SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1. Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z.
O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é
a) 250. b) 240. c) 225. d) 200. e) 180.
2. Na figura, ANM é um triângulo e ABCD é um quadrado. Calcule a área do quadrado:
AM = 4 cm NA = 6 cm a) 2,4 cm b) 2,0 cm c) 1,6 cm d) 1,4 cm
3. Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.
A altura do suporte em B é, então, de: a) 4,2 metros. b) 4,5 metros. c) 5 metros. d) 5,2 metros. e) 5,5 metros.
4. A área do quadrado assinalado na figura é igual a
a) 15 b) 20 c) 12 d) 18 e) 16
5. Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência que tangencia o segmento BQ no ponto T. Considerando também que o segmento BA é perpendicular ao segmento AO, que M é o ponto médio do segmento AO e que BM = 4.MT , determine a medida do ângulo
^
TMO
6. Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm, com alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm.
Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico,
considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da rede, a que distância da mesma, em metros, ela atingirá o outro lado da quadra?
7. Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm.
Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados, é
8. A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do “Colégio Alfa”. Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base
BC
mede 24 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cmO círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para pintar
5400 cm
2.Adote
π
3
Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o círculo em todas as camisetas é igual a
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12
9. Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto
AB
, o ponto E pertence ao catetoBC
e o ponto F pertence à hipotenusaAC
, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE =3
2
, então a área do paralelogramo DECF valea)
63
25
b)12
5
c)58
25
d)56
25
e)11
5
10. As “Regras Oficiais de Voleibol”, aprovadas pela Federação Internacional de Voleibol (FIVB), definem que a quadra para a prática desse esporte deve ser retangular, medindo 18 m de comprimento por 9 m de largura.
A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da quadra, deve ter uma altura de 2,43 m para jogos profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há uma linha de ataque, desenhada a 3 m de distância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura a seguir.
Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do seguinte modo: estando sobre a linha de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na bola no ponto H, fazendo-a descrever uma trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R, tocando a quadra exatamente num ponto B, pertencente à linha de fundo do campo adversário.
Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, que o jogador alcançou para conseguir fazer o ponto.
11. Bem no topo de uma arvore de 10,2 metros de altura, um gavião casaca-de-couro, no ponto A da figura, observa atentamente um pequeno roedor que subiu na mesma árvore e parou preocupado no ponto B, bem abaixo do gavião, na mesma reta vertical em relação ao chão. Junto à árvore, um garoto fixa verticalmente no chão uma vareta de 14,4 centímetros de
comprimento e, usando uma régua, descobre que a sombra da vareta mede 36 centímetros de comprimento.
Exatamente nesse instante ele vê, no chão, a sombra do gavião percorrer 16 metros em linha reta e ficar sobre a sombra do roedor, que não se havia movido de susto.
Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de voar para capturar o roedor, se ele voa verticalmente de A para B?
12. A figura representa os triângulos retângulos PQR e STR, sendo
RS
5 cm, ST
3 cm e QT
6 cm
. A medida do cateto PQ, em centímetros, éa) 7,5. b) 8,2. c) 8,6. d) 9,0. e) 9,2.
13. Marcelo mora em um edifício que tem a forma de um bloco retangular e, no topo desse edifício, está instalada uma antena de 20 metros.
Após uma aula de Matemática, cujo tema era Semelhança de Triângulos, Marcelo resolveu aplicar o que aprendeu para calcular a altura do prédio onde mora. Para isso, tomou algumas medidas e construiu o seguinte esquema:
• O segmento ACé perpendicular aos segmentos BF e CE; • o segmento AB representa a antena;
• o segmento BCrepresenta a altura do prédio; • ponto D pertence ao segmento CE;
• o ponto F pertence ao segmento AE ; • o ponto B pertence ao segmento AC; • os segmentos BC e FD são congruentes; • a medida do segmento BF é 12 m; • a medida do segmento DE é 36 m.
Assim, Marcelo determinou que a altura do prédio é, em metros, a) 45.
b) 50. c) 60. d) 65. e) 70.
14. No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos médios dos lados AB e AC.
O segmento MN mede 6 cm.
A área do triângulo ABC mede:
a) 2 18 3 cm b) 2 24 2 cm c) 2 30 2 cm d) 2 30 3 cm e) 2 36 3 cm
15. A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros.
Gabarito:
Resposta da questão 1: [E]
Determinando o valor de k no triângulo XZP:
K2 = 1202 + 1602 K = 200 km. XZP XDY Δ Δ 200 120 2d 360 d 180km 300 d Resposta da questão 2: [A] MBC MAN 4 x x 12 4x 24 6x 10x 24 x 4 6 5 Δ Δ Portanto, x = 2,4. Resposta da questão 3: [D]
Traçando DF AC, temos que os triângulos DHE e DGF são semelhantes por AAA. Se HE x, vem:
x 12
x 1,2 m. 2 20
Assim, a altura do suporte em B é: 4 x 4 1,2 5,2 m. Resposta da questão 4: [A] 2 1 2 3 x ~ x 15 x 5 Δ Δ
Logo, a área do Quadrado é 15 unid2
Resposta da questão 5:
Os triângulos MTO e MAB são semelhantes, logo: k a a2 4k2 a 2k
Logo, no triângulo MTO, temos: cos k 1 60o 2k 2
α α .
Resposta da questão 6: Considere a figura abaixo.
Os triângulos retângulos ABC e DEC são semelhantes por AA. Portanto, sabendo que AB 21dm, DE 9dm e BE 120dm, vem
AB BC 21 120 EC 9 DE EC EC 7 EC 360 3 EC EC 90 dm 9 m. Resposta da questão 7: [C]
1
x
15
x
x
3000mm
3m
0,005
15
0,005
Resposta da questão 8: [A] 2 2 2AC
16
12
AC
20
R
16 R
AOD ~ ACM
R
6
12
20
Δ
Δ
Área que será pintada.
A =
A
450. .R
π
2450.3.6
248600cm
2 Número de potes =48600
9
Resposta da questão 9: [A] (AC)2 = 42 + 32 AC = 5 ∆DBE ~ ∆ABC 5 2 3 3 4 y x x = 1,2 e y = 0,9
A base do paralelogramo será 3 – 0,9 = 2,1 e sua altura será x = 1,2 Logo sua área será A = 2,1. 1,2 =
25 63 100 252 10 12 10 21 Resposta da questão 10:
Como AC PD, pelo Teorema de Tales segue que
AP CD AP 3 1
.
9 3
PB DB PB
Os triângulos HAB e RPB são semelhantes. Portanto,
HA AB HA AP PB HA 4
HA 3,24 m. 2,43 3
RP PB RP PB
Resposta da questão 11:
m x x 36 25,5 4 , 14 2 , 10
Aplicando teorema de Tales, temos: m d d 4 , 6 255 16 2 , 10 Resposta da questão 12: [A]
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo RST, temos:
2 2 2
z
3
5
z
4.
RST ~ RPQ Δ Δ , logo: 3 4 4x 30 x 7,5 x 6 4Portanto, PQ = 7,5 cm.
Resposta da questão 13: [C]
Considerando x a altura do prédio, temos:
ABF ~ ACE 20 12 20 x 12 36 20 1 20 x 4 x 60 m Δ Δ Resposta da questão 14: [E] AMN ~ ABC logo, BC = 2.6 = 12 Área do ABC = 4 3 122 =36 3cm2 Resposta da questão 15: [D] m x x x 2,2 0,8(3,2 ) 2,2.3,2 5,6 8 , 0 2 , 3 2 , 3
Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração: 27/03/2012 às 22:22
Nome do arquivo: Click - semelhança de triângulos
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo
1 ... 109416 ... Matemática ... Insper/2012... Múltipla escolha
