Publicações do PESC Grafos de Intervalo: Caracterizações, Problemas e Algoritmos

GRAFOS DE INTERVALO:

~ á b i o

Protti

Aprovada por:

L-*

V

/y&&@&LV-

Sheila Regina Murgyl Veloso,D.Sc.

(Presidente)

V

Celina Herrera de Figueired0,D.S~.

Oscar Porto

,D.

Sc.

Rio de Janeiro, RJ

-

Brasil

Abril de 1993

P R O m

, FaBI

0

G r a f os de I n t e r val a: Caracter i zaçses

,

Pr obl e m a s e A1 gori t . m o s [ R i o d e J a n e i r o 1 1993

xi

,

208 p.

,

2E3,7 csm C COPPE/UERJ,

. .

Enyenhari a de Si stemãs e C o r n p u t a g Z a

,

19Q33

Tese

-

Uni versidade Federal do R i a d e Janeiro, ÇCIPPE 1. G r a f o s 2. N . g o r i L m c s

A m e u s p a i s , c o m carinho

Agradecimentos

Ao P r o f . Jayme L u i z S z w a r c f i t e r , p e l a s u a compet&ncia e m o r i e n t a r -me no d i s c e r n i mento d a q u i 1 o que e r a r e a l mente r e P e v a n t e na c o n f e c ç ã o b e s t a d i s s e r t a ç ã o .

A

Prof.

C e l i n a H. de F i g u e i r e d o , p e l a s s u a s i m p o r t a n t e s o b s e r v a ç B e s e p e l o e n c o r a j a m e n t u q u e m e deu na p a r t e f i n a l do t r a b a l h o .

A Prof

.

S h e i l a Regi na Mur g e l V e l o s o , p e l a c o n s t a n t e atenli;ão a m i m d i s p e n s a d a d e s d e meu i n g r e s s o como a l u n o na

GQPPE.

A s

s e c r e t á r i a s da Programa d e S i s t e m a s , pelo seu t r a b a l h o sempre e f i c i e n t e e p e l a "quebra d o s g a l h o s " n a s minhas n e c e s s i d a d e s .

Ao

CNPq

e à FWERJ, p e l o a p o i o f i n a n c e i r o concedido.

Aos meus p a i s , f a m i l i a r e s e amigos. q u e embora não tenham c o l a b o r a d o diretamenke na c o n f e c ç ã o d e s t e t r a b a l h o , f i z e r a m m a i s 80 q u e i s s o .

Resumo d a T e s e a p r n s e n k a d a

A

COPPEAFRJ como p a r t e d a s r e q u i s i t o s n a c e s s & r i o s p a r a a o b t e n ç ã o d o g r a u d e M e s t r e e m C i & n c i a s C M. Sc. 3 Gr a f o s d e I n t e r v a l o : C a r a c t e r i n a ç 6 e s , P r o b l emas e A 1 g o r i %mos F á b i o P r a t t i O r i e n t a d o r : Prclf

.

Jayme Ltriz S z w a r c f i t e r , Ph.

D.

Programa: E n g e n h a r i a d e Si s t e m a s e Comptrtar$Xo O e s t u d o d o s g r a f o s p e r f e i t o s , g r a f o s c u j o s s u b g r a f o s i n d u z i d o s possum número cromCrtica e tamanho d e d i q u e m&xima i g u a i s , n e c e s s a r i arnente d e v e i n c l u i r e s t u d o s s o b r e mui t a s subçl. a s s e s i mpor t a n t e s : g r a f o s d e compar a b i l i d a d e , g r a f s s Lr i a n g d ar i r a d o s

,

g r a f o s d e permutação, " t h r e s h o l d g r a p h s " e g r a f o s d e i n t e r v a l o , p a r a c i

t

a r a p e n a s a1 gumas

.

O o b j e t i v o d e s t a d i ç ç e r t a c $ i o & f a z e r uma r e s e n h a , tão

c o m p l e t a q u a n t o possd v e l

,

d e uma d e s t a s s u b c l á s s e s

,

o s chamados g r a f os d e i n t e r v a l o , g r a f o s isornorf o s a um c o n j u n t o d e i n t e r v a i os. E s t e t r a b a l h o se d i v i d e e s s e n c i a 1 m e n t e e m t r & s p a r t e s . A p r i m e i r a p a r t e se d e d i c a a co3.et.ar a s c a r a c t e r i a a g 8 e s m a i s i m p o r t a n t e s e d t e i s C de um p o n t o d e v i s t a a l g o r í t m i c o 3 d o s g r a f o s d e i n t s r v a l o C Capí t u 1 o 2 3 e d o s g r a f os d e i n d i f e r e n ç a C Capi t u 1 o 3 3 , uma c o n h e c i d a s u b c l a s s e d o s g r a f a s d e i n t e r v a l o na. q u a l o s g r a f o s podem ser r e p r e s e n L a d o s por modelos onde t o d o s o s i n t e r v a l o s t B m

o mesmo comprimento.

A segunda p a r t e t r a t a de problemas em t e o r i a dos grafos r e s t r i t o s ao caso dos grafos d e i n t e r v a l o : Reconhecimento e Isomorfismo C Capí t u 1 o 4 3

,

Con j unto Independente Máxi mo, Cobertura Mínima por

Cl i ques

,

Colar ação bii

ni

ma, Caminho H a m i 1 t o n i ano, C i r cui t o HamE 1 toni ano, Conjunto Dominante Minimo, e n t r e outros C Capítulo 5 3 . 0 s algoritmos propostos para a solução d e s t e s e d e outros problemas, como & l b g i c o , fazem 1 argo uso das c a r a c t e r i z a ç õ e s previamente d e s c r i tas e d e propriedades matemAticas a f i n s s a k i s f ei t a s pela e s t r u t u r a dos graf os de i n t e r v a l o . EsLas ç a r a c t e r i zaçBes e progri edades permi tem-nos reduzi r a complexidade d e tempo requerido. para a s o l u ~ ã o d e problemas que, para graf'os em g e r a l , exigem complexidades maiores

-

muitos d e l e s NP-compl d o s .

F i na1 menke, a t e r c e i r a p a r t e contem alguns topicos r e l a ç i onados com o estudo dos graf os p e r f e i t o s : o nfxmero de i nler val o , o "i n t e r v a l count"

,

h i pergraf os d e i n t e r v a l o , graf os de i ntersecção e

I n t e r v a l G r aphs : Char a c t e r i z a t i o n s

,

P r o b l e m s and iP*F gor i thms

FAbio P r o t t i

Thesi s Super v i s o r : Jayrne Lui z Szwar c f i t e r Department: Computer Sysk.ems E n g i n e e r i n g

The s t u d y of i n t e r v a l g r a p h s g r a p h s whose indrsced s u b g r a p h s have chrornatic number e q u a l t o t h e s i z e of a mximum d i q u e , i n c i u d e s n e c e s s a r i l y ç t u d i e ç on many i m p o r t a n t s u b c l a s s o s of them : comparabi i l t y g r a p h ç

,

t r i angwl a t e d g r a p h s

,

p e r m u t a t i on g r a p h s , t h r e s h o l d g r a p h ç , and i n t e r v a l g r a p h ç , t o name j u s t a f e w . The p u r p o s e of t h i ç d i s s e r t a t í s n i s t o p r e s e n t a s u r v e y , as comp1et.e as p o s s i b l e , on a n e of t h e s e classesl t h e so c a l l e d i n t e r v a l g r a p h s , g r a p h s t h a t a r e i s o m o r p h i c t o a set of i n t e r v a l s . T h i s work i s e s s e n t i a l l y d i v i d e d i n t h r e e p a r t s . The f i r s t i s d e v o t e d ts c u l l e c t i n g t h e m c l s t i m p o r t a n t and u s e f u l

C

from a n a l g o r i t h m i c p o i n t of view 3 e h a r a c t e r i z a t i a n s of i r r t e r v a l g r a p h s

C Chapter 2 3 and i n d i f f e r e n c e g r a p h s C Chapter 3 4 , a well-known subclass úf i n t e r v a l g r a p h s i n wki9ci-1 graphs c a n be r e p r e s e n t e d by m o d e k ç where a11 Lhe i n t e r v a l s have t h e s a m e l e n g t h .

The seçond p a r t d e a l t h s w i t h prubiams i n g r a p h t h e o r y vi i

r e s t r i c t e d t o Lhe case o f i n t e r v a l g r a p h s : Recogni t i o n a n d Isomcirphism C C h a p t e r 4 3

,

Maxi mum I ndependent. Set

,

M i n i mum C1 i q u e Cover

,

Ui n i mum Col orP ng, H a r n l l t o n l a n P a t h , H a m i l t o n i a n C i r c u i

t

,

M n i mum h m i n a t i ng

Sek, and a t h e r s C C h a p t e r 5 9 . Tke a l g o r i t h m s t h a t h a v e been prrsposed f o r Lhe s o l u c k i o n of t h e s e and o t h e r p r o b l e m s , of ccuurse, m a k e heavy u s e of e c h a r a c t e r i z a t i o n s p r e v i o u s l y describwd and r e l a t e d m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s satisf i e d by I h e s t r u c t u r e of i n t e r v a l g r a p h s . These c h a r a c t e r i z a t i o n s and p r o p e r t i e s a l l o w r r s L0 r e d u c e t h e t i m e c o m p l e x i t y r e q u i r e d t o s o l v e p r a b l e m s t h a t f o r g r a p h s i n g e n e r a l r e q u i r e l a r g e r t i m e c o m p l e x i t i e s

-

m n y of them NP-complete. F i n a l l y , t h e t h í r d p a r t i n c l t r d e ç s o m e t o p i ç s r e l a t a d t o t h e s t u d y of S n t e r v a l g r a p h s : Lhe "i rrLerva1 number 'L k h e "i n k e r v a l ccmnt-*' %

i n t e r v a l hyper gr a p h s

,

i n t e r s e c k i on gr a p h s

,

and i n t e r v a l d i g r a p h s .

CAPf

TULO

1

.

DEFINI

GWS

.

APLI CAÇmS: DE GRAFaS DE I N T E R V L O..

. . .

5

. . .

1

.

i

.

Conjuntos. R e l a ç õ e s B i n d r i as 9 1.2. O C o n c e i t o d e G r a f o

. . . * . . .

.

6 1.3. G r a f o não D i r e c i o n a d o . G r a f o O r i e n t a d o . QrienLaçXo. Caminhos. C i c l o s

...

8 - 1 :

4.

Graf

o

Tr

i

anqul.i.ri

zado.

Graf

rz

de

1

nter

m.1

c.

,

U c l

u

YL

I n t e r v a l o

. . . v . . .

11 1.5. A i gumas Apl i rfaçães d o s Graf os d e 1 n t e r v a l o

. . .

1 4

. . .

1 . 5 . 1 . P s i c o l o g i a 1 4 1.5.2. A s s o c i a ç ã o de Freqülancias d e RQdi o

. . .

15

. . .

1.5.3. Sincronizaçâfo d e S i n a i s de T r & n s i t a 1 6

. . .

1 . 5 . 4 . E c o l o g i a 1 8

. . .

1 . 5 . 5 . Quimica 17

. . .

1

.

S. 6. O t i m i zaqãci de A r mazenament-o e m M e m r j r i a 18

. . .

1.5.7". A r q u e o l o g i a 18

. . .

1.5. 8

.

&n$t.i c a 19

. . .

C W f TULO 2

.

CmACTERI S A Ç m S W S G R M Q S

DE

I

PSTERVLO E1 2.1. T r i p l a s A s k e r o i d a i s e Subyraf o s P r o i b i d o s

. . .

21

'21.2. Co-comparabi 1 i dade a Ordenação d a s C1 i ques Maxi m a i s

. . .

39

. . .

2 . 3 Ordens d e I n t e r v a l o 47

2 . 4 O r d e n a q X o para C o l o r a ç ã o

. . .

51

2.5. C i r c u i t o s

. . .

53

CAPÍ

TULQ 3

.

GRAFOS DE I WDI

FERENÇA

. . .

56

3

.

L

.

F r e f er & n c i a e I n d i f er ença

.

S;@ml -ar dens

. . .

56

3.2. V & r t i c e s E x t r e m o s . G r a f os de I n d i i ' e r e n ç a E s t r u t u r a d o s

.

64 3 . 3 . G r a f o s d e I n t e r v a l o U n i t á r i o e d e I n t e r v a l o P r d p r i o

. . .

T G 3 . 4 . C a r a c t e r i zação por G r a f os d e G c i m p a r a b i 1 i d a d e L o c a l

. . . .

78

. . .

G P P f TUEQ 4

.

RECONHEGIMENTQ E ISOMQRFI SMO 82 4.1. I n t r o d u ç ã o

. . .

R 2

. . . .

4 . 2 . A l g o r i t m o d e R e c c m h e c i m e n t o de G r a f o s de I n L e r v a l o E33 4.2.1. P Q - a r v o r e s

. . .

63 4.2.2. R e d u ç ã o de P Q - á r v o r e s

. . .

@O

. . .

4

.

E.. 3

.

I m p l e r n e n t a g ã o d o &l qori t m o d e R e d u ~ ã o 97 4 . 2 . 4 . A p l i caç3o do

Al

gor i t m o d e Redu+za aos G r af os de I n t e r v a l o

. . .

3 5 4.3.

Algoritmo para Verificar Isomorfismo

e n t r e

Grafos

d e I n t e r v a l o

. . .

109

CAPf

TULO

5

.

O S GRAFQS DE INnERVALO COMO GRAFOS P E R F E I T O S

.

A L G W S A L ~ R I

mas

EM GRMOS: DE INTERVALO

. . .

1

a4

5.1. I n t r o d u ç ã o

. . .

i 2 4 5.2. G r a f o s P e r f e i t o s

. . .

124

. . .

5.3.1

.

C o n j u n t o E s k d v e l Mxl m o 135 5.3.2. C o b e r t u r a Mfnima por Clíques M a x i m a i s

. . .

2.37

5.3.3. C a l oração

Mi

n i m a . C1 i q u e M A x i m a

. . .

139

. . .

5.3.4. GaminhoNCircuito H a m i l t o n i a n o 1 4 4

. . .

5.3. 5

.

C o n j u n t o i3ominant.e Mínima 157

. . .

5.3.6. O u t r o s Aigoirit, mos 160

CAPfTULO E3

.

T6PICOS VARIADOS

. . .

183

. . .

6.1. O N C i r n e r o d e I n t e r v a l o -163

. . .

6.8. O I 1 I n t e r v â 1 Count" 1 7 Q

. . .

6.3. H i p e r g r a f l a s d e I n t e r v a l o l @ 3 6 . 4 . Os G r a f o s d e I n t e r v a l o como G r a f o ç d e I n t e r s e c ç Z o

. . .

I 9 1

. . .

5

.

D i g r a f o s d e I n t e r v a l o

I a 5

. . .

BIBLIOGRAFIA 201

Claude Berge, no i n i c i o d a drScada d e â0, d e f i n i u a c l a s s e d o s

"gr a f o s per f ei t o s "

,

g r a f o s c u j o s s u b g r a f o s i nduzi d o s t ê m nbmero c r o m á t i c o e tamanho d e c l i q u e m%xima i g u a i s . Ap&s s e u s u r g i r n e n t o , se m u l t i p l i c a r a m o s t r a b a l h o s s o b r e eles, e h o j e se conhece m u i t a s classes

e s u b - c l a s s e s de g r a f o s i n c l u í d a s na d o s p e r f e i t o s , t a i s corno o s d e compar a b i 1 i d a d a , o s t r i angul ar i zadoi;

,

s d e p e r mutaçXrs e OS d e i n t e r v d o .

Uma l i n h a d e p e s q u i s a no e s t u d o d o s g r a f os p e r f e i t o s L e m s i d o

ai d e prczcurar p r o p r i e d a d e s m a t e d t i c a s e a1 g o r í t m i c a s d e t a i s c 1 asses,

r e s u l t a n d o d a í exLensa l i ter a t u r a . A s p e s q u i s a s não r a r o s30 motivadas p e l a s u a a p l i c a b i 1 i dade e m p r o b l e m a s r eai s: si n c r o n i zaçQZa d e p r ociessas p a r a 1 el o s , oti m i z a ~ ã o d e eçpaqo d e memdri a , s e q a e n c i amento de t a r e f a s , " s o r t i n g ' b anA1ise d e e s t r u k u r a s g e n & t i c a s , p a r a c i t a r a l g u n s .

Uma praocupaçSo c o n s t a n t e n a s inves'tiga@õças & a d e r e d u z i r a

complexidade d e c e r t o s problemas, p o i s a l g u n s d d e s

-

NP-completrns no

c a s o g e r a l

-

tornam-se t r a t d v e i s quando r e s t r i t a s a o s g r a f o s p e r f e i t o s ou a algumas d e suas ~ u b - ~ l a s s e s . O C & ~ C U ~ Q do nt3mfvr0 c r o m A t i c ~ , p. ex.

,

pode ser f e i t o e m tempo p o l i n o m i a l p a r a g r a f o s p e r f eitcrs ; o problema d e e n c o n t r a r u m c i cl o hamil tona a n o , embora per maneça NP-conipl e t o r e s t r i t o aos g r a f o s p e r f e i t o s , pode ser r e s o l v i d o e m tempo p o l i n o m i a l p a r a o s g r a f o s d e i n t e r v a l o .

N e s t a d i s s e r t a ç ã o trataremos d e uma d e s s a s sub-c1 asses d a s g r a f o s p e r f e i t o s , o s GRkFQS DE

INTERVALO.

Hajkis e s t u d o u - o s p e l a p r i m e i r a vez e m 10E37, c o n s i d e r a n d o o problema d e , dado um g r a f o , s a b e r se

O

possi*gel associar a cada v&ltice um i n h r v a l o s o b r e uma r e t a de

modo q u e d o i s v i e r t i c e s estso c o n e c t a d o s por a r e s t a se e somente se os

c a r r e s p o n d e n k e s i n t e r v a l o s a s s o c i a d o s se i n t e r c e p t a m . O s g r a f o s d e i n t e r v a l o e s t ã o , a s s i m , i n s e r i d o s no c o n t e x b o m a i s g e r a l doi; g r a f o s d e

i ntsrsecc$o, c o n s t i t u i nda-se num d e n t r e o s exempl oç m a i s c1 A s ç i cos

d e s t e ampl o par a d i gma.

M a i s t a r d e , Gilmore e Hoffman mostraram q u e os g r a f o s d e i n t e r v a l o s ã o o s g r a f o s t r i a n g u l a r i z a d o s cu j o s campl ementos são g r a f o s d e c o m p a r a b i l i d a d e , o que & erma caracterisíac$b b a s t a n t e f o r t a a que p r o p o r c i o n o u a d e s c o b e r t a d e mui t a s g r opr i e d a d e s i ntmr e s s a n t e s

,

L a l como a '"propriedade dos 1

'

s c o n s e c u t i vos p a r a c a l unas", p r o v e n i e n t e d e uma formulação mcitricial dos r e s u l t a d o s d e G i l m a r e e Hoffman. OrItro f r u t o Q um a l g o r i t m o l i n e a r de reconhecimento d e g r a f o s d e i n t e r v a l o por Booth e Lueker

.

r par t e dos problemas c1 Qssi cos conheci d o s e m os podem ser r e s o l v i d o s e m tempo polinapni a1 p a r a g r a f o s d e i n t e r v a l o , t a i s como

CONJUNTO

ESTAVEL

W I M O , CLIQUE

I

Mi-IMERO IC=ROM%TX&O cca CI RCWI TO H

M

LTBNI AMO, e n t r e o u t r o s . bil guns a i nda e s t ã o a p a r enkemente e m a b e r t o , como

CORTE

PONTSERjnJ3aO

DE

I?LRESAS W I M O e TNICTICE CROmTICB.

NCio se conhece nenhum problema NP-completo p a r a g r a f o s d e i n b e r v a l o ;

reçka uma p o s s i b i l i d a d e p a r a o s d d s ii4timos c i t a d o s , embora p a r e ç a m a i s provAve1 que eles tamb&m nCio a s e j a m .

O o b j e t i v o d e s t a d i s s e r t a $ X o 9 procurar c o l e t a r e organizar o materi a1 e x i s t e n t e sobre os graf os d e i nterlral o , c1 a s s i f i cando-o de ,reaneira a f a c i l i t a r a c o n s u l b sobre o tema. Houve u m e s f o r ç o de

s i s t e m a t i zação s uniformização d e d i f e r o n t e s notações, especi a1 mtanto no tocante A f ormulaçSo das c a r a c t e r i r a ç 8 e s e sua conseqiiente apl icaçsjlo nos a l g o r i tmos que d e l a s s e servem. Quando julgamos oportuno para uma mai or c1 areza e f l uênci a da e x p o s i ~ Z o , fornecemos demonstraçE5es a l t e r n a t i vas das r e s u l tados e comentár i os que pr ocrxrassem r el a c i onar e s t e s diversos r e s u l t a d o s com a s i d b i a s geom&tricas subjacentes ca as propostas a1 gorS tmicas f d u r a s . Procuramos tamka&m r e l a c i o n a r os pr ubl emas c r i nda abertos na medi da do possi vel

,

subsi di os par a u m i nf c i o de i n v e s t i gac$3o dos mesmos.

E s t e t r a b a l h o s e encontra assim e s t r u t u r a d o : no primeiro c a p í t u l o tratamos das d e f i n i ç õ e s que serão u t i l i z a d a s ao longo da

oxposí Ç ~ Q ; f o r neçemos tambem uma i ntroduçSo aos graf os de i n t e r v a l o , def i n i ndo-os e descrevendo al gumas d e suas a p l i cações.

Na C a p i tu1 e 2 tratamos das d i v e r s a s c a r a c t e r i zaç24es dos graf os de i n t e r v a l o .

O Capítulo 3 Q dedicado ao estudo de uma sub-classe muito importante dos g r a f a s d e i n t e r v a l o , a s GRAEOS DE PNDIFERENÇA.

Seguindo a miátodo do Gapf t u l o 2 procuramos enfocar sobretudo a s d i v e r s a s c a r a c t e r i z a ç õ e s e x i s t e n t e s para e s t a sub-cl asse.

d e reconhecimento e v e r i f i c a q ã o d e bsamcrfismo p a r a g r a f o s d e i n t e r v a l o . 0s a l g o r i t m o s são d a a u t o r i a d e Eooth e Lueker.

No c a p i t u l o 5 procuramos l o c a l i z a r o s g r a f o s d e i n t e r v a l o no

u n i v e r s o d a s g r a f o s p e r f e i t o s e e s t u d a r como se comportam a l g u n s problemas c o n h e c i d o s e m t e o r i a d o s g r a f o s quando r e s t r i t o s à c l a s s e d o s g r a f o s d e i n t e r v a l o ; Lraitamos d o s " q u a t r o problemas c l A s s i c o s " e m

g r a f o s p e r f e i t o s C

CLIQUE

M J X L M A , CONJWTO ESTAWL

MAXIMOI, GOLORAÇXQ

MTESIl4.A e COBERTURA POR CLIQUES Mf MIMA 3 e d e íautros problemas

C C M

NHQ/CI

RCUI 3'0

W

M

LTONI ANO3 CQNJW6TO DQMI MNTE 3

.

O C a p í t u l o i6 i n c l u i v A r i o s t b p i c o s r d a c i c r n a d o s com o esLudo d o s g r a f o s d e i n t e r v a l o . Podemos c i L a r o HEYTERVAL COUNT cCG3

-

o ndrmeso m i n i mo p o s s i v e l dia compri ment,os d i f e r e n t e s d e i n t e r v a l o s e m

r e p r e s e n t a ç B e s por i n t e r v a l o s d e um g r a f o d e i n t e r v a l o G dado

-

e o

NOMERO DE IhITERVLGi i que (assim e d e f i n e : r e p r e s e n t a n d o c a d a v & r t i c e v de um graf'o

G

por uma coleçCio d e

t

i n t e r v a l o s f e c h a d o s f i n i t u s I z

. . .

?i de t.al moda que d o i s r & r & i c e s v e w s;ão

V , & v , C

a d j a c e n t e s se e somenLe se algum i n t e r v a l o I i n t e r c e p t a algum

v , i

i n t e r v a l o T Y

,

iCG3 & o menor i n t e i r o 620 p a r a c a t a l

S e g u i n d a a n a t a g z o u s u a l d a m a t e d t i c a , ;.; E 91 i n d i c a q u e x & um e l e m e n t o d o c o n j u n t o X e k X q u e A é um s u b c o n j u n t o d a r(: C n ã o n e c e s s a r i arnente p r d p r i e 3 . A ç a r d i na1 i d a d e ou tamanho d a X 4 d e n o t a d a p a r

1x1.

P a r a s u b c o n j u n t o s A e

B d e

X,

as nokagões A n

B,

A V

B e

A

-

E denotam as operargões u s u a i s d e i n t e r s e c g ã o , u n i ã o e s u b t r a ç 3 . o d e c o n j u n t o s . m a n d o A e

IB

sã0 s ~ l b c a ~ l j u n t o s d i ç j u n t a s , f r e q u e n t e m e n t e se d e n o t a a u n i ã o e n t r e eles com u m s i n a l d e a d i ç ã o : C = A + Bi i n d i c a q u e A

n

B

= 0 e C = k U

B,

o n d e

B

d o c o n j u n k o v a z i o .

UA

c o l o ç ã o Y X . i 3 i . = ~ d e s u b c o n j i r n t o s d a u m c o n j u n t o X c5 urna p a r t i ç ã o d e

X

se

Lf

X "

=

X e

X.

ri

X

=

Q p a r a i , j E I C i # j 31. i . d L i

Uma relaçzo b i n k r i a

R

s o b r e u m conjun.ico X & um s u b c o n j u n t o d e

X

x X , e pode s a t i s f a z e r uma ou mais d a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s :

.

a n t i - s i m & . k r i c a : Cx,x9 3 R R C x 7 n x 3 ã R

.

p a r a x # x ' ;

.

r e f l e x i v a : Cx,x4 E

R,

V x 1~ X ;

.

i r r e f l e x i v a : C x , d 6

R,

Y x G X ;

L r a n s i ti vzr ; 6 uma w-de~n par c i a1 se B t r a n s i L i va ; t+ uma ordem p a r ci al e s t r i t a se & t r a n s i L i v a e i r r e f l e x i v a C e, p o r t a n t o , antí-sinirS.trír=a 3 ;

Um

g r a f o

G

=

ÇV,E>

c o n s i s t e num c o n j u n t o f i n i t o 'd e numa r e l a ç Z o bkzlncsjlria E Ci V x V. Pdemcm ' n o s r e f e r i r a um gs-afo t a r n b 6 m com

digrafo o u grafo dírércionado. V chamado conjzrnt.o d e v&rt.ices e E

c o n j u n t o d e

ar estas

o u

ar

estas

or

í e n t a d a s ou ar estas d i r %i o n a d a s .

o l o n g o d o t e x t o , a rel.ãqã;D b i n á r i a E s e r $ usualms1ik.e

aresba da forma Cv,*rr3i será chamada ' ' l ~ i ~ p ' ' .

que a aresta vw i n c i d e sobre o v&rtice w e que w c o n e c t a c s 7rr6rt.icccilç v

e q u e v S o i n í c i o e slir c5 o tt5.rmino d a

aresta

5 . Mgumas vezes,

D i r e n m s q u e um g r a f o

G

.E. v a z i o se VG = 8. b n o t a r e m c x s o g r a f o

vazio

gcrr 8, c o m o p a r a cm f u n t o s .

Di r e m - que uni grafo G est& c o n t i d o e m um graf o H, fat.0 q u e denotarem^ p r

G

S

H,

se VG 4 W s EG 5

EM.

A9. t e r n a t i sramentw, d i r e m o s

Um y ~ - a f o

G

ser6

w n

s u h g r a f o d e H se

G

5 H;. n e s s e caso, d i r - a n o s al t e r n a t i vamente q u e H & um s u g e r g r a f o d e G. O graf o Ei ser i5

um

swbgrafcl i n d u z i d o d e H se, a l g m d i s s o , vaie: vw E

EH

e v , w E

VG

=,

está c o n t i d o e m G 3 se -F E

VG,

e q u e G contgm v.

De

m a n e i r a s e m d h a n % e : S i 3 d i r e m o s q u e uma a r e s t a vw p e r t e n c e a G C ou est.6 conLi.da em

G

3 se

vw E EG, e q u e

G

c o n t & ~ n -w;

C i i ã d i r e m o s q u e um c o n j u n t o

Y

d e rrCr t.ices C o u arestas 3, est6 c í ~ n t i d o

em G

se

Y

S

VG C

' r ' s

EG

3 , e q u e G cont&m Y.

Definimos o tamanho d e u m y r a f o G C O J ~ a soma IVGI +

IEGI.

D i r e m o s q u e os v g r t i c e s v e w são a d f a c t r n l e s o u viziníxxs se

m E

EG.

Denotaremos por kd jf v3 f o u ccinj u n t o d e ad j a c & n c i a d o -&r

ti

ce

Seja

X

!Z VG. Definimos AdjCX3 =

U

AdJÇu3, e VCX3 =

U

W u 3 .

uçx UEX

denutarcrmcs por Adj C X 3 como o c o n f u n t o d e v C r t i c e s a d j a c e n t e s a

X

H

A d j y C X 3 , onde Y c5 um c o n j u n t o q u a l q u e r d e v&-Licerr;.

A s s i m com d e f i n i m a s -&r ti ces a d jacen'ces

,

d d i n i m o s ar estas a d j a c e n k e s ; d u a s

arestas

q u e

c o m p a r t i l h a m uni

m e s m o

ponko

extremo.

b i s grafos

G

e

H sXo isomorfos C

G

2

H

? se e x i s t e uma bi jeção E: TdG + W que s a t i s f a z :

xy ç EG e+ fCx?rfCy?r E EH, 1J x , y E YG.

Em

yarticcrlar, G e H SZQ iguais se VG = VH e

EG

=

EH.

Dado um szrbconjzrntrs

X

5

VG,

definimos o subgrafo induzido por

X:

-

X=CX,E 7 , ande

E

=

<

v w E E(Z f v CE

X

e w CE X 3 .

x-

X

Sejam G G

H

ffrafos,

X

4

VG,

W

<C

EG.

Definimos:

G

-

H como o grafo G

va-v=

r

r G

-

X como o grafo G

Ya-X

s

G

-

W

como o grafo cwn conjunto d e ~ 5 r L í c e s

VG

e conjunto de a r e s t a s

EG

-

W.

Sejam G ' e G i ' s s b g r a f o s d e um grafo G e

X

5 VG. Defínímos:

Seja G um grafo. O grafo G-' S o grafo com conjunto d e

e a n t i -Lr ansí Li vo se EG á uma r el ag3o a n t i

-'LI-

ansi ti va.

com

c o n

f

u n t o d e -&r

ti

ces

VG

e c o n j u n t o d e ar estas E t a l que

Um g r a f o G 6 chamado nZo d i reci onado se EG = CEG~-', i s t o 6 ,

se EG =

EG;

o u a i n d a , se EG R uma r e l a q ã o s i & L r í c a . U t i l i z a r e m E X s , a

nomencl a t u r a a r esta nZo d l

r

eci onada

par a

i n d i car

um

cw.1 j u n t o

-

-

< v w , w1r3 t EG, q u e s e r & denot-ado por C o u imr 3 . E s c r e " \ r ~ ~ r e m o s E EG

S e j a m

G

= CV,E3 g r a f o n2ío d i r e c i o n a d o e H = CV,T) g r a f o a r - i e n t a d o .

Se T

+

ri

= E, dizemos q u e

G

B g r a f o s t r f i j a c e n t e d e H e

T

GT.

P

ser& uma orientaçcn'o C a n t i - 3 t r a n s i t i v a se (ST B g r a f o

C aiiti -3 L I - ã n s i

ti

y.0; n e s s e c a s o , G 6 chamado g r a f o d e

-

Seja G um g r a f o n ã o d i r e c i o n a d o . Definimos o complc31mmt.a

G~

d e

G

com

o g r a f o com c o n j u n t o d e T&rtices

VG

e c o n j u n t o d e arestas E tal q u e E =

<

Cw,w3 E

VG

x

VG

f v w e Tw 1 EG 3. O complement-o d e u m g r a f o d e c c r a l o i l i d a d o Q chamado g r a f o d e c o - c o m p a r abi l i dado.

U m

d e f i n i ~ c i o i m p o r t a n t e 6 a definiq'Siu d e g r a u . Dado um g r a f o G q u a l q u e r , o g r a u d e s a i d a C d e um - & r b i c e v d e G rl i y u a l a

se$-& d e n o t a d o pclr

K

.

h

Seja X crm çcrbconjwnto d o s v&-ticea d e um g r a f o G. X i0i um c o n j u n t o c o m p l e t o d e v & r t i c e s ou uma d i q u e se

X

d conpleto. Uma

c l i q u e

X

rl d i t a maxi m a l se nYo h& n o graf o nenhuma o u t r a c l i q u e q u e c o n t e n h a p r o p r i a m e n t e a X. Alguns a u t o r e s f a z e m u s o for t e d o t e r m o

c1 i q u e , d e s i g n a n d o por el e sempre uma c1 i q u e m a . d i n a l .

Sendo 95 VG, G grafo, d i r e m o s q~re X rá Gm c o n j u n t o est.&?r~.l ou i n d e p e n d e n t e se EG = 8.

X

Dado um g r a f o G, uma c a d e i a e m

G

C ou d e G 3 d um s u b g r a f o de

G t a i s qrre e. = v . ~ . ou e. = v. 'ir a 0 5 i 4 1-1. Dize~rros q u e o

E. L ‘L+& E. %+i s

caso d e g e n e r a d o

,

car acter i

za

uma c a d e i a v a z i a, F O caso l = O uma c a d e i a t r i -vi al

.

Um

passeia

F" em G

6 uma c a d e i a onde cada aresta e. .FS d a

i'urma

s v e v e s t Z a c u n s t a d o s por P 3 , e q u e a s d r t i c e s

I~...,v

C se O t t - l Um c i r c u i t o B um p a s s e i o ande T~= o v I' Um c i c l o €5 um c i r c u i t o onde os v&tices n ã o se r e p e t e m

C

A

Uma

c o r d a réi. rrmã aresta q u e une d o i s v & r t l c e s n ã o c o n s e c u t i T m s

w

v

. .

.

v v p a r a o qwaf nZo exi skem c o r d a s , e ser d d e n o t a d o por C

.

O í n-í O n

Analcrgamente, denotaremcts por

P

o caminho i n d u z i d o c o m n rrCrtices.

Ii

Um gr af o G é c o n e x o se d a d o s d o i s -&r ti ces q u a l s q u e r v, w d e

G,

e x i s L e uma c a d e i a da f o r m a

v..

.

w em G . Uma componente d e

G

.e? um s u b g r a f o cone.xo maxi mal d e 6.

Um g r a f o G 4 a c l c k i c o se nXo c o n t & ~ n nenhum c i c l o c o m o

e5 acf cl ico.

Quando nSo houver m a r g e m a d U ~ i d a s , nos ref esiremos a u~n

g r a f o n ã o d i r e c i o n a á o s i m p l e s m e n t e co33io g r a f o , e

a

uma areska nXo d i r eci onada si mpl e s m e n t e como ar esta. 0s ter a i o s p a s s e i o e c a i n i

nho,

al g u n ~ s

-vezes,

p o d e r ã o tamEs&m ser u t i l i z a d o s d e manei r a í n d i sti n t a .

m s u b g r a f o d e um g r a f o n ã o d i r e c i o n a d o ser& ustxalmente c o n s i de^-ado como um gr a f o nCio d i r eci onado.

3 40

GRAFO

TRf AHGtlLARf

ZADQ G W O

DE INTERVALO, MODELO DE IMERVALOo

Um v& L í c e w d e um g r a f o 11ão d i r e c i o n a d o G & s i m p l i c i a1 se AdjCv3 6 unia c l i q u e . Se, a l & m do m a i s , G

-

VCv3 & cone=, e n t ã o r (5. f o r t e m e n t e si mpl i c i af

.

Um

g r a f o n ã o d i reci o n a d o

G

6 t r í anguf ar í z a d o se t o d o c i cf o d e

G

d e compri mento a s t r f t a m e n t e m a í or d o que L r t k p o s s u i uma c o r d a , o u 7 equf val enbemente, se

G

nZo cont&m wn1 s u b g r a f o i n d u z i d o isomorf o a C

n

Fornecemcls s e m d e m m s t r a q ã o um l e m a q u e n o s s e r i fitil

a d i a n t e :

Lema 3 . 3 Seja G uni g r a f o

p o s s u i d o i s v&- ti c e s si m p l i c i a

kr i a n g u l a r i z a d o n ã o compl eto. E n t ã o , G

is n ã o a d j a c e n t e s .

Um

modelo d e i n t e r v a l o

M

d e Cpai-ai

um grafo

nClrz d i r e c i o n a d o

G

rC u m c o n j u n t o d e i n t e r v a l o s f e c h a d a s 4 I 3 s o b e um conjuntm

v v E V a 3

1 i n e a r m e n t e o r d e n a d o C p. ex.

,

a reta real 3 tal q u e exi s%e

u m

J>i j e q ã o M:

VG

a

<

I y

E com a s e g u i n t e pr opr i sdade:

W E e M C V ~ $71 Kkr3 f @

C i s t o 6 , (;ii, i n t e r v a l o s I = MCv-9 e I = M w 3 se i n t e r c e p t a m 9 .

v W

existe a p e n a s r m o t i rirg d e s i m p i i f i c a ~ C í o . Pode-se mostras c o m

f a c i l i d a d e q u e existe um ~ n o d e l o d e i n t e r v a l o s f e c h a d o s p a r a

G

se e soment-e se existe um modelo d e i n L e r v a l o s q u a i s q u e r para G.

D i z e m c s q u e o i n t e r v a l o I 6 a i m a g e m d o -IÉ.rtice 'ir n o modelo

V

M,

a u q u e v

S

r e p r e s e n t a d o por I n o modelo 14. Alguns a u b o r e s se

V

I-ef e r e m a n ~ r x f e l QS d e i n t e r va1 o c u m ~ "r-epresentaqGes p r i n % e r v a l aCs3 d o g r a f o €3".

E c l a r o q u e nem t o d o g r a f o n ã o d í r e c i onado admí te um modelo d e í n L e r v a l o para si.

Us

g r a f o s q u e a d m i t i r e m modelos d e i n t e r v a l o srrrXo chamados GRMOX DE I~J'ERVALQ. Um g r a f o d e i n t e r v a l o , c o m o B

b i s i n t e r v a l o s I e .J d e um modela M s X o chanmdos b i s j u n t a s

d i r e i t o e B d e n o t a d o por

df

I3

.

Um i n t e r v a l o I d e um modelo M é e x t r e m o d c modelo se ou: eCI3 I eCJ3, Y J G

M

C e , n e s s e caso, I B o i n L e r v a l o e x t r e m o e s q u e r d o d e

M

3

,

ou dC I3 I dC J3

,

V J E

M

C e , n e s s e

c a s o , I 4 i n t e r v a l o e x t r e m o d i r e i t o d e

M

3 .

Seja G u m g r a f o d e i n t e r v a l o ,

M

u m modelo de i n t e r v a l o de

G

e

H

um s u b g r a f o i n d u z i d o d e G. O c o n j u n t o d e i n t e r v a l o s

MCH3

= = f MCv3

I

v .(E W 3 4 u m submodelo d o modelo

M.

Podemos n o s referir tamb&m ao c o n j u n t o MCX3, a n d e

X

Z VG: MCX3

=

MCG

3 . Dessa f o r m a , d e

X

m a n e i r a n a t u r a l

,

podemos d i z o r "imagem e m M d e um s u b g r a f o d e G"

,

"imagem e m

M

do u m caminho d e G" e L c .

Apresentaremos som demonstr agião mai s al g u n s r e s u l L a d o s

s i m p l e s q u e n o s serão

u t e i

s:

Lema 1.2 Seja G um g r a f o d e i n b e r v a l o r

M

u m modelo d e i n t e r v a l o d e G e v v & r t i c e f o r t e m e n t e s i m p l i c i a l d e G. E n t ã o , MCv3 & um i n t e r v a l o e x t r e m a d e M. L e m a 1.4 Se G Q um g r a f o t r i a n g u l a r i z a d a e v v . . . v v c& um c i r c u i t o i 2 k 1 e m G com k 2 4 , e n k ã o alguma d a s o p ç õ e s a b a i x o B v e r d a d e i r a : Ci;) v+ = v ou v* e v 530 v i z i n h o s ; 3 3

Cio;) v = v. cu v e v são v i z i n h o s p a r a algum i E X 4 , .

.

.

,k3.

Antes de passarmos ao tópico seguinte, remetemos o l e i t o r a Garey e Johnson C19783 para familiarizaqão com a nomenclatura da Teoria de Complexidade de Algaritmos. Cremos não ser necessArio para e s t a d i s s e r t a t ã o recolocar aqui a s definições de 'hlgori tmo", "instâincia",

"classe 9

",

"'problema MP-completo", "tempo C espago 3. l i n e a r " ,

"OCfCn.23." e t c .

1.5,

ALGUMAS

APLãGAÇõES

DOS

G W O S

DE

INTERVALO

Muitos problemas que envolvem arranjo dos dados numa c e r t a ordem particular C p. ex.

,

cronoldgica 3 podem ser resolvidos com auxilio dos chamadas graf a s de compatibilidade,

dos

quais os graf

os

de

vértices correspondem aos objetos que serão arranjados, e as a r e s t a s correspondem Aqueles pares de abJetos que são compativeis de algum modo. Embora nem todo grafo d e compatibilidade s e j a u m grafo de intervalo C pais intervalos que não s e interceptam podem algumas vezes corresponder a v6rtices adjacentes

num

graf o de compatibilidade 2 ,

apresentamos a segui r a l gums apl i caçE5es i nter essantes t a n t o dos gr af os de çampati bi l i dade como dos graf os de i nter val o, pela e s t r e i t a r e l açZo que e x i s t e e n t r e e l e s . Remetemos o l e i t o r a Wilson e Watkins C19901,

pp. 61 a 6Q, e Golumbic CIQ8011, pp. i81 a 184.

No estudo de caracteri

stí

cas ou a t i tudes compor tamentai s de c r i a n ~ a s

,

cada uma destas caracteri sti cas/aLi tudes pode e x i s t i r durante u m c e r t o periodo de tempo e depois desaparecer. A questão é construir

uma escala de tempo na qual as diversas c a r a c t e r i s t i c a s ocorram em or bem cronol dgi ca. Podemos i nvesti gar o probl ema estudando vár i as c a r a c t e r l s t i cas presentes num c e r t o ntimero de crianças e observando quando duas c a r a c t e r i s t i c a s diferentes estão presentes na mesma criança. Analisando a s diversas formas nas quais o grafo de compatibilidade c a r a c t e r i s t i c a s C v-értices 3 / crianças C a r e s t a s 2 pode ser representado como

u m

grãfo de intervalo, podemos ser capazes de col ocar as v&- i as car acter i s l i cas em ordem cr onob bgi ca.

Consi der e m s u m sistema de rádio móvel

,

como por exemplo o u t i l i z a d o pela policia. Cada u m dos carros de policia mantgm contato por meio de

u m

rádio que usa u m canal a p a r t i r de bandas de f requências pr 4-determi nadas a1 ocadas

A

l oca1 i dade onde os carros c i r cul am. A menos que s e possa garantir que as bandas nCio s e interceptam em localidades vi zi nhas

,

podem ecor r er i nter f er &nci as. Como devem, poi s

,

ser a1 rscadas as frequências, de nodo que a cada localidade s e j a associada uma banda de f r eqWnci a relativamente 1 arga ?

Podemos representar e s t e problema por u m grafo de compatibilidade no qual os vgrtices correspondem A s localidades e as areskas a pares de localidades nffo vizinhas, e analisar a s cliques que contQm u m determinado v-értice. Associamos uma banda de frequência a cada u m a destas cliques e representamo-la como u m i n t e r v a l o aberto de

f r e q t i ê n c i a s s o b r e a r e t a .

1.9.3. Sincronizaçãlo de s i n a i s d e t r S r s i t o

Numa i n L e r s e c ç ã o d e r u a s ou a v e n i d a s , dizemos que d o i s f l u x o s d e t r á f e g o d e c a r r o s sCXo compatfveis se ambos podem f l u i r a o mesmo tempo s e m c o l i s ã o . Representamos esta s i t u a ç 3 0 por um g r a f o d e cornpati b i l i d a d e no qual o s v&-tices correspondem a o s f

f

uxos d e L r

Af

ego e a s a r e s t a s unem p a r e s d e v & r t i c e s que correspondem a f l u x o s compatíveis. A q u e s t ã o & s i n c r o n i z a r o s s i n a i s d e t r a n s i t o d e t a l modo que f l u x o s não c o m p a t i v e i s n$o e s t e j a m l i b e r a d o s simultaneamente. Evidentemente, procuramos maximizar o número d e f l uxos compatf v e i s e m cada i n s t a n t e .

A s o l uçgo, novamente, & e n c a n t r a r

,

p a r a cada

vZ-r

t i c e , as c l i q u e s C maximais 2 do graf'o d e c o m p a t i b i l i d a d e , que correspondem a f l uxos mutuamente campati v e i s. B p o i s

,

b a s t a d i v i d i r o perí odo d e tempo d i s p o n í v e l p e l o namero d e c l i q u e s m x i m a i s e a l o c a r a cada

uma

o p e r i o d o r e s u l t a n t e d a d i v i s ã o .

3 . 5 . 4 . Ecologia

Para ol e s t u d o d a s rela$TSes e n t r e a n i m a i s , p l a n t a s e s e u s

m e i

o s , o s e c b l ogos u t i l i zam um g r af o d i r e c i onado conheci do coma c a d e i a a l i m e n t a r , onde os v b r k i c e s correspondem

A s

e s p & ç i e s , e e x i s t o uma a r e s t a o r i e n t a d a d e uma e s p k i e A p a r a uma e s p é c i e

B

sempre que A seja predadora d e

B.

ã h & m d a m a i s , introduzem um g r a f o não d i r e c i o n a d o que i n d i c a q u a i s e s p e c i es competem por c e r t o a l i m e n t o , conheci do como g r a f o

d e competi@o, c u j a s arestas unem p a r e s d e e s p 8 c i e s q u e c o m p a r t i l h a m uma p r e s a comum.

A maior p a r t e d o s g r a f o s d e c o m p e t i ç ã o q u e ocorrem n a p r % t i c a são g r a f o s d e i n t e r v a l o . A representai$Xo por i n t e r v a l o s t e m

s i g n i f i c â n c i a e c o l d g i c a no s e n t i d o d e q u e i n t e r v a l o s q u e se

i n t o r c e p t a m g e r a l mente correspondem a e s p k i es q u e reagem d o m e s m o m o d o

a f a t o r e s ambi e n t a i s par L i c u l ares, t a i s como t e m p e r a t u r a , umidade e a l t i t u d e .

Suponhamos q u e c i p c Z J

.

.

.

.cr, são campostos q u í m i c o s q u e devem ser r e f r i g e r a d o s s o b c o n d i ç B e s cuidadosamente moni t a r a d a s . Se o composto c. d e v e ser m a n t i d o a uma t e m p e r a t u r a e n t r e

t .

e

t :

g r a u s ,

L i

q u a n t o s r ef r i g e r a d o s es ser ão n e c e s s a r i os p a r a armazenar t o d o s os

compostos ?

Definimos

um

g r a f i s de i n t e r v a l o G com v t - r t i c e s c l , .

. .

, c n e conectamos d o i s v&- ti ces sempre q u e os i n t e r v a l o s d e t e m p e r a t u r a c o r r e s p o n d e n t e s se i n t e r c e p t e m . P e l a p r o p r i e d a d e d e

H e l

P

y

C Gol umbi c

E19803, p. 92 2 , q u e

t-

s a t i s f e i t a p e l o c o n j u n t o d e c l i q u e s maximais d e um g r a f o t r i a n g u l a r i z a d o , se C ci

,.

. .

, c i

>

& uma c l i q u e d e G , enLCio

1 k

os i n t e r v a l o s do c o n j u n t o

<

[ C i

,tT

1

1

.j = I,.

.

.

,k 3 terão um p o n t o d e

L .

.i J

i n t e r s e c ç Z o cemum

t .

Um r e f r i g e r a d o r à t e m p e r a t u r a

t

poder& c o n t e r os compostos c.

,

.

.

.

,

ci

.

P o r t a n t o , uma c o b e r t u r a mínima d e G por c l i q u e s

r k

1.5.6. O%imiza.r;30 d e armazenamento

e m

mediria

Seja X u m conjrrruto d e i t e n s da dados d i s t i n t o s C r e g i s t r o s 3

e

seja

9

uma cole$%o d e s u b c o n j u n t o s d e

X

chamados c o n s u l t a s . A q u e s t ã o

R s a b e r se

X

pode ser armazenado sequencialmente d e modo que o s membros d e cada I G 9 sejam armazenados e m I o c a ç 8 e s c o n s e c u t i v a s . Quando este

t i p o d e conf i g u r a ç z o d e armazenamento possf v e l

,

o s r e g i s t r o s p e r t e n c e n t e s a qualquer c o n s u l t a podem ser a c e s s a d o s com d o i s par 3 m e t r o s apenas : rim p o n t e i r o - b a s e e um deslocamento. E s t a p o s s i b i 1 i dade d e f i n e a

"Br

opr i edade d e Recuper a ~ ã o Consecuti va"

,

que 4 um desdobramenLo do ' T r o b l e m a Geral d e A r r a n j o Consecuti vo" C Capf t u l o

4 3 . P o r t a n t o , a qzrestCTo pode ser r e s o l v i d a e f i c i e n t e m e n t e com o uso de

"PQ-5rrores" C C a p í t u l o 4 3 1 .

1.5.7. Arqueologia

U t i l i z a - s e e m a r q u e o l o g i a 0 termo " s e r i a ç S o " p a r a a c l a s s i f i c a ç ã o de um c o n j u n t o d e i t e n s e m s u a ordem c r o n o l d g i c a p r b p r i a . E s t e problema t e m muito d e comum com o s g r a f o s d e i n t e r v a l o e com a "propriedade dos 1 's c o n s e c u t i v ~ s " C C a p í t u l o 2 3 .

S e j a A um c o n j u n t o d e a r t e f a t o s que foram d e s c o b e r t o s e m v h r i a s

tumbas.

A cada a r t e f a t o deve corresponder um i n t e r v a l o d e tempo, a p r i o r i desconhecido, d u r a n t e o qual o a r t e f a t o e s t a v a e m uso.

A cada tumba se a s s o c i a um ponto no Lempo C tambh desconhecido 3 , que corresponde ao momento e m que o conteddo da tumba f o i n e l a d e p a s i t a d o . O problema é esquematizar o s relacionamentos t e m p o r a i s e n t r e o s a r t e f a t o s e o s l o c a i s onde foram d e p o s i t a d o s .

Consideremos a m a t r i z d e i n c i d ê n c i a

M

c u j a s l i n h a s r e p r e s e n t a m as tumbas e c u j a s c o l u n a s OS a r t e f a k o s q u e e s t ã o ou não

p r e s e n t e s e m d e t e r m i n a d a tumba. Supondo que uma tumba contgm t o d o s o s membros d e A

e m

u s o no momento d a deposií;ão,

a

matriz

M p o s s u i r & a pr opr i e d a d e d o s 1 * s c o n s e c u t i vos p a r a c01 unas. Cada permutação d a s

h i n h a s q u e produz 1' s c a n s e e u t i vos c o r r e s p o n d e a uma ser i a ~ ã o acei t b v e l d a s tumbas e d e f i n e uma possf rel associação d e i n t e r v a l o s d e tempo p a r a

a.

Consideremos a g o r a o g r a f o G c u j o s v 4 r t i c e s r e p r e s e n t a m o s a r t e f a t o s

e

c u J a s

arestas

conectarn a r t e f atos e n c o n t r a d o s

e m

alguma Lurnba comum. Supondo q u e c a d a p a r d e a r t e f a t o s c u j o s i n t e r v a l o s d e u L i l i z a ç S o se i n t e r c e p t a m devem ser e n c o n t r a d o s j u n t o s na m e s m a tumba, t e m a s q u e

G

fl um g r a f o d e i n t e r v a l o e que q u a l q u e r modelo p a r a

G

4 um c a n d i d a t o p a r a o s i n t e r v a l o s d e u t i l i z a ç ã o d o s a r t e f a t o s d e A.

I. 5.8. Genética

0s g e n e t i c i s t a s t ê m c o n s i d e r a d o o cromossomo como um a r r a n j o l i n e a r d e g e n e s , e 4 n a t u r a l q u e s t i o n a r se a e s t r u t u r a f i n a d e n t r o d o yene tãmfsE-m & a r r a n j a d a d e maneira l i n e a r . E s t e problema B c o n h e c i d o como o "problema d e Benzer

".

I n f e l i z m e n t e , esta e s t r u t u r a é d e t a l h a d a demais p a r a ser o b s e r v a d a d i r e t a m e n t e , e somos o b r i g a d o s a e s t u d a r a1 t e r a ç õ e s n a s e s t r u L u r a s d o s g e n e s

C

"mutaç8es" 3 .

o a n a l i s a r a e s t r u t u r a g e n Q t i c a d e um v i r r r s b a ç t e r i a l chamado "phage

T4",

S e p o u r Benzer c o n s i d e r o u as mutações q u e se produzem quando p a r t e do g e n e F9 p e r d i d a . Em p a r t i c u l a r , e s t u d o u mutac$es n a s g u a i s o s segmentos p e r d i d o s se i n t e r c e p t a m , e e x p r e s s o u

s u a s conclusBes na forma d e uma " m a t r i z d e i n t e r s e c c ; ã o " M. E s t a m a t r i z

B a m a t r i z d e a d j a c g n c i a d e um g r a f o d e c o m p a t i b i l i d a d e

G

c u j o s w 5 r t i c e s correspondem a mutações e çujas arestas a p a r e s de mutações

CLIJOS segmentos p e r d i d o s se i n t e r c e p t a m . N e s t e s termos, o problema d e

Benzer c o n s i s t e e m d e t e r m i n a r se

M

r e p r e s e n t a o c o n j u n t o d e i n t e r s e c ç 8 e s d e u m c o l e ~ ã o d e i n t e r v a l o s , ou

C

e q u i v a l e n t e m e n t e 3 se

G

B um g r a f o d e i n t e r v a l o . D e f a t o , e x i s t e m modelos d e i n t e r v a l o p a r a G. Embora o f a t o d e

G

ser u m g r a f o d e i n t e r v a l o nZo p r o v a r que a e s t r u t u r a f i n a d e n t r o do gene E- a r r a n j a d a l i n e a r m e n t e , esta h i p ó t e s e f i c a b a s t a n t e f o r t a l e c i d a . Benzer e s t e n d e u s u a a n a l i s e a m a i s d e 145 mutar;aes r e p r e s e n t a d a s por um g r a f o d e i n t e r v a l o ; d e s t e modo, mostrou que, p e l o menos p a r a o v i r u s '"piaage

T4",

há

f

lortissima e v i d & n c i a do a r r a n j o l i n e a r . A l é m do m a i s , Cohen, K o m l ó s e Muller m o s t r a r a m q u e a p r o b a b i l i d a d e d e que Benzer t e n h a observado

um

g r a f o d e i n t e r v a l o '>ur a c a s o " Q p r a t i c a m e n t e zero.

2.1. TRIPLAS ASTEROIDAIS

E

SUEBGRAFOS

PROIBIDOS

Um d o s p r i m e i

r

o s

t r

a b a 1 hos c o n h e c i d o s d e i n v e s t i g a ç ã o s o b r e g r a f o s d e i n t e r v a l o

-

d e a u t o r i a d e C.G.Lekkerkerker e J . C . B o l a n d , p u b l i c a d o e m 1962

-

t r a z d u a s c a r a c t e r i z a ç õ e s d a família. A p r i m e i r a d e l a s é b a s t a n t e n a t u r a l e r e f l e t e a d i s p o s i ç ã o geomE-trica d e um c o n j u n t o d e i n t e r v a l o s t r a ç a d o s s o b r e uma r e t a , q u e s e m p e r d a d e g e n e r a1 i d a d e supomos f e ç h a d o s :

C13

por um l a d o , numa s e q u d n c i a d e p e l o menos 4 i n t e r v a l o s onde c a d a um q u e n ã o seja e x t r e m o da s e q u ê n c i a SB i n t e r c e p t a rr a n t e r i o r e o s e g u i n t e , ÉI c l a r o q u e

o Q l t i m o

i n t e r v a l o d a s e q u & n c i a n ã o pode i n t e r c e p t a r o p r i m e i r o ;

C111

por

o u t r o lado, d a d o s t r O s i n t e r v a l o s que mutuamente n ã o se i n t e r c e p t a m , q u a l q u e r o u t r o i n t e r v a l o q u e i n t e r c e p t e os i n t e r v a l o s e x t r e m o s e s q u e r d a e d i r e i t o n e c e s s a r i a m e n t e i n t e r c e p t a o i n t e r v a l o

r

e m n e s c e n t e .

Fornecemos, pois, a p r i m e i r a c a r a c t e r i z a ç S o da. família dos g r a f os d e i nLerva1 o:

T e o r e m a 2,l C L e k k e r k e r k e r e Boland f19ê21 3 Um g r a f o n ã o d i r e c i o n a d o G 4 um g r a f o d e i n t e r v a l o se e s o m e n t e se s a t i s f a z as c o n d i ç õ e s :

C i 3 G n ã o contQm c i c l o i n d u z i d o c o m m a i s de q u a t r o v c S r t i c e s C i s t o 6 , G Q t r i a n g u l a r i z a d o 3 ;

C i i 3 q u a i s q u e r t r & s v í i r t i ê e s d e €3 podem ser o r d e n a d o s d e modo q u e t o d o Lodo caminho d o p r i m e i r o v & r t i c e p a r a o terceiro v & r t i c e p a s s a p e l a vi z i nhança d o segundo.

T r & s v & r l i c e s q u e n ã o s a t i s f a ç a m a condic$b C i i 3 c o n s t i l u e m uma TRIPLA ASTEROIDL: d o i s a d o i s , são n ã o a d , j a c e n t e s e c o n e c t a d o s por u m caminho q u e nSo a t r a v e s s a a v i z i n h a n ç a d o ~ Q r t i c e r e m a n e s c e n t e .

Dizemos q u e um g r a f o C3 B -EROIDAL se cont(irn t r ê s v é r t i c e s q u e c o n s t i t u e m uma t r i p l a a s t e r o i d a l . Dessa f o r m a , o T e o r e m 2.1 pode ser r e e s c r i t o d o s e g u i n t e modo: um g r a f o nZo d i r e c i o n a d o G (i um g r a f o d e i n t e r v a l o se e somente se é t r i a n g u l a r i z a d o e n ã o a s t e r o i d a l .

As c o n d i çi-ies C i 3 e C ii 4 d o T e o r e m 2.1 podem ser v i s u a l i z a d a s g e o m e t r i c a m e n t e

,

r e s p e c t i v a m e n t e , p e l a s o b s e r v a ç ã e s C I 4 e é I I 3 f ei t a s a n t e r i o r m e n t e . V e j a - s e as F i g u r a s 2.1 e 2.2.

A c o n d i ç ã o i d o Teorema 2 . 1 pode ser s u b s L i t u i d a p e l a s e g u i n t e forma mais f r a c a :

é ii

'

3 q u a i s q u e r t r & s v e r ti ces si mpl i c i a i s d e G podem ser o r d e n a d o s d e modo q u e t o d o caminho d o p r i m e i r o v é r t i c e p a r a o t e r c e i r o v & r t i c e p a s s a p e l a v i z i n h a n ~ a d o segundo.

Figura 2.1. 0 s grafos de intervalo n ã p podem conter ciclos induzidos com mais de 4 vértices.

I1 I4 I5 I3

no s e u t r a b a l h o é por "subgr a f o s pr o i b i d a s "

.

E s t a manei r a d e c a r a c t e r i z a r u m f a m i l i a 3' q u a l q u e r d e g r a f o s c o n s i s t e e m e n c o n t r a r um c o n j u n t o d n i m a l X d e g r a f o s t a l que um g r a f o

G

q u a l q u e r p e r t e n c e a 3

se e somente se

G

não conk&m como s u b g r a f o i n d u z i d o nenhum e l e m e n t o p e r t e n c e n t e a X . Evidentemente, o s g r a f o s d e X çSo c r i t i c a s , i s t o 4, m i n i m i s com r e l a ~ C i o B p r o p r i e d a d e "não ser membro d e F " . Quando uma f a m í l i a 3: d e g r a f o s p o s s u i a p r o p r i e d a d e d e h e r a n ~ a C t o d o s u b g r a f o I n d u z i d o d e u m membro d e 3: t a m b . & m p e r t e n c e a 3: 3 , e n t z o e l a pode ser c a r a c t e r i z a d a por conf i g u r a ç õ e s pr o i b i d a s .

T a o r e m a 2.2 C L e k k e r k s r k e r e Baland C1Q621 3 Um g r a f o nzo d i r e c i o n a d o G

B um g r a f a d e i n t e r v a l o se e somente se:

C i i i 3

G

não contém como s u b g r a f o i n d u z i d o nenhum d e n t r e o s g r a f as C

,

n

%

Ai,

D

e

Ek

C n 2 4 , m 2 2 , k 1 1 S [ V e j a - s e a F i g u r a 2.31.

m

A demonstragEo d e s t e teorema est& b a s e a d a na c a r a c t e r i z a ç ã o f o r n e c i d a p e l o tearem a n t e r i o r : os g r a f o s %,A2,

D

,

e

Ek

s ã o g r a f o s d n i m a i s com r e l a g 3 o &. p r o p r i e d a d e d e c o n t e r t r i p l a s a s t e r o i d a i s . Os

c i c l o s C p a r a n26 t a & & m contdm t r i p l a s a s t e r o i d a i s .

n

Farnecc;rmos a s e g u i r a demonstração d o s Teoremas 2.1 e 2.2.

Podemos s u p o r n e s t a e n a s o u t r a s demonstrações d e s t e c a p i t u l o que as

g r a f o s s3o conexos, p o i s lis f c i c i l v e r i f i c a r que um g r a f o

G

é d e i n t e r v a l o se e somente se c a d a componente d e

G

Q um g r a f o d e i n t e r v a l o ; i s t o se d e p r e e n d e , a l i & , p e l o f a t o d e a f a d l i a d o s g r a f o s d e i n t e r v a l o p o s s u i r a s u p r a - c i t a d a p r o p r i e d a d e d e h e r a n ç a . E c l a r o que as c o n d i ç õ e s C i S e C i i ' 3 e m c o n j u n t o implicam C i i i 3 . I s t o 0 , b a s t a r i a demonçkrar a s u f i c i & n c i a d a c o n d i ç ã o C i i i 3 . P r e f e r i r e m o s , c o n t u d o , a p r e s e n t a r as demonstrações separadamente.

\

,

m

2

2 p o n t o s ,.- / 1

-

_.- L- I

@

T r i p l a a s t e r o i d a l ' F i g u r a 2 . 3 . O s g r a f o s de i n t e r v a l o não contêm como s u b g r a f o i n d u z i d o nenhum d e s t e s g r a f o s .