2.1 Um algoritmo fundamental

(1)

Aproxima¸c˜

oes Racionais e Aritm´etica

Rodrigo Gondim - UFRPE

1 Introdu¸

c˜

ao

As civiliza¸cões mais antigas, desenvolvendo técnicas de engenharia e agrimensura, por razões geométricas obvias, se depararam com números irracionais. A bem da verdade, como aplica¸cão imediata em problemas concretos, uma “boa” aproxima¸cão de um número irracional por um racional já era suficiente.

As ra´ızes quadradas parecem ter dado origem às primeiras experiências humanas na tarefa de aproximar. Mesopotâmia, Grécia, China, Índia foram as primeiras civiliza¸cões a estudar o problema. Havia sempre uma interpreta¸cão geométrica para o problema de extrair ra´ızes quadradas e, geralmente, os algoritmos por eles desenvolvidos se baseavam em racioc´ınios geométricos.

Entretanto, na Índia foi concebido um algoritmo para extra¸cão de ra´ızes quadradas de caráter profunda-mente Aritmético (Teoria de Números). Tal algoritmo está intimamente ligado com dois importantes ramos da Matemática chamados Aproxima¸cão Diofantina e Geometria Aritmética.

Aproxima¸cão Diofantina é uma área da Matemática que conecta questões aritméticas (Teoria de Números) com questões de aproxima¸cão racional de números irracionais. A Geometria Aritmética é uma forma moderna de tratar de Equa¸cões Diofantinas.

Esse mimi-artigo tem como objetivo mostrar a evolu¸cão histórica do problema de aproxima¸cão conectando-o a problemas aritméticos. Ao fim apresentamos um importante teorema de Roth (de caráter qualitativo) em Aproxima¸cão Diofantina, bem como algumas consequências em Geometria Aritmética. A Geometria Aritmética vem impulsionando grandes avan¸cos em várias áreas da Matemática do séculos XIX, XX e XXI.

2 Algoritmos cl´

assicos de Aproxima¸

c˜

ao de Ra´ızes Quadradas

Um algoritmo fundamental de extra¸cão de ra´ızes quadradas, desenvolvido na Mesopotâmia e na Grécia (Hieron), se baseava no seguinte argumento, ver [2]: Para extrair a raiz quadrada de um natural k, √k, primeiramente encontramos uma aproxima¸cão por falta a <√k.

a c

(2)

Da figura conclu´ımos que se a+c = √k, ent˜ao 2ac+c2 ₌

k−a2_{. Supondo}

c2

≈ 0 (desprezando o quadrado do erro) temos que c ≈ k−a2

2a . O s´ımbolo ≈ significa aproximadamente igual. Isso implica que se

fizermos

a2=a+

k₋a2

2a =

a2

+k 2a .

Estamos desprezando o quadrado do erro. Isso é bastante razoável pois se o erro é “pequeno”, seu quadrado é menor. Entãoa2é uma aproxima¸cão de

√

k, melhor do quea. Indutivamente, definaa1=ae

an =

a2 n−1+k

2an−1

.

Ent˜ao a sequˆencia {an}n∈N converge para √

k ver [2]. Esta fórmula coincide com a sequência recorrente de-scoberta por Newton com as derivadas e a aproxima¸cão linear. Por que??? Desprezando o quadrado do erro estamos “aproximando pela tangente”!

2.2 O algoritmo hindu

Em linguagem moderna, a ideia do algoritmo hindu se baseia no seguinte argumento: Sejadum inteiro positivo não quadrado. A partir da determina¸cão de uma fra¸cão não trivial que aproxime√dpodemos determinar uma sucessão de fra¸cões que são uma melhor aproxima¸cão de √d. Esse algoritmo, como mostraremos na próxima se¸cão, está baseado na determina¸cão de solu¸cões inteiras e positivas da seguinte Equa¸cão Diofantina.

x2

−dy2

= 1 (1)

em que x

y ser˜ao as aproxima¸c˜oes racionais de

√ d.

A sucess˜ao a qual nos refer´ıamos pode ser definida recorrentemente da seguinte maneira: Seja x1

y1 uma fra¸c˜ao

irredut´ıvel que aproxima√d, satisfazendox2 1−dy

2

1= 1. Defina a sequˆencia de fra¸c˜oes xn

yn, indutivamente, por

xn=xn−1x1+dyn−1y1 e yn =xn−1y1+x1yn−1.

Temos que (xn, yn) satisfazemx2n−dy 2

n= 1 e que as fra¸c˜oes irredut´ıveis xn

yn convergem para

√

d. Detalhes em [2].

Observa¸cão 2.1 Há um algoritmo grego de extra¸cão de ra´ızes quadradas chamado Escada de Theon que parece estar ligado ao algoritmo hindu, ver [2].

O artigo [7] faz parte de uma incr´ıvel cole¸cão-referência-histórica sobre a Matemática na Índia. No mesmo o autor desenvolve os argumentos que levam a crer que o algoritmo hindu estivesse ligado à equa¸cãox2

−dy2_{= 1.}

3 Equa¸

c˜

oes de Pell-Fermat

Uma Equa¸cão Diofantina é uma equa¸cão polinomial em várias variáveis com coeficientes inteiros, da qual procuramos solu¸cões inteiras (ou racionais). Seja d∈ Z um inteiro positivo que não é quadrado. A Equa¸cão Diofantina

x2

−dy2

(3)

é chamada equa¸cão de Pell-Fermat. De tal equa¸cão buscamos solu¸cões inteiras e positivas. Geometricamente tais equa¸cões representam hipérboles no plano cartesiano; os pontos da hipérbole são todas as solu¸cões reais e as solu¸cões inteiras são os pontos da hipérbole com ambas coordenadas inteiras. Os pontos inteiros do plano estão em uma malha e não é nada trivial mostrar que tais hipérboles contenham uma infinidade de pontos em tal malha!!!

Teorema 3.1 Sejad∈Z um inteiro positivo livre de quadrados, ent˜ao a equa¸c˜ao de Pell-Fermat

x2

−dy2

= 1

possui uma infinidade de solu¸c˜oes inteiras.

Uma demonstra¸cão natural deste teorema seria determinar uma solu¸cão não trivial y 6= 0 e, a partir dela produzir uma infinidade de solu¸cões inteiras. A parte não trivial deste argumento consiste exatamente em encontrar uma solu¸cão inicial. Nessa se¸cão vamos explicar como encontrar uma infinidade de solu¸cões a partir de uma dada, sem determinar uma solu¸cão inicial.

Procederemos com um tratamento alg´ebrico um pouco mais moderno.

Defini¸cão 3.2 Um Dom´ınio de Inteiros Quadráticos de Pell-Fermat é um conjunto da forma

Z[√d] ={a+b√d_|a, b_∈Z_{} ⊂}R

em qued∈Z´e um inteiro positivo livre de quadrados.

Dizer que esse conjunto é um dom´ınio significa dizer que o mesmo está munido de duas opera¸cões, adi¸cão e multiplica¸cão, satisfazendo as propriedades usuais (como Z). A conjuga¸cão em Z[√d] é definida da seguinte forma: z =a+b√d∈Z[√d], o conjugado dez éz =a−b√d. A conjuga¸cão em Z[√d] satisfaz propriedades análogas às da conjuga¸cão complexa, isto é, z+w=z+wez.w=z.w

Defini¸cão 3.3 A norma algébrica em Z[√d]é definida por:

N(z) =zz.

Logo, sez=a+b√d, ent˜aoN(z) =a2

−b2

d∈Z.

A propriedade fundamental da norma alg´ebrica deZ[√d] ´e

N(zw) =N(z)N(w)

A equa¸cão obtida fornece uma tradu¸cão moderna de uma fórmula hindu: produto de dois elementos de norma 1 tem norma 1. Se z =a+b√d6= 1, então não apenas ele, bem como todas as suas potências dão origem a solu¸cões não triviais da equa¸cãox2

−dy2 _{= 1. Nesse caso as potˆencias de}

z nos fornecem uma infinidade de solu¸c˜oes para a equa¸c˜aox2

−dy2

= 1. De fato, suponhamos que (a, b)∈Z2

é uma solu¸cão não trivial em inteiros positivos da equa¸cão 1. Entãoz=a+b√d∈Z[√d] é um elemento de normaN(z) = 1. Assim, cada potência zn =zn =an+bn

√

dtem norma N(zn) = N(zn) = N(z)n = 1. Logo, os pares (an, bn), assim definidos, s˜ao

solu¸cões não triviais da equa¸cãox2

−dy2

(4)

s˜ao todas distintas.

Do nosso ponto de vista as solu¸cões da equa¸cão de Pell-Fermat fornecem “boas aproxima¸cões racionais”de√d. Com efeito, sex, y_∈Zsão tais quex2

−dy2

= 1, ent˜ao (x−y√d)(x+y√d) = 1 e, portanto,

x y −

√

d= 1

y(x+y√d). Observamos que sex, y→ ∞, ent˜ao a fra¸c˜ao x

y ser´a uma aproxima¸c˜ao de

√

dt˜ao boa quanto quisermos.

Exemplo 4 Considere a equa¸c˜ao

x2

−2y2

= 1

uma solu¸cão não trivial é (3,2) que corresponde ao elemento de norma 1z= 3 + 2√2∈Z[√2] que é maior que 1 e minimal. Suas potências são: z2_{= 17 + 12}√_2,

z3_{= 99 + 70}√_2,

z4_{= 577 + 408}√_{2, ...}

que dão origem às seguintes solu¸cões da equa¸cão de Pell-Fermat: (17,12), (99,70), (577,408), ... A aproxima¸cão

577

408= 1,41421568627451...(cinco casas de aproxima¸c˜ao corretas!!!) aparece em antigos textos religiosos hindus

para constru¸c˜ao de altares, ver [2].

5 Aproxima¸

c˜

ao Diofantina: de Dirichlet a Roth

O ramo da Matem´atica denominado Aproxima¸c˜ao Diofantina tem seu in´ıcio marcado pelo seguinte teorema de Dirichlet.

Teorema 5.1 (Dirichlet) Seja α∈Rum n´umero irracional. Ent˜ao existem infinitos inteiros x, y,y >0 tais que x

y ´e uma fra¸c˜ao irredut´ıvel e

|x y −α|<

1 y2.

Prova: Defina⌊x_⌋=m_∈Zo ´unico inteiro tal quem_≤x < m+ 1, e {x_}=x_{− ⌊}x_⌋. Considere, para cada naturalN os distintos elementos do intervalo [0,1]:

{0},{α},{2α}, ...,{N α}

Divida o intervalo [0,1] em N partes iguais e utilizando o princ´ıpio das gavetas de Dirichlet (da´ı vem o nome!!!), sabemos que dois de tais elementos pertencem ao mesmo intervalo, digamos k−1

N <{sα} < {tα} ≤ k N. Da´ı,

{tα} − {sα}< _N1 donde conclu´ımos queqα−p < _N1 em quep=⌊sα⌋ − ⌊tα⌋eq=t−s. Portanto obtemos um infinidade dep, qsatisfazendo: α₋p_q < 1

N q < 1

q2. ✷

No nosso contexto o teorema de Dirichlet implica o teorema 3.1. A prova para esse fato pode ser encontrada em [8] ou resulta das seguintes equivalˆencias, como em [11]:

Proposi¸cão 5.2 Seja d >0um inteiro que não é quadrado. Então são equivalentes:

(i) Existem infinitos inteiros positivosx, y tais que x2

−dy2

(5)

(ii) Existem infinitos inteiros positivosx, y tais que |x y−

√

d|<_y12;

(iii) Existem >0 para o qual existem infinitos inteiros positivos x, ysatisfazendo x2

−dy2₌

m

Observamos que não encontramos um algoritmo para determinar uma solu¸cão inicial. Sabendo da existência de uma infinidade de inteirosx, ytais que |x

y−α|< 1

y2, quando|x| → ∞ e|y| → ∞ a fra¸c˜ao irredut´ıvel

x y ≃α

ser´a uma boa aproxima¸c˜ao racional deα. A estimativa de erro 1

y2 →0 decresce “quadraticamente”.

Surge então a pergunta: Para αirracional existem aproxima¸cões em que a estimativa de erro é do tipo 1 yn e

converge para zero “mais rapidamente”; substituindo o expoente2 por um outro expoente, n >2? Para uma classe de números irracionais a investiga¸cão do expoente ótimo foi incessante.

Defini¸cão 5.3 Um número real α∈R é dito ser algébrico se existir um polinômio não nulof ∈Q[X], com coeficientes racionais tal quef(α) = 0. O grau deαé o grau do polinômio não nulo, com coeficientes racionais, de menor grau que anulaα.

Exemplo 5.4 √2,√3, √3

2 são números algébricos (de graus 2, 2 e 3, respectivamente). Os números que não são algébricos são chamados transcendentais, por exemploπee.

Para a classe dos números algébricos vários matemáticos buscaram expoente ótimo de Aproxima¸cão Diofantina. Liouville (1900), Thue (1909), Siegel (1921) e Dyson (1947) obtiveram estimativas (cada vez melhores) do expoente ótimo (mas todas dependiam do grau deα) Em 1955 Roth provou que o expoente 2, descoberto por Dirichlet, já era o ótimo (independente do grau de α). Por esse resultado Roth foi agraciado com a medalha Fields, maior honra ao desenvolvimento cient´ıfico Matemático.

Teorema 5.5 (Roth) Sejam α ∈ R um número algébrico irracional e ǫ > 0 um número positivo arbitrário. Então existem, apenas um número finito de inteirosx, ytais que

|x y −α|<

1 y2+ǫ

6 Implica¸

c˜

oes em Geometria Aritm´

etica

Geometria Aritmética é a área da Matemática que utiliza métodos Geométricos com o fim de resolver proble-mas de caráter Aritmético, principalmente questões qualitativas envolvendo Equa¸cões Diofantinas; existência de solu¸cões, finitude e estrutura das solu¸cões inteiras (ou racionais). O conjunto de zeros de uma Equa¸cão Diofantina pode ser interpretado geometricamente de modo que a uma Equa¸cão Diofantina em duas variáveis associamos uma curva no plano, da qual procuramos pontos com coordenadas inteiras ou racionais. Um im-portante problema qualitativo é sobre a finitude (ou infinitude) do conjunto de solu¸cões inteiras de Equa¸cões Diofantinas. No caso das curvas esse problema foi completamente resolvido. A última década do século XX, com o esfor¸co conjunto de muitos matemáticos, viu um explosivo progresso no estudo da Geometria Aritmética (ou Diofantina), ver [9] para um panorama mais completo. Alguns problemas essenciais em Geometria Aritmética têm conexões com Aproxima¸cão Diofantina (e seus resultados de finitude).

(6)

graus 1 e 2 podem possuir uma infinidade de pontos inteiros. As retas são as famosas Equa¸cões Diofantinas lineares, conhecidas desde Euclides e Diofanto e que podem ser resolvidas com o algoritmo do MDC ver [10] ou [4] . Dentre as cônicas sabemos que as elipses possuem um número finito de solu¸cões inteiras, as parábolas podem possuir um número finito ou uma infinidade de solu¸cões inteiras ver [4]. Nesse artigo mostramos as equa¸cões de Pell-Fermat, que são hipérboles, possuem uma infinidade de solu¸cões inteiras. O teorema a seguir é uma versão simplificada, para curvas não singulares no plano (Equa¸cões Diofantinas em duas variáveis), do original teorema de Siegel, que lhe rendeu uma medalhaFields. A versão original do teorema utiliza um outro invariante ao invés do grau, esse invariante é chamado gênero da curva e é um invariante de caráter puramente geométrico. As demonstra¸cões mais conhecidas desse resultado são consequencias do teorema de Roth (ou de uma versão mais fraca devida ao próprio Siegel ver [9]).

Teorema 6.1 (Siegel)Seja C⊂R2 _{uma curva alg´ebrica n˜}_{ao singular com coeficientes inteiros e grau}

d≥3. Ent˜ao C possui, apenas, um n´umero finito de pontos inteiros.

Referˆ

encias

[1]stewart, i. n.; tall, d. o. -Algebraic number theory and Fermat‘s last Theorem, A K Peters, Natick MA, 3rd Edition, 2002.

[2]pitombeira, j.b. -A Raiz Quadrada ao longo dos S´eculos, V Bienal da SBM, Jo˜ao Pessoa, 2010.

[3]garcia, a.; lequain, i. -Elementos de ´Algebra, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1996.

[4]gondim, r. -Aritmética em Retas e Cônicas, V Bienal da SBM, João Pessoa, 2010.

[5] waldschimidt, m. - On the so called Pell-Fermat Equation www.impa.br/opencms/en, Rio de Janeiro, 2010. http://www.math.jussieu.fr/ miw/articles/pdf/EquationPellFermatClermont052008VI.pdf

[6]muniz neto, a. c. -Equa¸c˜oes Diofantinas, Revista Eureka! n. 7, Brasil, 2000.

[7]kumar dutta, a. - Mathematics in Ancient India-Diophantine Equations: The KuttakaResonance, An overview, Part 1, Vol. 7, No. 4, pp.4;19, Koltaka-India, 2002.

[8]miranda , m. -Heur´ıstica e Equa¸c˜oes DiofantinasFAMAT em revista n. 9, 2007.

[9]hindry, m.; sylverman,j. - Diophantine Geometry: An Introduction Graduate texts in mathematics 201, Springer Verlag, 2000.