Cargas de colapso de sistemas de alvenaria

(1)

CARGAS DE COLAPSO DE SISTEMAS DE ALVENARIA

Por:

Nuno André Martins Deusdado

Dissertação apresentada na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil na especialidade de Estruturas Orientador: Professor Doutor Armando Manuel Sequeira Nunes Antão

(2)

(3)

Agradecimentos

Dedico este espaço a todos os que contribuíram para que esta dissertação fosse realizada. Aos meus colegas, professores, amigos e familiares, em especial: Ao meu avô, por transmitir os princípios da família Deusdado; Aos meus pais, pela compreensão, carinho, apoio, paciência, orientação pessoal e pelos valores que me transmitiram; Ao meu irmão, por responder às inúmeras questões que lhe coloco. À minha namorada, por todo o amor, por aturar todos os disparates que faço e por estar sempre do meu lado; Um agradecimento especial ao meu orientador, Professor Doutor Armando Nunes Antão, pela forma como orientou o meu trabalho. As notas dominantes da sua orientação foram a utilidade das suas recomendações e a cordialidade com que sempre me recebeu. Estou grato por ambas e pela oportunidade de realizar este trabalho sob sua orientação, que foi decisivo para que este trabalho contribuísse para o meu desenvolvimento pessoal.

Agradeço também ao Professor Doutor Mário Vicente da Silva, pela paciência e disponibilidade apresentada para solucionar todas as propostas que lhe foram colocadas com o desenvolvimento deste trabalho.

Agradece‐se ao projecto de investigação PTDC/ECM/70368/2006, por possibilitar a plataforma informática que tornou possível a realização de alguns cálculos desta dissertação.

Sem todos vós, este trabalho não seria possível.

Aqui deixo o meu agradecimento simples, mas muito sincero: Muito Obrigado!!!

(4)

(5)

Resumo

Esta dissertação é baseada na ferramenta SUBLIM3d que é fundamentada no teorema cinemático da análise limite, que visa o cálculo de limites superiores estritos de cargas de colapso de estruturas [1]. A utilização desta ferramenta deve‐se à análise limite ter vindo a demonstrar um vasto potencial para o desenvolvimento de modelos numéricos, que permitem a determinação da máxima carga suportada por uma estrutura caracterizada por um comportamento perfeitamente plástico.

No presente documento, pretende‐se validar a ferramenta SUBLIM3d para um caso particular das estruturas, por isso, limita‐se este estudo a paredes de alvenaria não reforçada. Adoptou‐se neste estudo condições de deformação plana e considerou‐se apenas carregamentos no plano.

O comportamento da alvenaria é controlado pelas propriedades mecânicas das unidades e das juntas, bem como pela orientação e posição relativa destas. Por isso, trata‐se a alvenaria como um material anisotrópico e heterogéneo.

A modelação da alvenaria baseou‐se na modelação micro simplificada, em que resumidamente, as unidades são representadas por elementos contínuos e o comportamento das juntas e dos interfaces unidade/junta são substituídos por uma única superfície que é constituída por elementos de junta. Para cada elemento considerou‐se que se podia associar a superfície de cedência de Mohr‐ Coulomb ou as duas superfícies de cedência propostas (Armando Nunes Antão e Mário Vicente da Silva).

Com o objectivo de validar e aferir a capacidade das formulações propostas, a solução obtida pelo SUBLIM3d para os vários exemplos numéricos é comparada com os resultados experimentais e teóricos disponíveis na literatura.

(6)

(7)

Abstract

This dissertation is based on SUBLIM3d tool which is grounded on the kinematic theorem of limit analysis, that aims to calculate the strict upper bounds of collapse loads of structures[1]. The use of this tool was due to the fact that the limit analysis has come to show a great potential for development of numerical models, which allows the determination of the maximum load supported by a structure characterized with a perfectly plastic behavior.

This document intends to validate the SUBLIM3d tool for the particular case of non‐reinforced masonry walls structures. Plane strain conditions were adopted only loads in the plan of the wall were considered.

The behavior of masonry is controlled by the mechanical properties of the units and joints as well as by their relative position and orientation. Due to these reasons, the masonry is treated as an anisotropic and heterogeneous material.

The shaping of the masonry was based on simplified micro modeling, in which the units are represented by continuous elements and the behavior of joints and interfaces unit/joint are replaced by a single surface that consists of joint elements. For each element was considered that could be associate the yield surface of Mohr‐Coulomb or the two yield surfaces proposed (Armando Nunes Antão and Mário Vicente da Silva).

In order to validate and assess the capacity of the proposed formulations the solution obtained by SUBLIM3d for several numerical examples is compared with experimental and theoretical results available in literature.

(8)

(9)

Simbologia e Notações

Maiúsculas latinas B Operador padrão de compatibilidade diferencial C Matriz de amortecimento C Carregamento tangencial Cc Espaço auxiliar que confina a taxa do tensor da deformação plástica admissível Cd Espaço que confina as descontinuidades do campo de velocidade D Matriz flexibilidade D Taxa da dissipação da energia plástica interna total por unidade de volume E Módulo de Young F Força aplicada no corpo F Vector das cargas nodais Forças de contacto entre as partículas Forças geradas através dos elementos lineares de vínculo entre duas partículas Acções externas Esforços internos Fs Resistência limite ao corte Ft Resistência limite à tracção F1 Tensão principal horizontal aplicada ao painel F2 Tensão principal vertical aplicada ao painel G Módulo de distorção H Carregamento normal H Força horizontal de cedência K Matriz de rigidez Coeficiente de impulso activo Coeficiente de impulso passivo L Função Lagrangiana aumentada na cedência L Largura do corpo L Largura do tijolo L* _{Função que define o problema de minimização local} M Matriz de massa

Ni Matriz que reúne as funções de aproximação da forma nodal convencional do _elemento i

O Ponto de origem do sistema de coordenadas OC Distância desde a origem do sistema de coordenadas ao centro do círculo de Mohr Conjunto genérico de carregamento Conjunto genérico de carregamento R Raio do círculo de Mohr Rc Raio do círculo de Mohr no estado de tensão no colapso Rt Raio do círculo de Mohr no estado de tensão que origina a truncatura T Matriz de transformação Truncatura à compressão Truncatura à tracção

Matriz que reúne as funções de aproximação ao campo das velocidades relativas na _{fronteira dos elementos}

V Carregamento normal V Força vertical total aplicada à alvenaria Volume considerado da viga de betão reforçado Volume real da viga de betão reforçado WD Taxa de dissipação da energia plástica interna We Taxa do trabalho das forças exteriores aplicada ao sistema W Trabalho elástico

(10)

; ; ; Tax Tax Tax Yi Ma Mi a Alt b Lar b For b Lar bj Com For c Coe d Vec d Gra d Vec di Vec Gra con ; Com ; Com ; Com con e Esp ei Vec_plá Vec def Sol ; … ; Can f Fun ass fc Res g Fun não h Alt i Dir i Nú i Nú rígi i Nú j Dir k Con k Nú k Rig l Lar m Nú m Par do m Bas n Ver n Com n Nú nE Nú Vec r Par xa do trabalho xa do trabalho xa do trabalho atriz formada núsculas latin ura dos tijolos rgura dos tijol rças de massa rgura da pared mponente na rças de massa esão do mate ctor dos deslo aus de liberda ctor das veloc ctor que agru aus de liberd nstituem o co mponentes da mponentes da mponentes da nstituem o co pessura da jun

ctor que junt stica

ctor que guar formação ução sem res ndidatos que nção que defi sociadas sistência méd nção que defi o associadas ura da parede recção mero do elem mero do nó ido mero do inter recção nstante mero da itera gidez rgura da pared mero de ciclo râmetro adim tijolo se do leque rsor da norma mponente no mero de cand mero da malh ctor que agru râmetro de pe o das forças fi o elástico o plástico pelos valores nas s os a constantes p de direcção j do a constantes p rial ocamentos no ade de um nó cidades nodais pa a velocidad dade de um

rpo rígido a velocidade d a velocidade a a velocidade d rpo rígido nta

ta os valores rda as compo trições para a minimizam a ne o critério/ ia à compress ne o critério/ e de alvenaria mento finito genérico que r – elemento ação de de alvenar os de relaxaçã mensional que al exterior à fr rmal didatos que m ha dos elemen pa a velocidad enalidade par xas próprios norm por unidade de vector das fo por unidade de odais virtual s de nodal do e nó genérico do nó virtual angular do nó de um nó gen aproximados onentes princ a qual a função função object superfície de são dos tijolos superfície de a

e pertence a

ia o interior corresponde ronteira minimizam a fu ntos de relativa no a os elemento malizados da e volume (afe orças de massa e volume não elemento i o que perten

ó virtual nérico que per

s das compon cipais da apro o objectivo at tivo

cedência, no s

cedência, no

um dos elem

a duas vezes unção objectiv odal do inter – os regulares matriz Si ectadas pelo m a o afectadas pe

nce a um do

rtence a um d

nentes da tax oximação do tinge o seu va caso das regr caso das regr mentos que co o rácio entre vo – elemento i multiplicador) elo multiplicad os elementos dos elementos

xa de deform tensor da tax lor mínimo ras de escoam ras de escoam onstituem o c e a altura e la dor que s que mação xa de mento mento corpo rgura

(11)

rp Parâmetro de penalidade para os elementos degenerados r0 Parâmetro de penalidade inicial Vector que contem as componentes do tensor Si Vector que reúne os valores próprios do tensor Si t Forças de superfície externas (afectadas pelo multiplicador) t Componente tangencial t Espessura da parede t0 Forças de superfície externas iniciais Forças de superfície externas não afectadas pelo multiplicador u Campo de deslocamentos Campo de deslocamentos inicial Tensor da taxa dos deslocamentos Campo das velocidades ; Campo das velocidades das duas regiões delimitadas pela fronteira Γd Campo das acelerações x Ponto de tensão x Ponto do interior do corpo Maiúsculas gregas Ω Domínio do corpo Ω Volume do corpo Γ Superfície do corpo Γd Região da superfície Γ onde ocorrem as descontinuidades do campo de velocidade Γu Região da superfície Γ, representada pelas condições de fronteira cinemática Γσ Região da superfície Γ, representada pelas condições de fronteira estáticas Δp Volume do elemento degenerado Ψ Ângulo que a superfície de deslizamento faz com a horizontal Ψ Ângulo que relaciona a F2 com a F1 Minúsculas gregas λ Multiplicador λ Parâmetro de carregamento não dimensional λc Mínimo valor da região superior do multiplicador da carga de colapso (cedência) Valor experimental do λ no colapso Ultimo valor de λ Valor da região superior de ε (Campo das) Deformação εe Deformação elástica εp Deformação plástica εT Deformação total plástica Componentes contínuas da deformação plástica Taxa das deformações Tensor de deformação plástica Campos da taxa de deformação plástica Tensor da taxa de deformação elástica Taxa de deformação plástica , , Tensores principais da taxa de deformação (elástica) , , Tensores principais da taxa de deformação plástica μ Vectores colectores dos multiplicadores de Lagrange μk Valor do vector μ na iteração K μλ Vectores colectores dos multiplicadores de Lagrange na cedência α Multiplicador plástico σ Tensão (normal) σ Estado de tensão final

(12)

, Collap mu Con CP σi _Pon σt _Pon σAVg Ten Ten Ten Ten σn Ten σt Ten Ten Ten Ten σx Ten σy Ten σy Ten , Ten σ1 Ten σ2 Ten Est , Ten τ Ten τ Ten á Ten á Ten_tru τxy Ten υ Coe Com Cam γ Dis γ Pes γB.R. Pes γE.B.R. Pes γ1 Pla γ2 Pla Vel ρ Par φ Âng θ Âng θ Âng θ Âng Âng δ Esp Ab ACI Am alt Alt CEN Com pse load ultiplier Mu comp Lar nvert -n Pro CPU Cen PU Time Tem DEC De Un nto de tensão nto de tensão nsão média (c nsão horizont nsão horizont nsão horizont nsão normal n nsão de tracçã nsão vertical t nsão vertical f nsão vertical v nsão na direcç nsão de cedên nsão na direcç nsores princip nsão principal nsão principal tado de tensão nsores princip nsão de corte nsão de corte nsão de corte nsão de cort

ncatura ao co nsão de corte eficiente de P mponentes de mpo das veloc storção so específico d so específico d so específico e no de carrega no de carrega locidade do p râmetro adim gulo de atrito gulo de inclina gulo de inclina gulo entre a ju gulo θ limite e pessura do ele reviaturas/Tr merican Concre ura dos tijolos mité Europeu ultiplicador de rgura dos tijol ograma que pe ntral Processi mpo de cálcul partamento iversidade No o principal no o principal no centro do círcu al total equiva al fixa equiva al variável eq na junta; ão aplicada à total equivale fixa equivalen variável equiv ção x ncia ção y pais da tensão l vertical aplic l horizontal ap o inicial pais da tensão (na junta) total equivale máxima do c e máxima do orte Poisson escontínuas d cidades relativ dos blocos do betão refo equivalente d amento vertic amento horizo onto O ensional que interno do m ação do plano ação da gravid unta horizont em que o cola emento degen raduções ete Institute ( s de Normaliza e colapso os ermite a conv ng Unit (Unid lo despendido de Engenhar ova de Lisboa estado inicial estado que or ulo de Mohr) alente aplicad lente aplicada uivalente apli alvenaria nte aplicada n te aplicada na valente aplicad o cada ao painel plicada ao pai o no estado de ente aplicada ritério de Már o círculo de

da deformação vas na frontei orçado o betão refor cal ontal corresponde material o de suporte d dade tal e a tensão apso da pared nerado Instituto de B ação versão do form ade de proces o pelo CPU

ria Civil, da (http://www. rigina a trunca da na estrutur a na estrutura cada na estru na estrutura d a estrutura da da na estrutur l nel e colapso na estrutura rio Vicente da Mohr no est

o plástica ira dos eleme rçado ao rácio entre da parede vertical e foi observad Betão America mato Ansys pa ssamento cen Faculdade .dec.fct.unl.pt atura ra da alvenaria a da alvenaria utura da alven da alvenaria co a alvenaria co ra da alvenari da alvenaria c a Silva

tado de tens

ntos e a altura e a do ano) ara o formato ntral) de Ciências t/) a com θ=90° com θ=90° naria com θ=90 om θ=90° m θ=90° a com θ=90° com θ=90° são que origi

largura da par SUBLIM3d e Tecnologi 0° ina a rede a da

(13)

Dismesh Programa que permite a criação da malha das juntas no formato Ansys DOF Degrees of freedom (Graus de liberdade)

Elapsed Time Duração total do cálculo

Elem_altura Número de elementos existentes na altura de cada tijolo Elem_comp Número de elementos existentes na largura de cada tijolo erro Erro de compatibilidade esp Espessura dos tijolos FASE 1 Minimização global FASE 2 Minimização local FRP Fiber‐Reinforced Polymer (Polímero reforçado por fibras) Geocluster Sistema de processamento em paralelo máx. Máximo Max. Compatibility error Maximum compatibility error (Erro de compatibilidade máximo) MED Método de Elementos Discretos ou Método de Elementos Distintos MEF Método de Elementos Finitos nº fiadas Número de fiadas

nº tijolos por fiada Número de tijolos que constituem cada fiada nrblocosi Número de tijolos inteiros existentes em cada fiada nrlinhasi Número de fiadas ímpar

nrlinhasp Número de fiadas par

nr. of total iter. Number of total iteration (Número total de iterações) offseti Largura do primeiro tijolo da fiada ímpar

offsetp Largura do primeiro tijolo da fiada par

p.e.e.d.v.b.r Peso específico equivalente e distribuído da viga de betão reforçado Prep_calc3d Comando final que permite a conclusão do ficheiro gerador de malhas Script_masonry_2d Programa que permite a criação da malha dos tijolos no formato Ansys

SUBLIM3d Strict Upper Bound Limit analysis code

(http://www.dec.fct.unl.pt/projectos/SUBLIM3d/) SW Shear Wall (Parede de corte) TOL Tolerância 2D Bidimensional 3D Tridimensional Símbolos matemáticos Domínio real de uma função com duas variáveis Reais positivos Reais positivos incluindo o zero · Produto contraído (ou contracção dupla) entre dois tensores da mesma ordem : Produto interno : Que verifique : Resulta A equação A simplifica‐se na equação B, através da condição C Congruente |…| Módulo Mínimo da função A tr(…) Traço {-} Vector [-] Matriz -T _{Transposta de uma matriz} --1_{Inverso de uma matriz} A(x,…,y) Função A que depende das variáveis x, …, y …, Derivada parcial da componente i de um vector em função da j‐ésima variável

(14)

, Na Inte Som Sist bla ‐ Gradient egral no corpo matório de i a tema de equa te da função e o i em ordem até f ações, formad escalar A: A a x o pelas equaç x, y ções A e B ,

(15)

Índice

Agradecimentos ... i Resumo ... iii Abstract ... v Simbologia e Notações ... vii Índice de Figuras ... xvii Índice de Tabelas ... xxi 1 Introdução ... 1 1.1 Motivação ... 1 1.2 Objectivo ... 2 1.3 Metodologia ... 3 1.4 Organização do documento ... 6 2 Definição do Problema ... 7 2.1 Considerações iniciais ... 7 2.2 Caracterização dos Sistemas de alvenaria ... 7 2.3 Comportamento do Material ... 12 2.3.1 Fundamentos da teoria da elasto‐plasticidade ... 12 2.3.1.1 Parcela elástica ... 12 2.3.1.1.1 Definição/Solução do tipo de problema ... 13 2.3.1.2 Parcela plástica ... 15 2.3.2 Leis constitutivas ... 20 2.3.2.1 Definição/Considerações do tipo de problema ... 20 2.3.3 Estados planos ... 21 2.4 Métodos de Resolução do problema ... 22 2.4.1 Análise Limite ... 24 2.4.1.1 Teorema da região inferior (Teorema Estático) ... 25 2.4.1.2 Teorema da região superior (Teorema Cinemático) ... 26 2.5 Funções de dissipação ... 27 2.5.1 Critério de Mohr‐Coulomb ... 28 2.5.2 Critério de Armando Nunes Antão ... 29 2.5.3 Critério de Mário Vicente da Silva ... 31 3 Ferramenta de cálculo ... 35 3.1 Formulação numérica ... 35

(16)

3.1.2 3.2 A 3.2.1 3.2.2 3.2.2.1 3.2.2.2 3.2.2.3 4 Valida 4.1 Cr 4.2 Cr 5 Aplicaç 5.1 Pr 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.2 Ex 5.2.1 5.2.1.1 5.2.1.1.1 5.2.1.1.2 5.2.1.1.3 5.2.1.1.4 5.2.1.1.5 5.2.1.2 5.2.1.2.1 5.2.1.2.2 5.2.1.2.3 5.2.1.2.4 5.2.1.2.5 5.2.2 5.2.2.1 5.2.2.2 5.2.2.3 5.2.2.4 5.2.2.5 Elementos lgoritmo de Minimizaçã Minimizaçã Critério de Critério de Critério de ção ... ritério de Ar ritério de Má ções Numér rogramas ... Bases SUBL Desenvolvim Criação do xemplos ... Exemplos d Exemplo 1 . Definição Resultad Simplifica Resultad Discussão Exemplo 2 . Definição Resultad Simplifica Resultad Discussão Exemplo de Definição ... Resultados Simplificaçõ Resultados Discussão d de Corpo Ríg programaçã ão global (FA ão local (FASE Mohr – Coul Armando Nu Mário Vicen ... mando Nune ário Vicente icas ... ... LIM3d ... mento do pr ficheiro de c ... de aplicação ... o ... os experime ações/Consi os SUBLIM3 o dos resulta ... o ... os experime ações/Consi os SUBLIM3 o dos resulta e aplicação d ... experiment ões/Conside SUBLIM3d .. dos resultado gido ... o matemátic SE 1) ... E 2) ... lomb [25] .... unes Antão .. te da Silva ... ... es Antão ... da Silva ... ... ... ... rograma gera comandos po ... de critérios s ... ... entais/Propo derações ... d ... ados ... ... ... entais/Propo derações ... d ... ados ... de critérios co ... ais/Proposta rações ... ... os ... ... co ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ador da malh ossibilitando ... sem truncatu ... ... stas ... ... ... ... ... ... stas ... ... ... ... om truncatu ... as ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ha ... a geração d ... ura ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ura (Exemplo ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... e malhas ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... o 3) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 39 ... 40 ... 41 ... 43 ... 44 ... 45 ... 47 ... 51 ... 53 ... 58 ... 63 ... 63 ... 63 ... 64 ... 66 ... 67 ... 67 ... 68 ... 68 ... 69 ... 71 ... 75 ... 78 ... 80 ... 80 ... 82 ... 85 ... 88 ... 93 ... 96 ... 96 ... 98 ... 101 ... 105 ... 118

(17)

5.2.3 Considerações finais ... 121 6 Conclusões e Desenvolvimentos futuros ... 123 6.1 Conclusão ... 123 6.2 Desenvolvimentos futuros ... 124 Bibliografia ... 125

(18)

(19)

Índice de Figuras

Figura 2.1 – Sistemas de alvenaria: Exemplos de alvenaria (a) Simples (b) Armada (c) Pré‐esforçada (d) Confinada (adaptada de [20]) ... 8 Figura 2.2 – Classificação das unidades em relação às características geométricas da respectiva furação: Unidades (a) Maciças; (b) com Furação Horizontal; (c) com Furação Vertical [20] ... 9 Figura 2.3 – Tipos de alvenaria de pedra: Alvenaria de (a) Cascalho; (b) Blocos sem alinhamento; (c) Blocos com alinhamento [21] ... 10 Figura 2.4 – Tipos de disposição da alvenaria de tijolos/blocos: Ligação (a) Americana; (b) Inglesa (ou cruzada); (c) Flamengo; (d) Tipo monte; (e) Alternada (ou comum) [21] ... 10 Figura 2.5 – Tipos de secção transversal da alvenaria [21] ... 10 Figura 2.6 – Estratégias de modelação para alvenarias simples: (a) Amostra de alvenaria; (b) Modelação micro detalhada; (c) Modelação micro simplificada; (d) Modelação macro (adaptada de [6]) ... 11 Figura 2.7 – Diagrama tensão‐deformação típico em condições uniaxiais ... 12 Figura 2.8 – Domínio elástico definido pela superfície de Coulomb – Hipótese de tensão plana ... 13 Figura 2.9 – Definição do tipo de problema ... 14 Figura 2.10 – Fase de descarregamento, no regime plástico ... 16 Figura 2.11 – Domínio plástico definido pela superfície de cedência de Coulomb – Hipótese de tensão plana ... 17 Figura 2.12 – Caso particular da normalidade (superfície de Cedência de Coulomb) – Hipótese de tensão plana ... 17 Figura 2.13 – Consequência do trabalho plástico máximo: Convexidade [1] ... 18 Figura 2.14 – Dissipação numa superfície de cedência não estritamente convexa [1] ... 19 Figura 2.15 – Diagrama tensão‐deformação de um corpo rígido perfeitamente plástico ... 20 Figura 2.16 – Domínio dos carregamentos admissíveis [1] ... 25 Figura 2.17 – Critério de cedência de Mohr ‐ Coulomb ... 28 Figura 2.18 – Representação gráfica da superfície de cedência de Mohr‐Coulomb [1] ... 28 Figura 2.19 – Superfície de cedência de Mohr‐Coulomb em duas dimensões – Hipótese de tensão plana ... 29 Figura 2.20 – Critério de cedência proposto em [4] ... 30 Figura 2.21 – Comparação do modelo de interface composto[6] com o critério de Armando Nunes Antão[4] ... 31 Figura 2.22 – Critério de cedência proposto em [5] ... 32 Figura 2.23 – Comparação do critério de Armando Nunes Antão com o critério de Mário Vicente da Silva ... 33 Figura 3.1 – Interface de dois elementos 2D formado por elementos degenerados [1] ... 37 Figura 3.2 – Fronteira com descontinuidades entre dois elementos adjacentes [1] ... 38 Figura 3.3 – Graus de liberdade de um corpo rígido [1] ... 39 Figura 3.4 – Implementação do algoritmo de minimização de Uzawa [1] ... 41 Figura 3.5 – Zonas que definem o espaço auxiliar, Cc, no critério de Armando Nunes Antão ... 46 Figura 3.6 – Zonas que definem o espaço auxiliar, Cc, no critério de Mário Vicente da Silva ... 48 Figura 4.1 – Exemplo de validação nº1: Corpo sujeito a cargas uniformemente distribuídas normais à superfície (H e V) ... 51 Figura 4.2 – Exemplo de validação nº2: Corpo sujeito a cargas normais (H e V) e tangenciais (C)

(20)

Figura 4.3 – aplicadas no Figura 4.4 – Figura 4.5 – Figura 4.6 – Figura 4.7 – Figura 4.8 – Figura 4.9 – Figura 4.10 Figura 4.11 Figura 4.12 Figura 4.13 Figura 5.1 – uma parede Figura 5.2 – Figura 5.3 – Figura 5.4 – Figura 5.5 – Figura 5.6 – Figura 5.7 – Figura 5.8 – Figura 5.9 – pelos result Figura 5.10 Figura 5.11 Figura 5.12 por [12] e p Figura 5.13 por [12] e p Figura 5.14 m=0.4375 n Figura 5.15 m=0.875 no Figura 5.16 Figura 5.17 Figura 5.18 a) Análise li Figura 5.19 Figura 5.20 cedência [3 Figura 5.21 Figura 5.22 Figura 5.23 carregamen Figura 5.24 carregamen – Exemplo de o tijolo supe – Discretizaçã – Resultado o – Resultados – Representa – Representa – Discretizaçã – Resultado – Resultado – Represent – Represent – Tipo de elem e de alvenari – Ficheiro de – Etapas que – Dados nece – Estrutura d – Tipo de car – Domínio de – Proposta ap – Representa tados experim – Represent – Determina – Comparaç pelos ensaios – Comparaç pelos ensaios – Dissipação nos pontos ρ – Dissipação os pontos ρ= – Geometria – Mecanism – Modos de mite 1 b) An – Modo de r – Modelo pr 0] ... – Superfície – Parâmetro – Comparaç nto ‐deslocam – Comparaç nto – desloca e validação n rior (V e C) .. ão do corpo obtido pelo S complemen ação do exem ação gráfica d ão do corpo obtido pelo s compleme tação do exe tação gráfica mentos que ia ... leitura do p definem o fi essários pela a alvenaria d regamento d e estabilidade presenta no ação gráfica d mentais, par tação gráfica ação do núm ção dos mult s experiment ção dos mult s experiment o plástica e m =0.25 e 2.8 d o plástica e m 0.25 e 2.8 do a da alvenari mos de rotura rotura obtid nálise limite 2 rotura obtido roposto pelo ... de cedência os do critério ção dos resul mento exper ção dos resul amento expe nº3: Provete ... ... SUBLIM3d .... tares obtido mplo no diag do critério de ... SUBLIM3d .. ntares obtid emplo no dia a do critério d definem os t ... rograma ger icheiro de co 1º etapa do do exemplo 1 do exemplo 1 e do exempl artigo (adap dos resultado ra o caso de ρ a da tendênc mero de proc iplicadores d tais, para o c iplicadores d tais, para o c malha deform do exemplo malha deform o exemplo 1 ia de pedra e a experiment dos para par 2 [17] ... o para a pare o método sim ... a hiperbólica o de cedência ltados obtido rimentais da ltados obtido erimentais da de dois tijolo ... ... ... os pelo SUBLI rama de Mo e cedência d ... ... dos pelo SUB grama de M de cedência tijolos, as jun ... rador de mal omandos que o processo de 1 [12] ... 1 (adaptado o 1 no plano ptado de [12] os obtidos p ρ=1 e m=0.8 ia do multip essadores m de cedência o caso de m=0. de cedência o caso de m=0. mada obtidas 1 ... mada obtidas ... e esquema d tal [27] ... ede SW200 p ... ede SW30 pe mplificado de ... ... a de Mohr ‐ os pelas estim parede de c os pelas estim a parede SW os com junta ... ... ... IM3d ... hr ... do exemplo .. ... ... LIM3d ... ohr ... do exemplo ntas e o linte ... has ... e permite a g e criação de ... de [12]) ... o de carregam ]) ... elo SUBLIM3 875 ... licador de co mais eficiente obtidos pelo .4375 ... obtidos pelo .875 ... s pelo SUBLI ... s pelo SUBLI ... e carregame ... pela: ... ela Análise M e análise des ... ... Coulomb ... mativas teór corte SW30 .. mativas teór W100 ... a sujeito a ca ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... el do modelo ... ... geração de m malhas ... ... ... mento (γ1,γ2) ... 3d, pela prop ... olapso ... e para o exem o SUBLIM3d c ... o SUBLIM3d c ... M3d, para o ... M3d, para o ... ento (adapta ... ... MEF [31] ... crevendo o e ... ... ... ricas com as ... ricas com as ... argas ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... o de ... ... malhas ... ... ... ... ) [12] ... ... posta [12] e ... ... mplo 1 ... com os obtid ... com os obtid ... caso de ... caso de ... ado de [27]) ... ... ... equilíbrio na ... ... ... curvas de ... curvas de ... ... 52 ... 53 ... 54 ... 54 ... 55 ... 57 ... 58 ... 58 ... 59 ... 60 ... 61 ... 64 ... 65 ... 66 ... 66 ... 68 ... 69 ... 69 ... 70 ... 73 ... 74 ... 75 dos ... 75 dos ... 76 ... 77 ... 78 ... 81 ... 82 ... 83 ... 84 a ... 84 ... 85 ... 86 ... 88 ... 89

(21)

Figura 5.25 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas com as curvas de carregamento – deslocamento experimentais da parede de corte SW200 ... 89 Figura 5.26 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas com a curva de carregamento – deslocamento experimental da parede de corte SW250 ... 90 Figura 5.27 – Dissipação plástica e malha deformada obtida pelo SUBLIM3d para a parede de corte SW30 do exemplo2 ... 91 Figura 5.28 – Dissipação plástica e malha deformada obtida pelo SUBLIM3d para a parede de corte SW100 do exemplo2 ... 92 Figura 5.29 – Dissipação plástica e malha deformada obtida pelo SUBLIM3d para a parede de corte SW200 do exemplo2 ... 92 Figura 5.30 – Dissipação plástica e malha deformada obtida pelo SUBLIM3d para a parede de corte SW250 do exemplo2 ... 93 Figura 5.31 – Estrutura da alvenaria do exemplo 3 (adaptado de [10]) ... 96 Figura 5.32 – Critério de cedência dos elementos de junta (adaptado de [10]) ... 97 Figura 5.33 – Critério de cedência da junta para o caso de tracção uniaxial (adaptado de [10]) ... 98 Figura 5.34 – Mecanismos de rotura experimentais típicos para os ensaios de compressão biaxial: Compressão (a) uniaxial; (b) biaxial (adaptado de [36]) ... 99 Figura 5.35 – Resumo dos modos de rotura para a tracção‐compressão biaxial (adaptado de [37]) 100 Figura 5.36 – Estado de tensão aplicado à alvenaria (círculo de Mohr) ... 102 Figura 5.37 – Carregamento equivalente aplicado na estrutura da alvenaria com θ=90°... 103 Figura 5.38 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas (SUBLIM3d e [10]) para o painel com θ=90° no ensaio de tracção biaxial ... 105 Figura 5.39 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas (SUBLIM3d e [10]) para o painel com θ=67.5° no ensaio de tracção biaxial ... 105 Figura 5.40 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas (SUBLIM3d e [10]) para o painel com θ=45° no ensaio de tracção biaxial ... 106 Figura 5.41 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas (SUBLIM3d e [10]) para o painel com θ=22.5° no ensaio de tracção biaxial ... 106 Figura 5.42 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas (SUBLIM3d e [10]) para o painel com θ=0° no ensaio de tracção biaxial ... 107 Figura 5.43 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [36] para o painel com θ=90° no ensaio de compressão biaxial ... 108 Figura 5.44 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [36] para o painel com θ=67.5° no ensaio de compressão biaxial ... 108 Figura 5.45 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [36] para o painel com θ=45° no ensaio de compressão biaxial ... 109 Figura 5.46 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [36] para o painel com θ=22.5° no ensaio de compressão biaxial ... 109 Figura 5.47 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [36] para o painel com θ=0° no ensaio de compressão biaxial ... 110 Figura 5.48 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [37] para o painel com θ=90° no ensaio de tracção – compressão biaxial ... 111 Figura 5.49 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [37] para o painel com θ=67.5° no ensaio de tracção – compressão biaxial ... 111 Figura 5.50 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [37] para o

(22)

Figura 5.51 painel com Figura 5.52 painel com Figura 5.53 do exemplo Figura 5.54 do exemplo Figura 5.55 do exemplo Figura 5.56 do exemplo Figura 5.57 do exemplo Figura 5.58 do exemplo Figura 5.59 exemplo 3 c Figura 5.60 exemplo 3 c Figura 5.61 exemplo 3 c Figura 5.62 exemplo 3 c Figura 5.63 exemplo 3 c Figura 5.64 – Comparaç θ=22.5° no e – Comparaç θ=0° no ensa – Dissipação o 3, referente – Dissipação o 3, referente – Dissipação o 3, referente – Dissipação o 3 com θ=0° – Dissipação o 3 com θ=22 – Dissipação o 3 com θ=90 – Dissipação com θ=0°, re – Dissipação com θ=22.5° – Dissipação com θ=45°, r – Dissipação com θ=67.5° – Dissipação com θ=90°, r – Ensaio de ção dos resul ensaio de tra ção dos resul aio de tracçã o plástica e m e ao ensaio d o plástica e m e ao ensaio d o plástica e m e ao ensaio d o plástica e m e σ2=0, refe o plástica e m 2.5° e σ2=0, r o plástica e m 0° e σ2=0, ref o plástica e m eferente ao e o plástica e m , referente a o plástica e m referente ao o plástica e m , referente a o plástica e m referente ao compressão ltados obtido acção – comp ltados obtido ão ‐ compres malha deform de tracção bi malha deform de tracção bi malha deform de tracção bi malha deform erente ao ens malha deform referente ao malha deform ferente ao en malha deform ensaio de tra malha deform ao ensaio de malha deform ensaio de tr malha deform ao ensaio de malha deform ensaio de tr o sob provete os pelos SUB pressão biax os pelo SUBL ssão biaxial .. mada típicas iaxial – Parte mada típicas iaxial – Parte mada típicas iaxial – Parte mada típicas saio de comp mada típicas ensaio de co mada típicas nsaio de com mada obtidas acção – comp mada obtidas tracção – co mada obtidas racção – com mada obtidas tracção – co mada obtido racção ‐ com es de alvena BLIM3d com ial ... LIM3d com o ... obtidas pelo e I ... obtidas pelo e II ... obtidas pelo e III ... obtidas pelo pressão biax obtidas pelo ompressão b obtidas pelo mpressão bia s pelo SUBLI pressão biaxi s pelo SUBLI ompressão b s pelo SUBLI mpressão biax s pelo SUBLI ompressão b s pelo SUBLI pressão biax ria e suas co os experime ... os experimen ... o SUBLIM3d ... o SUBLIM3d ... o SUBLIM3d ... o SUBLIM3d xial ... o SUBLIM3d biaxial ... o SUBLIM3d axial ... M3d para os ial ... M3d para os iaxial ... M3d para os xial ... M3d para os iaxial ... M3d para os xial ... nsequências entais [37] pa ... ntais [37] par ... para os pain ... para os pain ... para os pain ... para os pain ... para os pain ... para os pain ... s painéis do ... s painéis do ... s painéis do ... s painéis do ... s painéis do ... s ... ara o ... 112 ra o ... 113 néis ... 114 néis ... 114 néis ... 115 néis ... 115 néis ... 116 néis ... 116 ... 117 ... 117 ... 117 ... 118 ... 118 ... 122

(23)

Índice de Tabelas

Tabela 2.1 – Função da taxa de dissipação da energia plástica para o critério de Mohr ‐ Coulomb .... 29 Tabela 2.2 – Função da taxa de dissipação da energia plástica para o critério [4] ... 30 Tabela 2.3 – Função da taxa de dissipação da energia plástica para o critério [5] ... 32 Tabela 4.1 – Principais características da malha ... 54 Tabela 4.2 – Tensões aplicadas no corpo e propriedades do círculo de Mohr ... 55 Tabela 4.3 – Principais características da malha ... 58 Tabela 4.4 – Tensões principais aplicadas no corpo e propriedade do círculo de Mohr ... 59 Tabela 5.1 – Multiplicador de colapso para as várias proporções da alvenaria dos cálculos efectuados ... 73 Tabela 5.2 – Erro obtido ao considerar cada multiplicador de colapso ... 74 Tabela 5.3 –Principais características da malha do exemplo 1 para os casos de m=0.4375 e 0.875 nos pontos ρ=0.25 e 2.8 ... 76 Tabela 5.4 – Multiplicadores de cedência obtidos pelo SUBLIM3d para os casos de m=0.4375 e 0.875 nos pontos ρ=0.25 e 2.8 do exemplo 1 ... 76 Tabela 5.5 – Carregamento vertical aplicado a cada parede modelo do exemplo 2 ... 81 Tabela 5.6 – Comparação da carga de colapso[KN] obtida experimentalmente com a obtida pelas estimativas teóricas... 90 Tabela 5.7 – Principais características da malha de cada parede do exemplo 2 ... 91 Tabela 5.8 – Principais características das malhas utilizados no exemplo 3 ... 114

(24)

(25)

Capítulo 1

1 Introdução

1.1 Motivação

A motivação para realizar a presente dissertação pode ser enquadrada em duas vertentes distintas: a pessoal e a científica.

As razões pessoais pelas quais aceitei a proposta de realizar a presente dissertação foram:

• O interesse e a vontade em continuar a contribuir para o desenvolvimento do SUBLIM3d, nomeadamente no tema cargas de colapso de sistemas de alvenaria;

• A transversalidade do tema, da determinação das cargas de colapso, em relação a diferentes áreas da Engenharia Civil (por exemplo: Estruturas, Geotecnia e Construção);

• O gosto e interesse pela programação associada à utilização de métodos de elementos finitos.

No que concerne à vertente científica, o tema apresenta ainda alguns pontos por esclarecer, apresentando assim a possibilidade de conduzir a trabalho inovador e aliciante. Destacam‐se, nomeadamente:

• A dificuldade em simular numericamente a alvenaria, devido a este tipo de estrutura ser um material complexo (composto por unidades, juntas e interfaces unidade/junta) que exibe diferentes propriedades direccionais (resistência e rigidez). Estas propriedades são influenciadas principalmente pelas propriedades dos materiais (unidades e juntas), pela resistência dos interfaces unidade/junta (que assume normalmente um valor muito inferior quando comparado com as unidades e as juntas, assim a presença destes interfaces cria planos de fragilidade ao longo do qual a falha pode iniciar‐se e propagar‐se) e da sua orientação e pelo modo de execução da alvenaria;

• O insucesso dos métodos existentes para estimar a carga de colapso dos sistemas de alvenaria, revelando que se trata de uma área de investigação não concluída, havendo ainda possibilidade para explorar soluções alternativas que permitam ultrapassar as limitações observadas actualmente. Em particular, a utilização dos teoremas da análise limite permitem obter métodos com elevadas potencialidades, mas que têm sido até agora razoavelmente negligenciados;

• A consideração da resistência à compressão da alvenaria na direcção normal à junta horizontal como sendo a única propriedade relevante do material, conduzindo a um estado de compressão triaxial na junta e a um estado de compressão biaxial na unidade. Por isso as estruturas de alvenaria ainda nos dias de hoje, apenas são usadas em compressão, a menos que se use alvenarias reforçadas ou pré‐esforçadas; • O desprezo da capacidade resistente das paredes não estruturais no cálculo estrutural; • A inexistência de novas aplicações da alvenaria estrutural, que se deve:

o Às razões económicas ‐ Em países desenvolvidos, a alvenaria parece ter perdido quase completamente a sua função estrutural, para serem usados como um sistema de revestimento ou para preencher paredes não resistentes. Em países em

(26)

Apr hoje sísm

1.2 Obje

De form proposto vi DEC, SUBLI alvenaria”. determinaç Para se • A fe que • O S se mo pod roc ond • Os refo dire con • O e das o À falta em rela dimens confirm aceitar o À educa o À falta d resentam‐se e são compe micas e do ve

ectivo

ma sucinta o isa o desenv M3d, com v Assim, nes ção das carga compreende erramenta n e visa o cálcu UBLIM3d já pretende co delos propo dendo resolv hosos, dos c de a ligação, sistemas de orçada que s ecção consi nforme a dire estudo ficou‐ paredes no de desenvol ação às regra ionamento d mada pelo fa qualquer teo ação dos eng de conhecim agora as ap etitivas: as pa ento, os núcl o objectivo volvimento d vista à sua a ste trabalho as de colapso er melhor o umérica SUB ulo de limites permitia o c om este tra stos apresen ver também contactos en a coesão e o e alvenaria são um meio derada) e ecção consid ‐se pelos cas plano, sujeit lvimento das as do betão da alvenaria acto que có oria simplific genheiros Civ mento do com plicações da aredes resist leos de alven deste traba de uma ferr aplicação na o pretende‐ o de sistema objectivo ap BLIM3d é fun s superiores álculo de lim balho é des ntam uma m m problemas ntre corpos, o atrito entre em que se o não homog anisotrópico erada); sos bidimens tando‐as a ca s regras de d e do aço ‐ A conduz a um digos mode cativa; vis; mportamento alvenaria es tentes, os pa naria pré‐esf lho encontr ramenta num determinaç ‐se contribu s de alvenar presentado s ndamentada precisos de c mites superio senvolver fu maior aplicab s nas áreas: isto é, todo e os constitu foca este e géneo (apres o (apresent sionais, logo argas estátic dimensionam A falta de de ma necessida rnos, CEN [ o deste tipo strutural exis ainéis de enc forçada e os

ra‐se na des mérica de el ção de carga uir para a

ia. erão feitos a a no teorema cargas de co ores para sist unções de d bilidade do q dos adesiv o o tipo de intes formem estudo são a senta diferen ta diferente o apenas se c cas de peque mento deste esenvolvime ade de nova [2] e ACI [3 de estrutura stentes que chimento par edifícios de scrição do te lementos fin as de colaps

resolução alguns esclar a cinemático olapso de est temas de alv issipação m que os siste vos, das jun comportam m acções me as paredes ntes propried es caracterí considerou o ena duração. tipo de estr nto das regr as pesquisas ] se recusar a. ainda nos d ra resistir a c pequena altu

ema: “O tra nitos existen so de sistem do problem recimentos: o da análise l truturas; venaria, mas mais eficiente

mas de alve tas em mat ento de inte ecânicas bási de alvenaria dades confo ísticas mecâ o comportam rutura ras de que é rem a ias de cargas ura. abalho nte no mas de ma da imite, o que es (os enaria, teriais erface icas); a não rme a ânicas mento

(27)

Capítulo 1. Introdução

Para se alcançar o objectivo global, é necessário atingir os seguintes sub‐objectivos que o constituem:

• Desenvolvimento da ferramenta numérica, através da introdução de duas novas superfícies de cedência propostas pelos professores Armando Nunes Antão[4] e Mário Vicente da Silva[5] que tentaram incorporar os diferentes mecanismos de rotura, nomeadamente, rotura por tracção, por corte e por compressão. A superfície de cedência proposta pelo professor Armando Nunes Antão é baseada na superfície de cedência considerada por Lourenço[6], em que a recta vertical apresentada na truncatura em tracção é substituída por um círculo. Por outro lado, a superfície de cedência proposta pelo professor Mário Vicente

da Silva é também uma superfície de cedência composta, mas neste caso é constituída pelo critério de Mohr‐Coulomb e por uma truncatura horizontal na zona de compressão. Através da utilização destes dois critérios pretende‐se obter melhores resultados do que os apresentados na literatura, porque os critérios existentes não consideram na sua maioria truncatura em compressão e em tracção, e os que consideram apresentam uma forma que não é mecanicamente possível;

• Implementar numericamente as duas funções na ferramenta numérica SUBLIM3d, permitindo assim o cálculo da dissipação de energia das alvenarias;

• Validar a correcta programação dos critérios, através de exemplos simples em que a carga de colapso real seja de fácil determinação;

• Uma vez dispondo da ferramenta de cálculo totalmente operacional, torna‐se imprescindível proceder à análise de um número variado de exemplos numéricos, que permitem avaliar a robustez (garantir a convergência para a maioria das situações), precisão (apresentar o menor desvio possível à solução real), eficiência (apresentar um tempo de cálculo reduzido), desempenho (obter pelo menos tão bons resultados quanto os existentes na literatura) e capacidade dos modelos propostos. Os resultados previstos pelos modelos são comparados com os resultados obtidos numericamente por outros autores e com os resultados experimentais.

1.3 Metodologia

Neste subcapítulo apresentam‐se os métodos existentes para as ferramentas de cálculo e para as suas características: modelação da alvenaria, comportamento do material, resolução do problema da simulação numérica da alvenaria e superfície de cedência.

No que refere às estratégias de modelação da alvenaria, são conhecidos a modelação micro detalhada, onde as unidades e as juntas são representadas por elementos contínuos e onde os interfaces unidade/junta são representados por elementos descontínuos, a modelação micro simplificada, onde as unidades são expandidas, mas continuam a ser representadas por elementos contínuos, enquanto que o comportamento das juntas e dos interfaces é substituído por uma única superfície que é constituída por elementos de junta e a modelação macro ou homogeneização ou modelação contínua (para se obter esta modelação existem dois processos: a homogeneização xy ou a homogeneização yx, que conduzem à obtenção de diferentes resultados), em que o conjunto das unidades, das juntas e dos interfaces é substituído por um compósito [6].

(28)

Os mat externas o externas, d primeira fa comportam Os mét em análises tais como: • O m cine • A a exig • O m A. C Por últi cedência de critério de c superfície d critério de M proposta po Mohr‐Coulo W. Page [10 superfície d cedência pr Antão[4] e critérios de Coulomb. As f alvenaria sã • A p cine num unid mo mu crít • A p exe incr junt teriais podem corpo volta deforma‐se e ase, até at mento plástic odos de reso s lineares e n método da a emático e da nálise elasto ge um custo método de e Cundall [7], q

imo, as supe e Drucker ‐ P cedência de de cedência Mohr‐Coulom or W. F. Che omb com um 0] que corre de cedência h ropostas ne a superfície e cedência ferramentas ão: proposta ap emático do mérica da a dades são to delar as junt ltiplicadores icas) e é mai roposta apre ecuta a resolu remental no tas e os inter m exibir um à forma ori e não retor tingir a ced

o até atingir olução do pr não lineares. análise limite a unicidade) o‐plástica inc computacio lementos dis que exige um erfícies de c Prager propo Mohr‐Coulo composta mb e um ram en e D. C. D ma pequena sponde a um hiperbólica p sta dissertaç e de cedênc compostos de cálculo m resentada p método de lvenaria, mo omadas com tas. Esta pro limite, os m is eficiente n esentada po ução do prob qual as unid rfaces aprese m comportam iginal, ou ine rna mais ao

dência, exib a rotura. roblema da s

Neste traba

e, que é bas e utiliza técn cremental, q nal significat scretos ou m m elevado esf cedência exis sto por D. C. omb, o mode por três ra mo vertical p rucker [9] co truncatura e ma superfície proposta po ção são a su cia proposta

e apresenta

mais actuais

por P. DeBu e análise lim

odelando a mo rígidas e posta permi mecanismos na análise de or A. W. Page blema da sim dades apres entam um co mento elásti elástico, em estágio ini be comport simulação nu lho evidenci seado nos te nicas de opti que apresent tivo; método de e forço compu stentes com . Drucker et elo de trunca mos: uma t para a trunca orresponde em tracção, e de cedênci r H. R. Lotfi uperfície de a por Mário am como b

descritas na

uhan e G. D mite para a alvenaria c usa a super te obter info de colapso alvenarias d e (análise de mulação num entam um c omportamen

ico, em que que o corp cial e ou el tamento elá umérica da a ia‐se a utiliza eoremas fun mização par ta um proble lementos dis utacional. m relevância al.[8], o crité atura do inte truncatura e atura em tra

a um critéri a superfície a composta e P. B. Shing cedência p Vicente da ase a super

a literatura p

DeFelice [12 a resolução omo um m fície de cedê ormações im

e a distribu de grande es e elementos mérica da alv comportame nto plástico;

e após a rem po ao ser su

lasto‐plástico ástico, e d alvenaria po ação de méto damentais ( a a sua imple ema de acum stintos (MED nesta área ério de cedên erface [6] co esférica em cção, a supe io de cedênc e de cedênci por dois ram g [11]. As no proposta por Silva[5], em rfície de ce ara a análise 2], que cons do problem aterial hom ência de Mo mportantes n

uição de ten cala [13]; finitos não l enaria atrav ento elástico moção das f bmetido a a o, em que depois exibe odem ser div odos não line teorema est ementação; mulação de e D) proposto

são, o critér ncia de Rank nstituído po compressão erfície de ced cia modifica a proposta p mos inclinad vas superfíc r Armando N m que amba dência de M e de estrutur

sidera o teo ma da simu mogéneo, on ohr‐Coulomb a rotura (com nsões nas se ineares) [14 vés de uma a enquanto q forças acções numa e um ididos eares, tático, erro e por P. rio de kine, o r uma o, um dência do de por A. os e a ies de Nunes as são Mohr‐ ras de orema ulação de as b para mo os ecções ], que nálise que as

(29)

Capítulo 1. Introdução

• A proposta apresentada por D. J. Sutcliffe et al. [15], que considera a superfície de cedência de Mohr‐Coulomb para as unidades e o modelo de truncatura do interface para as juntas e para os interfaces unidade/junta, sendo que a resolução do problema da simulação numérica da alvenaria é baseada no teorema estático do método de análise limite;

• A proposta apresentada por G. Milani et al. [16], que considera como estratégia de modelação a homogeneização onde o comportamento do corpo é admitido como rígido plástico e o método de resolução do problema da simulação numérica da alvenaria foi a análise limite tanto recorrendo ao teorema cinemático como ao teorema estático;

• A proposta apresentada por A. Orduna e P. B. Lourenço [17], que considera como método de resolução do problema da simulação numérica da alvenaria a análise limite e opta por considerar as unidades como rígidas e as juntas como plásticas sendo que para os interfaces unidade/junta o critério de cedência escolhido foi o de Mohr‐Coulomb;

• A proposta apresentada por A. Zucchini e P. B. Lourenço [18], que escolhe a homogeneização como a estratégia de modelação, executa a resolução do problema da simulação numérica da alvenaria através de uma análise não linear, considerando o material como elástico e os modelos de cedências adoptados foram o de Rankine em tracção e o de Drucker ‐ Prager em compressão;

• A proposta apresentada por P. B. Lourenço [6], que considera a modelação micro simplificada e a homogeneização (com diferentes propriedades direccionais) como as estratégias de modelação da alvenaria, propõe uma superfície de cedência para os interfaces e considera que os materiais apresentam um comportamento plástico;

A ferramenta de cálculo considerada no presente trabalho é o SUBLIM3d [1] que considera a modelação micro simplificada para a modelação da alvenaria, que opta por considerar os materiais como rígido‐plásticos, que se baseia no teorema cinemático do método da análise limite para a resolução do problema da simulação numérica da alvenaria e que considera as seguintes superfícies de cedência: Mohr‐Coulomb, a proposta apresentada por Armando Nunes Antão e a proposta apresentada por Mário Vicente da Silva.

(30)

1.4 Org

O prese onde foram ‐se os capít Capítulo em primeiro em seguida uma revisã métodos de trabalhos m abordagem Capítulo estudo (SU matemático cálculo. Ex cedência pr Capítulo exemplos n Capítulo neste capítu de cedência numérico e truncatura e teóricos malhadores Capítulo juntamente

anização

ente docume m apresentad ulos centrais o 2. Neste ca o lugar proc são revistos o bibliográf e resolução d mais relevan ).

o 3. O capít UBLIM3d), in o escolhido e põe‐se tam ropostas.

o 4. Com o uméricos sim o 5. Com o ulo três exem a de Mohr‐C em que se

no resultado disponíveis s criados par

o 6. O capí e com algum

do docum

ento encontr dos a motiva s da dissertaç apítulo apres ede‐se à car s alguns conc fica, na qua

do problema tes no cont

tulo apresen ncluindo a f e o modo de bém neste intuito de v mples em qu o intuito de mplos numé Coulomb, po considera o o) em que as na literatu ra gerar o fich ítulo aprese as sugestões

mento

ra‐se estrutu ação, o objec ção, cujo con senta‐se um racterização ceitos sobre l se preten a da simulaç texto deste nta resumid formulação incorporar c capítulo, a validar os mo ue a determin aferir a cap ricos (dois e orque a influ

s dois crité s soluções o ura. Inclui‐s heiro de dad enta por fim s de desenvo urado em 6 c ctivo e a met nteúdo é sum a definição r da alvenaria o comporta de enquadr ção numérica tema, desta amente a fe numérica a corpos rígido implementa odelos prop nação da car pacidade da xemplos num uência da tr

rios de ced btidas são co e também dos necessár m as princip olvimentos fu capítulos. Ap todologia ad marizado em rigorosa do p a (estratégias amento do m ar o leitor a da alvenar acando‐se os erramenta d adoptada, o os e element ação numér ostos, apres rga de colaps s formulaçõ méricos, em uncatura nã ência propo omparadas c neste tópic io pelo SUBL ais conclusõ uturos. pós este capí doptada no t m seguida: problema em s de modela material e po sobre o est ria (sendo ap s aspectos p

de cálculo us o algoritmo

tos de junta rica das dua

sentam‐se ne so é fácil. ões proposta que se cons ão é relevan ostos, devido com resultad co, a estrut LIM3d. ões retirada ítulo introdu trabalho, seg m análise. Pa ção da alven r último, seg tado da art penas referid principais de

sada no pre de program na ferramen as superfície este capítulo as, apresenta sidera a supe te e um exe o à influênc dos experime turação dos s deste trab utório, guem‐ ra tal, naria), gue‐se e dos dos os e cada esente mação nta de es de o dois am‐se erfície emplo cia da entais s dois balho,

(31)

Capítulo 2

2 Definição do Problema

2.1 Considerações iniciais

A convenção de sinais geralmente adoptada ao longo deste documento, tanto para as tensões como para as deformações, será a da geomecânica. Esta convenção considera que a compressão é positiva e que os esforços de corte (tangenciais) são positivos quando provocam a rotação do elemento no sentido horário (para ver as implicações desta convenção consultar [19]). Considerou‐se por outro lado a convenção de sinais da mecânica dos sólidos no capítulo 3, devido a se tratar da convenção utilizada na formulação do SUBLIM3d.

O presente trabalho focou‐se na análise do problema em duas dimensões (2D), por isso as informações contidas em todos os capítulos restringem‐se quase na totalidade ao caso bidimensional.

2.2 Caracterização dos Sistemas de alvenaria

Os principais sistemas de alvenaria existentes são: Alvenaria simples (ou não reforçada), Alvenaria armada (ou reforçada), Alvenaria pré‐esforçada e Alvenaria confinada (ver Figura 2.1). Nos países desenvolvidos, os sistemas de alvenaria perderam quase totalmente a sua função estrutural, porque o betão reforçado e as estruturas de aço tornaram‐se mais competitivas, sendo a resistência o principal factor de concorrência. Assim, nos dias de hoje, o sistema de alvenaria mais usado é o da alvenaria simples aplicada tanto aos sistemas de revestimento, como ao preenchimento de paredes não resistentes. Excepções são os painéis de enchimento para resistir às cargas sísmicas e do vento, os núcleos de alvenaria pré‐esforçada e a alvenaria estrutural usada em edifícios de reduzida altura.

(32)

FIGURA 2. A alven existindo se são: as unid ou blocos, unidades ir com furaçã unidades c agregados natural, ped as juntas po argamassa‐ etc. Por últ unidade/un plano de fr outros com rotura da al .1 – Sistemas d naria simples empre um in dades, as jun estas podem regulares), e o horizontal om reduzida correntes, b dra artificial, odem ser cla cola e argam timo, neste nidade, conso aqueza na a postos. É ao lvenaria. (a) (c) e alvenaria: Ex s correspond terface entr ntas e os inte m ser classi em relação à , de unidade a furação, v betão de ag , argamassa, assificadas em massa leve),

tipo de alve oante as uni alvenaria, de o longo deste

xemplos de alve (adap

de a uma so e estes com erfaces. No c ificadas em às característ es com furaç ver Figura 2 gregados lev argila, silica m relação ao argila, betum enaria os int

dades sejam evido à muit es planos qu enaria (a) Simp ptada de [20]) obreposição postos, assim caso das unid relação à s ticas geomé ção vertical 2.2) e em re ves, betão c ato de cálcio, os seus const me, cal, rela terfaces pod m ou não liga

o menor res e se podem (b) (d ples (b) Armada de unidade m os materia dades corren sua forma (d tricas da res ou de unida elação aos celular autoc , produtos ce tituintes: arg ção volumét dem ser de das por junt sistência que iniciar e pro ) a (c) Pré‐esforç es ligadas ou ais que const ntemente ch de unidades spectiva fura des maciças seus constit clavado, ado erâmicos e e gamassa (arg trica cimento dois tipos, as, mas actu e apresentam opagar as falh ada (d) Confina

u não por ju tituem a alve hamadas de t s regulares o ação (de uni s onde se inc tuintes (betã obe, vidro, etc.). Por seu gamassa cor o/cal/areia, unidade/jun uam sempre m em relaçã has, conduzi ada untas, enaria tijolos ou de dades clui as ão de pedra u lado, rente, cola e nta ou como ão aos indo à