R que estão totalmente contidos em R, numerando-

IFBA–INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO,CIÊNCIA E TECNOLOGIA COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA –CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PROF.:GUSTAVO COSTA

ALUNO:______________________________________________________

ESTUDO DIRIGIDO

Integral Dupla

Considere uma superfície z f

 

x,y definida numa região fechada e limitada R do plano xy.

Traçando-se retas paralelas aos eixos ox e oy, respectivamente, recobrimos a região R por pequenos

retângulos. Considere somente os retângulos

R

_k que estão totalmente contidos em R,

numerando-os de 1 até n (figura 1).

Figura 1 Figura 2

Em cada retângulo R_k, escolha um ponto interno P_k



x_k,y_k



e forme a soma





_k

n

1 k

k k,y A

x

f 





,

onde A_k x_k.y_k é a área do retângulo

R

_k.

Suponha que mais retas paralelas aos eixos coordenados são traçadas, tornando as dimensões dos retângulos cada vez menores (figura 2). Isso é feito de tal maneira que a diagonal máxima dos retângulos

R

_k tende a zero quando n tende ao infinito.

Nessa situação, se

 

n

lim





k

n

1 k

k k,y A

x

f 





existe, ele é chamado de integral dupla da função

 

x,y

f sobre a região R. R é a projeção da

Denotamos este limite como f

 

x,y dA

R



ou f

 

x,y dxdy

R



ou f

 

x,y dydx

R



.

 

n

lim





k

n

1 k

k k,y A

x

f 





= f

 

x,y dA

R



Observações:

1. A região R é denominada região de integração.

2. A soma n





_k

1 k

k k,y A

x

f 





é chamada de soma de Riemann de z f

 

x,y sobre R.

Veremos que se z f

 

x,y 0 , a integral dupla pode ser interpretada como um volume.

Interpretação geométrica da integral dupla

Suponha z f

 

x,y 0 sobre R. Observe que f



x_k,y_k



A_k representa o volume de um prisma

reto, cuja base é o retângulo

R

_k e cuja altura é f



x_k,y_k



(figura 3).

Figura 3 Figura 4

A soma de Riemann





_k

n

1 k

k k,y A

x

f 





representa uma aproximação do volume da porção do

espaço compreendida abaixo do gráfico da superfície z f

 

x,y e acima da região R do plano xy.

Assim, quando f

 

x,y 0, a f

 

x,y dA

R



nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pela superfície z f

 

x,y , inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja

base é o contorno de R (figura 4).

Obs.: Se f

 

x,y 0, a f

 

x,y dA

R

Propriedades da integral dupla.

Sejam f

 

x,y e g

 

x,y funções contínuas sobre a região R, então:

a) k.f

 

x,y dA k. f

 

x,y dA

R

R





 , para todo k real.

b)



f

   

x,y g x,y



dA f

 

x,y dA g

 

x,y dA

R R

R







   .

c) Se a região R é composta de duas subregiões R1 e R2que não tem pontos emcomum (figura 5),

exceto os pontos de fronteira, então:

 

x,y dA f

 

x,y dA f

 

x,y dA f

2

1 R

R

R







  .

Figura 5

Cálculo das integrais duplas

De acordo com o tipo de região de integração R, podemos calcular a integral dupla de duas formas:

 Se R é uma região do tipo I, então f

 

x,ydA g_{ } x f

 

x,y dydx

x g b

a R

2 1







 .

 Se R é uma região do tipo II, então f

 

x,ydA h_{ } y f

 

x,y dxdy

y h d

c R

2 1





Região tipo I:

 

 

 

   

 

  

 

 a x b e g x y g x

y ,

x 2 _{1 2} .

Região tipo II:

 

 

 

   

 

  

 

 c y d e h y x h y

y ,

x 2 _{1 2} .

Exercícios:

1. Calcule



1 8xy



dA

R



 , onde R é a região retangular



 

x,y 2 / 1 y2, 0x3



.

Proposição: Se R é a região retangular



 

x,y 2 / axb, c yd



, então

 

x,y dydx f

 

x,y dxdy

f b

a d

c d

c b

a









 .

2. Calcule



4 x y



dA

R



  . A região R está representada na figura 6.

3. Calcule ydA

R



. A região R está representada na figura 7.

4.Calcule ysen

 

xy dA

R



, onde R é a região retangular de vértices



0,  2

 

,B1,  2

  

,C1, D

 

0,

A e .

5. Calcule e dxdy

R -x2



, sendo R a região delimitada por x4y, y0 e x4.

6. Calcule xydA

R



. A região R está representada na figura 8.

figura 6 _{figura 7 figura 8}

Respostas:

Aplicações da integral dupla

Volumes de sólidos

Se f

 

x,y 0 a integral dupla f

 

x,y dA

R



nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pela superfície z f

 

x,y , inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja

base é o contorno de R.

Exercícios:

7. Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pelo plano z4x y, inferiormente

pela região R delimitada por x0, x2, y0 e y

   

x 4  1 2 e lateralmente pelo cilindro

vertical cuja base é o contorno de R. Esboce o sólido.

8. Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelo plano zy 2 e pelo

cilindro vertical que contorna a região plana delimitada pelas curvas 2

x

y e yx. Esboce o sólido.

9. Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros x2y2 16 e

16 z

x2 2  . Esboce o sólido.

10. Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies abaixo. Esboce o sólido.

2

x 1

z  (cilindro parabólico) e pelos planos z0, y0 e xy4.

Respostas:

Áreas de regiões planas

Se na expressão f

 

x,y dA

R



fazemos f

 

x,y 1, obtemos dA

R



que nos dá a área da região

de integração R.

11. Calcule a área da região R mostrada na figura abaixo:

12. Calcule a área da região plana limitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos e identifique a região.

 

      

  

  

   

  

e x

e y 1 , e x

e x 0 , e y

1 x 0 , x 1 y

e x 1 , x ln y

Respostas:

11) 146/9.

12) ee– (5/2)  12,65. Área (R) =

 

1 dA

R

Integral dupla em coordenadas polares

 Descrição de regiões planas em coordenadas polares (revisão).  Integral dupla em coordenadas polares.

Descrição de regiões planas em coordenadas polares (revisão)

As equações xrcos

 

 e yrsen

 

 definem as relações de coordenadas do

sistema polar para o sistema cartesiano. Para o estudo das integrais duplas em coordenadas polares,

basta considerarmos r0 e 



0,2



.

De

 

 

  

 

 

rsen y

cos r x

, obtemos as relações 2 2 2

r y

x   (ou r x2  y2 ) e arctg

 

y x .

A descrição de um ponto P

 

x,y no sistema polar é P

 

r, , sendo r a distância de P ao centro e

 o ângulo que o segmento PO forma com o eixo x positivo. Por exemplo, o ponto P

 

1,1 em

coordenadas cartesianas é representado por    



 

4 , 2

P no sistema polar. Verifique!

No sistema cartesiano as retas verticais e horizontais têm equações da forma xx_o(x_o constante)

e y y_o(y_o constante), respectivamente. Já no sistema polar, _o(_o constante) representa

uma reta que passa pela origem e r r_o(r_o constante) representa uma circunferência de centro na

origem e raio r_o. Prove estes resultados.

Integral dupla em coordenadas polares

Algumas integrais são mais fáceis de serem calculadas se a região R de integração for

expressa em coordenadas polares. Por exemplo, o setor circular da figura 1 tem descrição mais simples em coordenadas polares do que em coordenadas cartesianas.

Figura 1

Esta região é descrita em coordenadas polares como



 

2 _{1 2 1 2}



r r r ,

r

R     e   .

Chamamos este tipo de região de retângulo polar. A descrição dos retângulos polares

em coordenadas cartesianas não é tão simples como a descrita acima. Além disso, as integrais duplas cujos integrandos envolvem 2 2

y

x  também tendem a ser mais fáceis de serem calculadas

em coordenadas polares, pois esta soma é igual a 2

r , quando aplicadas as fórmulas de conversão

 

 rcos

x e y rsen

 

 .

Considere z  f

 

x,y uma superfície definida numa região R fechada e limitada do plano xy.

Sabemos que f

 

x,y dA

R



=

 

n

lim





k

n

1 k

k k,y A

x

f 





, onde A_k x_k.y_k representa a área do

k-ézimo retângulo obtido na partição da região R em coordenadas cartesianas e



x_k,y_k



é um

ponto interno deste retângulo. Este limite expressa a soma de Riemman que define a integral dupla

da função f sobre a região R. Vamos calcular esta soma num sistema de coordenadas polares. Para

Figura 2

Considere apenas os retângulos polares internos a região R. Vamos destacar o pequeno retângulo

polar da figura 2 e calcular a sua área.

Figura 3

Seja _k _k _k1 e r_k r_k r_k1.

Vamos escolher o ponto arbitrário



*



k * k ,

r

P  como sendo o “centro” deste k-ézimo retângulo polar.

Então:

2 r r

r_k*  k1 k e

2

k 1 k *

k

   

  .

Considerando A_k a área desse retângulo polar como a diferença de áreas entre dois setores

circulares, obtemos:

 







  

















_

 

   

   

  

    

2

r r r r 2

r r

2 r 2

r

A k k k 1 k k 1

2 1 k 2 k k 2

1 k k 2 k k k



_{ }

_

k k * k k 1 k k 1 k k

r r r

r 2

r r

           

  _ . Assim, * _{k k}

k

k r r

A   

Desta forma, o limite da soma de Riemman que define a integral dupla no sistema polar é

 

n

lim





 



 k n 1 k k k,y A

x

f

 

n

lim



 

 



k k

* k n 1 k * k * k * k *

k cos , r sen r r

r

f     





.

Esta soma sugere então que f

 

x,y dA f



rcos

 

θ , rsen

 

θ



rdrdθ

R

R





 .

Conclusão:

Para calcularmos uma integral dupla no sistema de coordenadas polares devemos descrever a região R em coordenadas polares, aplicar as fórmulas de conversão xrcos

 

 e

 

 rsen

y na equação da superfície z f

 

x,y e lembrar que dxdyrdrd, isto é:

 

x,y dxdy f



rcos

 

θ , rsen

 

θ



rdrdθ f

R

R





 .

Exemplo: Mostre que a área de uma circunferência de raio a é a2 usando integral dupla em

coordenadas cartesianas e polares.

 Usando integral dupla em coordenadas cartesianas:

 



2 2 2 2



x a y x a , a x a / y , x

R         é a descrição da região em coordenadas

cartesianas.

Área =

 

1 dydx 2 a x dx

a a 2 2 a a x a x a 2 2 2 2







     

 = * = 2

a a 2 2 2 a a x arcsen a x a

x  

        .

* Calcule esta integral usando a substituição trigonométrica 

 

_  _

2 π , 2 t , t asen

x .

 Usando integral dupla em coordenadas polares:

 



    



 r, /0 r a,0 2

R é a descrição da região em coordenadas polares.

Área =

 

2 2

2 0 a 0 2 2 0 2 0 a 0 a d 2 a d 2 r drd r

1 









 

   .

Exercícios:

13. Calcule sen



x y



dxdy

R

2 2



 , onde R é a região da figura abaixo.

14. Calcule 2e





dxdy

R

y x2 2



 _{, onde}

R é a região do plano xy delimitada por

4 y x 1

y

x2  2  e 2  2  .

15. Calcule dxdy

R



, onde R é a região sombreada da figura abaixo.

16. Calcule 4



x y



dxdy

0 y y 4 0 2 2 2

 

  . Esboce a região de integração.

Use, se necessário, as integrais

 

   

   

 

   

   

               





C u 8 3 u sen u cos 8 3 u sen u cos 4 1 du u cos C u 8 3 u sen u cos 8 3 u cos u sen 4 1 du u sen 3 4 3 4 .

17. Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies abaixo. Esboce as superfícies.

a)           ) ( ) ( ) ( e parabolóid y x z plano 0 z cilindro 1 y x 2 2 2 2

. b)

         ) ( ) ( e parabolóid y x z e parabolóid y x 9 z 2 2 2 2 .

Resp: 13)



 



4 4 cos 1



. 14) 2

 

e4e . 15)

4 3 3 6  

. 16) 12. 17.a) u.v. 2



17.b) u.v. 4 81