 0 AB fmg 0b) Cálculo da força sobre o lado BC
d dy j Pois o filamento BC está paralelo ao eixo y
BC fmg I d ^ B
C BC B fmg I d ^ B =
0,1 BC 0 fmg 20 dy j ^ 0,50 i
0,1 BC ˆ 0 fmg 10 k y
BC ˆ fmg 10 k 0,1 0
BC ˆ fmg 1,0 k [N]c) Cálculo da força sobre o lado CD
d dx i Pois o filamento CD está paralelo ao eixo x
AB fmg I d ^ B
D CD C fmg 20 dx i ^ 0,50 i 0 CD fmg 0d) Cálculo da força sobre o lado DA
DA fmg I d ^ B
A DA D fmg I d ^ B ]
0 DA 0,1 fmg 20 dy j ^ 0,50 i
0 DA ˆ 0,1 fmg 10 k y
DA ˆ fmg 10 k 0 0,1
DA ˆ fmg 1,0 k [N]A força resultante sobre a malha vale:
Re s AB BC CD DA fmg fmg fmg fmg fmg
Re s ˆ ˆ fmg 0 1,0 k + 0 1,0 k Re s fmg 0 [N] CONCLUSÃO:Se a força resultante sobre a malha é nula, logo ela não esta sujeita a um movimento de translação [f =m x a, onde f =0 e a 0]. Mas as forças sobre os lados BC e DA formam um binário, logo age sobre a malha um conjugado, ou momento ou torque.
03) Calcule o torque sobre a malha do exercício anterior em relação ao seu ponto central. a) Torque devido ao lado AB
AB
T 0, pois fmg AB 0
b) Torque devido ao lado BC
Como o conjugado magnético é uniforme, a força fmg BC esta uniformemente distribuída ao longo do lado BC. Então esta pode ser considerada como uma resultante aplicada no centro do lado BC [ponto E da figura acima]. Logo:
BC BC T E F ^ fmg Da figura vem:
E F
0,1 i
BC ˆ T 0,1 i ^1,0 k BC T 0,1 j N.mc) Torque devido ao lado CD
CD
T 0 , pois fmg CD 0
d) Torque devido ao lado DA
A força pode ser considerada aplicada no ponto G, médio ao lado AD, pois B é uniforme.
DA DA T G F ^ fmg Da figura vem:
G F
0,1 i
DA ˆ T 0,1 i ^1,0 k DA T 0,1 j N.mO torque resultante sobre a malha vale: AB BC CD DA T T T T T T 0 0,1 j 0 0,1 j Re s T 0,2 j N.m
03) Calcule a força magnética sobre os lados das malhas.
São dados: I 10 A
2
ˆ B 5 x k (T)
a) Cálculo da força sobre o lado AB
d dx i Pois o filamento AB está paralelo ao eixo x
AB fmg I d ^ B
B 2 AB A ˆ fmg 10 dx i ^ 5 x k
0,1 2 AB ˆ 0 fmg 50 j x dx
3 0,1 AB 0 x ˆ fmg 50 j 3
3 3 AB 50 ˆ fmg j 0,1 0 3
3 AB 50 ˆ fmg 10 j 3 Nb) Cálculo da força sobre o lado BC d dx i dy j
BC fmg I d ^ B
C 2 BC B ˆ fmg 10 dx i dy j ^ 5 x k
C 2 2 BC B fmg 50 x dx j x dy i
C 2 2 BC B fmg 50 x dy i x dx j
C 2 C 2 BC B B fmg 50 i x dy 50 j x dxResolvendo a primeira integral:
1 C 2 BC B fmg 50 i x dy Cuidado !!!!!Temos duas variáveis: x, e y. Precisamos encontrar um artificio para deixar a integral com apenas uma variável. Da figura temos que:
Onde: 0 0 B(x , y ) 0 x 0,1 0 y 0 0,2 m tg ( ) tg ( ´) 2 0,1
Assim: 0 0 (y y ) m (x x ) (y 0) 2 (x 0,1) y 2 x 0,2
Derivando y em relação a x temos:
dy 2 dx Logo: dy 2 dx Assim:
1 C 2 BC B fmg 50 i x dy =
0 2
0,1 50 i x 2 dx =
0 2 0,1 100 i x dx 1 0 3 BC 0,1 x fmg 100 i 3 =
3 3 100 i 0 0,1 3 = 3 100 10 i 3 1 3 BC 100 fmg 10 i 3 (N)Resolvendo a segunda integral:
2 C 2 BC B fmg 50 j x dx =
0 2 0,1 50 j x dx 2 0 3 BC 0,1 x fmg 50 j 3 =
3 3 50 j 0 0,1 =50 10 j 3 3
2 3 BC 50 fmg 10 j 3 (N) Logo:
C 2 C 2 BC B B fmg 50 i x dy 50 j x dx
3 3 BC 100 50 fmg 10 i 10 -j 3 3
3 BC 50 fmg 10 2 i +j 3 (N)c) Cálculo da força sobre o lado CA
d dy j Pois o filamento CA está paralelo ao eixo y
CA fmg I d ^ B
A 2 CA C ˆ fmg 10 dy j ^ 5 x k
A 2 CA C fmg 50 i x dy Onde: 0 0 B(x , y ) 0 x 0 0 y 0,2 m tg ( ) tg (90 )Se uma reta for vertical então sua inclinação é de 90° consequentemente seu coeficiente angular não existe, pois tg (90°) . Neste caso
sua equação é da forma x = constante. Assim: x 0 Logo:
A 2 CA C fmg 50 i x dy 0 AB fmg 0 N1.3. TORQUE SOBRE UMA MALHA COM CORRENTE EM UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME – MOMENTO MAGNÉTICO
Consideremos um malha condutora retangular com corrente elétrica I num campo magnético uniforme de indução:
x y z B B i B j B k Onde:
Bx = cte, By = cte e Bz = cte
Vamos calcular a Força magnética sobre o lado AC
d dy j Pois o filamento AC está paralelo ao eixo y
AC fmg I d ^ B
C AC A x y z fmg I dy j ^ B i B j B k
C AC A x z fmg I B ( k) B i dy
a AC z x a fmg I B i B k dy
a AC z x a fmg I B i B k y|
AC z x fmg I B i B k a a
AC z x fmg 2 a I B i B k [N]Como o campo magnético é uniforme, fmg AC esta uniformemente distribuído no lado AC, podemos então considera-lo como aplicado no ponto B, médio a AC.
O braço da fmg ACé (B-O), logo:
B O b i
ˆO torque da força fmg AC vale:
AC AC T (B O) ^ fmg
AC ˆ z x T b i ^ 2 a I B i B k AC xˆ T 2 a b I B j [N.m] [I] Vamos calcular a Força magnética sobre o lado CE
d dx i Pois o filamento CE está paralelo ao eixo x
CE fmg I d ^ B
E CE C ˆ x y z fmg I dx i ^ B i B j B k
E CE C y z fmg I B k B ( j) dx
b CE y z b fmg I B k B j dx
b CE y z b fmg I B k B j x|
CE y z fmg I B k B j b b
CE y z fmg 2 b I B k B j [N]Como o campo magnético é uniforme, fmg CE esta uniformemente distribuído no lado CE, podemos então considera-lo como aplicado no ponto D, médio a CE.
O braço da fmg CEé (D-O), logo:
O torque da força fmg CE vale: CE CE T (D O) ^ fmg
CE y z T a j ^ 2 b I B k B j
CE y T 2 a b I B i N.m [II] Vamos calcular a Força magnética sobre o lado EG
d dy j Pois o filamento EG está paralelo ao eixo y
EG fmg I d ^ B
G EG E x y z fmg I dy j ^ B i B j B k
G EG E x z fmg I B ( k) B i dy
a EG z x a fmg I B i B k dy
a EG z x a fmg I B i B k y|
EG z x fmg I B i B k a a
EG z x fmg 2 a I B i B k [N]Como o campo magnético é uniforme, fmg EG esta uniformemente distribuído no lado EG, podemos então considera-lo como aplicado no ponto F, médio a EG.
O braço da fmg EGé (F-O), logo:
F O b i
ˆO torque da força fmg EG vale:
EG EG T (F O) ^ fmg
EG ˆ z x T b i ^ 2 a I B i B k EG x ˆ T 2 a b I B j [N.m] [III] Vamos calcular a Força magnética sobre o lado GA
d dx i Pois o filamento GA está paralelo ao eixo x
GA fmg I d ^ B
A GA G ˆ x y z fmg I dx i ^ B i B j B k
A GA G y z fmg I B k B ( j) dx
A GA y z G fmg I B k B j dx
b GA y z b fmg I B k B j x|
GA y z fmg I B k B j b b
GA y z fmg 2 b I B k B j [N]Como o campo magnético é uniforme, fmg GA esta uniformemente distribuído no lado GA, podemos então considera-lo como aplicado no ponto H, médio a GA.
O braço da fmg GAé (H-O), logo:
H O a j
O torque da força fmg GA vale:
GA CE T (H O) ^ fmg
GA y z T a j ^ 2 b I B k B j
GA y T 2 a b I B i N.m [IV]Somando (I), (II), (III) e (VI) temos:
AC CE EG GA T T T T T
x ˆ y x ˆ y T 2 a b I B j + 2 a b I B i 2 a b I B j 2 a b I B i
x ˆ y T 4 a b I B j - 4 a b I B i
x ˆ y T 4 a b I B j - B i [N.m] [V]A área da malha considerada é:
A 2a 2b = 4ab
A 4ab [VI]
Consideremos um versor ˆn normal a malha com sentido dado pela regra da mão direita relativamente a corrente I. No caso da malha do exemplo, temos:
ˆ ˆn k
Fazendo o produto vetorial ˆn ^ B temos :
x y z ˆ ˆn ^ B k ^ B i B j B k x y ˆn ^ B B j B i [VII]Levando (VI) e (VII) em (V) temos
ˆ
T A I n ^ B [VIII] A parcela m A I n ˆ é denominada momento magnético da malha. Então:
T m ^ B [IX]
Concluímos que:
1- O torque sobre a malha será máximo quando m B, Isto é, quando a malha for // (paralela) a indução B, ver figura a seguir:
2- O torque sobre a malha será nulo quando m // B, Isto é, quando a malha for (perpendicular) a indução B, ver figura a seguir:
Esta é a posição de equilíbrio da malha [T=0]. Então, Quando a malha com corrente elétrica I é colocada num campo magnético, sobre ela aparece um torque magnético que tende a leva-la para uma posição tal que ela resulte perpendicular ao vetor campo magnético.
Exercício
01) Consideremos um malha condutora retangular com corrente elétrica I=100 A num campo magnético uniforme de indução B 3i 2j 5k.
a) Calcule a Força magnética sobre cada lado da malha ? b) Calcule o Torque em cada lado da malha e o Torque Total ? c) Calcule o momento magnético da malha ?
d) Calcule o Torque pela equação T m ^ B e compare com o Torque Total do item (b) ? e) Faça suas conclusões com os resultados obtidos ?
Solução:
a) Calcule a Força magnética sobre cada lado da malha ?
Vamos calcular a Força magnética sobre o lado AC
d dy j Pois o filamento AC está paralelo ao eixo y
AC fmg I d ^ B
C AC A fmg 100 dy j ^ 3i 2j 5k
0,03 AC 0,03 fmg 100 3 k 5 i dy
0,03 AC 0,03 fmg 500 i 300 k y|
AC fmg 500 i 300 k 0,03 0,03
2 AC fmg 500 i 300 k 6 10
AC fmg 30 i 18 k [N] Vamos calcular o Torque sobre o lado AC O braço da fmg ACé (B-O), logo:
B O 2 10 i
2 O torque da força fmg AC vale:
2 AC T 2 10 i ^ 30 i 18 k AC T 0,36 j [N.m] Vamos calcular a Força magnética sobre o lado CE
d dx i Pois o filamento CE está paralelo ao eixo x
CE fmg I d ^ B
E CE C fmg 100 dx i ^ 3i 2j 5k
0,02 CE 0,02 fmg 100 2 k 5 j dx
0,02 CE 0,02 fmg 500 j 200 k x|
CE fmg 500 j 200 k 0,02 (0,02)
2 CE fmg 500 j 200 k 4 10
CE fmg 20 j 8 k [N] Vamos calcular o Torque sobre o lado CE O braço da fmg CEé (D-O), logo:
B O 3 10 j
2 O torque da força fmg CE vale:
2 CE T 3 10 j ^ 20 j 8 k
CE T 0,24 i [N.m] Vamos calcular a Força magnética sobre o lado EG
d dy j Pois o filamento EG está paralelo ao eixo y
EG fmg I d ^ B
G EG E fmg 100 dy j ^ 3i 2j 5k
0,03 EG 0,03 fmg 100 3 k 5 i dx
0,03 EG 0,03 fmg 500 i 300 k y|
EG fmg 500 i 300 k 0,03 0,03
2 EG fmg 500 i 300 k 6 10
EG fmg 30 i 18 k [N] Vamos calcular o Torque sobre o lado EG O braço da fmg EGé (F-O), logo:
F O 2 10
2
iO torque da força fmg EG vale:
2 EG T 2 10 i ^ 30 i 18 k EG T 0,36 j [N.m] Vamos calcular a Força magnética sobre o lado GA
d dx i Pois o filamento GA está paralelo ao eixo x
GA fmg I d ^ B
E GA C fmg 100 dx i ^ 3i 2j 5k
0,02 GA 0,02 fmg 100 2 k 5 j dx
0,02 GA 0,02 fmg 500 j 200 k x|
GA fmg 500 j 200 k 0,02 ( 0,02)
2 GA fmg 500 j 200 k 4 10
GA fmg 20 j 8 k [N] Vamos calcular o Torque sobre o lado CE O braço da fmg GAé (H-O), logo:
H O 3 10 -j
2
O torque da força fmg GA vale:
2 GA T 3 10 -j ^ 20 j 8 k
GA T 0,24 i [N.m]b) Calcule o Torque em cada lado da malha e o Torque Total ? AC CE EG GA T T T T T
T 0,36 j 0,24 i 0,36 j 0,24 i
T 0,48 - i 0,72 j [N.m]c) Calcule o momento magnético da malha ?
Consideremos um versor ˆn normal a malha com sentido dado pela regra da mão direita relativamente a corrente I. No caso da malha do exemplo, temos:
ˆ ˆn k
2 2 4 2 A = 6 10 x 4 10 24 10 m Logo: ˆ m A I n 4 ˆ m 24 10 100 k 2ˆ m 24 10 k
d) Calcule o Torque pela equação T m ^ B e compare com o Torque Total do item (b) ?
T m ^ B
2 ˆ T 24 10 k ^ 3i 2j 5k
T 0,72 j +0,48 - i
T 0,48 - i 0,72 jCAPÍTULO 2
CIRCUITOS MAGNÉTICOS
2.1. MATERIAIS MAGNÉTICOS
A habilidade de certos materiais (notadamente o ferro, o níquel, o cobalto e algumas de suas ligas e compostos) de adquirir um alto e permanente momento magnético, é de grande importância para a engenharia elétrica. As aplicações de materiais magnéticos são muitas e fazem uso de quase todos os aspectos do comportamento magnético.
Existe uma variedade extremamente grande de diferentes tipos de materiais magnéticos e é importante saber primeiro porque estes e somente estes materiais possuem propriedades magnéticas e em seguida saber o que leva a comportamento diferentes nestes materiais, por exemplo porque um material carrega um momento permanente enquanto outros não.
As pesquisas por materiais magnéticos com melhores características são motivadas pela possibilidade de redução nas dimensões dos equipamentos e diminuição de limitações no desempenho devido à saturação e perdas
2.2. CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO
Os materiais ferromagnéticos (ferro, níquel, cobalto) apresentam elevada permeabilidade magnética (variável), não são lineares e demonstram os fenômenos da histerese e do magnetismo residual.
Vamos supor uma amostra de um material ferromagnético totalmente desmagnetizada (B.H=M=0) e vamos nela aplicar um campo magnetizado crescente H. Obtêm-se uma curva B x H com o aspecto seguinte:
Figura 2.1 – Curva de magnetização do aço silício A curva de magnetização nos mostra:
(1) Uma região onde B varia fortemente em função de H, sendo que a parte central (50 a 200 a/m) dessa região a curva é quase linear.
(2) Uma região de transição bastante não linear, (200 a 400 A/m), denominada joelho da curva de magnetização
(3) Uma região de crescimento muito lento de B, quase linear de inclinação
0. É chamadaregião de saturação do material ferromagnético.
Normalmente o material ferromagnético é empregado na região anterior a saturação (até o joelho da curva).
A relação B H é normalmente empregada nos materiais ferromagnéticos, porém o valor da permeabilidade não é constante, definindo-se um valor para cada diferente estado de magnetização. Por exemplo, para os estados A,B,C,D da figura, teremos:
-3 A A A
B
0.6
6 10
H
100
-3 B B BB
1.0
5 10
H
200
-3 C C CB
1.2
3 10
H
400
Um gráfico de x H tem o seguinte aspecto:
2.3. LAÇO DE HISTERESE, REMANÊNCIA E FORÇA COERCITIVA
Vamos supor um material ferromagnético, inicialmente desmagnetizado até atingir o estado correspondente ao ponto x da figura anterior. Em seguida o campo magnetizador H é removido.
Observa-se que o material ferromagnético permanece magnetizado, apresentando um
magnetismo residual ou remanência (Br) (ponto y). Como se vê, a característica B x H que o material descreve para H decrescente não coincide com a característica B x H que o material descreve para H decrescente. Este fenômeno é conhecido como histerese magnética.
Figura 2.3 – Laço de histerese
Vamos agora inverter o sentido do campo magnetizador H e aumentá-lo desde zero até –Hx. Quando H= -Hx têm-se B=-Bx. É importante o estado desmagnetizado (-HC,O) para o qual o material está totalmente desmagnetizado (B=0). Hcé denominado força coercitiva.
Removendo novamente o campo magnetizador o material descreve o trecho VW resultando magnetizado com magnetismo residual –Br quando H=0.
Reaplicando o campo magnetizador Hx no sentido original, o material descreve a curva WX, fechando o laço.
A rigor o laço de histerese só se fecha depois de repetido algumas vezes (4 a 5 vezes). Após o fechamento ele é simétrico.
Figura 2.3 – Laço de histerese para diversos valores de B
2.4. FLUXO MAGNÉTICO
O Fluxo Magnético através de um superfície aberta ou fechada é definido como sendo o fluxo de B através desta superfície, ou seja:
sB . dS sB . n . dS
Sendo n o vetor unitário para fora da área elementar dS da superfície conforme apresentado na figura abaixo:
Figura 2.4 – Área Elementar dS
Um caso particular de grande interesse é dado pelas seguintes características: B é constante em magnitude e em qualquer lugar B é também perpendicular à superfície da área dada por A. Neste caso tem-se que:
B . A ⇒ B A
Como no SI a unidade do fluxo magnético é o Weber (Wb), pode-se dizer que a unidade da densidade de fluxo magnético no SI é também dada por Wb/m2, ou seja:
Wb2 1T 1
m
2.5. PERMEABILIDADE MAGNÉTICA
Permeabilidade Magnética é uma grandeza magnética, representada por µ (letra minúscula grega, lê-se “miú”), que permite quantificar o “valor” magnético duma substância. A sua unidade é H / m (henry por metro).
Se uma corrente elétrica passar numa bobina produz um campo magnético com um valor dado pela excitação magnética ou intensidade do campo magnético H que depende da construção da bobina. Por exemplo, numa bobina comprida (solenóide), o valor de H é dado por NI / L, em que N é o número de espiras da bobina e L é o seu comprimento. O valor de H aumenta com N e diminui com L, para a mesma intensidade de corrente I.
Esta excitação magnética H origina uma indução magnética B com um valor dado por
0
B H, em que µ0 é a permeabilidade magnética do ar (ou do vazio), pois é de ar o núcleo da bobina.
Se introduzirmos na bobina um núcleo de material ferromagnético, a indução magnética obtida é dada por B H. Este valor da indução é muito maior que o valor obtido na bobina com núcleo de ar, pois o material ferromagnético apresenta fortes propriedades magnéticas.
Quando um fluxo magnético atravessa um material ferromagnético (por, exemplo, ferro), os átomos do material, que tendo propriedades magnéticas, se comportam como pequenos ímãs, vão girar, alinhando-se com as linhas de força do campo magnético. As linhas de força entram pelo pólo sul do ímã e saem pelo norte.
Desta forma, o fluxo magnético, inicialmente fraco, vai ser reforçado pelo conjunto dos ímas que são os átomos.
É a permeabilidade magnética a grandeza que exprime a diferença magnética entre os diversos materiais. Tem um valor muito grande para os materiais ferromagnéticos e um valor muito baixo para o ar. Note-se que, enquanto µ0 é constante, o valor de µ vai diminuindo com a corrente, devido à saturação magnética do material.
Para mais facilmente se compararem as propriedades magnéticas dos materiais, chama-se a este valor de µ permeabilidade absoluta e chama-se permeabilidade relativa ao valor µr que indica quantas vezes a permeabilidade magnética µ dum material é maior que a do ar µ0, que é tomada como referência.
Matematicamente, é µ = µr x µ0.
O valor da permeabilidade magnética no vazio é µ0 = 4 p x 10 – 7 H/m.
As substâncias ferromagnéticas têm valores da permeabilidade relativa muito superiores a 1. O ferro macio tem uma permeabilidade relativa inicial (sem corrente na bobina) de 250, ou seja, os seus efeitos magnéticos são 250 vezes superiores ao do ar. Com o aumento da
intensidade de corrente, o seu valor aumenta e atinge o valor máximo de 6000 a 6500 (quando o material satura). Aumentando mais a intensidade de corrente, o seu valor diminui.
O permalloy (liga de ferro e níquel) tem um valor inicial de 6000 e máximo de 80 000. Vejamos agora algumas substâncias não magnéticas.
As substâncias paramagnéticas têm valores da permeabilidade relativa ligeiramente superiores a 1. Para o ar é de 1,000 000 37. Como se vê, é um valor muito próximo do correspondente ao vazio.
Para o alumínio é 1,000 02.
As substâncias diamagnéticas têm valores da permeabilidade relativa ligeiramente inferiores a 1. Para a água é 0,999 991 e para o cobre é 0,999 990.
2.6. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Um circuito magnético é basicamente um caminho de alta permeabilidade magnética, constituído com a finalidade de orientar o fluxo magnético.
Como em um circuito elétrico, pode ter uma ou mais malhas.
O fluxo magnético é produzido por correntes elétricas que circulam em bobinas montadas em torno das traves do circuito magnético. Eventualmente a magnetização do C.M. é feita por imãs permanentes, como por exemplo, nos alto-falantes.
Quando uma parte do circuito magnético processa movimentos em relação ao outro é preciso deixar um espaço vazio entre essas partes. Tal espaço é denominado entreferro. Por exemplo, motores, relés ...
Em análise aos circuitos magnéticos, consideramos:
1- Todo o fluxo magnético fica confinado no núcleo ferromagnético.
2- Em cada ramo do C.M. (trecho de C.M entre 2 nós, desde que seja um só material e de seção reta transversal uniforme), B, H, M são considerados constantes.
3- O comprimento de cada ramo como o comprimento medido no caminho médio do ramo. 4-
B
,H
,M
, normais a secção reta transversal a cada ponto do ramo.Exercício 01: Determine a corrente na bobina de 200 espiras para se ter: a) 0,60 T
b) 1,00 T no núcleo do campo magnético da figura. Nos dois casos determine a auto-indutância
O comprimento médio do circuito magnético (CM) vale:
as 4 1 5 1 28 cm = 0,28 m
A seção transversal das traves do CM vale:
2 4 2 as
S 2 4 8 cm = 8 10 m
O circuito magnético tem (1) malha, (0) nós e (1) ramo. A lei circuital de Ampere aplicada ao CM resulta:
H d i( )Como consideremos H constante em todo o ramo e d com direção paralela a linha
resulta:
H d HMas: i( ) N I Portanto: H N I
Na curva de magnetização de aço silício, para Bas = 0,60 T obtemos Has = ????
Curva de magnetização do aço silício, aço fundido e ferro fundido
Para Bas = 0,60 T, obtêm-se na curva de magnetização de aço silício Has = 100 A/m Logo: as as H N I H as as 100 0,28 I 0,14A N 200
O fluxo magnético através de uma seção qualquer do CM vale:
s s ˆ B n ds = B ds = B S Portanto: BasSas 0,60 8 10 4 4, 8 10 Wb4A auto-indutância da bobina vale: N 200 4, 8 10-4 -3 L 685,7 10 H I 0,14 L 685,7 mH
Na curva de magnetização de aço silício, para Bas = 1,00 T obtemos Has = ????
Curva de magnetização do aço silício, aço fundido e ferro fundido
Para Bas = 1,00 T, obtêm-se na curva de magnetização de aço silício Has = 200 A/m Logo:
H 200 0,28
I 0,28A
N 200
O fluxo magnético através de uma seção qualquer do CM vale:
B S = 1,00 8 10 4 8 10 Wb4
N 200 8 10-4 -3 L 571, 4 10 H I 0,28 L 571, 4 mH
Exercício 02: Repetir o exercício anterior quando um entreferro de 1 mm é aberto no Circuito Magnético
Sejam Has e Bas a intensidade e a indução no aço silício e Ho e Bo a intensidade e a indução no ar do entreferro:
H d
asH d
oH d H as as H o oO circuito magnético tem (1) malha, (0) nós e (2) ramos. Mas i( ) N I , logo:
as as o o
H H N I
O comprimento médio do circuito magnético no entreferro e no aço silício valem:
o 1mm 0,001 m
as 0,28 - 0,001 0,279 m
Como só existe uma malha, logo irá existir somente um fluxo:
BasSas BoSo
No entanto, ocorre um espalhamento do fluxo magnético no ar da região do entreferro, de forma que a área efetivamente atravessada pelas linhas do campo magnético, no entreferro, é maior que a área das sapatas do aço silício vizinhas ao entreferro.
Uma regra prática, válida quando se tem entreferros pequenos, consiste em se adicionar a cada dimensão linear da sapata de aço silício o comprimento do entreferro:
2 4 2 as S 2 4 8 cm = 8 10 m 2 4 2 o S 2,1 4,1 8,61 cm = 8,61 10 m
Na curva de magnetização de aço silício, para Bas = 0,60 T obtemos Has = ????
Curva de magnetização do aço silício, aço fundido e ferro fundido
Logo da expressão do fluxo temos: BasSas BoSo as o as o S B B S o 8 B 0,60 0,5574 8,61 [T] Como: o o o B H o o o B
H Onde:0 é a permeabilidade magnética no vácuo e vale:
7 0 Wb 4 10 A m Logo: o o 7 o B 0,5574 H 4 10 5 o H 4,4364 10 (A/m) Da equação: as as o o H H N I H H as as o o I N 0,60 0,279 4,4364 10 0,0015 I 200 I 2,219 A
O fluxo magnético através de uma seção qualquer do CM vale:
4 4 as as
B S 0,60 8 10 4, 8 10 Wb A auto-indutância da bobina vale:
N 200 4, 8 10-4 -3 L 43,26 10 H I 2,219 L 43,26 mH
Na curva de magnetização de aço silício, para Bas = 1,00 T obtemos Has = ????
Curva de magnetização do aço silício, aço fundido e ferro fundido
Para Bas = 1,00 T, obtêm-se na curva de magnetização de aço silício Has = 200 A/m Temos agora: BasSas BoSo o 8 B 1,00 0, 9291 8,61 [T] e o o 7 o B 0, 9291 H 4 10 5 o H 7,394 10 (A/m) Calculando a corrente: H H as as o o I N 1,00 0,279 7,394 10 0,0015 I 200 I 3,984 A
O fluxo magnético através de uma seção qualquer do CM vale:
4 4 as as
B S 1,00 8 10 8 10 Wb A auto-indutância da bobina vale:
N 200 8 10-4 -3 L 43,26 10 H I 3,984 L 43,26 mH
Comparação entre os resultados dos 2 exercícios:
Exercício 01) a) Bas = 0,60 T I =0,14 A L = 685,7 mH b) Bas = 1,00 T I =0,28 A L = 571,4 mH B 1,00 0,60100 66,7% 0,60 L 571,7 685,7685,7 100 16,7% I 0,28 0,14 100 100% 0,14 Exercício 02) a) Bas = 0,60 T I =2,219 A L = 43,26 mH b) Bas = 1,00 T I =3,984 A L = 571,4 mH B 1,00 0,60 100 66,7% 0,60 L XXXX 43,26 100 XXx% XXX I 3,984 2,219100 44,30% 3,984
Se o CM fosse linear, Quanto maior for mais não linear é o CM, comparando os resultados dos 2 exercícios concluímos que o entreferro tem a qualidade de linearizar o CM, então tal linearização não seja de 100%
Exercício 03:
a) Determine a corrente na bobina de 500 espiras quando a indução magnética do aço fundido é de 0,30 T;
b) Determine a auto-indutância da bobina de 500 espiras, na condição (a);
Uma 2ª bobina de 1000 espiras é enrolada em torno de uma das traves do circuito magnético; c) Determine a indutância mutua;
d) Determine a indutância própria da bobina de 1000 espiras na condição (a);
a)
O comprimento médio do circuito magnético no aço fundido e no aço silício valem:
af
8a
0,16m
as
17a
0,34m
A seção transversal das traves do CM do aço fundido e no aço silício vale:
2 2 2 2 4 2 af S 3a 2a 6a 6 2 10 24 cm = 24 10 m
2 2 2 2 4 2 as S 3a a 3a 3 2 10 12 cm = 12 10 mO circuito magnético tem (1) malha, (0) nós e (2) ramo. Como há apenas uma malha, só há um fluxo. Logo:
BasSas BafSaf
Dado no exercício que Baf 0,30 [T], obtemos então:
af as af as S B B S 4 as 24 10 4 B 0,30 0,6 12 10 [T]
Na curva de magnetização de aço silício, para Baf = 0,30 T obtemos Haf = ????
Na curva de magnetização de aço silício, para Bas = 0,60 T obtemos Has = ????
Para Bas = 0,60 T, obtêm-se na curva de magnetização de aço silício Has = 100 A/m
Sejam Has e Bas a intensidade e a indução no aço silício e Haf e Baf a intensidade e a indução no aço fundido: Calculando a corrente: as as af af H H N I H H as as af af I N 100 0,34 250 0,16 I 500 I 0,1480 A
b) O fluxo magnético através do núcleo do CM vale: BasSas BafSaf 4 4 as as B S 0,60 12 10 7,2 10 Wb O fluxo concatenado pela bobina de 500 espiras vale:
4
1 N1 500 7,2 10 0,36 Wb
O fluxo é produzido pela corrente I1, que é criado na bobina de N1 espiras. A indutância própria (auto-indutância) na bobina de N1 = 500 espiras vale:
1 1 1 0,36 L 2,4324 I 0,1480 H 1 L 2,4324 H
c) O fluxo concatenado pela bobina de N2 = 1000 espiras vale:
4
2 N2 1000 7,2 10 0,72 Wb
Este fluxo concatenado é produzido pela corrente I1. Então a indutância mutua vale: 2 1 0,72 M 4, 866 I 0,1480 H
d) Para calcular a indutância própria da bobina de N2 =1000 espiras precisamos fazer I1=0 e calcular a corrente da bobina de N2 espiras para se ter Baf = 0,30 T.
Temos que: Baf = 0,30 T Haf = 250 (A/m) Bas = 0,60 T Has = 100 (A/m) Se I1 =0 e I2 0 temos: as as af af 2 2 H H N I as as af af 2 2 H H I N 2 100 0,34 250 0,16 I 1000 2 I 0,074 A
O fluxo magnético é mesmo: BasSas BafSaf 4 4 as as B S 0,60 12 10 7,2 10 Wb O fluxo concatenado pela bobina de N2 = 1000 espiras vale:
4
2 N2 1000 7,2 10 0,72 Wb
2 é o fluxo produzido pela corrente I2 que circula na bobina de N2 espiras. A indutância própria na bobina de N2 = 1000 espiras vale:
2 2 2 0,72 L I 0,074 H 1 L 9,72 H
A indutância mutua pode ser calculada através desta equação também: 1 2 0,36 M 4, 866 I 0,074 H Exercício 04:
Determine a indução magnética no aço fundido quando a corrente na bobina de 500 espiras é de 200 mA.
O comprimento médio e seção transversal do circuito magnético do aço silício: as 5a a a 5a a a 5a 17a 2 2 2 2
as 17 2 10 2 34 10 2 0,34 m 2 as S a 3a 3a
2 2 4 2 as S 3 2 10 12 10 mO comprimento médio e seção transversal do circuito magnético do aço fundido:
af a a 5a a a 8a 2 2
af 8 2 10 2 16 10 2 0,16 m 2 af S 2a 3a 6a
2 2 4 2 af S 6 2 10 24 10 m Fluxo Bas Sas Baf Saf 4 4 as af B 12 10 B 24 10 as af B 2 B eq(I) Circuitação af af as as H H N I af as 0,16 H 0,34 H 500 0,2 af as 0,16 H 0,34 H 100 eq(II) GráficosCurva do aço silício eq(III) Curva do aço fundido eq(IV)
as af B 2 B eq(I) af as 0,16 H 0,34 H 100 eq(II) Baf Bas Haf F 0,16 H 0,34 H af as 0,3 0,6 250 100 74 0,4 0,8 300 150 99
