CAPÍTULO 8 -
CILINDRO
Definição: Sejam e dois planos paralelos e R uma região circular contida em .
Seja r uma reta não paralela a esses planos. A união de todos os segmentos QQ'paralelos a r, com Q R e Q' é denominada cilindro circular.
r
C A
h
D B R
Os círculos contidos nos planos e são denominados bases do cilindro.
A distância ente os planos e chama-se altura do cilindro.
O segmento
OO
'
, cujas extremidades são os centros das bases é o eixo do cilindro.Os segmentos paralelos ao eixo do cilindro, e que ligam pontos das circunferências das bases, são as geratrizes do cilindro. Exemplo: Segmento
AB
, segmentoCD
, etc, da figura acima.
A Eixo
OO
'
Geratriz
AB
B
Quando as geratrizes são perpendiculares às bases, o cilindro é dito reto; caso contrário, o cilindro é dito oblíquo.
Cilindro reto Cilindro oblíquo
O'
O O O'
Q'
Q
O'
A definição de seção transversal é análoga à definição correspondente para prismas e não a repetiremos aqui.
Teorema 1: Toda seção transversal de um cilindro circular é um círculo congruente as
bases.
Prova: De fato, o plano definido pela aresta QQ’ e o eixo PP’ intercepta as bases bem
como a seção transversal, segundo retas paralelas (Cap. 2 – Exercício 8). Assim P'Q' e
1 1Q
P são lados opostos do paralelogramo
P
'
Q
'
Q
1P
1, o que prova o que queríamos.▆
Seção meridiana
É a interseção do cilindro com um plano que contém o seu eixo.
A B A B
C D
C D
Note que a seção meridiana de um cilindro circular reto é um retângulo. Se o cilindro é oblíquo, a seção meridiana é um paralelogramo.
Um cilindro é dito eqüilátero se sua seção meridiana é um quadrado.
2R
A
= 2..
R.hCilindro de revolução
É o sólido obtido pela rotação de 360o de um retângulo em torno de um de seus lados.
Observe que todo cilindro de
revolução é um cilindro circular reto.
Área da superfície lateral de um cilindro circular reto:
Consideremos um canudo de papel com o formato de um cilindro circular reto e com uma tesoura, cortemos este cilindro através de uma de suas geratrizes. A seguir, desenrolemos este canudo sobre uma superfície plana. Que figura se obtém? Um retângulo naturalmente. Note que a altura deste retângulo é igual à altura do cilindro e sua base tem comprimento igual ao comprimento da circunferência da base do cilindro. Assim a área lateral do cilindro será igual à área desse retângulo. Portanto,
h h
2R
Área da superfície total:
Exercício 1: A área total de um cilindro é igual a 180 m2. Calcular a área lateral do
mesmo sabendo-se que sua altura é igual ao dobro do raio da base.
Solução: Seja R o raio da base e h a altura do cilindro respectivamente.
2
2 R A
AT l
= 2.R.h + 2.R2 = 180
Como h = 2R, então
2.R.(2R) + 2R2 = 180 6.R2 = 180 R2 = 30.
Portanto,
l
A
= 2..R.h = 2.R.(2R) = 4(R2) = 4 x 30 = 120 cm2. (Resposta).R
2 . . 2 R A
Volume do cilindro:
Consideremos um cilindro circular qualquer de altura h e área da base B = R2.
Consideremos agora um prisma de altura também igual a h e cuja base seja um polígono de área igual à área da base do cilindro. Apoiemos estes sólidos sobre um mesmo plano . Observe as seções produzidas nos dois sólidos por planos paralelos a , têm a mesma área. (Veja Teo. 1 deste capítulo e o Teo.3 do Cap. 5). Assim pelo Princípio de Cavaliere, estes dois sólidos têm a mesma área, isto é,
VCilindro= VPrisma = B.h = .R2.h.
H h h
Exercício 2: A área lateral de um cilindro de revolução, de 6 cm de altura é igual à
área de sua base. Achar o volume do cilindro.
Solução: Seja R o raio da base do cilindro e h = 6 sua altura. Temos que:
A
l = 2Rh = R2 = Área da base 2h = R R = 12 Portanto,VCilindro = R2h = .122.6 = 864 cm3. (Resposta).
Exercício 3: O raio da base de um reservatório cilíndrico mede 4 m. Que altura
aproximadamente deverá ter esse reservatório, a fim de que o mesmo tenha capacidade para 250 000 litros? (Considere 3,14)
Solução: Seja R o raio da base do cilindro e h sua altura. Temos que:
VCilindro = .R2.h = .42.h = 16..h
Lembrando que 1 000 litros correspondem a 1m3, então 250 000 litros equivalem a 250 m3.
Queremos que V = 250 m3, logo
16..h = 250 h =
5
24
,
50
250
14
,
3
.
16
250
.
16
250
Exercício 4: Um reservatório cilíndrico cujo raio da base mede 40 cm, contém certa quantidade de água. Mergulha-se nesse reservatório um cubo de aresta igual a 20 cm o qual fica completamente submerso. De quantos centímetros aproximadamente elevou-se o nível da águia no reservatório? (Considere 3,14)
Solução: Seja R = 40 cm o raio da base do reservatório,
a
a aresta do cubo e x oacréscimo sofrido no nível da água depois que o cubo foi mergulhado no mesmo.
Observe que o volume de água deslocado, quando o cilindro foi mergulhado, é igual ao volume ocupado pelo cubo no reservatório.
Como o líquido deslocado toma a forma cilíndrica, então seu volume é igual ao de um cilindro de raio R = 40 e altura x. Podemos assim escrever:
Vlíquido deslocado = .R2x = VCubo = 203 .402x = 8000
x =
5
1
,
6
.
1600
8000
cm. (Resposta)x
EXERCÍCIOS
01. A área lateral de um cilindro de revolução, de 6 dm de altura é igual a área da base. Achar o volume do cilindro.
02. Encontrar o raio e a altura de um cilindro de revolução cuja área lateral mede 10 m2
sendo o volume 45 m3.
03. O raio da base de um reservatório mede 100m. Que altura deverá ter esse reservatório, a fim de que sua área lateral seja 600 m2?
04. A área total de um cilindro é 180 m2. Calcular a área lateral sabendo-se que a altura
iguala o dobro do raio da base.
05. Achar a área lateral, a área total e o volume de um cilindro eqüilátero, sabendo-se que o raio da base mede 12 dm.
06. Calcular a área lateral de um cilindro eqüilátero, cuja geratriz mede 20 cm.
07. Encontrar o raio e a altura de um cilindro circular reto sabendo-se que estão entre si como 5 para 9 e que a área lateral mede 810 dm2.
08. Determinar a área lateral de um cilindro, cuja base está circunscrita a um hexágono regular de 48 m de perímetro e cuja altura é o dobro do raio da base.
09. Encontrar a área total de um cilindro cuja área da base mede 28,26 cm2 sendo a altura
10. Achar o volume de um cilindro cuja base está inscrita em um quadrado de 32 m de perímetro e cujo raio da base é o quádruplo da altura.
11. A área da seção meridiana de um cilindro eqüilátero é igual a 100 dm2. Calcular a área
lateral do cilindro.
12. Um cilindro tem 4 cm de altura. Conserva-se a altura e aumenta-se de 1 cm o raio desse cilindro. Então, a área lateral do novo cilindro torna-se igual a área total do primeiro. Encontrar o raio deste último.
13. Um cilindro mede 16 dm2 de área total. Sabendo-se que o raio do mesmo é a terça
parte da altura, encontrar a área lateral.
14. Um cilindro de 3 m de raio tem área total igual a 40 vezes a área do círculo de raio igual a altura do cilindro. Determinar a altura do cilindro.
15. A altura de um cilindro é 20 m. Aumentando o raio da base desse cilindro de 5 m, a área lateral do novo cilindro torna-se igual a área total do primeiro. Encontrar o raio do cilindro.
16. Determinar a área lateral e total de um cilindro cujo raio da base vale
2
1
cm, sendo a
altura igual ao comprimento da circunferência da base.
17. A altura de um cilindro mede 20 m. Aumentando o raio da base desse cilindro, de 5 m a área lateral do novo cilindro trona-se igual à área total do primeiro. Encontrar o raio do cilindro.
18. Um cilindro e uma pirâmide quadrangular regular têm a mesma altura e são equivalentes. Calcular o raio da base do cilindro, quando o raio do círculo inscrito na
base da pirâmide é igual a
2
3
m.
19. Um tanque com a forma de um cilindro está completamente cheio. Começa a verter água na razão de 2 litros por segundo. De quanto baixará o nível no final de 3/4 de hora? O raio do cilindro mede 5 m.
20. Encontrar o volume do cilindro circunscrito ao cubo cujo volume é 512 m3.
21. A área total de um cilindro é 2a2 e a de outro cilindro é 2b2. Calcular as alturas e os
raios dos cilindros sabendo que o raio e altura do segundo cilindro são, respectivamente, iguais à altura e ao raio do primeiro.
22. A área total de um cilindro é 2a2 e a soma do raio da base com a altura é h. Calcular o
raio da base.
23. Um recipiente cilíndrico tem raio interior igual a 7,5 m. Jogando-lhe 7,065 litros de água, enche-se até aos 2/3. Calcular a profundidade do recipiente.
24. Um mesmo retângulo, de lados a e b representa o desenvolvimento da superfície lateral de dois cilindros distintos. Determinar a relação entre seus volumes.
25. Dada a área s2 de um retângulo, determinar os lados a e b do mesmo, de modo que os
26. Um vaso que tem a forma de um cilindro eqüilátero de 20 cm de altura está cheio de água. Mergulhando-se nesse cilindro um tetraedro regular há transbordamento de certa quantidade de água, ficando a base desse tetraedro inscrita na base do cilindro. Calcular a altura da água no cilindro quando de dentro dele se retira o tetraedro.
RESPOSTAS
01. V = 864 dm3 02. R = 9 m; h = 5/9 03. h = 3 m 04. 120 m2
05.
A
= 576 dm2; A t = 864 dm2; V = 3456 dm3 06.A
= 400 cm207. R = 15 dm; h = 27 dm 08.
A
= 256 m2 09. A t = 72 cm210. V = 16 m3 11. 100 dm2 12. R = 2 cm
13.
A
= 12 dm2 14. h = 3/4 m 15. R = 10 m16. h = 1 cm 17. R = 10 cm 18. R = 1 cm
19. h 0,06 m 20. V = 256 m3
21. R =
2 2
2
b a
a
; h = 2 2 2
b a
b
22.
h
a
223. 60 m
24. a/b ou b/a 25.
k
s
; s
