UM ESTUDO ANALÍTICO DOS POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Curso de Matemática

UM ESTUDO ANALÍTICO DOS POLINÔMIOS E

EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Ana Cristina dos Santos Garcia Elaine R. Marquezin Marinho

Rafael Cremm Ricelli Pereira da Silva

Centro universitário FIEO Curso de Matemática

UM ESTUDO ANALÍTICO DOS POLINÔMIOS E

EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Trabalho apresentado para créditos na disciplina de Pesquisas em Matemática I sob orientação da Profª. Drª. Élvia Mureb Sallum.

Ana Cristina dos Santos Garcia Elaine R. Marquezin Marinho

Rafael Cremm Ricelli Pereira da Silva

”Deus criou os números naturais, tudo o mais foi invenção do homem”

ÍNDICE

Resumo...06

Introdução...07

1.1 As Equações algébricas...08

1.1.1 A equação do 2º grau e a fórmula de Bháskara...08

1.1.2 A equação do 3º grau e a fórmula de Cardano...09

1.1.3 A equação do 4º grau e a fórmula de Ferrari...11

1.1.4 As equações de grau superior a quatro...12

Capítulo II...14

2.1 Polinômios e equações polinomiais...15

2.1.1 Polinômios...15

2.1.2 Equações algébricas...17

2.1.3 Propriedades de operações com polinômios...18

2.1.4 Divisão de polinômios...19

2.1.5 Redução do grau de uma equação...23

2.2 Teorema Fundamental da Álgebra...25

2.3 Relações entre coeficientes e Raízes...30

2.3.1 Equação do 2º grau...30

2.3.2 Equação do 3º grau...31

2.3.3 Equação de grau n (n>1)...31

2.4 Teorema das raízes racionais...34

2.5 Teorema das raízes complexas...36

2.6 Equação do 2º grau...38

2.6.1 Resolução da equação do 2º grau completando quadrados...38

2.6.2 Fórmula de Bháskara...40

2.7 Trinômio do 2º grau...42

2.7.1 Estudo do sinal...43

2.8 Fórmula de Cardano...49

2.8.1 Análise das raízes de uma equação do 3º grau...54

2.9 A equação do 4º grau...56

2.9.1 O método de Ferrari...56

2.9.3 Conseguindo as quatro raízes...59

Capítulo III...61

3.1 Aproximação de raízes de uma equação polinomial por métodos numéricos...62

3.1.1 Métodos iterativos para aproximação de zeros reais de funções...63

3.1.1.1 Método da Bissecção...63

3.1.1.2 Método de Newton...67

3.2 Aplicações...71

1.1 RESUMO

INTRODUÇÃO

A presente pesquisa tem por objetivo o estudo analítico dos polinômios e das equações polinomiais, resgatando os métodos de resolução das equações do 2º ao 4º grau e identificando os motivos pelos quais não existe uma fórmula geral para resolver as equações de grau maior ou igual a cinco.

Além disso, visa contribuir para o aprimoramento e/ou ampliação dos conhecimentos científicos dos profissionais da Área de Exatas e, sobretudo dos graduandos do curso de Matemática, acerca dos polinômios e das equações polinomiais. Entretanto, para uma melhor compreensão do texto científico produzido aqui é fundamental aos leitores um prévio conhecimento dos fundamentos matemáticos, principalmente das operações algébricas com polinômios.

O leitor poderá verificar no terceiro capítulo, a grandiosidade de aplicações do fenômeno estudado no campo da matemática, no dia-a-dia e em outras áreas do conhecimento, contribuindo de maneira significativa no desenvolvimento das mesmas.

1.1 AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Devido a registro muito antigos, os chamados papiros, sabemos que as equações algébricas existem há aproximadamente 4000 anos. Foram várias as maneiras utilizadas pelos egípcios para resolver tais equações. Mas foi a partir dos axiomas enunciados na obra Os Elementos de Euclides que se chegou ao método de resolução da equação do 1º grau utilizado até hoje. A obra de Euclides influenciou toda a produção científica posterior a ela e é o livro-texto mais antigo e que continua em vigor até os dias atuais.

Os axiomas enunciados por Euclides no início dos Elementos e em que está fundamentada a resolução das equações são:

i) Entidades iguais a uma terceira são iguais entre si (a=ce b=c ⇒ a=b). ii) Se a iguais somam-se ou subtraem-se iguais, os resultados permanecem

iguais (a=b ⇒ a±c=b±c).

iii) A parte é menor que o todo ( 1 <1 ∀m∈Ν*

m ).

Além destes usamos também um outro axioma que não foi enunciado diretamente por Euclides, mas que facilmente aceitamos sua veracidade:

iv) Iguais multiplicados ou divididos por iguais continuam iguais (a=b ⇒ ac=bc ).

Uma vez encontrada a maneira de resolver as equações do 1º grau, um grande passo foi dado, pois como veremos mais adiante, os métodos utilizados para resolver as equações de 2º e 4º graus foram obtidos na tentativa de se reduzir o grau da equação de modo a deixá-la solúvel pelo método já encontrado.

1.1.1 Equações do 2º grau e a Fórmula de Bháskara

A fórmula que conhecemos como fórmula de Bháskara na verdade não foi descoberta por Bháskara (1114-1185), ela foi publicada pelo matemático hindu Sridhara um século antes de Bháskara em uma obra que não chegou até nós.

perfeito que envolvesse a incógnita, de modo que as operações usadas para obter este quadrado perfeito sempre obedecessem aos axiomas de Euclides.

Desta forma, para reduzir o problema a um equivalente, mas agora com a incógnita de 1º grau, bastava extrair as raízes quadradas. Mas o que não passou despercebido aos hindus, como havia ocorrido com os babilônios, foi o fato de que tanto números negativos quanto positivos quando elevados ao quadrado são sempre positivos. Assim, temos duas alternativas: uma positiva e outra negativa e por isto a fórmula ficou desta forma:

a ac b

b x

2 4 2 ₋ ± − =

As equações do 2º grau são solução de um problema clássico: encontrar dois números conhecendo sua soma e seu produto, conforme pode ser verificado na página...

Da fórmula de Bháskara vieram duas contestações muito importantes: 1) Equações de grau maior que 1 poderiam ter mais de uma solução;

2) Em alguns casos a fórmula podia levar a uma raiz quadrada de um número negativo, o que era desconhecido na época. Neste caso se dizia ser impossível resolver tal equação.

E foi a partir da fórmula de Bháskara, no século XII, que se viu pela primeira vez tal problema. Uma vez resolvido o problema das equações do 2º grau, os matemáticos buscavam agora resolver as equações do 3º grau. Essa curiosidade inesgotável levou os matemáticos a uma busca que durou séculos para ser cessada.

1.1.2 Equações do 3º grau e a fórmula de Cardano

Como sabemos, os grandes gênios são seres humanos com qualidades e defeitos, como qualquer um de nós, e, o dom do intelecto não escolhe caráter. O que veremos a seguir é um bom exemplo disto.

Nicoló Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, nascido em Bréscia, na Itália, teve uma vida marcada pelo infortúnio, uma infância tão pobre que não pôde estudar, sua mãe não tinha dinheiro nem sequer para lhe comprar papel e tinta, mas como Tartaglia tinha muito amor pelos estudos e uma imensa vontade de aprender, decidiu fazê-lo por conta própria, utilizando para isto uns poucos livros que conseguia. Desta maneira penosa, Tartaglia construiu sua cultura e anos mais tarde, ganhava seu sustento como professor. Tartaglia publicou várias obras, mas sua história começou a ser marcada a partir do desafio lançado por Fior.

O desafio consistia na solução de diversos problemas que um proporia ao outro, e Fior, por ser o único a conhecer a solução da equação do 3º grau do tipo

0

3+ + =

q px

x , pretendia apresentar questões relacionadas a ela. Tartaglia aceitou o desafio e depois veio a saber que Fior detinha o método descoberto pelo professor Scipione Del Ferro. Mais tarde, Tartaglia relatou “mobilizei todo o entusiasmo, a aplicação e a arte de que fui capaz, objetivando encontrar uma regra para a solução daquelas equações, que consegui a 10 de fevereiro de 1535”. Mas além de resolver as equações do tipo x3+ px+q=0, Tartaglia também encontrou uma fórmula geral para resolver as equações do tipo 3+ 2+ =0

q px

x , que Fior não conhecia.

Assim Fior saiu derrotado, pois não conseguiu resolver as questões propostas por Tartaglia, que consistiam em solucionar equações do tipo x3+ px2 +q=0. Na verdade, Tartaglia não encontrou um método para resolver um tipo específico de equação do 3º grau, pois como veremos no próximo capítulo, qualquer equação do 3º grau pode ser escrita na forma x3+ px+q=0, bastando para isto fazer uma substituição do tipo x=y+m na equação original e calculando m de modo a cancelar o termo de grau 2.

Nesta época, Gerolamo Cardano (1501-1576) italiano, talentoso cientista, dedicado à astrologia e autor de várias obras, estava escrevendo um livro que englobaria Álgebra, Aritmética e Geometria. Acreditando ainda na impossibilidade da resolução das equações do 3º grau, Cardano não pretendia tocar no assunto em seu livro.

Como já era de se esperar, Cardano traiu todos os juramentos feitos a Tartaglia e em 1545, publicou na Ars Magna sua fórmula, embora tenha feito vários elogios a Tartaglia, acrescentou que alguns anos antes Scipione Del Ferro havia chegado aos mesmos resultados.

Tartaglia publicou sua versão dos fatos e denunciou Cardano por trair juramentos feitos sobre a Bíblia. Após trocar ofensas, o que prevaleceu foi que a fórmula deduzida por Tartaglia, a qual ao invés de receber o seu nome é hoje conhecida como Fórmula de Cardano. O mesmo que havia acontecido com a fórmula de Bháskara.

Mas o que nem Cardano, nem Tartaglia poderiam imaginar é que sua fórmula traria mais perguntas do que respostas. A fórmula descoberta por Tartaglia exibia apenas uma solução para a equação, mas se a fórmula de Bháskara dava as duas soluções para a equação do 2º grau, não poderia a equação do 3º grau também ter mais de uma solução? Outra questão que veremos mais detalhadamente no próximo capítulo é que uma equação do 3º grau que tenha as três soluções reais, implica em trabalhar com raiz quadrada de números negativos na aplicação da fórmula de Cardano, como na época este tipo de operação não estava definida, este foi um problema que demorou muito tempo para ser solucionado.

Felizmente, Rafael Bombelli (1526-1572), publicou em 1572 no livro L’Algebra parte Maggiore dell’Arithmetica, algumas regras que criou para trabalhar com a raiz quadrada da unidade negativa ( −1), o que não tinha simbologia que utilizamos hoje mas que já era o início dos trabalhos com números complexos. A representação da −1 por i é devida a Leonard Euler, que a propôs quase duzentos anos depois.

É importante esclarecer que a raiz quadrada dos números negativos apareceu pela primeira vez na resolução de equações do 2º grau, mas que isto era tomado como a impossibilidade de solução da mesma. Apenas quando chegamos à resolução das equações do 3º grau é que isto se tornou um problema concreto, pois podemos facilmente tomar exemplos de equações do 3º grau com soluções reais em que aparecem as raízes de números negativos quando aplicamos a fórmula de Cardano.

Ludovico Ferrari (1522-1560), nascido em Bolonha, era de família muito humilde e aos 15 anos de idade foi trabalhar como servo na residência de Cardano, o qual percebendo sua notável inteligência, o promoveu a seu secretário.

Como já dissemos, os matemáticos daquela época tinham o costume de promover desafios e um certo Zuanne de Tonini da Coi propôs a Cardano uma questão que envolvia a equação:

x4 +6x2−60x+36=0

Após inúmeras tentativas, Cardano não obteve êxito e passou a questão a seu aluno Ferrari, que acabou por encontrar a fórmula geral para a solução das equações do 4º grau. Este método encontrado por Ferrari também foi publicado por Cardano na Ars Magna, em continuidade à solução das equações do 3º grau.

No próximo capítulo veremos mais detalhadamente como Ferrari resolveu este problema, mas o que podemos destacar em seu raciocínio, foi que ele buscou reescrever a equação, usando as operações permitidas pelos axiomas de Euclides, de modo a obter quadrados perfeitos e assim reduzir o problema a resolução de uma equação do 2º grau que era possível usando a fórmula de Bháskara. Este método permite a exibição das quatro raízes da equação, assim a fórmula de Bháskara permite a exibição das duas raízes da equação do 2º grau.

A partir daí os matemáticos começaram a pensar, que se as equações do 2º grau podem ter 2 soluções e as do 4º grau, 4 soluções, então uma equação de grau n possuiria

n soluções? Nada foi provado, mas eles acreditavam ser verdade e buscavam uma maneira de demonstrar tal fato.

Foi apenas em 1.799 que o brilhante matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) apresentou como sua tese de doutorado o famoso Teorema Fundamental da Álgebra que foi intitulado desta maneira pelo próprio Gauss. Este teorema dizia que toda equação polinomial tem ao menos uma solução x_k no campo complexo, e fazendo as sucessivas divisões do polinômio pelo binômio (x−x_k), temos uma decomposição em n fatores, sendo que n é o grau do polinômio. Estava assim provado que todo polinômio de grau n possui exatamente n raízes, contando com as suas multiplicidades.

Desde que fora encontrada a solução das equações de grau 4 por Ferrari que o desafio dos matemáticos neste campo passou a ser as equações de grau 5. Muitas foram as tentativas e um jovem prodígio, Niels Henrik Abel (1802-1829) norueguês, acreditou que havia conseguido tal façanha por volta de 1819, seus professores não conseguiam encontrar nenhuma falha no processo desenvolvido por Abel, mas foi ele mesmo que acabou descobrindo que sua solução estava incorreta.

A partir de então, resolver tais equações tornara-se uma questão de honra para Abel. E após muito trabalho, por volta de 1823, demonstrou que, exceto em casos particulares, de um modo geral é impossível resolver equações do 5º grau utilizando apenas operações algébricas.

Infelizmente, Abel morreu sem que seu trabalho fosse devidamente reconhecido, foi apenas em 1830 que a Academia de Ciências de Paris concedeu seu Grande Prêmio a Abel pelas contribuições feitas por ele à Matemática. O teorema que diz que “O polinômio geral de grau n não é solúvel por radicais se n ≥ 5”, que foi demonstrado por Abel, é hoje conhecido como Teorema de Abel-Ruffini.

Outro gênio da Matemática que demonstrou a impossibilidade da resolução por radicais das equações de grau superior a 4 foi Évariste Galois (1811-1832). Galois, assim como Abel, chegou a acreditar que conseguira encontrar uma solução geral para as equações de 5º grau, mas enquanto Abel usou apenas operações algébricas para demonstrar a impossibilidade de uma solução geral para tais equações, Galois criou uma nova teoria para fazer tal demonstração. Além disso, a teoria de Galois, não prova apenas que as equações de grau superior a 4 não podem ser reolvidas em geral por métodos algébricos, mas também porque as de grau inferior a 5 podem ser resolvidas usando estes métodos.

Os estudos de Galois eram muito avançados para a época e os outros matemáticos tinham uma certa dificuldade em entender seu raciocínio. A verdade é que a Álgebra nunca mais foi a mesma depois de Galois, a Teoria dos Grupos, desenvolvida por ele, é um dos mais importantes pilares da Matemática Moderna.

CAPÍTULO II

O presente capítulo tem por objetivo mostrar as definições e propriedades fundamentais para as operações com polinômios. Apresentaremos ainda algumas demonstrações muito importantes no estudo dos polinômios como, por exemplo, o algoritmo da divisão, o teorema das raízes racionais e das raízes complexas, as relações entre coeficientes e raízes, o Teorema Fundamental da Álgebra entre outros.

2.1 POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS

2.1.1 Polinômios

Veremos a seguir algumas definições e propriedades que serão de extrema importância no desenvolvimento do trabalho.

Definição: Chamamos polinômio ou função polinomial na variável x∈C(conjunto dos números complexos) a função:

0 0 2 2 1

1 )

(x a x a x a x a x

P = _n n + _n− n− +K+ + ,

onde n é um número natural e a_n,a_n−1,K,a₀ são números complexos, denominados coeficientes do polinômio.

As parcelas da forma a xk k∈Ν

k , , são chamadas de termos do polinômio e, em particular, a₀ é denominados termo independente. O grau de um polinômio P(x) não nulo, que indicaremos por ∂P(x), é o maior dos expoentes de x que tem coeficiente não nulo. Contudo, quando o polinômio for nulo, seu grau não é definido.

Exemplos:

1) 3 1

2 1 5 )

(x = x3− x2+ x−

P constitui um polinômio de grau 3 e coeficientes:

1 ,

3 ,

2 1 ,

5 _{2 1 0}

3 = a =− a = a =−

a

2) P(x)=0x4+0x3+0x2 +0 constitui um polinômio nulo, pois todos os coeficientes são iguais a zero.

3) 1( )= −2 + 2 +

x x x

P não constitui um polinômio, pois um de seus expoentes é Ν

∉ −2 .

Definição: O valor numérico de um polinômio corresponde ao valor obtido pela substituição da variável de um polinômio por um número x₀∈C.

Exemplo:

3 ) 1 ( 4

) 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1

( = 3+ + ⇒ P =

P

Definição: Um número complexo x0 é raiz ou zero do polinômio P(x) se, e

somente se, P(x₀)=0, ou seja,

0 )

(x₀ =a x₀ +a ₋₁x₀ −1+ +a₂x₀2+a₁x₀+a₀ =

P _n n _n n K

Exemplo:

Dado 6P(x)= x3+2x2 −5x− , verificar se x=3 é raiz do polinômio. De fato,

6 ) 3 ( 5 ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 3

(− = − 3+ − 2− − −

P

Como P(-3)=0, então –3 é raiz de P(x).

Propriedade: Sejam as funções polinomiais:

0 1 1

1

0 1 1

1 )

( ) (

b x b x

b x b x B

a x a x

a x a x A

n n n n

n n n n

+ + + +

=

+ + + +

=

− −

− −

K K

e

Então A(x) e B(x) são idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos de mesmo grau forem iguais, isto é,

0 0 1 1 1

1 , , ,

,a b a b a b

b

a_n = _{n n−} = _n− K = =

Demonstração por indução finita sobre o grau do polinômio: 1º passo:

A propriedade é verdadeira para n=1, pois:

C x b

a x b a b

x b a x

a1 + 0 = 1 + 0 ⇔ ( 1− 1) +( 0 − 0)=0 ∀ ∈

-se x=0,

0 0 0

0 b 0 a b

a − = ⇔ =

- se x≠0, derivando a equação 1 vez, temos: 1

1 1

1 b 0 a b

a − = ⇔ =

2º passo:

Suponhamos que a propriedade vale para n=k:

k i

b a b

x b x b a x

a x

Vejamos se vale para n=(k+1)

0 ) (

) (

)

( _{1 1} 1 _{0 0}

0 1

1 0 1

1

= − + + −

+ −

⇔

⇔ + + + =

+ + +

+ + +

+ + +

+

b a x

b a x

b a

b x

b x b a x

a x a

k k k k

k k

k k k k k

k k k

K

K K

derivando a equação k vezes, temos:

0 ) (

) 1 ( ) (

) 1 ( ) 1

(k+ k k− K a_k+1−b_k+1 x+k k− K a_k−b_k =

pela HI temos que a_k =b_k, logo, a equação fica: 0

) (

) 1 ( ) 1

(k+ k k− K ak+1−bk+1 x=

como a expressão é válida para todo x e (k+1),k,(k−1),K,1≥1temos que: 1

1 1

1 ) 0

(ak+ −bk+ x = ⇔ ak+ =bk+

logo, dos 1º e 2º passos, pelo Processo de Indução Finita, concluímos que a_n =b_n.

2.1.2 Equações Algébricas

Definição: Chamamos equação polinomial ou algébrica na variável x∈C, toda equação escrita na forma P(x)=0, onde:

• ( ) 1 _{1 0}, 0;

1 + + + ≠

+

= −

− n

n n n

nx a x a x a a

a x

P K

• a_n,a_n−1,K,a₁,a₀ são coeficientes complexos e n∈Ν* a potência de x, cujo maior valor determina o grau da equação.

•

Exemplos:

1) 2x4 +5x2 +1=0 ( equação polinomial do 4° grau na variável x e coeficientes 12,0,5,0, ).

2) 3iy2 +(2−i)y−3=0 ( equação polinomial do 2° grau na variável y e coeficientes 33i,2−i,− ).

Definição: Uma raiz de uma equação polinomial P(x)=0, é um número

complexo ,x₀ tal que P(x₀)=0.

Exemplos:

1) Verificar se S={3, -2i, 2i} é o conjunto solução da equação .

0 12 4 3 2

3 _{− + − =}

x x x

Solução:

• 3 é raiz, pois 33 −3(3)2 +4(3)−12=0_.

• -2i é raiz, pois (−2i)3 −3(−2i)2 +4(−2i)−12=0 • 2i é raiz, pois (2i)3 −3(2i)2 +4(2i)−12=0 • Logo, S={3, -2i, 2i}.

2.1.3 Propriedades de operações com polinômios

Sejam A, B e C três polinômios na variável x∈C, valem as seguintes propriedades:

AC AB C

B A D

BA AB M

C AB BC

A M

A A A

A A

A

A B B A A

C B A C B A A

+ ≡ +

≡ ≡

≡ − +

≡ +

+ ≡ +

+ + ≡ + +

) ( :

:

) ( ) ( :

0 ) ( :

0 : :

) ( ) ( :

2 1 4 3 2 1

onde 0 é o polinômio nulo.

Observações:

I) A adição e a subtração de dois ou mais polinômios são feitas somando ou subtraindo os coeficientes dos termos de mesmo grau.

II) A multiplicação é feita por meio da propriedade distributiva, que consiste na multiplicação de cada termo de A(x) por todos os termos de B(x), por exemplo, reduzindo-se então os termos semelhantes.

Exemplos:

1)Dados 1( )=2 3− 2 −3 ( )=3 2 − +

x x x B e x

x x

A , obter o polinômio S(x) tal que

S(x)=A(x)+B(x). Solução:

2 2

2 ) (

) 1 3

( ) 3 2

( ) (

2 3

2 2

3

− − + = ⇒

+ − + − − =

x x x x S

x x x

2) Considerando os polinômios A(x) e B(x) do exemplo anterior, obter o polinômio A(x)-B(x). Solução: 4 4 2 ) ( ) ( ) 1 3 ( ) 3 2 ( ) ( ) ( 2 3 2 2 3 − + − = − ⇒ + − − − − = − x x x x B x A x x x x x B x A

3) Sejam ( )= 2−3 +2 ( )= 3−3 2 +3

x x x B e x x x

A , obter o polinômio P(x)=A(x)B(x).

Solução: 6 9 3 11 6 ) ( 6 6 2 9 9 3 3 3 ) 3 3 ( 2 ) 3 3 ( 3 ) 3 3 ( ) 3 3 )( 2 3 ( ) ( 2 3 4 5 2 3 3 4 2 4 5 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 + − − + − = + − + − + − + − = + − + + − − + − = + − + − = x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x P

2.1.4 Divisão de polinômios

Definição: Dados dois polinômios, reais ou complexos, A(x) e B(x), B não nulo, dividir A(x) por B(x) significa encontrar um par de polinômios, reais ou complexos, Q(x) e R(x) tais que:

) ( ) ( ) ( )

(x B x Q x R x

A = +

) ( ) ( ) ( ) ( x Q x R x B x A

Teorema 2.1.1: O quociente Q(x) e o resto R(x) com∂R<∂B da divisão de A(x) por B(x), B não nulo, existem e são únicos.

Demonstração: Consideremos: 0 1 1 1 0 1 1 1 ) ( ) ( b x b x b x b x B a x a x a x a x A m m m m n n n n + + + + = + + + + = − − − − K K , 0 0 ≠ ≠ m n b a

1º caso: n < m

) ( ) ( 0

)

(x e R x A x

Q B

A<∂ ⇒ = =

∂

Exemplo:

Dados os polinômios ( )=2 2 +3 +5 ( )=4 3+3 2+1

x x x B e x x x

A . Da divisão de A(x)

por B(x) obtemos:

0 5

3 2

1 3 4 | 5 3 2

2

2 3 2

+ +

+ + +

+

x x

x x x

x

) ( 5 3 2 ) ( 0 )

(x e R x x2 x A x

Q = = + + =

Caso geral: n ≥ m

Existência:

Consideremos os monômios m m n nx eb x

a de mais alto grau em A(x) e B(x), respectivamente. A partir da divisão de A(x) por B(x), obtemos:

) (

) ( | ) (

1

0

x R

x Q

x B x A

m n−

onde ₀ x e R₁(x) A(x) Q₀x B(x)

b a x

Q n m n m

m n m

n− = − ∴ = − −

O polinômio R₁ é chamado de primeiro resto parcial. Como: =

1

R ( ) ( 1 _{1 0})

1 0

1 1

1 x b x b x bx b

b a a x a x

a x

a n m _m m _m m

m n n

n n

n + + + + − + + + +

− − −

−

− K K

Fazendo a distributiva e um agrupamento adequado dos termos temos o cancelamento de a_nxn. Isto implica que ∂R1 = p<∂A(x). Assim:

0 1 1

1

1 c x c x cx c

R = _p p + _p− p− +K+ +

Agora, consideremos os monômios c_pxp e b_mxm. Através da divisão de R₁(x) por B(x), temos:

) (

) ( | ) (

2

1 1

x R

x Q

x B x R

m p−

onde 1 x e R2(x) R1(x) Q1x B(x)

b c x

Q p m p m

m p m

O polinômio R2(x) é o segundo resto parcial e pode ser escrito da seguinte forma: ) ( ) ( )

( ₁ 1 _{1 0 1} 1 _{1 0}

2 x b x b x bx b

b c c x c x c x c x

R p m _m m _m m

m p p

p p

p + + + + − + + + +

= −

− −

−

− K K

onde o termo p px

c também é cancelado. Ou seja, ∂R₂ =k <∂R₁(x). Assim, 0

1 1

1

2(x) d x d x dx d

R = _k k + _k− k− +K+ +

Aplicando a divisão parcial t vezes, teremos: )

( )

( )

(x R ₁ x Q ₁x B x

R_t = _t− − _t− s−m

onde ∂R_t <∂B. Desta forma, ) ( ) ( ] )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 1 1 1 1 2 0 1 x R x R x Q x Q x Q x B x A x R x B x Q x R x R x B x Q x R x R x B x Q x A x R t x Q m s t m p m n t m s t t t m p m n = + + + − = − = − = − = − − − − − − − − − 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 2 1 K M Ou seja, R(x)=A(x)-B(x)Q(x) Unicidade:

Suponhamos que existam dois quocientes Q₁(x)eQ₂(x) e dois restos )

( )

( ₂

1 x e R x

R , respectivamente, na divisão de A(x) por B(x) com ∂R_i <∂B, isto é,

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 x R x B x Q x A x R x B x Q x A + = + = e Temos: ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 2 2 1 1 x R x R x B x Q x Q x R x B x Q x R x B x Q − = − + = +

Como ∂(R₂ −R₁)<∂B, então Q₁(x)−Q₂(x)=0 e ∴ Q₁(x)=Q₂(x) Conseqüentemente, R1(x)= R2(x).

Exemplo:

Vamos dividir A(x)=3x4+2x3−x2+3x−5 por B(x)=x2+1. Assim temos que:

5 3 4 2 ) 1 ( 3 ) 5 3 2 3 ( ) ( 3 ) ( ) ( 2 3 2 2 2 3 4 2 1 − + − = + − − + − + = − = x x x x x x x x x x B x x A x R 1 ) 1 ( 4 ) 5 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( 5 4 ) 1 ( 2 ) 5 3 4 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 2 2 3 2 2 2 3 1 2 − = + + − + − = − − = − + − = + − − + − = − = x x x x x B x R x R x x x x x x x x xB x R x R

Como o grau de R3(x) é menor que o grau de B(x), o processo está encerrado e obtemos como quociente ( ) =3 2 +2 −4

x x x

Q e o resto R(x) =x−1. Abaixo seguem os cálculos feitos pelo método da chave.

1 4 4 5 4 2 2 5 3 4 2 4 2 3 3 3 1 | 5 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 4 2 2 3 4 − + − + − − − − + − − + − − + − + − + x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Corolário 1: O polinômio P(x) é divisível por (x−x₀) se, e somente se, x₀ é raiz de P(x).

Demonstração:

Aplicando o Teorema 2.1.1 podemos escrever: P(x)=A(x)Q(x)+R(x)

Onde A(x)= x−x₀, então ) ( ) ( ) ( )

(x x x0 Q x R x

Assumindo que x =x₀, temos

) ( ) (

) ( 0 ) (

0 0

0 0

x R x P

x R x

P

= + =

Assim, pela definição de raiz de um polinômio: 0

) ( 0

)

(x₀ = ⇔ R x₀ = P

Corolário 2: Se P(x) é divisível separadamente por (x−x0)e(x−x1), com 1

0 x

x ≠ , então P(x) é divisível por (x−x₀)(x−x₁).

Demonstração:

Como o grau do divisor (x−x₀)(x−x₁) é dois, então o grau do resto R(x), pelo Teorema 2.1.1, da divisão de P(x) por (x−x0)(x−x1) é no máximo um. Assim consideramos R(x)=ax+b.

Desta forma, temos:

C x b

ax x Q x x x x x

P( )=( − ₀)( − ₁) ( )+( + ) ∀ ∈

Como P(x) é divisível por (x−x₀), então P(x₀)=0, ou seja,

b ax

C x b

ax x

Q x x x x x P

+ =

∈ ∀ +

+ −

− =

0

0 0

1 0 0 0 0 0

) (

) ( ) )(

( ) (

(1) E, como P(x) é divisível por (x−x₁), então P(x₁)=0, ou seja,

b ax

C x b

ax x

Q x x x x x P

+ =

∈ ∀ +

+ −

− =

1

1 1

1 1 0 1 1 0

) (

) ( ) )(

( ) (

(2) De (1) e (2), temos:

  

= +

= +

0 0

1 0

b ax

b ax

Subtraindo as equações temos: 0

) (x₀ −x₁ = a

Como x₀ ≠ x₁, segue que a=0, conseqüentemente, b=0. Logo, se x₀ ≠ x₁ e se P(x) é divisível por (x−x₀) e por (x−x₁), então P(x) é divisível por (x−x₀)(x−x₁).

Dada a equação algébrica

0 )

(x =a x +a ₋₁x −1 + +a₁x+a₀ =

P _n n _n n K

A resolução desta equação pode ser facilitada se for decomposta em fatores k

x− onde k é raiz da equação.

Vimos que se k é raiz de P(x)=0, então P(x) é divisível por x−k, isto é, )

( ) ( )

(x x k Q x

P = − ⋅

onde )Q(x é o quociente da divisão de P(x) por x−k e possui grau n−1, ou seja, uma unidade inferior ao grau de P(x).

Assim, de posse da raiz de P(x)=0, pode-se reduzir a equação original e a busca passa a ser pelas raízes de Q(x)=0.

Desta forma, a questão é determinar uma raiz de P(x)=0. Contudo, pode ocorrer de recair numa nova equação Q(x)=0, cuja resolução pode não ser tão simples.

Exemplos:

1) Resolver a equação 4 −5 3 +10 2 −10 +4=0.

x x

x x

Solução:

Note que a soma dos coeficientes da equação é igual a zero, ou seja, 1 é raiz da equação.

Logo, podemos dividir a equação por x−1.

Assim, obtemos Q₁(x)=x3 −4x2 +6x−4. Agora, devemos resolver Q₁(x)=0. Por “inspeção” encontramos 2 como raiz dessa equação. Logo, Q₁(x) é divisível por

2 −

Assim, obtemos Q₂(x)= x2 −2x+2. Resolvendo Q₂(x)=0, obtemos

i e

i −

+ 1

1 como raízes.

Logo, a equação original x4 −5x3 +10x2 −10x+4=0 tem como raízes 1,2,1+i,1−i.

2.2 Teorema Fundamental da Álgebra

Todo polinômio complexo de grau maior ou igual a 1 possui pelo menos uma raiz complexa.

Demonstração:

Embora este Teorema seja fundamental para a Álgebra, é na Análise que buscaremos elementos para a sua demonstração. Para isto nos basearemos na continuidade das funções polinomiais complexas.

A idéia utilizada aqui é a mesma empregada para provar que toda função polinomial de grau ímpar tem ao menos uma raiz real. Pois, se uma função é contínua num intervalo, então ela assume todos os valores entre os valores assumidos nas extremidades.

Seja P:C →C uma função polinomial complexa dada por:

C x a

x a x

a x a x

P( )= _n n + _n−1 n−1+K+ ₁ + ₀ ∀ ∈

onde a_n,a_n−1,K,a₁,a₀ são números complexos. Esta função associa a cada ponto do plano complexo sua imagem, que também é um ponto do plano complexo. Devemos mostrar que existe x₀ tal que P(x₀)=0.

fechada. Mas isto não implica que a curva imagem seja uma curva simples, ou seja, ela pode se cruzar.

Vejamos o que acontece com a imagem de um círculo x =r através do polinômio:

2 )

( = 2 + +

x x x P

Escrevendo x na forma trigonométrica dos números complexos temos:

2 ) sen (cos

) 2 sen 2

(cos

2 ) sen (cos

)) sen (cos

( ) (

2

2

+ +

+ +

=

+ +

+ +

=

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

i r

i r

i r

i r

x P

Quando x percorre o círculo de raio r, θ varia de 0 a 2π, enquanto que 2θ varia de 0 a 4π. Assim, enquanto x percorre uma vez o círculo de raio r, x2 percorre duas vezes o círculo de centro na origem e raio r2.

Embora não seja simples descrever o comportamento desta soma, é fácil ver o que acontece nos extremos, quando r é muito pequeno ou muito grande.

Quando r está próximo de zero, r2 é muito menor que r, logo x dita o comportamento de P(x). Assim, a curva descrita por P(x) é um círculo de centro 2 e levemente desvia do pela ação de x2.

Para r grande, o comportamento de P(x) é ditado por x2, assim a curva descrita por P(x) é um círculo de centro na origem e raio 2

r , percorrido duas vezes, e ligeiramente perturbado pelos outros dois termos da equação.

Tomando dois exemplos: 3 2

1 ₌

= e r

Para valores de r próximos de zero, a curva é fechada em torno do complexo 2+0i. Assim, para valores pequenos de r, a origem fica externa à curva descrita por P(x). Para valores grandes de r, a curva se comporta como um círculo de centro na origem, logo a origem está interna à curva. Mas, sabemos pela continuidade que, a curva descrita por P(x) evolui continuamente quando r cresce, portanto, podemos concluir que para passar do exterior para o interior da curva, a origem tem que pertencer à curva para algum r. Na equação dada, isto ocorre para r = 2. Ou seja, existe um complexo x₀ de módulo 2 cuja imagem P(x₀) é a origem, e portanto, P(x)=0 tem uma solução.

De fato, as raízes de P são:

2 7 1± i

−

O mesmo se aplica para:

C x a

x a x

a x a x

P( )= _n n + _n−1 n−1+K+ ₁ + ₀ ∀ ∈

Para r pequeno, se x descreve um círculo de raio r e centro na origem, P(x) descreve uma curva fechada em torno de a₀ e com a origem em seu exterior. Para r grande, a curva descrita por P(x) dá n voltas em torno da origem, logo, para passar da 1ª para a 2ª situação, é necessário que, em algum momento, a origem pertença à curva. Logo, toda equação polinomial possui pelo uma raiz complexa.

Teorema 2.1.2: Todo polinômio P(x) de grau n, n≥1, pode ser escrito na forma:

) ( ) )( )(

( )

(x a_n x x₁ x x₂ x x₃ x x_n

P = − − − K −

onde x₁, x₂,K,x_n são raízes do polinômio.

Demonstração:

Seja 0

0 2 2 1

1 )

(x a x a x a x a x

P = _n n + _n− n− +K+ + , x∈C. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), P(x) admite ao menos uma raiz complexa; logo se x1 é raiz da equação P(x)=0, então P(x) é divisível por (x−x1). Desta forma,

) ( ) ( )

(x x x₁ Q₁ x

P = − (1)

) ( ) ( )

( 2 2

1 x x x Q x

Q = − (2) Substituindo (2) em (1) obtemos:

) ( ) )( (

)

(x x x₁ x x₂ Q₂ x

P = − −

onde Q₂(x) possui grau (n-2). Aplicando sucessivamente o TFA temos: )

( ) )(

)( ( )

(x Q_n x x x₁ x x₂ x x_n

P = − − K −

onde )Q_n(x tem grau nulo. Da identidade

0 1 2

1)( ) ( )

)(

(x x x x x x x a x ax a

Q_n − − K − _n = _n n+K +

temos que Q_n(x)=a_n. Logo,

) ( ) )( )(

( )

(x a_n x x₁ x x₂ x x₃ x x_n

P = − − − K −

Corolário3: A menos da ordem dos fatores, a decomposição de P(x) em n

fatores é única.

Demonstração:

Supondo que o polinômio P(x)=a_nxn +a_n−1xn−1+K+a₂x2+a₀x0, admita duas decomposições, ou seja,

) ( ) )( )(

( )

(x an x x1 x x2 x x3 x xn

P = − − − K − (1) )

( ) )( )(

( )

(x b_m x r₁ x r₂ x r₃ x r_m

P = − − − K − (2) Aplicando a distributiva em ambos os polinômios, obtemos:

)] (

) 1 ( )

1 ( )

( )

( [ )

(x a_n xn x₁ x_n xn 1 x₁x₁ x_{n 1}x_n xn 2 kS_kxn k n x₁x₂ x_n

P = − +K+ − + +K+ ₋ − +K+ − − + − K

ou seja,

)] (

) 1 [( )

( n _{1 2 n}

n k n k n n

nx a S x a xx x

a x

P = − − + − K

e, analogamente para (2) temos:

)]( ) [( 1)m( _{1 2 m}

m k m k m m

mx b S x b xx x

b x

P = − − + − K

Assim, obtemos a seguinte igualdade:

)] (

) 1 [( )]

( ) 1

[( _{1 2} m _{1 2 m}

m k m k m m m n n

n k n k n n

nx a S x a xx x b x b S x b xx x

a − − + − K = − − + − K

Da identidade de polinômios temos que m

n b

a e m

n = =

) ( ) )( ( ) ( ) )(

(x−x₁ x−x₂ K x−x_n = x−r₁ x−r₂ K x−r_m (3) Adotando x= x₁ temos:

} , , 2 , 1 { 0

) (

) (

) )( (

0

1

1 2 1 1 1

n j

r x

r x r x r x

j

m

K K

∈ =

−

− −

− =

Alterando, convenientemente a ordem dos fatores, podemos obter x₁ =r₁ Assim, teremos em (3)

) ( ) )( (

) ( ) )(

(x−x₁ x−x₂ K x−x_n = x−x₁ x−r₂ K x−r_m

ou seja,

) ( ) )( (

) ( ) )(

(x−x₂ x−x₃ K x−x_n = x−r₂ x−r₃ K x−r_m

Analogamente, obtém-se x_i =r_j ∀i, j∈{1,2,K,n}. Conseqüentemente, para m

n m

n b x r x r

a m

n = , = , ₁ = ₁,K, = . Temos, portanto, a unicidade da decomposição.

Observação:

Na decomposição do polinômio P(x), x∈C pode ocorrer de um mesmo fator )

(x−α se repetir m vezes. Neste caso diz-se que α é uma raiz de multiplicidade m do polinômio P(x) ou da equação P(x)=0. Se o fator (x−α), aparece uma única vez, diz-se que α é uma raiz simples da equação P(x)=0.

Além disso, P(x) é divisível por cada um de seus fatores.

Exemplos:

1) Fatorar o polinômioP(x)=x4 −5x3+5x2 +5x−6 sabendo que suas raízes são – 1, 1, 2 e 3.

Solução:

Sabemos que P(x) pode ser escrito da seguinte forma: )

)( )(

)( (

)

(x a x x₁ x x₂ x x₃ x x₄

P = _n − − − − , assim temos,

) 3 )( 2 )( 1 ))( 1 ( ( 1 )

(x = x− − x− x− x− P

2) Sabendo que 1, 3 e 5 são raízes da equação 4−10 3+32 2−38 +15=0

x x

x

x , onde

Solução:

) )( )(

)( (

)

(x a x x₁ x x₂ x x₃ x x₄

P = _n − − − −

Assim, )P(x)=1(x−1)(x−1)(x−3)(x−5 , ou seja, )

5 )( 3 ( ) 1 ( )

(x = x− 2 x− x− P

2.3 Relações entre coeficientes e raízes

As relações entre os coeficientes reais ou complexos de uma equação polinomial e suas raízes são muito usadas quando, embora não se conheça nenhuma raiz da equação, são dadas algumas informações acerca das mesmas como, por exemplo, “uma raiz é o oposto da outra”; “uma raiz é o inverso da outra”, etc.

As relações entre coeficientes e raízes são também chamadas de relações de Girard.

2.3.1 Equação do 2º grau

Consideremos a equação de 2º grau, 0

0

2 _{+ + = ≠}

a c

bx

ax (1) onde a, b e c são coeficientes complexos para todo x∈C.

Como a equação (1) possui duas raízes (em C), ou seja,x₁ e x₂ , então pelo Teorema da Decomposição, temos:

0 0

) )(

(x−x₁ x−x₂ = a≠

a (2) De (1) e (2) temos a identidade:

0 )

)(

( _{1 2}

2 _{+ + = − − ≠}

a x

x x x a c bx ax

Dividindo ambos os membros por a, temos: 0 )

)(

( _{1 2}

2 _{+ + = − − ≠}

a x

x x x a c x a b x

Aplicando a distributiva no 2º membro, temos: 2

1 2 1 2 2

) (x x x xx x

a c x a b

x + + = − + +

a c x x a b x x = − = + 2 1 2 1

que correspondem às relações de Girard para a equação do 2º grau.

2.3.2 Equação do 3º grau Dada a equação de 3º grau:

0 0

2

3+ + + = ≠

a d

cx bx

ax (1)

Como a equação (1) admite três raízes (em C), ou seja, x₁,x₂ e x₃, então, pelo Teorema da Decomposição, temos:

0 0

) )( )(

(x−x1 x−x2 x−x3 = a ≠

a (2)

De (1) e (2), temos a identidade:

0 )

)( )(

( 1 2 3

2

3+ + + = − − − ≠

a x x x x x x a d cx bx ax

Dividindo ambos os membros por a:

0 )

)( )(

( _{1 2 3}

2

3+ + + = − − − ≠

a x x x x x x a d x a c x a b x

Aplicando a distributiva no 2º membro temos:

3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 3 2 1 3 2

3 _{( ) ( )}

x x x x x x x x x x x x x x x a d x a c x a b

x + + + = − + + + + + −

Da identidade de polinômios, temos que:

a d x x x a c x x x x x x a b x x x − = = + + − = + + 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1

2.3.3 Equação de grau n (n≥1)

Consideremos a equação polinomial ) 0 ( 0 0 1

1 + + = ≠

+ −

− n

n n n

nx a x a a

a K

onde a₀,a₁,K,a_n são coeficientes complexos para todo x∈C. Assim, sejam )

, , ,

0 0 ) )( ( ) )(

( − ₁ − ₂ − _n−1 − _n = _n ≠

n x x x x x x x x a

a K

Assim obtemos a identidade:

) )( (

) )(

( _{1 2 1}

0 1 1

1 n n n

n n n

nx a x ax a a x x x x x x x x

a + ₋ − +K+ + = − − K − ₋ −

Dividindo ambos os membros da igualdade por a_n, temos: ) )( (

) )(

( _{1 2 1}

0 1 1 1 n n n n n n n n x x x x x x x x a a x a a x a a

x + − − +K+ + = − − K − ₋ −

Aplicando a distributiva no 2º membro, temos:

C x x x x x S x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a a x a a x a a x n n k n k k n n n n n n n n n n n n n n n n n ∈ ∀ − + + − + + + + + − − + + + + + + + + − = + + + + − − − − − − − − − − ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 1 3 1 2 4 2 1 3 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 2 1 0 1 1 1 K K K K K K K

Da identidade de polinômios temos:

n n n n n k n k k n n n n n n n n n n n n a a x x x x x a a S a a x x x x x x x x x a a x x x x x x a a x x x x 0 1 3 2 1 3 1 2 4 2 1 3 2 1 2 1 3 1 2 1 1 3 2 1 ) 1 ( ) 1 ( − = − = − = + + + = + + + − = + + + + − − − − − − − − K M M K K K

que são as relações de Girard para uma equação polinomial de grau n≥1.

Exemplos:

1) Resolver a equaçãox3−4x2+5x−2=0, sabendo que uma das raízes é o inverso da outra.

Solução:

Sendox₁,x₂ ex₃ as raízes, temos:

Do enunciado temos que

1 2

1

x

x = . Assim em (iii) temos:

2 2

. 1

. _{3 3}

1

1 x = ⇒ x =

x x

Como 2x₃ = é uma das raízes da equação, podemos baixar o grau desta equação fazendo a divisão de x3−4x2 +5x−2 por x−2. Assim,

0 2 2 4 2

2 5 2

1 2 2

2 | 2 5 4

2 2

2 2

3 2 3

+ −

− −

− + −

+ − +

−

− −

+ −

x x x x

x x

x x x

x

x x

x x

Podemos então escrever:

) 2 )( 1 2 ( 2 5

4 2 2

3_{− + − = − + −}

x x x x

x x

Resolvendo a equação x2−2x+1 por Girard:

1 2 2 1

2 1

= = +

x x

x x

Como

1 2

1

x

x = , então, x₁ = x₂ =1.

Assim, as raízes da equação dada são 1 (raiz dupla) e 2 (raiz simples). S={1, 2}

2) Foi apresentado a um exímio calculista, conhecido como “o homem que calculava”, o sistema de equações:

  

   

 

=

= + +

= + +

15 1

2 1 30 37

3 2 1

3 2 3 1 2 1

3 2 1

x x x

x x x x x x

x x x

e ele rapidamente respondeu: “Uma solução do sistema é

5 2 , 2 1 ,

3 1

3 2

1 = x = x =

x .” Em

0 2 15 37

30x3 − x2 + x − = ? De pronto ele respondeu corretamente. Qual foi a sua resposta?

Solução:

“O homem que calculava” certamente notou que o sistema de equações que lhe foi apresentado correspondia às relações de Girard da equação do terceiro grau

0 2 15 37

30 3 − 2 + − =

x x

x . Então, ligando os fatos e já tendo descoberto as raízes, bastava elevar cada uma ao seu quadrado e depois soma-las, ou seja,

2 2 2 2 3 2 2 2 1 5 2 2 1 3 1       +       +       = + +x x x

obtendo como resposta o valor de 900 469

.

2.4 Teorema das raízes racionais

Teorema 2.4.1: Se ( ) 1 0, 0,

1

1 + + + ≠

+ = − − n n n n

nx a x a x a a

a x

P K com

coeficientes inteiros, possui raiz racional

(

p q

)

com ∈Ζ*

p e ∈Ζ*,

q mdc(p,q)=1, então p é divisor de a₀ e q é divisor dea_n.

Demonstração:

Por hipótese, temos que

(

p q

)

é uma raiz não nula de P(x). Logo,

_{1 0} 0

1

1 + =

     + +       +       =       − − a q p a q p a q p a q p P n n n

n K (1)

Multiplicando a equação acima por qn, obtemos

0

0 1 1 1

1

+

+

+

=

+

− −

− n n n

n n

n

p

a

p

a

pq

a

q

a

K

(2) Isolando na equação (2) o termo a_npn, temos

(

1

)

0 2 1 2 2 1 1 − − − − − − + + + + −

= n n n

n n

n n

np q a p a p a pq a q

a K

(3)

Isolando na equação (2) o termo ₀ n,

q

a temos:

(

1

)

1 2 1 1 0 − − − − _{+ + +} −

= n n

n n n

n _{p a p a p a q}

q

Como a₀,a₁,K,a_n,p,q∈Ζ, então

(

+ + + +

)

∈Ζ

= − − −

− −

− 0 1

2 1 2 2 1 1 1 n n n n n

n p a p a pq a q

a

k K ;

(

+ + +

)

∈Ζ

= − − − − 1 1 2 1 1 2 n n n n

np a p a q

a

k K

Retomando (3) e (4), respectivamente, temos Ζ

∈ − = k₁ q

p a n

n _e =− ∈Ζ

2

0 _k

p q a n

Ou seja, a_npn é divisível por q e a₀qn é divisível por .p Como pn e q são primos entre si e, também, qn e p são primos entre si, segue que q é divisor de a_n e

p é divisor de a₀.

Exemplos:

1) Determinar a raiz racional da equação polinomial

. 0 6 2

)

(x = x4 + x3 +x2 −x− = P

Resolução:

Pelo teorema, se p q for uma solução da equação, então p é um divisor de 6

0 =−

a e q é

um divisor de a4 =1. Ou seja, p∈

{

±1,±2,±3

}

e q∈

{ }

±1. Assim, ∈

{

±1,±2,±3

}

.

q p

Substituindo cada possível raiz p q no polinômio P(x), obtemos: 3 6 1 1 ) 1 ( 2 1 ) 1

( = 4 + 3 + 2 − − =−

P 5 6 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1

(− = − 4 + − 3 + − 2 − − − =−

P 28 6 2 2 ) 2 ( 2 2 ) 2

( = 4 + 3 + 2 − − =

P 0 6 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2

(− = − 4 + − 3 + − 2 − − − =

P 135 6 3 3 ) 3 ( 2 3 ) 3

( = 4 + 3 + 2 − − =

P 33 6 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 3

(− = − 4 + − 3 + − 2 − − − =

P

Ou seja, a raiz racional procurada é 2.

2) Resolver a equação ( )=2 3 +9 2 +13 +6=0.

Pelo teorema das raízes racionais,se existir uma raiz racional

q p

, temos que

{

±1,±2,±3

}

∈

p e q∈

{

±1,±2

}

. Logo, ∈

{

±1,±2,±3,±3 2

}

.

q p

Como todos os coeficientes de P(x) são positivos, então podemos excluir as possíveis raízes p q positivas. Assim, ∈

{

−1,−2,−3,−3 2

}

.

q p

Verificando se uma delas é raiz de P(x), temos 0

6 ) 1 ( 13 ) 1 ( 9 ) 1 ( 2 ) 1

(− = − 3 + − 2 + − + =

P

0 6 ) 2 ( 13 ) 2 ( 9 ) 2 ( 2 ) 2

(− = − 3 + − 2 + − + =

P

6 6 ) 3 ( 13 ) 3 ( 9 ) 3 ( 2 ) 3

(− = − 3+ − 2 + − + =−

P

0 6 2

3 13 2

3 9 2

3 2 2

3 3 2

= +       − +       − +       − =       −

P

Assim, obtemos as três raízes x₁ =−1,x₂ =−2,x₃ =−3 2. Portanto, o conjunto solução S =

{

−1,−2,−3/2

}

.

3) Verificar se o polinômio P(x)=x3 +x2 +x−1 possui raiz racional. Solução:

Pelo teorema das raízes racionais, se existir uma raiz racional

q p

, esta deverá ser 1 ou –1, verificando as duas possibilidades temos:

2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

(− = − 3+ − 2 + − − =−

P

2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

( = 3 + 2 + − =

P

e portanto podemos concluir que o polinômio não possui raiz racional.

2.5 Teorema das raízes complexas

Teorema 2.5.1: Se um número complexo z=a+bi (b≠0), é raiz de uma equação polinomial P(x)=0, com coeficientes reais, então o complexo conjugado

) 0 ( ≠ −

=a bi b

z também é raiz da equação.

Seja P(x)=a_nxn +a_n−1xn−1+K+a₁x+a₀ =0 (a_n ≠0), com coeficientes reais.

Da hipótese, temos z =a+bi (b≠0) é raiz da equação, isto é, P(z)=0. Logo,

0

0 1 1

1

+

+

+

=

+

−

−

z

a

z

a

a

z

a

_n n _n n

K

Assim,

0

0 1 1

1

+

+

+

=

+

−

−

z

a

z

a

a

z

a

_n n _n n

K

A partir de uma das propriedades do conjugado z₁ +z₂ =z₁ +z₂ , temos

0

0 1 1

1

+

+

+

=

+

−

−

z

a

z

a

a

z

a

_n n _n n

K

Da propriedade do conjugado kz₁ =kz₁ e k =k, temos 0

0 1

1

1 + + + =

+ −

− z a z a

a z

a n n

n

n K

Da propriedade do conjugado n ( )n, z

z = obtemos

0

)

(

)

(

z

+

a

₋₁

z

−1

+

+

a

₁

z

+

a

₀

=

a

_n n _n n

K

ou seja, P(z)=0, isto é, z também é raiz da equação P(x)=0.

Exemplo:

Determinar as raízes da equação x3 +4x=0. Solução:

Fatorando a equação, temos

i x ou x

x ou x

x

x( 2 +4)=0⇔ =0 2 +4=0⇔ =0 =±2

Logo, S =

{

0,2i,−2i

}

.

Teorema 2.5.2: Toda equação polinomial de grau n (n≥1) admite n e, somente n, raízes complexas, contando com suas multiplicidades.

Demonstração:

Seja a equação polinomial

). 0 ( 0 )

(x =a_nxn +a_n−1xn−1+ +a₁x+a₀ = a_n ≠

P K

Pela demonstração do Teorema da Decomposição, vimos que a equação 0

) (x =