Luiz Rijo. Cálculo de Uma Variável com. Mathematica. Vol. 2

(1)

Luiz Rijo

Cálculo de

Uma Variável

com

Mathematica

Vol. 2

X

udv = uv ?

X

vdu

(2)

Aplicações da Integral

Iniciar o MathKernel

In[1]:= 2+ 2

Out[1]= 4

1.1 Comprimento de arco

Fórmula do comprimento de arco no intervalo [a, b] s =

Ÿ

a

b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1 + f ' HxL2 x

Fórmula do comprimento de arco no intervalo [a, x] s[x] =

Ÿ

a

x è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1 + f ' HtL2 t (1) Daqui e do Teorema Fundamental do Cálculo segue-se que

s ' [x] = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + f ' HxL2 (2)

Observe que este resultado independe do ponto a particular, a partir do qual começamos a medir o comprimento do arco. Se escolhessemos outro ponto c, em vez de a, isto só faria alterar a expressão (1) por uma constante aditivae não mudaria a derivada (2).

EXEMPLO 1. (GA2, pág. 20) Vamos calcular o comprimento de arco dado por

f HxL = cosh x = x+ −x 2

In[2]:= H∗ Definição da função cosh x = H x + −xLê2 ∗L

f@x_D :=

x₊ −x

(3)

In[18]:= H∗ Gráfico da função f HxL ∗L Plot@f@xD, 8x, 0, 3<, PlotRange → 80, 9<D; 0.5 1 1.5 2 2.5 3 2 4 6 8

In[3]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ f '@xD^2 , 8x, 0, b<E

Out[3]= "#####################Cosh@bD2 Tanh@bD

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ f '@xD^2 , 8x, 0, b<E êê TrigToExp

Out[4]= H−

−b₊ bL "########################H _−b₊ bL2 2H −b+ bL

Simplificando esta expressão resulta

b₋ −b 2

Uma simples mudança de escala pode levar a um integrando que não se presta a um cálculo tão fácil da integral. É o que acontece quando consideremos a função g HxL =

x ₊ −x _{= 2 f}_{HxL, com a qual obtemos , para o comprimento de arco a expressão}

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ 4 f '@xD^2 , 8x, 0, b<E

Out[5]= $Aborted

In[35]:= H∗ Gráficos das funções f HxL e g HxL = 2 f HxL ∗L

Plot@8f@xD, 2 f@xD<, 8x, 0, 3<, PlotRange → 80, 9<, PlotStyle−>8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

2 4 6 8

(4)

In[6]:= H∗ Cálculo numérico do arco aplicando a fórmula H1L ∗L

NIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ 4 f '@xD^2 , 8x, 0, 2<E

Out[6]= 6.11256

Nintegrate[f, {x, xmin, xmax}] calcula o valor numérico aproximado da integral de f com respeito à variável x no intervalo xmin, xmax.

EXEMPLO 2. Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de raio r, que supomos centrada na rigem dos

eixos de coordenadas. Para isso basta tomasr o dobro do comprimento da semicircunferência dada por y = è!!!!!!!!!!!!!!!!r2 _{- x}2_, -r § x § r, que jaz no semiplano superior y ¥ 0.

In[49]:= H∗ Definição da função y HxL = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 − x2 ∗L Clear@x, y, rD;

y@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 _{− x}2

In[51]:= H∗ Gráfico da semicircunferência de raio r = 3 ∗L

r= 3; Plot@y@xD, 8x, −3, 3<D; -3 -2 -1 1 2 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3

4 IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ y '@xD^2 , 8x, 0, r<, Assumptions → r > 0E

Out[38]= 2π r

EXEMPLO 3. Seja calcular o comprimento do arco de curva y = x2ê3_{, 0} _{≤ x ≤ 1, ilustrado na figura}

abaixo

In[21]:= H∗ Definição da função y HxL = x2ê3 ∗L

Clear@x, yD; y@x_D := x2ê3

(5)

In[11]:= H∗ Gráfico da função y = x2ê3 ∗L Plot@y@xD, 8x, 0, 1<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ y '@xD^2 , 8x, 0, 1<E

Out[24]= 1

27 I−8 + 13 è!!!!!!13M

In[13]:= H∗ Valor numérico do resultado anterior ∗L

N@%D

Out[13]= 1.43971

Exercícios

Calcule os comprimentos de arco das curvas dadas nos Exercícios 1 a 12, e faça os gráficos.

1. y = x3ê2, 0 § x § 3.

In[25]:= H∗ Definição da função y HxL = x3ê2 ∗L

Clear@x, yD; y@x_D := x3ê2

In[18]:= H∗ Gráfico da função y = x3ê2 ∗L

Plot@y@xD, 8x, 0, 3<D; 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 2 3 4 5

Out[27]= 1

27 I−8 + 13 è!!!!!!13M

(6)

In[31]:= H∗ Definição da função y HxL = Hx+1L3ê2 ∗L

Clear@x, yD; y@x_D := Hx + 1L3ê2

In[36]:= H∗ Gráfico da função y = Hx + 1L3ê2 ∗L

Plot@y@xD, 8x, 1, 5<, PlotRange → 80, 16<D;

2 3 4 5 2 4 6 8 10 12 14 16

Out[34]= − 2

27 I11 è!!!!!!22 − 29 è!!!!!!58M

3. Hx - 1L2 = Hy + 1L3, 0 § x § 1.

In[9]:= H∗ Definição da função y HxL = Hx−1L2ê3 − 1 ∗L

Clear@x, yD

y@x_D := Hx + 1L2ê3− 1

In[4]:= H∗ Gráfico da função y = Hx + 1L3ê2 ∗L

Plot@y@xD, 8x, 0, 1<, PlotRange → 80, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ y '@xD^2 , 8x, 0, 1<E êê FullSimplify

Out[66]= 1

27 I−13 è!!!!!!13 + 2H9 + 2 2

1ê3L3ê2M

4. y = ln x, 1 § x § 2.

In[72]:= H∗ Definição da função y HxL = ln x ∗L

Clear@x, yD; y@x_D := Log@xD

(7)

In[69]:= H∗ Gráfico da função y = ln x ∗L Plot@y@xD, 8x, 1, 2<D; 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ y '@xD^2 , 8x, 1, 2<E êê FullSimplify

Out[81]= −è!!!2 + è!!!5 − ArcCsch@2D + ArcSinh@1D

5. y = ln cos x, 0 § x § pê 4.

In[95]:= H∗ Definição da função y HxL = ln cos x ∗L

Clear@x, yD;

y@x_D := Log@Cos@xDD

In[84]:= H∗ Gráfico da função y = ln cos x ∗L

Plot@y@xD, 8x, 0, π ê 4<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ y '@xD^2 , 8x, 0, π ê 4<E

Out[107]= 2 ArcTanhATanA π 8EE

In[108]:= N@Log@Tan@3 π ê 8DDD N@%D

Out[108]= True

6. y = lnH1 - x2L, -1 ê 2 § x § 1 ê 2.

In[109]:= H∗ Definição da função y HxL = ln H1 − x2L ∗L

Clear@x, yD;

(8)

In[111]:= H∗ Gráfico da função y = ln H1 − x2L ∗L Plot@y@xD, 8x, −1 ê 2, 1 ê 2<D; -0.4 -0.2 0.2 0.4 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ y '@xD^2 , 8x, −1 ê 2, 1 ê 2<E

Out[112]= −1 + Log@9D

7. y =ÅÅÅÅ1₃ Hx2 _{+ 2}L3ê2_, _{-1 § x § 1.}

In[113]:= H∗ Definição da função y HxL = 1ê3 Hx2 + 2L3ê2 ∗L

Clear@x, yD;

y@x_D := 1 ê 3 Hx2+ 2L3ê2

In[115]:= H∗ Gráfico da função y = 1ê3 Hx2 + 2L3ê2 ∗L

Plot@y@xD, 8x, −1, 1<D;

-1 -0.5 0.5 1

1.2 1.4 1.6

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ y '@xD^2 , 8x, −1, 1<E

Out[116]= 8

3

8. y =ÅÅÅÅ2₃ Hx2 + 1L3ê2, -2 § x § 0.

In[11]:= H∗ Definição da função y HxL = 2ê3 Hx2 + 1L3ê2 ∗L

Clear@x, yD;

(9)

In[13]:= H∗ Gráfico da função y = 2ê3 Hx2 + 1L3ê2 ∗L Plot@y@xD, 8x, −2, 0<D; -2 -1.5 -1 -0.5 1 2 3 4 5 6 7

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ y '@xD^2 , 8x, −2, 0<E

Out[14]= 22

3

9. y =ÅÅÅÅÅÅx₂2 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅln x₄ , 1 § x § 2.

In[17]:= H∗ Definição da função y HxL = x2ê2 − ln xê4 ∗L

Clear@x, yD;

y@x_D := x2ê 2 − Log@xD ê 4

In[19]:= H∗ Gráfico da função y = x2ê2 − ln xê4 ∗L

Plot@y@xD, 8x, 1, 2<D; 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8

Out[20]= 1

4 H6 + Log@2DL

10. y = ÅÅÅÅÅÅx₃3 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ_{4 x}1 , 1 § x § 3.

In[17]:= H∗ Definição da função y HxL = x3ê3 + 1ê4 x ∗L

Clear@x, yD;

(10)

In[21]:= H∗ Gráfico da função y = x3ê3 + 1ê4 x ∗L Plot@y@xD, 8x, 1, 3<D; 1.5 2 2.5 3 1 2 3 4

Out[22]= 4+ Log@3D 4

11. y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!₂x - ÅÅÅÅ2₃ x3ê2, 1 § x § 3.

In[27]:= H∗ Definição da função y HxL = è!!!xë2 − H2ê3L x3ê2 ∗L

Clear@x, yD;

y@x_D := è!!!!x ë 2 − H2 ê 3L x3ê2

In[29]:= H∗ Gráfico da função y = è!!!xë2 − H2ê3L x3ê2 ∗L

Plot@y@xD, 8x, 1, 3<D; 1.5 2 2.5 3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

Out[30]= −7

6 + 5 è!!!3

2

12. y = ‰x, -1 § x § 1.

In[33]:= H∗ Definição da função y HxL = x ∗L

Clear@x, yD; y@x_D := x

(11)

In[35]:= H∗ Gráfico da função y = x ∗L Plot@y@xD, 8x, −1, 1<D; -1 -0.5 0.5 1 0.5 1 1.5 2 2.5

IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ y '@xD^2 , 8x, −1, 1<E êê Simplify

Out[37]= è!!!!!!!!!!!!!1+ 2 −

è!!!!!!!!!!!!!₁₊ 2

− ArcTanhAè!!!!!!!!!!!!!1+ 2E + ArcTanhA

è!!!!!!!!!!!!!₁₊ 2 E

1.2 Volume de sólidos de revolução

Fórmulas do volume dos sólidos de revolução V =

Ÿ

a b

π f

HxL

2 x (3) V =

Ÿ

a b

π f

HyL

2 y (4)

Na fórmula (3) a rotação é em torno do eixo 0x e na fórmula (4) a rotação se faz em torno do eixo 0y.

EXEMPLO 1. (GA2, pág. 6) Vamos utilizar o método de revolução para calcular o volume da esfera de raio r.

In[112]:= H∗ Definição da função y HxL = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 − x2 ∗L Clear@x, y, rD;

(12)

In[117]:= H∗ Gráfico da semicircunferência de raio r = 3 ∗L r= 3; Plot@f@xD, 8x, −3, 3<D; -3 -2 -1 1 2 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3

In[119]:= H∗ Volume da esfera de raio r pela fórmula H3L ∗L

Clear@rD

Integrate@π f@xD2,8x, −r, r<D

Out[120]= 4π r

3

EXEMPLO 2. (GA2, pág. 7) Vamos achar o volume do sólido que se obtém por rotação, em torno do eixo dos y, da figura delineada pelo arco de parábola y = è!!!!!x ( 0 § x § 4), o eixo ) y e a reta y = 2. Neste caso, como se trata de

sólido de revolução em torno do eixo 0y deve-se usar a fórmula (4).

In[2]:= H∗ Gráfico da da função y= è!!!x ∗L

f@x_D := è!!!!x Plot@f@xD, 8x, 0, 4<D; 1 2 3 4 0.5 1 1.5 2

In[42]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L

Integrate@π f@yD2,8y, 0, 2<D

Out[43]= 32π

5

EXEMPLO 3. (GA2, pág. 7) Consideremos o sólido obtido por rotação em torno do eixo Oy, da figura compreen-dida entre o arco de parábola y = è!!!!x (0 § x § 4), o eixo Ox e a reta x = 4.(4).

O volume desse sólido é a diferença entre o volume do cilindro circular de raio 4 e altura h = 2, e o volume do s[olido considerado no exemplo anterior. Portanto

(13)

In[52]:= H∗ Volume do sólido de revolução ∗L r = 4; h= 2; π r2 h − 32 π ê 5 Out[54]= 128π 5

Método das cascas cilíndricas

Fórmula do volume dos sólidos de revolução pelo método das cascas cilíndricas V =

Ÿ

a b

2 π x f

HxL

x (5)

EXEMPLO 4. (GA2, pág. 8) Vamos calcular o volume do sólido gerado por rotação, em torno do eixo 0x, da região do plano 0xy delimitada pela curva y = 2x - x2 e o eixo 0x. Essa curva é o trecho da parábola y = 1-Hx - 1L2, que começa na origem, atinge um máximo no ponto x = 1 e volta ao valor zero no ponto x = 2.

In[4]:= H∗ Gráfico da da função y= è!!!x ∗L

f@x_D := 2 x − x2 Plot@f@xD, 8x, 0, 2<D; 0.5 1 1.5 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 2<D

Out[6]= 8π

3

Exercícios

Em cada um dos exercícios 1 a 21, calcule o volume do sólido que se obtém por rotação dada em torno do eixo indicado. Faça o gráfico em cada caso.

(14)

In[7]:= H∗ Gráfico da função y = 3 xê2 ∗L f@x_D := 3 x ê 2 Plot@f@xD, 8x, 0, 2<D; 0.5 1 1.5 2 0.5 1 1.5 2 2.5 3

f@y_D := 2 y ê 3

Out[64]= 4π

2. y = 1 - x2, x = 0 e y = 0, em volta de 0x.

In[9]:= H∗ Gráfico da função y = 1 − x2 ∗L

f@x_D := 1 − x2 Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f@x_D := 1 − x2

Integrate@π f@xD2,8x, 0, 1<D

Out[66]= 8π

15

3. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.

f@y_D := è!!!!!!!!!!!!!1 − y

Out[68]= π

(15)

In[43]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗L f@x_D := 1 − x2 Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D Out[44]= π 2 4. y = x2_{, x = 0 e y = 1, em volta de 0x.}

In[21]:= H∗ Gráfico da função y= x2 ∗L

f@x_D := x2 Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f@x_D := x3

π − Integrate@π f@xD2

,8x, 0, 1<D

Out[33]= 6π

7

f@y_D := y1ê3

Out[39]= 3π

5

f@x_D := x3

π − Integrate_{@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D}

Out[42]= 3π

5

(16)

In[61]:= H∗ Gráfico da função y= Hx + 1L1ê3 ∗L f@x_D := Hx + 1L1ê3 Plot@f@xD, 8x, 0, 7<D; 1 2 3 4 5 6 7 1.2 1.4 1.6 1.8 2

f@x_D := Hx + 1L1ê3

Out[5]= 93π

5

f@y_D := y3 − 1

Out[85]= 163π

14

f@x_D := Hx + 1L1ê3

98 π − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 7<D

Out[72]= 163π

14

8. y =1/x, y = 0, x = 1 e e x = a > 1, em volta de 0x. Considere este volume com a Ø ¶ dê uma interpretação

geométrica ao resultado. Considere, em seguida, o caso 0 < a < 1 e o limite com a Ø 0.

In[102]:= H∗ Gráfico da função y = 1êx ∗L

f@x_D := 1 ê x Plot@f@xD, 8x, 1, 4<D; 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

(17)

f@x_D := 1 ê x

Integrate@π f@xD2,8x, 1, a< , Assumptions → a > 1D

Out[92]= H−1 + aL π

a

In[93]:= Limit@%, a → ∞D

Out[93]= π

9. y = x-1ê3, y = 0, x = 1 e e x = e (0 < e < 1), em volta de 0x. Considere este volume com e Ø 0 e interprete o resultado geometricamente. Considere, também, o caso e >1 e o limite com e Ø ¶.

In[8]:= H∗ Gráfico da função y = x−1ê3 ∗L

f@x_D := x−1ê3 Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10

In[13]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L; 0 < ε < 1 ∗L

f@x_D := x−1ê3

Integrate@π f@xD2,8x, ε, 1< , Assumptions → 0 < ε < 1D

Out[14]= −3 πH−1 + ε1ê3L

In[15]:= H∗ Limite quando ε → 0 ∗L

Limit@%, ε → 0D

Out[15]= 3π

In[16]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L, ε > 1 ∗L

Integrate@π f@xD2,8x, 1, ε< , Assumptions → ε > 1D

Out[16]= 3πH−1 + ε1ê3L

In[17]:= H∗ Limite quando ε → ∞ ∗L

Limit@%, ε → ∞D

Out[17]= ∞

(18)

In[104]:= H∗ Gráfico da função y = è!!!x ∗L f@x_D := è!!!!x Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f@y_D := y2

Out[91]= π

5

f@x_D := è!!!!x

π − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D

Out[107]= π

5

11. y = x2_{- x e y = 0, em volta de 0x.}

In[108]:= H∗ Gráfico da função y = x2 − x ∗L

f@x_D := x2 − x Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05

f@x_D := x2 − x

Out[111]= π

30

(19)

In[20]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗L f@x_D := x2 − x πê 4 − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D Out[21]= 5π 12 13. y = x , y = è!!!!!!!!!!!!!!!1- x2 _{e y = 0, em volta de 0x.}

In[26]:= H∗ Acha o ponto de interseção de y = x, y =è!!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2 _∗L SolveAx ==è!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2_{, x}E

Out[26]= 99x → è!!!1

2 ==

In[31]:= H∗ Gráfico das funções: y =è!!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2 _{e y} _{= x ∗}L

f@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2

PlotA8x, f@xD<, 9x, 0, 1 ë è!!!!2=E;

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!!1 − x2

g@y_D := y

IntegrateAπ f@xD2,9x, 0, 1 ë è!!!!2=E − IntegrateAπ g@xD2,9x, 0, 1 ë è!!!!2=E

Out[35]= 2π

3 è!!!2

14. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.

f@y_D :=è!!!!!!!!!!!!!!1 − y2

g@x_D := y

Integrate@π f@yD2,8y, 0, 1<D − Integrate@π g@yD2,8y, 0, 1<D

Out[43]= π

3

(20)

In[46]:= H∗ Gráfico da função y = sen x ∗L f@x_D := Sin@xD Plot@f@xD, 8x, 0, π<D; 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f@x_D := Sin@xD

Integrate@π f@xD2,8x, 0, π<D

Out[97]= π

2

f@y_D := ArcSin@yD

Out[101]= 1

4 πH−8 + π 2L

17. y = xn, y = 0 e x = 1, em volta de 0z, onde n é um inteiro positivo. Considere o limite desse volume com n Ø ¶ e dê uma interpretação geométrica do resultado.em volta de 0x.

In[62]:= H∗ Gráfico das funções y = x2, y = x4_{, y} _{= x}6_{, y} _{= x}8_{, y} _{= x}10_∗L

Plot@8x2, x4, x6, x8, x10<, 8x, 0, 1<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.01 0.02 0.03 0.04

f@x_D := xn

Integrate@π f@xD2,8x, 0, 1<, Assumptions → n > 1D

Out[64]= π

(21)

In[65]:= H∗ Limite quando n → ∞ ∗L

Limit@%, n → ∞D

Out[65]= 0

18. y = 0, y = x2 e a reta tangente a esta curva em x = 1, em volta de 0x.

In[73]:= H∗ Gráfico da funções y = x2, y = 2 x −1 ∗L Plot@8x2, 2 x − 1<, 8x, 0, 1<, PlotRange → 80, 1<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f@x_D := x2; g@x_D := 2 x − 1;

Integrate@π f@xD2,8x, 0, 1<D − Integrate@π g@xD2,8x, 1 ê 2, 1<D

Out[72]= π

30

f@y_D := è!!!!y; g@y_D := Hy + 1L ê 2;

Integrate@π g@yD2,8y, 0, 1<D + Integrate@π f@yD2,8y, 0, 1<D − π

Out[82]= π

12

20. y = ‰x_{, y = 0, x = 0, e x = 1, em volta de 0x.}

f@x_D := x

Out[103]= 1

2 H−1 + 2L π

f@y_D := Log@xD

Integrate@π f@yD2,8y, 1, <D

(22)

22. Considere uma calota determinada numa esfera de raio r por um plano cuja distância ao centro da esfera é h < r. Mostre que o volume da calota é

2p r2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ₃ - p h3

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ₃ - p r2_h.

1.3 Volume de um sólido qualquer

Fórmula do volume de um sólido qualquer V =

Ÿ

a b

A HxL x

Esta fórmula serve para exprimir o volume de qualquer sólido, desde que se conheça as áreas A(x) de suas seçõies transversais, relativamente a um eixo 0x.

EXEMPLO 1. Vamos calcular o volume de um sólido cuja base é o círculo x2 _{+ y}2 _{§ r}2_{e cujas seções} perpendicu-lares ao eixo Ox são triângulos isósceles ABC, retângulos em A.

A área do tiângulo é dada por r2 _{- x}2_.

In[83]:= H∗ Volume do sólido ∗L

A@x_D := r2− x2

Integrate@A@xD, 8x, −r, r<D

Out[84]= 4 r

3

EXEMPLO 2. Neste exemplo vamos calcular o volume da interseção de dois cilindros circulares iguais, cujos eixos se cruzam em ângulo reto.

A área do seção é dada por Hr2 _{- z}2L.

A@z_D := Hr2− z2L

4 Integrate@A@zD, 8z, −r, r<D

Out[88]= 16 r

3

Princípio de Cavalieri para volumes

Se dois sólidos são tais que, relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais correspondentes à mesma abscissa x têm áreas iguais A(x), então eles têm volumes iguais.

Princípio de Cavalieri para volume (forma geral). Consideremos dois sólidos de volumes V1 e V2, respectiva-mente. Suponhamosque, Se dois relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais correspondentes à mesma abscissa x tenham áreas A1(x) e A2(x), repectivamente, tais que A1(x) = k A2(x), onde k é uma constante. Então V1 = k V2.

(23)

Exercícios

Calcule o volume dos sólidos descritos nos Exercícios 1 a 6.

1. A base do sólido é o triângulo 0 § y § 1, e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissasx são

semicírculos de diâmetro y.

A área do semi-círculo de diâmetro y é dada por pH1 - xL2_{ê 2}

A@x_D := π H1 − xL2ê 2

Integrate@A@xD, 8x, 0, 1<D

Out[90]= π

6

2. A base do sólido é o círculo x2 _{+ y}2 _{§ r}2_{, e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são} quadrados de lados 2 è!!!!!!!!!r ^ 2 - x2_. In[6]:= r= 1; Plot@8Sqrt@r^2 − x^2D, −Sqrt@r^2 − x^2D<, 8x, −r, r<, AspectRatio → AutomaticD; -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1

A área do quadrado é dada por 4 Hr2 _{- x}2L

A@x_D := 4 Hr2− x2L

Out[94]= 16 r

3

3. A base do sólido é o quadrado de vértices (± 1, ± 1), e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são triângulosde base 2 e altura h(x) = 1 + x sen(px).

A área do triângulo é dada por 1+ x senHpxL.

A@x_D := 1 + x Sin@π xD Integrate@A@xD, 8x, −1, 1<D

Out[98]= 2+ 2 π

4. A base do sólido é o círculo x2 _{+ y}2 _{§ r}2_{, e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são} triângulos equiláteros de lados 2 è!!!!!!!!!!!!!!!r2- x2 _.

(24)

In[13]:= r= 1; Plot@8Sqrt@r^2 − x^2D, −Sqrt@r^2 − x^2D<, 8x, −r, r<, AspectRatio → AutomaticD; -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1

A área do triângulo é dada por è!!!3Hr2 - x2L

A@x_D := è!!!!3 Hr2− x2L

Out[100]= 4 r

3 è!!!₃

5. A base do sólido é a figura delineada pelas curvas y = ≤H 1 - x2L, -1§ x § 1; e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são triângulos de base 2 H1 - x2L e altura h(x) = cos(p x/2)..

In[103]:= H∗ Gráfico das funções y = ± H1 − x2L ∗L

Plot@8−H1 − x2L, H1 − x2L<, 8x, −1, 1<D; -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1

A área do triângulo é dada por H1 - x2Lcos(p x/2)

A@x_D := H1 − x2L Cos@π x ê 2D Integrate@A@xD, 8x, −1, 1<D

Out[105]= 32

π3

6. A base do sólido é a figura delineada pelas curvas y = ≤H x + ‰xL, 0 § x § 1; e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são semicírculos de raios x + ‰x_.

(25)

In[106]:= H∗ Gráfico das funções y = ± Hx + xL ∗L Plot@8−Hx + xL, Hx + xL<, 8x, 0, 1<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -3 -2 -1 1 2 3

A área do semicírculo é dada pHx + ‰xL2_{ê 2}

A@x_D := π Hx + xL2ë 2 Integrate@A@xD, 8x, 0, 1<D

Out[108]= 1

12 H11 + 3 2L π

1.4 Área de uma figura plana qualquer

Fórmula da área área de uma figura plana qualquer A =

Ÿ

a b

lHxL x

Princípio de Cavalieri para figuras planas. Se duas figuras planas são tais que, relativamente a um mesmo eixo

0x, suas seções transvwesais têm comprimentos iguais l(x), então eles têm áreas iguais.

EXEMPLO 1. Vamos calcular a área da elípse de semi-eixos a e b,

O comprimento l(x) é dada por ÅÅÅÅb_a è!!!!!!!!!!!!!!!!!a2 - x2_.

In[111]:= H∗ Área da figura plana ∗L

l@x_D := b ê aè!!!!!!!!!!!!!!!!!a2 _{− x}2

4 Integrate@l@xD, 8x, 0, a<D

Out[112]= è!!!!!!a2 _b_π

Princípio de Cavalieri para figuras planas (forma geral). Consideremos duas figuras planas de áreas A1 e A2, respectivamente. Suponhamos que, relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais tenham compri-mentos iguais l1(x) e l2(x), repectivamente, tais que Al1(x) = k l2(x), onde k é uma constante. Então A1 = k A2.

(26)

Com esta fórmula geral, o cálculo da área da elípse no exemplo anterior fica imediato: a área da elípse é o produto do fator k = b/a pela área do círculo de raio a, ou seja A = (b/a) pa2_{= p a b.}

Exercícios

Nos Exercícios 1 a 9, calcule a área da figura delineada pelas curvas dada e faça o gráfico em cada caso.

1. y = 2 x3_{e y = 2 x, x = 0 e x =1.}

In[114]:= H∗ Gráfico das funções y = 2 x3 e y = 2 x ∗L Plot@82 x^3, 2 x<, 8x, 0, 1<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 1 1.5 2

In[117]:= H∗ Cálculo da área A ∗L

segmentoL@x_D := 2 x H1 − x^2L

Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, 1<D êê Simplify

Out[118]= 1

2

2. Parábola y = x2_{, eixo 0x e tangente à parabola no ponto (1,1).}

In[7]:= H∗ Gráfico das funções y = x2 e y = 2 x −1 ∗L Plot@8x^2, 2 x − 1<, 8x, 0, 1<D; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.5 0.5 1

segmentoL@x_D := x2− 2 x + 1

Out[120]= 1

3

(27)

In[10]:= H∗ Gráfico das funções y = x2 e y = è!!!x ∗L PlotA9x2,è!!!!x=, 8x, 0, 1<E;

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

segmentoL@x_D := è!!!!x − x2

Out[122]= 1

3

4. Parábola y = è!!!x e reta x =1.

In[126]:= H∗ Gráfico da função y = x2 e da reta y = 1 ∗L p1= Plot@x^2, 8x, 0, 1<, DisplayFunction → IdentityD; p2= ListPlot@881, 0<, 81, 1<<,

PlotJoined→ True, DisplayFunction → IdentityD; Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 In[16]:= segmentoL@x_D := x^2

segmentoL@x_D := x2

Out[130]= 1

3

(28)

In[134]:= H∗ Gráfico das funções y = −x e y = − −x ∗L Plot@8 −x,− −x<, 8x, 0, 3<D; 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.5 0.5 1

segmentoL@x_D := 2 −x

Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, ∞<D êê Simplify

Out[136]= 2

6. y = x ln x, y = 1 - x e 1 § x § 2.

In[143]:= H∗ Gráfico das funções y = x ln HxL, y = 1 − x e a reta x = 2 ∗L

p1= Plot@8x Log@xD, 1 − x<, 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityD; p2= ListPlot@882, −1<, 82, 2 Log@2D<<,

1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.5 0.5 1

segmentoL@x_D := x Log@xD + x − 1 Integrate@segmentoL@xD, 8x, 1, 2<D

Out[139]= −1

4 + Log@4D

(29)

In[27]:= H∗ Gráfico da função y = sen3HxL, 0 ≤ x ≤ π ∗L Plot@Sin@xD3, 8x, 0, π<D; 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1

segmentoL@x_D := Sin@xD3

Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, π<D

Out[147]= 4

3

8. y = x‰-x, y = -x cos(x), 0 § x § p/2.

In[169]:= H∗ Gráfico das funções y = x −x, y = −x cos HxL, 0 ≤ x ≤ πê2 ∗L p1= Plot@8x −x,−x Cos@xD<, 8x, 0, π ê 2<, DisplayFunction → IdentityD; p2= ListPlot@88π ê 2, 0<, 8π ê 2, π −πê2ê 2<<,

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

-0.4 -0.2 0.2

segmentoL@x_D := x −x+ x Cos@xD Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, π<D

Out[173]= − −πH1 + π+ πL

(30)

In[176]:= H∗ Gráfico das funções y = è!!!x ln HxL, y = −x ln HxL, 1 ≤ x ≤ 2 ∗L

p1= PlotA9è!!!!x Log@xD, −x Log@xD=, 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityE; p2= ListPlotA982, −2 Log@2D<, 92, è!!!!2 Log@2D==,

PlotJoined→ True, DisplayFunction → IdentityE; Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.5 0.5 1

segmentoL@x_D := Iè!!!!x + xM Log@xD Integrate@segmentoL@xD, 8x, 1, 2<D

Out[186]= −3

4 + Log@4D + 4

(31)

Aproximação de Funções por Polinômios

Iniciar o MathKernel

In[1]:= 2+ 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L

Out[1]= 4

2.1 Introdução

De todas as funções que temos utilizado até agora as mais simples são as funções polinomiais. Nas funções polinomiais, como por exemplo

p(x) = 5 - 3x - x2 _{+ 2 x}3_, so entram operações elementares, soma, subtração e multiplicação. Funções não polinomiais, como

f(x) = xë I2 + è!!!xM, y = sen x, g(x) = arc tg x,

envolvem operações não elementares. Consequentemente, elas são mais complicadas de serem manuseadas algebricamente que as funções polinomiais.

Felizmente, isto não chaga ser um problema série. Pois, funções não polinomiais podem ser aproximadas por polinômios. Por exemplo, o polinômio liear

p(x) = 1 + x/2 aproxima a função è!!!!!!!!!!!!!1+ x para |x| pequeno.

A possibilidade de aproximar funções por polinômios é de suma importância, pois permite obter propriedades das funções em termos de propriedades análogas dos polinômios que as aproximam. E não é só isso, o cálculo de valores numéricos de uma certa função, em geral, só pode ser feito aproximadamente, utilizando-se um polinômio qure aproxime a função.

(32)

A aproximação de uma função por um polinômio se processa na vizinhança de um ponto x0, por isso mesmoé conveniente esclarecer este conceito. Chamamos vizinhança de um ponto x0 a qualquer intervalo com centro nesse ponto, isto é, qualquer conjunto do tipo

VdHx0L = 8x : x0 - d < x < x0 + d<

onde d é um número positivo que caracteriza a vizinhança em questão. A vizinhança VdHx0L também pode ser simbolizada por | x - x0» < d.

2.2 Aproximação linear

Fórmula da aproximação linear de f(x) na vizinhança de x = 0

f(x) = f(0) + f'(0) x + R(x)

em que o erro R(x) = f ''HcL x2ê 2 onde c é um número compreendido entre 0 e x.

EXEMPLO 1. (GA2, pág. 23) Vamos aproximar a função f(x) = è!!!!!!!!!!!!!1 + x numa vizinhança de x = 0.

In[11]:= H∗ Aprxomimação linear de è!!!!!!!!!!!!!!1 + x na vizinhança de x0 = 0 ∗L f@x_D := Sqrt@1 + x D x0= 0; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[14]= 1+ x 2

EXEMPLO 2. (GA2, pág. 24) Utilizar o resultado do exemplo anterir para determinar uma aproximação de è!!!!!!48 . Notemos que è!!!!!!48 = è!!!!!!!!!!!!!!49 − 1 = 7 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1− 1ê 49 In[6]:= H∗ Aprxomimação è!!!!!!48 ∗L f@x_D := Sqrt@1 + x D x0= 0; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; 7 Hf@x0D − dfdx Hx − x0LL ê. x → 1 ê 49 % êê N Out[9]= 97 14 Out[10]= 6.92857

(33)

Fórmula da aproximação linear de f(x) na vizinhança de um ponto qualquer x0 f(x) = fHx0L + f ' Hx0L (x - x0) + R(x)

em que R(x) = f ''HcL Hx − x0L

2ê 2 onde c é um número compreendido entre x

0 e x.

In[1]:= H∗ GA2, Figura 2.4, pág. 22, ∗Lp1 = Plot@x^2 + .5,

8x, −.5, 1<, PlotRange → 88−.5, 1.5<, 80, 1.5<<, Ticks → False, Epilog→8Text@"a", 8.57, .05<D, Text@"fHaL", 8−.15, 3 ê 4<D,

Text@"fHxL", 81.1, 1.4<D<, DisplayFunction−> IdentityD;

p2= ListPlot@88.1, .35<, 81, 5 ê 4<<, PlotJoined → True,

PlotStyle−>8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction −> IdentityD; p3= ListPlot@88.5, 0<, 8.5, 3 ê 4<, 80, 3 ê 4<<, PlotJoined → True,

PlotStyle→8Dashing@8.02<D<, DisplayFunction −> IdentityD;

In[4]:= Show@8p1, p2, p3<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

a fHaL

fHxL

A diferencial

A diferencial de uma função f no ponto x0 é definida como sendo o produto f ' Hx0L Dx; e é indicada com os símbolos dy, df ou dfHx0L :

(34)

In[1]:= p1= Plot@82 x^2 + 2, 2 x + 3 ê 2<, 8x, −.2, 2<, PlotRange → 80, 8<, Axes → False, PlotStyle→8Thickness@.01D, Thickness@.005D<,

TextStyle→8FontSize → 8<, Epilog →

8Text@"x0", 8.5, .2<D, Text@"x", 81.5, .2<D, Text@"y0",8.57, 1.5<D,

Text@"∆x", 81, 2.2<D, Text@"∆y", 81.72, 5.5<D, Text@"dy", 81.82, 3.9<D, Text@"∆y − dy", 81.15, 6<D, Text@"Y", 81.35, 3.5<D<,

DisplayFunction→ IdentityD;

p2= ListPlot@880, 0.5<, 82, 0.5<<, PlotJoined → True, DisplayFunction→ IdentityD;

p3= ListPlot@880, 0.5<, 80, 10<<, PlotJoined → True, DisplayFunction→ IdentityD;

p4= ListPlot@880.5, 5 ê 2<, 81.7, 5 ê 2<<, PlotJoined → True, DisplayFunction→ IdentityD;

p5= ListPlot@880.5, 0.5<, 80.5, 5 ê 2<<, PlotJoined → True, DisplayFunction→ IdentityD;

p6= ListPlot@881.5, 0.5<, 81.5, 5 ê 2<<, PlotJoined → True, DisplayFunction→ IdentityD;

p7= ListPlot@881.5, 5 ê 2<, 81.5, 13 ê 2<<, PlotJoined → True, PlotStyle→ Dashing@80.01<D, DisplayFunction → IdentityD; p8= ListPlot@881.4, 9 ê 2<, 81.6, 9 ê 2<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction→ IdentityD;

p9= ListPlot@881.4, 13 ê 2<, 81.7, 13 ê 2<<,

PlotJoined→ True, DisplayFunction → IdentityD;

p10= ListPlot@881.55, 5 ê 2<, 81.55, 9 ê 2<<, PlotJoined → True, PlotStyle →8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD; p11= ListPlot@881.45, 9 ê 2<, 81.45, 13 ê 2<<,

PlotJoined→ True, DisplayFunction → IdentityD; p12= ListPlot@881.65, 5 ê 2<, 81.65, 13 ê 2<<,

PlotJoined→ True, DisplayFunction → IdentityD; p13= ListPlot@881.58, 3.3<, 81.75, 3.7<<,

PlotJoined→ True, DisplayFunction → IdentityD; p14= ListPlot@881.15, 5.7<, 81.42, 5.2<<,

PlotJoined→ True, DisplayFunction → IdentityD;

p15= ListPlot@881.4, 3.7<, 81.47, 4.3<<, PlotJoined → True, DisplayFunction→ IdentityD;

(35)

In[16]:= Show@8p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10, p11, p12, p13, p14, p15<, DisplayFunction→ $DisplayFunctionD; x₀ x y₀ ∆x ∆y dy ∆y − dy Y

Exercícios

Obtenha as aproximações lineares para as funções dadas nos Exercícios 1 a 12.

1. f(x) = log|1 - x |, x = 0.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de Log H1 + xL na vizinhança de x0 = 0 ∗L

f@x_D := Log@1 + xD x0= 0; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[4]= x In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<,

PlotStyle →88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<D;

-0.4 -0.2 0.2 0.4 -0.4 -0.2 0.2 0.4 2. f(x) = cos x , x = 0.

(36)

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de cos HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗L Clear@x, fD; f@x_D := Cos@xD x0= 0; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[5]= 1

In[6]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →

88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3. f(x) = cos x , x = p/4.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de cos HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := Cos@xD x0= Piê 4; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[5]= è!!!1 2 − − π 4 + x è!!!₂

0.4 0.6 0.8 1.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 4. f(x) = sen x , x = p/2.

(37)

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = πê2 ∗L f@x_D := Sin@xD x0= Piê 2; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[4]= 1

1.2 1.4 1.6 1.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 5. f(x) = sen x , x = 3p/4.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = πê2 ∗L

f@x_D := Sin@xD x0= 3 Piê 4; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[4]= è!!!1 2 − − 3π 4 + x è!!!₂

2.2 2.4 2.6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 6. f(x) = e-x , x = 0.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de Exp HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗L

f@x_D := Exp@−xD x0= 0;

dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L

(38)

In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<,

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 7. f(x) = sen x2 , x = -p/4.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de sen Hx2L na vizinhança de x0 = −πê4 ∗L

f@x_D := Sin@x^2D x0= −Piê 4; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[4]= −1 2 πI π4 + xM CosA π 2 16E + SinA π 2 16E In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<,

-1.2 -0.8 -0.6 -0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 8. f(x) = ex2 , x = 0.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de Exp Hx2L na vizinhança de x0 = 0 ∗L

f@x_D := Exp@x^2D x0= 0;

(39)

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 9. f(x) = 1ë è!!!!!!!!!!!1+ x , x = 0.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de 1ëè!!!!!!!!!!!!!!1 + x na vizinhança de x0 = 0 ∗L f@x_D := 1 ê Sqrt@1 + xD x0= 0; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[4]= 1− x 2

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10. f(x) = x3ê2 , x = 1.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de x3ê2 na vizinhança de x0 = 1 ∗L f@x_D := x^H3 ê 2L x0= 1; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[4]= 1+ 3 2 H−1 + xL

(40)

0.6 0.8 1.2 1.4 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 11. f(x) = x2ê3 , x = -1.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de x2ê3 na vizinhança de x0 = −1 ∗L f@x_D := Hx2L1ê3 x0= −1; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[4]= 1− 2H1 + xL 3

88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange −> 80, 1.2<D;

-1.4 -1.2 -0.8 -0.6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 12. f(x) = Log 3x , x = 1/3.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de log H3 xL na vizinhança de x0 = 1ê3 ∗L

f@x_D := Log@3 xD x0= 1ê 3; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[4]= 3J− 1 3 + xN

(41)

88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange −> 8−1, 1<D;

0.25 0.35 0.4 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1

13. As funções x, sen x e tg x tendem a se cunfundir para valores pequenos de x, guardando entre elas, a relação 0 < sen x < x < tg x.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de x na vizinhança de x0 = 0 ∗L

f@x_D := x x0= 0;

Out[4]= x

In[5]:= H∗ Aprxomimação linear de tg HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗L

f@x_D := Tan@xD x0= 0;

Out[8]= x

In[9]:= H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗L

f@x_D := Sin@xD x0= 0; dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0; f@x0D + dfdx Hx − x0L Out[12]= x In[13]:= p1= Plot@Sqrt@1 − x^2D, 8x, .8, 1<,

PlotRange→880, 1.5<, 80, 1<<, AspectRatio → Automatic,

Epilog→8Text@" <−−−−− x", 81.1, .45<D, Text@" <−−− tgHxL", 81.25, .6<D, Text@" <−−−− senHxL", 81.15, .1<D<, DisplayFunction −> IdentityD; p2 = ListPlot@880, 0<, 81, Tan@.65D<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction−> IdentityD;

p3 = ListPlot@880.8, 0<, 8.8, Sin@.65D<<, PlotJoined → True,

PlotStyle−>8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction −> IdentityD; p4 = ListPlot@881, 0<, 81, Tan@.65D<<, PlotJoined → True,

(42)

In[17]:= Show@8p1, p2, p3, p4<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 <−−−−− x <−−− tgHx <−−−− senHxL

NosExercícios 14 a 20, use aproximação lineares convenientes para obter os números indicados em representações decimais aproximadas.

14. è!!!!!!!!171

Notando que è!!!!!!!!170 = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!169 H1 + 1 ê 169L = 13 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + 1ê 169 e aplicando a aproximação linear è!!!!!!!!!!!!!1+ x = 1 + xê 2 vem

In[1]:= H∗ Aproximação linear de è!!!!!!!!!171 ∗L 13 H1 + 1 ê H2 ∗ 169LL Out[1]= 339 26 In[2]:= 339 26 % êê N Out[2]= 339 26 Out[3]= 13.0385 15. log 0.98

Notando que log(0.98) = log(1 - 0.02) e aplicando a aproximação linear logH1 + xL = x vem

In[1]:= H∗ Aplicando linear log H0.98L ∗L

−0.02

Out[1]= −0.02

16. e-0.02

Aplicando a aproximação linear e-x = 1 − x vem

In[1]:= H∗ Aproximação linear de e−0.02 ∗L

1− .02

Out[1]= 0.98

17. 10001ê3

Notando que 10001ê3 = (1000 + 3)1ê3 = 10 (1 + 3/1000)1ê3 e aplicando a aproximação linear H1 + xL1ê3 _{= 1 + x}ê 3, vem

(43)

In[1]:= H∗ Aproximação linear de 10001ê3 ∗L 10 H1 + 3 ê H3 ∗ 1000LL % êê N Out[1]= 1001 100 Out[2]= 10.01 18. cos 0,01

Aplicando a aproximação linear cos HxL = 1 − x, vem

In[1]:= H∗ Aproximação linear de cos H0,01L ∗L

1− 0.01

Out[1]= 0.99

19. tg 0,5

Aplicando a aproximação linear tg HxL = x, vem

In[1]:= H∗ Aproximação linear de tg H0.5L ∗L

0.5

Out[1]= 0.5

20. arc tg 0,02

Aplicando a aproximação linear arctg HxL = x, vem

In[1]:= H∗ Aproximação linear de arctg H0,02L ∗L

0.02

Out[1]= 0.02

2.3 Fórmula de Taylor

Seja f(x) uma função derivável até a ordem n + 1, numa vizinhança V de x = 0, o polinômio de Taylor p(x) = f(0) + f'(0)x + f''2!H0L x

2 _{+ ... +} fHnLH0L n! x

n

aproxima f(x) em V.

Series[f[x], {x, 0, n}] gera a fórmula de Taylor de grau n.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL de grau 5 ∗L

Clear@x, fD; Series@f@xD, 8x, 0, 5<D Out[2]= f@0D + f @0D x + 1 2 f @0D x 2₊ 1 6 f H3L_{@0D x}3₊ 1 24 f H4L_{@0D x}4₊ 1 120 f H5L_{@0D x}5_{+ O}@xD6

(44)

Normal[eries[f[x], {x, 0, n}]] gera a fórmula de Taylor de grau n sem o termo 0@xDn.

EXEMPLO 1. (GA2, pág. 26) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = ex_{de grau 7.}

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = ex de grau 7 ∗L f@x_D := Exp@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[2]= 1+ x + x 2 2 + x3 6 + x4 24 + x5 120 + x6 720 + x7 5040

EXEMPLO 2. (GA2, pág. 26) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = sen x de grau 11.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = sen x de grau 11 ∗L

f@x_D := Sin@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD Out[2]= x− x 3 6 + x5 120 − x7 5040 + x9 362880 − x11 39916800

Exercícios

Obtenha as fórmulas de Taylor de grau n das funções dadas nos Exercícios 1 a 8.

1. f(x) = cox x

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = cos x de grau 11 ∗L

f@x_D := Cos@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD Out[2]= 1− x 2 2 + x4 24 − x6 720 + x8 40320 − x10 3628800 2. f(x) = 1/(1 - x)

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = Cos x de grau 11 ∗L

Clear@x, fD;

f@x_D := 1 ê H1 − xL

Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD

Out[3]= 1+ x + x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x8+ x9+ x10+ x11

3. f(x) = 1/(1 + x) para x > -1

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1êH1 + xL de grau 11 ∗L

Clear@x, fD;

f@x_D := 1 ê H1 + xL

Out[3]= 1− x + x2− x3+ x4− x5+ x6− x7+ x8− x9+ x10− x11

(45)

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log H1 − xL de grau 11 ∗L Clear@x, fD; f@x_D := Log@1 − xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD Out[3]= −x − x 2 2 − x3 3 − x4 4 − x5 5 − x6 6 − x7 7 − x8 8 − x9 9 − x10 10 − x11 11 5. f(x) = log(1 + x).

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log H1 + xL de grau 11 ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := Log@1 + xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD Out[3]= x− x 2 2 + x3 3 − x4 4 + x5 5 − x6 6 + x7 7 − x8 8 + x9 9 − x10 10 + x11 11 6. f(x) = e-x.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗L Clear@x, fD; f@x_D := Exp@−xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= 1− x + x 2 2 − x3 6 + x4 24 − x5 120 + x6 720 − x7 5040 7. f(x) = eax, a ∫ 0.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗L Clear@x, fD; f@x_D := Exp@a xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= 1+ a x + a 2_x2 2 + a3_x3 6 + a4_x4 24 + a5_x5 120 + a6_x6 720 + a7_x7 5040 8. f(x) = sen(x + p/4 ).

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗L Clear@x, fD; f@x_D := Sin@x + π ê 4D Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 6<DD Out[3]= è!!!1 2 + x è!!!₂ − x2 2 è!!!2 − x3 6 è!!!2 + x4 24 è!!!2 + x5 120 è!!!2 − x6 720 è!!!2

Obtenha os desenvolvimento de Taylor de ordem n = 2 para cada uma das funções dadas nos Exercícios 9 a 15.

10. f(x) = arcsen x.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arcsen x de grau 7 ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := ArcSin@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= x+ x 3 6 + 3 x5 40 + 5 x7 112

(46)

11. f(x) = arctg x.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arctg x de grau 7 ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := ArcTan@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= x− x 3 3 + x5 5 − x7 7 12. fHxL = x7ê2.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arc sen x de grau 7 ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := x^7 ê 2 Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= x 7 2 13. f HxL = 27 x10ê3ê 350 − 16 x7ê2ê 35 + 2 x − 7 x2

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL =

27 x10ê3ê350 −16 x7ê2ê35 + 2 x − 7 x2 _∗L Clear@x, fD; f@x_D := 27 350 x ^H10 ê 3L − 16 35 x ^H7 ê 2L + 2 x − 7 x^2 Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= 2 x− 7 x2+ 27 x 10ê3 350 − 16 x7ê2 35 14. f HxL = sec x

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = sec x ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := Sec@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[3]= 1+ x 2 2 + 5 x4 24 + 61 x6 720 + 277 x8 8064 15. f HxL = log cos x

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log cos x ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := Log@Cos@xDD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[3]= −x 2 2 − x4 12 − x6 45 − 17 x8 2520 16. f(x) = è!!!!!!!!!!!!!1 + x

(47)

In[18]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = è!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗L Clear@x, fD; f@x_D := è!!!!!!!!!!!!!1 + x Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD Out[20]= 1+ x 2 − x2 8 + x3 16 − 5 x4 128 + 7 x5 256 17. f HxL = Ÿ 0 x e−t2 t

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = Ÿ

0 x e−t2 t ∗L Clear@x, fD; f@x_D := Integrate@Exp@−t^2D, 8t, 0, x<D Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[3]= x− x 3 3 + x5 10 − x7 42 + x9 216 18. f HxL = H1 + xLn

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = H1 + xLn ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := H1 + xL^n Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD Out[3]= 1+ n x + 1 2 H−1 + nL n x 2₊ 1 6 H−2 + nL H−1 + nL n x 3₊ 1 24 H−3 + nL H−2 + nL H−1 + nL n x 4₊ 1 120 H−4 + nL H−3 + nL H−2 + nL H−1 + nL n x 5 19. f HxL = 1 ë è!!!!!!!!!!!!!!!!!!H1 + xL

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1ëè!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗L Clear@x, fD; f@x_D := 1 ë è!!!!!!!!!!!1+ x Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= 1− x 2 + 3 x2 8 − 5 x3 16 + 35 x4 128 − 63 x5 256 + 231 x6 1024 − 429 x7 2048 20. f HxL = è!!!!!!!!!!!!!1 − x

In[21]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1ëè!!!!!!!!!!!!!!1 − x ∗L Clear@x, fD; f@x_D := è!!!!!!!!!!!!!1 − x Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[23]= 1− x 2 − x2 8 − x3 16 − 5 x4 128 − 7 x5 256 − 21 x6 1024 − 33 x7 2048

(48)

2.4 Unicidade da fórmula de Taylor

Quando duas funções f e g são tais que o quociente f(x)/g(x) tende a zero com x tendendo a um certo x0, dizemos que f é de ordem pequena em relação a g, para x Ø x0 e escrevemos

f(x) = o(g(x)), x Ø x0. Por exemplo,

sen2_{x = o(x) e cos 1/x = o(1/x)} pois ambos quocientes

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅsen_x2x= (sen x) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅsen x_x e ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅcosH1êxL₁_êx = x cos (1/x) tendem a zero com x Ø 0.

Quando apenas sabemos que o quociente f(x)/g(x) permanece limitado numa vizinhança de x0, dizemos que f é de ordem grande em relação a g, para, x Ø x0 e escrevemos

f(x) = O(g(x)), x Ø x0. Por exemplo,

ex − 1 − x = O Hx2L e sen x − x = O Hx3L com x → 0.

EXEMPLO 1. (GA2, pág. 35) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = 1/(1 - x)

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1êH1 − xL. ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := 1 ê H1 − xL

Out[3]= 1+ x + x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7

EXEMPLO 2. (GA2, pág. 35) Determinar a fórmula de Taylor da função f(t) = 1/(1 + t2₎

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = 1êH1 + t2L. ∗L

Clear@t, fD; f@t_D := 1 ê H1 + t2L

Normal@Series@f@tD, 8t, 0, 11<DD

Out[3]= 1− t2+ t4− t6+ t8− t10

Exercícios

1. Use as fórmulas de Taylor das funções ex e e-x para obter fórmulas análogas das funções cosh x = Hex + e-xL ê 2 e sinh x = Hex _{- e}-xL ê 2

(49)

In[27]:= H∗ Fórmula de Taylor de Hex + e−xLê2 ∗L Clear@x, fD; f@x_D := H x + −xL ê 2 Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[29]= 1+ x 2 2 + x4 24 + x6 720 + x8 40320

In[30]:= H∗ Fórmula de Taylor de cosh HxL ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := Cosh@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[32]= 1+ x 2 2 + x4 24 + x6 720 + x8 40320

In[33]:= H∗ Fórmula de Taylor de Hex − e−xLê2 ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := H x − −xL ê 2 Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[35]= x+ x 3 6 + x5 120 + x7 5040 + x9 362880

In[36]:= H∗ Fórmula de Taylor de senh HxL ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := Sinh@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[38]= x+ x 3 6 + x5 120 + x7 5040 + x9 362880

2. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = tg x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = tg HxL ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := Tan@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[3]= x+ x 3 3 + 2 x5 15 + 17 x7 315 + 62 x9 2835

4. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sin x - tg x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sin x − tg x ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := Sin@xD − Tan@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[3]= −x 3 2 − x5 8 − 13 x7 240 − 529 x9 24192

(50)

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sin 2 x ∗L Clear@x, fD; f@x_D := Sin@2 xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[3]= 2 x− 4 x 3 3 + 4 x5 15 − 8 x7 315 + 4 x9 2835

8. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = cos2_x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cos2 x ∗L Clear@x, fD; f@x_D := Cos@xD2 Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[3]= 1− x2+ x 4 3 − 2 x6 45 + x8 315

9. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = Hsen x ê xL2

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = Hsin xêxL2 ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := HSin@xD ê xL2 Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD Out[3]= 1− x 2 3 + 2 x4 45 − x6 315 + 2 x8 14175

10. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = Hex _{- 1}L cos x ê ex

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = Hex − 1L cos xêex ∗L

Clear@x, fD;

f@x_D := HExp@xD − 1L Cos@xD ê Exp@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= x− x 2 2 − x3 3 + 5 x4 24 − x5 30 − x6 720 + x7 630

11. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = è!!!!!!!!!!!!!1 - x cos x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = è!!!!!!!!!!!!!!1 − x cos x ∗L Clear@x, fD; f@x_D := è!!!!!!!!!!!!!1 − x Cos@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= 1− x 2 − 5 x2 8 + 3 x3 16 + 25 x4 384 − 13 x5 768 − 349 x6 46080 − 401 x7 92160

12. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sen x /(x è!!!!!!!!!!!!!1+ x )

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = sen xëIx è!!!!!!!!!!!!!!1 + xM ∗L Clear@x, fD; f@x_D := Sin@xD ë Ix è!!!!!!!!!!!!!1 + xM Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= 1− x 2 + 5 x2 24 − 11 x3 48 + 421 x4 1920 − 761 x5 3840 + 59009 x6 322560 − 110291 x7 645120

(51)

14. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sec x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sec x ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := Sec@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= 1+ x 2 2 + 5 x4 24 + 61 x6 720

15. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = x/sen x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = xêsen x ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := x ê Sin@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= 1+ x 2 6 + 7 x4 360 + 31 x6 15120

16. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = tg = sen x (1/cos x)

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen xêH1êcos xL ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := Tan@xD Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= x+ x 3 3 + 2 x5 15 + 17 x7 315

In[4]:= H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = Hsen xL H1êcos xL ∗L

Clear@x, fD; f@x_D := Sin@xD H1 ê Cos@xDL Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[6]= x+ x 3 3 + 2 x5 15 + 17 x7 315

Use fórmulas de Taylor para calcular os limites dos Exercícios 17 a 22.

17. limxØ0(2(1 - cos x) -x sen x)ê Hx2H1 - cos xLL

In[1]:= H∗ Calcule o limx→0H2 H1−cosxL−x sen xL êHx2H1 − cos xLL ∗L Clear@x, fD;

f@x_D := H2 H1 − Cos @xDL − x Sin@xDL ê Hx2H1 − Cos@xDLL Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD Out[3]= 1 6 + x2 360 + x4 15120 + x6 604800

In[4]:= H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗L

Limit@%, x → 0D

Out[4]= 1

(52)

In[5]:= H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗L

Limit@f@xD, x → 0D

Out[5]= 1

6

18. limhØ0 (è!!!!!!!!!!!!!1+ h - 1)ê sen 2 h

In[1]:= H∗ Calcule o limh→0Iè!!!!!!!!!!!!!!1 + h −1M ê sen 2 h ∗L Clear@h, fD; f@h_D := Iè!!!!!!!!!!!!1 + h − 1M ë Sin@ 2 hD Normal@Series@f@hD, 8h, 0, 5<DD Out[3]= 1 4 − h 16 + 19 h2 96 − 47 h3 768 + 2587 h4 23040 − 3937 h5 92160

Limit@%, h → 0D

Out[4]= 1

4

Limit@f@hD, h → 0D

Out[5]= 1

4

19. limxØ0 exsen xë Iè!!!!!!!!!!!!!9- x - 3M

In[1]:= H∗ Calcule o limx→0 ex sen x ë Iè!!!!!!!!!!!!!!9 − x − 3M ∗L Clear@x, fD;

f@x_D := Exp@xD Sin@xD ë Iè!!!!!!!!!!!!!9 − x − 3M Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD Out[3]= −6 − 35 x 6 − 395 x2 216 + 235 x3 3888 + 282481 x4 1399680 + 1542293 x5 25194240

Limit@%, x → 0D

Out[4]= −6

Limit@f@xD, x → 0D

Out[5]= −6

20. limxØ0 I1 - è!!!!!!!!!!!!!!!1+ x2 3M

2

/(cos x - 1)

In[1]:= H∗ Calcule o limx→0 I1 − è!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 3M 2 íHcos x−1L ∗L Clear@x, fD; f@x_D := I1 − è!!!!!!!!!!!!!1 + xM 2 í HCos@xD − 1L Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD Out[3]= −1 2 + x 4 − 19 x2 96 + 25 x3 192 − 373 x4 3840 + 191 x5 2560