Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 7 de Novembro de 2009
LIGA D’ELFOS2010 MATCH 1
Eliminatórias
1. [1998] Mostrem que em qualquer quadrilátero inscrito numa circunferência de raio 1 o comprimento do menor lado não excede√2.
2. [1999] Uma loja distribui 9999 cartões entre os seus clientes. Cada um dos cartões possui um número de 4 algarismos, entre 0001 e 9999. Se a soma dos primeiros dois algarismos for igual à soma dos dois últimos, o cartão é premiado. Por exemplo, o cartão 0743 é premiado. Provem que a soma dos números de todos os cartões premiados é divisível por 101.
3. [2000] O Daniel e o seu irmão André vão todos os dias para a escola no autocarro da linha 62. O Daniel paga sempre os bilhetes. Cada bilhete tem um número de 5 algarismos. Um dia o Daniel observou que os números dos bilhetes, além de consecutivos, eram tais que a soma dos dez algarismos era precisamente 62, e que a soma dos cinco algarismos de cada bilhete não era 35. Quais são os números dos bilhetes?
4. [2001] Numa conferência internacional participaram 241 jovens cientistas de 6 paí-ses diferentes. Dado o elevado número de participantes a organização decidiu alojá-los em 4 hotéis. Entre quaisquer 6 participantes existiam dois com a mesma idade. Mostrem que num dos hotéis estavam alojados três cientistas do mesmo país com a mesma idade.
5. [2002] Sejam C1 e C2 duas circunferências concêntricas de raios r e R,
respecti-vamente, com r < R. Os pontos A, B e C, distintos dois a dois, pertencem a C2 e as cordas [AB] e [AC] são tangentes a C1. Sabendo que R = 5 e BC = 8,
determinem o raio deC1.
6. [2003] Com centro em cada um dos vértices de um triângulo equilátero com 2 cm de lado, desenham-se três círculos com√2 cm de raio. Qual é a área da intersecção dos três círculos?
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 12 de Dezembro de 2009
LIGA D’ELFOS2010 MATCH2
Eliminatórias Brasileiras
1. Mostrem que não existem inteiros positivos x e y tais que x3 + y3 = 22009.
2. Seja ABC um triângulo rectângulo, com ∠BAC = π/2. Seja I o incentro de ABC. Dados AB = 5 e BC = 9, calculem o comprimento do segmento CI. 3. Determinem o maior inteiro n, menor que 10000, tal que 5 | (2n + n).
4. Considerem um primo q da forma 2p + 1, sendo p > 0 um número primo. Mostrem que existe um múltiplo de q cuja soma dos algarismos na base decimal é menor ou igual a 3.
5. São colocadas 2009 pedras em pontos (a, b), de coordenadas inteiras, do plano cartesiano. Um ponto pode ter uma ou mais pedras. Uma operação consiste em escolher um ponto (a, b) que tenha quatro ou mais pedras, retirar quatro pedras de (a, b) e colocar uma pedra em cada um dos pontos
(a, b − 1), (a, b + 1), (a − 1, b), (a + 1, b).
Mostrem que, após um número finito de operações, cada ponto terá no máximo três pedras. Além disso, mostrem que a configuração final, obtida a partir da configu-ração inicial, não depende da ordem das operações.
6. Considerem uma tabela com 2009 linhas e 2009 colunas preenchida com 20092 números inteiros. Somando os números em cada linha e em cada coluna obtêm-se 4018 somas distintas. É possível que elas sejam todas quadrados perfeitos?
7. Seja ABC um triângulo e O seu circuncentro. As rectas de suporte aos lados AB e AC intersectam o circuncírculo de OBC novamente em B1 6= B e C1 6= C,
respectivamente, as rectas de suporte de BA e BC intersectam o circuncírculo de OAC em A2 6= A e C2 6= C, respectivamente, e as rectas de suporte de CA e
CB intersectam o circuncírculo de OAB em A3 6= A e B3 6= B, respectivamente.
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 16 de Janeiro de 2010
LIGA D’ELFOS2010 MATCH 3
Grafos
Um grafo, que denotaremos por G, é dado por um conjunto VG = {1, 2, . . . , n}, cujos
elementos se designam vértices, e por um conjunto de arestas, EG ⊂ VaG, onde VaG
denota o conjunto de todos os subconjuntos de V com a elementos. Um sub-grafo K ⊂ G é um grafo para o qual VK ⊂ VG e EK ⊂ EG. Um r-clique é um sub-grafo
Kr ⊂ G tal que |VKr| = r e EKr =
VKr
a . Uma coloração de um grafo G a s cores é a
atribuição a cada uma das arestas de G de uma das s cores disponíveis.
1. Exibam uma coloração a 2 cores de K5sem 3-cliques (triângulos) monocromáticos.
2. Mostrem que em qualquer coloração a 2 cores de K6 existem pelo menos dois
triângulos monocromáticos.
3. Seja G um grafo com 6 vértices e 10 arestas. Mostrem que G contém um triângulo. 4. Mostrem que existe um grafo com 6 vértices e 9 arestas sem triângulos.
5. Mostrem que numa coloração a 3 cores de K17 existe um triângulo monocromático.
6. Seja k um natural maior ou igual a 2 e seja n = bek!c + 1. Mostrem que em qualquer coloração a k cores de Kn, existe um triângulo monocromático. [É dado
que e =P∞ k=0 1 k! = 1 + 1 + 1 2 + 1 3! + · · · ]
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 20 de Fevereiro de 2010
LIGAD’ELFOS2010 MATCH4
Polígonos cíclicos
O Teorema Japonês da geometria do plano euclidiano diz que numa qualquer triangula-ção de um polígono cíclico a soma dos raios das circunferências inscritas nos triângulos dessa triangulação é constante. Para simplificar, pensemos num n-ágono cíclico como uma figura do plano que se obtém a partir de n pontos arbitrários pertencentes a uma circunferência, A1, . . . , An, unindo Ai com Ai+1, considerando a notação para os
índi-ces módulo n. (Cuidado, um n-ágono cíclico não tem de ser regular!) Uma triangulação de um n-ágono cíclico P é uma decomposição de P como reunião de triângulos que não se sobreponham. Dado P, um n-ágono cíclico cujos vértices são consecutiva-mente A1, A2, . . . , An, obtém-se facilmente uma sua triangulação traçando as diagonais
A1A3, A1A4, . . . , A1An−1, mas, é claro, esta não é a única triangulação de P. Abaixo,
daremos relevo a um quadrilátero cíclico, P4, cujos vértices, fugindo à convenção
an-terior, denotaremos consecutivamente por A, B, C e D. Denotem por I, J, K e L, os centros das circunferências inscritas em ABC, BCD, CDA e DAB, respectivamente.
1. Seja P QRS um quadrilátero (convexo) qualquer. Mostrem que P QRS é cíclico se e só se∠RP S = ∠RQS se e só se ∠P QR + ∠P SR = π.
2. Mostrem que CJ KD, DKLA, ALIB, BIJ C são quadriláteros cíclicos. 3. Mostrem que IJ KL é um rectângulo.
4. SejamR1 eR3 as rectas paralelas a AC que passam por I e K, respectivamente e
sejam R2 e R4 as rectas paralelas a BD que passam por J e L, respectivamente.
Mostrem queR1,R2, R3 eR4 definem um losango.
5. Demonstrem o Teorema Japonês paraP4.
6. Sejam T1 e T2 duas triangulações de um n-ágono cíclico qualquer,P, com n > 4.
Mostrem que existe uma terceira triangulação de P, que tem um triângulo em comum com T1 e um triângulo em comum com T2.
7. A partir dos resultados anteriores e usando indução no número de vértices, demons-trem o Teorema Japonês. (Tomem o caso base n = 4.)
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 20 de Março de 2010
LIGA D’ELFOS2010 MATCH5
Finais
1. Seja P QRS um quadrilátero cíclico tal que P Q e RS não são paralelos. Consi-derem o conjunto das circunferências que passam em P e Q e o conjunto das cir-cunferências que passam em R e S. Determinem o lugar geométrico dos pontos de tangência das circunferências nestes dois conjuntos. (Incluam uma figura.)
2. Mostrem que para quaisquer inteiros positivos a e b, o inteiro (36a + b)(a + 36b) nunca é uma potência de 2.
3. Sejam G o baricentro de um triângulo ABC e M o ponto médio do segmento BC. Seja X um ponto do segmento AB e Y um ponto do segmento AC tais que X, Y e G são colineares e os segmentos XY e BC são paralelos. Sejam Q a intersecção de XC e GB e P a intersecção de Y B e GC. Mostrem que o triângulo M P Q é semelhante a ABC. (Incluam uma figura.)
4. Mostrem que existe um triângulo que admite uma triangulação composta por 2005 triângulos congruentes ao triângulo inicial.
5. Num círculo C com centro em O e raio r considerem dois círculos C1 e C2 com
centros O1 e O2 e raios r1 e r2, respectivamente, tais queCi é tangente internamente
aC no ponto Ai eC1 eC2 são tangentes externamente no ponto A. Mostrem que as
três rectas OA, O1A2 e O2A1 são concorrentes. (Incluam uma figura.)
6. Determinem todos os pares de inteiros (a, b) tais que os inteiros a2 + 4b e b2 + 4a sejam ambos quadrados perfeitos.
7. Seja ABCD um quadrilátero cujos lados têm comprimento igual. Sejam M N e P Q dois segmentos perpendiculares à diagonal BD que distam entre si d > BD/2, com M ∈ AD, N ∈ DC, P ∈ AB e Q ∈ BC. Mostrem que o perímetro do hexágono AM N CQP não depende na posição de M N e P Q, desde que a distância entre estes segmentos, d, se mantenha constante. (Incluam uma figura.)
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 24 de Abril de 2010
LIGAD’ELFOS2010 MATCH 6
O teorema de Casey
Seja C um círculo e sejam C1, C2, C3 e C4 quatro círculos disjuntos, dispostos, por
aquela ordem, no interior deC e tangentes à sua circunferência. Ti é o ponto de
tangên-cia do círculoCi com o círculoC ; os centros de Ci denotam-se por Oi; r é o raio deC e
ri o raioCi. Uma recta tangente a duas circunferências diz-se tangente externamente se
deixar ambas as circunferências no mesmo semi-plano. Os dois pontos de tangência de uma recta tangente externamente a duas circunferências definem um segmento de recta tangente externamente. Denotemos por tij o comprimento do segmento de recta
tan-gente externamente a Ci eCj. O teorema de Casey diz que t12t34 − t13t24 + t14t23 = 0.
Se ri = 0, i = 1, . . . , 4, então o Teorema de Casey reduz-se ao Teorema de Ptolomeu.
O teorema de Casey é verdadeiro mesmo que alguns dos raios ri sejam nulos.
1. SejamC1 eC2 dois círculos nenhum dos quais está contido no outro. Mostrem que
os segmentos de recta tangentes externamente aC1 eC2 são congruentes.
2. Suponham que ri = 0, i = 1, . . . , 4. Então T1T2T3T4 é um quadrilátero cíclico.
Seja S ∈ T1T3 tal que∠T1T2S = ∠T3T2T4. Demonstrem o Teorema de Ptolomeu.
3. Suponham que ri ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4. Mostrem que t2ij = OiOj 2 − (ri − rj)2. 4. Mostrem que OiOj 2 = (rj − ri)2 + (r − ri)(r − rj) TiTj 2 r2 .
5. Demonstrem o Teorema de Casey.
6. Sejam C1 e C2 circunferências tangentes externamente no ponto I que são ambas
tangentes internamente a uma circunferência C . Sejam B e C os pontos de in-tersecção de uma das rectas tangentes externamente a C1 e C2 com C e seja A a
intersecção da recta tangente interiormente a C1 eC2 com C , que está no mesmo
semiplano em relação a BC que o ponto I. Mostrem que I é o incentro de ABC. 7. Seja ABC um triângulo, C o seu circuncírculo e O um círculo tangente
interior-mente a C , tangente a AB em P e tangente a AC em Q. Mostrem que o ponto médio de P Q é o incentro de ABC.
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 22 de Maio de 2010
LIGAD’ELFOS2010 MATCH 7
Olímpicas I
1. [2003] Imin e Imniyë jogam alternadamente, escrevendo divisores do inteiro 100! num quadro, sem repetições. Perde quem, ao escrever um número, torne o máximo divisor comum dos números escritos igual 1. Joga Imniyë primeiro. Decidam quem possui uma estratégia vencedora e descrevam-na.
2. [2004] Seja O um ponto no interior de um triângulo acutângulo ABC. As circun-ferências com centro nos pontos médios dos lados do triângulo que passam por O intersectam-se duas a duas nos pontos K, L e M , para além de no ponto O. Mostrem que O é o incentro do triângulo KLM se e só se O é o circuncentro do triângulo ABC.
3. [2005] Mostrem que existe uma sucessão de 2005 inteiros positivos consecutivos que contém exactamente 25 números primos.
4. [2006] Seja ABC um triângulo e R uma recta que intersecta os segmentos AB e AC em D e F , respectivamente e intersecta a recta de suporte a BC num ponto E tal que C fica entre B e E. As três rectas paralelas a R que passam por A, B e C intersectam o circuncírculo de ABC nos pontos A1, B1 e C1, respectivamente,
para além de A, B e C. Mostrem que as rectas A1E, B1F e C1D são concorrentes.
5. [2007] Determinem todas as funções f : R → R tais que
f (f (x) + y) = f (f (x) − y) + 4f (x)y. ∀ x, y ∈ R.
6. [2008] Dado P , um ponto no interior de um triângulo equilátero ABC, sejam a, b, c > 0 tais que a2, b2, c2 são as distâncias de P aos lados do triângulo. Deter-minem o lugar geométrico dos pontos P para os quais a, b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo (não-degenerado).
7. [2009] Determinem todas as funções f : N>0 → N>0 tais que
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 5 de Junho de 2010
LIGAD’ELFOS2010 MATCH 8
Olímpicas II
1. [2003] Sejam x1, x2, . . . , xn reais positivos. Mostrem que x31 x2 1+x1x2+x22 + x32 x2 2+x2x3+x23 + · · · + x3n x2 n+xnx1+x21 ≥ x1+x2+···+xn 3
2. [2004] Determinem x e y, números primos, tais que xy − yx = xy2 − 19.
3. [2005] Tata e Tatië jogam alternadamente num tabuleiro 10 × 10. Na sua jogada cada um escolhe uma linha ou uma coluna que ainda não foi escolhida nenhuma vez e pinta todos os seus quadrados da sua cor, pintando por cima da cor de casas eventualmente já pintadas em jogadas anteriores. Digamos que o Tata joga com o rosa e a Tatië joga o azul. Evidentemente, o jogo termina após 20 jogadas quando todas as linhas e colunas já foram escolhidas. Joga Tatië primeiro. O Tata ganha se o número de casas rosa exceder em pelo menos em 10 o número de casas azuis, caso contrário ganha a Tatië. Determinem quem tem uma estratégia vencedora e descrevam-na.
4. [2006] Seja P um ponto no interior de um círculo. Suponham que existem 3 cordas do círculo que passam por P e são congruentes. Mostrem que P coincide com o centro do círculo.
5. [2007] Seja ABCD um quadrilátero convexo tal que AB = BC = CD. Seja E o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero. Mostrem que AE = DE se e só se∠BAD + ∠ADC = 2π/3 ou BC||AD.
6. [2008] Seja f : Z → Z uma função bijectiva. Mostrem que f pode ser escrita na forma f = u + v, onde u : Z → Z e v : Z → Z são funções bijectivas.
7. [2009] Seja M N uma recta paralela ao lado BC de um triângulo ABC, com M um ponto de AB e N um ponto de AC. Seja P o ponto de intersecção das rectas BN e CM . Seja Q o outro ponto de intersecção dos circuncírculos dos triângulos BM P e CN P . Mostrem que ∠BAQ = ∠CAP .
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 2 de Julho de 2010
LIGAD’ELFOS2010 MATCH9
Olímpicas III
1. [2003] Mostrem que existem 4004 inteiros positivos tais que a soma de quaisquer 2003 deles não é divisível por 2003.
2. [2004] Seja ABC um triângulo acutângulo tal que AB 6= AC. O círculo com diâmetro BC intersecta os lados AB e AC em M e N , respectivamente. Seja O o ponto médio do lado BC e R o ponto de intersecção das bissectrizes dos ângulos ∠BAC e ∠MON. Mostrem que os circuncírculos dos triângulos BM R e CNR se intersectam num ponto do lado BC.
3. [2005] Determinem todos os primos p tais que p2 − p + 1 é um cubo perfeito. 4. [2006] Enel e Enelyë jogam alternadamente removendo moedas de uma pilha que
no início do jogo tem 2006 moedas. Em cada jogada Enel e Enelyë podem remover entre 1 a 7 moedas que vão acumulando ao longo do jogo; podem passar a vez, mas para o fazer têm de entregar 7 das suas moedas acumuladas, que por sua vez são confinadas a um cofre de onde não saem mais. Ganha que retirar a(s) última(s) mo-eda(s). Começa o jogo a Enelyë. Determinem quem tem uma estratégia vencedora e descrevam-na.
5. [2007] Seja D um ponto do lado AB de um triângulo ABC. Seja L um ponto no interior do triângulo ABC tal que BD = LD, ∠LAB = ∠LCA = ∠DCB e ∠ALD + ∠ABC = π. Mostrem que ∠BLC = π/2.
6. [2008] Determinem todas as funções f : R → R tais que
xf (x + xy) = xf (x) + f (x2)f (y), ∀ x, y ∈ R.
7. [2009] Sejam x, y e z reais não-negativos. Mostrem que x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx 6 ≤ x + y + z 3 · r x2 + y2 + z2 3
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 11 de Setembro de 2010
LIGA D’ELFOS2010 MATCHFINAL
Enigmas da Terra Média
1. Estavam Imin, o primeiro elfo, sua mulher Iminyë e os seus 12 pequenos elfos à conversa à mesa quando, pela voz dum pequeno, se ouviu: “disseram uma men-tira!”; “agora já se disseram duas mentiras!” diz um segundo pequeno elfo; “e agora já se disseram três mentiras...” acrescenta um terceiro pequeno elfo. Um por um, todos os restantes pequenos elfos fizeram semelhante declaração; até que, após o décimo segundo pequeno elfo ter dito que já se tinham dito doze mentiras, o pai Imin põe fim à discussão. Iminyë sabe que pelo menos um dos seus pequenos fez uma afirmação correcta e segredou a Imin o verdadeiro número de mentiras ditas naquela noite. Que número é este?
2. Imin, Tata, Enel, Ingwë, Finwë e Elwë (do mais velho para o mais novo) têm de dividir entre si 100 moedas de ouro. Decidem entre eles que a divisão será feita do seguinte modo. O mais velho, Imin, proporá uma divisão das 100 moedas entre eles. De seguida os restantes votarão sobre essa proposta. Se Imin não obtiver 50% de votos a favor, Imin é expulso da partilha das 100 moedas e Tata faz uma nova proposta, que é votada pelos restantes 4 elfos na partilha. O processo continua, segundo as mesmas regras, do mais velho para o mais novo, até que se chegue a um acordo ou reste apenas Elwë. Supondo que Imin, Tata, Enel, Ingwë, Finwë e Elwë não querem sair da partilha das 100 moedas, são seres muito inteligentes e são extremamente motivados pela ganância, que proporá Imin?
3. É certo que os 12 pequenos elfos de Imin e Iminyë gostam de mentir. Na verdade, há 6 que mentem sempre (mentirosos) e 6 que dizem sempre a verdade (honestos). Imin surpreende 3 pequenos elfos em plena traquinada e decide averiguar quais dos pequenos eram mentirosos e quais eram honestos. Imin pergunta ao primeiro "és um mentiroso?"; como Imin não percebeu a balbúcie do primeiro pequeno elfo, pergunta ao segundo pequeno elfo o que tinha ele dito, ao que este respondeu: "ele disse que era um mentiroso". É então que o terceiro pequeno elfo disse: "não acredite no que ele acabou de dizer, ele está a mentir"! Com isto Imin conseguiu descobrir que eram o segundo e terceiro elfos. Como pensou ele?
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 11 de Setembro de 2010
LIGA D’ELFOS2010 MATCHFINAL
4. Enelyë, tesoureira da Terra Média, sabe que de entre as 12 moedas usadas para calibrar as moedas da Terra Média, existe uma com peso diferente. Tanto quanto ela sabe, essa moeda pode ser mais leve ou mais pesada. Enelyë recorre à única balança da Terra Média com exactidão para esta tarefa, uma balança de dois pratos que apenas permite comparar o peso de dois objectos. Qual é o número mínimo de pesagens que Enelyë tem de efectuar para descobrir qual é a moeda defeituosa? 5. No seu jardim, Imin e Iminyë têm 2048 espécies de ervas medicinais destinadas a
acalmar a fúria dos pequenos 12 elfos. O efeito das ervas, que são administradas na forma de chá, dura apenas um dia. Além disso, os pequenos elfos só deixam que se lhes dê chá uma vez por dia. Iminyë sabe que entre essas 2048 espécies existe uma que, por descuido de Imin, tem precisamente o efeito oposto. Essa erva pode ser misturada com qualquer outra erva que o seu efeito prevalecerá. Para espanto de Imin, Iminyë tem um plano para descobrir, em apenas um dia, qual das ervas medicinais não devia ter sido plantada pelo marido no jardim. Que plano é esse? 6. Imin foi eleito líder da Terra Média numa cerimónia em que a inteligência dos três
primeiros elfos foi posta à prova. Iminyë revelou aos três que seria colocada uma grinalda de flores em cada uma das suas cabeças, sem que pudessem ver; disse-lhes que tinha feito 2 grinaldas de margaridas e 3 grinaldas de violetas. Os três elfos foram vendados, Iminyë colocou uma grinalda em cada uma das cabeças, retirou-se com as restantes grinaldas e de seguida os três elfos foram desvendados. Venceria o teste quem conseguisse adivinhar primeiro de que tipo era a sua grinalda. Imin viu na cabeça de Tata e de Enel grinaldas de violetas e após um momento de hesitação declarou, correctamente, de que tipo era a sua grinalda. Como pensou ele?
7. Tata e Tatië gostam de impressionar os seus convidados fazendo truques de cartas. Num desses truques, Tata pede a um convidado que retire ao acaso 5 cartas de um baralho convencional (com 4 naipes e 13 cartas em cada naipe). De seguida, Tata seleciona uma das cartas e devolve-a ao convidado. Finalmente, Tata ordena as restantes 4 cartas e entrega-as a Tatië que, após alguns segundos, declara (sempre correctamente) a carta que o convidado tem na mão. Como fazem eles isto?
