A Importância dos Métodos Numéricos para a Astrofísica

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Felipe Palmeira Lyra

A Importância dos Métodos Numéricos para a

Astrofísica

Brasil

2018

Universidade Federal Fluminense

Instituto de Física

Programa de Graduação

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Felipe Palmeira Lyra

A Importância dos Métodos Numéricos para a Astrofísica

Dissertação apresentada ao Departamento de Física da Universidade Federal Fluminense, em complementação aos requisitos para a ob-tenção do Título de Bacharel em Física.

Universidade Federal Fluminense Instituto de Física

Programa de Graduação

Orientador: Prof Dr Rodrigo Picanço Negreiros

Brasil

2018

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Felipe Palmeira Lyra

A Importância dos Métodos Numéricos para a Astrofísica/ Felipe Palmeira Lyra. – Brasil,

2018-40p. : il. (algumas color.) ; 30 cm.

Orientador: Prof Dr Rodrigo Picanço Negreiros TCC – Universidade Federal Fluminense Instituto de Física

Programa de Graduação, 2018.

1. Palavra-chave1. 2. Palavra-chave2. I. Prof. Dr. Rodrigo Picanço Negreiros. II. Universidade Federal Fluminense. III. Instituto de Física. IV. Bacharel.

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Felipe Palmeira Lyra

A Importância dos Métodos Numéricos para a Astrofísica

Dissertação apresentada ao Departamento de Física da Universidade Federal Fluminense, em complementação aos requisitos para a ob-tenção do Título de Bacharel em Física.

Trabalho aprovado. Brasil, 21 de Dezembro de 2018:

Prof Dr Rodrigo Picanço Negreiros

Orientador

Profa Dra Raissa Fernandes Pessoa Mendes

Convidada 1

Prof Dr Reinaldo Faria de Melo e Souza

Convidado 2

Brasil

2018

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Este trabalho é dedicado às crianças adultas que, quando pequenas, sonharam em se tornar cientistas.

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Agradecimentos

• À minha família: em especial aos meus pais Ana Cristina Palmeira e Vitor Augusto

Lyra, que me deram todo o amor, carinho e suporte necessário sempre.

• Ao meu orientador Rodrigo Picanço Negreiros, pela oportunidade de trabalho, pela paciência e toda a base de conhecimento que me transmitiu com excelência.

• A todos os professores da Graduação que ajudaram na minha formação acadêmica no período de 2015-2018.

• Aos amigos que a vida na cidade de Niterói me ofereceu, em especial o grupo de pessoas que atualmente dividem apartamento comigo, à amiga Cristiane Faustini, à amiga Wânia Neves, à amiga Raquel Oliveira, ao amigo Kléber das Neves e ao amigo

João Puff Perim e à sua família, que me ajudaram muito.

• À UFF e amigos que vieram daí, em especial Bernardo Cunha, Caio Brito, Samuel

Motta e Pedro Cordoeira, pelas risadas, histórias, desespero e suporte compartilhados

ao longo da graduação.

• Ao amigo Paulo Vitor Mendes e aos amigos que, mesmo estando ausentes, sempre me estimularam a chegar onde estou.

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“Tente não se tornar um homem de sucesso, mas sim um homem de valor. (Albert Einstein)

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Resumo

Nesta monografia ferramentas numéricas são construídas com o intuito de montar uma base sólida para o estudo de qualquer área da física, particularmente quando se trata da resolução de equações diferenciais ordinárias, à luz da Astrofísica de Objetos Compactos. Começamos apresentando os métodos mais usados neste ramo da ciência: regra de Simpson, para integração numérica; os métodos de Euler e Runge-Kutta, para a resolução de equações diferenciais ordinárias; o Spline Cúbico e o método de Lagrange, como ferramentas de interpolação. Depois introduzimos o leitor para a Astrofísica de Objetos Compactos e, em seguida, discutimos a aplicação dos métodos numéricos para estes objetos.

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Abstract

In this work, numerical tools are built in order to construct a solid foundation for any study in physics, in particular those connected to solving ordinary differential equations, in the frameworks of the Astrophysics of Compact Objects. We start introducing numerical methods often used in this branch of science: Simpson’s rule, for numerical integration; Euler’s and Runge-Kutta’s methods, for solving ordinary differential equations; the Cubic Spline and Lagrange polynomial, as tools of interpolation. After that, we introduce the reader to the Astrophysics of Compact Objects and then we discuss the application of the numerical methods for these objects.

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Lista de ilustrações

Figura 1 – Solução de EDO de 2a ordem com os métodos listados na figura, usando h = 0.1 (1) . . . 27

Figura 2 – Mesma descrição da figura 1, usando h = 0.125 (1) . . . 27

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Lista de tabelas

Tabela 1 – Razão das massas e raios de uma Anã Branca e do Sol em regime de gás não relativístico . . . 34

Tabela 2 – Razão das massas e raios de uma Anã Branca e do Sol em regime de gás ultra relativístico . . . 34

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Sumário

Introdução . . . 21

1 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS . . . 23

1.1 Regra de Simpson Para a Integração Numérica . . . 23

1.2 Método de Euler para a Resolução de EDO’s . . . 23

1.3 Método de Runge-Kutta . . . 24 1.4 Interpolação Numérica. . . 25 1.4.1 Interpolação de Lagrange . . . 25 1.4.2 Spline Cúbico . . . 25 1.5 Exemplos . . . 26 1.5.1 Exemplo 1 . . . 26 1.5.2 Exemplo 2 . . . 28 1.5.3 Exemplo 3 . . . 30

2 OS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A ASTROFÍSICA . . . 32

2.1 A Astrofísica de Objetos Compactos . . . 32

2.1.1 Anãs Brancas . . . 33

2.1.2 Estrelas de Nêutrons . . . 34

2.2 Discussão dos Resultados . . . 34

Conclusão. . . 36

REFERÊNCIAS . . . 37

APÊNDICES

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APÊNDICE A – UNIDADES E CONVERSÕES . . . 40

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Introdução

A resolução de equações diferenciais rege um papel fundamental para toda a física, uma vez que as equações que descrevem a natureza ao nosso redor ou são trivialmente simples ou são impossíveis de se resolverem analiticamente. Muitas das que possuem solução ou não condizem com a verdadeira física do problema ou servem apenas de pontapé inicial para o estudo de um determinado assunto, sobrando uma quantidade restrita de EDO’s (Equações Diferencias Ordinárias) com uma aplicação direta. O avanço da matemática e da tecnologia tornou possível o que antes parecia improvável: a resolução de equações diferenciais através de computadores com os chamados ’Métodos Numéricos’. Os resultados obtidos através desses métodos estão limitados, hoje, à capacidade das máquinas, que estão cada vez mais precisas e velozes.

Até o final do século 17, já se conhecia o cálculo diferencial e integral, graças a Gottfried Wilhelm von Leibniz e Isaac Newton. No século seguinte, Thomas Simpson desenvolveu um método de integração que resolve integrais que não possuem soluções analíticas, mas com limitações para as EDO’s: se a EDO não for de primeira ordem ou se não conhecemos dados para a função de primeira ordem, o método não é capaz de resolvê-la.

Surge a necessidade de novas maneiras de se resolver EDO’s, os métodos numéricos. A primeira e mais simples descrição deste surge, também, no século 18 com o matemá-tico suíço Leonhard Euler (1707-1783), que contribuiu para todos os ramos de estudo matemáticos da época.

A partir de então, muitos outros métodos surgiram, cada vez melhores, como o de Runge-Kutta.

No século 20, com o surgimento dos computadores, estes métodos tem se tornado cada vez mais velozes, com menores gastos computacionais e obtidos resultados cada vez mais precisos.

Para a astrofísica os métodos numéricos são de extrema importância, tendo em vista que não se sabe como simular naturalmente as condições existentes no meio astrofísico, concentrando os nossos esforços em simulações de computador e ver até onde a teoria e os dados experimentais observados são compátiveis, afim de convergir a teoria existente para a verdadeira natureza dos objetos astrofísicos.

Quando tratamos de objetos compactos, é impossível de se calcular as suas estru-turas de maneira analítica, pois sabemos que estes objetos não possuem uma densidade de massa constante ao longo de sua estrutura, além de que as equações são não-lineares, o

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22 Introdução

que nos faz pensar nos métodos numéricos como sendo, talvez, a única maneira conhecida de se calcular estes objetos com precisão adequada.

Ao longo do ultimo ano estive engajado com o meu orientador em desenvolver estas ferramentas numéricas, a fim de que eu construísse uma base sólida para trabalhar com qualquer área, dentro ou fora da astrofísica, usando os objetos compactos como objetos de estudo destas ferramentas.

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1 Introdução aos Métodos Numéricos

Os métodos numéricos são ferramentas de extrema importância para a física contem-porânea, pois são relativamente fáceis de se aplicarem, quando pensamos em programação, e extremamente importantes para o estudo de objetos e assuntos físicos que possuam equações diferenciais ordinárias. da quântica à astrofísica, equações muito complicadas, impossíveis de se resolverem analiticamente, aparecem frequentemente, requerendo de nós, de maneira recursiva, os métodos numéricos (DEVRIES, 1994).

1.1 Regra de Simpson Para a Integração Numérica

Talvez o método mais simples de se integrar numéricamente, a regra de Simpson consiste em aproximar a integral definida exata de uma função f (x), que não possui solução analítica, em uma série de trapézios, tornando a integral uma soma de áreas de trapézios. A integral pode então ser aproximada por:

Z b

a

f (x)dx ≈ ∆x

3 (f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + ... + 4f (xn−1) + f (xn)) (1.1) Onde ∆x = b−a

n , xi = a + i∆x e n é um número par. Observe que, quanto maior o

valor de n, menor o valor do ∆x (menor o valor dos passos no intervalo) diminuindo a distância relativa entre dois pontos e efetivamente aproximando a integral para uma soma de Riemann.

Este método pode inclusive ser usado para se resolver uma equação diferencial ordinária, contanto que a função integrada dependa somente do parâmetro x.

1.2 Método de Euler para a Resolução de EDO’s

O método de Euler consiste em aproximar todos os pares de pontos de uma função qualquer através da tangente da função calculado no ponto i. Sendo f(x,y) = y’(x), pela expansão em Taylor truncada na primeira ordem:

y(x) = y(x0) + (x − x0)f (x0, y0) → yi+1= yi+ hf (xi, yi) (1.2)

Com h = xi+1− xi sendo o ’passo’ (fixo) da função e yi+1 o valor de y(xi+ h). No

limite que h → 0, menor é a distância relativa entre os pontos da função exata e, por consequência, mais perto estamos da função exata.

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24 Capítulo 1. Introdução aos Métodos Numéricos

1.3 Método de Runge-Kutta

Talvez o método mais popular de resolução de EDO’s, devido à facilidade com que se pode implementar o algorítimo em computadores, sendo um aprimoramento à estratégia de Euler.

Podemos reescrever a equação (1.2) de uma maneira mais geral :

y(x) = y(x0) + h[αf (x0, y0) + βf (x0+ γh, y0+ δhf (x0, y0))] (1.3)

Ao expandirmos parte do lado direito da equação (1.3) em Séries de Taylor, lembrando que f(x,y) = y’(x), truncando em ordem 1 de h, obtemos:

y(x) = y(x0) + h(α + β)f (x0, y0) + hβ[f (x0, y0) + hγ ∂f (x0, y0) ∂x + hδf (x0, y0) ∂f (x0, y0) ∂y + O(h 2_)] (1.4)

Para que a equação (1.4) concorde com a expansão de Taylor, otimizando a função em h2 _{temos que ter que os coeficientes sejam α = 1/3, β = 2/3 e γ = δ = 3/4. Desta}

forma: y(x) = y(x0) + Z x x0 f (τ, y)dτ → y(x) = y(x0) + hf (x0+ h 2, y0+ h 2f (x0, y0))

Podemos fazer o mesmo procedimento para derivar as ordens superiores deste método. A ordem mais comumente usada é a quarta:

f0 = f (x0, y0) f1 = f (x0+ h 2, y0+ h 2f0) f2 = f (x0+ h 2, y0+ h 2f1) f3 = f (x0+ h, y0+ hf2) E então: y(x) = y(x0) + h 6(f0+ 2f1+ 2f2+ f3) → yn+1 = yn+ h 6(f0+ 2f1+ 2f2+ f3) (1.5)

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1.4. Interpolação Numérica 25

Existem ainda sofisticações para este método, como por exemplo quando possuímos equações diferenciais altamente não lineares, o método de Runge-Kutta precisa do chamado método do passo múltiplo, que consiste em tornar o passo fixo h em um passo dinâmico. Não aprofundarei nisto, pois foge do escopo deste trabalho.

1.4 Interpolação Numérica

A interpolação é um método utilizado para calcular a curva de uma função f(x) arbitrária que é desconhecida, mas possui alguns valores tabelados, permitindo que uma pessoa calcule um ponto qualquer dentro do intervalo de pontos dados ou próximo do intervalo, se o ponto estiver fora.

O procedimento para interpolar a função pode ser feita de diversas maneiras, mas aqui exploraremos a Interpolação de Lagrange e o Spline Cúbico.

1.4.1 Interpolação de Lagrange

Esta técnica era mais utilizada antes dos computadores existirem, pois para muitos problemas de física em que era necessário calcular o valor de uma função que possuía valores tabelados, sem conhecer a função exata (função de Bessel, por exemplo).

p(x) = n X j=1 lj,n(x)f (xj) (1.6) Onde: lj,n(x) = (x − x1)(x − x2)...(x − xj−1)(x − xj+1)...(x − xn) (xj − x1)(xj − x2)...(xj − xj−1)(xj− xj+1)...(xj − xn) (1.7) O problema com este método de interpolação é que ao construirmos o polinômio p(x) não estamos garantindo a continuidade da função, fazendo com que os valores reais da função sejam muitas vezes muito diferentes dos valores calculados.

Após a chegada dos computadores, métodos mais sofisticados surgiram, para avaliar a função e obter melhores aproximações para a função f(x).

1.4.2 Spline Cúbico

O spline é conjunto de funções de ordem 3 ≤ n que passam pelos pares de pontos dentre os i pontos dados, de forma a minimizar a curva desta função. Quanto maior o grau das funções, mais exigências surgem para a resolução do problema, em geral se temos funções de ordem n, temos que garantir a continuidade das funções desde a derivada de ordem 0 até a derivada de ordem n-1.

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Em particular temos o spline cúbico, o menor grau dessas funções para que esta técnica de interpolação seja possível e solúvel, que fita a melhor curva de ordem 3 que passa por todos os pares de pontos. Para garantir que o spline cúbico gere uma curva contínua, exigimos que a função seja contínua até a segunda derivada em todos os pontos dados, com exceção dos pontos extremos. Com a continuidade da função até segunda ordem para os pares de pontos mais a segunda derivada sendo igual a zero nos extremos, garantimos j equações para j incógnitas, sendo o sistema formado por todos os coeficientes de todas as funções um problema solúvel e com apenas 1 solução.

Sendo fi(x) a função que passa pelos pontos i-1 e i, então as condições desta técnica

se resumem a:

fi(xi) = fi+1(xi)

f_i0(xi) = fi+10 (xi)

f_i00(xi) = fi+100 (xi)

(1.8)

Onde 1 ≤ i ≤ j − 1. Para os extremos (i = 0 e i = n) devemos ter que:

f₀00(x0) = 0 f_n00(xn) = 0

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1.5 Exemplos

Seguem dois exemplos, puramente matemáticos, com o objetivo de exibir alguns dos métodos citados, dentre eles euler e runge-kutta, já que estamos mais interessados na resolução de EDO’s.

1.5.1 Exemplo 1

Para exemplificar o que foi dito até agora sobre os métodos numéricos, aplicaremos e compararemos as técnicas em uma função matemática simples: y0(x) = x.

Resolvendo a solução de maneira analítica, vemos que y(x) = x2

2. Fazendo y(0) = 0

e que o intervalo de integração seja de x = 0 até x = 1, com passos iguais a 0.1, 0.125 e 0.2, obtemos os respectivos gráficos:

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1.5. Exemplos 27

Figura 1 – Solução de EDO de 2a ordem com os métodos listados na figura, usando h = 0.1 (1) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 x y Analítico Euler Runge-Kutta

Figura 2 – Mesma descrição da figura 1, usando h = 0.125 (1)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 x y Analítico Euler Runge-Kutta

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Olhando para os gráficos, vemos que para passos muito grandes, perto do intervalo de x da função, os pontos dados pelo método de Euler ficam com erros muito grandes, enquanto que conforme h → 0 a função se aproxima cada vez mais da função original, mas a diferença da função original para a função gerada começa a aumentar, conforme avançamos com o valor de x.

Neste exemplo, Runge-Kutta nos oferece com precisão os mesmos pontos da função original. De forma análoga, conforme h → 0, Runge-Kutta se aproxima da função original.

1.5.2 Exemplo 2

Reforçando o que foi dito no exemplo anterior, vamos para um exemplo onde y’(x) depende de y e vejamos como destoam os valores encontrados entre os três métodos, partindo de y(0) = 0 e com 0 ≤ x ≤ 1, sendo y0(x) = y2+ 1, com passos iguais a 0.1, 0.125 e 1.2 e fazendo y(0) = 0. Veja que a função y(x) é y(x) = tan(x) e então:

Figura 4 – Solução de EDO de 2a ordem com os métodos listados na figura, usando h = 0.1 (2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 x y Analítico Euler Runge-Kutta

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1.5. Exemplos 29

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 x y Analítico Euler Runge-Kutta

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Observe que ainda não é possível diferenciar os pontos de Runge-Kutta dos analíticos (a diferença entre os dois métodos só começa a aparecer na 7a _{casa decimal). Precisaríamos}

de um intervalo maior ou de uma escala gráfica maior para conseguir distinguir os dois métodos gráficamente.

1.5.3 Exemplo 3

Fazendo uma pequena alteração no exemplo anterior, definindo f (x, y) = 2x(y2+ 1) e repetindo os procedimentos usados em ambos os exemplos anteriores:

Figura 7 – Solução de EDO de 2a ordem com os métodos listados na figura, usando h = 0.1 (3) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 x y Analítico Euler Runge-Kutta

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1.5. Exemplos 31

Novamente, o método de Runge-Kutta aparenta não ser diferente da solução analítica, mas se olharmos para todas as casas decimais dos pontos, veremos que distoam ainda mais rápido do que no exemplo anterior (cerca de dez vezes mais rápido). De novo, não vemos isto acontecendo graficamente por causa da escala e por causa do intervalo dado.

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2 Os Métodos Numéricos para a Astrofísica

A Astrofísica data desde as civilizações antigas, quando tentavam discutir as propriedades dos corpos que observavam no céu noturno. Aristóteles, por exemplo, dizia que o movimento natural dos corpos celestes eram dados por circunferências perfeitas, enquanto que na Terra o movimento natural era dado por uma linha reta.

A chamada "nova astronomia"só vem surgir no século 19 quando, de forma inde-pendente, William Hyde Wollatson e Joseph von Fraunhofer descobrem, ao decompor a luz do Sol, linhas escuras muito bem definidas no espectro da luz, condizente com linhas de emissão de alguns elementos, como o Hidrogênio e o Hélio. Mais tarde este fenômeno é explicado pela absorção das linhas espectrais pelos próprios elementos, presentes no Sol. Esta ideia foi então ampliada para descobrir a composição de uma estrela qualquer.

Desde então, muitos outros ramos importantes surgiram, de grande relevância para física moderna, como o dos Objetos Compactos, que veremos a seguir.

2.1 A Astrofísica de Objetos Compactos

Os Objetos Compactos representam o conjunto de objetos astrofísicos que possuem altas massas e pequenos raios, o que pode ser resumido na propriedade de possuírem altas densidades. Atualmente este conjunto é composto por Anãs Brancas, estrelas de Nêutrons e Buracos Negros.

Todos os listados acima são produtos finais da evolução estrelar, mas possuem propriedades diferentes, que surgem a partir da massa da estrela antes do seu colapso gravitacional.

As Anãs Brancas são estrelas que possuem tipicamente até 1.3 ou 1.4 vezes a massa do Sol. Para massas estrelares de 1.4 até 3 vezes a massa do Sol, o colapso gravitacional vence a degenerescência dos elétrons, formando assim a estrelas de Nêutrons. Para massas superiores a 10 vezes a massa do Sol, a pressão gravitacional vence também a degenerescência dos nêutrons, dando origem à um Buraco Negro.

Neste trabalho falarei apenas das Anãs Brancas e brevemente das estrelas de Nêutrons, encontrando estimativas para as suas massas e raios a partir de uma pressão central ou um intervalo de pressões centrais, através da equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff e da continuidade de massa, respectivamente:

dP dr(r) = − Gm(r) r2 ρ(r) 1 + P (r) (r) ! 1 + 3P (r) (r) ! 1 − 2Gm(r) rc2 !−1 (2.1)

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2.1. A Astrofísica de Objetos Compactos 33 dm dr (r) = 4πr 2 ρ(r) (2.2)

2.1.1 Anãs Brancas

Para as Anãs Brancas, não é necessário tratar a equação (2.1) no contexto da relatividade geral, para elas P 1 e Gm

rc2 1, então a equação fica na forma:

dP

dr(r) = −

Gm(r)ρ(r)

r2 (2.3)

E, junto com a equação para a massa:

dm

dr (r) = 4πr 2

ρ(r)

Note que precisamos de mais uma equação para podermos resolver as duas equações acima, pois teríamos 3 equações e três incógnitas: pressão, massa e raio. Partindo de um modelo puramente estatístico, considerando um modelo de gás de elétrons (estatística de Fermi) e que os elétrons contribuem de forma majoritária para a pressão da estrela, podemos então chegar numa terceira equação:

P (r) = κ[ρ(r)]γ (2.4)

No limite de um gaz de Boltzmann não relativístico::

γ = 5/3 e κ = _15π12_m

e(

3π2

mn)

γ _{= 3.125.10}12_cm2_/erg2/3_.

No limite ultra relativístico:

γ = 4/3 e κ = _12π12(

3π2

mn)

γ_{= 4.889.10}14_erg2/3_.cm.s.

Onde me e mn são as massas respecivas do elétron e do nêutron e γ é o indicie

politrópico.

Através da equação (2.4) podemos achar uma expressão para ρ(r) e substituí-la nas equações (2.2) e (2.3), e assim teríamos um sistema de equações solúvel.

Uma alternativa para a solução das equações (2.2) e (2.3) seria partir de dados tabelados, mas como veremos na discussão dos resultados na ultima seção deste capítulo, não existe a necessidade de se fazer isso, pois conseguimos bons valores para a massa e raios na mesma ordem de grandeza, um bom pontapé inicial para estudos relevantes acerca destas estrelas. Sendo Ms a massa solar e Rs o raio solar:

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34 Capítulo 2. Os Métodos Numéricos para a Astrofísica

Tabela 1 – Razão das massas e raios de uma Anã Branca e do Sol em regime de gás não relativístico  (g/cm3₎ _M/M s R/Rs 105 _0.15438 _0.02353 106 0.48819 0.01603 107 _1.54381 _0.01092 108 _4.88194 _0.00744

Tabela 2 – Razão das massas e raios de uma Anã Branca e do Sol em regime de gás ultra relativístico  (g/cm3₎ _M/M s R/Rs 105 1.43774 0.10311 106 _1.43774 _0.04787 107 _1.43774 _0.02222 108 1.43774 0.01031

2.1.2 Estrelas de Nêutrons

As estrelas de Nêutrons são estrelas em regimes relativísticos, pois possuem densi-dades energéticas () e pressões altas, tornando os termos em P não desprezíveis. Usamos então a equação (2.1) e valores tabelados, pois estrelas com altas densidades centrais tendem a estar em regime relativístico e as equações politrópicas rapidamente perdem o sentido para as Estrelas de Nêutrons, ainda mais tendo em vista que elas não nos limitam quando falamos da massa da estrela.

Não explorarei nem exibirei dados relativos à esta seção, pois ainda não tive a oportunidade de desenvolver os programas com calma, ainda preciso ajustar as unidades para poder comparar com valores conhecidos.

2.2 Discussão dos Resultados

Fazendo um estudo das tabelas 1 e 2, podemos concluir que:

• Procurando por valores tabelados, observo a partir de (CAMPOS, 2018) que consigo, em ambos os casos, valores bem próximos dos conhecidos, o que nos mostra o quão preciso os métodos de Runge-Kutta podem ser, mesmo se considerarmos a propagação de erros associada a este método. Um meio de chegar em valores ainda melhores seria considerando sofisticações deste método, como ordens superiores ou passos dinâmicos.

• Vistos à luz do limite de Chandrasekhar, que determina a massa máxima de uma Anã Branca (de 1.44Ms), então a equação politrópica ultra relativística oferece

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2.2. Discussão dos Resultados 35

boas massas e raios, enquanto que quando vamos para regimes de altas densidades (no limite newtoniano) vemos que a massa cresce rapidamente, uma vez que estas

equações não impõe um limite para a massa da estrela.

• Como exemplo de sofisticação, tome como exemplo o passo dinâmico: existem algumas maneiras diferentes de se montá-lo, em particular alguns que levam em conta o erro relativo que cada ponto carrega em função do anterior. Então este poderia ser usado para minimizar o erro.

• Para as estrelas de Nêutrons, como precisamos resolver a equação (2.1), uma vez que a pressão não é desprezível perto da densidade energética, valores tabelados exibem resultados mais concisos que resolvendo explicitamente através de Runge-Kutta e equações politrópicas (vimos como elas não determinam um limite para massas estelares em densidades altas, e Estrelas de Nêutrons possuem densidades altissímas).

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Conclusão

Esta monografia teve como finalidade principal, construir uma base sólida de métodos numéricos para o estudo e resolução de equações diferenciais ordinárias presentes quando resolvemos a equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para um objeto astrofísico compacto. Concluímos que:

De fato, os métodos numéricos são extremamente úteis e necessários para a astrofí-sica de objetos compactos, uma vez que não se sabe simular as condições de um objeto compacto na Terra, a fim de estudar as suas propriedades.

Para as medidas do meio astrofísico, um calculo preciso é extremamente necessário, uma vez que uma pequena propagação num erro que de inicio aparenta ser pequeno, pode gerar discrepâncias absurdas nos valores calculados e, assim, sofisticações para estes métodos são necessárias.

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Referências

CAMPOS, J. J. Z. Estudo da Estrutura de Anãs Brancas Cristalinas. 2018. Citado na página 34.

DEVRIES, P. L. [S.l.: s.n.], 1994. ISBN 0471548693. Citado na página 23.

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APÊNDICE A – Unidades e Conversões

Durante a aplicação dos métodos citados no capítulo 1, ao longo da iniciação científica, muitas vezes foi conveniente adequar as unidades utilizadas, a fim de conseguir resolver Runge-Kutta numericamente, tendo em vista as ordens de magnitude frequente-mente encontradas no meio astrofísico podem rápidafrequente-mente ultrapassar o limite da memória computacional (valores tão grandes quanto 1080 ou tão pequenos quanto 10−60). Frequente-mente foram usadas as unidades astronômicas são o cgs ou nas unidades de escala atômica (MeV e fm), fazendo uso das "unidades gravitacionais (geometrizadas)", as conversões foram todas realizadas a partir de (GLENDENNING, 2000), no capítulo 3, como abaixo:

• 1 = c = 2, 9979.1010_cm.s−1_.

• 1 = G = 6, 6720.10−8_cm3_.g−1_.s−2_.

• 1 = kb = 1, 3807.10−16erg.K−1.

Em particular, foi extremamente vantajoso usar as pressões e densidades energéticas em unidades geometrizadas em Runge-Kutta:

• [P ] = [] = km−2.

• 1dyne.cm−2 _{= 8, 2601.10}−40_km−2_.

• 1g.cm−3 _{= 7, 4237.10}−19_km−2_.

Sobre as unidades atômicas:

• 1M eV = 1, 3234.10−55_cm.

• 1f m = 10−13_cm

E, por ultimo, no capítulo 2, me referi à massa solar por Ms e ao raio solar por Rs:

• 1Ms = 1, 989.1033g = 1, 4766km.