Medidas DLR e transições de fase tipo volume em shifts de Markov com alfabeto enumerável

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(1)Medidas DLR e Transições de Fase Tipo Volume em Shifts de Markov com Alfabeto Enumerável. Elmer Rusbert Calderón Beltrán. Tese financiada pelas agências CAPES/CNPq..

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(3) Medidas DLR e Transições de Fase Tipo Volume em Shifts de Markov com Alfabeto Enumerável Elmer Rusbert Calderón Beltrán. TESE APRESENTADA AO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE DOUTOR EM CIÊNCIAS. Programa: Matemática Aplicada Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Bissacot.. Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da CAPES/CNPq São Paulo, Março 2019.

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(5) Dedicatória. A meus pais, Elmer e Nancy, e para meus avós Bernardo, Walter e Maria.. v.

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(7) Agradecimentos Ao Instituto de matemática e estatística da Universidade de São Paulo, IME - USP, pelo seu acolhimento. Ao CAPES\CNPq, pelo seu apoio financeiro o qual foi de grande ajuda durante a minha permanência no Brasil. Aos meus pais Elmer e Nancy pela educação que me deram. Aos meus irmãos Arnold, Karin e Shaarón pela sua confiança. A todos os meus tios por seu apoio, vocês sempre me ajudaram quando precisei, sempre serei grato a vocês. À minha avó Maria e aos meus avôs Bernardo e Walter por todo seu amor e carinho. A meu orientador Prof. Dr. Rodrigo Bissacot pelo acompanhamento, disponibilidade, ensinamentos durante o desenvolvimento desta tese e por seus conselhos para minha formação como pesquisador. Sempre lembrarei dos seus ensinamentos em meus trabalhos futuros. Agradeço também sua amizade e a revisão da língua portuguesa. Desde já sou grato a ele. Ao Prof. Ricardo Freire pelo seu argumento da prova do item iii.) da Proposição 104. A todos meus colegas do grupo de pesquisa do Prof. Rodrigo Bissacot por sua amizade e os conhecimentos compartilhados nos seminários do grupo. Em especial para Eric Endo por as muitas reuniões e discussões dos resultados desta tese, assim como, a ajuda ao escrever o artigo. A todos meus amigos pelo seu apoio no momento certo, em especial para Cristian, Edu, Julio, Mariela e Reynaldo. A todas as pessoas que não foram nomeadas mas fizeram parte da minha vida ao longo deste trabalho.. vii.

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(9) Resumo ELMER, R. BELTRAN. Medidas DLR e Transições de Fase Tipo Volume em shifts de Markov com Alfabeto Enumerável. 2019. 79 f. Tese Doutorado - Instituto de matemática e estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019. Introduzimos a extensão natural da definição de medida DLR para medidas sigma-finitas em shift de Markov com alfabeto enumerável. Provamos que o conjunto de medidas DLR contém o conjunto de medidas conformes associadas aos potenciais satisfazendo a condição de Walters. No caso BIP ou quando o potencial normaliza o operador de Ruelle, provamos que as noções de DLR e conformes coincidem. No shift de renewal obtemos uma caracterização de quando as medidas conformes são infinitas, estudamos o problema para descrever os casos em que o conjunto de medidas conformes pula de medidas finitas para infinitas quando consideramos altas e baixas temperaturas, respectivamente. Palavras-chaves: medidas conformes, medidas DLR σ−finita, shift de Markov, transições de fase tipo volume, shift de renewal.. ix.

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(11) Abstract ELMER, R. BELTRAN. Infinite DLR Measures and Volume-Type Phase Transitions on Countable Markov Shifts. 2019. 79 p. PhD Thesis - Mathematics and Statistics Institute, São Paulo University, São Paulo, 2019. We introduce the natural extension of the definition of DLR measure for sigma-finite measures on countable Markov shifts. We prove that the set of DLR measures contains the set of conformal measures associated to Walters potentials. In the BIP case or when the potential normalizes the Ruelle’s operator we prove that the notions of DLR and conformal coincide. On renewal type shifts we obtained a characterization when the conformal measures are infinite, we study the problem to describe the cases when the set of conformal measures jumps from finite to infinite measures when we consider high and low temperatures, respectively. Keywords: conformal measure, DLR measure σ−finite, Markov shift, phase transition type volume, shift of renewal.. xi.

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(13) Conteúdo 1 Formalismo Termodinâmico em Shifts de Markov sobre Alfabetos Enumeráveis 5 1.1. Shift de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.2. Regularidade do Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.3. Medidas Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.3.1 1.4. 1.5. Medidas Conformes no shift de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Operador de Ruelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1. Operador de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 1.4.2. Pressão de Gurevich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 1.4.3. Teorema de Ruelle-Perron-Frobenius Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . 21. Medidas de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 2 Medidas DLR. 33. 2.1. Medidas DLR finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 2.2. Medidas DLR σ−finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 2.3. 2.2.1. Esperança Condicional para Medidas σ-finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 2.2.2. Medidas DLR e Medidas Conformes no caso σ−finito . . . . . . . . . . . . . 43. Equivalência entre Medidas DLR e de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. 3 Transições de Fase Tipo Volume em Shifts de Markov 3.1. 65. Existência de Transições de fase Tipo Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69. Conclusões e Questões Futuras. 73. Referências. 75. Índice Remissivo. 79. xiii.

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(15) Lista de Notações B. σ−álgebra de Borel do espaço shift de Markov. N. {1, 2, 3, . . .}. xnm. (xm , xm+1 , . . . , xn ). x∞ m. (xm , xm+1 , . . .). S. Alfabeto. σ. Aplicação shift. M ΣA. Conjunto de medidas σ−finitas. . M1 Σ A. . M1σ ΣA. . Conjunto de medidas de probabilidade Conjunto de medidas de probabilidade σ−invariante. Wn. Conjunto de palavras de tamanho n. Wn (c). Conjunto de palavras de tamanho n com simbolo final c. W. Conjunto de palavras finitas. (a)per. configuração periódica. 1E. Função característica do Boreliano E. Cb (ΣA ). Funções reais contínuas e acotadas definidas no shift de Markov. i.

(16) ii. CONTEÚDO. Cc (ΣA ). Funções reais contínuas com suporte compacto definidas no shift de Markov. Lφ. Operador de Ruelle. Tˆ. Operador de Transferência. PG (φ). Pressão de Gurevich. q.t.p.. Quase em todas partes. ΣA. Shift de Markov. a. Uma palavra. [a]. Um cilindro.

(17) Introdução O formalismo termodinâmico, ou seja, o formalismo da física estatística de equilíbrio, originouse no trabalho de Boltzman e Gibbs e, posteriormente, foi adaptado à teoria dos sistemas dinâmicos nas obras clássicas do Sinai [Si], Ruelle [Ru04], [Ru67] e Bowen [Bo75]. D. Ruelle denominou este estudo por formalismo termodinâmico. A palavra “formalismo”é apropriada, uma vez que são obtidos teoremas abstratos e não apenas resultados para modelos específicos. Em 1967 − 1968 Dobrushin [Dob], Landford [LaRu] e Ruelle [Ru67] introduziram o que hoje são conhecidas como medidas DLR. Estas medidas caracterizam as medidas de Gibbs (também chamada de distribuições Gibbsianas) em termos de uma família de probabilidades condicionais. Nesta tese consideraremos shifts de Markov com alfabeto infinito enumerável. É conhecido que neste caso o shift de Markov em geral não é compacto, e estudaremos dois problemas. O primeiro é a equivalência entre a noção de medida DLR e medida conforme quando a medida for σ−finita. Para isso suporemos alguma regularidade tanto no shift de Markov como no potencial. O segundo problema é demonstrar que existe uma transição de fase tipo volume para a família de medidas conformes {νβφ }β>0 , onde cada medida νβφ está associada ao potencial βφ com autovalor ePG (βφ) , definidas em um shift renewal. Quando o shift de Markov é topologicamente mixing e tem alfabeto finito, O. Sarig, em [Sa5], mostrou que para um potencial φ : ΣA → R satisfazendo a condição de Walters existe uma única medida DLR e esta é λ−conforme, onde λ = ePG (φ) . Uma prova diferente é dada por L. Cioletti e A. O. Lopes em [CiLo] no caso do full shift. Nosso primeiro teorema generaliza o resultado de O. Sarig para o caso de alfabeto infinito enumerável. Para isso consideramos a classe de shifts de Markov que possuem a propriedade BIP 1 . Teorema A. Sejam ΣA um shift de Markov topologicamente mixing com a propriedade BIP e φ : ΣA → R um potencial Walters com Var1 φ < ∞ e PG (φ) < ∞. Então existe uma única medida de probabilidade DLR e esta é ePG (φ) −conforme. Note que o teorema acima dá hipóteses no shift de Markov com alfabeto infinito enumerável para a existência de uma única medida DLR. Nas hipóteses do Teorema A, temos que o potencial é positivamente recorrente e a medida conforme associada a φ, que denotaremos por ν, é finita. Isto é consequência da propriedade BIP , veja [Sa4]. A demonstração deste teorema é feita em dois passos. Suponhamos que existe uma medida de probabilidade DLR µ, primeiro demonstraremos que µ ν. Logo existe uma função mensurável ϕ : ΣA → [0, ∞) tal que ϕ = dd µν . O segundo passo é usar a caracterização de medidas DLR dada por O. Sarig, Proposição 2.1 em [Sa5], para mostrar que ϕ = 1, ν−q.t.p.. Portanto µ = ν, para os detalhes da prova veja a demonstração do Teorema 93. d. S. Muir em [Mu1] prova relações entre as medidas de equilíbrio e DLR para o espaço NZ . d Essas relações já haviam sido estudadas para o caso S Z , quando |S| < ∞, por [Kel] e [Ki] entre outros. Para obter resultados nessa direção foi provado o Teorema B, para isso primeiro provamos a seguinte proposição que é útil para a prova do teorema mencionado. 1. Veja o item iii.) da Definição 2.. 1.

(18) 2. 0.0. CONTEÚDO. Proposição A. Sejam ΣA um shift topologicamente mixing e φ : ΣA → R um potencial recorrente que satisfaz a condição de Walters com PG (φ) < ∞. Consideremos m := h d ν onde h e ν é a autofunção e automedida do operador de Ruelle respectivamente, logo as seguintes afirmações são equivalentes: i.) m é φ − DLR; ii.) h(x) = α, ν − q.t.p., para algum α > 0. Teorema B. Sejam ΣA um shift de Markov topologicamente mixing com a propriedade BIP e φ : ΣA → R um potencial que satisfaz a condição de Walters com Var1 φ < ∞ e PG (φ) < ∞. Então: i.) {medida φ − DLR σ − inavariante} ∩ {h(·) (σ) < ∞} ⊂ {medida φ − Equilíbrio}; ii.) {medida φ − Equilíbrio} ⊂ {medidas φe − DLR σ − invariante}, onde φe = φ + log h − log h ◦ σ − PG (φ). A prova do teorema acima segue um roteiro análogo ao do Teorema A. É conhecido que quando um shift de Markov topologicamente mixing tem alfabeto finito e o potencial satisfaz a condição de Walters, as medidas conformes são finitas. Este resultado é conhecido como o Teorema de Ruelle-Perron-Frobenius e foi demonstrado por D. Ruelle em [Ru68]. Quando o alfabeto é enumerável com cardinalidade infinita, O. Sarig estende esse teorema e o resultado é chamado de Teorema Generalizado de Ruelle-Perron-Frobenius, Teorema 3.4 em [Sa5]. Nesse caso, as medidas conformes não são necessariamente de probabilidade, estas são σ−finitas podendo dar massa infinita ao shift de Markov; veja o Exemplo 37 quando β = 1. O fato de existirem medidas conformes σ−finitas inspira estender a noção de medidas DLR, que foram introduzidas como medidas de probabilidade, ao caso σ−finito e também o estudo das relações destas com as medidas conformes. É assim que nesta tese estendemos a definição de medida DLR para o caso de medidas σ−finitas; veja a Definição 77. Note que o Teorema A mostra a equivalência entre medidas DLR e conformes para o caso de medidas com massa finita. Estamos interessados em mostrar as relações entre medidas DLR e conformes para o caso σ−finito com massa infinita; isso sera abordado nos Teoremas C e D. Uma medida de probabilidade DLR é dada em termos de uma família de esperanças condicionais pré-definidas. Notemos que a esperança condicional está bem definida para este tipo de medida. Quando a medida é σ−finita, a esperança condicional pode ser definida sempre que a medida restrita à sub−σ−álgebra seja σ−finita com respeito a essa. A este fato chamaremos que a sub−σ−álgebra é compatível com a esperança condicional; veja a Definição 70. Para definir as medidas DLR no caso σ−finito, cada esperança condicional de {E[· | σ −n B]}n≥1 deve estar bem definida, isto é equivalente a exigir que cada sub-σ−álgebra σ −1 B ⊃ σ −2 B ⊃ . . . ⊃ σ −n B ⊃ . . . seja compatível com a esperança condicional. Nosso segundo resultado mostra que, impondo uma hipótese no potencial, cada esperança condicional de {E[· | σ −n B]}n≥1 está bem definida em relação às medidas conformes. Assim, estas podem ser nossas medidas DLR no caso σ−finito. Proposição B. Sejam ΣA o shift de Markov, φ : ΣA → R um potencial mensurável e ν uma medida (φ, λ)−conforme, para algum λ > 0, tal que ν ([a]) < ∞ para cada a ∈ S. Se kLφ 1k∞ < ∞ então ν πn−1 {a} < ∞ para cada n ∈ N e a ∈ S. Em particular σ −n B é compatível com a esperança condicional para cada n ≥ 1..

(19) 0.0. CONTEÚDO. 3. Notemos que a condição kLφ 1k∞ < ∞ não implica que a medida conforme seja finita; veja o Exemplo 37. A ideia da prova é usar a forma integral da medida conforme; para mais detalhes veja a demonstração da Proposição 78. Para um shift de Markov, qualquer medida conforme de massa finita associada a um potencial mensurável é DLR. Este fato foi demonstrado por O. Sarig; veja a Proposição 2.2 em [Sa5]. Nosso próximo resultado estende essa afirmação para medidas conformes σ−finitas. Teorema C. Sejam ΣA o shift de Markov, φ : ΣA → R um potencial mensurável e ν uma medida tal que ν πn−1 {a} < ∞ para cada n ≥ 0 e a ∈ S. Se ν é uma medida não-singular e (φ, λ)−conforme, para algum λ > 0, então é φ − DLR. Note que a hipótese ν πn−1 {a} < ∞, para cada n ≥ 0 e a ∈ S no teorema acima é para garantir que cada σ −n B seja compatível com a esperança condicional, para cada n ≥ 1. Assim cada esperança condicional de {E[· | σ −n B]}n≥1 está bem definida em relação à medida conforme ν. Quando ν é finita, essa hipótese é satisfeita trivialmente. O roteiro da prova é o mesmo usado por O. Sarig para demonstrar o caso finito, porém a demonstração passa por duas passagens importantes. A primeira é estender o resultado de convergência de Martingais para medidas σ−finitas, veja o Teorema 76, e a segunda é estender uma caracterização de medidas DLR dada por O. Sarig para o caso σ−finito, veja a Proposição 81. Para os detalhes da prova veja a demonstração do Corolário 85. . O próximo teorema é nosso último resultado sobre medidas DLR e conformes, este dá hipóteses necessárias e suficientes para que uma medida DLR no caso σ−finito seja conforme. Teorema D. Sejam ΣA um shift de Markov, φ : ΣA → R um potencial mensurável e m uma medida φ − DLR σ−invariante. Então Lφ (1) = λ m − q.t.p. se, e somente, se m é (φ, λ)−conforme, onde λ > 0. O segundo problema abordado nesta tese é a transição de fase tipo volume em shifts renewal. Shifts renewal são estudados por G. Iommi e O. Sarig em [Io] e [Sa3], respectivamente. Nestes trabalhos são obtidos resultados que mostram um bom comportamento destes shifts em relação aos modos de recorrência e também estudam a existência de medidas maximizantes. Consideremos um potencial φ : ΣA → R localmente Hölder tal que sup φ < ∞. O. Sarig mostrou que a família de potenciais {βφ}β>0 tem uma transição de fase tipo modo de recorrência, isto é, existe um único βc ∈ (0, ∞] tais que βφ é positivamente recorrente para cada β < βc e transiente para β > βc , veja o Teorema 5 em [Sa3]. Por outro lado G. Iommi mostrou que quando βc = ∞, neste caso existe uma medida que maximizante, isto é, existe m ∈ M1σ (ΣA ) tal que Z. φdm =. sup. ν∈M1σ (ΣA ). Z. . φdν ,. e quando βc < ∞ não existe medida maximizante, para mais detalhes veja o Teorema 1.1 em [Io]. O exemplo que deu origem ao estudo de transição de fase tipo volume em shifts renewal, foi o seguinte: Exemplo A. Seja ΣA o shift renewal e φ : ΣA → R o potencial dado por φ(x) = x0 − x1 . Para cada β > 0 pode-se mostrar que o potencial βφ é positivamente recorrente, neste caso βc = ∞, e temos associada uma automedida νβ tal que é finita para β ∈ (0, log 2) e infinita para cada β ∈ [log 2, +∞), para mais detalhes veja o Exemplo 37. Como pode-se ver, existe um β˜c = log 2 ≤ βc onde a medida muda de finita para infinita. A pergunta natural é se este fenômeno sempre acontece no shift renewal. Nosso próximo resultado dá uma resposta afirmativa. Teorema E. Sejam ΣA um shift renewal e φ : ΣA → R um potencial localmente Hölder tal que sup φ < ∞. Então existe β˜c ∈ (0, βc ] tal que νβ é uma medida finita para β ∈ (0, β˜c ) e é infinita para β ∈ (β˜c , βc ), onde νβ é a automedida associada ao potencial βφ..

(20) 4. CONTEÚDO. 0.0. O teorema acima além de demonstrar uma transição de fase tipo volume, mostra que sempre existe medida finita para valores de β > 0 pequenos. A prova é dada em dois passos. O primeiro passo é usar a forma integral das medidas conformes para cada potencial βφ, β < βc , e o comportamento dos shifts renewal. O segundo passo é estudar as propriedades da função ψ : (0, βc ) → R definida por PG (βφ) ψ(β) = . β Mostraremos que ψ tem as seguintes propriedades: • é contínua; • é decrescente; • lim ψ(β) = +∞. β→0+. Para os detalhes da prova, veja a demonstração do Teorema 105. A tese está organizada da seguinte forma: No Capítulo 1 fazemos uma introdução ao formalismo termodinâmico para shifts de Markov com alfabeto infinito enumerável abordando os principais resultados da área. Para isso, seguimos principalmente os trabalhos feitos por O. Sarig, [Sa1, Sa2, Sa4, Sa5], pois ele é a referência principal da área. Além disso, também citamos alguns resultados obtidos por V. Cyr, Y. Daon e O. Shwartz em [Cyr1], [Da] e [Sw], respectivamente. Neste capítulo estudamos conceitos como tipos de shift de Markov, regularidades do potencial, medidas conformes, pressão de Gurevich e medidas de equilíbrio. Os principais resultados deste capítulo são o Teorema Generalizado de Ruelle-PerronFrobenius (Teorema 36) que caracteriza cada potencial de acordo seu modo de recorrência, e o Teorema 46, que mostra a existência de uma autofunção e automedida para potenciais transientes. O primeiro teorema é dado por O. Sarig e o segundo por V. Cyr e O. Shwartz. No Capítulo 2 estudaremos medidas DLR em shifts de Markov com alfabeto infinito enumerável, onde consideraremos medidas σ−finitas. O primeiro resultado importante é o Teorema 93 que mostra a equivalência entre a medida DLR e conforme quando o shift de Markov tem a propriedade BIP ; é assim que temos uma classe de shifts de Markov onde a noção de medida DLR e de medida conforme são equivalentes mas para o caso de medidas finitas, pois a propriedade BIP e PG (φ) < ∞ imposta no shift de Markov implica que a medida conforme é finita. Na Seção 2.2 abordamos o estudo das medidas DLR σ−finitas. Na Subseção 2.2.1 estendemos a definição de Esperança Condicional e o Teorema da Convergência de Martingais para o caso σ−finito, isto é necessário para a próxima subseção. Na Subseção 2.2.2 estendemos a definição de medida DLR para o caso σ−finito; note que esta coincide com a definição clássica quando a medida é de probabilidade, veja a Definição 77. Além disso, mostraremos que, impondo uma condição no potencial, as medidas conformes σ−finitas são candidatas a ser DLR, veja a Proposição 78. Neste capítulo estendemos uma caracterização das medidas DLR para o caso σ−finito e demonstramos que toda medida conforme σ−finita é DLR, veja a Proposição 81 e o Corolário 85 respectivamente. Terminaremos este capítulo com o Teorema 89 que dá condições para uma medida DLR no shift de Markov ser conforme; a reciproca é falsa no caso geral. No Capítulo 3 abordaremos o problema de transição de fase tipo volume para shifts renewal. Na primeira parte deste capítulo estudaremos dois resultados importantes sobre shifts renewal, os Teoremas 99 e 101 dados por O. Sarig em [Sa3], e G. Iommi em [Io], respectivamente. O resultado principal deste capítulo aparece na Seção 3.1; Teorema 105. Este mostra a existência de transição de fase tipo volume na família de automedidas νβ correspondente aos potenciais βφ para 0 < β < βc . Além disso, mostraremos que um shift de Markov com um comportamento análogo ao shift renewal não tem transição de fase tipo volume, veja a Proposição 107..

(21) Capítulo 1. Formalismo Termodinâmico em Shifts de Markov sobre Alfabetos Enumeráveis 1.1. Shift de Markov. Seja S um conjunto enumerável com cardinalidade infinita, chamaremos S de alfabeto no decorrer deste trabalho e podemos pensar como sendo S = N. Seja A : S × S → {0, 1} uma matriz de zeros e uns sem colunas ou linhas que são todas zeros. O shift de Markov denotado por ΣA são as sequências permitidas (segundo a matriz A), isto é, n. o. ΣA := x = (x0 , x1 , . . . , xi , . . .) ∈ S N0 : A(xi , xi+1 ) = 1, ∀i ≥ 0 . Seja w = (w0 , w1 , . . . , wk−1 ), com wi ∈ S para 0 ≤ i ≤ k − 1, definimos o cilindro de w com comprimento k ∈ N pelo conjunto [w] := {x ∈ ΣA | xi = wi para 0 ≤ i ≤ k − 1}. Uma palavra permitida1 de tamanho n ∈ N é uma concatenação finita ω = (ω0 , ω1 , . . . , ωn−1 ) de n símbolos em S tal que [ω] 6= ∅. Para cada n ∈ N, denotaremos por Wn o conjunto de palavras com tamanho n. Fixado 0 < λ < 1, define-se a métrica em ΣA por dλ (x, y) = λinf {j:. xj 6=yj }. .. Note que cada cilindro é aberto e fechado em relação a métrica dλ e a topologia gerada pela métrica tem os cilindros como base. O shift de Markov (ΣA , dλ ) é um espaço métrico não-compacto e separável. Quando o alfabeto é finito sabe-se que o espaço é compacto. A seguir temos uma condição na matriz de transição para que cada cilindro seja compacto. Proposição 1. Seja ΣA um shift de Markov. Então somente, se cada cilindro é compacto. Demonstração. Consideremos 1. P. b∈S. P. b∈S. A(a, b) < ∞ para cada a ∈ S se, e. A(a, b) < ∞ para todo a ∈ S. Para cada a ∈ S e n ∈ N. Ao longo deste trabalho chamaremos simplesmente de palavra. 5.

(22) 6. Formalismo Termodinâmico em Shifts de Markov sobre Alfabetos Enumeráveis. definamos. 1.1. An (a) := {j1 , j2 , . . . jn ∈ S : A(a, j1 )A(j1 , j2 ) . . . A(jn−1 , jn ) = 1},. por hipótese temos que |A(a)| < ∞. Seja [ω] := [ω0 , ω1 , . . . , ωm−1 ] um cilindro arbitrário de tamanho m ∈ N. Desde que [ω] = {ω0 } × {ω1 } × . . . × {ωm−1 } × A(ωm−1 ) × A2 (ωm−1 ) × . . . An (ωm−1 ) × . . . e An (ωm−1 ) < ∞ para cada n ∈ N temos que [ω] é compacto na topologia produto. Como a topologia produto coincide com a topologia da métrica temos que [ω] é compacto. Suponhamos que [ω] := [ω0 , ω1 , . . . , ωm−1 ] seja um cilindro compacto de tamanho m ∈ N e b∈S A(ωm−1 , b) = ∞. Logo [ω] pode se escrever como. P. [ω] =. [. [ωb],. b∈S. onde {[ωb]}A(ωm−1 ,b) é uma cobertura de [ω], isso contradiz o fato que [ω] é compacto.. Seja σ a dinâmica em ΣA definida por σ:. ΣA. −→ ΣA. x = (x0 , x1 , . . .) 7−→ σ(x) = (x1 , x2 , . . .), esta aplicação é chamada de aplicação shift. A seguir vamos caracterizar os diferentes tipos de shifts de Markov que aparecem na literatura do formalismo termodinâmico. Definição 2. Dizemos que um shift de Markov ΣA é: i.) Transitivo, quando para todo a, b ∈ S existe N > 0, tal que [a] ∩ σ −N [b] 6= ∅. iii.) Topologicamente mixing, quando para todo a, b ∈ S existe Na,b > 0, tal que para todo n > Na,b , temos [a] ∩ σ −n [b] 6= ∅. iii.) Satisfaz a propriedade BIP se, e somente, se existe um conjunto finito B = {b1 , b2 , . . . , bm } de elementos em S tal que para qualquer a ∈ S existem i, j ∈ {1, 2, . . . , m} tais que A(bi , a) = A(a, bj ) = 1. iv.) Primitivo, quando existe k0 ∈ N e um sub-alfabeto F ⊂ S tal que qualquer par de símbolos do alfabeto S pode ser conectado por uma palavra com exatamente k0 símbolos em F. Dizemos que ΣA é finitamente primitivo quando F é finito. É fácil ver que todo shift de Markov topologicamente mixing é transitivo no entanto a recíproca não sempre é verdade. O seguinte lema mostra que as condições finitamente primitivo e BIP são equivalentes em shifts de Markov topologicamente mixing. A prova pode ser encontrada em [Sa5]. Lema 3. Seja ΣA um shift topologicamente mixing, então ΣA tem a propriedade BIP se, e somente, se ΣA é finitamente primitivo. Vale ressaltar que no lema anterior não precisamos o fato do shift ser topologicamente mixing para mostrar que todo shift finitamente primitivo satisfaz a propriedade BIP . Proposição 4. Seja ΣA um shift de Markov transitivo. Logo se, e somente, se ΣA é localmente compacto.. P. b∈S. A(a, b) < ∞ para cada a ∈ S.

(23) 1.2. Shift de Markov. 7. Demonstração. A primeira implicação é uma consequência direta da Proposição 1. Provemos a P recíproca, suponhamos que existe s ∈ S tal que b∈S A(s, b) = ∞. Seja x0 ∈ S e ω, υ duas palavras tais que x = (x0 , ω, sυ)per ∈ ΣA , como ΣA é um espaço Hausdorff, localmente compacto temos que existe um aberto U 3 x tal que U é compacto. Desde que U é aberto e a família de cilindros é a base da topologia temos que existe n ∈ N e um cilindro [θ] de tamanho n tal que x ∈ [θ] ⊂ U . Como [θ] é fechado temos que é compacto, assim todo subconjunto fechado tem que ser compacto P mas [x0 , ω, s] ⊂ [θ] não é compacto. Portanto b∈S A(a, b) < ∞ para todo a ∈ S. A seguir apresentamos um shift topologicamente mixing que não satisfaz a propriedade BIP e será estudado no Capítulo 3. Definição 5 (shift renewal). Consideremos a matriz de transição (Ai,j )N×N com entradas A(1, i), A(i, i − 1) igual a 1, para cada i ≥ 2, A(1, 1) = 1 e o resto das entradas igual a zero. O shift de Markov dada pela matriz A é chamado de shift renewal. O elemento 1 ∈ N é chamado de vértice de renewal.. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Figura 1.1: shift renewal. Note que o shift renewal, representado pelo grafo da Figura 1.1, é topologicamente mixing e não satisfaz a propriedade BIP . Observação 6. G. Iommi em [Io], inspirado no shift renewal define uma classe de shifts de Markov que tem o comportamento do shift renewal e chama de classe renewal. A classe renewal e denotada por ΣR e são todos os shifts topologicamente mixing tais que para cada n ∈ N há no máximo uma palavra admissível x0 x1 . . . xn−1 de tamanho n satisfazendo A(xn−1 , 1) = 1 e xi = 1 se, e somente, se i = 0. Exemplo 7. Consideremos {dn }n∈N uma sequência crescente em N tal que lim dn = +∞. Non→∞ temos que o shift representado pelo grafo da Figura 1.2 é um shift que pertence a classe ΣR e denotaremos por ΣR1 .. 1. ···. .... d1. .... Figura 1.2. d2. .... dn. ....

(24) 8. Formalismo Termodinâmico em Shifts de Markov sobre Alfabetos Enumeráveis. 1.2. 1.2. Regularidade do Potencial. Uma função real e contínua definida em ΣA será chamada de potencial. Dado qualquer potencial φ : ΣA → R, para cada n ∈ N definimos: i.) a n−ésima soma ergódica de φ por φn :=. n−1 X. φ ◦ σi.. i=0. ii.) a n−ésima variação de φ como Varn φ := sup {|φ(x) − φ(y)| : x0 = y0 , x1 = y1 , . . . , xn−1 = yn−1 } . A seguir definimos algumas regularidades no potencial. Definição 8. Dado um potencial φ : ΣA → R, dizemos que φ: i.) é somável se. X. esup φ|[i] < ∞,. i≥1. onde sup φ|[i] := supx∈[i] φ(x). ii.) é localmente Hölder quando existem uma constante Hφ > 0 e r ∈ (0, 1) tais que, para todo inteiro k ≥ 2, temos Vark φ ≤ Hφ rk . iii.) tem variação somável se. Varφ :=. X. Vark φ < ∞.. k≥2. iv.) satisfaz a condição de Walters, se sup Varn+k φn < ∞, para cada k ≥ 1, e lim sup Varn+k φn = 0. k→∞ n≥1. n≥1. A condição localmente Hölder significa que a k−ésima variação, Vark φ, decai exponencialmente a zero quando k → ∞. Claramente a condição localmente Hölder é mais forte que a variação somável. Cada uma destas condições implicam que o potencial é uniformemente contínuo, no entanto elas não implicam que o potencial seja limitado, pois sup |φ(x) − φ(y)| < ∞ não está incluída x,y∈ΣA. nestas definições.. A seguinte proposição mostra que a condição de Walters é mais fraca que a variação somável. A prova pode ser encontrada em [Sa5]. Proposição 9. Sejam ΣA um shift de Markov e φ : ΣA → R um potencial com variação somável. Para todo n ≥ 1 e qualquer palavra a = (a0 , a1 , . . . , an−1 ) de tamanho n, se x, y ∈ σ[an−1 ] e x0 = y0 , x1 = y1 , . . . , xm−1 = ym−1 , então |φn (ax) − φn (ay)| ≤. ∞ X. Vark φ.. k=m+1. A condição de Walters foi introduzida por P. Walters em [Wal78] para shifts de Markov com alfabeto finito, isto é, shifts de Markov compactos. A definição original não incluía a condição supn≥1 Varn+k φn < ∞ para k ≥ 1 pois no caso compacto esta é uma consequência de.

(25) 1.3. Medidas Conformes. 9. limk→∞ supn≥1 Varn+k φn = 0. A classe de potenciais que satisfazem a condição de Walters é a maior classe de potenciais onde o formalismo termodinâmico está desenvolvido. A seguir mostramos um exemplo de potenciais que satisfazem a condição de Walters. Exemplo 10. Seja φ : ΣA → R um potencial tal que φ depende do primeiro símbolo, isto é, φ(x) = x0 . É fácil ver que Varn+k (φn ) = 0 para cada n ∈ N e cada k ≥ 1, logo φ satisfaz a condição de Walters. Lema 11. Sejam ΣA um shift de Markov e φ : ΣA → R um potencial que satisfaz a condição de Walters com Var1 φ < ∞. Existe M > 0 tal que para cada cilindro [w] de tamanho n ∈ N temos |φn (x) − φn (y)| ≤ M,. (1.1). onde x, y ∈ [w]. Demonstração. Definamos M0 := supn≥1 Varn+1 φn + Var1 φ. Dado [w] um cilindro de tamanho n ≥ 1, definamos φn [w] := inf φn (x), x∈[w]. e. φn [w] := sup φn (x). x∈[w]. Notemos que para cada x ∈ [w] temos

(26)

(27)

(28)

(29)

(30) φn [w] − φn (x)

(31) ≤ M0 ,.

(32)

(33)

(34)

(35)

(36) φn [w] − φn (x)

(37) ≤ M0 .. e. (1.2). Das desigualdades de (1.2) obtemos a desigualdade (1.1). Observação 12. Nas condições do lema acima temos que dado um cilindro [w] de tamanho n ∈ N, existem constantes finitas C1 (w) e C2 (w) tal que C1 (w) < φn (x) < C2 (w),. 1.3. para todo x ∈ [w].. Medidas Conformes. M. Denker e M. Urbański introduzem uma definição geral de medida conforme, Definição 13, para espaços métricos compactos e estudam suas propriedades assim como as condições suficientes para sua existência, veja [DeUr]. As medidas conforme aparecem originalmente em [Pa], e são obtidas em conjuntos limite de subgrupos discretos finitamente gerados de aplicações conformes no espaço hiperbólico. Definição 13 ([DeUr]). Sejam (Ω, F ) um espaço mensurável, T : Ω → Ω um endomorfismo mensurável e φ : Ω → [0, ∞) um potencial mensurável. Uma medida µ em F é chamada φ−conforme se, Z µ(T (A)) =. A. φ(x) d µ(x),. (1.3). onde A ∈ F é tal que T (A) é mensurável e T : A → T (A) é invertível. O conjunto A é chamado de especial. Da Equação (1.3) temos que, estudar a existência de medidas conformes é equivalente a estudar condições para que µ ◦ T µ e que a derivada de Radon-Nikodým seja d dµ◦T µ = φ em cada conjunto especial. As medidas satisfazendo a Equação (1.3) desempenham um papel importante no estudo da teoria de equilíbrio em sistemas dinâmicos, para mais detalhes veja [DeUr]..

(38) 10. 1.3. Formalismo Termodinâmico em Shifts de Markov sobre Alfabetos Enumeráveis. 1.3.1. Medidas Conformes no shift de Markov. Ao longo deste trabalho denotaremos por B a σ−álgebra de Borel em ΣA . Definição 14. Sejam ΣA um shift de Markov e ν uma medida em B. Denotamos ν } σ a medida definida por X ν } σ(E) := ν σ(E ∩ [a]) , E ∈ B. a∈S. Notemos que: i) ν } σ está bem definida. Para isso devemos mostrar que para cada a ∈ S e cada E ∈ B, σ E ∩ [a] ∈ B. . Com efeito, fixado a ∈ S consideremos, σ|[a] :[a] −→A = {y ∈ ΣA | ay ∈ ΣA } 7−→σ|[a] (x) = σ(x). x. é fácil ver que σ|[a] é bijetora e um homeomorfismo sobre sua imagem. Para cada E ∈ B temos que E ∩ [a] é mensurável em [a] ∩ B logo σ|[a] E ∩ [a] é mensurável em A e por consequência é mensurável em B, pois A = ∪b∈S|A(a,b)=1 [b] é mensurável em B. Notemos que a afirmação foi consequência do fato que σ|[a] : [a] → σ[a] é um homeomorfismo, para cada a ∈ S. ii) Em geral (ν } σ)(E) 6= ν ◦ σ(E). É fácil ver que ν } σ [ac] ∪ [bc] = 2ν([c]), no entanto ν σ([ac] ∪ [bc]) = ν[c]. Podemos entender (ν } σ)(E) como a medida de σ(E) contando multiplicidades. . . Definição 15. Sejam (Ω, F, µ) um espaço de medida e T : Ω → Ω uma aplicação mensurável. A medida µ (ou a aplicação T ) é chamada não-singular, se µ ◦ T −1 ∼ µ, isto é, µ(T −1 E) = 0 se, e somente, se µ(E) = 0, E ∈ F. Lema 16. Sejam ΣA um shift de Markov e ν uma medida em B. Então: i.) Para toda função mensurável f : ΣA → [0, ∞), temos Z ΣA. f dν } σ =. XZ a∈S σ[a]. f (ax) d ν(x).. ii.) Se ν é não-singular então, ν ν } σ. Demonstração. i)

(39) Seja E ∈ B e consideremos f := 1E . Logo usando a definição da medida ν } σ e o fato que σ

(40) [a] : [a] → σ[a] é um homeomorfismo, temos Z ΣA. 1E (x) d ν } σ(x) =. Z E. dν } σ. = ν } σ(E) =. X. ν σ(E ∩ [a]). . a∈S. =. XZ a∈S σ(E∩[a]). dν.

(41) 1.3. 11. Medidas Conformes. = = = = =. XZ. 1σ|[a] (E∩[a]) (x) d ν(x). a∈S ΣA. XZ. 1E∩[a] σ|−1 [a] x d ν(x) . a∈S ΣA. XZ. −1 1E σ|−1 [a] x 1[a] σ|[a] x d ν(x). . a∈S ΣA. XZ. . 1E ax 1σ[a] x) d ν(x) . a∈S ΣA. XZ a∈S σ[a]. 1E (ax) d ν(x).. As igualdades acima se estendem facilmente para funções simples. Seja f ≥ 0 uma função mensurável, logo existe uma sequencia de funções simples {sn }n≥1 tais que 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ . . . ≤ n→∞ sn ≤ . . . ≤ f e sn (x) −→ f (x) para todo x ∈ ΣA . Pelo Teorema da Convergência Monótona temos Z ΣA. Z. f d ν } σ = lim. n→∞ Σ A. XZ. = lim. n→∞. =. X a∈S. =. sn d ν } σ. a∈S σ[a]. lim. Z. n→∞ σ[a]. XZ a∈S σ[a]. sn (ax) d ν(x) sn (ax) d ν(x). f (ax) d ν(x).. ii) Seja E ∈ B tal que ν } σ(E) =

(42) 0, isto é, ν(σ(E ∩ [a])) = 0 para todo a ∈ S. Por hipótese ν é −1 −1

(43) não-singular e então temos ν σ σ [a] (E ∩ [a]) = 0. Como σ|−1 [a] σ|[a] (E ∩ [a]) ⊂ σ σ|[a] (E ∩ [a]) e σ|[a] é um homeomorfismo local temos ν E ∩ [a] = 0 para todo a ∈ S, logo ν E = 0. Portanto ν ν } σ. . . Pelo lema anterior temos que a partir de uma medida µ não-singular em B a derivada de dµ Radon-Nikodým está bem definida. dµ } σ Definição 17 ([Sa5]). Sejam ΣA um shift de Markov, φ : ΣA → R um potencial mensurável e µ uma medida σ−finita e não-singular em B. Dizemos que µ é (φ, λ)−conforme, se dµ = λ−1 eφ , dµ } σ. µ − q.t.p.,. (1.4). onde λ > 0. Na Proposição 19 mostraremos a relação entre as medidas conformes segundo O. Sarig e DenkerUrbanski, Definições 17 e 13 respectivamente, para isso primeiro mostraremos o seguinte lema. Lema 18. Sejam ΣA um shift de Markov e µ uma medida em B. A família dos cilindros {[a] : a ∈ S} formam uma partição mensurável de elementos especiais para ΣA . Demonstração. Seja a ∈ S arbitrário, temos que σ : [a] → σ[a] é bijetora e um homeomorfismo. Proposição 19. Sejam ΣA um shift de Markov, µ uma medida em B e φ : ΣA → R uma função mensurável. Então µ é eφ −conforme segundo Denker-Urbanski (Definição 13) se, e somente, se µ é não-singular e (−φ, 1)−conforme segundo Sarig (Definição 17)..

(44) 12. Formalismo Termodinâmico em Shifts de Markov sobre Alfabetos Enumeráveis. 1.4. Demonstração. Consideremos µ uma medida eφ −conforme segundo Denker-Urbanski. Então µ (σ(E ∩ [a])) =. Z E∩[a]. eφ d µ,. (1.5). onde E ∈ B e a ∈ S. Seja E ∈ B, usando a Equação (1.5) temos. µ } σ(E) =. X. µ(σ(E ∩ [a])). a∈S. = = logo. XZ a∈S E∩[a]. Z E. eφ d µ. eφ d µ,. dµ } σ = eφ . dµ. (1.6). dµ = e−φ . Além disso a Equação (1.6) implica que µ é não-singular. Portanto µ é uma Portanto d µ}σ medida (−φ, 1)−conforme segundo Sarig. A prova da recíproca é direta.. 1.4. Operador de Ruelle. Consideremos |S| < ∞ e φ : ΣA → R um potencial contínuo. D. Ruelle em [Ru76] definiu o operador Lφ : C (ΣA ) → C (ΣA ) da seguinte maneira Lφ f (x) :=. X. eφ(y) f (y),. (1.7). σy=x. onde f : ΣA → R é uma função contínua. Note que o operador Lφ está bem definido e é chamado de operador de Ruelle. Notemos que em geral quando o alfabeto é enumerável com |S| = ∞ o somatório da Equação (1.7) pode explodir pois o conjunto das pre-imagens, {y ∈ ΣA | σy = x}, pode ser infinito e neste caso o operador de Ruelle não está bem definido. No entanto existem várias maneiras de definir o operador de Ruelle e para isso devemos considerar alguma regularidade no potencial ou no shift de Markov. A seguir estudaremos o operador de transferência o qual nos fornecerá as hipóteses necessárias para definir o operador de Ruelle, para mais detalhes veja [Aar] e [Sa5].. 1.4.1. Operador de Transferência. Definição 20. Sejam (Ω, F, µ) um espaço de medida σ−finita, µ não-singular e T : Ω → Ω uma aplicação mensurável. O operador Tb : L1 (µ) → L1 (µ) definido por Tbf :=. d µf ◦ T −1 , dµ. onde d µf := f d µ,. e é chamado de operador de transferência. Notemos que o operador Tb está bem definido como operador em L1 (µ) pois: i.) A derivada de Radon-Nikodým está bem definida..

(45) 1.4. Operador de Ruelle. 13. Seja E ∈ F tal que µ(E) = 0, como µ é não-singular logo µ T −1 E = 0. Assim para cada f ∈ L1 (µ) temos . µf (T −1 E) =. Z T −1 E. f d µ = 0.. Logo µf ◦ T −1 µ. ii.) Para toda f ∈ L1 (µ) temos Tbf ∈ L1 (µ). Seja f ∈ L1 (µ), logo kTbf k1 =. Z. sgn(Tbf ).Tˆf d µ =. Z. =. Z. sgn(Tbf ) ◦ T.f d µ ≤ kf k1 < ∞.. sgn(Tbf ) d µf ◦ T −1. A seguir apresentamos algumas propriedades do operador de transferência, cujas provas podem ser encontradas em [Sa5] Proposição 2.3. Proposição 21. Sejam (Ω, F, µ) um espaço de medida σ−finita, µ não-singular e T : Ω → Ω uma aplicação mensurável. Logo: i.) Se f ∈ L1 (µ) então Tbf é a única L1 (µ)−função tal que para cada ϕ ∈ L∞ (µ), Z. ϕ.Tbf d µ =. Z. (ϕ ◦ T ) f d µ.. (1.8). ii.) Para cada f ≥ 0, temos Tbf ≥ 0. iii.) O operador de transferência é linear e limitado em L1 (µ). Além disso kTbk1 = 1. iv.) Para cada f ∈ L1 (µ), temos. v.) Para f ∈ L1 (µ) não-negativa tal que é σ−invariante.. Z. Tbf d µ =. Z. R. f d µ = 1, então Tbf = f se, e somente, se d m = f d µ. f d µ.. (1.9). A propriedade do operador de transferência dada pela Equação (1.9) é denotada por Tb∗ µ = µ. A seguinte proposição define ao operador de transferência para um shift de Markov de forma explicita. Proposição 22. Sejam ΣA um shift de Markov e µ uma medida não-singular em B. Então o operador de transferência para σ é dado por b f (x) = σ . dµ (y)f (y), σy=x d µ } σ X. µ − q.t.p.,. (1.10). para cada f ∈ L1 (µ). A seguir apresentamos o seguinte corolário que será usado no Capítulo 2. Corolário 23. Sejam ΣA um shift de Markov e µ uma medida σ−finita em B. Se µ é σ−invariante então X dµ 1= (y), µ − q.t.p. em B. (1.11) σy=x d µ } σ.

(46) 14. Formalismo Termodinâmico em Shifts de Markov sobre Alfabetos Enumeráveis. 1.4. Demonstração. Pela definição do operador de transferência temos d µ ◦ σ −1 . dµ. σ ˆ (1) =. Como µ é σ−invariante então µ ◦ σ −1 (E) = µ(E) para todo E ∈ B. Logo 1=σ ˆ (1),. µ − q.t.p. em B.. (1.12). Seja E ∈ B Z E. σ ˆ (1) (x) d µ(x) =. Z. 1E (x) d µ ◦ σ−1 (x) =. Z. 1E ◦ σ(x) d µ(x).. (1.13). Usando o item i.) do Lema 16 e o Teorema da Convergência Monótona temos Z. 1E ◦ σ(x) d µ(x) = =. Z. dµ (x) d µ } σ(x) dµ } σ dµ ◦ σ) (ax) · (ax) d µ(x) dµ } σ. 1E ◦ σ(x) ·. XZ a∈S σ[a]. =. XZ. =. Z. =. Z. (1E. 1σ[a] (x)1E ◦ σ(ax) ·. a∈S. 1E (x). X. 1σ[a] (x) ·. a∈S. dµ (ax)dµ(x) dµ } σ. dµ (ax) d µ(x) dµ } σ. dµ (y) d µ(x). E σy=x d µ } σ X. (1.14). Das Equações (1.12), (1.13) e (1.14) temos Z E. 1dµ =. dµ (y) d µ(x), d µ }σ E σy=x. Z. X. para todo E ∈ B.. (1.15). Logo obtemos a Equação (1.11). Consideremos |S| = ∞ e enumerável. Sejam ΣA um shift de Markov e φ : ΣA → R um potencial mensurável. Suponhamos que existe uma medida µ não-singular e σ−finita em B tal que µ é (φ, λ)−conforme, para algum λ > 0. Logo pela Proposição 22 temos que eφ(y) f (y) ∈ L1 (µ),. X σy=(·). para cada f ∈ L1 (µ). Portanto, para cada f ∈ L1 (µ) o somatório X. eφ(y) f (y),. σy=x. converge µ − q.t.p.. Definição 24 (Operador de Ruelle). Sejam ΣA um shift de Markov, φ : ΣA → R um potencial mensurável e µ uma medida não-singular σ−finita. Se µ é (φ, λ)−conforme, para algum λ > 0, definimos o operador de Ruelle Lφ : L1 (µ) → L1 (µ) por Lφ f (x) =. X σy=x. eφ(y) f (y)..

(47) 1.4. Operador de Ruelle. 15. A definição acima mostra a importância de encontrar medidas µ sendo (φ, λ)−conformes em shifts de Markov. No entanto a medida µ não somente é importante para que o operador de Ruelle esteja bem definido µ − q.t.p., mas também a importância está em que pelo item iv) da Proposição 21, µ é uma automedida do dual do operador de Ruelle L∗φ (µ) = λµ, isto deve ser entendido no sentido que Z Z Lφ f d µ = λ. f dµ. para toda f ∈ L1 (µ).. Dizemos que um potencial φ : ΣA → R normaliza o operador de Ruelle se, Lφ 1 = 1. A seguinte Proposição diz que as medidas (φ, λ)−conformes são equivalentes às automedidas do dual do operador de Ruelle. Proposição 25. Sejam ΣA um shift de Markov, φ : ΣA → R um potencial mensurável e µ uma medida σ−finita. Então µ é (φ, λ)−conforme se, e somente, se Z. Lφ f d µ = λ. Z. f d µ,. para cada f ∈ L1 (µ),. (1.16). onde λ > 0. Demonstração. Seja E ∈ B. Usando item i.) do Lema 16 temos. λ−1. Z. 1E (x)eφ(x) d µ } σ(x) = λ−1. XZ a∈S σ[a]. = λ−1. Z X. = λ−1. Z. = λ−1. Z. 1E (ax)eφ(ax) d µ(x). 1σ[a] (x)1E (ax)eφ(ax) d µ(x). a∈S. X. 1E (y)eφ(y) d µ(x). σ(y)=x. Lφ 1E (x) d µ(x).. Logo, para todo E ∈ B temos λ−1. Z. 1E (x)eφ(x) d µ } σ(x) = λ−1. Z. Lφ 1E (x) d µ(x).. (1.17). Consideremos µ uma medida (φ, λ)−conforme e E ∈ B. De (1.17) obtemos λµ E = . Z. Lφ 1E (x) d µ(x).. (1.18). Seja f ∈ L1 (µ) tal que f ≥ 0, logo existem funções simples {sn }n≥1 tais que 0 ≤ s1 (x) ≤ s2 (x) ≤ . . . ≤ sn (x) ≤ . . . ≤ f (x). e. n→∞. sn (x) −→ f (x).. Notemos que sn ∈ L1 (µ) para cada n ∈ N. Usando (1.18) e o Teorema da Convergência Monótona obtemos Z. λ. f (x) d µ(x) = λ lim. Z. n→∞. = =. lim. Z. n→∞. Z. sn (x) d µ(x). Lφ sn (x) d µ(x). lim Lφ sn (x) d µ(x). n→∞.

(48) 16. Formalismo Termodinâmico em Shifts de Markov sobre Alfabetos Enumeráveis. =. f −.. Z. 1.4. Lφ f (x) d µ(x).. No caso em que f toma valores reais basta repetir o argumento apresentado acima para f + e Notemos que neste caso f + , f − ∈ L1 (µ) e assim o resultado segue.. Agora consideremos µ satisfazendo a Equação (1.16). Seja {Ai }i≥1 uma partição mensurável disjunta tal que µ (Ai ) < ∞ para cada i ≥ 1. Para cada E ∈ B usando as Equações (1.16) e (1.17) obtemos Z −1 µ E ∩ Ai = λ eφ(x) d µ } σ(x) para cada i ≥ 1. (1.19) E∩Ai. De (1.19) obtemos µ E. . =. X. µ E ∩ Ai. . i≥1. = λ. XZ. = λ−1. Z. −1. i≥1 E∩Ai. E. eφ(x) d µ } σ(x). eφ(x) d µ } σ(x),. (1.20). portanto µ é uma medida (φ, λ)−conforme. Observação 26. Cada medida conforme é não-singular, em efeito, provaremos isto por contrapo −1 −1 sição. Consideremos F ∈ B tal que µ(F ) = 0 e µ σ F > 0, note que µ } σ σ F = 0, logo µ não satisfaz (1.20). Analogamente suponhamos que F ∈ B tal que µ(F ) > 0 e µ σ −1 F = 0, como µ } σ σ −1 F > 0 temos que µ não satisfaz (1.20). A existência de medidas conformes em um shift de Markov dependem do potencial e do shift de Markov, como mostra o seguinte teorema dado por O. Sarig. A prova é muito técnica e longa por isso apresentaremos um resumo dela por ser um resultado muito importante na teoria de shifts de Markov com alfabeto enumerável e cardinalidade infinita, para os detalhes da prova veja o Teorema 2.9 em [Sa5]. Teorema 27. Sejam ΣA um shift transitivo e φ : ΣA → R é um potencial que satisfaz a condição de Walters. Então i.) log λ := lim supn→∞ ii.). P. n≥1 λ. −n Z. n (φ, a). 1 n. log Zn (φ, a) < ∞;. = ∞,. φn (x) 1 (x) se, e somente, se existe uma medida ν conservativa2 e onde Zn (φ, a) = [a] σ n x=x e (φ, β)−conforme tal que 0 < ν([a]) < ∞ para cada a ∈ S. Neste caso β = λ.. P. Demonstração. Consideremos λ < ∞ e n≥1 λ−n Zn (φ, a) = ∞. Fixemos a ∈ S e xa ∈ [a] uma configuração periódica. Para cada n ∈ N e b ∈ S definamos P. an :=. n X. λ−k Zk (φ, a);. k=1. νnb :=. n X 1 X λ−k eφk (y) 1[b] (y)δy . an k=1 k. (1.21). σ y=xa. Notemos que an → ∞ e νnb é uma medida suportada em [b] ∩ B. O seguintes fatos podem ser demonstrados: 2. Veja Definição 33..

(49) 1.4. 17. Operador de Ruelle. a.) Para cada b ∈ S temos 0 < lim inf νnb (ΣA ) ≤ lim sup νnb (ΣA ) < ∞ n→∞. (1.22). n→∞. b.) Para cada b ∈ S e ε > 0 existe K(b, ε) ⊂ ΣA compacto tal que νnb (ΣA \ K(b, ε)) < ε,. para n ≥ 1.. Estes itens a.) e b.) junto com o fato que ΣA é um espaço métrico completo e separável garantem as hipóteses do Teorema de Helly-Prohorov, veja Teorema 2.8 in [Sa5]. Assim para cada b ∈ S ∗ existem uma subsequência {nk(b) }k(b)∈N e uma medida ν b tais que νnb k(b) → ν b . Definamos ν :=. X. (1.23). ν b,. b∈S. pela Equação (1.23) e o item a.) temos 0 < ν([a]) < ∞ para cada a ∈ S. A seguir mostraremos que L∗φ ν 1[ω] = λν([ω]), onde [ω] é um cilindro de tamanho arbitrário. Usando as Equações (1.21) e (1.23), para cada b ∈ S e N ∈ N temos . . ν. . 1[x0 <N ] Lφ 1[ω]. . =. X. νb. . 1[x0 <N ] Lφ 1[ω]. . b∈S. =. b∈S. =. nk(b) →∞. = = =. nk(b) →∞. nk(b) →∞. nk(b) →∞. +. = λν. . . . 1[x0 <N ] Lφ 1[ω]. . λ−j Lj+1 φ. . 1[x1 <N ] 1[ω]. . λ−j−1 Lj+1 φ. j≥1 nk(b). (xa ). . (xa ). λ−j Ljφ. . . . . 1[x1 <N ] 1[ω]. (xa ). (xa ). . (xa ). 1[x1 <N ] 1[ω] (xa ) . j≥1 n. ank(b). nk(b) →∞. . 1[b] 1[x0 <N ] Lφ 1[ω]. j≥1 nk(b). λ. lim. nk(b) →∞. . λ−j Ljφ. j≥1 nk(b). ank(b). nk(b) →∞. lim. . . X. lim. − = λ. ank(b). 1[b] 1[x0 <N ] Lφ 1[ω]. . λ−j Ljφ. λ−j Ljφ. X. λ. lim. σ j y=xa. j≥1. X. λ. lim. X. X. ank(b). eφj (y) 1[b] (y)1[x0 <N ] (y)Lφ 1[ω] (y). X. nk(b). ank(b). . j≥1 nk(b). ank(b). 1. lim. X. 1 1. nk(b) →∞. λ−j. j≥1 nk(b). ank(b). nk(b) →∞. lim. X. ank(b). lim. 1[x0 <N ] Lφ 1[ω]. nk(b). 1. lim. X. . 1. nk(b) →∞. b<N. =. νnb k(b). lim. X b∈S. =. nk(b) →∞. X b∈S. =. lim. X. λ−nk(b) −1 Lφk(b). λ ank(b). 1 ank(b). λ−1 Lφ. . λ−j Ljφ. . nk(b). X j≥1. 1[x1 <N ] 1[ω] . . +1. . 1[x1 <N ] 1[ω] (xa ) . 1[x1 <N ] 1[ω] (xa ) . 1[x1 <N ] 1[ω] (xa ) .

(50) 18. Formalismo Termodinâmico em Shifts de Markov sobre Alfabetos Enumeráveis. 1.4. Portanto para cada b ∈ S e [ω] cilindro de tamanho arbitrário temos ν. . 1[x0 <N ] Lφ 1[ω] = λν 1[x1 <N ] 1[ω] . . . . Seja N ∈ N, denotemos gN := 1[x0 <N ] e hN := 1[x1 <N ] , logo gN −→ Equação (1.24) e o Teorema da Convergência Monótona temos. N →∞. ν Lφ 1[ω] . . = =. lim ν gN Lφ 1[ω] . (1.24) →∞ 1 e hN N−→ 1. Usando a. . N →∞. lim λν hN 1[ω] . . N →∞. = λν ([ω]) . Como [ω] é um cilindro de tamanho arbitrário e a coleção de todos os cilindros é a base da topologia, logo pelo fato de ν ser uma medida regular temos que ν (Lφ f ) = λν(f ),. para cada f ∈ L1 (ν).. (1.25). Pela Equação (1.25) e a Proposição 25 temos que ν é (φ, λ)−conforme. Além disso pelo Teorema 2.2 em [Sa5] temos que ν é conservativa. Agora suponhamos que ν é uma medida conservativa e (φ, β)−conforme. Pode-se mostrar que P λ ≤ β, logo log λ < ∞. Como n≥1 β −n Zn (φ, a) = +∞, veja o Teorema 2.2 em [Sa5], e X n≥1. β −n Zn (φ, a) ≤. X. λ−n Zn (φ, a),. n≥1. logo temos o item ii.). O Teorema 27 fornece condições para que o operador de Ruelle esteja bem definido. Porém podese impor outros tipos de regularidades no potencial ou no shift de Markov. A seguir apresentamos alguns casos: a.) Sejam ΣA um shift de Markov transitivo e localmente compacto, e φ : ΣA → R um potencial contínuo. O operador de Ruelle pode ser definido no conjunto de funções contínuas com suporte compacto Cc (ΣA ), isto é, Lφ : Cc (ΣA ) → Cc (ΣA ) . Note que Lφ está bem definido. De fato, seja f ∈ Cc (ΣA ) então existem b1 , b2 , . . . , bN ∈ S tal que supp (f ) ⊂ ∪N i=1 [bi ], logo: i.) Lφ é contínuo. Seja x ∈ ΣA . Dado ε = 2−n , n ∈ N, para cada i ∈ {1, 2, . . . , N } satisfazendo A(bi , x0 ) = 1 existe δi > 0 tal que

(51)

(52)

(53) φ(bi x)

(54) f (bi x) − eφ(z) f (z)

(55) < εN

(56) e. (1.26). para todo z ∈ ΣA tal que d(bi x, z) < δi . Definindo δ := min{δi : i = 1, . . . , N }, por (1.26) para cada y ∈ ΣA tal que d(x, y) < δ temos

(57)

(58)

(59)

(60) X

(61)

(62) φ(ξx) φ(ξy)

(63) |Lφ f (x) − Lφ f (y)| =

(64) e f (ξx) − e f (ξy)

(65)

(66)

(67) ξ∈S|A(ξ,x0 )=1

(68)

(69)

(70) X

(71) φ(ξx)

(72) ≤ f (ξx) − eφ(ξy) f (ξy)

(73)

(74) e ξ∈S|A(ξ,x0 )=1.

(75) 1.4. Operador de Ruelle. N X. ≤. 19.

(76)

(77)

(78) φ(bi x)

(79) f (bi x) − eφ(bi y) f (bi y)

(80)

(81) e. i=1|A(bi ,x0 )=1. < ε. ii.) Lφ f ∈ Cc (ΣA ). Como f tem suporte compacto temos Lφ f (x) =. X. eφ(y) f (y). σy=x. ≤. N X X. eφ(y) max f (ξ).1[bi ] (y). σy=x i=1 N X. ≤. ξ∈[bi ]. eφ(bi x) max f (ξ).. i=1|A(bi ,x0 )=1. ξ∈[bi ]. (1.27). Pelas Proposições 1 e 4 temos que b∈S A(b, a) < ∞, para cada a ∈ S, logo (1.27) é zero fora de uma união finita de cilindros. Portanto Lφ f tem suporte compacto. P. b.) Consideremos ΣA um shift de Markov e φ : ΣA → R um potencial somável. Note que Lφ : Cb (ΣA ) → Cb (ΣA ) está bem definido. Além disso, se ΣA é um shift transitivo e φ é localmente Hölder então existe ν medida de probabilidade tal que L∗φ ν = λν, veja Lema 2.8 em [MaUr1], onde λ é dado pelo item i.) do Teorema 27. c.) Note que na definição do Operador de Ruelle do item b.) a hipótese do potencial pode ser enfraquecida pedindo que kLφ 1k∞ < ∞.. 1.4.2. Pressão de Gurevich. Nesta subseção apresentamos a definição da Pressão de Gurevich, este conceito é importante por sua relação com as medidas de equilíbrio, veja a Seção 1.5. Definição 28. Sejam ΣA um shift topologicamente mixing e φ : ΣA → R um potencial que satisfaz a condição de Walters. A pressão de Gurevich de φ é definida por 1 log Zn (φ, a), n→∞ n. PG (φ) := lim onde Zn (φ, a) =. P. σ n x=x e. φn (x). (1.28). 1[a] (x).. Nas condições da Definição 28, o limite da Equação (1.28) existe para todo a ∈ S, não depende de a ∈ S e −∞ < PG (φ) ≤ ∞, veja [Sa5]. A pressão de Gurevich tem um papel importante na teoria das medidas de equilíbrio, citaremos alguns resultados importantes desta na Seção 1.5. Definição 29. Sejam φ, ψ : ΣA → R dois potenciais. Dizemos que φ e ψ são cohomólogos através da função contínua h : ΣA → R se φ = ψ + h − h ◦ σ e denotaremos por φ ∼ ψ. A seguir temos algumas propriedades da pressão de Gurevich e a prova os detalhes da prova veja Proposição 4.4 em [Sa5]. Proposição 30. Sejam ΣA um shift topologicamente mixing e φ, ψ : ΣA → R dois potenciais satisfazendo a condição de Walters, então a pressão de Gurevich tem as seguintes propriedades: i) Adição de constante: Para cada c ∈ R temos PG (φ + c) = PG (φ) + c..

(82) 20. Formalismo Termodinâmico em Shifts de Markov sobre Alfabetos Enumeráveis. 1.4. ii) Convexidade: Para t ∈ [0, 1] temos PG (tφ + (1 − t)ψ) ≤ tPG (φ) + (1 − t)PG (ψ). iii) Cohomologia: Se φ ∼ ψ então PG (φ) = PG (ψ). A seguir temos mais propriedades da pressão de Gurevich envolvendo o operador de Ruelle, para os detalhes da prova veja a Proposição 3.2 em [Sa5]. Proposição 31. Seja ΣA um shift topologicamente mixing e φ : ΣA → R um potencial que satisfaz a condição de Walters, logo i.) Se kLφ 1k∞ < ∞, então PG (φ) < ∞. ii) Se PG (φ) < ∞, então Lnφ 1[a] é finito para cada n ∈ N e a ∈ S. iii.) Para cada função contínua e limitada f não negativa, não identicamente igual a zero e suportada dentro de uma união finita de cilindros, temos 1 log Lnφ f (x), n→∞ n. PG (φ) = lim. para cada x ∈ ΣA .. Pelo item i.) temos que a condição kLφ 1k∞ < ∞ garante que PG (φ) < ∞. Outra condição para garantir isso é que o potencial seja somável, isto é, todo potencial somável tem pressão de Gurevich finita. Para isso é suficiente notar que Lφ 1(x) =. X. eφ(y) ≤. σy=x. X. esup φ|[a] < ∞.. a∈S. A recíproca é válida quando o ΣA satisfaz a propriedade BIP , veja [Pe]. Proposição 32. Sejam ΣA um shift topologicamente transitivo e φ : ΣA → R um potencial somável X sup φ|[i] tal que a PG (φ) existe. Seja H(φ) := e < ∞ então PG (φ) < log H(φ). i≥1. Demonstração. Denotemos Hn (φ) :=. X. esup φn |[ω] . A seguir provaremos que. ω∈Wn. Hn (φ) ≤ H n (φ),. para todo n ∈ N.. De fato, note que. Hn (φ) =. X. esup φn |[ω]. ω∈Wn. . =. sup. X. x∈[ω]. e. Pn−1 i=0. φ(σ i x). ω∈Wn. . ≤. X. Pn−1 i=0. e. sup. φ(σ i x). x∈[ω]. ω∈Wn. =. X . sup φ(x) . e. x∈[ω]. e. x∈[ω]. sup φ(σx) . e. x∈[ω]. e. x∈σ[ω]. . ... e. sup φ(σ n−1 x) . x∈[ω]. ω∈Wn. ≤. X ω∈Wn. sup φ(x) . sup φ(x) . . ... e. sup x∈σ n−1 [ω]. φ(x) . (1.29).

(83) 1.4. 21. Operador de Ruelle. =. sup. . X. e. x∈[w0 ,...wn−1 ]. φ(x) . sup x∈[w1 ,...,wn−1 ]. e. φ(x) . . ... e. sup x∈[wn−1 ]. φ(x) . w0 ,w1 ,...,wn−1 ∈S A(w0 ,w1 )...A(wn−2 ,wn−1 )=1 sup φ(x) . . X. ≤. e. x∈[w0 ]. sup φ(x) . e. x∈[w1 ]. sup. . ... e. x∈[wn−1 ]. φ(x) . w0 ,w1 ,...,wn−1 ∈S A(w0 ,w1 )...A(wn−2 ,wn−1 )=1. ≤. sup φ(x) . . X. e. x∈[w0 ]. sup φ(x) . e. x∈[w1 ]. sup. . x∈[wn−1 ]. ... e. φ(x) . w0 ,w1 ,...,wn−1 ∈S. ≤. X . sup φ(x) . e. x∈[w0 ]. w0 ∈S n. X . sup φ(x) . e. x∈[w1 ]. .... w1 ∈S. sup. . X. e. x∈[wn−1 ]. φ(x) . wn−1 ∈S. = H (φ).. (1.30). Notemos que para cada n ∈ N, temos Zn (φ, a) =. X. eφn (x) 1[a] (x) ≤. σ n x=x. X. φn (x). sup. ≤. eφn (x). σ n x=x. X {w∈ΣA |. e. x∈[wn−1 ] 0. σ n w=w}. ≤ Hn (φ).. (1.31). De (1.30) e (1.31) concluímos que PG (φ) ≤ log H(φ).. 1.4.3. Teorema de Ruelle-Perron-Frobenius Generalizado. O famoso Teorema de Ruelle-Perron-Frobenius foi provado por D. Ruelle em [Ru68], este afirma que para shifts de Markov topologicamente mixing com alfabeto finito e potenciais localmente Hölder existem uma automedida de Rprobabilidade ν para o dual do operador de Ruelle e uma função contínua e positiva h tal que h d ν = 1, para mais detalhes veja [Bo74] e [Ru68]. Nesta subseção apresentaremos o análogo ao Teorema de Ruelle-Perron-Frobenius para shifts de Markov topologicamente mixing com alfabeto infinito, este foi provado por O. Sarig em [Sa1]. Trabalhos nesta direção também foram abordados por V. Cyr, O. Shwartz e M. Urbański em [Cyr1], [Sw] e [MaUr1], respectivamente. Definição 33. Sejam (Ω, F, µ) um espaço de medida σ−finito e T : Ω → Ω uma aplicação nãosingular. A medida µ é chamada conservativa se para cada A ∈ F tal que {T −n A}n≥0 são dois a dois disjuntos, µ − q.t.p., temos que µ(A) = 0. As medidas conservativas são as medidas σ−finitas que satisfazem o Teorema de Recorrência de Poincaré, veja o Teorema 2.1 em [Sa5]. As automedidas de probabilidade que existem para o dual do operador de Ruelle no caso de alfabeto finito são conservativas, veja o Corolário 2.2 em [Sa5]. De maneira análoga temos para o caso de alfabeto infinito enumerável como mostra o Teorema 36. A seguir definiremos os modos de recorrência do potencial, estes caracterizam a existência de medidas conformes conservativas. Dado um potencial φ : ΣA → R para cada n ∈ N e a ∈ S definimos as seguintes funções de partições: Zn (φ, a) :=. X σ n x=x. 1[a] (x)eφn (x) e Zn∗ (φ, a) :=. X σ n x=x x1 ,...,xn−1 6=a. 1[a] (x)eφn (x) ..