Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

INSTITUTO DE FÍSICA

PÓS-GRADUAÇO EM FÍSICA

Dissertação de Mestrado

Desloalização de Ondas Aústias em

Sistemas Unidimensionais não Periódios

Alex Emanuel Barros Costa

Maeió

Desloalização de Ondas Aústias em

Sistemas Unidimensionais não Periódios

DissertaçãoapresentadaaoInstituto

de Físia da Universidade Federal

de Alagoas, omo parte dos réditos

para a obtenção do título de Mestre

em Ciênias.

Orientador: Prof. Dr. Franiso

Analeto Barros Fidelis de Moura

Maeió

Catalogação na fonte

Universidade Federal de Alagoas

Biblioteca Central

Divisão de Tratamento Técnico

Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

C437d Costa, Alex Emanuel Barros.

Deslocalização de ondas acústicas em sistemas unidimensionais não perió-

dicos / Alex Emanuel Barros Costa. – 2011.

54 f. : il., grafs.

Orientador: Francisco Anacleto Barros Fidelis de Moura.

Dissertação (mestrado em Física da Matéria Condensada) – Universidade

Federal de Alagoas. Instituto de Física. Maceió, 2011.

Bibliografia: f. 50-54.

1. Ondas Acústicas – Localização. 2. Aperiodicidade. 3. Correlação. 4. De-

sordem. 5. Sistemas acústicos. I. Título.

aos meus pais Emanuele Marisa,

aos meus irmãos

Após dois anos de intensa dediação para a onretização de mais uma etapa

de minha formaçãoaadêmio/prossional, enm,hega omomento de agradeer

àqueles queontribuíramdas mais diversas formas, e estiverampresentes durante

esse período.

Agradeço aDeuspor meonederforça esabedoriapara lidar omas

adversi-dades que surgem,e por sempre sefazer presente nos mais diversos momentosde

minha vida.

A minhaesposa Larissa, portodo seu amor, arinhoe alegria que tenho

ree-bido durante todo esse tempo. Agradeço por sua paiênia e apoio nos diversos

momentosque tantopreisei.

Agradeçoaosmeuspaispeloamor,dediaçãoeonançaonstantes, porterem

inentivado e investido na minha eduação. Aos meus irmãos, Lilyan, Emanuelle

e Vitor, peloarinho eamizade etambém aos demaisfamiliares pelo apoio.

Ao meu orientador prof. Franiso Fidelis: peloonheimento ompartilhado

e onstruído durante o mestrado, pelo trabalho onjunto realizado durante esse

tempo,que foi araterizadopelaseriedade eompromisso.

Ao prof. Marelo Lyra pelas indiações de referênias esseniais para a

quali-dade do meu trabalho, assim omo por ter ontribuído, revisando, os artigos que

forampubliados.

Ao prof. Glauber por ter ontribuído para minha formação ientía durante

agraduação, eporsuasindiaçõesde referênias pertinentes eimportantes paraa

Aos meus olegas: Filipe, Riardo, Henrique, Fred, Neto, Lidiane, Satiko,

Gabeh, Anderson, Paulo, Wandearley,Thayla, Janderson e Max.

Aos professores doIF que ontribuírampara aminha formação ientía.

Aos demaisamigos dapós-graduaçãopelaagradável onvivênia.

À CAPES por possibilitar a ontinuidade dos meus estudos graças ao apoio

Nesta dissertação de mestrado estudamos numeriamenteapropagação de

on-das aústias em meios não periódios unidimensionais. Nós nos onentramos

emdois tiposde meios: (1)om distribuição daelastiidadepossuindoorrelação

de longo alane e (2)om distribuição aperiódia pseudo-aleatória. No primeiro

aso,aelastiidadedadistribuiçãoaleatóriaéassumidater umespetrode

potên-ia

S

(

k

)

∼

1

/k

α

. Usando ométododematrizde transferêniaresolvemosaversão

disreta da equação da onda esalar e alulamos o omprimento de loalização.

Alémdisso,apliamosométodode diferençanitade segunda ordemparaas

var-iáveis temporal eespaial e estudamos a natureza das ondas que sepropagam na

adeia.

Nossos dadosnumériosindiamapresençade ondasaústiasestendidaspara

altograudeorrelação. Emontrasteomorrelaçãoloal,demonstramos

numeri-amente que orrelações de livre-esala promovem uma fase estável om ondas

aústias livre no limite termodinâmio. No outro aso, a distribuição das

on-stantes elástias foramgeradas usando uma função senoidal uja fase varia omo

uma lei de potênia,

φ

∝

n

ν

, onde

n

rotula as posições ao longo da rede. Ao

onsiderarnovamenteumaversãounidimensionaldisretizadadaequaçãode onda

e uma reformulação da matriz reursiva nós alulamos o omprimento de

loal-izaçãodentrodafaixade freqüêniaspermitidas. Nossosdadosnumériosindiam

a presença de ondas aústias propagantes om freqüênia diferente de zero para

Palavras-have: Ondas Aústias- Loalização, Aperiodiidade, Correlação,

In this Master degree thesis we numerially study the propagationof aousti

wavesinone-dimensionalnonperiodismedium. Wefousontwokindsofmedium:

(1) a media with sale-free long-range orrelated elastiity distribution and (2)

mediumwithanaperiodipseudo-randomelastiitydistribution. Intherst ase,

the random elastiity distribution is assumed to have a power spetrum

S

(

k

)

∼

1

/k

α

. By using a transfer matrix method we solve the disrete version of the

salarwaveequationand omputethe loalizationlength. Inaddition,weapplya

seond-order nite-dierene method for both the time and spatial variables and

study the natureof the waves that propagate in the hain.

Our numerial data indiatethe presene of extended aousti waves for high

degree of orrelations. In ontrast with loalorrelations, we numerially

demon-strated that sale-free orrelations promote a stable phase of free aousti waves

in the thermodynami limit. In the another ase, elastiity distribution was

gen-erated by using a sinusoidal funtion whose phase varies as a power-law,

φ

∝

n

ν

,

where

n

labelsthe positionsalongthe media. Byonsideringagainadisrete

one-dimensional version of the wave equation and a matrix reursive reformulation

we ompute the loalizationlength within the band of allowed frequenies. Our

numerial data indiates the presene of extended aousti waves with non-zero

frequeny forsuient degree of aperiodiity.

Keywords: Aousti Waves - Loalization, Aperiodiity, Correlation,

FOLHA DE ROSTO . . . i

DEDICATÓRIA . . . ii

AGRADECIMENTOS . . . iii

RESUMO . . . v

ABSTRACT . . . vii

1 INTRODUÇO 3 1.1 OndasAústias. . . 4

1.2 Matriz de Transferênia eomprimentode loalização . . . 6

1.3 OModelo de Anderson . . . 9

1.4 Teoria de Esala para a Transiçãode Anderson . . . 13

1.5 Violaçãoda Teoria de Esala . . . 18

2 LOCALIZAÇO EM POTENCIAIS CORRELACIONADOS 23 2.1 Distribuiçãoaleatóriaom orrelação de longoalane. . . 24

2.2 Diferença Finita . . . 27

2.3 Resultados . . . 28

3.1 Modelo . . . 40

3.2 Resultados . . . 41

4 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS 49

REFERÊNCIAS 51

INTRODUÇO

No séulo XX, as propriedades eletrnias motivaram o estudo da ondução de

elétrons emdiversos sistemas,ulminando om o surgimento dos transístores que

revoluionaram a eletrnia e trouxeram enormes benefíios à soiedade.

Ander-son [1; 2℄, nesse mesmo séulo, impulsionou os estudos da loalização eletrnia

aoprever que todos estadosem meiosdesordenados são loalizadospara sistemas

de baixadimensionalidade,independentedograude desordem. Embusada

vio-lação da Teoria de Anderson, realizada porinúmeros ientistas, pode-se armar,

hoje, que orrelação [35℄ e aperiodiidade [68℄, na desordem, são formas

on-venientes de tornar ondutores sistemas uni e bidimensionais. Algo mais peuliar

einteressantefoi aobservaçãode queofenmenode loalizaçãoeletrniasedeve

à araterístia ondulatória do elétron [9℄, o que inentivou e estimulou o estudo

daloalizaçãoemoutras lassesde sistemas.

Nasúltimasduasdéadastemresidoointeressepeloestudodepropagaçãode

ondas lássias em meios heterogêneos [1014℄. Nos anos 80, reseu o interesse

o surgimento de novos oneitos omo ristais fotnios [15℄ e ristais fonnios

[16℄, que exploram as propriedades ondulatórias da luz e do som, para ontrolar

a propagação nesses materiais. Nesse ontexto, loalização de ondas tem sido

estudadanoâmbitodeondasaústias [1720℄eeletromagnétias[21℄,permitindo

utilizaressasondas,ditaslássias,paraaaraterizaçãodemateriais,assimomo

para apliaçãotenológia. Podemositar omoexemploa riaçãode dispositivos

fotnios e fonnios que graças à propriedade da loalização de ondas, desrita

por Anderson, ltram ertas frequêniasimpossibilitando sua propagação.

A partir das onsiderações feitasaima, nosso interesse reside na investigação

de duaslasses de sistemas: aperiódioseom orrelaçãode longoalane; ambos

amplamente estudados no modelo eletrnio exibindo transição de Anderson no

regime de

d

≤

2

.

Dando ontinuidade a esse apítulo, apresentaremos a equação aústia do

nosso modelo, faremos uma revisão da teoria de Anderson e dos prinipais

resul-tados dainorporaçãode orrelaçãoe aperiodiidadeemsistemas desordenados.

1.1 Ondas Aústias

Nessa seção formularemos o problema de propagação de ondas aústias em

sis-temas elástios unidimensionais [1013℄ . É didatiamente, interessante abordar

o aso da propagação de ondas em ordas estiadas antes de desrever, de forma

geral, o aso aústio. Esse simples e usual exemplo, nos fornee resultados

im-portantes para a ompreensão de diversos outros sistemas omo por exemplo, a

propagação de ondas aústias em sólidose emmembranaselástias [22℄.

Figura1.1: Umaporção

ds

de umaordaxaemambososlados. Odesloamento doequilíbrio nolado esquerdo é

ψ

eno lado direito

ψ

+

dψ

.

Seja

ds

um omprimento da orda desrita por

s

(

x,t

)

. Veja a representação da

orda na gura 1.1. A tensão

~τ

varia om a posição

x

. O desloamento

ψ

(

x

)

é

pequenoeperpendiularàdireção

x

. Amassa

dm

doomprimentodoseguimendo

de orda

ds

é

ρds

. As omponentes horizontaisdas tensões são aproximadamente

iguaiseopostas,sendoassim,iremosnegligeniaromovimentodaordanadireção

x

. A forçana direção

ψ

(

x

)

é:

∆

F

=

ρds

∂

2

_ψ

₍

_x,t

₎

∂t

2

,

(1.1)

emque

∆

F

representa adiferença datensão em

x

e

x

+

dx

.

datensão:

(∆

F

)

y

=

−

τ

(

x

) sin(

θ

1

) +

τ

(

x

+

dx

) sin(

θ

2

)

=

−

τ

(

x

) tan(

θ

1

) +

τ

(

x

+

dx

) tan(

θ

2

)

=

−

τ

(

x

)

∂ψ

(

x,t

)

∂x

x

+

τ

(

x

)

∂ψ

(

x,t

)

∂x

x

+

dx

=

∂

∂x

τ

(

x

)

∂ψ

(

x,t

)

∂x

dx.

(1.2)

assumindo que

θ

é pequeno para pequenos desloamentos, onsideramos

sin

θ

≈

tan

θ

.

Agora igualandoasequações1.1 e1.2,para

ds

≈

dx

:

∂

2

_ψ

₍

_x,t

₎

∂t

2

=

∂

∂x

τ

(

x

)

ρ

∂ψ

(

x,t

)

∂x

.

(1.3)

Paraoasoemque

τ

(

x

) =

τ

,ouseja,paraordashomogêneastemosaequação

daonda omumente onheida:

∂

2

_ψ

₍

_x,t

₎

∂t

2

=

τ

ρ

∂

2

_ψ

₍

_x,t

₎

∂x

2

,

(1.4)

emque a veloidade dapropagação daonda é

v

=

p

τ /ρ

.

1.2 Matriz de Transferênia e omprimento de

lo-alização

lização dosistema. Com essa nalidade, busaremos uma representação matriial

para aequaçãode ondas aústias unidimensionaisapresentada naseçãoanterior.

A partir de então, onsideraremos a massade ada segmentoigual a

1

e portanto

τ

(

x

)

/ρ

omo sendo uma medida efetiva das propriedades elástiasloais do meio

(onstanteelástia efetiva

η

(

x

)

).

Vamosonsiderarque

ψ

temdependêniatemporalharmniadaforma

exp

−

iωt

.

Podemos,portanto, esrever

ψ

(

x,t

) =

ψ

(

x

) exp

−

iωt

sendo

ω

a frequênia daonda.

Assim, a equação daonda aústiaem uma dimensão éesrita:

∂

∂x

[

η

(

x

)

∂ψ

(

x

)

∂x

] +

ω

2

_ψ

₍

_x

_{) = 0}

_.

(1.5)

Considerandoumadisretizaçãouniformedaredeomespaçamento

∆

x

esendo

i

o número do sítio ao longo da adeia, as posições

x

passam a ser múltiplos de

∆

x

, ou seja,

x

=

i

∆

x

para um modelo disretizado. Usando que:

∂

∂x

[

η

(

x

)

∂ψ

(

x

)

∂x

]

≈

[

η

i

(

ψ

i

+1

−

ψ

i

)

−

η

i

−

1

(

ψ

i

−

ψ

i

−

1

)]

.

(1.6)

e seguindo a referênia[10℄, vamos onsiderar

∆

x

= 1

. Assimtemos:

η

i

(

ψ

i

+1

−

ψ

i

)

−

η

i

−

1

(

ψ

i

−

ψ

i

−

1

) +

ω

2

ψ

i

= 0

.

(1.7)

Podemos rearranjaros termose esreverna formamatriial:







ψ

i

+1

ψ

i







=







−

ω

2

+

η

i

+

η

i

−

1

η

i

−

η

i

−

1

η

i

1

0













ψ

i

ψ

i

−

1







=

T

i







ψ

i

ψ

i

−

1







(1.8)

0

1

2

3

4

ω

10

-6

10

-4

10

-2

10

0

10

2

λ/Ν

N=2

_N=2

14

17

Figura 1.2:

λ/N

para um sistema totalmente desordenado. Observe que apenas em

ω

= 0

há uma superposição das urvas.

nosítio

i

+ 1

omossítios

i

e

i

−

1

. Parauma adeiaquepossui

N

sítios,amatriz

detransferêniatotalqueonetaaamplitudenom daadeiaomasamplitudes

iniiasé

Q

N

=

Q

N

i

=1

T

i

. Dessaforma,dadaumondiçãoiniial

C

0

=

ψ

1

ψ

0

,podemos

enontrar

C

N

=

ψ

N

+1

ψ

N

, umavez que

C

N

=

Q

N

C

0

.

O expoente de Lyapunov, ou inverso do omprimento de loalização

λ

, é

denido por:

γ

(

ω

) =

1

λ

= lim

N

→∞

1

N

ln

|

Q

N

C

0

|

|

C

0

|

.

(1.9)

Consideremos duas redes om

N

= 2

14

e

N

= 2

17

elástias aleatórias, om valores igualmente distribuídos no intervalo

[1

.

5

,

2

.

5]

e

vejamos o omportamento do omprimento de loalização para esse sistema. A

gura1.2,mostraqueapenaspara

ω

= 0

oomprimentode loalizaçãodiverge no

limite termodinâmio; esse resultado sugere a existênia de estado desloalizado

apenas para afrequênia

ω

= 0

, isso representa que para

ω

6

= 0

, todos osestados

aústios são loalizados. Esse resultado simples,demonstra oefeito dadesordem

napropagação aústiaem uma dimensão.

Comojáantestínhamosomentado,efeitosdedesordeméumtópiodegrande

interesse na Físia da Matéria Condensada, sendo bastante ompreendido para

sistemaseletrnios. Poressa razão,vamosnos situarnesseontextoapresentando

os prinipaisresultados. Na próxima seção é apresentado o modelo de Anderson,

que permitiugrandes desobertas na déadade 60 sobre loalizaçãoeletrnia.

1.3 O Modelo de Anderson

Em 1958, P. W. Anderson [1; 2℄ apresentou um modelo que permitiuinvestigar

a natureza dos estados eletrnios em sistemas desordenados. Mostrou que na

presença de desordem a natureza da função de onda pode mudar de estendida,

omo noaso das ondasde Bloh [23℄, paraloalizada. Alémdisso, pela primeira

vez,estimouquantitativamentealarguradadesordemneessáriaparaaoorrênia

dessatransiçãoquehojeéonheidaomoTransiçãodeAnderson. OHamiltoniano

de Anderson, narepresentação de segunda quantização,é expresso por:

ˆ

H

=

X

i

E

i

C

ˆ

i

†

C

ˆ

i

+

X

i

6

=

j

Nessa expressão,

E

i

é a energia do i-ésimo sítio,

T

ij

é a intregral de

trans-ferênia entre os sítios

i

e

j

(também onheida por amplitude hopping) e

C

ˆ

†

e

ˆ

C

são, respetivamente, os operadores de riação e destruição do elétron no sítio

i

. É importante destaar que, nesse Hamiltoniano as interações Coulombianas

entre os elétrons são desprezadas. A desordem araterístia do modelo é

intro-duzidaesolhendo-se

E

i

paraadasítio

i

deformaaleatóriadentrodeumintervalo

[

−

W/

2

,W/

2]

. Ograude desordem dosistemaéontroladopeloparâmetro

W

,

o-nheido omo largura dadistribuição de desordem. Quando

W

= 0

é obtido um

sistema ordenado, noqualtodos os sítios possui a mesmaenergia.

O modelo tridimensional de Anderson, prevê a existênia de estados

estendi-dos, para um grau de desordem menor que o grau rítio

W

c

, ou seja, em que

W < W

c

. Utilizando-sedesse modelo,Andersonmostrouaexistêniadahamada

loalizaçãoda função de onda eletrnia peladesordem.

Um modo simples de disutir o modelo de Anderson é esrevendo os

auto-estados do Hamiltoniano

H

ˆ

om energia

E

em termos da expansão

ψ

=

P

i

a

i

φ

i

emque

φ

i

é a função de onda de um elétronloalizadonosítio

i

. Assimtemos:

Ea

i

=

E

i

a

i

+

X

j

T

ij

a

j

.

(1.11)

Sendo

ψ

umestadonãoestaionário,osoeientes

a

i

'

s

dependentes dotempo,

obedeerão à equação:

−

i

~

da

i

dt

=

E

i

a

i

+

X

j

T

ij

a

j

.

(1.12)

termos de hopping entre os

z

primeiros vizinhos para ada sítio

i

, sendo esses de

mesma magnitude

T

. Dessa forma a equação 1.12 de Shödinger dependente do

tempo,torna-se

Ea

i

=

E

i

a

i

+

T

j

=

z

X

j

=1

a

i

+

j

,

(1.13)

em que

T

é o termo de hopping entre qualquer par de sítios da rede. Por

simpli-idade, sabendo que aenergia

E

i

é amesma emtodos ossítios, onsideremosque

possui valor

E

i

= 0

. Para uma adeiaunidimensional,a equação 1.13 sereduz a

Ea

i

=

T

(

a

i

−

1

+

a

i

+1

)

,

(1.14)

que pode ser soluionada esolhendo

a

n

=

a

0

exp

ink

. Assim, obtemosa relaçãode

dispersão para uma rede unidimensional:

E

= 2

T

cos

k.

(1.15)

Portanto,abandapermitidaédadapor:

−

2

T < E <

2

T

,omlarguradebanda

B

= 4

T

. Demaneirageral,paraumaredededimensão

d

omnúmerodeprimeiros

vizinhos

z

,alarguradebandaé

B

= 2

zT

. Oasogeral,semsimpliações,emque

W

6

= 0

e

T

6

= 0

,foiabordadoporAndersonutilizandométodosperturbativospara

W

e

T

. Anderson demostrou om esse modelo que se

W/B

for suientemente

grande, oorre um transição metal-isolante em que todos os estados na banda

são exponeialmenteloalizados. Oritérioqualitativopara existênia de estados

desloalizadosédado por:

Figura 1.3: Transição de Anderson. a)Potenialperiódio om largura de banda

B

. b) Potenialaleatório om largurade desordem

W

. Quando a largura de

de-sordem

W

superaralarguradebanda

B

,oorreloalizaçãoinduzidapordesordem.

Vamos apresentar quantitativamentea origem daloalização. Consideremos o

modelode Bloh[23℄om potenialperiódio,poronveniêniaopotenial

rista-lino

U

(

r

) = 0

, ouseja, uma situação de elétron livre. Caso seja introduzida uma

barreirade potenial,a esse elétron,a função de onda será parialmente

transmi-tida e reetida; se for introduzida duas barreiras a onda eletrnia será reetida

duas vezes, havendo interferênia onstrutiva ou destrutiva, que dependerá da

diferença de fase entre as ondas. O padrão de interferênia pode ser bastante

al-terado, ao onsiderar várias barreiras om poteniais aleatórios ou espaçadas de

formaaleatória,a onda sofrerá várias reexões sem manter oerêniade fase.

Es-sasreexõesausaminterferêniasdestrutivas,tornandoaondaexponenialmente

loalizada. A função de onda passa a ar loalizada em um pequena região do

Figura 1.4: Função de onda loalizada. O parâmetro

λ

mede a largura típia da função de ondae é tambémonheido omo omprimento de loalização.

loalizadaexponenialmenteemumapequenaregião. Aprobabilidadedeenontar

o elétron deai exponenialmente om a distânia, ou seja,

|

ψ

| ∼

e

−|

~

r

−

~

r

0

|

/λ

. A

quantidade

λ

, onheida omo omprimento de loalização, pode ser usada para

araterizar um estado eletrnio omo sendo loalizado ou desloalizado. Em

geral, para um estado desloalizado, nolimite termodinâmio

λ

→ ∞

.

1.4 Teoria de Esala para a Transição de Anderson

Vamos agora apresentar a teoria de esala [24℄ que nos permite enontrar a

de-pendênia da transição de Anderson om a dimensão. A hipótese básia dessa

teoria é que uma únia quantidade araterístia, rotulada de ondutânia

ge-neralizada

g

, ontrola a transição metal-isolantede Andersonpara a temperatura

T

= 0

. Nessa abordagem, a teoria de esala foi apliadana reformulação do

mo-delo de Anderson feita porThoules [25℄. Na reformulaçãode Thoules, as unidade

fundamentais deixam de ser os sítidos atmios

i

, passando a ser hiperubos de

volume

L

d

. Dessaforma,umsólidoristalinopassaaserformadoporváriasaixas

res-petivamente no espaçamento médio entre os níveis

∆

E

e em

δE

que representa

o desloamentoausado pormudanças nas ondições de ontorno.

Utilizandooprinípiodeinerteza,podemosrelaionar

δE

omaondutividade

σ

nolimite marosópio. Através doprinípioda inerteza temos [26℄:

δE

=

~

_/t

_D

_,

(1.17)

supondoqueoelétrondifundeatéosontornosdeumaaixadelado

L

desrevendo

um movimento aleatórioouBrownianoemum tempo

t

D

,temos a relação:

t

D

=

L

2

/D,

(1.18)

em que

D

é a onstante de difusão. Com o uso da relação de Einstein entre a

ondutividade eas propriedadesde difusão:

σ

=

eDn

(

E

)

,

(1.19)

e ombinando asequações1.17,1.18 e 1.19 temos:

δE

=

σ

~

e

2

₍

_L

2

_n

₍

_E

₎₎

.

(1.20)

A densidade de estados:

n

(

E

) =

1

L

d

_∆

_E

.

(1.21)

A razão

∆

E/δE

nesse ontexto éagora vistaomo sendo aforçade desordem

Figura1.5: Comportamentoqualitativode

β

(

g

)

para uma, duase trêsdimensões. Apresentado porAbrahams, Anderson, Liiardelloe Ramakrishnamem 1979.

de desordem, denotadopor

g

−

1

, possui dependênia om aesalaeédenido por:

1

g

(

L

)

≡

∆

E

δE

.

(1.22)

Substituindoa equaçãoequação1.20 e1.21na1.22 ,obteremos adependênia

doparâmetro de ordemom a esala:

g

(

L

) = (

~

_/e

2

₎

_σL

d

−

2

_.

(1.23)

Aequação1.23éválidaparaolimitemarosópio,umavezqueaequação1.17

generalizadaemunidadesde

e

2

_/

_~

,tendootermo

L

d

−

2

_σ

denidoomoa

ondutân-ia de um ubo d-dimensional de lado

L

e ondutividade

σ

. Vamos investigar a

dependênia de

g

(

L

)

om o omprimentode esalautilizado. Com essa nalidade

supondo que

g

0

=

g

(

L

0

) =

δE

(

L

0

)

/

∆

E

(

L

0

)

seja a ondutânia generalizada para

um sistema om vários hiperubos aoplados de volume

L

d

0

. A teoria de esala

assume que, dado

g

0

em uma esala om omprimento

L

0

, podemos obter

g

em

uma esala maior

L

=

bL

0

. Na nova esala

L

, o parâmetro

g

é ompletamente

determinadoonheendo

g

0

e ofatorde esala

b

. Para explorar oomportamento

doparâmetro

g

om aesala, vamos obter a derivada logarítimiade

g

, denotada

por

β

eexpressa por:

β

(

g

) =

dlng

(

L

)

dlnL

.

(1.24)

A gura 1.5 representa o omportamento qualitativo da função

β

para uma,

duas e três dimensões. Para

β

positivo o parâmetro

g

rese om o resimento

de

L

e para

β

negativo

g

derese om o resimento de

L

. Vamos desrever o

omportamentode

β

,observandooomportamentode

g

emseuslimites

assintóti-os, ou seja,em

g

→ ∞

e

g

→

0

. Para o limitemarosópio, emque

g

é grande,

podemosusar a equação 1.23 epartindo dessa relação,obtermos

β

em

g

→ ∞

:

lim

g

→∞

β

(

g

) =

d

−

2

,

(1.25)

ouseja,

β

(

∞

) =























+1

em

d

= 3

0

em

d

= 2

−

1

em

d

= 1

(1.26)

modelodeAndersonprevêquetodososestadossãoloalizadosedeaem

exponen-ialmente om a distânia. Nos ontornos de uma aixa de dimensão linear

L

, a

amplitudedafunçãode onda deum elétronloalizadodentrodaaixaédaordem

de

e

−

γL

, em que

1

/γ

é o omprimentode loalização. Como oaoplamento entre

asaixas tambémpossuiamesmadependênia exponenialom

L

,aondutânia

generalizada

g

deai exponenialmente, portanto, usando a equação 1.24 temos

que:

lim

g

→

0

β

(

g

) =

ln

(

g

)

,

(1.27)

portanto,temos oseguinteresultado queindependente dadimensão,

lim

g

→

0

β

(

g

) =

−∞

.

(1.28)

Assumindo que a função

β

(

g

)

é monotnia entre os limites de

g

→ ∞

e

g

→

0

, podemos reproduzir failmente a gura 1.5. Observemos atentamente o

omportamentode

β

para

d

= 3

. Podemos notar que, para essa dimensão existe

um pontoxo instável em

β

= 0

om

g

=

g

c

. Em

g

c

, aondutânia independente

da esala, araterizando uma transição metal-isolantede Anderson. A prinipal

onlusão dateoria de esalaé quepara

d <

3

,emespeial em

d

= 1

e

d

= 2

, não

existe transição metal-isolanteetodos estadossão loalizados, poisaondutânia

vaisempreazeroquando

L

→ ∞

. Emanalogiaomasteoriasdetransiçõesdefase

de segunda ordem, a ondutividade em orrente ontínua

σ

DC

e o omprimento

omportamentotipolei de potênia:

σ

DC

∝

(

E

−

E

c

)

s

λ

∝

(

E

−

E

c

)

−

ν

.

(1.29)

Os valores dos expoentes

s

=

ν

= 1

foram numeriamente obtidos usando uma

expansãoem

d

+

ǫ

porWegner[2℄etambémporténiasdeexpansãodiagramátia

por Vollhard e Wle [2℄. Reentemente, onsiderações sistemátias de variáveis

irrelevantes eorreçõesnão linearesnateoriade esalatêm renadoosresultados,

obtendo o expoente rítio om maior preisãonuméria

ν

≈

1

.

57

[2℄.

1.5 Violação da Teoria de Esala

Até então, vimos que a teoria de esala para o modelo de Anderson prevê que

todos os estados são loalizadosem sistemas de baixa dimensionalidade, ou seja,

em

d

≤

2

para qualquer grau de desordem; e também, prevê a possibilidade de

uma transição metal-isolantepara um sistema tridimensional. Entretanto, vários

trabalhosreentestêmapresentado transiçõesmetal-isolanteemsistemasde baixa

dimensionalidade,parasistemasomdesordemorrelaionadaousistemas

pseudo-aleatórios, resultados não previstos pelo modelo de Anderson original.

Emmeadosdadéadade

80

,váriostrabalhosenvolvendomodelostight-binding

unidimensionais om poteniais inomensuráveis revelaram a presença de uma

transição metal-isolante. Por exemplo, um potenial do tipo

ǫ

n

=

V

cos

k

|

n

|

ν

onde

k

= 2

πα

e

α

é um número irraional entre

0

e

1

apresenta vários

−

2 +

V < E <

2

−

V

e estados loalizados nas faixas

2

−

V < E <

2 +

V

e

−

2

−

V < E <

−

2 +

V

para

V <

2

,enquantoque todosos estadossão loalizados

para

V >

2

. Para

ν

= 1

os estados eletrnios são loalizadosse

V >

2

e

estendi-dos se

V <

2

. Para

1

< ν <

2

todos osestados são loalizados, mas o oeiente

de Lyapunov se aproxima de zero no entro da banda. Finalmente, para

ν >

2

o sistema se omporta omo um modelo de Anderson unidimensional e todos os

estados são exponeialmenteloalizados.

Em1990, Dunlapeolaboradores[3℄atravésdomodelode tight-binding

unidi-mensional,estudaramuma adeiaompostaporumaligabinária. Asenergiasdos

sítios, nessemodelo, podem assumirvalores

ǫ

a

e

ǫ

b

. Ossítiosde energia

ǫ

a

sempre

apareem empares ,tendo probabilidade

p

de apareerenquanto

ǫ

b

probabilidade

1

−

p

. O termode hoppingentre osprimeirosvizinhos éonstante eigual a

t

. Foi

mostrado nesse trabalhoque se

−

2

t < ǫ

a

−

ǫ

b

<

2

t

o sistema apresenta uma

ener-gia ressonante em que a função de onda é desloalizada. Uma série de trabalhos

envolvendo orrelaçõestipodímerossurgiramdesde então sempreom osmesmos

resultados: divergênia doomprimentode loalizaçãoemalgumasenergias

ríti-as [2732℄. A diferença fundamental entre o modelo de Anderson original e os

modelos de dímeros é a existênia de orrelações nas energias dos sítios. Wu e

Phillips [27℄ mostraram que a distribuição de desordem na polianilinaé desrita

exatamente por este modelo de dímeros aleatórios. A existênia desses estados

estendidos ressonantes foram veriadas por Bellani et al [33℄ em experimentos

om super-redes de dímerosaleatórios(GaAs-AlGaAs).

Em1998,MouraeLyra[4℄estudaramum modelodeAndersonunidimensional

orrela-de um movimentoBrowniano fraionário,ujo adensidade espetral é dada por:

S

(

k

)

∝

1

k

α

,

(1.30)

em que

S

(

k

)

é a transformada de Fourier da função orrelação entre dois pontos

< ǫ

i

ǫ

j

>

. O parâmetro

α

mede o grau de orrelação da sequênia. Para

α

= 0

reupera-se uma sequênia ompletamente desorrelaionada. Através do

forma-lismode grupo de renormalização, Moura eLyra [34℄,mostraram que para

α >

2

estesistemapodeexibirumafasedeestadosestendidosnoentrodabanda. Esses

resultadossão importantes,poispelaprimeiravez foiapresentada umaverdadeira

transição metal-isolanteemsistemasunidimensionais. Namesmaépoa,em1999,

Izraileve Krokhin [35℄ mostraram tambéma existêniade transição de Anderson

para sistemas unidimensionais possuindo orrelação de longo alane, através do

uso dateoriade perturbaçãode segunda ordem. Aindaem1999,resultados

seme-lhantesaesses foramobtidospelogrupode IzraileveKrokhin[5℄. Utilizandouma

teoria de perturbação de segunda ordem obtiveram uma transição metal-isolante

em sistemas om desordem orrelaionada. A presença de uma verdadeira fase

metália em sistemas om orrelações de longo alane na distribuição de

desor-demvemhamandoaatençãodaomunidadeientíaemotivandomuitosestudos

teórios e experimentais. Podemos itar a observação experimental de

transmis-são de miro-ondas em guias retangulares om espalhadores orrelaionados [36℄.

Nesse experimento,os espalhadoresoloadosnoguiade ondas, sãoparafusos

mi-rométrios(vergura1.6)ujasdimensõessão orrelaionadas. Elesenontraram

uma faixa de frequênias [

ω

1

Figura1.6: Aparato experimental doguia de ondausado na referênia[36℄.

mostrandoapresençade transiçãode Andersonemsistemasunidimensionais. Em

2008, Sahimi e olaboradores [10℄, apresentaram resultados para a propagação

de ondas aústias em sistemas unidimensionaisom orrelações tipo dímeros na

distribuição de desordem. Através do método da matriz transferênia, álulo

analítio e diferença nita, mostraram a existênia de um estado estendido para

uma frequênia de ressonânia

ω

c

. O valor de

ω

c

depende diretamente do tipo

de dímero utilizado. Propagação de ondas aústias em meios om orrelações

tipo lei de potênia também vêm sendo estudadas através de métodos de grupo

de renormalização bem omo métodos numérios [1114℄. Resultados indiam a

existênia de estados aústios estendidos para quaisquer dimensões topológias.

Considerando esse ontexto, nessa dissertação, estudamos através do método

da matriz transferênia e diferença nita, os efeitos das distribuições de

elastii-dades não-periódias nas propriedades de transmissão aústia em baixa

dimen-sionalidade. Vamosadaptardistribuiçõesnãoperiódiasjáestudadaspreviamente

em sistemas quântios eletrnios e magnétios [4; 37; 38℄ para sistemas

omo sistemas aperiódios. No apítulo 2, vamos apresentar nossa análise sobre

transporte de ondas aústias em sistemas om orrelações de longo alane e no

apítulo3emsistemasaperiódios. Porm,umbreveapítuloomasonlusõese

LOCALIZAÇO DE ONDAS

ACÚSTICAS EM POTENCIAIS

COM CORRELAÇO DE LONGO

ALCANCE

Noapítuloanterior,explanamos aimportâniadoestudosobreoefeitode

desor-dem em diversos sistemas. Neste apítuloapresentaremosum estudonumério da

equaçãodeondaaústianapresençade umadistribuiçãodeelastiidadeom

or-relaçõesdelongoalane. Emnossoestudovamosgeraraonstanteelástiaefetiva

do meio através do traço de um movimentoBrowniano fraionário. Basiamente

vamos onstruir uma distribuição quepossui densidade espetral

S

(

k

) =

k

−

α

, em

que

k

= 1

/λ

e

λ

é o omprimento de onda das modulações da distribuição. O

parâmetro

α

medeo grau de orrelação dadistribuição.

S

(

k

)

é obtidotomandoa

de gerar esse tipo de distribuição é através do movimento Browniano fraionário

(MBF) que será apresentando na próxima seção. Após entender omo gerar

nu-meriamenteumadistribuiçãoomorrelaçõesdelongoalanevamosintroduzira

mesma,omo sendoasonstantes elástiasnaequação de ondaaústiaeestudar

o efeitodesta orrelação usandométodos numérios usuais [10℄.

2.1 Distribuição aleatória om orrelação de longo

alane

Generalizandoooneito defunção aleatória

x

(

t

)

,Mandelbrot [39;40℄introduziu

ooneitodemovimentoBrownianofraionário(MBF)quetemsidoutilizadopara

gerar sequênias aleatóriasorrelaionadas. Considerandoque

B

H

(

t

)

representaa

posição da partíula que desreve um movimento Browniano fraionário em um

instante

t

eonsiderandoque

B

H

(

t

= 0) = 0

,temosque afunção

C

(

t

)

quemedea

orrelaçãoentreosinrementos

(

B

H

(0)

−

B

H

(

−

t

))

e

(

B

H

(

t

)

−

B

H

(0))

,érelaionada

om o expoente de Hust, omoa seguir:

C

(

t

) = [

<

−

B

H

(

−

t

)

B

H

(

t

)

>

B

H

(

t

)

2

] = (2

2

H

−

1

₋

₁₎

_.

(2.1)

Observe que

C

(

t

) = 0

para todoinstantede tempo quando

H

= 1

/

2

, ouseja,

para o aso de um movimento Browniano simples. Para

H

6

= 1

/

2

, os

inremen-tos entre os eventos possui orrelação diferente de zero para qualquer instantede

tempo. Quando temos que

H >

1

/

2

o movimento é persistente, ou seja, se a

aminhada sofreu resimentono passadoentão os inrementosnofuturo tendem

antipersis-tente indiando que inrementos negativos no passado impliam em inrementos

positivos nofuturo e vie-versa.

Para gerar uma série temporal aleatória om espetro bem denido, vários

autores [4145℄ tem usado a transformadade Fourier disreta, obtendo a relação:

x

i

=

N/

2

X

k

=1

(

S

(

ω

k

)∆

ω

)

1

/

2

cos(

ω

k

t

n

+

φ

k

)

.

(2.2)

É importante salientar que o ruído na série

x

i

é originado ao onsiderar que

as

N/

2

fases

φ

k

assumem valores uniformemente distribuidos de forma aleatória

no intervalo

[0

,

2

π

]

. As frequênias

ω

k

, são múltiplas da frequênia fundamental

∆

ω

= 2

π/T

, ou seja,

ω

k

=

k

∆

ω

. Considerando que a partíula seja observada

no tempo

t

i

=

iτ

, e que tenha

N

valores em um período

T

, assim

T

=

Nτ

.

Assumindoque

S

(

ω

k

) = 1

/ω

α

k

eesolhendo por onveniênia

τ

= 1

, obtemos:

x

i

=

N/

2

X

k

=1

"

k

−

α

2

π

N

1

−

α

#

cos

2

πik

N

+

φ

k

.

(2.3)

Oparâmetro

α

ontrola ograude orrelaçãodadistribuiçãoeestárelaionado

omoexpoentedeHustdaforma

α

= 2

H

+ 1

. Quando temos

α

= 0

,asequêniaé

aleatória,om ruídobrano,ouseja,sem orrelaçõesentre oseventos. Para oaso

espeial em que

α

= 2

reuperamos a sequênia típia de movimento Browniano

simples. Para simular sistemas elástios que possuem distribuição de elastiidade

om orrelações de longo alane, vamos utilizar a sequênia

x

i

através do uso

de uma transformada hiperbólia que não altera o omportamento típio de lei

intervalo

−

1

≤

x

i

≤

1

,

x

i

= tanh





N/

2

X

k

=1

1

k

α/

2

cos

2

πik

N

+

φ

k





.

(2.4)

As

N/

2

fases

φ

k

sãogeradasdeformauniformeemumintervalo

[0

,

2

π

]

,

φ

k

éoúnio

termo estoástio da série. É importante lembrar que o parâmetro

α

é o termo

queontrolaograudeorrelaçãodasequênia. Paraobtermos umasequêniaom

variânia independente do tamanho do sistema, as onstantes elástias

η

i

foram

esolhidas de maneira a manter

∆

η

i

=

constante

e evitar valores negativos na

distribuição, para os primeiros estudos, onsideramos

∆

η

i

= 1

. Para satisfazer a

essas ondições, esolhemos

η

i

da forma:

η

i

= 2 +

x

i

∆

x

.

(2.5)

Na gura 2.1 é mostrado

η

i

×

i

para diferentes graus de desordem (

α

=

0

.

0

,

1

.

0

,

2

.

0

e

3

.

0

) para adeias de tamanho

N

= 2

14

. Após ter denido

η

i

va-mos estudarnumeriamente a propagação de modos aústios através dasolução

numéria da equação de onda 1.5. Vamos apliar além do método de matriz de

transferênia,apliadonoapítuloanterior,um formalismode diferençanitaque

permite asolução numéria diretada equação para uma ondição iniial geral. O

1

2

3

4

η

i

α=0.0

1

2

3

4

α=1.0

1

2

3

4

α=2.0

0

5000

10000

15000

i

1

2

3

4

α=3.0

Figura 2.1: Sequênias geradas pela equação 2.5 om

N

= 2

14

e parâmetros de

orrelação

α

= 0

,

1

,

2

e

3

.

0

.

2.2 Diferença Finita

Uma disretização da função

ψ

(

x,t

)

é obtida onsiderando apenas os valores

ψ

n

i

emum nitonúmerode pontos

(

x

i

,t

n

)

emque

x

=

i

∆

x

e

t

=

n

∆

t

, sendo

∆

x

e

∆

t

oespaçamentodarede noespaçodaposição enotempo,respetivamente. Para a

desrição matemátia de

ψ

notempoeno espaço,usamos adenotação de sendo

i

referente ao espaçoe

n

ao tempo.

Considerando uma expansão em série de Taylor e desprezando termos de alta

Figura2.2: Disretização do espaçoe tempo.

∂

2

∂t

2

ψ

(

x,t

)

≈

ψ

_i

n

+1

−

2

ψ

n

i

+

ψ

i

n

−

1

∆

t

2

,

(2.6)

e para aderivada espaial,

∂

∂x

[

η

(

x

)

∂ψ

(

x,t

)

∂x

]

≈

1

∆

x

2

[

η

i

(

ψ

n

i

+1

−

ψ

i

n

)

−

η

i

−

1

(

ψ

n

i

−

ψ

i

n

−

1

)]

.

(2.7)

Em nossas simulações o espaçamento entre os sítios vizinhos é

∆

x

= 1

. Para

garantir estabilidade usamos

∆

t

≤

∆

x/

100

.

A gura 2.3exibea representação doespaço edo tempo emnita diferença.

2.3 Resultados

Nesta seção vamos apresentar nossos prinipaisresultados a respeito do

0

500

1000

1500

i

-1

0

1

ψ(

x)

Figura 2.3: Amplitude de uma onda inidente senoidal ao longo de um meio

ho-mogêneo (

η

i

= 2

para qualquer valorde

i

) em

t

= 10

5

_∆

_t

.

de longo alane, alulamosoomprimentode loalizaçãopara diversos grausde

orrelaçãoutilizandoométododaMatrizTransferêniajáapresentado. Utilizamos

10

5

desordens onguraionaisparaobteroomprimentodeloalizaçãoemfunção

dafrequênia, denotado por

λ

(

ω

)

.

Em geral, no ontexto de loalização de ondas, o álulo do omprimento de

loalização tem permitido mapear regiões espetrais em que o meio se omporta

de formametáliaouisolante. Por isso, é onvenienteanalisarmos

λ

(

ω

)

/N

.

Vejamos a gura 2.4, temos

λ/N

versus

ω

para

N

= 2

14

e

N

= 2

17

om

3 diferentes graus de orrelação:

α

= 0

.

0

,

1

.

0

e

3

.

0

. Podemos notar que, em

ω

= 0

, independentemente do tamanhodo sistema e dograu de orrelação, nessa

0

1

2

3

4

ω

10

-6

10

-4

10

-2

10

0

10

2

λ/Ν

α=0.00 Ν=2

14

α=0.00 Ν=2

17

α=1.00 Ν=2

14

α=1.00 Ν=2

17

α=3.00 Ν=2

14

α=3.00 Ν=2

17

Figura2.4: Comprimentode loalizaçãoesalado

λ/N

versus

ω

para

α

= 0

,

1

e

3

. Osálulos foramfeitos para

N

= 2

14

e

N

= 2

17

.

em

ω

6

= 0

não notamos uma dependênia de

λ

om

N

, portanto, para

ω

6

= 0

esses graus de orrelação não favoreem a existênia de estadosdesloalizados no

sistema. Jápara

α

= 3

.

0

,nafaixade

ω < ω

c

∝

1

.

6

,

λ

∝

N

,indiandoaexistênia

de modos propagantes.

Com o objetivo de investigar emtorno de qual valor do parâmetro

α

, surgem

regiões de estados aústios desloalizados, alulamos o valor médio do

ompri-mentodeloalizaçãonormalizadoomfrequêniaentradaem

ω

= 1

. Basiamente

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

α

10

-3

10

0

10

3

<

λ

>/N

N=2

14

N=2

17

N=2

19

Figura 2.5: Comprimentode loalizaçãoesalado médio

< λ > /N

versus

ω

para

α

= 0

,

1

e

3

.

maneira,denimos

< λ > /N

omo a seguir:

< λ > /N

=

1

NN

f

1

.

5

X

0

.

5

λ

(

ω

)

,

(2.8)

emque

N

f

éonúmerodeestadosomfrequênia

ω

dentrodointervalode

[0

.

5

,

1

.

5]

.

Usamos

N

f

= 500

e assim enontramos

< λ > /N

para diversos parâmetros de

desordem

α

om valores entre

0

e

3

e disretização de tamanho

∆

α

= 0

.

25

. Na

gura 2.5 temos

< λ > /N

versus

α

para dois tamanhos de rede:

N

= 2

14

e

N

= 2

17

0

1e+06

2e+06

3e+06

4e+06

N

10

-2

10

0

10

2

<

λ

>/N

α=3

α=2.5

α=1.5

α=0.5

Figura2.6: Lei de esala de

< λ > /N

para

α

= 0

.

5

,

1

.

5

,

2

.

5

e

3

.

uma superposição das urvas, ou seja,

λ

∝

N

. Essa investigação sugere que,

para

N

→ ∞

o omprimento de loalização normalizado

λ/N

→

0

, indiando a

existêniade estadosdesloalizadospara

α > α

c

, emque

α

c

éo parâmetrorítio

de desordem.

A gura 2.6, exibe o resultado de

< λ > /N

versus

N

para

N

= 2

14

até

N

= 2

22

paradiversosvaloresdoparâmetro

α

. Dentrodenossapreisãonuméria,

enontramos

< λ >

∝

N

0

,

98(2)

para forte orrelação. Esse resultado india que, no

-2

-1

0

1

2

0

2500

5000

7500

10000

i

-1

0

1

ψ

_i

α=0

α=3

a)

b)

Figura 2.7: Amplitude da onda durante a propagação através do meio

orrela-ionado para o tempo

t

= 500000∆

t

. A onda inidente é uma função seno om frequênia

ω

= 1

. Em (a) onsideramos o aso não orrelaionado

α

= 0

e (b) para o regimede forteorrelação

α

= 3

.

0

.

de estadosestendidos. Assim, resolvemos estudaratravésdo métodode diferença

nita a dinâmiada propagação. Resolvemos numeriamente a equação da onda

aústia, onsiderando

∆

x

= 1

e

∆

t

≤

∆

x/

100

, por questões de estabilidade

numéria. Consideramos a inidênia de uma onda senoidal

ψ

(0

,t

) =

sin

(

ω

0

t

)

,

om frequênia

ω

0

= 1

ao longo de uma rede de tamanho

N

= 2

15

, para dois

parâmetros de desordem:

α

= 1

.

0

e

α

= 3

.

0

. A gura 2.7 exibe o resultado de

ψ

no instante de tempo

t

= 5000000∆

t

propagando em uma rede om

α

= 1

.

00

-6

-3

0

3

6

ψ

_i

0

1000

2000

3000

4000

i

-0.5

0

0.5

α=0

α=3

t

1

t

₂

_t

3

t

4

a)

b)

Figura 2.8: Amplitude da onda para os tempos

t

1

= 50000

,

t

2

= 100000

,

t

3

=

200000

e

t

4

= 300000

, onsiderando a inidênia de um pulso denido por

Ψ

0

=

exp[

−

(

t

−

t

0

)

2

/

2

σ

2

t

] cos(

ω

0

t

)

om

σ

t

= 20

e frequênia

ω

= 1

.

0

.

que, para o regime de forte orrelação o meio se torna ondutor, permitindo a

propagação daonda aústiaao longo daadeia,já para

α

= 1

.

0

regimede baixa

orrelação, todaonda é reetida no iníioda rede.

Variamos também o tipo de onda inidente, onsideramosa inidênia de um

pulso

ψ

(0

,t

) = exp[

−

(

t

−

t

0

)

2

_/

₂

_σ

2

t

] cos(

ω

0

t

)

om

σ

t

= 1

/σ

ω

= 20

e

ω

= 1

.

0

. Agura

2.8representaapropagaçãoparainstantesdetempo

t

1

= 50000∆

t

,

t

2

= 100000∆

t

,

t

3

= 200000∆

t

e

t

4

= 300000∆

t

apartea)para ummeioemque

α

= 0

.

0

eb)para

0

1

2

3

ω

0

10

20

30

40

A(

ω)

α=3

α=0

e)

Figura 2.9: Intensidade espetral

A

(

ω

)

de

ψ

na posição

L

= 20000

alulados usando 20realizaçõesde desordem.

há propagação, omo já esperávamos, e para

α

= 3

.

0

a onda aústia propaga-se

no meio fortemente orrelaionado, orroborando o resultado da onda inidente

senoidal.

Busandoatravésdadinâmiadosistema,enontrarafrequêniarítia

ω

c

que

separa os modos propagantes dos loalizados, alulamos a intensidade espetral

A

(

ω

)

dainidêniadeváriospulsosdeondaemumaposiçãoxanarede. Afunção

A

(

ω

) = (1

/

2)

|

ψ

L

(

ω

)

|

2

emque

ψ

(

ω

)

éobtidatomandoatransformadadeFourierde

ψ

(

x,t

)

a uma distânia

L

= 20000

emredes de tamanho

N

= 2

15

. Consideramos

20

onguraçõesomputaionais das redes,para obter

A

(

ω

)

.

0

1

2

3

α

10

-4

10

-2

10

0

10

2

<

λ

>/N

N=2

17

N=2

19

N=2

21

10

-4

10

-2

10

0

10

2

N=2

17

N=2

19

N=2

21

∆η

=0.75

∆η

=0.5

a)

b)

Figura2.10: a)b) Comprimento de loalizaçãoesalado médio emuma janelade

frequênia

[0

.

5

,

1

.

5]

versus

α

para

∆

η

= 0

.

5

e

∆

η

= 0

.

75

.

desordem dos sistema,

α

= 0

.

0

e

α

= 3

.

0

. Inidimosvários pulsosom frequênias

dentrodointervalo

[0

,

3]

ealulamosaintensidadeespetralnaposição

L

= 20000

.

Podemos notar que todos os modos om frequênia

ω > ω

c

deaem e o meio se

omporta omo um ltro, transmitindo apenas frequênias a baixo de

ω

≈

1

.

6

.

Essesresultadosestãoemtotalonordâniaomosobtidosanteriormente,através

dométododo álulodo omprimentode loalização.

Para nalizar nossos estudos, onsideramos o efeito da largura de desordem

sobre o parâmetro rítio

α

c

. Na gura 2.10 temos

< λ > /N

para

N

= 2

17

,

N

= 2

19

e

N

= 2

21

Enontramos novamente que

α

c

= 2

, mostrando que a largura da desordem não

inuenia novalordoparâmetro

α

c

, ou seja,

α

c

não depende de

∆

η

.

Emsuma,vimosqueoefeitodeorrelaçãonadistribuiçãodasonstantes

elásti-asdomeio,inueniamnoomportamentodapropagaçãoaústia. Considerando

sistemasquepossuemdensidadeespetraltipoleidepotênia

S

(

k

)

∝

1

/k

α

,nossos

resultadosnumériosindiamque,paraforteorrelação,ouseja,

α >

2

existem

es-tadospropagantes epara

α <

2

todos osestadossão loalizados. Nossa

metodolo-gia mostrou a existênia de uma frequênia rítia separando estados loalizados

e desloalizados bemomo mostrouque o valorrítio

α

c

= 2

independe daforça

da desordem

∆

η

i

. Os prinipais resultados desse apítulo foram publiados no

LOCALIZAÇO DE ONDAS

ACÚSTICAS EM POTENCIAIS

COM MODULAÇO

APERIÓDICA

Sequênias aperiódias (quasi-periódias), desde a déada de 80, têm

desper-tado grande interesse na omunidade ientía por apresentarem araterístias

intermediárias entre sistemas periódios e desordenados. Em sequênias

quasi-periódios,nãohásimetriatranslaional,essaaraterístiaastornamsemelhantes

asequêniasdesordenadas. Noentanto,esses sistemassãogeradosseguindoregras

determinístiasoqueontrariaoasodesordenado. AssequêniasThue-Morse,

Fi-bonaiepoteniaisom modulaçãoaperiódia,são sequênias queseguemregras

determinístias.

quepoteniaisinomensuráveispodemforneeraexistêniade estadosloalizados

e estendidos separados por um mobility-edge para sistemas unidimensionais. No

ano seguinte, J. B. Sokolo [48℄, fundamentado nos trabalhos de Azbel [47℄ e

Aubry, estudou a loalização eletrnia em uma rede quasi-periódia om o uso

domodelode tight-binding. Assim, aequação deSrodingerom potenialon-site

V

n

=

V

0

(

cos

(

qn

))

em que

q

é esolhido omo sendo um múltiplode

π

, tornando o

potenial inomensurável. Um trabalho posterior de Soukoulis e Eonomou [49℄,

om o estudo do oeiente de transmissão e a dependênia espaial dos

auto-estados, mostrou que até mesmo sistemas unidimensionais poderiam apresentar

transição de Andersontendo potenial inomensurável.

Em 1988, M. Griniasty e S. Fishman [68; 50℄ utilizaram o modelo de

tight-binding om potenial pseudo-aleatório, para investigara natureza da loalização

eletrniaemumadimensão. Nomodelode tight-binding,osautoresonsideraram

opotenialon-site

V

n

=

λ

cos(

πα

|

n

|

ν

₎

om

α

sendoumnúmeroirraional,ouseja,

um potenial inomensurável, uja fase da modulação segue uma lei de potênia

em

n

. Através de álulos numérios e por método perturbativo para

λ

≪

1

enontraram o omprimentode loalizaçãopara diferentes valores de

ν

.

Osresultadosobtidosnessasinvestigaçõessão quepara

ν

≫

2

todos osestados

são loalizadoseom

0

< ν

≤

1

existemestadosestendidos. Nesse apítulovamos

estudarosefeitosdedistribuiçõesdeelastiidadeaperiódiassobreaspropriedades

aústias de sistemasunidimensionais. Para gerarsequênias de onstantes

elásti-asaperiódiasvamosseguirasreferênias [68;50℄edenir

η

i

usandoumafunção

senoidal uja fase varia om uma lei de potênia. Após apresentar o modelo em

3.1 Modelo

Vimosque,poteniaisaperiódiospodemloalizaroudesloalizarasfunções

eletrni-as aolongo de adeiasunidimensionais. Efeitossemelhantes têm sidoobservados

em sistemas ótios e adeias vibraionais [51℄. Motivados por essas observações,

vamos investigar osefeitos desse potenialsobre os estadosaústios.

Paraintroduzirumasequêniaaperiódia,assumimosqueasontanteselástias

são geradas daformaa seguir:

η

i

=

η

0

+ cos(

βπi

ν

)

.

(3.1)

Essa regra determina um potenial,uja fasedo termo ossenoidal segue uma

leide potênia,ouseja,

φ

∝

i

ν

, emque

i

representa aposição aolongo daadeia.

O termo

ν

ontrola o grau de aperiodiidade do sistema. Em nossos estudos,

va-mos onsiderar que

η

0

= 2

, evitando valores negativos e nulos na distribuição das

onstantes elástia do meio. Vamos denotar por

α

, a relação

α

=

βπ

e

onsider-aremos que

α

= 0

.

1

tornando, por m,

β

um número irraional. Um gráo de

η

i

versus

i

é mostrado na gura 3.1. Para

β

raionale

ν

= 1

, tem-se na equação

3.1um potenialristalino. Podemos também observar que,para

ν

= 0

, todas as

onstantes elástiasdomeio, assumem o mesmo valor.

Nosso interesse é veriar a existênia de transição de Anderson em uma

di-mensãoparaondasaústias propagando-seemumpotenialgeradopelaequação

2

η

i

ν=0.0

2

ν=0.5

2

ν=1.0

0

2000

4000

i

2

ν=1.5

Figura 3.1: Potenial aperiódio gerado pela equação 3.1 para uma rede de tamanho

N

= 2

14

om

α

= 0

.

1

e

V

0

= 2

para

ν

= 0

.

0

,

ν

= 0

.

5

,

ν

= 1

.

0

e

ν

= 1

.

5

.

doálulo doomprimentode loalizaçãoe dadinâmianosistema.

3.2 Resultados

Vimos a utilidade do álulo do omprimento de loalização em apítulos

pas-sados. Com a obtenção do omprimento de loalização investigamos a natureza