COMPUTAÇÃO QUÂNTICA E FENÔMENOS INESPERADOS DA TEORIA QUÂNTICA
Autor: Antônio Paulo Cardillo Magalhães1 Orientador: Marcelo Maneschy Horta Brreira2
RESUMO
Neste trabalho, apresentam-se os conceitos fundamentais da Mecânica Quântica em termos dos seus postulados, escritos na notação da Computação Quântica. A motivação para este estudo foi buscar um maior entendimento dos protocolos quânticos de comunicação baseados em estados quânticos emaranhados, em especial, a utilização destes como sendo fundamentais em fenômenos até então inesperados da teoria quântica, tais como a codificação superdensa e o teleporte. Com este estudo, surgiu a possibilidade de aplicação das técnicas da computação quântica para operadores e estados do espaço de Hilbert representados diagramaticamente na forma de redes de spins. Aplicando operadores da Computação Quântica em estados de momento angular, foi possível criar redes de spins emaranhadas e realizar um teleporte usando estes estados de spins emaranhados. Tais resultados alimentam esperanças que em uma abordagem futura, possam-se relacionar as redes de spins que descrevem os estados cinemáticos da gravitação quântica, como sendo estados emaranhados e assim relacionar a entropia de emaranhamento com a entropia de Buracos Negros.
Palavras Chave: Estados EPR, Teleporte Quântico, Redes de Spins, Computação Quântica, Representação Diagramática.
1Estudante de Engenharia Elétrica da PUC Minas – campus Poços de Caldas – tunicomuz@hotmail.com 2 Professor assistente III na PUC Minas – campus Poços de Caldas – marcelomhb@pucpcaldas.br
ABSTRACT
This article is a study of the fundamental concepts of Quantum Mechanics through its postulates, written out in terms of the Quantum Computation notation. The goal for the study is to get a better understanding of quantum communication protocols based on entangled quantum states, in special the utilization of such states in unexpected phenomena of the quantum theory, for instance, the superdense coding and teleportation. Emerge from this study the possibility to apply quantum computation techniques for operators and states in the Hilbert space being represented diagrammatically in the form of spin networks. Applying the operators of Quantum Computation the states of angular momentum, it was possible to create entangled spin networks to perform a teleportation of such spin states. This result shows some hope that, in a future work, one may study spin networks that describe kinematical states of quantum gravity as being entangled states and then relate entanglement entropy with the entropy of black holes.
Key words: EPR states, Quantum teleportation, Spin networks, Quantum computation, Diagrammatic representation.
1- INTRODUÇÃO
O estudo apresentado neste artigo utilizou como textos centrais o livro “Quantum Computation and Quantum Information” (NIELSEN e CHUANG, 2000), “Introduction to Quantum Mechanics” (SHANKAR, 1994) e o artigo “Spin Network
Primer” (MAJOR, 1999), dos quais se tentou fazer neste artigo uma compilação dos
resultados de uma forma coerente para uma primeira apresentação do tema. A aplicação do teleporte em redes de spins, tratado no final desse artigo, é o resultado final de trabalho de Iniciação Científica (MAGALHÃES, 2010).
Os bits clássicos (c-bits) podem ser escritos na base computacional clássica formada pelos estados 0 e 1. Sendo estes estados a unidade fundamental de informação clássica, e deste modo, um único bit pode estar em um destes estados, 0 ou 1. Consequentemente, um sistema de dois bits pode estar em um dos estados combinados 00, 01, 10 ou 11 (NILSEN e CHUANG, 2000).
Analogamente, na computação quântica, o elemento fundamental de informação também é um bit, porém um bit quântico (q-bit) (PIZA, 2001). O q-bit se diferencia dos bits clássicos, pois a computação quântica se fundamenta nos postulados da mecânica quântica, e desta forma, o q-bit é um vetor no espaço de Hilbert, considerado como uma base computacional quântica neste espaço vetorial. Sistemas físicos podem então ser descritos por um vetor no espaço de Hilbert, consequentemente tais sistemas podem ser descritos por uma combinação linear destes estados de base, ou seja, um estado quântico pode estar num estado que é a superposição dos estados de base, sendo esta superposição, uma consequência intrínseca da mecânica quântica e a maior diferença entre c-bits e q-bits (OLIVEIRA e SARTHOUR, 2004).
Desta forma, alguns efeitos previstos pela mecânica quântica podem ser observados na computação quântica, dentre eles, um em especial, surge quando um sistema de dois q-bits não pode ser escrito como o produto tensorial dos estados da base computacional quântica, critério estabelecido pelo princípio da separabilidade. Quando isto ocorre, diz-se que estes dois q-bits estão em um estado emaranhado, ou simplesmente formam um estado de EPR (Einstein-Podolski-Rosen) (DAVIDOVICH, 2004). O compartilhamento de estados EPR entre um transmissor e um receptor possibilita o envio de informação de forma que esta não passe pelo
espaço físico intermediário entre o transmissor e o receptor, técnica conhecida como teleportação. Permite também a codificação superdensa, ou seja, o envio de mais de um bit de informação clássica utilizando apenas um bit quântico do estado EPR. Há também o desenvolvimento de algoritmos de fatoração para quebra de chaves de criptografia clássica, e a construção de algoritmos para a criação de chaves criptográficas para técnicas de criptografia quântica (NILSEN e CHUANG, 2000).
A técnica de teleporte de informação, já obteve êxito em verificações experimentais, dentre elas, uma realizada pelo físico Anton Zeilinger em 1997 (ZEILINGER, 1997), que enviou um fóton em uma superposição de estados, por intermédio do compartilhamento de dois fótons em um estado EPR. O envio de informação ocorreu de uma margem do rio Danúbio para outra, e utilizou de enlace de rádio para o envio de bits clássicos resultantes da medida quântica realizada pelo transmissor. Portanto, os resultados obtidos pelas teorias da informação quântica e computação quântica, corroboram de forma significativa no sentido de se verificar experimentalmente os efeitos previstos pela mecânica quântica, e devido ao sucesso alcançado por verificações experimentais, a Computação Quântica e Informação quântica podem almejar incentivo rumo à criação de um novo paradigma para a Teoria da Informação, formando a Nova Ciência da Computação.
Nesta perspectiva, podem-se extrapolar os conceitos de Informação e Computação Quânticas, visando aplicações em outras áreas de conhecimento, como por exemplo, na Gravitação Quântica de Laços (LQG) (Magalhães, 2010). A LQG é um modelo que tenta descrever quanticamente a gravidade, baseada na Teoria da Relatividade Geral e na Teoria Quântica de Campos (de PIETRI, 1997). Neste modelo, o espaço de Hilbert é formado por redes de spins, pensa-se então na possibilidade de obter redes de spins emaranhadas ou mesmo que estas redes de spins possam ser estados emaranhados. Isto permitiria a realização de um teleporte de informação de dentro para fora do Horizonte de Eventos de um Buraco Negro (SUSSKIND, 1995). Como a entropia do buraco negro é proporcional a área que forma o horizonte de eventos, a entropia de Von Neumann calculada entre os possíveis resultados do teleporte deve ser proporcional a entropia do buraco negro. Esta é uma das perspectivas futuras de aplicação dos postulados da mecânica quântica e das técnicas desenvolvidas pela computação quântica para elucidação de alguns problemas de física, tal como, o de informação escondida em horizonte de
2- MECÂNICA QUÂNTICA
A Mecânica Quântica se fundamenta em um conjunto de regras matemáticas para a representação de sistemas físicos (SAKURAI, 1994), e seus conceitos resumem-se em alguns postulados da Mecânica Quântica. O primeiro postulado da Mecânica Quântica estabelece o poder de se associar um conjunto de bases ortonormais de um espaço vetorial de corpo complexo, ou seja, um espaço de Hilbert, a qualquer sistema físico isolado. Portanto, o estado do sistema físico é descrito por um vetor unitário neste espaço de Hilbert (SHANKAR, 1994). Este vetor deve ser unitário para assegurar que a soma das amplitudes de probabilidades ao quadrado de cada estado seja igual a um. Representa-se este vetor de estado como .
No segundo postulado da mecânica quântica, a evolução de um sistema físico é dada por uma transformação unitária, por um operador Hermitiano atuando sobre o espaço de Hilbert do sistema físico (NIELSEN e CHUANG, 2000),
| 〉 | 〉 Sendo U um operador unitário, ou seja, .
Tudo o que pode ser medido em um sistema físico, tais como posição, momento, spin, etc, são chamados de observáveis quânticos (SHANKAR, 1994). Os observáveis são representados por operadores no espaço de Hilbert. Este é o cerne do terceiro postulado da Mecânica Quântica: o estado de um sistema físico | 〉 com autovalores m pode ser determinado por um conjunto de operadores de medidas * + com probabilidades de se encontrar o sistema no estado correspondente ao autovalor m. A probabilidade de m ocorrer é:
( ) 〈 | | 〉
A medida quântica provoca o colapso da superposição de estados, e o estado do sistema após esta medida passa a ser o auto estado referente ao autovalor m.
Estes três postulados fundamentais descritos para sistemas simples, ou seja, sistemas que podem ser representados por um único vetor de estados, também
podem ser reformulados para sistemas compostos. O postulado quatro da Mecânica Quântica estabelece que o espaço de estados de sistemas compostos seja dado por um produto tensorial entre os espaços de estados que compõem cada sistema de forma isolada (SAKURAI, 1994). Sendo assim, o espaço de estados de sistemas compostos fica:
| 〉 | 〉 | 〉 | 〉
Por se tratar de sistemas quânticos, estes postulados fundamentais são úteis também em estudos realizados pela nova Ciência da Computação, porém, nesta linha de conhecimento, estes postulados são convenientemente escritos na base computacional quântica.
2.1- Informação Quântica e Computação Quântica
Analogamente à informação clássica, na informação quântica o elemento fundamental também é o bit, que no caso quântico, é o bit quântico (q-bit). Porém, diferentemente do bit clássico, o q-bit é um vetor escrito em termos de uma base computacional quântica, num espaço de Hilbert. Isto segue como uma consequência do primeiro postulado fundamental da Mecânica Quântica (OLIVEIRA e SARTHOUR, 2004).
Os estados | 〉 0 1 e | 〉 0 1 são os vetores que formam a base computacional quântica. Estes vetores devem ser unitários ‖| 〉‖ e ‖| 〉‖ e ortogonais ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ (notação da mecânica quântica para o produto escalar entre dois vetores) (NIELSEN e CHUANG, 2000).
⟨ | ⟩ , - 0 1
⟨ | ⟩ , - 0 1
sendo,
⟨ | ⟩ | | | |
Como um q-bit é um vetor em um espaço de Hilbert, este pode ser escrito, em determinadas circunstâncias, como uma combinação linear de estados, ou seja, pode-se criar estados de superposição. Estas superposições de estados constituem a base para se criar estados emaranhados que possibilitam o teleporte quântico, e constitui, também, a maior diferença entre um bit clássico e um q-bit. Por exemplo, a medida sobre dois estados | 〉 e | 〉 combinados em uma superposição formando o estado normalizado
| 〉 | 〉 | 〉 (| | | | ) ⁄
pode resultar com probabilidade . (| |⁄ | | ) ⁄ / , ou resultar com probabilidade . (| |⁄ | | ) ⁄ / (NIELSEN e CHUANG, 2000). Note que não se pode escrever este estado como um produto tensorial entre os estados da base computacional, este é o princípio da separabilidade, ou seja, como estes estados são inseparáveis estão em uma superposição.
No segundo postulado, transformações unitárias representam a evolução de sistemas físicos. Como conseqüência para a computação quântica, qualquer operador unitário, especifica uma porta lógica quântica implementável (PIZA, 2001). Este fato abre uma ampla gama de configurações de portas lógicas atuando sobre o espaço de estados de um q-bit. Dentre este conjunto de operadores, uma importante classe são as matrizes de Pauli, especialmente por alguns operadores poderem ser construídos a partir destas matrizes, como são os operadores de rotação, a porta Hadamard e outros. As matrizes de Pauli são:
0 0 1, que é a matriz identidade.
1 0 1, que é a porta quântica X, equivalente a NÃO clássica.
3 0 1, que é a porta quântica de fase, ou porta Z. A ação destas portas sobre o vetor de estado é:
0 | 〉 | 〉 | 〉 1 | 〉 | 〉 | 〉 2 | 〉 | 〉 | 〉
3 | 〉 | 〉 | 〉
Outro operador importante é a porta Hadamard. Esta porta é obtida pela soma das matrizes de Pauli ( √ ), e é responsável por colocar os estados | 〉 e | 〉 em uma superposição de estados. Logo, a porta Hadamard fica como:
√ 0 1 A ação desta porta sobre o estado | 〉, | 〉 e | 〉 são:
| 〉 | 〉 | 〉 √ | 〉 | 〉 | 〉 √ | 〉 { (| 〉 | 〉 √ ) ( | 〉 | 〉 √ )}
Existe também, na computação quântica, outra maneira de se representar a ação destas portas lógicas quânticas, que é através de circuitos quânticos. A configuração mais simples possível é a ação de uma única porta sobre o estado de entrada. Por exemplo:
| 〉 sofre uma transformação de fase:
A Porta quântica Hadamard coloca | 〉 em uma superposição de estados:
Nesta notação, as linhas não representam uma conexão física entre o estado de entrada e o dispositivo quântico representado pela ação de portas lógicas. Em circuitos quânticos, as linhas são apenas elementos gráficos de visualização, e indicam um canal de conexão quântico se for única ou um canal de conexão clássico se for dupla (NIELSEN e CHUANG, 2000).
Quando o sistema físico é descrito por dois q-bits, de acordo com o quarto postulado da mecânica quântica, o estado resultante é dado pelo produto tensorial entre os estados que compõem este sistema. Seja o sistema | 〉 um estado composto por dois q-bits | 〉 e | 〉, o estado resultante é | 〉 | 〉 | 〉 (NIELSEN e CHUANG, 2000). Por exemplo, os estados da base computacional quântica:
| 〉 0 1 0 1 [ ] [ ] | 〉 0 1 0 1 [ ] [ ] | 〉 0 1 0 1 [ ] [ ] | 〉 0 1 0 1 [ ] [ ]
O protótipo de uma porta quântica em estados de dois q-bits é o NÃO-controlado ou CNOT (do inglês controlled-NOT). Essa porta tem dois q-bits de
entrada conhecidos como q-bit de controle e q-bit alvo, respectivamente (OLIVEIRA E SARTHOUR, 2004). Assim, | 〉 | 〉, é representado pelo circuito
com a representação matricial da porta CNOT sendo:
[ ]
Esta porta toma dois bits de entrada, a linha superior representa o q-bit de controle, e a inferior o q-bit alvo. Se o q-bit de controle for colocado em estado “1”, o q-bit alvo troca seu estado | 〉 → | 〉; | 〉 → | 〉; | 〉 → | 〉 e | 〉
→ | 〉 (Estes cálculos ficam mais claros vistos como operações de matrizes 4X4 por vetores 4X1, como descritos acima na definição do produto tensorial entre vetores da base computacional). Podem-se criar circuitos mais elaborados, e dentre eles, surgem algumas configurações, já estabelecidas, que revelam propriedades da mecânica quântica, e conseqüuentemente, sustentam a importância de estudos em Informação Quântica.
3- PROTOCOLOS QUÂNTICOS DE COMUNICAÇÃO
Atualmente, os protocolos quânticos de comunicação despertam grande interesse em estudos em Informação Quântica, principalmente pelas vantagens apresentadas em relação ao envio de informação clássica em canais de comunicação clássicos. Dentre estes protocolos, podem-se citar a Criptografia Quântica, a Codificação Superdensa, e em especial para este trabalho, o Teleporte Quântico.
Bit de controle
Bit de alvo
A interpretação e representação de sistemas físicos dadas pela mecânica quântica, sempre foram motivos de polêmicas de cunho científico e filosófico. Porém, conforme a tecnologia foi se desenvolvendo, principalmente no final do século XIX e início do século XX, este mundo quântico começou a ser desvendado. Em uma conferencia em Kopenhagen, Albert Einstein, Podolski e Rosen, conceberam um experimento mental com a finalidade de questionar as previsões físicas oriundas da Teoria Quântica. Este experimento, conhecido atualmente como paradoxo de EPR, em homenagem aos seus idealizadores, exemplifica a existência de estados emaranhados, em particular de 2 bits, os pares EPR. Uma aplicação dos operadores não-triviais derivados do segundo postulado da mecânica Quântica é a existência destes estados emaranhados.
Considerando, agora, um circuito com um operador HADAMARD seguido por um operador CNOT,
Circuito para criar estados de Bell. M. Nielsen, and I. Chuang,
“Quantum Computation and Quantum Information” Cambridge University Press, 2000.
a transformação HADAMARD coloca o q-bit da linha superior em uma superposição de estados, ou seja, se X for | 〉 , | 〉 (| 〉 | 〉)√ e se X for | 〉 | 〉 (| 〉 | 〉)√ . Por sua vez, esta superposição é considerada como o q-bit de controle na porta CNOT, e o q-bit alvo (Y) é invertido para o caso em que o de controle for 1. Os estados de saída deste circuito são conhecidos como estados emaranhados (pares EPR ou estados de Bell), e são construídos pela ação dos operadores H e CNOT sobre um estado de dois q-bits | 〉. Os possíveis estados de Bell na base computacional são descritos por:
| 〉 | 〉 | 〉 √ ; | 〉 | 〉 | 〉 √ ; | 〉 | 〉 | 〉 √ e | 〉 | 〉 | 〉 √
Estes estados estão correlacionados de maneira que ao se efetuar uma medida sobre o primeiro bit, podem-se obter informações sobre o segundo bit. Esta medida provoca o colapso do vetor de estados, e justamente esta característica, por intermédio do compartilhamento destes estados entre um transmissor e um receptor,
proporciona o envio de informação. Procedimento este, denominado teleporte quântico.
Antes de efetuar o teleporte, deve-se comentar o importante Teorema da não clonagem que descoberto na década de 1980 foi um dos primeiro resultados da computação quântica. Dado um estado inicial | 〉 | 〉, sendo | 〉 um estado desconhecido e | 〉 um estado puro, onde uma operação unitária (U) descreve o procedimento de cópia do estado | 〉, de modo que:
| 〉 | 〉→ (| 〉 | 〉) | 〉 | 〉
Note que sendo | 〉 | 〉 | 〉, | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉, a menos que αβ = βα = 0, nenhuma operação unitária sobre o estado | 〉 | 〉, é capaz de criar uma cópia do estado | 〉, pois | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 (NIELSEN e CHUANG, 2000). Portanto, operações unitárias sobre estados quânticos desconhecidos e não ortogonais, de maneira alguma pode copiar um q-bit.
3.1 Teleporte Quântico
Considera-se | 〉 | 〉 | 〉 o estado a ser teleportado, em que α e β são amplitudes de probabilidade desconhecidas. O transmissor e receptor compartilham um par EPR onde, por exemplo, o primeiro bit é do transmissor e o segundo do receptor, neste trabalho será sempre utilizado esta convenção para estados emaranhados. O transmissor só pode enviar informação clássica para o receptor. Não é possível copiar o estado a ser transportado. O circuito abaixo descreve o teleporte quântico:
Circuito de Teleporte Quântico.
O estado de entrada no circuito é | 〉 | 〉| 〉, ou seja,
| 〉 | 〉(| 〉 | 〉) | 〉(| 〉 | 〉) √
| 〉 (| 〉 | 〉) (| 〉 | 〉) √
no qual os dois primeiros q-bits da esquerda são aqueles com o transmissor, e o terceiro se encontra com o receptor. O segundo q-bit do transmissor se encontra inicialmente em um estado EPR com o q-bit do receptor. Transmissor aplica uma porta CNOT nos seus dois q-bits.
| 〉 | 〉(| 〉 | 〉) | 〉(| 〉 | 〉) √
Em seguida, uma transformação Hadamard:
| 〉 (| 〉 | 〉)(| 〉 | 〉) (| 〉 | 〉)(| 〉 | 〉)
| 〉 (| 〉 | 〉 | 〉 | 〉) (| 〉 | 〉 | 〉 | 〉)
| 〉 | 〉( | 〉 | 〉) | 〉( | 〉 | 〉) | 〉( | 〉 | 〉) | 〉( | 〉 | 〉)
Considerando-se que o q-bit do transmissor está no estado | 〉, o q-bit do receptor corresponde ao estado | 〉 | 〉. Se o transmissor realizar uma medida e encontrar o resultado | 〉, então o q-bit do receptor estará no estado | 〉. Os possíveis resultados para o q-bit do receptor condicionados ao resultado da medida do transmissor, são:
| ( )〉 | 〉 | 〉 | ( )〉 | 〉 | 〉 | ( )〉 | 〉 | 〉 | ( )〉 | 〉 | 〉
Dependendo do resultado da medida do transmissor, o q-bit do receptor terminará em um desses quatro estados possíveis. Para saber em qual estado seu q-bit está, o receptor deve conhecer o resultado da medida do transmissor. Esse fato é o limitante para que o teleporte seja transmitido a uma velocidade superior à velocidade da luz. Uma vez que o receptor toma conhecimento do resultado da medida do transmissor, ele pode corrigir o seu estado, e recuperar | 〉, aplicando a porta apropriada. O teleporte parece criar uma cópia do estado que está sendo transmitido. Ao final do teleporte somente o q-bit alvo estará no estado | 〉, e o q-bit que inicialmente estava nesse estado termina em um dos estados da base | 〉 ou | 〉.
3.2 Codificação Superdensa
A codificação superdensa é uma técnica de se transmitir dois bits de informação clássica codificados em um q-bit, usando um bit do estado emaranhado “pertencente” ao transmissor (NIELSEN e CHUANG, 2000). O transmissor compartilha o estado EPR | 〉 | 〉 | 〉
√ com o receptor. A transmissão é realizada por uma sequência de portas lógicas no estado emaranhado. Inicia-se a transmissão com o transmissor usando uma porta lógica quântica em seu q-bit da seguinte maneira:
Se o transmissor quiser enviar a informação 00, ele aplica a porta identidade (I).
| 〉 | 〉 | 〉 √
Se o transmissor quiser enviar 01, ele aplica a porta X.
| 〉 | 〉 | 〉 √
| 〉
| 〉 | 〉 √
Se o transmissor quiser enviar 11, ele aplica a porta -iY.
( )| 〉 | 〉 | 〉 √
e envia seu q-bit para o receptor, que para decodificar a informação enviada, deve primeiramente aplicar uma CNOT, para modificar (ou não) o bit alvo, que está com o receptor | 〉 | 〉 | 〉 √ (| 〉 | 〉) √ | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 √ (| 〉 | 〉) √ | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 √ (| 〉 | 〉) √ | 〉 ( )| 〉 | 〉 | 〉 √ ( | 〉 | 〉) √ | 〉
Agora, o receptor aplica a porta Hadamard no q-bit do transmissor:
| 〉 (| 〉 | 〉 | 〉 | 〉) | 〉 ( | 〉) | 〉 | 〉 | 〉 (| 〉 | 〉 | 〉 | 〉)| 〉 ( | 〉) | 〉 | 〉 | 〉 (| 〉 | 〉 | 〉 | 〉)| 〉 ( | 〉) | 〉 | 〉 ( )| 〉 ( | 〉 | 〉 | 〉 | 〉) √ | 〉 ( | 〉 ) | 〉 | 〉
O receptor, para terminar a transmissão, realiza uma medida projetiva usando os operadores de projeção | 〉〈 |, sendo e obtém como resultado uma das possíveis combinações da base computacional clássica 00, 01, 10 ou 11 :
( | 〉) ( | 〉) ( | 〉) ( ( )| 〉)
4- REDES DE SPINS
As redes de spins são uma estrutura de representação diagramática baseada em um parâmetro j, múltiplo inteiro de 1/2, agindo em um espaço de Hilbert constituído de estados | 〉, representando desta forma, o momento angular quântico intrínseco de uma partícula (MAJOR, 1999). Assim sendo, neste trabalho realizou-se um estudo dos operadores quânticos necessários para se criar estados emaranhados descritos por vetores de estados, e dos operadores quânticos necessários para se realizar um teleporte quântico com estes estados. Posteriormente, estes operadores foram representados diagramaticamente, para que pudessem agir sobre o espaço de estados descrito por redes de spins. Após a obtenção e representação destes operadores, puderam ser criados estados emaranhados de redes de spins e realizar um teleporte quântico de informação escrita na notação de momento angular.
Dois estados de spins ½ ( e ), que são vetores, com suas respectivas projeções ( e ) sobre o eixo Z de coordenadas, formam os estados
| 〉 e | 〉, que podem ser acoplados por estrutura de vértice trivalente, resultando em um momento angular total, denominado de J e sua projeção M (MAJOR, 1999). Esta estrutura de acoplamento entre estados de spins ½ é a rede de spins, onde, diagramaticamente, estes estados são representados como:
| 〉 | 〉 =
| 〉 | 〉
sendo J=(r+s)/2 e M=(r-s)/2, resultando que o estado | 〉 pode ser escrito em termos das projeções e . As setas indicam a orientação das projeções, sendo que ( ) indica uma projeção de valor ½ e ( ) indica uma projeção de valor -1/2 (MAJOR, 1999). O estado | 〉 da base computacional quântica é representado diagramaticamente, na base | 〉 como:
| 〉 =
Isto significa que para criar o estado | 〉, existem dois estados de spins ½ com projeção , o que resulta em um estado de momento angular total | 〉 na base | 〉. Para maior clareza, pode-se criar o estado | 〉 na base | 〉 da seguinte maneira:
| 〉 =
da mesma forma, o estado | 〉 possui dois estados de spins ½ com projeções -1/2, ou seja, , resultando em um estado | 〉 na base | 〉.
r+s r s 2 2 0 2 0 2
Da mesma forma, o estado | 〉 pode ser representado diagramaticamente como: | 〉 = E o estado | 〉 como: | 〉 =
Como os estados | 〉 e | 〉, ambos na base | 〉, possuem a mesma representação diagramática, neste trabalho adotou-se uma inversão nas orientações das setas das projeções dos estados, apenas para distingui-los.
Existem operadores quânticos que podem ser representados diagramaticamente, como o operador S, , para i = 1,2 e 3, sendo as matrizes de Pauli. A ação de sobre o estado | 〉 é dada por: | 〉 | 〉, e diagramaticamente se tem:
=
Sobre o estado | 〉: | 〉 | 〉, o que diagramaticamente fica: = - 2 1 1 2 1 1
Outra operação importante é a ação de que sobre o estado | 〉 é dada por:
| 〉 | 〉
, e diagramaticamente como:
=
Sobre o estado | 〉: | 〉 | 〉, e diagramaticamente:
=
Um operador importante é o operador Sx, que pode ser obtido em termos da Matriz de Pauli X ( ). A ação do operador Sx sobre o estado | 〉 é:
| 〉 =
| 〉 | 〉.
Um segundo operador importante é o operador Sz, que pode ser obtido em termos da Matriz de Pauli Z ( ) (MAJOR, 1999). A ação do operador Sz sobre o estado | 〉 é: | 〉 = | 〉 | 〉. 2 r+s r s 2 r+s r s
Outros dois operadores importantes são os operadores de elevação e redução, J+ e J-, respectivamente, que podem ser escritos como: J+ = Jx+iJy e J- = Jx-iJy (MAJOR, 1999). A ação de J+ sobre o estado | 〉:
| 〉 = √ ( ) ( ) | 〉 = √ ( ) ( ) | 〉. E a ação do operador J- é: | 〉 = √ ( ) ( ) | 〉 = √ ( ) ( ) | 〉.
4.1- Estados Emaranhados de Redes de Spins
Nota-se que, para criar estados emaranhados com estados quânticos de dois q-bits, foi necessária a ação do operador H, que cria um estado de superposição, seguida pela ação do operador CNOT. Na rede de spins, a ação do operador H pode ser escrita como:
√ ( ) e o operador C-NOT pode ser escrito como: ,( ) ( )-. Portanto, a expressão para se criar os pares EPR com redes de spins pode ser escrita como:
| 〉 ( ) ( ) | 〉
r+s
r+1 s-1
r+s
| 〉 √ ,( ) ( )-( ) | 〉 √ ,( ) ( )- + | 〉 √ + + + + + + - - | 〉 √ 2 + 2 r+s r s r+s r+s r s r s r+s r+s r+s r+s r s r s r s r s r+s r+s r+s r+s r s r s r s r s r+s r+s r s r s
| 〉 √ +
Os estados emaranhados de redes de spins obtidos foram:
| 〉 √ + | 〉 √ + | 〉 √ - | 〉 √ - r+s r+s r s r s 2 2 2 0 0 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 0 0 2 2 2 1 1 1 1
Sendo o estado | 〉 representado diagramaticamente como: | 〉 = e o estado | 〉 como: | 〉 =
4.2- Teleporte via Redes de Spins Emaranhadas
O Teleporte Quântico é um mecanismo de deslocamento de informação quântica, sem que esta percorra pelo espaço intermediário, ou seja, sem que haja um canal de comunicação físico para o envio desta informação (MAJOR, 1999). Uma vez determinados os operadores quânticos necessários para criar estados emaranhados com redes de spins, é possível criar um modelo para se realizar um teleporte com esta rede de spins.
Os estados emaranhados | 〉 de redes de spins são usados como suporte para se realizar o teleporte. O estado a ser teleportado é: | 〉 | 〉 | 〉, que diagramaticamente pode ser escrito como:
| 〉
A ação do operador H sobre este estado pode ser escrita como: 2
1 1
2
| 〉 √ A equação do teleporte é: | 〉 ( )( )| 〉| 〉 Teleporte de | 〉: | 〉 ( )( ) a + b . √ + | 〉 ( )( ) a + + b + | 〉 a + + b + | 〉 a + + + b - 1 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 1 1 1 1 2 0 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1
| 〉 √ a + a + a + + a + b - b +b
A partir desta operação, o envio da informação via teleporte já aconteceu. Porém, esta rede ainda está em um estado de superposição, que entrará em colapso quando o transmissor realizar uma medida quântica sobre este estado de superposição.
Resta agora reagrupar os termos de forma a obter o estado | 〉:
| 〉 . a + b
ou seja, se a medida sobre a rede de spin der | 〉, o estado recebido foi o | 〉. Se o resultado da medida for | 〉, o estado recebido foi:
| 〉 . a + b 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 2 1
Isso significa que o receptor deve corrigir o estado com o operador , | 〉 | 〉. Se o resultado da medida for | 〉, o estado recebido foi:
| 〉 . a - b
Isso significa que o receptor deve corrigir o estado com o operador , | 〉 | 〉.
Se o resultado da medida for | 〉, o estado recebido foi:
| 〉 . a - b
Isso resulta que para obter o estado original, o receptor deve corrigir o estado recebido com o operador , | 〉 | 〉.
5- CONCLUSÕES
Este trabalho foi desenvolvido a partir do estudo da mecânica quântica e de seus postulados e algumas aplicações destes em sistemas de dois estados. Depois disto, foi aplicado este conhecimento na computação quântica, que nada mais é que a aplicação em sistemas de muitos estados discretos ou de várias partículas. Em particular, dentro dos objetivos deste trabalho foi estudada a construção de estados emaranhados, na forma de pares EPR, que em seguida foram utilizados para efetuar o teleporte de informação quântica e a codificação superdensa, que são efeitos até
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Desta maneira foram estudas aspectos fundamentais no atual desenvolvimento de novas tecnologias de Telecomunicações e da Computação Quânticas baseadas em protocolos quânticos de comunicação. Inclusive, vale mencionar, que já foi desenvolvido, por cientistas australianos, um computador quântico baseado em circuitos eletrônicos semicondutores capazes de manipular apenas um único elétron, sendo possível o armazenamento, e também, a recuperação da informação quântica codificada pelo spin do elétron.
Num momento posterior, foi estudada a representação de sistemas com momento angular de Roger Penrose para o acoplamento de momento angular de sistemas de várias partículas, o que iria decorrer no desenvolvimento das Redes de Spin. Após estes estudos, foi possível construir e entender a ação dos operadores numa rede de spin e pôde-se também construir estados emaranhados destas redes e, enfim, fazer o teleporte de informação quântica utilizando as Redes emaranhadas.
Conclui-se então que é possível utilizar os conhecimentos desenvolvidos na nova Ciência da Computação Quântica, em particular, os estados emaranhados e teleporte, usando técnicas desenvolvidas na Quantização da Gravitação, leia-se a representação e ação de operadores quânticos em forma diagramática, utilizando o conceito de redes de spins. Em um aspecto especial, surge a conjectura de que poderá ser utilizado o conceito de emaranhamento para obter-se uma explicação para o cálculo da entropia de buraco negro como a entropia de emaranhamento das redes de spins que descrevem estados da Gravitação Quântica. Por sua vez teleporte de informação quântica ou a codificação superdensa, em uma abordagem futura, poder-se-ia tentar verificar a possibilidade de acessar a informação quântica contida dentro do Horizonte de eventos do buraco negro.
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