Soluções para problemas de otimização no ensino médio através da teoria de grafos / Solutions for optimization problems in high school through graph theory

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 8, p. 61999-62009 aug. 2020. ISSN 2525-8761

Soluções para problemas de otimização no ensino médio através da teoria de

grafos

Solutions for optimization problems in high school through graph theory

DOI:10.34117/bjdv6n8-575

Recebimento dos originais:08/07/2020 Aceitação para publicação:26/08/2020

Vanessa Henriques Borges

Mestranda do Colégio Pedro II E-mail: vanessahenriques.b@gmail.com

Ivail Muniz Junior

Doutor em Engenharia de Produção pela COPPE/UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

Professor do Colégio Pedro II E-mail ivailmuniz@gmail.com

RESUMO

O presente trabalho apresenta um recorte de uma, de nove atividades, abordadas no Programa de Residência à Docência do Colégio Pedro II. Tal atividade tem por objetivo trabalhar análise combinatória no contexto de resolução de problemas com a utilização intuitiva dos grafos. A receptividade dos alunos foi positiva. Eles tiveram oportunidade de perceber a utilidade dessa área de conhecimento no meio em que vivem, como ela está presente no meio tecnológico e como auxilia na tomada de decisões.

Palavras-chave: Grafos, Otimização Discreta, Procedimentos. ABSTRACT

The present work presents an excerpt from one of nine activities, covered in the Pedro II School Residence Program. This activity aims to work on combinatorial analysis in the context of problem solving with the intuitive use of graphs. The students' receptivity was positive. They had the opportunity to realize the usefulness of this area of knowledge in the environment in which they live, how it is present in the technological environment and how it helps in decision making.

Keywords: Graphs, Discrete optimization, Procedures.

1 INTRODUÇÃO

Vivemos numa sociedade cada vez mais informatizada cujo uso e entendimento da tecnologia se fazem necessários. Utilizamos diversas de ferramentas computacionais em nosso cotidiano como Google Maps, Waze dentre outros.

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Numa sociedade crescente é preciso a busca por soluções ótimas para problemas de rota, reserva de recursos, etc. A ferramenta usada nessas situações é a Teoria de Grafos aliada a recursos computacionais, como os algoritmos.

É necessário que os alunos tenham noção do funcionamento e da existência desta área de conhecimento matemático. Tal relevância é constatada na abordagem dessa temática em países como Estados Unidos, Portugal, Argentina e França. Como é possível trabalhar tal noção no ensino básico?

O caráter combinatorial desta atividade foge do padrão da contagem, trabalhado no Ensino Médio. Essa trata de uma visão de otimização, que é tão presente nas tecnologias quanto em nossos cotidianos.

A atividade faz parte do trabalho de especialização do Colégio Pedro II – Programa de Residência à Docência. No total há nove atividades, mas nesse trabalho destacamos a atividade do Caixeiro Viajante para alunos do primeiro ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Antônio Prado Junior no ano de 2017. Nela apresentamos uma possível abordagem da Teoria de Grafos de maneira intuitiva para o Ensino Médio para resolução de problemas de otimização e tomadas de decisão. E um momento em que os alunos podem ver uma real aplicação do que aprendem na escola.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Assim como nossas vidas sofrem mudanças constantemente, não poderia ser diferente na área da educação brasileira. (BÚRIGO, 2012). Para que tenha significado, importância e relevância o aprendizado, precisamos renovar em sala de aula. Essa atividade é uma busca pela melhoria deste aprendizado.

Ao observar os PCN’S (BRASIL, 1997) de matemática, eles abordam a resolução de problemas, na exploração da matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas. Já na BNCC (BRASIL, 2017) encontra-se a menção que para o 5º ano do Ensino Fundamental é aconselhável trabalhar com problemas de contagem. Utilizamos esse princípio para contextualizar a atividade com a realidade escolar.

Na MATRIZ DE REFERÊNCIA do ENEM (BRASIL, 2017) destaca que dentre as competências matemáticas, a serem desenvolvidas, devemos ser capazes de relacionar, selecionar, organizar, interpretações de dados e informações apresentados de diversos formatos para que tenhamos o poder da tomada de decisão e para solucionar problemas. Isto é visto na etapa de análise da tabela das distâncias entre os locais mencionados na atividade.

O tema tem sido fonte de pesquisa de diversos trabalhos da literatura. Destacamos Muniz e Marinho (2005) com uma proposta de 4 aulas para analisar percursos e menor caminho com alunos

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do Ensino Médio. Souza (2016) ressalta que, com a reforma da Base Nacional Comum Curricular e propostas de mudanças no ensino da educação básica, há novas possibilidades de trabalhar novos temas ou áreas de conhecimento, que auxiliam na contextualização, modelagem, resolução de problemas, dentre outros aspectos. Nosso trabalho também envolve um problema para encontrar o menor caminho.

Podemos também observar que vários trabalhos já foram propostos sobre essa área de conhecimento, tanto atividades voltadas para sala de aula, como análise de trabalhos já realizados em sala e seus resultados. Essas questões podem ser lidas em Kenneth e Edwards (2008); Ferreira e Lozanp (2009); Silva e Rodrigues (2014); Sá e Silva (2013) e Jurkiewicz e Muniz (2008). Tais trabalhos ressaltam a importância deste relato de experiência.

Como é possível observar também em Neves, Bolinhas e Faria (2016), países como Portugal já adotam a Teoria de Grafos na educação básica e para a fundamentação teórica há para leitura Lovász, Pelikán e Vesztergombi (2003). Além desses, destacamos Muniz e Jurkiewicz (2007) para termos conhecimento suficiente da teoria e aplicações que podem ser usadas nas atividades. Guedes (2014) discute propostas de inserção da matemática discreta na Educação Básica, a partir de 2009, com a inserção do ensino de Grafos para os dois últimos anos do Ensino Médio no currículo Básico do Espírito Santo. Guedes (2014) apresenta um trabalho com o objetivo de que o aluno tenha capacidade de elaborar métodos para resolver problemas e observar que Matemática Discreta tem aplicações em outras áreas, não somente em contagem.

Gualandi (2012) investiga abordagens metodológicas que pudessem auxiliar na abordagem de grafos no terceiro ano do Ensino Médio para integrá-lo aos conteúdos de matrizes e análise combinatória. Essa pesquisa foi realizada numa escola em Cachoeiro de Itapemirim. Nosso trabalho traz uma abordagem em que o aluno trabalha de maneira lúdica, assim como Gualandi (2012), análise combinatória e resolução de problemas.

Búrigo (2012), propõe a inserção de grafos através de Resolução de Problemas, o qual se encontra em documentos oficiais do Ministério da Educação. Silva (2009) defende, que ao resolver problemas, o indivíduo tenha o hábito de montar esquemas ou modelos para ter melhor entendimento e facilitar a solução. Assim, a resolução de problemas deveria ser vista como uma metodologia em que seriam desenvolvidos diversos conteúdos e não um conteúdo por si só. Para contextualização de problemas, de acordo com a realidade do aluno, é recomendado o uso de modelos de grafos e possui apresentação de tarefas como sugestão para abordagem de conteúdos na disciplina Matemática Aplicada às Ciências Sociais.

Para Admissão de alunos do Ensino Médio do Colégio Pedro II (COLÉGIO PEDRO II, 2009) observa-se na prova de acesso do Colégio Pedro II uma questão de aplicação de grafos para

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tomada de decisão do melhor caminho. Tal questão foi trabalhada em uma das atividades desenvolvidas no Programa de Residência à Docência do Colégio Pedro II.

Nos PCN (BRASIL, 1997), BNCC (BRASIL, 2017) e Matriz de Referência (BRASIL, 2017) existem as orientações necessárias para basearmos esse trabalho de acordo com o que é esperado do ensino da matemática.

A importância de trabalhar a Teoria de Grafos no Ensino Médio é visto em Muniz (2007). É uma área ampla e pode ser encarada como ferramenta no ensino de Análise Combinatória e Matrizes. Podemos abordá-la em questões que envolvam o uso de algoritmos. Estes podem ser usados para encontrar o resultado de um problema que tem solução apenas com o uso de algoritmo e computação. Ou seja, grafos podem ser usados na busca de respostas para problemas que são resolvidos através de algoritmos ou computação. Assim, por exemplo, um aluno pode buscar soluções para problemas de transporte em que se gaste o mínimo de combustível. Esse tipo de solução possui caráter interdisciplinar, uma vez que trabalha com a diminuição da poluição ambiental. Essa dissertação também foi base para algumas atividades realizadas ao longo desse trabalho.

3 ASPECTOS METODOLÓGICOS

Esta comunicação foi baseada no destaque de uma dentre nove atividades desenvolvidas ou analisadas sobre a temática Problemas de Otimização no Ensino Médio. A ideia de tais atividades é fazer com que os alunos trabalhem com a Teoria de Grafos de maneira lúdica, sem o uso de fórmulas ou conhecimento de definições e conceitos. E que esse conhecimento sirva de ferramenta na resolução de problemas matemáticos.

As atividades foram trabalhadas no Colégio Estadual Antônio Prado Junior no Rio de Janeiro. No total a atividade foi aplicada em quatro turmas de primeiro ano do ensino médio. Todas as atividades foram analisadas através da percepção da professora, das falas de seus alunos no desenvolvimento das atividades, das dúvidas levantadas e da leitura das respostas apresentadas pelos alunos. As turmas envolvidas tinham em torno de 35 alunos. Essa atividade foi desenvolvida em uma hora e quarenta minutos, ou dois tempos de aula, ao longo do segundo semestre do ano letivo de 2017.

Com a aplicação de tais atividades, pudemos perceber dificuldades esperadas e descobrir outras deficiências que antes não haviam sido destacadas para maior atenção. A atividade envolve o algoritmo do caixeiro viajante.

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4 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS

A atividade em destaque foi aplicada no Ensino Médio, mas pode ser adaptada ou até mesmo utilizada diretamente no Ensino Fundamental. O problema fala sobre uma aluna Lucia do Colégio Estadual Antônio Prado Junior que deseja sair da escola, na Tijuca, passar por determinados pontos ao redor da escola e ir até sua casa. Isso deve ser realizado andando o mínimo possível da escola até sua casa passando por todos os locais destacados. Os locais destacados são reais e revelam a importância da relação entre a realidade e o contexto do problema resolvido pelo estudante.

A representação dos pontos específicos, bem como das ruas interligando esses locais, foi realizada através do uso de um grafo. Na Figura I observamos os locais adotados no trabalho em questão: Casa da Lucia, Estação São Cristóvão, Praça da Bandeira, Hospital, Mercado Extra, Praça Afonso Pena e Colégio Estadual Antônio Prado Junior. Utilizamos o software Inkscape para desenhar o grafo.

Figura I – Representação de rotas através da Teoria de Grafos

O trabalho consiste em passar por todos os vértices (locais determinados) apenas uma vez de modo a andar o mínimo possível, partindo da escola e voltando para ela. Muitos alunos, nessa etapa, pensaram em olhar a imagem e responderem qual era o menor caminho.

Porém, propositalmente, colocamos o Quadro I para que eles pudessem analisar as distâncias e observarem que a distância entre os estabelecimentos através da imagem estava distorcida. Os valores do Quadro I foram coletados da fonte Google Maps. Neste, ao colocarmos o endereço de algum lugar ele calcula e nos mostra melhor rota, ou a melhor que não haja engarrafamentos. Após a análise visual da Figura I e Quadro I, faremos uma observação mais cautelosa acerca as respostas.

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 8, p. 61999-62009 aug. 2020. ISSN 2525-8761 Quadro 1 – Distância real entre os locais escolhidos no problema proposto.

Prado Junior São Cristóvão Extra Casa da Lucia Praça A. Pena Hospital Praça da Bandeira Prado Junior 0 0,8 0,9 1,1 0,85 0,65 0,6 São Cristóvão 0,8 0 1,4 0,9 1,5 1,2 1,3 Extra 0,9 1,4 0 0,55 0,45 0,35 0,55 Casa da Lucia 1,1 0,9 0,55 0 0,8 0,4 1,6 Praça Afonso Pena 0,85 1,5 0,45 0,8 0 0,6 1,3 Hospital 0,65 1,2 0,35 0,4 0,6 0 1,6 Praça da Bandeira 0,6 1,3 0,55 1,6 1,3 1,6 0

A atividade inicia com a problematização já citada anteriormente. Posterior a isso, perguntamos qual era a distância entre a casa da Lucia e da Praça da Bandeira. Nessa etapa os alunos não encontraram dificuldades. A segunda pergunta questionava qual era o local mais próximo ao Colégio. Nesta questão muitos alunos foram pela Figura I e responderam Praça da Bandeira. Interessante ressaltarmos esse aspecto para que vejamos como a imagem influencia no julgamento de um dado, o que pode ser também levado para a área de geometria. O próximo questionamento era de quantas maneiras Lucia podia sair de sua casa, passar por todos locais e chegar até a escola. Nesse aspecto também não demonstraram tanta dificuldade. Tivemos que explicar para alguns o que essa pergunta significa, mas no geral eles entenderam e utilizaram o princípio multiplicativo de maneira lúdica, pois se estavam no primeiro ano do Ensino Médio e Análise Combinatória é trabalhada no terceiro ano.

A partir desse momento, colocamos o passo a passo do algoritmo de forma empírica da seguinte maneira:

I – Saia da escola e escolha o local com menor distância desta e anote.

II - Vá para este local e escolha o de menor distância a ele, exceto o que você já passou e anote o valor dessa distância.

III – Repita o passo II para encontrar o próximo local mais próximo a ele e assim sucessivamente, sem repetir por onde já passou, até ter passado por todos os lugares e por último chegar ao ponto de partida que é o Prado Junior.

V – Some os valores encontrados e escreva aqui.

A estratégia de pedir para que os alunos anotassem as distâncias ao lado dos passos não deu certo. Eles anotavam na própria imagem fornecida. Nessa etapa não houve dificuldade em entender o procedimento, mas sim de seguir na ordem os passos e de realizar as operações de adição com as distâncias envolvidas.

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Na Figura II temos como ilustração um exemplo de representação do grafo dada por alguns alunos do menor caminho encontrado com o uso do algoritmo.

Figura II – Exemplo de resposta da Atividade do Caixeiro Viajante

Figura III – Exemplo de Resposta da Atividade do Caixeiro Viajante.

Já na Figura III notamos as anotações dos valores na própria imagem e não no espaço deixado para tal com os valores. Há também a presença das operações decimais realizadas entre as distâncias e a dificuldade em executar essa tarefa através da rasura no canto superior da imagem.

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Ao seguir os passos descritos, muitos alunos nos perguntavam se deveriam olhar na tabela

deitado ou em pé. Isso demonstra a dificuldade de leitura de dados. A maioria não percebeu que

seria indiferente olhar vertical ou horizontalmente. Tivemos que falar que era o mesmo dado, no caso dessa atividade, e que eles podiam usar o que fosse de preferência de cada um.

Outro fato interessante foi a dificuldade quando encontravam o valor nulo na tabela e alguns quiseram colocar essa distância como sendo a menor de todas no início do exercício. Orientamos estes para que pensassem o que esse valor nulo significava. Novamente intervimos ao dizer que nulo significava que não havia distância, ou seja, era a distância entre um local e este mesmo. Por isso, esse valor deveria ser descartado. Vale ressaltar que essa matriz é simétrica e que sua diagonal principal é nula.

Uma dificuldade relevante encontrada foi ao longo do algoritmo, após encontrar a menor distância entre dois locais, quererem repetir um local que já havia sido visitado por ser a menor distância e descartarem a regra de não repetir locais. Ou seja, tivemos de intervir novamente explicando que caso a menor distância do ponto em que Lucia se encontrava fosse um local já visitado, era preciso buscar o próximo menor valor e assim sucessivamente enquanto não encontrassem um local que não tivesse sido visitado antes.

Este algoritmo trata da solução de problema de otimização, em particular de minimização. Posterior a esses passos, pedimos que os alunos fizessem os mesmos passos, porém dessa vez buscando a maior distância entre os locais.

Nesse momento muitos alunos questionaram por que encontrar a maior distância, pois isso não fazia sentido andar o máximo possível. Explicamos que era para que percebessem que essa atividade pode ser usada para encontrarmos tanto o máximo quanto o mínimo de algum problema relevante.

Uma proposta para trabalhos futuros é trabalhar essa atividade com o auxílio de recursos computacionais para que o aluno possa ver de maneira iterativa o desenvolvimento do algoritmo. Na Figura IV apresentamos a solução para o problema proposto nesta atividade. Nessa, destacamos com a cor vermelha a solução, bem como utilizamos a ideia de grafo direcionado, em que as arestas possuem direção para que fique nítido o caminho a ser percorrido para a solução do menor caminho. Essa pode ser uma futura área de estudo ou até mesmo abrir portas para novas ideias de interação entre grafos e tecnologias, que já encontramos em alguns aplicativos até mesmo de celular.

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 8, p. 61999-62009 aug. 2020. ISSN 2525-8761 Figura IV – Solução da atividade do Caixeiro Viajante

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nesta atividade notamos que os alunos encontraram facilidade para perceber a menor distância entre dois locais, leitura da tabela, entendimento do que era pedido e dos passos do algoritmo.

Por outro lado, apresentaram dificuldades em detalhar de maneira clara por onde havia passado ao percorrer os caminhos descritos, apenas colocavam os valores sem a devida referência de partida e chegada. Na atividade faltou espaço ou esquematização correta da atividade para que ficasse claro ao aluno onde completar e como completar os dados.

Atingimos o objetivo esperado com o trabalho ao trabalhar a análise combinatória de maneira discreta, sem a utilização de fórmulas, estimulamos o uso da Teoria de Grafos sem abordar esta. Os alunos se mostraram interessados e engajados em realizar tal atividade e apesar das dificuldades apresentadas, o desempenho e recepção foram positivos. Trabalhamos com uma realidade próxima deles, em que os locais são conhecidos por todos e tratamos de uma situação na qual estão inseridos: uso de mapas nas rotas em taxis, ubers e o uso de aplicativos como waze para encontrar o menor caminho em rotas de deslocamento. Com tal atividade, também, tiveram a oportunidade de entender melhor o funcionamento computacional na busca pelo menor caminho.

Uma sugestão para quem for aplicar esta atividade é antes de aplicar os passos do algoritmo do Caixeiro Viajante, perguntar ao aluno qual seria o menor caminho e como ele fez para encontrá-lo, de maneira intuitiva. Isso pode ser um motivador para a aprendizagem do algoritmo, uma vez que para que ele possa esgotar todas as possibilidades de caminhos levará um tempo maior. Isto pode levá-lo a perceber que não se trata de um problema de solução simples. A atividade é ideal para ensino médio, mas também pode ser adaptada para ensino fundamental II com dados adaptados dos locais ao redor da escola e com distâncias com números inteiros para facilitar o cálculo, caso o objetivo da atividade continue sendo encontrar o menor caminho.

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Para trabalhos futuros pensamos em construir a atividade junto aos alunos, para que esses pesquisem mais sobre o entorno da comunidade escolar, tenham maior percepção de como é para construir problemas, pensar do outro lado da situação, tenham maior noção de modelagem matemática e desenvolvam conhecimento sócio-cultural-matemático.

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao orientador Ivail Muniz por toda compreensão, orientação, dedicação, esforço e dicas no desenvolvimento desse trabalho, bem como ao Colégio Pedro II, local no qual estudei no Ensino Médio e tive a oportunidade, honra e alegria de voltar como aluna da Especialização e atualmente do Mestrado ProfMat, ao Colégio Estadual Antônio Prado Junior, em que leciono e pude trabalhar todas essas atividades com as turmas de primeiro ano de 2017, a todas as pessoas envolvidas por ter a oportunidade de aprender e poder transmitir o que foi estudado, analisado e divulgar para que outras pessoas possam também ter acesso a esse conhecimento.

REFERÊNCIAS

BÚRIGO, Elisabete Zardo, A matemática na Escola - NOVOS CONTEÚDOS, NOVAS ABORDAGENS - EAD- Série Educação a Distância – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2012. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/livros/livro1-matematica_escola.pdf>. Acesso em: 22 set. 2017.

BRASIL. Parâmetros Curriculares. Ensino Médio. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parte III. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. 1997. Disponível em:<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf>. Acesso em: 1 jun. 2017.

BRASILa. Base Nacional Comum Curricular. Ministério da Educação. 2017. Disponível em:<http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf>. Acesso em: 3 jan. 2018.

BRASILb. Matriz de Referência do Enem. Matemática e suas Tecnologias – Ensino Médio. 2017. Disponível

em:<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/encceja/matriz_competencia/Mat_Mat_Tec_E M.pdf>. Acesso em: 2 dez. 2017.

COLÉGIO PEDRO II. Admissão de alunos do Ensino Médio do Colégio Pedro II. 2009. Disponível

em:<https://www.cp2.g12.br/concurso/alunos/ensino_medio/200809/regular/provas/Prova_Matem atica_Diurno.pdf>. Acesso em: 2 jul. 2017.

FERREIRA, Gessé Pereira. Viabilidade do Aprendizado de modelagem Discreta como

atividade extracurricular. 2009. 94 f. Dissertação (Mestrado) - Universidade do Grande Rio –

Prof. José de Souza Herdy, Mestrado em Ensino das Ciências na Educação Básica, Duque de Caxias,

(11)

http://www.unigranrio.br/unidades_adm/pro_reitorias/propep/stricto_sensu/cursos/mestrado/ensin o_ciencias/galleries/downloads/dissertacoes/dissertacao_gesse_pereira.pdf>. Acesso em: 20 out. 2017.

GUALANDI, Jorge Henrique. Investigações matemáticas com grafos para o ensino médio. 2012. 117 f. Dissertação (Mestrado) - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – Profª Maria Clara Rezende Frota, Mestrado em Ensino da Matemática, Belo Horizonte, 2012. Disponível em:< http://www.biblioteca.pucminas.br/teses/EnCiMat_GualandiJH_1.pdf.pdf>. Disponível em: 20 jan. 2018.

GUEDES, Victor Emanuel Pinto. Uma abordagem para o ensino da teoria dos grafos no Ensino

Médio. 2014. 40f. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Juiz de Fora – Mestrado

Profissional em Matemática em Rede Nacional, Juiz de Fora, 2014. Disponível em:<https://repositorio.ufjf.br/jspui/bitstream/ufjf/770/1/victoremanuelpintoguedes.pdf>. Acesso em: 22 set. 2017.

KENNETH, R. Chelst; EDWARDS, Thomas G., ¿Avanzará esta fila alguna vez? Aplicaciones

de la Investigación de Operaciones – Editorial Universitaria, 2008.

LOVÁSZ, László; PELIKÁN, József; VESZTERGOMBI, Katalin. Diskrete Mathematik. Springer-Verlag, 2006.

MUNIZ, Ivail Junior. Encontrando, Minimizando e Planejando Percursos: uma Introdução à

Teoria dos Grafos no Ensino Médio. 2007. 146f. Dissertação (Mestrado) - Centro Federal de

Educação Tecn. Celso Suckow da Fonseca – Prof. Samuel Jurkiewickz, Mestrado Profissionalizante em Ensino de Ciências e Matemática, Rio de Janeiro, 2007. Disponível em:< http://dippg.cefet-rj.br/index.php?option=com_docman&task=doc_details&gid=1565&Itemid=167 >. Acesso em: 8 jun. 2017.

NEVES, Maria Augusta Ferreira; BOLINHAS, Sandra; FARIA, Luísa. PREPARAÇÃO PARA O

EXAME FINAL NACIONAL – MATEMÁTICA APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS – 11º ANO – Porto Editora, 2016.

SA, Lauro Chagas e. Construção e utilização de maquete eletrônica para ensino de grafos:

aprendizagens discentes a partir de uma abordagem histórico-investigativa. 2016. 150 f.

Dissertação (Mestrado) – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo, Metrado Profissional em Educação em Ciências E Matemática, Espírito Santo, 2016. Disponível em:<

https://www.15snhct.sbhc.org.br/resources/anais/12/1474041409_ARQUIVO_ArtigoSNHCT.pdf >. Acesso em: 02 dez. 2017.

SILVA, Liliana Mota Cardoso Marques da. A Teoria dos Grafos no Ensino. 2009. 137f. Dissertação (Mestrado) - Universidade Portucalense Infante D. Henrique, Mestrado em

Matemática/Educação, 2009, Portugal. Disponível

em:<http://repositorio.uportu.pt:8080/bitstream/11328/529/2/TMMAT%20113.pdf>. Acesso em: 26 ago. 2017.

SOUZA, Joamir. GARCIA, Jacqueline da Silva Ribeiro. # Contato matemática 2. São Paulo: FTD, 2016.