Medidas de Equilíbrio - Medidas DLR e transições de fase tipo volume em shifts de Markov com al

Pelo item 4.) da Proposição45, para cada f ∈ Cc(ΣA) temos

temos que h é uma função positiva e contínua tal que Lφh = λh e h d νω é uma medida finita e

σ−invariante para cada ω ∈ M(λ).

1.5 Medidas de Equilíbrio

Seja (Ω, F, µ) um espaço de probabilidade e β uma partição mensurável finita ou enumerável de Ω. A entropia da partição β é

Hµ(β) = −

B∈β

µ(B) log µ(B) onde consideramos 0 log 0 = 0.

Dadas duas partições α e β de Ω, definimos uma nova partição da seguinte maneira α ∨ β := {B ∩ C| B ∈ α, C ∈ β}. Seja T : Ω → Ω uma aplicação preservando a medida µ, definimos T−nβ := {T−n(B)| B ∈ β} e

βn:= β ∨ T−1β ∨ . . . ∨ T−n+1β. Dada a partição β definimos a entropia da aplicação T por:

hµ(T, β) := lim n→∞

1 nHµ(β

n_),

o limite acima existe pelo Lema de Fakete.

Definição 47 (Entropia Métrica). Sejam (Ω, F, µ) um espaço de probabilidade e T : ΣA → ΣA

uma aplicação preservando a medida, definimos a entropia métrica de µ como hµ(T ) := sup{hµ(T, β)}

onde o supremo é tomado sobre todas as partições β tal que Hµ(β) < ∞.

Teorema 48(Formula de Rokhlin). Sejam (ΣA, σ) shift de Markov e α := {[a]| a ∈ S}. Para cada

medida de probabilidade σ−invariante µ temos: i.) Se Hµ(α) < ∞, então hµ(σ) = −

ii.) Se Hµ(α) = ∞, então hµ(σ) ≥ −

log_{d µ ◦ σ}d µ d µ.

Definição 49. Sejam (Ω, F, µ) um espaço de probabilidade, β uma partição mensurável finita ou enumerável e G ⊂ F uma sub-σ−álgebra. A função de informação de β dado G é

Iµ β|G := −X B∈β 1B(x) log µ(B|G)(x), onde µ(B|G)(x) := Eµ(1B|G)(x).

Proposição 50 (Formula de Ledrappier). Sejam ΣA um shift de Markov, B a σ−álgebra gerada

pelos cilindros e α := {[a]| a ∈ S}. Para cada medida de probabilidade σ−invariante µ temos Iµ α|σ−1B= − log_{d µ ◦ σ}d µ .

O seguinte teorema chamado de Principio variacional foi provado para alfabetos finitos, shifts de Markov compactos, por D. Ruelle [Ru73] (ver também [Wal20]). O. Sarig [Sa5] provou para shifts de Markov com alfabeto enumerável e cardinalidade infinita e potenciais com variação somável e Y. Daon [Da] estendeu para potenciais que satisfazem a condição de Walters.

Teorema 51(Principio Variacional). Sejam ΣAum shift topologicamente mixing e φ um potencial

que satisfaz a condição de Walters tal que sup φ < ∞, então PG(φ) = sup hν(σ) + Z φd ν ,

onde o supremo é tomado sobre todas as medidas de probabilidade σ−invariante ν tal que −R

φdν < ∞.

A pressão de Gurevich para o potencial φ : ΣA → R também pode ser obtida olhando as

pressões de Gurevich do potencial restrita a subconjuntos compactos de ΣA, veja o Teorema53.

Definição 52. Seja ΣAum shift de Markov com alfabeto S e matriz de transição A. Um sub-sistema

de ΣA é um shift de Markov com alfabeto S0 ⊂ S e matriz de transição A0 : S0× S0 → {0, 1} tal

que se A0_{(i, j) = 1 então A(i, j) = 1.}

Teorema 53 (O. Sarig,[Sa1]). Sejam ΣA um shift topologicamente mixing e φ um potencial que

satisfaz a condição de Walters, então PG(φ) = sup PG(φ|Y)

Y é um shift compacto topologicamente mixing sub-sistema de ΣA

. Definição 54. Dado ΣA um shift de Markov e φ : ΣA→ R um potencial, a medida µ ∈ M1σ(ΣA)

é chamada de equilíbrio para φ se hµ(σ) + Z φd µ = sup hν(σ) + Z φd ν ,

onde o supremo é tomado sobre todas as medidas de probabilidade σ−invariante ν tal que hν(σ) +

φd ν está bem definido, ou seja é diferente de −∞ ou +∞.

Teorema 55 (Existência da Medida de Equilíbrio [Sa5].). Sob as hipoteses do Teorema 36 con- sideremos m a medida de RPF do potencial φ : ΣA → R tal que sup φ < ∞. Se m tem entropia

1.5 Medidas de Equilíbrio 31

Demonstração. Denotemos Im := Im(α|σ−1B) logo pela formula de Ledrappier, Proposição 50,

temos que Im = − log_{d m◦σ}d m . Como m = hν e _{d ν◦σ}d ν = λ−1eφ obtemos

Im= − φ + log h − log h ◦ σ − PG(φ). (1.49)

A seguir mostraremos duas afirmações que serão importantes para a prova do teorema:

Afirmação 1. Im, φ + log h − log h ◦ σ − PG(φ), φ ∈ L1(m)

Por definição temos que Im é não negativa e pela formula de Rokhlin, Teorema 48, temos

Imd m ≤ hm(σ) < ∞, assim Im ∈ L1(m). Logo por (1.49) temos que φ+log h−log h◦σ−PG(φ) ∈

L1(m). É sabido que a medida de RPF m é ergódica, veja [Sa5] Teorema 4.7, logo

i) Como sup φ < ∞, a convergência pontual do Teorema ergódico de Birkhoff vale para todas as funções integráveis unilaterais, logo

φn(x) n n→∞ −→ Z φd m, m −q.t.p..

ii) Como φ + log h − log h ◦ σ − PG(φ) ∈ L1(m), então pelo Teorema ergódico de Birkhoff temos

φn(x) + log h(x) − log h(σnx) n n→∞ −→ Z φ+ log h − log h ◦ σ d m, m −q.t.p.. iii) Pelo Teorema de recorrência de Poincaré e a continuidade de h temos que existe {nk(x)} ↑ ∞

tal que

|log h(x) − log h ◦ σnk(x)(x)| < 1. Dos itens i), ii) e iii) temos que para cada x ∈ ΣA m −q.t.p.

Z φd m = lim k→∞ 1 nk(x) φnk(x)(x) = lim k→∞ 1 nk(x) φnk(x)(x) + log h(x) − log h ◦ σnk(x)(x) = lim_n→∞1 n φn(x) + log h(x) − log h ◦ σn(x) = Z φ+ log h − log h ◦ σ d m. Assim Z φd m 6= −∞ pois Z φ+ log h − log h ◦ σ − PG(φ)

d m 6= −∞. Como sup φ < ∞ temos

que φ ∈ L1_(m). ₄

Afirmação 2.

log h − log h ◦ σd m = 0.

Como φ, φ + log h − log h ◦ σ − PG(φ)∈ L1(m) então log h − log h ◦ σ∈ L1(m), mas

φd m =

φ+ log h − log h ◦ σ

d m.

Das Afirmações 1 e 2 obtemos: hm(σ) + Z φd m ≥ Z Imd m + Z φd m = Z Im+ φd m = Z log h ◦ σ − log h + PG(φ)d m = PG(φ).

A unicidade da medida de equilíbrio para espaços compactos foi provado por R. Bowen em [Bo74]. Para o caso de shifts de Markov não-compactos foi provado por O. Sarig e J. Buzzi em [BS] para potenciais com variação somável esse resultado foi estendido para potenciais satisfazendo a condição de Walters por Y. Daon em [Da].

Teorema 56(Unicidade das medidas de equilíbrio, [Da]). Sejam ΣA shift topologicamente mixing

e φ : ΣA → R um potencial que satisfaz a condição de Walters tal que sup φ < ∞ e PG(φ) < ∞.

Então:

i) φ tem no máximo uma medida de equilíbrio.

ii) Esta medida de equilíbrio, se existe, é igual a medida RPF de φ.

iii) Em particular, se φ tem medida de equilíbrio então φ é positivamente recorrente e a medida de RPF tem entropia finita.

Notemos que este teorema diz que a medida de equilíbrio vem do operador de Ruelle. O Teorema

56 generaliza o Teorema demonstrado em [BS] o qual foi mostrado para potencias com variação somável.

Teorema 57 ([Sa5]). Sejam ΣA shift topologicamente mixing e φ, ψ : ΣA → R dois potenciais

satisfazendo a condição de Walters tais que PG(φ), PG(ψ), sup φ, sup ψ < ∞. Então φ ∼ ψ + c

se, e somente, se µφ = µψ. Onde µφ e µψ são as medidas de equilíbrio para os potenciais φ e ψ

Capítulo 2

Medidas DLR

Na área de formalismo termodinâmico o conceito de medida DLR foi introduzido por Dobrushin, Landford e Ruelle, e este é amplamente estudado assim como suas equivalências em relação as medidas conformes, de equilíbrio e o limite termodinâmico, veja [CiLo], [Mu1] e [Sa5].

As medidas DLR foram introduzidas como medidas de probabilidade. É conhecido que quando o shift de Markov topologicamente mixing tem alfabeto finito e o potencial satisfaz a condição de Walters, neste caso as medidas conformes são de probabilidade (Teorema de Ruelle-Perron- Frobenius), além do mais, estas são equivalentes as medidas DLR, Teorema91. Quando o alfabeto é enumerável com cardinalidade infinita o Teorema Generalizado de Ruelle-Perron-Frobenius mostra que as medidas conformes não são necessariamente de probabilidade, estas são σ−finitas podendo dar massa infinita ao espaço shift de Markov, veja o Exemplo 80. O fato de existirem medidas conformes σ−finitas inspira a estender a noção de medida DLR ao caso σ−finito e estudar as relações com as medidas conformes. Na primeira seção deste subseção vamos estudar o conceito de esperança condicional para medidas σ−finitas e na segunda subseção as relações entre medidas DLR e conformes no caso σ−finito.

2.1 Medidas DLR finitas

Suponhamos que ΣA seja um shift de Markov com alfabeto infinito enumerável. Para cada

k ≥ 0 as funções coordenadas πk : ΣA → R são dadas por πk(x) = xk. A σ−álgebra de Borel B

em ΣA é a σ−álgebra gerada pelos cilindros, e também é a menor σ−álgebra em relação a qual as

funções coordenadas πk, k ≥ 0, são mensuráveis. Para cada n ∈ N denotamos σ−nB como a menor

σ−álgebra em relação a qual todas as funções coordenadas πk, k ≥ n, são mensuráveis. Assim

obtemos uma família de σ−álgebras em ΣAsatisfazendo

B ⊃ σ−1B ⊃ σ−2B ⊃ . . . ⊃ σ−nB ⊃ . . . .

Seja φ : ΣA → R um potencial mensurável. Para cada n ∈ N definimos a seguinte aplicação

Kn: B × ΣA→[0, 1], dada por Kn(E, x) := X σn_y=σn_x eφn(y)1E(y) X σn_y=σn_x eφn(y) = Ln_φ(1E)(σn(x)) Ln_φ(1)(σn_(x)) , (2.1) onde x ∈ ΣA, e E ∈ B.

Observação 58. Notemos que em (2.1) o fator P

σn_y=σn_xeφn(y) pode divergir para algum n ∈ N

ou x ∈ ΣA, logo deve ser considerada alguma regularidade no potencial e/ou no shift de Markov

para que cada Kn esteja bem definido.

Suponhamos que ΣA é o full shift com alfabeto finito, portanto um espaço compacto, e φ :

ΣA → R um potencial contínuo. Neste caso Pσn_y=σn_xeφn(y) < ∞, para cada n ∈ N e x ∈ Σ_A.

Além disso a aplicação Kn(E, ·) é mensurável para cada E ∈ B e n ∈ N, pois o operador de Ruelle

está bem definido para potenciais contínuos num full shift com alfabeto finito.

Definição 59. Sejam ΣA um espaço shift de Markov e φ : ΣA → R um potencial mensurável.

Dizemos que uma família de aplicações {Fn}n≥1, Fn: B×ΣA→[0, 1], é uma especificação Gibbsiana

se para cada n ∈ N temos:

i.) B 3 E 7→ Fn(E, x) é uma medida de probabilidade para cada x ∈ ΣA;

ii.) ΣA3 x 7→ Fn(E, x) é σ−nB−mensurável para cada E ∈ B;

iii.) para cada r ∈ N e f : ΣA→ R função limitada e B−mensurável temos

Fn+r(f, x) = Fn+r(Fn(f, ·), x) , para cada x ∈ ΣA.

Considerando ΣA o full shift com alfabeto finito e φ ∈ C (ΣA), temos que {Kn}n≥1 é uma

especificação Gibbsiana, veja [CiLo]. Quando o alfabeto é infinito enumerável, o shift de Markov não é necessariamente compacto, neste caso pode se considerar alguma regularidade no potencial mensurável φ e/ou no shift de Markov tal que cada Kn está bem definido, por exemplo:

1. Considerando ΣAum shift transitivo e φ : ΣA→ R um potencial localmente Hölder e somável.

Nestas condições temos que o Operador de Ruelle está bem definido e P

σn_y=σn_xeφn(y)< ∞

para cada n ∈ N e x ∈ ΣA, veja [MaUr1].

2. Seja ΣA um shift topologicamente mixing satisfazendo a condição BIP e φ : ΣA → R um

potencial tais queP

n≥1Varnφ < ∞e PG(φ) < ∞. Neste caso o operador de Ruelle está bem

definido eP

σn_y=σn_xeφn(y)< ∞para cada n ∈ N e x ∈ ΣA, veja [Sa5].

Deste ponto em diante consideraremos potenciais compatíveis com cada Kn, isto é, potenciais

tais que o Operador de Ruelle está bem definido eP

σn_y=σn_xeφn(y)< ∞para cada n ∈ N e x ∈ Σ_A,

isto é uma hipótese muito usual quando o conjunto de estados não é finito, veja o Capítulo 2 de [Ge].

Proposição 60. Sejam ΣA um shift de Markov e φ : ΣA→ R um potencial mensurável. A família

de aplicações {Kn}n≥1 definidas em (2.1) é uma especificação Gibbsiana.

Demonstração. Notemos que a prova do item i.) da Definição59 é trivial. Fixemos n ≥ 1, lembre- mos que uma aplicação z : ΣA→ R é σ−nB−mensurável se, e somente, se z pode-se escrever como

z= v ◦ σn, onde v é uma aplicação B−mensurável. Dado E ∈ B definimos

v(ξ) := X σn_y=ξ eφn(y)1E(y) X σn_y=ξ eφn(y) ,

notemos que v é B−mensurável pois v(ξ) = Lnφ1E

(ξ)

Ln φ1

(ξ) e por hipótese o operador de Ruelle está bem

definido para cada n ∈ N. Desde que Kn(E, x) = v (σnx) para todo x ∈ ΣA então Kn(·, x) 7→ R é

2.1 Medidas DLR finitas 35

A seguir mostraremos o item iii.). Fixemos n ≥ 1, pelo item i.) temos que Kn(E, x) = Z E dKn(·, x) = Z 1E(y)dKn(y, x), (2.2)

para todo x ∈ ΣA e E ∈ B. Seja s : ΣA→ R uma função simples, da Equação (2.2) obtemos

Kn(s, x) =

s(y)dKn(y, x). (2.3)

Seja ϕ : ΣA → [0, ∞) uma função mensurável e limitada, logo existem uma família {sm}m≥1 de

funções simples tal que 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ . . . ≤ sm≤ . . . ≤ ϕ e sm m→∞−→ ϕ, usando a Equação (2.3) e

o Teorema da Convergência Monótona obtemos

Z ΣA ϕdKn(·, x) = lim m→∞ Z ΣA smdKn(·, x) = _m→∞lim Kn(sm, x) = _m→∞lim X σn_y=σn_x eφn(y)sm(y) X σn_y=σn_x eφn(y) = X σn_y=σn_x eφn(y)ϕ(y) X σn_y=σn_x eφn(y) . (2.4)

Desde que Kn(·, x) é uma medida para cada x ∈ ΣA então (2.4) pode ser escrito como

Kn(ϕ, x) = X σn_y=σn_x eφn(y)ϕ(y) X σn_y=σn_x eφn(y) .

No caso em que ϕ toma valores reais basta repetir argumento apresentado acima para ϕ+ _{e ϕ}−_.

A. Lopes e L. Cioletti em [CiLo] mostram o item iii.) da Definição 59 para o espaço full shift de Markov com alfabeto finito, esta prova também é válida para o espaço shift de Markov com alfabeto infinito enumerável.

Definição 61 (Medidas φ−DLR). Sejam ΣA um shift de Markov e φ : ΣA → R um potencial

mensurável. Dizemos que µ ∈ M1_(Σ

A) é uma medida φ − DLR se para todo n ∈ N e para toda

função ϕ : ΣA→ R mensurável e limitada temos

Eµ[ϕ | σ−nB](x) = Kn(ϕ, x), µ − q.t.p. . (2.5)

Pela próxima proposição temos que a Equação (2.5) só precisa ser verificada para funções características suportadas em cilindros.

Proposição 62. Sejam ΣA um shift de Markov, φ : ΣA → R um potencial mensurável e µ ∈

M1_(Σ

A). Logo µ é φ − DLR se, e somente, se para cada n ∈ N e [a] cilindro de tamanho n temos

Eµ[1[a]| σ−nB](x) = Kn(1[a], x), µ − q.t.p. . (2.6)

Demonstração. Sejam µ uma medida φ−DLR e n ∈ N. Para cada a ∈ Wn pela Definição (61)

Agora mostraremos a recíproca. Para mostrar que µ é φ−DLR basta provar que para todo n ∈ N e para todo cilindro [a0, a1, . . . , am−1] de tamanho m ∈ N temos

Eµ[1[a0,...,am−1]| σ −n_B_{](x) =} L n φ1[a0,...,am−1](σ n_x₎ Ln_φ1(σn_x) , µ −q.t.p. . (2.7)

pois isso pode ser estendido para a álgebra gerada pelos cilindros. E o teorema da extensão de Caratheodory estende isso para a σ−álgebra de Borel completando a prova. Fixemos n, m ∈ N

i.) Suponhamos que m ≤ n. Seja [a0, . . . , am−1] um cilindro arbitrário de tamanho m, logo

pode-se escrever como a união enumerável disjunta de cilindros de tamanho n, isto é, [a0, . . . , am−1] = ∪i≥1Ei,

onde cada Ei, para i ≥ 1, é um cilindro de tamanho n e Ei∩ Ej = ∅ quando i 6= j. Definindo

sk(x) =Pki=11Ei(x), x ∈ ΣA, temos que

0 ≤ s1≤ s2 ≤ . . . ≤ sk≤ . . . ≤1[a0,...,am−1] e sk

k→∞

−−−→1_[a₀_,...,a_m−1], logo Kn(sk, x)

k→∞

−→ K_n(1_[a₀_,...,a_m−1], x). Usando o Teorema da Convergência Monótona para esperança condicional obtemos

Eµ[1[a0,...,am−1]| σ −n_B_{](x) = lim} k→∞Eµ[sk| σ −n_B_](x) = lim k→∞ k X i=1 Eµ[1Ei | σ −n_B_](x) = lim k→∞ k X i=1 Kn(1Ei, x) = lim k→∞Kn(sk, x) = Kn(1[a0,...,am−1], x) = L n φ1[a0,...,am−1](σ n_x₎ Ln φ1(σnx) , µ −q.t.p. .

ii.) Suponhamos que m > n, fixemos m = n + 1. Seja [a0, . . . , an] um cilindro arbitrário, notemos

que 1[a0,...,an]= 1[a0,...,an−1].1[an]◦ σ

n _{e 1}

[an]◦ σn é uma função σ−nB−mensurável, logo

Eµ[1[a0,...,an]| σ

−n_B_{](x) = 1}

[an]◦ σn(x).Eµ[1[a0,...,an−1]| σ

−n_B_](x)

= 1[an]◦ σn(x)Kn(1[a0,...,an−1], x)

= 1[an]◦ σn(x).

σn_y=σn_x

eφn(y)1[a0,...,an−1](y)

X σn_y=σn_x eφn(y) = X σn_y=σn_x

eφn(y)1_[a₀_,...,a_n−1](y).1_[an]◦ σn(y)

X σn_y=σn_x eφn(y) = X σn_y=σn_x

eφn(y)1_[a₀_,...,a_n−1_,a_n](y)

σn_y=σn_x

2.1 Medidas DLR finitas 37 = L n φ1[a0,...,an](σ n_x₎ Ln_φ1(σn_x₎ , µ −q.t.p. .

Dos itens i.) e ii.) obtemos a Equação (2.7).

Observação 63. Notemos que fixando n ∈ N e x ∈ ΣA o lado direito da Equação (2.7)

µ(·, σ−nB)(x) := Eµ[· | σ−nB](x),

é bem comportada como uma medida e podemos fazer a extensão de uma álgebra para uma σ−álgebra. Isso é porque µ é uma medida condicional regular definida no espaço polonês ΣA.

A proposição acima nos fornece uma maneira mais fácil de definir as medidas φ−DLR, isto é, µé φ−DLR se para cada n ∈ N e a ∈ Wn temos

Eµ[1[a]| σ−nB](x) = eφn(aσnx)₁ {aσn_x∈Σ A} X σn_y=σn_x eφn(y) , µ −q.t.p. . (2.8)

As Equações (2.8) são chamadas de DLR. A seguir temos uma proposição que caracteriza as medidas DLR, para os detalhes da prova veja a Proposição 2.1 em [Sa5].

Proposição 64. Sejam ΣA um shift de Markov, µ ∈ M1(ΣA) e φ : ΣA → R um potencial

mensurável. Então µ é φ−DLR se, e somente, se para cada par de cilindros [a] := [a0, a1, . . . , an−1]

e [b] := [b0, b1, . . . , bn−1] de tamanho n ∈ N tais que an−1 = bn−1 e µ ([a]) > 0, a aplicação

va,b: [a] → [b] definida por va,b: (ax∞n ) 7→ (bx∞n ) satisfaz

d µ ◦ va,b

d µ = eφn(bx

∞

n)−φn(ax∞n)_{, µ −}q.t.p. em B ∩ [a]. (2.9)

A seguir temos dois corolários que possuem informações sobre a medida de cilindros quando esta é DLR.

Corolário 65. Sejam ΣA um shift de Markov, φ : ΣA → R um potencial mensurável e µ uma

medida φ − DLR. Fixamos n ∈ N e c ∈ S.

i.) Se existe w ∈ Wn(c) tal que µ ([w]) = 0, então ∀ ω ∈ Wn(c) temos µ ([ω]) = 0.

ii.) Se para w ∈ Wn(c) tal que µ ([w]) > 0, então ∀ ω ∈ Wn(c) temos µ ([ω]) > 0.

Demonstração. A prova é uma consequência direta da Proposição 64.

Corolário 66. Sejam ΣA um shift de Markov topologicamente mixing satisfazendo a propriedade

BIP e φ : ΣA→ R um potencial mensurável. Se µ é uma medida φ − DLR então µ ([a]) > 0, para

todo a ∈ S.

Demonstração. Como ΣA é topologicamente mixing e satisfaz a propriedade BIP , temos que ΣA

é finitamente primitivo. Seja k0 ∈ N como no item iv.) da Definição 2. Pelo fato de µ ser uma

medida de probabilidade, existe a ∈ S tal que µ ([a]) > 0. Podemos escrever o cilindro [a] como a união disjunta de cilindros de tamanho k0+ 2. Como µ ([a]) > 0, existe um cilindro [a, . . . , c] ⊂ [a]

de tamanho k0+ 2 tal que µ ([a, . . . , c]) > 0.

temos que existe uma palavra w(b, c) de tamanho k0 tal que [b, w(b, c), c] 6= ∅ e denotemos η :=

(b, w(b, c), c). Pela Proposição64, temos µ ◦ vξ,η(E) =

eφk0+2(ηx∞k0+2)−φk0+2(ξx∞k0+2)d µ(x), (2.10)

para todo E ∈ B ∩ [ξ]. Substituindo E = [ξ] na Equação (2.10) temos µ

[η]

>0 logo µ ([b]) > 0. Como b ∈ S foi arbitrário, temos µ ([b]) > 0 para todo b ∈ S.

A seguir mostraremos uma série de resultados para o espaço full shift.

Corolário 67. Sejam ΣA o full shift de alfabeto N, µ ∈ M1(ΣA) e φ : ΣA → R um potencial

mensurável. Se µ é φ − DLR então i.) µ ([a]) > 0, para todo a ∈ N.

ii.) Fixados a, b ∈ N. Sejaveab : [a] → [b] a aplicação definida por ,evab : (ax

∞ 1 ) → (bx∞1 ), logo d µ ◦evab d µ [a] = eφ(bx∞ 1 )−φ(ax∞1 )_{, µ −}q.t.p. em B ∩ [a].

iii.) O potencial φ não pode ser constante.

Demonstração. Como todo full shift é BIP , pelo Corolário66, temos µ ([a]) > 0, para todo a ∈ N. Sejam a, b ∈ N e c uma palavra de tamanho arbitrário, logo:

µ ◦evab([ac]) = µ ([bc]) = Z [bc]d µ = Z ΣA1[bc]d µ = Z ΣA1[c] ◦ σ(x)1_[b](x) d µ(x) = Z ΣA1[c] ◦ σ(x)E(1_[b]|σ−1B)(x) d µ(x) = Z ΣA1[c] ◦ σ(x) e φ(bx∞₁ ) P σy=σxeφ(y) d µ(x) = Z ΣA1[c] ◦ σ(x)eφ(bx∞1 )−φ(ax∞1 ) e φ(ax∞₁ ) P σy=σxeφ(y) d µ(x) = Z ΣA1[c] ◦ σ(x)eφ(bx∞1 )−φ(ax ∞ 1 )_E(1 [a]|σ−1B)(x) d µ(x) = Z ΣA1[c] ◦ σ(x)eφ(bx∞1 )−φ(ax ∞ 1 )1 [a](x) d µ(x) = Z

ΣA1[ac](x)e

φ(bx∞₁ )−φ(ax∞₁ )_{d µ(x)} = Z [ac] eφ(bx∞1 )−φ(ax ∞ 1 )d µ(x).

Desde que {[ac] | c ∈ Wn para n ≥ 1} é uma base da topologia induzida em [a] ∩ B e µ é uma

medida regular obtemos que

µ ◦evab(E) = Z E eφ(bx∞1 )−φ(ax ∞ 1 )d µ(x) (2.11)

para cada E ∈ B ∩ [a]. Assim obtemos o item ii.). Seja φ = cte e a ∈ S fixado, logo pela Equação (2.11) temos que µ ([b]) = µ ([a]) para todo b ∈ N, isto contradiz o fato de µ ser uma medida de probabilidade.

No documento Medidas DLR e transições de fase tipo volume em shifts de Markov com alfabeto enumerável (páginas 45-55)