FAT Revisao AB1

(1)

LÓGICA APLICADA À COMPUTAÇÃO

Adaptação do material da profa. Ms. Jacqueline Felix da Silva

(2)

Lógica Formal – lida com verdadeiro ou falso.

Lógica Binária – trabalha no sistema de bivalência: 2 valores (0 e 1).

Observações iniciais

Proposição Predicados

Todos os aplicativos trabalham em cima de uma máquina baseada em circuitos lógicos. Sendo assim, são consideradas dois tipos de lógica:

1ª A nível de circuito digital –

um nível mais baixo irá fazer com que o circuito funcione. 2ª A nível de programação –

um nível mais alto fará com que o programa funcione.

(3)

Definição: É um conjunto de palavras ou símbolos

que exprimem um pensamento.

Sentença

Ex.: Maceió é capital de Alagoas.

3 + 4 < 7

Carlos Drummond de Andrade era alagoano

x – 2 = 1

(4)

Sentença Fechada ou Proposição – Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo (ALENCAR, 1999).

Tipos de Sentença

Ex.: Maceió é capital de Alagoas; O céu é verde; >

Toda frase que expressa um significado, um valor de juízo: V ou F.

Sentença Aberta – É uma sentença que imprime um pensamento inconclusivo.

Ex.: 3x + 2 > 11; Ela é eficiente.

x e y é brasileiro

No caso de x igual a Roberto Carlos e y igual a cantor, a proposição será verdadeira. Já no caso de x igual a Frank Sinatra e y igual a cantor, a proposição será falsa.

(5)

2) Princípio do Terceiro Excluído: Toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

A Lógica Matemática adota 2 princípios (ou axiomas)

fundamentais:

A Lógica Matemática adota 2 princípios (ou axiomas)

fundamentais:

Ex.: 3 + 8 = 11; O céu é verde; >

Por virtude deste princípio diz-se que a Lógica Matemática é uma lógica bivalente. Assim, as proposições são expressões a respeito das quais tem sentido dizer que são verdadeiras ou falsas.

1) Princípio da Não-Contradição: Uma proposição NÃO pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Ex.: Com essa bola é possível jogar tênis de mesa e tênis de quadra; Alan é Baiano e Pernambucano.

(6)

Valores lógicos das proposições

Definição – Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa.

Ex.: a) O mercúrio é mais pesado que a água. b) O Sol gira em torno da Terra.

O valor lógico da proposição (a) é verdadeiro (V), ou seja, V(a) = V

(7)

Proposições Simples e Compostas

Proposição Simples ou Atômica – Não contém nenhuma proposição como parte integrante de si mesma.

Ex.: p: Está nevando; q: Está frio.

Proposição Composta ou Molecular – É uma proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições simples.

Ex.: A: Está frio ou está nevando;

B: Carlos é careca e Pedro é estudante;

C: Se Carlos é careca, então é infeliz.

As proposições compostas são representadas por letras maiúsculas. Ex.: A, B, C, D, ... Também chamadas de letras proposicionais.

As proposições simples são representadas por letras minúsculas. Ex.: p, q, r, s, ... Chamadas letras proposicionais.

Para se formar as sentenças

compostas será necessário utilizar os CONECTIVOS LÓGICOS.

(8)

Verifique se as Sentenças abaixo são Simples ou Compostas

7 é um número par

Carlos é inteligente, então é organizado Maria é eficiente

João é baiano e Marcos torce pelo Flamengo.

p:

A:

q:

B:

Ana, vem tomar café! Essa é uma sentença imperativa, a ela não atribuímos valores, logo NÃO é uma proposição.

(9)

Conectivos Lógicos

Definição: Palavras que farão a conexão de uma frase com a outra.

Os Conectivos Lógicos podem ser: Disjunção, Conjunção, Negação, Condicional ou Bicondicional.

Obs.: As sentenças compostas sempre assumirão 2 proposições para cada sentença, que poderá ser V ou F.

Ex.: A: Está frio ou está nevando;

v

ou

F

v

ou

F

(10)

Conectivos Lógicos

Tipos de Conectivos Lógicos



_Conjunção



_Disjunção



_{Disjunção Exclusiva}



_Negação



_Condicional



_{Bicondicional}

Definição: São palavras que farão a

(11)

Operadores Lógicos

Tipos de Operadores Lógicos



_Conjunção



_Disjunção



_{Disjunção Exclusiva}



_Negação



_Condicional



_{Bicondicional}

Definição: São símbolos que farão a

(12)

Negação: NÃO; É FALSO QUE;

NÃO É VERDADE QUE

Negação: NÃO; É FALSO QUE;

NÃO É VERDADE QUE

Exemplo:

A:

O número 5 é ímpar e o número 14 não é um quadrado perfeito;

A:

p

^

~

q

A:

p

^

q

’

A:

p

^

¬

q

são representados por:

~ ’ ∏

p

: O número 5 é ímpar

(13)

Expressões em português associadas aos conectivos lógicos

CONECTIVOS LÓGICOS EXPRESSÕES EM PORTUGUÊS

CONJUNÇÃO E; MAS; TAMBÉM; ALÉM DISSO

DISJUNÇÃO OU

DISJUNÇÃO EXCLUSIVA OU... OU... NEGAÇÃO É FALSO QUE..NÃO

NÃO É VERDADE QUE...

CONDICIONAL Se A, então B A implica B A, logo B A somente se B B segue de A

A é uma condição suficiente para B B é uma condição necessária para A

(14)

Tabela – verdade de uma proposição composta

Dadas várias proposições simples p, q, r, ..., podemos combiná-las pelos conectivos lógicos: ~, , V, , ↔ e construir proposições compostas, tais

como:

^

A (p,q) = ~p V (p  q) B (p,q) = (p ↔ ~q) q

C (p,q,r) = (p  ~q V r) ~ (q V (p ↔ ~r))

^

_^

Então, com o emprego das tabelas-verdade das operações lógicas fundamentais:

~p, p q , p

_^

V q, p  q, p ↔ q

é possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposição composta dada; tabela-verdade esta que mostrará exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira(V) ou falsa(F), lembrando que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.

(15)

Prioridade dos Operadores

1º)

~

2º) e v

3º)

→

4º)

↔

^

P R IO R ID A D E

+

-

FO R Ç A D O O P E R A D O R

-+

X: ~a b→c ↔ d v

a

X

é?

NEGAÇÃO

CONJUNÇÃO

DISJUNÇÃO

CONDICIONAL

BICONDICIONAL

∧

(16)

Como montar uma tabela - verdade

Fórmula: 2n estabelece o número de linhas que possuirá cada uma das colunas

da Tabela Verdade(TV). Ex: Se n = 1 proposição (p) Então 21= 2 linhas p V F Ex: Se n = 2 proposições (p e q) Então 22= 4 linhas p q V V V F F V F F Ex: Se n = 3 proposição (p, q e r) Então 23_{= 8 linhas} p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Obs.: independente da quantidade de linhas de uma TV... Em

cada uma das colunas subsequentes, metade da coluna receberá valor verdadeiro e a outra metade receberá valor falso.

(17)

Operador Lógico – Negação (~)

O Operador do tipo NOT é utilizado quando se necessita estabelecer que uma determinada condição NÃO deve ser verdadeira ou NÃO deve ser falsa. Este operador se caracteriza por inverter o estado lógico de uma condição.

TABELA-VERDADE

p

~

p

V

F

(18)

Operador Lógico – Conjunção (∧)

Operador Lógico – Conjunção (

∧)

p

q

p

∧

q

V

F

V

F

TABELA - VERDADE

- O resultado só será verdadeiro, quando todos os valores lógicos forem verdadeiros.

- Se houver pelo menos um valor lógico falso, o resultado será falso.

(19)

Exercício

2) Determine o V(p), sabendo que: V(q) = V

V(p q) = F∧

1) Suponha que p e q são respectivamente V e F. Qual o valor lógico das fórmulas abaixo?

a) p q∧ b) p q∧ c) p q∧ ┐ ┐ ┐ ┐

(20)

Operador Lógico – Disjunção (V)

O resultado será verdadeiro, quando pelo menos um dos valores lógicos forem verdadeiros, ou seja, se TODOS os valores

forem falsos o resultado será falso. TABELA - VERDADE

p

q

p V

q

V

F

V

F

V

F

(21)

Exercício

2) Determine o V(p), sabendo que: V(q) = F

V(p V q) = F

1) Suponha que p e q são respectivamente V e F. Qual o valor lógico das fórmulas abaixo?

a) p V q b) p V q c) p ( p ∧ V q) ┐ ┐ ┐ ┐ ┐

(22)

Operador Lógico – Disjunção Exclusiva ( V )

O resultado será verdadeiro, quando os valores lógicos forem diferentes. TABELA - VERDADE

p

q

p V

q

V

F

V

F

V

F

V

F

(23)

Operador Lógico – Condicional (→)

O resultado só será falso, quando o Antecedente for verdadeiro e o Consequente for falso.

TABELA - VERDADE

p

q

p →

q

V

F

V

F

V

(24)

Operador Lógico – Bicondicional (↔)

TABELA - VERDADE p q A: p → q B: q → p A ∧ B

V

F

V

F

V

F

V

p↔q =

(p→q)

∧

(q→p)

Será verdadeiro quando o Antecedente condicional Consequente tiverem valores iguais. Ou quando (p→q) ∧ (q→p) tiverem valores lógicos verdadeiros.

(25)

Tabela - verdade

É um mecanismo usado para verificar o valor de uma sentença proposicional composta, sob o ponto de vista de todas as interpretações.

p q r A: p V q A → r V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V V F V F V F F F V F V F F F F V Interpretação – São as

situações sobre as quais

podemos analisar as sentenças.

Modelo – São as interpretações

(26)

Tautologia e Contradição

• Uma

tautologia

é uma proposição que é sempre

verdadeira independente dos valores-verdade das

afirmações que compõem a proposição.

• Uma

contradição

é uma proposição que é sempre falsa

independente dos valores-verdade das afirmações que

compõem a proposição.

• a lei de Aristóteles da não-contradição afirma que "Não

se pode dizer de algo que é e que não é no mesmo

sentido e, ao mesmo tempo."

(27)

• De acordo com essas definições, a verdade de

uma tautologia ou falsidade de uma contradição se

devem a estrutura lógica da proposição em si e são

independentes dos significados das afirmações

que compõem a proposição.

Tautologia e Contradição

(28)

Considere a tabela-verdade: p ~p p ↔ ~p

V F F F V F

Assinale a alternativa correspondente: a) Contradição e contingência.

b) Contingência. c) Tautologia. d) Tautologia e contradição. e) Contradição.

Tautologia e Contradição

(29)

Analisando as afirmações abaixo no contexto

do Cálculo Proposicional, tem-se que a

proposição

a) p → q ↔ p ^ q é uma tautologia.

b) p → q ↔ ~ p v q é uma tautologia.

c) p → q ↔ p v q é uma contradição.

d) p → q ↔ ~ p v q é uma contradição.

e) p → q ↔ ~ p ^ q é uma contradição.

Tautologia e Contradição

(30)

Qual das proposições abaixo é uma

Contradição?

a) Ser ou não ser, eis a questão.

b) Pai é pai.

c) Se eu ficar em casa, eu não irei à escola.

d) Pedro é paraibano e Pedro não é

paraibano.

e) Tudo que é demais é muito.

Tautologia e Contradição

(31)

• Mostre que a proposição p ¬

∨ p é uma tautologia e que a

proposição p ¬

∧ p é uma contradição.

• Se t é uma tautologia e c uma contradição mostre que

• p

∧ t ≡ p

• p

∧ c ≡ c

Tautologia e Contradição

(32)

Condicional

(33)

A



B

A

condicional

B

Se A,

então

B

A

implica

B

A,

logo

B

A

somente se

B

segue de

A

é uma condição suficiente

para B

B

é uma condição necessária

para A

Condicional

(34)

A

 B

A única possibilidade de uma sentença condicional

resultar em uma sentença falsa será quando partir de

uma verdade para uma falsidade, ou seja, quando

ocorrer “

V

 F

”



F.

Lê-se: V condicional F implica logicamente em uma Falsidade

Qualquer outra possibilidade resultará em verdade.

V

 V



V

F

 V



V

F

 F



V

Condicional

(35)

TAUTOLOGIA

Sentença que assume valor-verdade verdadeiro para todas as interpretações. p V (q V ~p)

p

q

~p

A

: q V

~p

p V

A

V

F

V

F

V

F

V

F

V

(36)

RELAÇÕES LÓGICAS

Divide-se em Implicação Lógica e

Equivalência Lógica

Representa-se Implicação Lógica como: A

 B

Lê-se: A

implica logicamente em B

Representa-se

Equivalência Lógica

como: A

 B

(37)

_{IMPLICAÇÃO LÓGICA :}

Ocorre quando

A

 B

é uma

Tautologia

Ou seja, A

 B, se e somente se A  B for uma tautologia

p q ~q ~p _A_{: p}_{ q} B: A ~q∧ _B _{ ~p} V V F F V F V V F V F F F V F V F V V F V F F V V V V V (p → q) ~q ∧  ~p

(38)

Bicondicional

A ↔ B

A

se, e somente se,

B

A

é condição necessária e suficiente

(39)

A

 B

No caso do bicondicional o resultado será verdadeiro quando o antecendente for equivalente ao consequente, ou seja, Se o antecedente for verdadeiro e o consequente for verdadeiro o resultado será verdadeiro “V  V”  V ou quando antecedente for falso e o consequente for falso o resultado será verdadeiro

“F  F”  V.

Lê-se: V bicondicional V equivale logicamente em uma Verdade F bicondicional F equivale logicamente em uma Verdade

Qualquer outra possibilidade resultará em uma falsidade. V  F  F

F  V  F

Bicondicional

(40)

_{EQUIVALÊNCIA LÓGICA :}

Ocorre quando

A

 B

é uma

Tautologia

Ou seja, A

 B, se e somente se A  B for uma tautologia

p q ~q A: p V q _B_{: ~q}_{ p} _A _{ B} V V F V V V V F V V V V F V F V V V F F V F F V (p V q)  ~q → p

(41)

Propriedades

(42)

Equivalências que envolvem a Condicional

(43)

Equivalências que envolvem a Condicional

(44)

EXERCÍCIO

[TJ-SE, 2014, CESPE] Julgue os próximos itens, considerando os conectivos lógicos usuais e

que P, Q e R representam proposições lógicas simples.

Sabendo-se que, para a construção da tabela verdade da proposição, a tabela mostrada abaixo normalmente se faz necessária, é correto afirmar que, a partir da tabela mostrada, a coluna correspondente à proposição conterá, de cima para baixo e na sequência, os seguintes elementos: V F F F V F F F. p q r (p V q) ↔ (q r)∧ V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

certo

ou

errado?

(45)

EXERCÍCIO

[Câmara Municipal RJ, 2014, Prefeitura RJ] Observe a tabela a seguir:

p

q

~q ↔ p

V

F

V

F

x

F

V

y

F

z

a) V, F e F

b) F, V e V

c) F, F e F

d) V, V e F

Os valores lógicos que devem substituir x, y e z são, respectivamente:

(46)

Exercício 1: Quais das frases a seguir são proposições?

a) A lua é feita de queijo verde.

b) Ele é certamente, um homem alto. c) Dois é um número primo.

d) .O jogo vai acabar logo? e) x2 – 4 = 0

Exercício 2: Dado os valores lógicos A verdadeiro, B falso e C verdadeiro, qual o valor lógico de cada uma das sentenças abaixo:

a) A ( B V C )∧ b) ( A B ) V C∧ c) ( A B )∧ ’ V C d) A’ V ( B’ C )’ ∧