2a Lista de Cálculo I

01. Explique com suas palavras o significado da equação

2

lim ( ) 5

x f x  . É possível, diante da equação anterior, que f(2)3? Explique.

02. Explique o significado para você dizer que

1 lim ( ) 3 x f x    e 1 lim ( ) 7 x f x   

Nessa situação é possível que 1 lim ( )

x f x exista? Explique.

03. Explique o significado de cada uma das notações a seguir, (a) 3 lim ( ) x f x   (b) 4 lim ( ) x f x    

04. Para a função h cujo gráfico é dado, determine o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê.

(a) 3 lim ( ) xh x (b) xlim 3 h x( ) (c) lim ( )x3h x (d) h( 3) (e) 0 lim ( ) xh x (f) xlim ( )3h x (g) lim ( )x0h x (h) (0)h (i) 2 lim ( ) x h x (j) h(2) (k)xlim ( )5h x (l) lim ( )x5h x

05. Para a função gcujo gráfico é dado, determine o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê.

(a) 0 lim ( ) x g t   (b) 0 lim ( ) x g t   (c) 0 lim ( ) x g t  (d) 2 lim ( ) x g t   (e) 2 lim ( ) x g t (f) 2 lim ( ) x g t  (g) g(2) (h) lim ( )x4g t

06. Para a função f Cujo gráfico é mostrado a seguir, determine. (a) 7 lim ( ) x f x (b) xlim3 f x( ) (c) lim ( )x0 f x (d) 6 lim ( ) x f x   (e) 6 lim ( ) x f x  

(f) As equações das assíntotas verticais.

07 5 6 lim 5 x x 25





2 1 2 lim 1 x x x    27. ₂





2 2 1 lim 2 x x x x    

08. (a) Encontre as assíntotas verticais da função

2 2 x y x x   

(b) Confirme sua resposta na parte (a) fazendo o gráfico da função. 09. Dado que 0 lim ( ) 3 x f x   ,lim ( )x0g x 0 e 0 lim ( ) 8

x h x  , encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.

(a)





0 lim ( ) ( ) x f x h x (b) 2 0 lim[ ( )] x f x (c) 1 3 0 lim[ ( )] x h x (d) 0 1 lim ( ) x _{f x}

(e) 0 ( ) lim ( ) x f x h x  (f) 0 ( ) lim ( ) x g x f x  (g) 0 ( ) lim ( ) x g x f x  (h) 0 2 ( ) lim ( ) ( ) x f x h x f x  

10. Os gráficos de f e g são dados. Use-se para calcular cada limite. Caso não exista o limite, explique por quê. (a)





2 lim ( ) ( ) x f x g x (b)limx1



f x( )g x( )



(c)





0 lim ( ) ( ) x f x g x (d) 1 ( ) lim ( ) x f x g x  (e) 3 2 lim ( ) x x f x  (f) lim 3x1  f x( ) 11. Calcule 2 3 3 lim( 4)( 5 2) x x  x  x 12. Calcule 3 2 4 1 1 3 lim 1 4 3 x x x x      _{ }   

13. (a) O que há de errado com a equação a seguir? 2 6 3 2 x x x x     

(b) Em vista de (a), explique por que a equação





2 2 2 6 lim lim 3 2 x x x x x x     _{ }  está correta.

14. Calcule o limite, se existir: (a) 2 2 4 5 4 lim 3 4 x x x x x      (b) 2 2 6 lim 2 x x x x     (c) 2 2 1 4 lim 3 4 x x x x x     (d) 9 9 lim 3 t t t    (e) 0 1 1 lim h h h    (f) 2 2 3 lim 7 x x x     (g) 4 1 1 4 lim 4 x x x    (h) 2 9 81 lim 3 x x x    (i) 2 1 lim 1 x x x x    (j) 2 2 lim 2 x x x   

15. Se 1 f x( )x22x2 para todo x , encontre 1 lim ( ). x f x 16. Prove que 4 0 2 lim cos 0 x x _x 

17. A função sinal, denotada por sgn, está definida por

1 se 0 sgn( ) 0 se 0 1 se 0 x x x x     _   _ 

(a) Esboce o gráfico dessa função.

(b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites que se seguem.

(i) 0 lim sgn x x   (ii) 0 lim sgn x x   (iii) 0 lim sgn x x  (iv) 0 lim sgn x x  18. Seja 2 4 se 2 ( ) 1 se 2 x x f x x x         . (a) Encontre 2 lim ( ) x f x e xlim2 f x( ) (b) Existe 2 lim ( ) x f x ? (c) Esboce o gráfico de f .

19. Mostre por meio de um exemplo que

0

lim[ ( ) ( )]

x f x g x pode existir mesmo que nem lim ( )x0 f x nem

0 lim ( )

20. Mostre por meio de um exemplo que 0

lim[ ( ) ( )] x f x g x pode existir mesmo que nem

0 lim ( ) x f x nem lim ( )x0g x existam. 21. Calcule 2 6 2 lim 3 1 x x x     

22. (a) Do gráfico de f , estabeleça os números nos quais f é descontínua e explique por quê.

(b) Para cada um dos números estabelecidos na parte (a) determine se f é continua à direita ou à esquerda, ou nenhuma delas.

23. Do gráfico de g, estabeleça os intervalos nos quais g

é contínua

24. Esboce o gráfico de uma função que seja contínua em toda a parte, exceto emx3e continua à esquerda em 3. 25. Esboce o gráfico de uma função que tenha um salto de descontinuidade em x2e uma descontinuidade removível em x4, mas é contínua no restante de seu domínio.

26. Use a definição de continuidade e propriedades de limitespara mostrar que a função é contínua no ponto ou intervalo dado: (a) f x( )x2 7x, a4 (b) ( ) 2 3 2 x f x x    , (2, ) (c) g x( )2 3x, (,3]

27. Explique por que a função é descontínua no ponto dado e em seguida esboce seu gráfico.

(a) 1 , se 1 ( ) 1 em 1 2 , se 1 x f x x p x  _      _  . (b) 2 e , se 0 ( ) em 0 , se 0 x x f x p x x    _    (c) 2 2 ( ) 1 em 1 1 x x f x x p       

28. Explique utilizando os Teoremas estudados em sala de aula, por que a função é contínua em todo número de seu domínio. Estabeleça seu domínio

(a) 2 ( ) 2 1 R x x  x (b) ( ) 1 senx h x x   (c) F x( )sen1(x21) (d) G t( )ln(t4 1) 29. Use continuidade para calcular o limite

(a) 4 5 lim 1 x x x e  

 (b) limxsen x( senx) 29. Mostre que 2 , se 1 ( ) se 2 x x f x x x        é contínua em .

30. Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f.

2, se 0 ( ) , se 0 1 2 - , se 1 x x x f x e x x x     _    _ 

31. Quais as seguintes funções f têm uma

descontinuidade removível em a? Se a descontinuidade for removível, encontre uma função g que é igual a f

para xa e é continua em . (a) 2 2 8 ( ) 2 x x f x x     , a 2 (b) ( ) 7 7 x f x x    , a7 (c) 3 64 ( ) 4 x f x x    , a 4 (d) ( ) 3 9 x f x x    , a9

32.Suponha que uma função f seja contínua em [0,1], exceto em 0,25, e que f(0) 1 e f(1)3 . SejaN 2. Esboce dois gráfico possíveis de f , um indicandor que

f pode não satisfazer a conclusão do Teorema do Valor Intermediário e outro mostrando que f pode satisfazer a mesma conclusão. (Mesmo que não satisfaça as

hipóteses.)

33. Se f x( )x3x2x, mostre que existe um numero c tal que f c( ) 10 .

34. Use o teorema do valor intermediário para provar que existe um numero c positivo tal que seu quadrado é igual a 2

2

c  . (Isso prova a existência do número 2 )

35. Use o teorema do valor intermediário para provar que existe uma raiz da equaçãocos xxno intervalo (1, 2). 36. (a) Mostre que a função valor absoluto F x( ) x é continua em toda a parte.

(b) Prove que se f for uma função continua em um intervalo, então f também é.

(c) A recíproca da afirmativa da parte (b) também é verdadeiro? Em outras palavras, se f for continua, segue que f também é? Se for assim, prove isso. Caso contrário, encontre um contraexemplo.

37. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da

montanha. Chegando lá às 7 horas d noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério ás 7 horas da noite. Use o teorema do valor intermediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.

38. Explique com suas palavras o significado de cada um dos itens que se seguem.

5 ) ( lim    f x x (b) limx f(x)3

39. (a) O gráfico de y f x( ) pode interceptar uma assíntota vertical? E uma assíntota horizontal? Ilustre com gráficos.

(b) Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico de y f x( )? Ilustre com um gráfico as possibilidades. 40. Para a função g, cujos gráficos é dado, determine o que se pede. (a) limg(x) x (b) xlimg(x) (c) lim ( ) 3g x x (d) limx0g(x) (e) lim ( ) 2 x g x 

(f) As equações das assíntotas.

41-42. Esboce os gráficos de um exemplo de uma função

f que satisfaça a todas as condições dadas. 41. lim ( ) , 2   f x x limx f(x), xlim f(x)0, , ) ( lim 0    f x x 0 e lim ( ) . x f x     42. f(0)3, 0 lim ( ) 4, x f x    0 lim ( ) 2, x f x    lim ( ) , x f x   4 lim ( ) , x f x     4 lim ( ) , x f x     e lim ( ) 3. x f x 

43-44. Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites.

43. 8 5 2 4 3 lim ₂ 2       _{x x} x x x 44. 2 3 3 3 4 1 2 5 12 lim x x x x x       45-52. Encontre o limite. 45. 3 2 1 lim    _x x 46. 7 2 1 lim ₂ 2      _x x x x 47. 1 9 2 lim 2 2       x x x 48. ₁ 9 lim ₃ 6     _x x x x 49. 1 9 lim ₃ 6     _x x x x 50. xlim



9x x 3x



2     51.



x x x



xlim 2 2    52. tan π 2 lim x x e     _{ }

53-42. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.

53. 4 x y x   54. 3 2 3 10 x y x x    55. 4 4 1 ) (   x x x h 56. 2 3 4 9 ) ( 2    x x x x F

57. Encontre uma fórmula para a função f que satisfaça as seguintes condições: , ) ( lim , ) ( lim , 0 ) 2 ( , ) ( lim , 0 ) ( lim 3 3 0           _     x f x f f x f x f x x x x

58. Encontre uma fórmula para uma função que tenha por assíntotas verticais x1 e x3, e por assíntota horizontal y1.

59. Encontre os limites quando x  e quando x 

de y x2(x2)(1x). Use essa informação , bem como os interceptos, para fazer um esboço do gráfico.

60. Calcule (a) 0 tg lim x x x  (b) sen lim x x x     (c) 0 tg 3 lim sen 5 x x x  (d) 2 0 3 lim tg sen x x x x  (e) 0 1 cos lim x x x   (f) 2 1 sen lim 2 x x x      (g) 0 1 lim sen x x _x (h) 2 2 sen( ) lim x p x p x p    (i) 2 0 1 1 sen( ) sen lim x x x x x    (j) lim 1 2 x x _x  _      (k) 2 1 lim 1 x x _x    _      (l) 1 2 lim 1 x x _x    _      (m) 2 lim 1 x x x x      _    (n)





0 lim 1 2 x x  x (o)





1 0 lim 1 2 x x  x (p) 0 1 lim , 1 x x a a x    (q) 2 0 1 lim x x e x   (r) 2 0 1 lim x x e x   (s) ₂ 0 3 1 lim x x  x 