Anotações de Aula. Cursos: Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Ciência da Computação

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Anotações de Aula

Cursos: Análise e Desenvolvimento de Sistemas

e

Ciência da Computação

Disciplina: Cálculo Numérico Computacional

Série: 2ª

Profa. Ms. Leonor F.F.Menk

Assis

2016

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Matrizes Introdução

Muitas vezes, para designar com clareza certas situações, é necessário formar um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa tabela. Matematicamente, essas tabelas são chamadas de matrizes. Podemos dizer ainda que,matrizes são tabelas de números, utilizadas para armazenamento de dados, bem como instrumentos de cálculo.

Com o advento da computação e a crescente necessidade de se guardar muita informação, as matrizes adquiriram uma grande importância. Para termos uma idéia dessa importância, basta saber que o que vemos na tela do computador é uma enorme matriz, sendo que cada valor guardado nas linhas e colunas da matriz representa um ponto colorido mostrado na tela (pixel). Atualmente as resoluções de imagem de 600 x 800 (600 linhas e 800 colunas), ou 768 x 1024 (768 linhas e 1024 colunas) são muito utilizadas nos monitores dos computadores.

Outros exemplos de utilização de matrizes na área da informática: planilhas eletrônicas, editores de imagens, produção de softwares para a indústria, a geração de movimentos e deformações que permitem produzir efeitos especiais para o cinema ou TV; a produção de games, simulações científicas, a aquisição de informações sobre sistemas de geo-processamento e meteorologia, etc.

Nesse último caso, podemos destacar a utilização do satélite LANDSAT que opera com uma matriz que tem 7000 linhas e 7000 colunas.É o sistema orbital mais utilizado na Embrapa Monitoramento por Satélite no mapeamento da dinâmica espaço/tempo do uso das terras e em todas as aplicações decorrentes.

Definição:

Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n (indica-se m x n) toda tabela formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas.

Exemplos: A = 2 x 2 32 , 0 0 2 3        B =



0,5 7 -2



₁_x₃ OBS:

1) Os números que formam a matriz são chamados de elementos da matriz;

2) Os elementos de uma matriz podem estar dispostos em parênteses, colchetes ou duas

barras de cada lado;

3) Para dar nomes às matrizes usamos as letras maiúsculas: A, B, C, D etc;

4) Os elementos são representados por letras minúsculas acompanhadas de um índice

duplo (indicando a posição ocupada pelo elemento na matriz).

Representação Tabular A =

 

n x m ij a n x m mn 3 m 2 m 1 m n 2 23 22 21 1n 13 12 11 a a a a a a a a a a a a A                     Onde:

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a11  elemento que ocupa a 1ª linha e 1ª coluna

... ... ...

amn  elemento que ocupa a m-ésima linha e n-ésima coluna

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes são iguais quando têm a mesma ordem, ou seja, possuem o mesmo número de linhas e colunas e, elementos de mesma posição iguais. Desta maneira:

se a matriz _      w z y x é igual à matriz _      1 5 3 2

, então devemos ter necessariamente:

x = 2 y = 3 z = -1 w = 5

Matrizes Especiais Matriz Quadrada:

É toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). Diagonal secundária            33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A Diagonal principal (i = j) Matriz Identidade:

Matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero (In):

Exemplo:            1 0 0 0 1 0 0 0 1 I₃ Matriz Nula:

Matriz que tem todos os elementos iguais a zero (Omxn):

Exemplo:            0 0 0 O₃_x₁

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Matriz coluna:

Matriz que tem apenas uma coluna: Exemplo: B = 1 x 4 25 , 0 0 3 2              Matriz linha:

Matriz que tem apenas uma linha: Exemplo: C = 5 x 1 5 1 12 5 3 2 1      _ _

Operações com Matrizes

Adição: Dadas duas matrizes de mesma ordem, A=(aij)mxn e B=(bij)mxn, denomina-se matriz

soma, a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B: A + B = (aij + bij)mxn

Subtração: Dadas duas matrizes de mesma ordem, A=(aij)mxn e B=(bij)mxn, denomina-se

matriz diferença, a matriz obtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B: A - B = (aij - bij)mxn

Exemplo: Dadas as matrizes A e B indicadas abaixo, determine A + B e A – B

A = _      10 4 6 2 5 3 e B = _        1 3 8 9 2 1 a) A + B =

 

_{ }

_              1 10 3 4 8 6 9 2 2 5 1 3 A + B = _      9 7 14 11 3 4 b) A – B =

 

_{ }

_              1 10 3 4 8 6 9 2 2 5 1 3 A – B = _        11 1 2 7 7 2

Multiplicação de número real por uma matriz:

Dada uma matriz A= (aij)mxn e um número real k, denomina-se produto do real k por , a

matriz obtida multiplicando-se cada um dos elementos de A por k: k.A = (k.aij)mxn

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Exemplo:                 20 0 2 6 6 20 8 5 4 2 1 =

 

_                                     20 2 1 0 2 1 2 2 1 6 2 1 6 2 1 20 2 1 8 2 1 5 2 1 4 2 1 =                   10 0 1 3 3 10 4 2 5 2 Multiplicação de Matrizes

Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp , a matriz produto (C = A.B), do tipo mxp, é

obtida da seguinte maneira : multiplicam-se os elementos da linha i da matriz A pelo seu correspondente da coluna j da matriz B e somando-se os resultados.

Amxn . Bnxp = Cmxp

OBS: O produto só existe quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número

de linhas da segunda matriz.

Exemplo: Consideremos as matrizes: A = 3 x 2 1 1 3 4 2 0       e B = 1 x 3 3 5 2           

A

₂_x₃



B

₃_x₁



C

₂_x₁ (existe o produto) Vejamos, então, como fica o produto A.B

A.B = _      1 1 3 4 2 0 .            3 5 2 1ª linha x 1ª coluna  0.2 + 2.(-5) + 4.3 = 2 2ª linha x 1ª coluna  3.2 + 1.(-5) + 1.3 = 4

Logo a matriz resultante será: C _

      4 2 1 x 2

Considerando as matrizes A e B dadas acima, podemos observar que não existe o produto B.A, pois o número de colunas da matriz B (uma) não é igual ao número de linhas da matriz A (duas).

Logo, podemos afirmar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A.B nem sempre é igual a B.A.

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Exercícios

1) Dada a matriz A = (aij)4x2, em que aij = i – j², determine o valor de a41.

2) Construa a matriz B = (bij)2x5 , em que bij = 3i-2j.

3) Construa a matriz C = (cij)3x2, em que cij = {

i − 2j, se i = j 3j + i2, se i ≠ j 4) Dadas as matrizes: A =               2 3 1 8 5 3 2 e B =             4 5 2 3 5 8 10 , calcule: a) A + B c) 2A + 3B b) B – A d) 3A - 2B 5) Dadas as matrizes A = (−2 1 3 0 −4 5), B = ( 5 1 2 2 −2 0 3) e C = ( 0,5 2 −1 5 0,8 −4), calcule: a) A + B – C b) 2A – B + C c) 2( A – B + C)

6) ) Efetue, caso exista, os produtos indicados abaixo: a) ( 5 −3 −1 4 ) ( 3 −2) b) ( 5 2 −1 4) ( 2 −1 0 3 ) c) ( 3 5 −1 2) ( 1 6 −2 1 4 0 ) d) ( 1 0 0 1 1 0 0 1 1 ) ( 2 2 1 1 2 2 2 1 2 )

7) Uma pequena empresa confecciona três tipos de roupas masculinas: camisetas, camisas e calças. A produção de cada artigo exige o corte dos tecidos, costura e acabamento. A tabela abaixo mostra o número de horas que cada tipo de trabalho gasta na confecção de cada roupa:

A empresa recebeu pedidos para os meses de março e abril, conforme apresenta a tabela abaixo: Março Abril Camiseta 1000 1100 Camisa 600 850 Calça 800 725

Camiseta Camisa Calça

Corte 0,5 0,8 0,4

Costura 0,8 1,0 0,5

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Complete a tabela a seguir, de modo a indicar os totais de horas de trabalho de cada setor nos meses de março e abril

Março Abril

Corte ________ ________

Costura ________ ________

Acabamento ________ ________

8) A empresa possui três oficinas de trabalho em diferentes localidades, uma em cada região: sul, leste e centro da cidade. A tabela mostra o valor em reais da hora de trabalho de cada tipo de serviço em cada oficina.

Corte Costura Acabamento

Sul 15,50 17,00 16,40

Leste 15,00 16,00 15,60

Centro 16,40 18,50 18,00

a) Utilizando as tabelas: “custo por serviço” e “horas de serviço por tipo de roupa” efetue os cálculos necessários e complete a tabela dada abaixo:

b) O que representam os dados inseridos na tabela?

______________________________________________________________________

Camiseta Camisa Calça

Sul ___________ __________ __________

Leste ___________ __________ __________

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Determinantes

Toda matriz quadrada tem, associado a ela, um número real chamado determinante da matriz, obtido a partir de operações que envolvem todos os elementos da matriz.

Determinante associado a matriz quadrada de ordem 1

A =

 

a₁₁  det A = a₁₁ = a ₁₁ Exemplo: A = ( - 12)  det A = -12

A = _      22 21 12 11 a a a a  det A = 22 21 12 11 a a a a = a₁₁. a₂₂ a₂₁. a₁₂

(produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária) Exemplo: A = _        1 8 5 3  det A = 4 8 5 3  = ( -3 . 4 ) – (8 . 5) = -12 – 40  det A = - 52

A =           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a  det A = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a = =a₁₁ .a₂₂ .a₃₃a₁₂ .a₂₃ .a₃₁a₁₃ .a₂₁ .a₃₂ a₁₃ .a₂₂ .a₃₁a₁₁ .a₂₃ .a₃₂ a₁₂ .a₂₁ .a₃₃ Podemos obter esse resultado aplicando a Regra de Sarrus, que consiste no seguinte:

- Acrescentar as duas primeiras colunas à direita da terceira;

- Adicionar os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas; - Subtrair os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas.

Exemplo: Calculando o determinante associado à matriz A =

             4 0 2 5 1 4 3 1 2 , temos: det A = -8 +10+0 – (-6) – 0 – 16 = - 8

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Exercícios

1) Calcule o valor dos determinantes indicados abaixo: a) 4 3 4 5 b) 5 10 -2 -4 c) 4 2 2 -1 4 -0 3 1 2 d) 2 1 -4 5 2 2 3 -2 3 1 1  e) 1 0 1 5 2 -4 3 1 2 f) 3 -4 3 2 4 1 -0 2 -5 3 2

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Sistemas Lineares

Denomina-se sistema linear de m equações e n incógnitas, x1, x2, ..., xn , todo sistema da

forma:                    m n mn 2 2 m 1 1 m 2 n n 2 2 22 1 21 1 n n 1 2 12 1 11 b x a ... x a x a .. ... ... ... ... b x a ... x a x a b x a ... x a x a

Classificação quanto à existência de soluções Impossível: Não existe solução;

Possível:      soluções. infinitas Existem : ado Indetermin ou solução única uma Existe : o Determinad Exemplos:

a) Sistema possível determinado:          1 x 7 x 3 2 x 6 x 2 2 1 2

1 _{(-2,-1) é a única solução do sistema}

Graficamente as equações representam retas concorrentes b) Sistema possível indeterminado:

       0 2 2 0 2 1 2 1 x x x x

Qualquer que seja xR, (x,-x) é solução do sistema. Graficamente as equações representam retas coincidentes.

c) Sistema impossível:        1 0 2 1 2 1 x x x x

Não existem x₁ IR e x₂ IR, tais que tornem o sistema verdadeiro. Graficamente as equações representam retas paralelas.

Obs. Se um sistema linear possui o número de equações igual ao número de incógnitas e o

determinante da matriz dos coeficientes diferente de zero, ele pode ser resolvido aplicando a

Regra de Cramer.

Nesse caso, a solução do sistema é dada por:

   1 1 x x ,    2 2 x x ,    3 3 x x ,... ,    n n x x .

Sendo:  o determinante da matriz dos coeficientes; x₁, x₂, x₃,... , x_n, os

determinantes obtidos da matriz dos coeficientes, quando substituímos a coluna dos coeficientes da incógnita procurada pela coluna dos termos independentes.

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Exemplos:

Resolva os sistemas, usando a Regra de Cramer:

a)       9 y 4x 4 2y -x 3  = 1 4 2 -3 = 11 ; x = 1 9 2 -4 = 22; y = 9 4 4 3 = 11 2 11 22 x x      1 11 11 y y      b)               3 z 4 y x 0 z y 5 x 3 1 z y 2 x  = | 1 −2 1 3 −5 −1 1 1 4 |= 15 x = | 1 −2 1 0 −5 −1 3 1 4 |= 2 y = | 1 1 1 3 0 −1 1 3 4 |= -1 z = | 1 −2 1 3 −5 0 1 1 3 |= 11 15 2 x x     15 1 -y y     15 11 z z    

Exercício: Resolva os sistemas indicados abaixo, pela Regra de Cramer:

a)           8 y 5 x 2 10 y x 3 b)                4 z y x 3 1 z 2 y 3 x 1 z y x 2

OBS.: 1) Embora o método seja simples, ele é conveniente apenas para casos particulares,

portanto devemos procurar outras formas mais gerais de resolução de sistemas lineares. 2) Um sistema linear também pode ser representado na sua forma matricial que é dada por: Ax = b, sendo A a matriz dos coeficientes, x o vetor das incógnitas e b o vetor dos termos independentes.

Desse modo, temos:

            mn 2 m 1 m n 2 22 21 n 1 12 11 a ... a a . . . . a ... a a a ... a a    .             n 2 1 x x x  =             m 2 1 b b b 

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Sistemas Triangulares

Um sistema linear Ax = b é dito triangular superior, se a matriz A for triangular superior, isto é, quando aij = 0 para i > j. Neste caso, tal sistema terá o seguinte aspecto:

               n n nn 2 n n 2 2 22 1 n n 1 2 12 1 11 b x a ... ... ... ... ... ... ... ... b x a ... x a . ... b x a ... x a x a Retro-solução

Para resolver esse tipo de sistema, usamos a retro-solução, ou seja, determinamos o valor da incógnita que aparece na última equação. Em seguida, substituímos esse valor na penúltima equação e, calculamos o valor de uma nova incógnita. Repetimos o processo até calcularmos o valor de todas as incógnitas do sistema.

Exercício. Resolva os seguintes sistemas triangulares superiores:

Solução a)                    5 34 5 16 0 0 3 7 1 3 10 0 1 0 5 3 z y x z y x z y x                    8 17 16 1 16 7 b)                   3 2 2 0 0 2 0 3 0 1 1 1 1 z y x z y x z y x                  3 1 3 2 0 c)                          8 w 4 z 0 y 0 x 0 5 w 3 z 2 y 0 x 0 1 w z 3 y 5 x 0 5 w 4 z 1 y 2 x 3                      2 2 11 10 27 30 31

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Sistemas Equivalentes

Sejam dois sistemas S: A x = b e S’: A’ x = b’. Dizemos que S e S' são equivalentes se são incompatíveis (impossíveis) ou têm as mesmas soluções.

Transformações Elementares

Definição. Denominamos transformações elementares aplicadas às equações de um sistema

linear as seguintes operações:

(I) Permutar duas equações do sistema;

(II) Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula; (III) Adicionar um múltiplo de uma equação a outra equação do sistema.

Dados dois sistemas: S e S', se S' puder ser obtido de S através de um número finito de transformações elementares então S e S' serão equivalentes.

Resolução Numérica de Sistemas Lineares Introdução.

Considerando a notação matricial de um sistema linear, ele pode ser resolvido, utilizando-se métodos diretos ou iterativos.

Métodos Diretos: São aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução

exata do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de operações aritméticas.

Métodos Iterativos: São aqueles que permitem obter a solução do sistema, com a dada

precisão, através de uma seqüência de aproximações da solução, cada uma das quais obtidas das anteriores pela repetição do mesmo processo.

Métodos Diretos para Solução de Sistemas de Equações Lineares. Método de Eliminação de Gauss Simples

Exemplos: a)         1 y x 2 3 y 3 x

Inicialmente, devemos encontrar um sistema equivalente ao sistema dado, mas que seja triangular.

Passos:

1) Copiar a primeira equação.

2) Multiplicar a primeira por 2 ( resultado de:

11 21 a a  ) e adicionar à segunda.

 

          1 y x 2 2 3 y 3 x         7 y 5 0 3 y 3 x

3) Resolver o sistema obtido, usando a retro-solução. x = 5 6  e y = 5 7

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 Resposta

Sistema Triangular Equivalente: Solução:

       7 y 5 0 3 y 3 x             5 7 5 6 b)               3 z 4 y x 0 z y 5 x 3 1 z y 2 x Passos:

1) Copiar a primeira equação.

2) Multiplicar a primeira por “-3” (resultado de

11 21 a a

 ) e adicionar à segunda. 3) Multiplicar a primeira por “-1” (resultado de

11 31 a a  ) e adicionar à terceira.

   

3 z 4 y x 0 z y 5 x 3 1 3 1 z y 2 x                                   2 z 3 y 3 0 3 z 4 y 0 1 z y 2 x

4) Copiar a primeira e a segunda equação. 5) Multiplicar a segunda por “-3” (resultado de

22 32 a a  ) e adicionar à terceira.

 

                 2 z 3 y 3 0 3 3 z 4 y 0 1 z y 2 x                 11 z 15 0 0 3 z 4 y 0 1 z y 2 x

6) Resolver o sistema obtido, usando a retro-solução. x = 15 2 y = 15 1  e z = 15 11 Resposta:

               11 15 0 0 3 4 0 1 2 z z y z y x                    15 11 15 1 15 2

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Computacionalmente o método de Eliminação de Gauss Simples pode apresentar problemas por dois motivos, a saber:

 Erro de arredondamento quando se tem que dividir por um número muito pequeno (próximo de zero);

 Divisão por zero.

Exemplos: a)        5 2 9 1 0001 , 0 y x y x b)        1 3 8 2 0 y x y Exercício.

Resolva os seguintes sistemas lineares:

Sistema a ser Sistema Triangular Solução resolvido equivalente a)                1 2 5 3 0 0 2 z y x z y x z y x               11 z 8 y 0 x 0 5 z 4 y 2 x 0 0 z 1 y 2 x 1                     8 11 4 1 8 7 b)               1 2 5 51 12 9 6 20 5 2 3 z x z y x z y x               27 9 0 0 11 2 5 0 20 5 2 3 z y x z y x z y x            3 1 1 c)               6 0 2 3 4 11 3 2 z y x z y x z y x                   2 65 2 13 0 0 22 4 1 0 11 3 1 2 z y x z y x z y x           5 2 1

Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial Exemplos: a)         1 2 3 3 y x y x Passos:

1) Localizar entre os coeficientes de x, aquele que tem o maior módulo. Esse coeficiente é chamado de pivô e a linha na qual ele se encontra é denominada linha pivô.







         pivô linha 1 y x 2 3 y 3 x pivô

(16)

2) Caso o pivô, não ocupe a posição a , troca-se a posição das linhas para que isso aconteça. ₁₁         3 y 3 x 1 y x 2

3) Resolver o sistema, procedendo da mesma maneira utilizada no Método de Gauss Simples.

                 3 y 3 x 2 1 . 1 y x 2           2 7 y 2 5 x 0 1 y x 2  y = 5 7 e x = 5 6  Resposta:

         2 7 2 5 0 1 2 y y x            5 7 5 6 b)               3 4 0 5 3 1 2 z y x z y x z y x

Passos: 1) Localizar entre os coeficientes de x, o elemento pivô e a linha pivô.

_





                3 z 4 y x pivô linha 0 z y 5 x 3 1 z y 2 x pivô

2) Como o pivô, não ocupa a posição a , troca-se a primeira e a segunda linha de posição. ₁₁               3 z 4 y x 1 z y 2 x 0 z y 5 x 3

3) “Zerar” os coeficientes de x, na segunda e terceira equações.

4) Localizar o maior módulo entre os coeficientes de y, considerando a segunda e terceira equações.

(17)

5) Como o pivô não ocupa a posição a22 , trocar a segunda e terceira linha de posição

6) “Zerar” o coeficiente de y, na 3ª equação.

                          1 z 3 4 y 3 1 x 0 8 1 . 3 z 3 13 y 3 8 x 0 0 z y 5 x 3                    8 11 z 8 15 y 0 x 0 3 z 3 13 y 3 8 x 0 0 z y 5 x 3

7) Resolver o sistema, usando a retro-solução. 15 11 z 15 1 y e 15 2 x Resposta:

                  8 11 8 15 0 0 3 3 13 3 8 0 0 5 3 z z y z y x                    15 11 15 1 15 2

Exercício. Resolva os seguintes sistemas lineares:

Sistema a ser Sistema Triangular Solução resolvido equivalente a)               9 z 3 y x 2 3 z 2 y 3 x 3 2 z y 2 x                   3 10 z 9 10 y 0 x 0 7 z 3 13 y 3 x 0 3 z 2 y 3 x 3           3 2 1

(18)

b)                  8 z y 2 x 4 3 z 2 y x 2 7 z y 3 x                      3 z 2 1 y 0 x 0 5 z 4 5 y 2 5 x 0 8 z y 2 x 4           6 -5 2 c)                0 z 3 y 2 x 2 2 z 4 y 4 x 1 z y 6 x                   5 13 z 5 26 y 0 x 0 1 z 2 1 y 5 x 0 0 z 3 y 2 x 2                  2 1 4 1 1

Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Completo Exemplos: a)         1 y x 2 3 y 3 x Passos:

1) Localizar entre os coeficientes das incógnitas, no caso: x, e y aquele que tiver o maior módulo. Esse coeficiente será o pivô e a linha na qual ele se encontrar será a linha pivô.

          1 y x 2 pivô) (linha 3 y 3 x pivô

2) Trocar de posição a primeira e segunda coluna, para que o pivô ocupe a posiçãoa . ₁₁           1 x 2 y pivô) (linha 3 x y 3 pivô

3) “Zerar” o coeficiente de y, na segunda equação:                  1 x 2 y 3 1 . 3 x y 3         2 x 3 5 -0 3 x y 3

4) Resolver o sistema usando a retro-solução. x = 5 6  e y = 5 7

(19)

Resposta:

        2 3 5 0 3 3 x x y             5 7 5 6 b)               3 z 4 y x 0 z y 5 x 3 1 z y 2 x Passos:

1) Localizar entre os coeficientes das incógnitas, no caso: x, y e z, aquele que tiver o maior módulo (pivô).

2) Caso o pivô, não ocupe a posiçãoa , troca-se inicialmente a posição das linhas. Se isso não ₁₁ for suficiente, troca-se também a posição das colunas.

                  3 z 4 y x 1 z y 2 x 0 z y 5 x 3 pivô                    3 z 4 x y 1 z x y 2 0 z x 3 y 5 pivô

3) “Zerar” os coeficientes de y, na segunda e terceira equações.

                                   3 z 4 x y 1 z x y 2 5 1 . 5 2 -. 0 z x 3 y 5                     3 z 5 19 x 5 8 y 0 1 z 5 7 x 5 1 y 0 0 z x 3 y 5

4) Localizar entre as incógnitas de x e z, da segunda e terceira equações, aquela que possui maior módulo (pivô). Se necessário, trocar a posição de linhas e colunas para que o pivô ocupe a posição a₂₂.

(20)

5) “Zerar” o coeficiente de z na terceira equação.                            1 x 5 1 z 5 7 y 0 19 7 . 3 x 5 8 z 5 19 y 0 0 3x z y 5                      19 2 x 19 15 z 0 y 0 3 x 5 8 z 5 19 y 0 0 3x z y 5

6) Resolver o sistema, usando a retro-solução. 15 2 x 15 11 z e 15 1 -y Resposta:

                    19 2 x 19 15 0 0 3 x 5 8 z 5 19 0 0 x 3 z y 5                    15 11 15 1 15 2

Exercícios. Resolva os seguintes sistemas lineares:

Sistema a ser Sistema Triangular Solução resolvido equivalente a)                 2 z 9 y x 2 6 z 3 y 2 x 2 2 z 6 y x 4                    2 11 y 4 11 x 0 z 0 3 2 y 3 5 x 3 16 z 0 2 y x 2 z 9                3 1 2 2 1

(21)

b)                 24 z 7 y 2 x 18 z y 4 x 9 z 2 y x 4                    5 57 y 5 19 x 0 z 0 7 111 y 7 3 x 7 30 z 0 24 y 2 x z 7           2 3 4 c)                1 z 4 y 2 x 3 z 9 y 7 x 3 2 z 7 y 5 x 2                      5 21 x 5 1 y 0 z 0 3 1 x 3 1 y 9 10 z 0 3 x 3 y 7 z 9           2 6 -21 Método de Jordan

Esse método tem por objetivo “zerar” todos os coeficientes que não pertençam a diagonal principal da matriz dos coeficientes.

Exemplos: a)         1 y x 2 3 y 3 x Passos:

1) Manter o coeficiente de x na primeira equação e “zerar” o da segunda.

           1 y x 2 2) (. 3 y 3 x        7 y 5 x 0 3 y 3 x

2) “Zerar” o coeficiente de y na 1ª equação, mantendo o da segunda.

                5 3 . 7 y 5 x 0 3 y 3 x          7 y 5 x 0 5 6 y 0 x

3) Resolver o sistema diagonal obtido x = 5 6  e y = 5 7 Resposta:

Sistema Diagonal Equivalente: Solução:

         7 5 0 5 6 0 y x             5 7 5 6 b)               3 4 0 5 3 1 2 z y x z y x z y x

(22)

Passos:

1) “Zerar” os coeficientes da incógnita representada na 1ª coluna, com exceção do coeficiente que ocupa a posição a11.

3 z 4 y x 0 z y 5 x 3 1) (. 3) (. 1 z y 2 x                                   2 z 3 y 3 x 0 3 z 4 y x 0 1 z y 2 x

4) Resolver o sistema diagonal encontrado: x = 15 2 y = 15 1  e z = 15 11 Resposta:

Sistema Diagonal Equivalente: Solução:

                   11 15 0 0 15 1 0 0 15 2 0 0 z y x                    15 11 15 1 15 2

Exercício. Resolva os seguintes sistemas lineares:

Sistema a ser Sistema Diagonal Solução resolvido equivalente a)               3 z 2 y 3 x 3 9 z 3 y x 2 2 z y 2 x                 6 z 2 y 0 x 0 10 z 0 y 5 x 0 1 z 0 y 0 x           3 2 1

(23)

b)                 6 z 5 y 4 x 3 1 z y 2 x 3 0 z 3 y 4 x 6                   2 13 z 4 13 y 0 x 0 2 z 0 y 4 x 0 4 z 0 y 0 x 6                    2 2 1 3 2 c)                 15 z 2 y x 4 18 z y 4 x 18 z 7 y 2 x                  57 z 57 y 0 x 0 6 z 0 y 2 x 0 5 z 0 y 0 x           1 3 5

Métodos Iterativos para Solução de Sistemas de Equações Lineares. Método de Gauss Jacobi

Exemplo: Resolva o sistema abaixo (Utilize uma aproximação de até três casas decimais)

a)         3 3y x 1 y x 2 Passos:

1) Isolar a primeira incógnita na 1ª equação, a segunda incógnita na 2ª equação.

          3 x 3 y 2 -y 1 x

2) Escolher valores arbitrários para as incógnitas, por exemplo, x 0 = 0 e y 0 = 0. Nomear essa escolha de “Chute Inicial”.

_      0 0

3) Obter a primeira iteração, substituindo  0

x e  0

y no sistema encontrado no primeiro passo.

 1 x = 0,5 2 1 2 0 1       e y =  1 1 3 0 3    Resultado da 1ª iteração: _       1 5 , 0

4) Obter a segunda iteração, substituindo  1

x e  1

y no sistema encontrado no primeiro passo.

 2 x = 1 2 1 1     e  





3 5 , 0 3 y2    = 1,167  Resultado da 2ª iteração: _       1,167 1

5) Obter a terceira iteração, substituindo  2

x e y 2 no sistema encontrado no primeiro passo.

  ₁_,₀₈₄ 2 167 , 1 1 x3     e  

 

1,333 3 1 3 y3      Resultado da 3ª iteração: _      1,333 084 , 1

(24)

6) Repetir o processo, até o momento que os resultados das iterações se tornem fixos. Nesse caso a solução seria obtida na 10ª iteração.

Solução: _      400 1, 200 , 1 Exercícios:

1) Resolva o sistema abaixo pelos métodos de Gauss Jacobi

       26 5 13 2 3 y x y x Resposta:

Chute Inicial: ... Solução

          5 x 26 y 3 y 2 13 x _      0 0 _      5 1

2) Dados os sistemas lineares indicados abaixo, obtenha uma aproximação da solução com até três casas decimais, utilizando três iterações.

Obs.1) Como existem três equações e três incógnitas, devemos isolar “x” na primeira, “y” na

segunda e “z” na terceira 2) “Chute inicial”:  0  x 0, y 0 0 e  0  z 0 a)                 3 z 5 y 2 x 8 z y 5 x 2 5 z y x 3 Resposta:

Chute Inicial: 1ª Iteração: 2ª Iteração: 3ª Iteração:

                    5 y 2 x 3 z 5 z x 2 8 y 3 z y 5 x           0 0 0             6 , 0 6 , 1 667 , 1             293 , 0 387 , 2 333 , 1            088 , 0 192 , 2 969 , 0 b)                6 z 10 y 3 x 2 8 z y 5 x 7 z y 2 x 10

(25)

Resposta:

                   10 y 3 x 2 6 z 5 z x 8 y 10 z y 2 7 x           0 0 0            6 , 0 6 , 1 7 , 0            94 , 0 86 , 1 96 , 0            966 , 0 980 , 1 978 , 0 c)               0 z 2 y x 6 z y 4 x 3 5 z y x 5 Resposta:

                  2 y x z 4 z x 3 6 y 5 z y 5 x           0 0 0           0 5 , 1 1           1,25 75 , 0 7 , 0           0,725 288 , 1 1 , 1

Método de Gauss Seidel

Exemplo: Resolva o sistema abaixo (Utilize uma aproximação de até três casas decimais)

a)         3 3y x 1 y x 2 Passos:

1) Isolar a primeira incógnita na 1ª equação, a segunda incógnita na 2ª equação.

          3 x 3 y 2 -y 1 x

2) Escolher valores arbitrários para as incógnitas, por exemplo,  0

x = 0 e y 0 = 0. Nomear essa escolha de “Chute Inicial”.

_      0 0

3) Primeira iteração: Substituir  0

y na primeira equação do sistema encontrado no primeiro passo, obtendo  1

x . Substituir  1

(26)

  ₀_,₅ 2 0 1 x1     e  





1,167 3 5 , 0 3 y1      Resultado da 1ª iteração: _       167 , 1 5 , 0

4) Segunda iteração: Substituir y 1 na primeira equação do sistema encontrado no primeiro passo, obtendo  2

x na segunda equação obtendo  2

y .   ₁_,₀₈₄ 2 167 , 1 1 x 2     e  





1,361 3 084 , 1 3 y2      Resultado da 2ª iteração: _      361 , 1 084 , 1

5) Terceira iteração: Substituir  2

y na primeira equação do sistema encontrado no primeiro passo, obtendo  3

x na segunda equação obtendo y 3 .

  ₁_,₁₈₁ 2 361 , 1 1 x3     e  





1,394 3 181 , 1 3 y3      Resultado da 3ª iteração: _      394 , 1 181 , 1

6) Repetir o processo, até o momento que os resultados das iterações se tornem fixos. Nesse caso a solução seria obtida na 6ª iteração.

Solução: _      400 1, 200 , 1 Exercícios:

1) Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss Seidel

       26 y 5 x 13 y 2 x 3 Resposta:

Chute Inicial: ... Solução

          5 x 26 y 3 y 2 13 x _      0 0 _      5 1

2) Dados os sistemas lineares indicados abaixo, obtenha uma aproximação da solução com até três casas decimais, utilizando três iterações.

a)                 3 z 5 y 2 x 8 z y 5 x 2 5 z y x 3

(27)

Resposta:

                    5 y 2 x 3 z 5 z x 2 8 y 3 z y 5 x           0 0 0             027 , 0 267 , 2 667 , 1            005 , 0 973 , 1 92 , 0             001 , 0 002 , 2 007 , 1 b)                6 z 10 y 3 x 2 8 z y 5 x 7 z y 2 x 10 Resposta:

                   10 y 3 x 2 6 z 5 z x 8 y 10 z y 2 7 x           0 0 0            982 , 0 74 , 1 7 , 0            006 , 1 986 , 1 950 , 0            001 , 1 001 , 2 997 , 0 c)               0 z 2 y x 6 z y 4 x 3 5 z y x 5 Resposta:

                  2 y x z 4 z x 3 6 y 5 z y 5 x           0 0 0           0,875 75 , 0 1           0,988 950 , 0 025 , 1           1,000 991 , 0 008 , 1

Obs:1) Os métodos iterativos vistos convergem para a solução exata se:

a) |aii| >



  n i j 1 j ij

|

a

|

i = 1, 2, ..., n. (Critério das linhas)

b) |ajj| >



  n i j 1 i ij

|

a

|

j = 1, 2, ..., n. (Critério das colunas)

2) Fazendo troca de linhas ou de colunas podemos obter um sistema equivalente que satisfaça

(28)

Raízes Reais de Equações Algébricas e Transcendentes

Introdução:

Dada uma função real f, chamaremos de zero ou raiz desta função a todo número a tal que f(a) = 0.

Exemplos:

1) A raiz da função f(x) = x – 5 é 5, pois f(5) =0

2) As raízes da função f(x) = x² -3x + 2, são1 e 2, pois f(1) =0 e f(2) =0

OBS. Graficamente, os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo dos x.

Suponhamos agora a seguinte pergunta:

“Qual a raiz (ou raízes) da função: f(x) = ex_{– sen x – 2 ?”}

Como podemos perceber a resposta não é simples. Para resolver situações como essa: raízes de equações transcendentes; podemos utilizar alguns conceitos já vistos anteriormente. Entre eles, podemos destacar o seguinte teorema:

Teorema. Se f é uma função contínua num intervalo [a,b] e troca de sinal nos extremos

desse intervalo, isto é, f(a) . f(b) < 0, então existe pelo menos uma raiz da função neste intervalo.

Uma vez determinado o intervalo [a, b] que contém uma raiz da função f, usamos os métodos a seguir para nos aproximarmos desta raiz.

Obs. Esses processos também podem ser utilizados para a determinação de equações

algébricas, principalmente àquelas que são completas e possuem grau maior ou igual a quatro.

Método das Bissecções

Seja a função f contínua no intervalo [a,b] onde f(a) . f(b) < 0 e existe uma única raiz de f neste intervalo. O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida, (b-a)< ou até uma certa quantidade de iterações, usando para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio.

Obs. É possível estimar o número de iterações necessárias, por meio da relação:

2 log log -) a -(b log

K  , sendo K o número de iterações e



a precisão escolhida.

Exercícios. Dadas as funções abaixo: (use duas casas decimais)

a) Determine um intervalo, a partir de x = -4, no qual exista uma raiz real.

b) Calcule três iterações utilizando o Método das Bissecções e obtenha uma aproximação desse intervalo, de forma a indicar um resultado mais próximo do real.

Função Resposta

1) f(x) = ex_{+ sen x – 2}_{uma raiz entre 0,38 e 0,50}

2) f(x) = ex _{– cosx}_{uma raiz entre -1,38 e -1,25}

3) f(x) = 2 sen x +cosx  uma raiz entre -3,63 e -3,50 4) f(x) = x logx -1  uma raiz entre 2,5 e 2,63

(29)

Método de Newton

Seja f uma função contínua com derivada contínua em [a,b], f’(x)  0 para x em [a,b] e existe uma única raiz a de f neste intervalo. Este método consiste em, dada uma aproximação inicial x0 [a,b] de a, obter uma seqüência (xn )de aproximações de a como segue-se:

xn = xn-1 -

)

x

(

'

f

)

x

(

f

1 n 1 n   .

Executamos o método até que |xn+1 – xn| < , ou até uma certa quantidade de iterações.

Exercício. Dadas as funções abaixo: (use duas casas decimais)

a) Determine um intervalo, a partir de x=-3, no qual exista uma raiz real

b) Obtenha uma aproximação dessa raiz, calculando três iterações com auxilio do Método de Newton. Função Resposta 1) f(x) = ex_{– cosx -1,32} 2) f(x) = -3senx + cosx -2,82 3) f(x) = 2ex_{– senx - 4 0,87} 4) f(x) = x³ – cosx -2 1,31

Obs.: Podem existir pequenas diferenças nas respostas, dependendo da aproximação inicial considerada.

Método da Secante

Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f’(x) e calcular seu valor numérico a cada iteração. Uma forma de se contornar este problema é substituir a derivada f’(x) pelo quociente das diferenças:

f’(xk)  1 k k 1 k k x x ) x ( f ) x ( f    

onde xk e xk-1 são duas aproximações para a raiz.

Seja a relação dada pelo Método de Newton : xn = xn-1 -

) x ( ' f ) x ( f 1 n 1 n   _{. Indicando n por k+1,} temos: xk+1 = xk - ) x ( ' f ) x ( f k k _.

Efetuando a substituição sugerida, vem:

1 k k 1 k k k k 1 k x x ) x ( f ) x ( f ) x ( f x x        , donde se obtém: xk+1 = ) x ( f ) x ( f ) x ( f * x ) x ( f * x 1 k k 1 k k k 1 k     

(30)

Exercício. Obter uma aproximação, para a primeira raiz positiva, das funções indicadas

abaixo, utilizando três iterações e uma aproximação duas casas decimais.

Função Resposta

1) f(x) = x - cosx -1 1,28 2) f(x) = ex_{+ 2senx – 2 0,32}

3) f(x) = senx - cosx 0,79 4) f(x) = x – 2sen x -1 2,38

Obs.: Podem existir pequenas diferenças nas respostas, dependendo das aproximações iniciais consideradas em cada item.

(31)

Interpolação Polinomial

Interpolar uma função f consiste em, dados (x0,f(x0)), (x1,f(x1)), ..., (xn,f(xn)), construir

uma outra função p que passe através destes pontos, isto é, construir p tal que p(xi) = f(xi),

i = 0, 1, ..., n.

Interpolamos uma função quando:

a) A função é tabelada, isto é, são conhecidos alguns pontos da função e queremos saber o valor da função em um ponto não tabelado.

Exemplo: A seguinte tabela apresenta o resultado do censo de uma determinada cidade:

Ano 1960 1970 1980 1990

nº de habitantes 352724 683908 1235030 1814990

Deseja – se saber o número aproximado de habitantes em 1985.

b) Quando conhecemos a expressão analítica da função, porém é de difícil manuseio (para diferenciação, integração, etc.)

A função interpoladora p pode ser:

 Função polinomial;

 Função trigonométrica;

 Função racional.

Vamos trabalhar com função interpoladora polinomial.

Polinômio Interpolador

Dados n+1 pontos distintos x0, x1, ..., xn e dados f(x0), f(x1), ..., f(xn), vamos determinar

o polinômio de grau n, tal que pn(xi) = f(xi), i = 0, 1, ..., n.

Quando f(x) é um polinômio e interpolamos por pn(x) onde n é igual ou maior que o

grau de f(x) então pn(x) = f(x).

Formas de encontrar pn(x)

Entre as formas existentes, vamos destacar duas delas: I) Polinômio Interpolador de Lagrange;

(32)

I) Polinômio Interpolador de Lagrange Polinômios de Lagrange: L0(x) = ) x x )...( x x )( x x ( ) x x )...( x x )( x x ( n 0 2 0 1 0 n 2 1       L1(x) = ) x x )...( x x )( x x ( ) x x )...( x x )( x x ( n 1 2 1 0 1 n 2 0       ... Ln(x) = ) x x )...( x x )( x x ( ) x x )...( x x )( x x ( 1 n n 1 n 0 n 1 n 1 0        

O polinômio pn(x) = L0(x) f(x0) + L1(x) f(x1) + ... + Ln(x) f(xn) é chamado polinômio

interpolador de Lagrange.

Exercícios. Encontrar o Polinômio Interpolador de Lagrange para as seguintes funções

tabeladas.

(33)

II) Polinômio Interpolador na forma de Newton

Seja f(x) uma função tabelada em n + 1 pontos distintos: x₀, x₁, x₂ ,..., x_n. Definimos o operador: Diferenças Divididas, por:

          ) x ( f ] x [ f . ... ... ) x ( f ] x [ f ) x ( f ] x [ f n n 1 1 o 0

diferenças divididas de ordem zero;

                       1 n n 1 n n n 1 n 1 2 1 2 2 1 0 1 0 1 1 0 x x ] x [ f ] x [ f ] x , x [ f ... ... ... ... x x ] x [ f ] x [ f ] x , x [ f x x ] x [ f ] x [ f ] x , x [ f

diferenças divididas de ordem um;

                    2 n n 1 n 2 n n 1 n n 1 n 2 n 0 2 1 0 2 1 2 1 0 x x ] x , x [ f ] x , x [ f ] x , x , x [ f ... ... ... ... ... x x ] x , x [ f ] x , x [ f ] x , x , x [ f

diferenças divididas de ordem dois;

... f[x0,x1,x2,...,xn] = 0 n 1 n 0 n 1 x x ] x ,..., x [ f ] x ,..., x [ f   _

diferença dividida de ordem n.

Esquema prático para uma tabela de cinco pontos:

x f[.] f[.,.] f[.,.,.] f[.,.,.,.] f[.,.,.,.,.] x0 f[x0] x1 f[x1] f[x0,x1] x2 f[x2] f[x1,x2] f[x0,x1,x2] x3 f[x3] f[x2,x3] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2,x3] x4 f[x4] f[x3,x4] f[x2,x3,x4] f[x1,x2,x3,x4] f[x0,x1,x2,x3,x4] O polinômio pn(x) = f(x0) + (x-x0) f[x0,x1] + (x-x0) (x-x1) f[x0,x1,x2] + (x-x0) (x-x1)

(x-x2) f[x0,x1,x2,x3] + ... + (x-x0) (x-x1) ... (x-xn-1) f[x0,x1,...,xn] é chamado polinômio interpolador

(34)

Exercícios:

1) Encontrar o Polinômio Interpolador de Newton para as funções do exercício da página 31. 2) Encontrar o polinômio interpolador na forma de Newton para a seguinte função tabelada:

x -2 0 2 3

f(x) 7 -3 3 12

3) Encontrar o polinômio interpolador na forma de Newton para a seguinte função tabelada:

x -2 -1 0 1 2

f(x) -2 29 30 31 62

4) Encontrar o Polinômio Interpolador na forma de Newton para a seguinte função tabelada:

x -4 -3 -1 1 3 f(x) 26 -23 -7 1 145 Soluções 1) Verificar na página 31. 2) p(x) = 2x² - x – 3 3) p(x) = 5x³ - 4x + 30 4) p(x) = x4 + 3x³ - 2x² + x - 2

(35)

Ajuste de curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados

Vimos que, uma forma de trabalhar, com uma função, definida por uma tabela de valores é a Interpolação Polinomial. Contudo a interpolação não é aconselhável quando:

a) É preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de tabelamento, ou seja, quando se quer extrapolar;

b) Os valores tabelados são resultados de algum experimento físico ou de alguma pesquisa, por que, nestes casos, estes valores poderão conter erros inerentes que, em geral, não são previsíveis.

Surge então a necessidade de se ajustar a estas funções tabeladas uma função que seja uma “boa aproximação” para os valores tabelados, e que nos permita “extrapolar” com certa margem de segurança.

Nesta linha de raciocínio podemos ter dois casos, a saber: caso discreto e caso

contínuo. Trabalharemos com o caso discreto.

Caso discreto

Este caso consiste em, dados uma tabela de pontos (x1,f(x1)), ..., (xm,f(xm)), com x1, ...,

xm pertencentes a um intervalo [a,b], “escolhidas” n funções contínuas em [a,b], g1(x), ...,

gn(x), obter n constantes a1, ..., an tais que g(x) = a1 g1(x) + ... + an gn(x) se aproxime “ao

máximo” de f(x).

Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), ..., (xm,f(xm)) e as n funções g1(x), ..., gn(x). O Método

dos Mínimos Quadrados consiste em escolher os aj, j = 1, ..., n, de tal forma que a soma dos

quadrados dos desvios dk = f(xk) – g(xk) seja mínima.

Portanto, dentro do critério dos Mínimos Quadrados, os coeficientes ak que fazem com

que g(x) se aproxime ao máximo de f(x), são os que minimizam a função:

F(a1, ..., an) =



  m 1 k 2 k k) g(x )] x ( f [ .

Utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial neste problema, temos que a solução do mesmo é dada pela solução do seguinte sistema linear:

   

                                                        



         n 1 k k n k n n 1 k k n k n 1 n 1 k k n k 1 n 1 k k 2 k n n 1 k k 2 k n 1 n 1 k k 2 k 1 n 1 k k 1 k n n 1 k k 1 k n 1 n 1 k k 1 k 1 x g x f a x g x g ... a x g x g ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... x g x f a x g x g ... a x g x g x g x f a x g x g ... a x g x g

(36)

 Ajuste Linear: g(x) = a x + b

 

 

 

                            



     n 1 k k n 1 k k k n 1 k k n 1 k k n 1 k 2 k x f b 1 a x x f x b x a x  Ajuste Quadrático: g(x) = a x2_{+ b x + c}

 

   

 

 

 

                                                                  



           n 1 k k n 1 k k n 1 k 2 k n 1 k k k n 1 k k n 1 k 2 k n 1 k 3 k n 1 k k 2 k n 1 k 2 k n 1 k 3 k n 1 k 4 k x f c 1 b x a x x f x c x b x a x x f x c x b x a x

Exercícios. (Utilize duas casas decimais)

1. Considere os dados abaixo e utilizando o ajuste linear determine a função g(x) adequada a essa tabela.

x 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0

2. Considere os dados abaixo e utilizando o ajuste quadrático determine a função g(x) adequada a essa tabela.

x -2,7 -2,4 -1,6 -1,4 -0,7 1,3 1,5 2,0 2,1 3,0 f(x) 4,5 2,5 3,5 1,0 -0,6 -0,8 1,4 4,0 0,9 2,3

Obs. Para escolher um tipo de ajuste, podemos proceder da seguinte maneira: representar os

pontos dados no plano cartesiano, obtendo um gráfico que chamamos de Diagrama de Dispersão ou Gráfico de Dispersão. Observando esse diagrama podemos visualizar a curva que melhor se ajusta aos dados.

3. A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove homens entre as idades de 25 a 29 anos, extraída ao acaso entre funcionários de uma grande indústria.

Altura 183 173 168 188 158 163 193 163 178

Peso 79 69 70 81 61 63 79 71 73

a) Faça um gráfico de dispersão utilizando o Método dos Mínimos Quadrados e indique qual ajuste melhor representa os dados fornecidos: Linear ou Quadrático.

b) Determine a sentença analítica da função observada no item a, de tal modo que ela descreva o comportamento do peso em função da altura, isto é, peso = f(altura);

c) Estime o peso de um funcionário com 175 cm de altura e estime a altura de um funcionário com 80 kg.

(37)

4. Ajuste os dados abaixo pelo Método dos Mínimos Quadrados.

Obs. Inicialmente faça o gráfico de dispersão para escolher o procedimento mais adequado.

x -1,0 -0,8 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,8 1,0 f(x) 2,05 1,15 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,51 1,2 2,05 Respostas: 1. g(x) = 0,22x +0,18 2. g(x) = 0,42x² - 0,28x + 0,23 3. a) Ajuste linear b) p(x) = 0,52x – 19,5 c) 71,500 kg e 191,35 191 cm 4. g(x) = 1,86x² + 0,07x + 0,08

(38)

Integração Numérica F(a), -F(b) x d ) x ( f b a 



sendo F’(x) = f(x)

Usamos Integração Numérica quando: a) Não conhecemos F(x);

b) Conhecemos F(x), mas é de difícil manuseio; c) F(x) é uma função tabelada.

A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxima razoavelmente no intervalo

 

a,b .

Para tanto, podemos usar as fórmulas de quadratura: fórmulas que aproximam a integral por meio de uma combinação linear de pontos da função.

As fórmulas que estaremos utilizando terão a expressão:



b a dx ) x ( f =



 n 0 k k k f(x ) A .

Fórmulas de Quadratura de Newton – Côtes do tipo fechada.



b a dx ) x ( f =



 n 0 k k k f(x ) A , onde:  ) n k 1 k k 1 k k 0 k n 1 k 1 k 0 b a k k k x x )...( x x )( x x )...( x x ( ) x x )...( x x )( x x )...( x x ( (x) L dx; ) x ( L A              



 x0 = a;  xn = b  xi = x i-1 + h  n a b h 

(39)

Regra do trapézio: Para n = 1, temos:



b a dx ) x ( f =



1 0 x x dx ) x ( f = (f(x ) f(x )) 2 h 1 0 

Se o intervalo de integração é “grande”, é conveniente usar a regra dos trapézios repetida:



b a dx ) x ( f =



n 0 x x dx ) x ( f =



f

 

x₀ 2f

 

x₁ 2f

 

x₂ ... 2f



x_n ₁

  

f x_n



2 h      _ Exercício:

Calcule pela regra do Trapézio: (Resolva o exercício trabalhando com termos fracionários e dê a resposta com 2 casas decimais)

a)



3 1 2 dx, senx x para n=3 b) dx, x 1 1 5 2



_ para n=5 c) dx, x 4 1 x 3 0 2



_ para n=4 d)



5 2 dx, ln para n = 4 e) xe dx, 3 2 2 x



para n = 6 f)



7 5 5 dx, x cos para n = 7 Respostas: a) 5,17 b) 0,70 c) 0,40 d) 3,65 e) 8,98 f) 1,02

(40)

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

CLÁUDIO, D. M. & MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional: Teoria e

Prática. São Paulo: Atlas, 2000.

IEZZI, G; HAZZAN, S. Fundamentos da Matemática Elementar. Vol. 4, 2012.

RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e

Computacionais. São Paulo, Makron Books, 2012.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

HUMES, A. P. de Castro. et al. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw Hill

do Brasil, 1984.

(41)

(42)

Implementação da Retro – Solução

main() { int i,j,n,k; float soma,x[10],b[10],A[10][10]; clrscr();

printf("Entre com a ordem do sistema: "); scanf("%d",&n);

printf("Entre com a matriz dos coeficientes teclando <<ENTER>> apos a entrada de cada dado"); for (i = 1; i <= n; i++) { k = 1; for (j = 1; j <= n; j++) { gotoxy(k,i+5);scanf("%f",&A[i][j]); k = k + 4; } }

printf("Entre com o vetor dos termos independentes\n"); for (i = 1; i <= n; i++) scanf("%f",&b[i]); for (i = n; i >= 1; i = i - 1) { soma = 0; for (j = i+1; j <= n; j++) soma = soma + A[i][j]*x[j]; x[i] = (b[i] - soma)/A[i][i]; }

printf("A solução do sistema triangular proposto é‚\n"); for (i = 1; i <= n; i++) printf("%6.3f\n",x[i]); getch(); }

Teste de mesa

i j n k soma x  b  A 

(43)

Implementação do método de Eliminação de Gauss Simples.

main() { int i,j,n,k; float m,soma,x[10],b[10],A[10][10]; clrscr();

printf("Entre com a ordem do sistema:"); scanf("%d",&n);

printf("Entre com a matriz dos coeficientes teclando <<ENTER>> apos a entrada de cada dado");

for (i = 1; i <= n; i++) { k = 1; for (j = 1; j <= n; j++) { gotoxy(k,i+5);scanf("%f",&A[i][j]); k = k + 4; } }

printf("Entre com o vetor dos termos independentes"); for (i = 1; i <= n; i++) scanf("%f",&b[i]); for (k = 1; k <= n-1; k++) { for (i = k+1; i <= n; i++) { m = -A[i][k]/A[k][k]; A[i][k] = 0; for (j = k+1; j <= n; j++) A[i][j] = A[i][j] + m*A[k][j]; b[i] = b[i] + m * b[k]; } } for (i = n; i >= 1; i = i - 1) { soma = 0; for (j = i+1; j <= n; j++) soma = soma + A[i][j] * x[j]; x[i] = (b[i] - soma)/A[i][i]; }

printf("A solução do sistema proposto "); for (i = 1; i <= n; i++) printf("%6.3f\n",x[i]); getch(); }

Teste de mesa

i j n k m soma x  b  A 

(44)

Implementação do método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial.

# include<math.h> main() { int i,j,n,k,l; float m,soma,maior,aux, x[10],b[10],A[10][10]; clrscr();

printf("Entre com a matriz dos coeficientes teclando <<ENTER>> apos a entrada de cada dado");

printf("Entre com o vetor dos termos independentes"); for (i = 1; i <= n; i++) scanf("%f",&b[i]); for (k = 1; k <= n-1; k++) { maior = A[k][k]; for (i = k+1; i <= n; i++) if (abs(A[i][k]) > abs(maior)) { maior = A[i][k]; l = i; } if (maior != A[k][k]) { for (j = k; j <= n; j++) { aux = A[k][j]; A[k][j] = A[l][j]; A[l][j] = aux; } aux = b[k]; b[k] = b[l]; b[l] = aux; } for (i = k+1; i <= n; i++) { m = -A[i][k]/A[k][k]; A[i][k] = 0; for (j = k+1; j <= n; j++) A[i][j] = A[i][j] + m*A[k][j]; b[i] = b[i] + m * b[k]; } } for (i = n; i >= 1; i = i - 1) { soma = 0; for (j = i+1; j <= n; j++) soma = soma + A[i][j] * x[j]; x[i] = (b[i] - soma)/A[i][i]; }

printf("A solução do sistema proposto "); for (i = 1; i <= n; i++) printf("%6.3f\n",x[i]); getch(); }

Teste de mesa

(45)

x 

b 

(46)

Implementação do Método de Jordan

main() { int i,j,n,k; float m,soma,x[10],b[10],A[10][10]; clrscr();

printf("Entre com a matriz dos

coeficientes teclando <<ENTER>> apos a entrada de cada dado");

printf("Entre com o vetor dos termos independentes"); for (i = 1; i <= n; i++) scanf("%f",&b[i]); for (k = 1; k <= n; k++) { for (i = 1; i <= n; i++) if (i != k) { m = -A[i][k]/A[k][k]; A[i][k] = 0; for (j = k+1; j <= n; j++) A[i][j] = A[i][j] + m*A[k][j]; b[i] = b[i] + m * b[k];

} }

for (i = 1; i <= n; i++) x[i] = b[i]/A[i][i];

printf("A solução do sistema proposto é"); for (i = 1; i <= n; i++) printf("%6.3f\n",x[i]); getch(); }

Teste de mesa

i j n k m soma x  b  A 

(47)

Implementação do Método de Gauss Jacobi

main() { int i,j,n,k,ite; float soma,x[10],b[10],y[10],A[10][10]; clrscr();

printf("Entre com a ordem do sistema:"); scanf("%d",&n);

printf("Entre com a matriz dos

coeficientes teclando <<ENTER>> apos a entrada de cada dado");

printf("Entre com o vetor dos termos independentes");

for (i = 1; i <= n; i++) scanf("%f",&b[i]);

printf("Entre com o chute inicial");

for (i = 1; i <= n; i++) scanf("%f",&x[i]);

printf("Entre com o numero iterações:"); scanf("%d",&ite); for (k = 1; k <= ite; k++) { for (i = 1; i <= n; i++) { soma = 0; for (j = 1; j <= n; j++) if (i != j)

soma = soma + A[i][j]*x[j]; y[i] = (b[i] - soma)/A[i][i]; } printf("O valor da %d",k); printf(" iteração‚ :"); for (i = 1; i <= n; i++) printf("%6.3f\n",y[i]); for (i = 1; i <= n; i++) x[i] = y[i]; getch(); } }

Teste de mesa

i j n ite k soma x  y  b  A 