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Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) Divisão Biblioteca Central do ITA/CTA

Breseghello, Fernando Neves

Estudo comparativo de métodos de previsão de demanda: uma aplicação ao caso dos aeroportos com tráfego aéreo regular administrados pelo DAESP / Fernando Neves Breseghello.

São José dos Campos, 2005. 104f.

Tese de mestrado – Curso de Engenharia de Infra-Estrutura Aeronáutica. Área de Transporte Aéreo e Aeroportos – Instituto Tecnológico de Aeronáutica, 2005. Orientador: Dr. Protógenes Pires Porto.

1. Análise de séries temporais. 2. Previsão econômica. 3. Tráfego aéreo. I. Centro Técnico Aeroespacial. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Divisão de Engenharia de Infra-Estrutura Aeronáutica. II. Título

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

BRESEGHELLO, Fernando Neves. Estudo comparativo de métodos de previsão de

demanda: uma aplicação ao caso dos aeroportos com tráfego aéreo regular administrados

pelo DAESP. 2005. 104f. Tese de mestrado – Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos.

CESSÃO DE DIREITOS

NOME DO AUTOR: Fernando Neves Breseghello

TÍTULO DO TRABALHO: Estudo comparativo de métodos de previsão de demanda: uma aplicação ao caso dos aeroportos com tráfego aéreo regular administrados pelo DAESP.

TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese / 2005.

É concedida ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica permissão para reproduzir cópias desta tese e para emprestar ou vender cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida sem a autorização do autor.

___________________________

Fernando Neves Breseghello Rua João Fonseca dos Santos, 109 – Jd Satélite.

E

studo comparativo de métodos de previsão de demanda: uma

aplicação ao caso dos aeroportos com tráfego aéreo regular

administrados pelo DAESP

Fernando Neves Breseghello

Composição da Banca Examinadora:

Prof. Carlos Muller Presidente (ITA) Prof. Protógenes Pires Porto Orientador (ITA) Prof. Armando Zeferino Milioni (ITA) Prof. Cláudio Jorge Pinto Alves (ITA) Prof. Respício Antônio Espírito Santo Jr. (COPPE)

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo principal comparar o desempenho de metodologias preditivas, baseadas na abordagem de séries temporais, diferentes das atualmente utilizadas para prognosticar a demanda, para um horizonte de 12 meses, dos aeroportos administrados pelo Departamento Aeroviário do Estado de São Paulo (DAESP) operando com tráfego aéreo regular.

A determinação de previsões adequadas e, ao mesmo tempo, realistas, o que, em outras palavras, significa utilizar o método preditivo com maior grau de precisão (ou menor margem de erro), constitui-se em uma etapa fundamental para que o processo de planejamento da administração aeroportuária possa ser adequadamente realizado.

Para alcançar o objetivo proposto, buscou-se, em primeiro lugar, estudar os principais aspectos teóricos relacionados aos métodos de previsão de demanda abordados neste trabalho. Posteriormente, segue-se o processo de calibração dos modelos propostos, aplicados às séries históricas disponibilizadas pela referida instituição. Os modelos de séries temporais experimentados nesta dissertação são: Trivial, Média Móvel de seis e 12 meses, Suavização Exponencial Simples, Holt, Holt-Winters Aditivo, Holt-Winters Multiplicativo e os possíveis modelos Box-Jenkins selecionados a partir do processo de identificação. Por fim emprega-se uma estratégia de avaliação e seleção de modelos preditivos, de natureza quantitativa, para subsidiar as conclusões apresentadas no final deste trabalho.

Os resultados obtidos, mediante a utilização desta estratégia, demonstraram que as metodologias propostas são mais adequadas (superiores em acurácia) para a projeção de valores para um horizonte de 12 meses do que a metodologia atualmente utilizada pela instituição estudada. Neste contexto, os modelos Box-Jenkins se mostraram como os mais acurados em 61% dos casos (cinco aeroportos). Os modelos Aditivo de Holt-Winters, S.E.S. e Holt apresentaram-se como os modelos com menor margem de erro em 13% (um aeroportos), 13% (um aeroportos) e 13% (um aeroporto) dos casos, respectivamente.

ABSTRACT

This work aims to compare the performance of predictive methodologies, based on time series, different of the ones used presently to forecast demand, for 12 months horizon, of the airports managed by Departamento Aeroviário do Estado de São Paulo (DAESP) operating with regular air traffic.

The determination of accurate forecasts, which means, in other words, to use the predictive method with greater degree of precision (or minor edge of error) is considered the prime stage for the planning process of airports administration.

To reach the planned objective, this research examines, in first place, the main theoretical aspects of the demand forecasting methods studied in this work. Later, it is carried out the process of calibration for the employed models, applied to historical series available by the institution used as case study.

The time series models studied in this thesis are: Naïve Model, Moving Average of six and twelve months, Simple Exponential Smoothing, Holt´s Method, Holt-Winter´s Additive Method, Holt-Winter´s Multiplicative Method and the possible Box-Jenkins models chosen based in an identification process performed in this research. Finally it was used one strategy of evaluation and selection of predictive models, of quantitative nature, to subsidize the conclusions presented at the end of this dissertation.

The results obtained by means of this strategy, demonstrated that the chosen methodologies are more precise (have greater accuracy) to forecast values for 12 months horizon than those presently used by the institution studied.

In this context the Box-Jenkins models showed greater accuracy in 61% of the cases (five airports). The Holt-Winter´s Additive Model, S.E.S. Model and Holt´s Model showed to be the models with minor edge of error in 13% (one airport), 13% (one airport) and 13% (one airport) of the cases, respectively.

The work concludes that every winner model examined performs better than the one employed by the institution chosen as case study for this thesis.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar a Deus por me proporcionar saúde e motivação mesmo nos momentos mais difíceis desta árdua jornada.

Em segundo lugar a toda minha família em especial à minha mãe, Sônia Maria Neves Breseghello, ao meu pai, Edmilson Breseghello, e aos meus filhos, Ângelo Breseghello e Fernanda Vitória Breseghello, pelas palavras de carinho e incentivo, que sem dúvida alguma impulsionaram a materialização deste sonho.

Em terceiro lugar, mas não menos importante ao sucesso deste trabalho, ao meu orientador Prof. Protógenes Pires Porto pela dedicação demonstrada e pela busca incessante de melhorias, implementadas ao longo da elaboração deste documento.

E em último lugar ao Prof. Armando Zeferino Milioni pelo conhecimento e pelo exemplo de profissionalismo transmitido ao longo da convivência no decurso de suas disciplinas.

SUMÁRIO

RESUMO ABSTRACT AGRADECIMENTOS LISTA DE TABELAS LISTA DE FIGURAS 1 Introdução... 1 1.1 Motivação do trabalho... 3 1.2 Objetivos do trabalho... 4 1.2.1 Objetivo geral... 4 1.2.2 Objetivos específicos... 4 1.3 Estrutura do trabalho... 4 1.4 Metodologia ... 5 1.5 Delimitação... 7 2 Revisão bibliográfica... 8

2.1 Modelo Trivial de previsão... 9

2.2 Modelos de médias móveis... 10

2.3 Modelos de suavização exponencial... 11

2.3.1 Modelo de suavização exponencial simples... 11

2.3.2 Modelo de Holt... 12

2.3.3 Modelos de Holt-Winters... 14

2.3.3.1 Modelo multiplicativo de Holt-Winters... 15

2.3.3.2 Modelo aditivo de Holt-Winters ... 18

2.4 Modelos de Box-Jenkins... 18

2.4.1 Conceitos básicos para a compreensão dos modelos Box-Jenkins... 19

2.4.2 Modelos Auto-Regressivos... 23

2.4.3 Modelos de Médias Móveis... 25

2.4.4 Modelos mistos Auto-Regressivos – Média Móvel... 27

2.4.5 Modelos Não-Estacionários... 28

2.4.6 Modelos Sazonais... 33

2.4.7 Modelagem de série temporal... 34

2.4.7.1 Identificação do modelo... 34

2.4.7.2 Estimativa dos parâmetros do modelo... 35

2.4.7.3 Verificação do modelo... 36

2.4.7.4 Previsões... 37

2.4.7.5 Exemplos de construção de modelos ARIMA... 37

2.4.8 Variações dos Modelos de Box-Jenkins... 46

2.4.9 Comentários sobre os Modelos Box-Jenkins... 47

2.5 Estratégia de avaliação e seleção para modelos de natureza quantitativa .... 48

2.5.2 Comentários... 49

2.5.3 Estatística U de Theil... 49

3 Metodologia para a estruturação de um sistema de previsão... 51

3.1 Definição do problema... 52

3.2 Coleta de informações... 54

3.2.1 Montagem do banco de dados... 54

3.3 Seleção do pacote computacional... 55

3.4 Análise Preliminar... 56

3.5 Escolha e validação dos modelos... 57

4 Estudo de caso... 59

4.1 Considerações iniciais sobre os dados... 59

4.2 Análise preliminar dos dados... 60

4.3 Modelagem e calibração dos modelos propostos... 65

4.4 Resumo dos resultados... 79

5 Conclusão... 80

LISTA DE TABELAS

TABELA 1. Previsão de demanda de um eletrodoméstico... 12

TABELA 2. Previsão de demanda pelo método de Holt... 14

TABELA 3. Previsão de demanda pelo modelo multiplicativo de Holt-Winters... 17

TABELA 4. Des. para o cálculo da auto-correlação de lag 1 da série utilizada na Tab.5... 21

TABELA 5. Série Temporal obtida em Morettin & Toloi (1987)... 38

TABELA 6. Série temporal obtida em Füller (1996)... 40

TABELA 7. Usuários conectados a um serv. de Internet durante um per. de 100 min... 43

TABELA 8: Comparação entre os diferentes modelos aplicados aos dados da Fig. 18... 66

TABELA 9: Comparação entre os diferentes modelos aplicados aos dados da Fig. 19... 68

TABELA 10: Comparação entre os diferentes modelos aplicados aos dados da Fig. 20.... 70

TABELA 11: Comparação entre os diferentes modelos aplicados aos dados da Fig. 21.... 71

TABELA 12: Comparação entre os diferentes modelos aplicados aos dados da Fig. 22.... 73

TABELA 13: Comparação entre os diferentes modelos aplicados aos dados da Fig. 23.... 74

TABELA 14: Comparação entre os diferentes modelos aplicados aos dados da Fig. 24.... 76

TABELA 15: Comparação entre os diferentes modelos aplicados aos dados da Fig. 25.... 77

TABELA 16: Resumo dos resultados alcançados... 79 TABELA A.1. Demanda do aeroporto de Araçatuba... A-1 TABELA A.2. Previsões para a demanda do aeroporto de Araçatuba... A-1 TABELA A.3. Demanda do aeroporto de Assis... A-2 TABELA A.4. Previsões para a demanda do aeroporto de Assis... A-2 TABELA A.5. Demanda do aeroporto de Bauru... A-3 TABELA A.6. Previsões para a demanda do aeroporto de Bauru... A-3 TABELA A.7. Demanda do aeroporto de Marília... A-4 TABELA A.8. Previsões para a demanda do aeroporto de Marília... A-4 TABELA A.9. Demanda do aeroporto de Presidente Prudente... A-5 TABELA A.10. Previsões para a demanda do aeroporto de Presidente Prudente... A-5 TABELA A.11. Demanda do aeroporto de Ribeirão Preto... A-6 TABELA A.12 Previsões para a demanda do aeroporto de Ribeirão Preto... A-6 TABELA A.13. Demanda do aeroporto de São José do Rio Preto... A-7 TABELA A.14. Previsões para a demanda do aeroporto de São José do Rio Preto... A-7 TABELA A.15. Demanda do aeroporto de Sorocaba... A-8 TABELA A.16. Previsões para a demanda do aeroporto de Sorocaba... A-8

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1. Relação entre previsão e planejamento... 3

FIGURA 2. Características de uma série temporal... 9

FIGURA 3. Séries temporais. ... 20

FIGURA 4. Série temporal não-estacionária na média... 29

FIGURA 5. Série temporal não estacionária na média e na declividade... 29

FIGURA 6. Redução do comp. não estacionário de uma série temp. após diferenciações 31 FIGURA 7. Gráfico e linha de média da série temporal apresentada na Tabela 5... 38

FIGURA 8. F.A.C. e F.A.C.P. da série temporal na Figura 7... 39

FIGURA 9. F.A.C. dos resíduos da série representada na Figura 7... 40

FIGURA 10. Gráfico e linha de média da série temporal apresentada na Tabela 6... 41

FIGURA 11. F.A.C. e F.A.C.P. da série temporal representada na Figura 10... 41

FIGURA 12. Gráfico e linha de tendência da série temporal apresentada na Tabela 7... 44

FIGURA 13. F.A.C. e F.A.C.P. da série temporal representada na Figura 12... 44

FIGURA 14. Graf./ linha de média da série temp. apresentada na Tab.7, após 1a. diferen. 45 FIGURA 15. F.A.C. e F.A.C.P. da série temporal apresentada na Figura 14... 45

FIGURA 16. F.A.C. dos resíduos da série representada pelos valores estimados... 46

FIGURA 17. Relação entre acurácia e custo de previsão... 53

FIGURA 18. Demanda aeroporto de Araçatuba... 61

FIGURA 19. Demanda aeroporto de Assis... 61

FIGURA 20. Demanda aeroporto de Bauru... 62

FIGURA 21. Demanda aeroporto de Marília... 62

FIGURA 22. Demanda aeroporto de Presidente Prudente... 63

FIGURA 23. Demanda aeroporto de Ribeirão Preto... 63

FIGURA 24. Demanda aeroporto de São José do Rio Preto... 64

FIGURA 25. Demanda aeroporto de Sorocaba... 64

FIGURA 26. Previsões para o aeroporto de Araçatuba... 68

FIGURA 27. Previsões para o aeroporto de Assis... 69

FIGURA 28. Previsões para o aeroporto de Bauru... 71

FIGURA 29. Previsões para o aeroporto de Marília... 72

FIGURA 30. Previsões para o aeroporto de Presidente Prudente... 74

FIGURA 31. Previsões para o aeroporto de Ribeirão Preto... 75

FIGURA 32. Previsões para o aeroporto de São José do Rio Preto... 77

CAPÍTULO 1

1

Introdução

Previsões de demanda desempenham um papel-chave em diversas áreas na gestão de organizações, sejam elas públicas, sejam privadas. A área financeira, por exemplo, planeja a necessidade de recursos analisando previsões de demanda de longo prazo. As mesmas previsões também servem às áreas de recursos humanos e marketing, no planejamento de modificações no nível da força de trabalho e no agendamento de promoções de vendas (Krajewski & Ritzman, 1999).

Talvez mais do que em qualquer outra área de uma organização, previsões de demanda são essenciais na operacionalização de diversos aspectos do gerenciamento de produção. Alguns exemplos são a gestão de estoques, o desenvolvimento de planos agregados de produção e a viabilização de estratégias de gerenciamento de materiais como o MRP (Material Requirements Planning – Planejamento de Necessidade de Materiais); mais exemplos são apresentados em Elsayed & Boucher (1994). Desta forma, técnicas estatísticas para modelagem têm merecido a atenção de engenheiros e gerentes de produção.

Previsões de demanda são elaboradas utilizando: (i) métodos quantitativos, (ii) métodos qualitativos, ou (iii) combinações de métodos quantitativos e qualitativos.

Métodos quantitativos utilizam dados numéricos (time series ou cross section) para prever a demanda em períodos futuros. A previsão de demanda futura requer a construção de modelos matemáticos a partir dos dados disponíveis. As diferentes técnicas disponíveis para construção desses modelos são denominadas técnicas de previsão. A técnica de previsão de natureza quantitativa mais difundida nas organizações industriais e de serviços e, em grande parte por encontrar-se disponível em planilhas eletrônicas como Microsoft Excel (1997) e Quattro Pro (1999), é a regressão linear (Seber, 1977).

Métodos qualitativos, por sua vez, baseiam-se em opiniões de especialistas, os quais se fundamentam, principalmente, no julgamento de executivos, apreciação de pessoal de vendas e expectativas dos consumidores. Como diferentes indivíduos apresentam preferências distintas, esses métodos são vulneráveis a tendências o que pode comprometer a confiabilidade de seus resultados. Dentre os métodos qualitativos mais utilizados, destaca-se o método Delphi, apresentado em Krajewski & Ritzman (1999).

Os métodos qualitativos têm sido, historicamente, os mais utilizados na previsão da demanda (Mentzer & Cox, 1997). Tais métodos, no entanto, costumam apresentar um baixo grau de precisão. Apesar disto, continuam sendo amplamente utilizados pelas empresas, mesmo com a difusão de métodos quantitativos mais avançados, impulsionados pelo avanço na capacidade de processamento e armazenamento de dados computacionais (Sanders & Manrodt, 1994). A escassa fundamentação teórica dessas previsões pode explicar, em grande parte, a baixa acurácia dos referidos métodos qualitativos de previsão.

O processo de previsão é, freqüentemente, confundido com o processo de planejamento. No entanto, enquanto o objeto de estudo do planejamento é o comportamento do negócio, sistemas de previsão buscam analisar tal comportamento no tempo futuro. Esta relação é apresentada na Figura 1. Métodos de previsão são utilizados para prever os resultados de cursos de ação propostos no planejamento: se os resultados não forem potencialmente satisfatórios, o planejamento deve ser revisto. Esse processo deve ser repetido até que os resultados previstos para o planejamento sejam satisfatórios. Planos revisados são, então, implementados, e os resultados obtidos são monitorados para ser usados no próximo período de planejamento. O processo da Figura 1 parece intuitivo. Porém, na prática, muitas organizações revisam previsões, ao invés de revisarem planos.

Ambiente onde os dados são gerados Banco de Dados Planos Processo de Planejamento Métodos de previsão NÃO SIM Os resultados previstos são satisfatórios? Previsões

Implementação dos planos

Monitoramento dos resultados

FIGURA 1. Relação entre previsão e planejamento (Adaptado de Armstrong, 1999).

1.1 Motivação

A tomada de decisões é um fato cotidiano no meio empresarial, mas que, no entanto, devido aos valores financeiros vultosos resultantes de suas ações (ex: construção de novas facilidades ou manutenção de estruturas ociosas), desempenha um papel de maior relevância em empresas que têm como seu objeto de ação a administração da infra-estrutura aeroportuária, como é o caso da empresa aqui tomada como estudo de caso (DAESP).

Logo, para este tipo de empresa, a disponibilidade de previsões que retratem, de forma realista e em tempo hábil, o comportamento da demanda no futuro é de suma importância e se constitui em um fator crítico para que seus gestores formulem, de forma satisfatória e eficaz, o planejamento de estratégias e políticas de investimento (ex: expansão ou redução da capacidade de processamento de passageiros em um aeroporto).

Haja vista que a geração destas previsões é função da disponibilidade de dados e da habilidade em extrair destes dados informações relevantes por intermédio do uso das técnicas de previsão e que, atualmente, existe à disposição uma quantidade razoável de metodologias

para o propósito de prognosticar a demanda (ex: modelos de séries temporais, modelos causais) é necessário, então, identificar a metodologia mais apropriada, ou seja, aquela que seja capaz de capturar, de forma mais eficaz, as características pertinentes aos dados da demanda estudada.

Uma vez que a técnica de previsão (metodologia) mais apropriada para determinada situação, isto é, a que propicia previsões com menores margens de erro seja identificada será, então, possível a realização de decisões mais acertadas o que, por sua vez, possibilitará uma administração mais eficaz.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo Geral

Comparar o desempenho de metodologias preditivas, baseadas na abordagem de séries temporais, diferentes das utilizadas para prognosticar a demanda, para um horizonte de 12 meses, dos aeroportos administrados pelo Departamento Aeroviário do Estado de São Paulo (DAESP) operando com tráfego aéreo regular.

1.2.2 Objetivos Específicos

1. Identificar e caracterizar os métodos quantitativos de previsão abordados neste trabalho; 2. Aplicar estes métodos para prognosticar a demanda “hipoteticamente” desconhecida; 3. Selecionar, dentre os métodos examinados, o mais acurado para cada aeroporto analisado.

1.3 Estrutura

Esta dissertação está estruturada da seguinte maneira:

No Capítulo 1, é apresentado o tema abordado, as motivações para a escolha do mesmo, os objetivos a serem alcançados, a estrutura e as delimitações do trabalho.

No Capítulo 2 é feita uma revisão bibliográfica. Por meio desta revisão, busca-se apresentar de forma concisa, inclusive com o uso de exemplos práticos, as técnicas quantitativas abordadas nesta tese.

No Capítulo 3 é proposta, de forma genérica, uma metodologia para a estruturação de um sistema de previsão.

No Capítulo 4 é apresentado um estudo de caso realizado com dados reais do Departamento Aeroviário do Estado de São Paulo (DAESP).

O Capítulo 5 é reservado às conclusões e sugestões para possíveis desdobramentos futuros deste trabalho.

1.4 Metodologia

Nesta seção, seguem-se as explicações bem como as justificativas acerca das decisões assumidas na confecção desta dissertação (escolha dos modelos, considerações sobre os dados, critério de decisão), a qual pesquisou pelos modelos de séries temporais, dentre os propostos, os mais acurados para prognosticar a demanda por transporte aéreo, para um horizonte de previsão de 12 meses, dos aeroportos analisados.

No desempenho desta pesquisa optou-se por testar os seguintes modelos de previsão:

1. Modelo de Média móvel dos últimos seis meses; 2. Modelo de Média móvel dos últimos 12 meses; 3. Modelo trivial;

4. Modelo de suavização exponencial simples; 5. Modelo de Holt;

6. Modelo multiplicativo de Holt-Winters; 7. Modelo aditivo de Holt-Winters;

8. E os possíveis modelos Box-Jenkins identificados para cada situação.

A justificativa pela presença dos Modelos de Média Móvel (seis e 12 meses) nesta dissertação se deve exclusivamente, ao fato de que o caso estudado utiliza estes modelos para elaborar previsões para o horizonte fixado para análise (12 meses).

Quanto ao modelo trivial, sua justificativa se baseia, eminentemente, pelo fato que a estatística escolhida para subsidiar o processo de comparação e ordenação de modelos (Estatística U de Theil) utiliza-o como parâmetro de comparação.

Em relação às escolhas das demais metodologias propostas (Suavização Exponencial e ARIMA), a justificativa pelas mesmas é a flexibilidade de utilização, já que ambas as metodologias gozam da prerrogativa de não precisarem de dados externos.

É necessário admitir que a idéia inicial era, também, analisar o desempenho proporcionado pela utilização de modelos econométricos de regressão que, tradicionalmente, é a metodologia mais utilizada na previsão por transporte aéreo. Porém, diante das dificuldades adiante indicadas, optou-se por estudar apenas as séries temporais.

• Não foi encontrado nenhum material bibliográfico, de acesso público, que retratasse, de forma realista e atual, as áreas geográficas que sofrem influência econômica dos municípios paulistas com aeroportos com tráfego aéreo regular. Uma vez que um documento desta natureza estivesse a disposição seria, então, possível a identificação dos fatores econômicos relacionados com a pujança econômica da região para poderem ser utilizados como variáveis explicativas.

• Verificou-se, ainda, que as variáveis tradicionalmente citadas na literatura como fatores determinantes para a demanda por transporte aéreo: Renda (Proxy: Renda per Capita) e Consumo (Proxy: consumo de energia elétrica) estavam disponíveis somente em base anual. Dessa forma, a base de dados que, inicialmente, somava 80 observações seria reduzida para apenas seis, o que, além de não propiciar a calibração de regressões confiáveis (do ponto de vista amostral), também não possibilitaria o uso das metodologias inicialmente planejadas: Box-Jenkins (necessita de, no mínimo, 50 observações) e Suavização Exponencial (necessita de dois ciclos sazonais completos).

Em relação ao processo de coleta de dados, a série de dados utilizada para a realização do estudo de caso compreende o intervalo entre Janeiro/97 a Agosto/03. A escolha por esta janela temporal é, exclusivamente, devida à disponibilidade do DAESP. Vale ressaltar que o intervalo (série) compreendendo o período entre janeiro de 1997 e agosto de 2002, o qual se denominou conjunto inicialização foi utilizado para o fim de calibrar os modelos. Já o intervalo entre setembro de 2002 e agosto de 2003, o qual se denominou conjunto teste foi utilizado apenas para o fim de avaliar e selecionar os modelos. Por intermédio desta divisão nos dados foi possível avaliar o poder real de previsão dos diferentes modelos calibrados.

As metodologias aqui adotadas (Box-Jenkins e Suavização Exponencial) necessitam de amostras representativas (a metodologia Box-Jenkins, por exemplo, precisa de, no mínimo, 50

observações) o que, forçosamente, dada a restrição do banco de dados do DAESP, obrigou o uso de dados mensais. Isto, por sua vez, resultou em previsões mensais. É, no entanto, necessário dizer que este tipo de previsão (mensal) não é o mais usual em se tratando de transporte aéreo.

O processo de modelagem por meio da metodologia Box-Jenkins (identificação, estimação dos parâmetros, checagem e previsão) foi realizado mediante o uso do pacote estatístico STATISTICA. Já o processo de modelagem por meio da utilização da família de modelos de Suavização exponencial (inicialização, otimização dos parâmetros e previsão) foi realizado mediante a utilização do suplemento SOLVER do software EXCEL.

O critério utilizado para determinar o melhor modelo, isto é, aquele com maior grau de acurácia foi o menor valor para a Estatística U de Theil (Makridakis et al., 1998).

1.5 Delimitação

Esta dissertação descreve a aplicação de duas metodologias na solução de um problema específico e, portanto, apresenta limitações. A primeira delas diz respeito à natureza inerentemente pouco dedutiva dos trabalhos envolvendo o tema previsão, ou seja, não é intuito desta dissertação dizer qual dos modelos de previsão apresentados é melhor em termos absolutos e sim indicar, para as determinadas situações pesquisadas, qual dentre eles se mostra mais acurado (adequado) no que tange à capacidade de gerar previsões pontuais. As demais limitações estão relacionadas à qualidade e fidedignidade dos dados utilizados no estudo de caso.

As técnicas investigativas utilizadas neste trabalho compreendem os modelos de Médias Móveis e as metodologias Box-Jenkins e Suavização Exponencial, não sendo abordadas, de forma detalhada, outras técnicas de previsão de demanda citadas no mesmo.

O estudo de caso apresentado neste trabalho foi realizado tomando como base alguns aeroportos administrados pelo DAESP. Portanto, não faz parte das ambições deste trabalho a generalização dos resultados obtidos para outras organizações do setor aeroportuário.

CAPÍTULO 2

2 Revisão Bibliográfica

A previsão de demanda utilizando modelos quantitativos pode ser feita por intermédio de vários modelos matemáticos. O emprego de cada modelo depende basicamente do comportamento da série temporal que se deseja analisar. Uma série temporal pode exibir até quatro características diferentes em seu comportamento: média, tendência, ciclo e sazonalidade (Makridakis et al., 1998). Estas características estão exemplificadas na Figura 2.

A característica de média (também chamada estabilidade ou horizontalidade) existe quando os valores da série flutuam em torno de um valor constante. A série possui característica de sazonalidade quando padrões cíclicos de variação se repetem em intervalos relativamente constantes de tempo. A característica de ciclo existe quando a série exibe variações ascendentes e descendentes, porém, em intervalos não regulares de tempo. Finalmente, a característica de tendência ocorre quando a série apresenta comportamento ascendente ou descendente por um longo período de tempo.

Toda variação em uma série temporal que não pode ser explicada pelas características demonstradas na Figura 2 é devida ao ruído aleatório no processo gerador dos dados; tal ruído não é matematicamente modelável.

A seguir, são apresentados alguns modelos utilizados como métodos quantitativos para previsão de demanda.

FIGURA 2. Características de uma série temporal. (Adaptado de Makridakis et al., 1998).

2.1 Modelo Trivial de previsão

O modelo Trivial supõe simplesmente que a previsão para o período ‘t’ é exatamente o valor observado no período ‘t -1’. Tal modelo é conhecido, também, como a abordagem do caminho aleatório (“random walk”) e é matematicamente formulado como:

ˆ

_{t t}

z = z

_-1

onde

ˆz

_t é a previsão para o período t e

z

_t-1 é o valor real observado no período t-1.

A previsão trivial é normalmente utilizada quando a série de dados possui um comportamento altamente imprevisível.

2.2 Modelos de Médias Móveis

Os Modelos de Médias Móveis geram previsões médias com menor variabilidade que os dados originais. Isso ocorre devido ao processo de combinação entre as observações com valores altos e valores baixos. Possuem como características a simplicidade e o baixo custo computacional. Conforme menciona Tubino (2000, p. 70), “a média móvel usa dados de um número predeterminado de períodos, normalmente os mais recentes, para gerar sua previsão. A cada novo período de previsão se substitui o mais antigo pelo mais recente”.

Conforme citam Makridakis et.al. (1998), o método consiste em calcular a média das últimas n observações mais recentes. O valor encontrado é considerado a previsão para o próximo período. A previsão por meio de médias móveis pode ser obtida mediante a utilização da equação descrita da seguinte forma por Mentzer e Bienstock (1998, p. 49):

1 2 1

(

_{t t t}

...

_{t n} t

S

S

S

S

F

n

− − − + + 1

)

+

+

+ +

=

Onde: 1 t

F

₊ : previsão para o período t +1; 1

t

S

− : observação referente ao período t-1;

n: número de períodos utilizados na média móvel.

Em se tratando dos pontos negativos do método em questão, Mentzer e Bienstock (1998) salientam que o problema com o mesmo relaciona-se com a escolha do número de períodos que serão utilizados na previsão. Tubino (2000, p. 71) ressalta que “o número de períodos incluídos no cálculo da média móvel determina sua sensibilidade com relação aos dados mais recentes”. Períodos pequenos proporcionam uma reação maior a possíveis mudanças no padrão dos dados. Grandes períodos, por sua vez, produzem uma média mais homogênea.

2.3 Modelos de Suavização Exponencial

Os modelos de suavização exponencial são amplamente utilizados para previsão de demanda devido à sua simplicidade, facilidade de ajuste e boa acurácia. Estes métodos usam uma ponderação distinta para cada valor observado na série temporal, de modo que valores mais recentes recebam pesos maiores. Assim, os pesos formam um conjunto que decai exponencialmente a partir de valores mais recentes.

2.3.1 Suavização Exponencial Simples

Se a série temporal mantém-se constante sobre um nível médio, uma suavização

exponencial simples pode ser usada para a previsão de valores futuros da série. Sua

representação matemática é dada por (Makridakis et al., 1998):

z

ˆ

t+1

=

az

t

+

( - )

1

a

z

ˆ

t

onde

z

ˆ

_t+₁é a previsão da demanda para o tempo +1, feita no período atual

t

t

;

α

é a constante

de suavização, assumindo valores entre 0 e 1; é o valor observado na série temporal para o

tempo

t

; e, é o valor da previsão feita para o tempo . t

z

ˆ

t

z

t

Uma forma de medir a acurácia da previsão é calcular o erro gerado pela mesma, matematicamente:

e

t

= −

z

t

z

ˆ

t.

Para ilustrar estes conceitos, suponha que se deseje saber a previsão de demanda de um eletrodoméstico para os próximos três meses. Considere a última demanda observada como sendo 55 unidades e

α

= 0,1. Assim,

= 53 é a estimativa inicial da demanda no tempo ;

ˆ

t

z

t

é a diferença entre o valor real e o valor previsto;

1 1

ˆ

1

2

e

= − =

z

z

(

)

( )

2 1 1

ˆ

1

ˆ

0,1 55

0,9 53 53,2

z

=

α

z

+ −

α

z

=

× +

=

é a previsão para o mês 2, feita no mês correspondente a

t

= 1. O restante dos valores está na Tabela 1.

TABELA 1. Previsão de demanda de um eletrodoméstico.

t

z

t Previsão (

z

ˆ

t)

e

t

1 55 53 2

2 52 53,2 -1,2

3 54 53,08 0,92

As previsões de demanda ( ) feitas neste exemplo foram calculadas sempre com base

no período imediatamente anterior [ (

t

– 1)]. Previsões podem ser feitas para mais de um período; desta forma, porém, não ocorre a atualização do modelo a cada período, aumentando assim o componente de erro.

ˆ

t

z

ˆ

t

z

O valor da constante de suavização

α

pode ser definido de duas formas: arbitrária ou iterativamente. Neste caso, utiliza-se alguma forma de comparação como, por exemplo, o

Erro Quadrado Médio (E.Q.M.). Outras formas de comparação poderiam ser empregadas: Erro Percentual Absoluto Médio (E.P.A.M.) ou Erro Absoluto Médio (E.A.M.). Desta

maneira, seleciona-se aleatoriamente um valor inicial para a constante

α

, a partir do qual previsões são geradas. Comparam-se, então, os valores previstos com os reais, calcula-se a média do quadrado das diferenças entre os mesmos. O parâmetro que minimizar essa média é, então, utilizado no modelo final. Pacotes computacionais determinam automaticamente o melhor valor de

α

.

A magnitude da constante

α

determina a velocidade de resposta do modelo frente a mudanças na demanda (Montgomery et al.; 1990). Valores pequenos de

α

fazem com que o modelo demore a assumir mudanças no comportamento da série. Com valores grandes de

α

, o modelo reage rapidamente.

Os modelos de suavização exponencial simples requerem uma estimativa inicial para

. Quando dados históricos estão disponíveis, pode-se usar uma média simples das N

observações mais recentes como . Caso contrário pode-se utilizar a última observação, ou

fazer uma estimativa subjetiva.

ˆ

t

z

ˆ

t

z

2.3.2 Modelo de Holt

O modelo de Holt pode ser utilizado, de maneira satisfatória, em séries temporais com tendência linear. Este modelo emprega duas constantes de suavização,

α

e

β

(com valores

entre 0 e 1), sendo representado por três equações (Makridakis et al., 1998):

(

1

)(

1 1

)

t t t t

L

=

α

z

+ −

α

L

₋

+

T

₋

,

(1)

(

1

) (

1

)

t t t

T

=

β

L

−

L

₋

+ −

β

T

_t−1

,

T

(2) .

ˆ

_{t k t t}

z

₊

=

L

+

k

(3)

As equações (1) e (2) fazem uma estimativa do nível (intercepto) e da inclinação da série temporal, respectivamente. Já a equação (3) calcula a previsão da demanda para os próximos k períodos.

Assim como na suavização exponencial simples, o método de Holt requer valores

iniciais, neste caso

L

₀e

T

₀, lembrando que

L

₀e designam nível (level) e tendência (trend) respectivamente. Uma alternativa para estes cálculos iniciais é igualar

0

T

0

L

ao último valor observado na série temporal e calcular uma média das declividades nas últimas observações

para . Uma outra forma de cálculo é a regressão linear simples aplicada aos dados da série

temporal, onde se obtém o valor da declividade da série temporal e de

0

T

0

L

em sua origem. Para exemplificar o modelo de Holt, suponha que se deseja saber a previsão da demanda para os próximos três meses de um produto que possui tendência ascendente. Considere que as vendas nos últimos 12 meses foram 4, 6, 8, 10, 14, 18, 20, 22, 24, 28, 31 e

34 unidades / mês (Winston, 1994). Assim,

L

₀ = 34 representa o último valor observado na série; e,

(

) (

)

(

)

0 6 4 8 6 ... 34 31 2, 73 11

T = − + − + + − = é o valor médio da declividade nos

últimos 12 meses.

Considerando

α

= 0,3 e

β

= 0,1, obtêm-se os valores apresentados na Tabela 2. A seguir são apresentados exemplos dos cálculos para o período correspondente ao tempo t =1:

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 ˆ 34 1 2, 73 36, 73; ˆ 40 36, 73 3, 27; 0, 3 0, 7 0, 3 40 0, 7 34 2, 73 37, 71; 0,1 0, 9 0,1 37, 71 34 0, 9 2, 73 2,83; ˆ_t 37, 71 1 2,83 40, 54. z L kT e z z L z L T T L L T z₊ L kT = + = + = = − = − = = + + = + + = = − + = − + = = + = + =

TABELA 2. Previsão de demanda pelo modelo de Holt

t

z

t

L

t

T

t

z

ˆ

t

e

t

1 40 37,71 2,83 36,73 3,27 2 47 42,48 3,02 40,54 6,46 3 50 46,85 3,16 45,5 4,5

Os valores das constantes de suavização no modelo de Holt podem ser determinados de forma semelhante à usada na suavização exponencial simples; ou seja, uma combinação de

valores para

α

e

β

que minimize o Erro Quadrado Médio (E.Q.M.), por exemplo.

2.3.3 Modelos de Holt-Winters

Os modelos de Holt-Winters projetam apropriadamente dados de demanda onde se observa a ocorrência de tendência linear, além de um componente de sazonalidade. Dados de demanda sazonal caracterizam-se pela ocorrência de padrões cíclicos de variação que se repetem em intervalos relativamente constantes de tempo. Demanda de tipo sazonal caracteriza alguns ramos da indústria alimentícia (refrigerantes e sorvetes), de cosméticos (bronzeadores) e de serviços (intensidade de atendimento de um banco ao longo do dia).

Os modelos de Holt-Winters dividem-se em dois grupos: aditivo e multiplicativo. No modelo aditivo, a amplitude da variação sazonal é constante ao longo do tempo; em outras palavras, a diferença entre o maior e o menor valor de demanda dentro das estações permanece relativamente constante no tempo. No modelo multiplicativo, a amplitude da variação sazonal aumenta ou diminui como função do tempo.

2.2.3.1 Modelo Multiplicativo de Holt-Winters

O modelo multiplicativo de Holt-Winters é utilizado na modelagem de dados sazonais onde a amplitude do ciclo sazonal varia com o passar do tempo. Sua representação matemática é dada por (Makridakis et al., 1998):

(

1

)(

1 1 t t t s

z

L

L

S

α

α

_{− −} −

=

+ −

_t

+

T

_t

)

,

1

,

t (4)

T

_t

=

β

(

L

_t

−

L

_t−1

) (

+ −

1

β

)

T

₋ (5)

(

1

)

t t t

z

S

L

γ

γ

₋

=

+ −

S

_{t s}

,

− + (6)

(

)

ˆ

_{t k t t t s k}

,

z

₊

=

L

+

kT S

(7)

onde s é uma estação completa de sazonalidade (por exemplo, s é igual a 12 quando se tem

dados mensais e sazonalidade anual);

L

_t, e representam o nível, a tendência e a sazonalidade da série, respectivamente;

t

T

S

_t

ˆ

_{t k}

z

₊ é a previsão para k períodos à frente; e, finalmente,

γ

é a constante de suavização que controla o peso relativo à sazonalidade, variando entre 0 e 1.

A equação (4) difere da equação que trata do nível (intercepto) da série no modelo de Holt, já que o primeiro termo é dividido por um componente sazonal, eliminando assim a

flutuação sazonal de . A equação (5) é exatamente igual à equação da tendência no modelo

de Holt. Já a equação (6), faz um ajuste sazonal nas observações .

t

z

t

z

Como todos os métodos de suavização exponencial, os modelos de Holt-Winters necessitam de valores iniciais de componentes (neste caso, nível, tendência e sazonalidade) para dar início aos cálculos. Para a estimativa do componente sazonal, necessita-se, no mínimo, de uma estação completa de observações, ou seja,

s

períodos (Makridakis et al., 1998). As estimativas iniciais do nível e da tendência são feitas, então, no período s definido para o componente sazonal.

O estimador inicial para o nível da série é dado pela média da primeira estação:

(

1 2

1

...

.

s

L

z

z

z

_s

)

s

=

+ + +

(8)

O cálculo da estimativa inicial para a tendência requer duas estações completas (2s): 1 1 2 2

1

...

s s s s s

z

z

z

z

z

z

T

s

s

s

s

+

−

+

−

+

−

⎛

⎞

=

_⎜

+

+ +

_⎟

⎝

⎠

s . (9)

Para o componente sazonal, utilizam-se s estimativas iniciais:

1 2 1

,

2

,...,

.

s s s s s

z

z

z

S

S

S

L

L

L

=

=

=

(10)

Estimadores diferentes dos apresentados nas equações (8), (9) e (10) estão disponíveis na literatura. Alguns exemplos podem ser encontrados em Winters (1960), Jonhson & Montgomery (1974), Hamilton (1994) e Elsayed & Boucher (1994).

A Tabela 3 apresenta um exemplo de previsão de demanda utilizando o modelo

multiplicativo de Holt-Winters com

α

= 0,822,

β

= 0,055 e

γ

= 0. Para tanto, é utilizada uma série temporal sazonal com dados dispostos trimestralmente (Makridakis et al., 1998). Os cálculos iniciais da tabela são apresentados a seguir:

(

1 2 4

)

(

)

5 1 6 2 8 4 1 1 2 2 3 3 4 4

1

1

...

362

385

432

341

380;

4

4

1

...

4

4

4

4

1 382

362

409

385

498

432

387

341

9, 75;

4

4

4

4

4

362

0,953;

380

385

1, 013;

380

432

1,137;

380

341

3

s s s s s s

L

z

z

z

z

z

z

z

z

z

T

z

S

L

z

S

L

z

S

L

z

S

L

=

+

+ +

=

+

+

+

=

−

−

−

⎛

⎞

=

_⎜

+

+ +

_⎟

⎝

⎠

−

−

−

−

⎛

⎞

=

_⎜

+

+

+

_⎟

=

⎝

⎠

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

1 4 1 4 4 5 5 1 5 5 5 5 1 5

0,897;

80

ˆ

380 1 9, 75 0,953

371, 29;

382

1

0,822

1 0,822 380

9, 75

398,99;

0,953

1

0, 055 398,99

380

1 0, 055 9, 75

10, 26;

382

1

0

1 0 0,953

0,953.

398,99

s s s s

z

L

kT S

z

L

L

T

S

T

L

L

T

z

S

S

L

α

α

β

β

γ

γ

+

=

=

+

=

+ ×

=

=

+ −

+

=

+ −

+

=

=

−

+ −

=

−

+ −

=

=

+ −

=

+ −

=

TABELA 3. Previsão de demanda pelo modelo multiplicativo de Holt-Winters. (Adaptado de Makridakis et al., 1998).

t

z

_t

L

_t

T

_t

S

_t

z

ˆ

_t 1 362 - - 0,953 - 2 385 - - 1,013 - 3 432 - - 1,137 - 4 341 380 9,75 0,897 - 5 382 398,99 10,26 0,953 371,29 (

k

=1) 6 409 404,68 10,01 1,013 414,64 (

k

=1) 7 498 433,90 11,07 1,137 471,43 (

k

=1) 8 387 433,70 10,45 0,897 399,30 (

k

=1) 9 - - - - 423,11 (

k

=1) 10 - - - - 460,57 (

k

=1)

Os valores das constantes de suavização seguem a mesma lógica de determinação sugerida para os outros métodos de suavização exponencial.

2.2.3.2 Modelo Aditivo de Holt-Winters

O modelo aditivo de Holt-Winters é utilizado na modelagem de dados sazonais onde a amplitude do ciclo sazonal permanece constante com o passar do tempo. Sua representação matemática é dada por (Makridakis et al., 1998):

(

) (

1

)(

1 1

)

t t t s t t

L

=

α

z

−

S

₋

+ −

α

L

₋

+

T

₋

,

1

,

t (11)

(

1

) (

1

)

t t t

T

=

β

L

−

L

₋

+ −

β

T

₋

,

t s (12)

(

) (

1

)

t t t

S

=

γ

z

−

L

+ −

γ

S

₋ (13)

ˆ

_{t k t t t s k}

.

z

₊

= +

L

kT

+

S

_{− +} (14)

A equação da tendência permanece a mesma utilizada para o modelo multiplicativo [ver equação (5)]. Nas demais equações, a única diferença é que o componente sazonal está efetuando operações de soma e subtração, ao invés de multiplicar e dividir.

Os valores iniciais de

L

_s e

T

_s são calculados de forma idêntica ao modelo multiplicativo. Já os componentes sazonais são calculados da seguinte forma:

1 1 s

,

2 2 s

,...,

s s

.

S

= −

z

L S

=

z

−

L

S

= −

z

L

_s

2.4 Modelos de Box-Jenkins

Os modelos de Box-Jenkins, também conhecidos como Modelos Auto-regressivos

Integrados a Média Móvel, ou simplesmente ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average), foram propostos por George Box e Gwilym Jenkins no inicio dos anos 70 (Box et al., 1994).

Os modelos de Box-Jenkins partem da idéia de que os valores de uma série temporal são altamente dependentes, ou seja, cada valor pode ser explicado por valores prévios da série. Os modelos ARIMA representam a classe mais geral de modelos para a análise de séries

temporais. Alguns conceitos devem ser analisados para o entendimento dos modelos Box-Jenkins; tais conceitos são apresentados na seqüência.

2.4.1 Conceitos Básicos para a Compreensão dos Modelos Box-Jenkins

• Modelos Estocásticos e Determínisticos

A representação de fenômenos físicos mostrada numa série temporal pode ser feita por meio de uma modelagem matemática. Nos modelos, valores podem ser agrupados e descritos por intermédio de equações matemáticas. Pode-se utilizar modelagem matemática, por exemplo, para prever o valor de variáveis de interesse em qualquer momento no tempo, caso as variáveis sejam dependentes do tempo. Sempre que uma previsão exata for possível, os modelos são ditos determínisticos. No entanto, muitos fenômenos não são de natureza determinística, devido à incidência aleatória de fatores desconhecidos. Nestes casos, a previsão do valor futuro está sujeita a um cálculo de probabilidade. Modelos matemáticos desenvolvidos para analisar tais fenômenos são ditos estocásticos.

Um processo estocástico é caracterizado por uma família de variáveis aleatórias que descrevem a evolução de algum fenômeno de interesse. Processos estocásticos que caracterizam os estudos de séries temporais descrevem a evolução temporal de um fenômeno de interesse.

• Modelos Estocásticos Estacionários e Não-Estacionários

Uma importante classe de modelos estocásticos utilizados na representação de séries temporais são os modelos estacionários. Tais modelos pressupõem um processo em equilíbrio, onde a família de variáveis se mantém em um nível médio constante (Box et al., 1994). Porém, muitas séries temporais são mais bem representadas por modelos não estacionários. Séries estacionárias e não-estacionárias vêm representadas graficamente na Figura 3.

FIGURA 3. Séries temporais. (Fonte: Box & Luceño, 1997).

Os gráficos (a) e (b) na Figura 3 mostram séries temporais exibindo variação estacionária. Tais séries variam de maneira estável no tempo, em torno de um valor de média fixo. O gráfico (c) mostra uma série temporal não estacionária, a qual se desloca no tempo sobre uma média não fixa.

A série da Figura 3(a) é uma série de ruído aleatório. Em tais séries, as diferenças entre as observações e a média são estatisticamente independentes, seguindo alguma

distribuição de probabilidade (geralmente normal, com média zero e desvio padrão

σ

_a). A propriedade-chave em uma série de ruído aleatório é que a ordem na qual as observações ocorrem não informa nada a respeito da série. Assim, valores passados da série não podem ser utilizados na previsão de valores futuros (Box & Luceño, 1997).

A série da Figura 3(b) também é estacionária, mas apresenta ruídos auto-correlacionados. Neste caso, diferenças entre observações e a média não são estatisticamente independentes entre si. Dependência estatística implica na probabilidade de uma diferença qualquer ser influenciada pela magnitude das demais diferenças na série. Na série da Figura 3(b), diferenças positivas tendem a seguir diferenças positivas e vice-versa.

A auto-correlação difere da correlação pela seguinte razão: a correlação mede o grau de associação entre duas séries temporais distintas. Já a auto-correlação mede a associação entre valores da mesma série, em diferentes períodos defasados de tempo (veja Tabela 4).

TABELA 4. Desenvolvimento para o cálculo da auto-correlação de lag 1 da série utilizada na Tabela 5.

t

z

_t

z

_t−1

(

z

_t

−

z

)

(

z

_t−1

−

z

)

(

)

2 t

z

−

z

(

z

t

−

z

)(

z

t−1

−

z

)

1 0,656 - 0,198 - 0,039 - 2 1,057 0,656 0,599 0,198 0,359 0,119 3 -1,750 1,057 -2,208 0,599 4,874 -1,323 4 -0,489 -1,750 -0,947 -2,208 0,896 2,090 5 -2,861 -0,489 -3,319 -0,947 11,015 3,142

#

#

#

#

#

#

#

49 -1,799 -0,937 -2,257 -1,395 5,093 3,148 50 -1,698 -1,799 -2,156 -2,257 4,648 4,865

z

=

0,458

Σ

300,493 254,969

Finalmente, a Figura 3(c) ilustra uma variação não estacionária. Esta série é encontrada com freqüência em aplicações na indústria, bem como em estudos de economia e negócios.

• Auto-correlação

Uma estatística importante na análise de séries temporais é o coeficiente de

auto-correlação ρ . A auto-correlação é usada para descrever a correlação entre dois valores da

mesma série temporal, em diferentes períodos de tempo. Assim, um coeficiente de auto-correlação ρ1 mede a correlação entre dois valores adjacentes na série. A auto-correlação,

neste caso, é dita auto-correlação de lag 1 (ou defasagem de 1 unidade de tempo). De

maneira genérica, o coeficiente de auto-correlação

ρ

_k mede a correlação entre observações distantes

k

períodos de tempo (ou seja, uma auto-correlação de lag

k

).

A auto-correlação de lag

k

é medida pelo coeficiente

ρ

_k, definido por (Box et al., 1994):

(

)(

)

(

)

2

(

)

2

,

t t k k t t k

E

z

z

E

z

E

z

µ

µ

ρ

µ

µ

− −

−

−

⎡

⎤

⎣

⎦

=

⎡

₋

⎤ ⎡

₋

⎤

⎣

⎦ ⎣

⎦

(15) ou

(

)(

)

2

,

t t k k z

E

z

µ

z

µ

ρ

σ

−

−

−

⎡

⎤

⎣

=

⎦

(16)

onde

σ

_z2é a variância da série temporal.

Uma estimativa do coeficiente de auto-correlação populacional

ρ

_k nas equações (16) e (17) é dado pelo coeficiente de auto-correlação amostral:

(

)(

)

(

)

1 2 1 t t k k t n t k n t

z

z

z

z

r

z

z

− = + =

−

−

∑

=

−

∑

, com k = 0, 1, 2, ... , n, (17) onde 1

1

.

t n t

z

z

n

=

= ∑

Na prática, para se obter uma boa estimativa do coeficiente de auto-correlação, deve-se dispor de pelo menos 50 obdeve-servações da variável z (Montgomery et al., 1990). O número de auto-correlações de lags diferentes que se calcula para a análise da série temporal deve ser de n/4, onde n é o número total de observações na série.

A seguir é apresentado o cálculo da auto-correlação de lag 1 da série temporal utilizada na Tabela 5 (veja página 37). Para tanto, usa-se o desenvolvimento demonstrado na Tabela 4 (veja página 20).

Utilizando a equação (17), e os somatórios da Tabela 4, chega-se a:

254,969

0,849

300, 493

k

r

=

=

,

o que implica em uma forte associação entre os valores da série em questão, para uma defasagem igual a 1.

Similarmente à auto-correlação, a auto-correlação parcial também permite analisar o relacionamento entre valores de uma série temporal. Porém, a auto-correlação parcial mede o

grau de associação entre e , quando o efeito de outros lags – 1, 2, 3, ... , (k-1) – é

removido (Box et al., 1994). A auto-correlação parcial é representada por

t

z

z

_{t k−}

kk

O coeficiente de auto-correlação parcial

φ

_kk é o késimo coeficiente em um processo auto-regressivo de ordem k (Box et al., 1994).

Uma vez apresentados os conceitos básicos, passa-se ao detalhamento dos modelos de Box-Jenkins.

2.4.2 Modelos Auto-regressivos

Um modelo estocástico útil na representação de um grande número de séries temporais é o modelo auto-regressivo. Neste modelo, o valor corrente do processo é expresso como uma

combinação linear finita de valores prévios do processo e um ruído aleatório

a

_t.

Definem-se os valores observados de um processo em espaços de tempo igualmente

divididos t, t-1, t-2, ... por

z z

_t

,

_t−1

,

z

_t−2

,.

..

..

Definem-se também

z z

 

_t

,

_t−1

,

z



_t−2

,.

como sendo desvios da média

µ

:

1 1 2 2

,

,

t t t t t t

z



= −

z

µ

z



₋

=

z

₋

−

µ

z



₋

=

z

₋

−

µ

,...

Então, a equação: , 1 1 2 2

...

t t t p t p

z



=

φ

z



₋

+

φ

z



₋

+ +

φ

z



₋

+

a

_t (18)

representa um processo auto-regressivo de ordem p, ou simplesmente AR(p). A razão para o nome auto-regressivo é decorrente do fato de ser um modelo linear:

1 1 2 2

...

p p

z



=

φ

x



+

φ

x



+ +

φ

x



+

a

(19)

relacionando uma variável dependente z a um grupo de variáveis independentes x1, x2, ..., xp, e um termo de erro

a

, ser geralmente referido como um modelo de regressão. Assim z é dito

regredido em x1, x2, ..., xp. Na equação (18), a variável z é regredida em valores prévios da

própria variável; por essa razão, o modelo é denominado auto-regressivo (Box et al., 1994).

Os coeficientes auto-regressivos

φ φ

₁

,

₂

,...,

φ

_p, são parâmetros que descrevem como um valor corrente

z

_t relaciona-se com valores passados

z

_t−1

,

z

_t−2

,...,

z

_t−p

B

. O coeficiente

auto-regressivo de ordem p pode ser expresso usando a definição do operador B:

,

1 2

2

( ) 1

B

B

B

...

_p p

φ

= −

φ

−

φ

− −

φ

simplificando a representação matemática do modelo auto-regressivo para

( )

B z

_t

a

_t

O modelo AR(p) contém p+2 parâmetros desconhecidos

(

µ φ φ

_a

, ,

_{1 2}

,...,

φ σ

_p

,

_a2

)

, os quais podem ser estimados a partir de valores observados na série temporal.

σ

_a2 é a variância do processo de ruído aleatório

a

_t.

Processos auto-regressivos podem ser estacionários ou não estacionários (Box et al., 1994). A premissa necessária para que a condição estacionária seja satisfeita é que o operador

auto-regressivo , considerando como sendo um

polinômio em B de grau p, tenha todas as suas raízes

1 2

2

( ) 1

B

B

B

...

_p p

φ

= −

φ

−

φ

− − B

φ

( )

B

0

φ

=

maiores que 1, em valores absolutos (todas as raízes devem estar fora do círculo unitário).

O processo auto-regressivo possui dois importantes casos especiais: os processos de primeira e segunda ordem.

Se p = 1 tem-se um processo auto-regressivo de primeira ordem, designado por AR(1) e descrito por:

1 1 t t

z



=

φ

z



₋

+

a

_t (20)

Este processo também é conhecido como processo de Markov [num processo de Markov, para se saber o valor assumido pela variável de interesse num instante t qualquer, necessita-se somente a informação sobre o valor assumido pela mesma em t-1 (Ross, 1993)]. Para o

processo AR(1) ser estacionário, a raiz de

φ

( ) 1

B

= − =

φ

₁

0

deve estar fora do círculo unitário. Isto equivale dizer que

φ

₁

<

1

, para que a condição estacionária se verifique.

A função de auto-correlação do processo é dada por

ρ

_k

=

φ ρ

_{1 k−1}, com k

>

0, ou

1

k k

ρ

=

φ

, com k

≥

0, já que

ρ

₀

=

1

. Assim, a função de auto-correlação extingue-se exponencialmente quando

φ

₁ é positivo. Analogamente, quando

φ

₁ é negativo, a função de auto-correlação extingue-se exponencialmente com alternância de sinal.

Quando p = 2, tem-se um processo auto-regressivo de segunda ordem, designado por AR(2) e descrito por:

1 1 2 2

t t t

z



=

φ

z



₋

+

φ

z



₋

+

a

_t. (21)

Novamente, para o processo ser estacionário, as raízes da equação

devem estar fora do círculo unitário. Isto implica em

parâmetros 1 2 2

( ) 1

B

B

B

0

φ

= −

φ

−

φ

=

1

(i)

φ φ

₁

+ <

₂

1,

(ii)

φ φ

₂

− <

₁

1

e

(iii)

− < <

1

φ

₂

1.

A função de auto-correlação do processo AR(2) é dada por

1 1 2

k k k 2

ρ

=

φ ρ

−

+

φ ρ

− , com k

>

0. Para k = 1 e 2 tem-se, respectivamente:

1 1 2

1

φ

ρ

φ

=

−

e (22) 2 2 2 2

_.

1

φ

ρ

φ

φ

= +

−

(23)

As equações (22) e (23) são denominadas equações de Yule – Walker (Box et al., 1994).

A função de auto-correlação de ordem 2 é complexa. Se , a função de

auto-correlação é uma mistura de distribuições exponenciais decrescentes. Quando

, a função de auto-correlação extingue-se de maneira senoidal. De uma

maneira geral, a função de auto-correlação para um processo estacionário auto-regressivo consiste de uma mistura de distribuições exponenciais com ondas senoidais decrescentes (Box

et al., 1994). 2 2 1

4

φ

+

φ

≥ 0

0

2 2 1

4

φ

+

φ

<

Um caso de modelo auto-regressivo é apresentado no exemplo 1 da seção 2.2.7.5.

2.4.3 Modelos de Média Móvel

Nos modelos de média móvel,

z

_t, que representa a observação

z

_t subtraída da média

µ

, depende linearmente de um número finito q de valores prévios do ruído aleatório . Assim, t

a

1 1 2 2

...

t t t t q t

z



= −

a

θ

a

₋

−

θ

a

₋

− −

θ

a

_−q (24)

é chamado um processo de média móvel (MA) de ordem q. O nome média móvel pode levar a