Sara Gabriela Lomba de Aguiar Campos
A calculadora gráfica na promoção da escrita
matemática na aprendizagem de modelos
contínuos não lineares: um estudo com alunos
do 11.º ano de Matemática B
Outubro de 2014 U M in h o | 20 14A calculadora gráfica na promoção da escrit
a matemática na aprendizagem de modelos contínuos não linares: um estudo com alunos do 1
1
.º ano de Matemática B
Sara Cam
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Relatório de Estágio
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do
Ensino Básico e no Ensino Secundário
Trabalho efetuado sob a orientação de
Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu
Sara Gabriela Lomba de Aguiar Campos
A calculadora gráfica na promoção da escrita
matemática na aprendizagem de modelos
contínuos não lineares: um estudo com alunos
do 11.º ano de Matemática B
DECLARAÇÃO Nome: Sara Gabriela Lomba de Aguiar Campos
Endereço eletrónico: sgabrielacampos@gmail.com
Telefone: 917972000
Número do Bilhete de Identidade: 13428899
Título do Relatório:
A calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos contínuos não lineares: um estudo com alunos do 11.º ano de Matemática B
Supervisor:
Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu
Ano de conclusão: 2014
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO INTEGRAL DESTE RELATÓRIO APENAS PARA EFEITOS DE INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE COMPROMETE.
Universidade do Minho, ____ / ____ / ____
AGRADECIMENTOS
Dedico este espaço a todos que de forma direta ou indireta contribuíram positivamente para a realização deste estudo, dando especial atenção:
Ao Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu, meu supervisor, por toda a sua disponibilidade, sugestões e críticas no desenvolvimento deste projeto.
À Professora Maria do Carmo Cunha, minha orientadora, por todos os conselhos que deu ao longo deste ano e toda a partilha de experiências e conhecimento.
À escola por permitir a concretização deste projeto e aos alunos pela colaboração ao longo deste ano de estágio.
A todos os meus amigos, em particular, à Cátia Rodrigues pelo apoio e conselhos incondicionais, à Filipa Araújo que mesmo longe esteve presente com uma palavra amiga, ao Aníbal Coutinho pelo apoio e ajuda na realização deste estudo e à Débora Cunha por toda a paciência e amizade que não se perdeu nestes anos.
À minha colega de estágio, Patrícia Moura, por partilhar comigo ideias e por estar presente e me dar força em todos os momentos no desenvolvimento deste projeto.
À minha família, em particular aos meus pais e à minha irmã, pelo apoio, força e paciência incondicionais prestados ao longo desta fase da minha formação.
A CALCULADORA GRÁFICA NA PROMOÇÃO DA ESCRITA MATEMÁTICA NA APRENDIZAGEM DE MODELOS CONTÍNUOS NÃO LINEARES: UM ESTUDO COM ALUNOS DO 11.º ANO DE
MATEMÁTICA B
Sara Gabriela Lomba de Aguiar Campos
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário Universidade do Minho, 2014
RESUMO
O presente estudo teve como principal objetivo averiguar o contributo da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares de alunos do 11.º de Matemática B. Para concretizar este objetivo estabeleceram-se as seguintes questões de investigação: (1) O que escrevem os alunos quando utilizam a calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? (2) Que dificuldades manifestam os alunos na escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? (3) Que perceções têm os alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? Para dar resposta a estas questões recorreu-se a diversos métodos de recolha de dados: dois questionários, um no início e outro após a intervenção pedagógica; observação das atividades dos alunos, através de uma grelha de observação e de gravações de aulas em vídeo; análise documental (planificações de aulas, produções dos alunos e questões colocadas no final de algumas aulas).
Da análise dos dados recolhidos, o que os alunos escrevem quando utilizam a calculadora gráfica, na aprendizagem de modelos contínuos não lineares, remete para a obtenção de: (i) informação, ao registarem somente o esboço gráfico sem qualquer justificação; (ii) estratégias de utilização da calculadora, ao transcreverem para o papel o modo como editam as expressões que representam funções, definem a janela de visualização e relacionam diferentes menus da calculadora gráfica; e (iii) formas de raciocínio, através da justificação da interpretação que fazem da informação que retiram da calculadora (ou através da verbalização ou através da verbalização com a representação gráfica), e da formulação de generalizações e de validação de conjeturas.
Quanto às dificuldades manifestadas pelos alunos na escrita matemática com recurso à calculadora gráfica, emergem a escolha da janela de visualização adequada ao contexto do problema, a associação das variáveis dos eixos cartesianos com a sua contextualização do problema, a distinção entre o conceito imagem e o conceito definição e a representação da assíntota horizontal de gráficos das funções estudadas.
Relativamente às perceções dos alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica, a maioria dos alunos revela que não teve dificuldades em transcrever para o papel a informação proveniente deste recurso, cujo registo e análise os ajudou a organizar os seus raciocínios e contribuiu para a sua aprendizagem dos modelos estudados.
THE USE OF THE GRAPHICS CALCULATOR IN PROMOTING WRITING MATHEMATICS WHEN LEARNING NONLINEAR CONTINUOUS MODELS: A STUDY WITH 11TH GRADE MATHEMATICS B
Sara Gabriela Lomba de Aguiar Campos
Master’s in Mathematics teaching in the third cycle of Basic Education and on the Secondary Education
Universidade do Minho, 2014 ABSTRACT
The present study had the main objective of assessing the contribution of writing mathematics with the use of the graphics calculator on learning non linear continuous models by 11.th grade Mathematics B students.
On pursuing this objective the following research questions were established: (1) What do students write when using the graphics calculator while learning non linear continuous models? (2) What difficulties do students show when writing mathematics with the use of the graphics calculator while learning non linear continuous models? (3) What is the students’ perception on writing mathematics with the use of the graphics calculator on learning non linear continuous models? To answer these questions several methods of data collection were used: two questionnaires, one at the beginning and one after pedagogical intervention; observation of student actions through an observation grid and by videotaping classes; and documental analysis (class planning, student work and questions raised by students after some classes).
Data analysis showed that what the students write when using the graphics calculator on learning non linear continuous models pursues obtaining (i) information, when registering the graphic sketch without any justification; (ii) strategies for using the graphics calculator by replicating on paper the way they edit the expressions that represent functions, the way they set the visualization window and the way different menus of the graphics calculator relate; and (iii) methods of reasoning, by justifying the interpretations made of the information taken from the graphics calculator (either by verbalizing or by using graphics), formulating generalizations and validating conjectures.
Students show difficulties when writing mathematics with the use of the graphics calculator when choosing the appropriate visualization window for the context of the problem, when associating variables of the specific problem to the Cartesian axes, when differentiating between the concepts of image and definition, and when drawing the horizontal asymptote of the studied functions. Students’ perception on writing mathematics with the use of the graphics calculator, is, for the greater part, that there was no difficulty on transcribing the information provided by the graphics calculator, and that registering and analyzing that information helped them organize their reasoning and ultimately contributed in a positive way to learning the studied models.
ÍNDICE AGRADECIMENTOS ... iii RESUMO ... v ABSTRACT ... vii ÍNDICE ... ix ÍNDICE DE FIGURAS ... xi
ÍNDICE DE TABELAS ... xiii
CAPÍTULO 1 ... 1
INTRODUÇÃO ... 1
1.1. Tema, objetivos e questões do estudo ... 1
1.2. Pertinência do estudo ... 2
1.3. Estrutura do relatório ... 3
CAPÍTULO 2 ... 5
ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO ... 5
2.1. Enquadramento Contextual ... 5
2.1.1. Caracterização da Escola ... 5
2.1.2. Caracterização da Turma ... 7
2.2. Enquadramento Teórico ... 10
2.2.1. Modelos contínuos não lineares no currículo escolar ... 10
2.2.2. Comunicação Escrita ... 13
2.2.3. Calculadora gráfica e a Comunicação Escrita ... 17
2.3. Estratégias de Intervenção... 21
2.3.1. Metodologias de ensino e de aprendizagem ... 21
2.3.2. Estratégias de avaliação da ação ... 24
CAPÍTULO 3 ... 27
INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA ... 27
3.1. Perceções dos alunos sobre a escrita matemática e a calculadora gráfica ... 27
3.2. Tópicos lecionados na intervenção pedagógica ... 31
3.3. A calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos contínuos não lineares ... 32
3.4.1. Análise das questões propostas no final de algumas aulas ... 52
3.4.2. Perceções dos alunos depois da prática pedagógica ... 55
CAPÍTULO 4 ... 61
CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES E RECOMENDAÇÕES ... 61
4.1. Conclusões ... 61
4.1.1. O que escrevem os alunos quando utilizam a calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? ... 61
4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos na escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? ... 64
4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? ... 64
4.2. Limitações e recomendações ... 65
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 67
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Finalidades da utilização da calculadora gráfica segundo os alunos A12 e
A1...28
Figura 2. Consideração de que a calculadora gráfica dispensa a escrita matemática (A2)...29
Figura 3. Consideração de que a calculadora gráfica incentiva a escrita matemática (A15)...29
Figura 4. Consideração de que a calculadora gráfica incentiva e dispensa a escrita matemática (A5)...29
Figura 5. Consideração de que a calculadora gráfica não incentiva nem dispensa a escrita matemática (A3)...30
Figura 6. Raciocínio como vantagem da escrita matemática (A3,A1,A14 e A12)...30
Figura 7. Organização, memorização e interiorização como desvantagens da escrita matemática (A14,A5eA1)...31
Figura 8. Confusão e mais tempo a realizar a tarefa como desvantagens da escrita matemática (A15eA3)...31
Figura 9. Representação gráfica, sem resposta escrita (P7)...33
Figura 10. Representação gráfica, sem resposta escrita (P2)...35
Figura 11. Edição de expressões por um aluno...36
Figura 12. Esboço gráfico que traduz a concentração do fármaco “Saratex” (P1)...37
Figura 13. Esboço gráfico que traduz o número de exemplares de uma espécie vegetal ao longo dos anos (P3)...37
Figura 14. Esboço gráfico que traduz o momento em que a cafeína deixa de exercer efeitos estimulantes (P5)...38
Figura 15. Janela de visualização indicada pelo par P6...40
Figura 16. Relação entre diferentes menus da calculadora gráfica (P4)...41
Figura 17. Introdução do número de Neper (P4)...42
Figura 18. Relação entre diferentes menus da calculadora gráfica (P5)...44
Figura 19. Respostas dos alunos sem gráfico (P3 e P5)...45
Figura 21. Representação gráfica com justificação dada pelo par de alunos P2...47
Figura 22. Resposta em que formulam generalizações (P7)...48
Figura 23. Conjetura quanto à subida e descida do balão (P3)...49
Figura 24. Conjetura do problema dos coelhos (P7)...50
Figura 25. Modelo exponencial como sendo o que melhor se ajusta aos dados (P1)...51
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1. Desempenho dos alunos no final do 10.º ano e durante o 11.º ano. ... 8
Tabela 2. Finalidades da disciplina de Matemática (f) (n=15). ... 9
Tabela 3. Vantagens do trabalho de grupo (f) (n=15). ... 9
Tabela 4. Desvantagens do trabalho de grupo (f) (n=15). ... 10
Tabela 5. Objetivos e competências gerais da disciplina de Matemática B. ... 11
Tabela 6. Finalidades da calculadora gráfica (f) (n=15). ... 27
Tabela 7. Preferências dos alunos sobre o tipo de tarefa (f) (n=15). ... 28
Tabela 8. A calculadora gráfica dispensa e/ou incentiva a escrita matemática (f) (n=15). ... 29
Tabela 9. Vantagens da escrita matemática na sua aprendizagem (f) (n=15). ... 30
Tabela 10. Desvantagens da escrita matemática na sua aprendizagem (f) (n=15). ... 31
Tabela 11. Organização da intervenção de ensino centrada no relatório. ... 32
Tabela 12. Vantagens da calculadora gráfica na aprendizagem do tópico (f) (n=15). ... 53
Tabela 13. Desvantagens da calculadora gráfica na aprendizagem do tópico (f) (n=15). ... 53
Tabela 14. Dificuldades da escrita com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem do tópico (f) (n=15). ... 54
Tabela 15. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à organização das atividades dos alunos (n=14). ... 55
Tabela 16. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares (n=14). ... 56
Tabela 17. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares (n=14). ... 57
Tabela 18. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente às capacidades/atitudes desenvolvidos (n=14). ... 57
Tabela 19. Aspetos positivos da utilização da calculadora na promoção da escrita matemática (f) (n=14). ... 58
Tabela 20. Aspetos negativos da utilização da calculadora na promoção da escrita matemática (f) (n=14). ... 59
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo, dividido em três secções, apresento o tema, o objetivo e as questões de investigação do projeto, bem como a pertinência do estudo e uma breve descrição da estrutura do relatório.
1.1. Tema, objetivos e questões do estudo
O tema deste estudo incide sobre a calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos contínuos não lineares com alunos do 11.º ano de Matemática B. A escolha deste tema deve-se, por um lado, à minha experiência enquanto aluna, que não me apercebi da importância que a escrita matemática tinha para a minha aprendizagem, muito menos com recurso à calculadora gráfica. Tal como, provavelmente, muitos alunos, eu pensava que era “só” transcrever o esboço gráfico, por exemplo, e escrever a resposta à tarefa que me era proposta, sem grandes preocupações de interpretação da informação proveniente da calculadora na transcrição para o papel da conversão dessa informação para linguagem matemática. A atividade de escrever permite estabelecer relações entre conceitos ‘antigos’ e conceitos ‘novos’, desenvolvendo desta forma o raciocínio e ajudando também na organização do discurso escrito (Morgan, 1998). Por outro lado, a escolha deste tema deveu-se, sobretudo, ao constatar no período da observação de contextos, que antecedeu a minha prática pedagógica, que, por vezes, grande parte dos alunos utilizava a calculadora mais como um auxiliar de cálculos, dando pouca atenção a este recurso na formalização dos conceitos matemáticos em estudo. Sendo a calculadora gráfica um material de uso obrigatório na aula de matemática do ensino secundário, atendendo às potencialidades que este recurso disponibiliza na realização de atividades matemáticas e considerando as dificuldades que os alunos revelavam ter na escrita matemática comecei a pensar em formas de tirar partido da calculadora na promoção desta atividade. À medida que se intensificavam as aulas que observava, mais convicta ficava de que os alunos tendiam a não valorizar a informação proveniente deste recurso, o que indiciava que a sua utilização prevalecia nas situações de cálculo. A temática que despertou a minha atenção ganhou sentido ao analisar as recomendações metodológicas do programa do ensino secundário, onde se defende que as
estratégias de ensino devem assegurar atividades em que os alunos “descrevam os raciocínios utilizados e interpretem aquilo que se lhes apresenta de modo que não se limitem a ‘copiar’ o que veem” (Ministério da Educação, 2001, p. 16). Desta forma, a capacidade de comunicar por escrito e aplicar os conteúdos matemáticos por parte dos alunos constituiu o ponto fulcral no desenvolvimento da minha intervenção pedagógica, pretendo averiguar o contributo da calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos contínuos não lineares de alunos do 11.º ano de Matemática B. Na concretização deste objetivo procuro responder às seguintes questões:
– O que escrevem os alunos quando utilizam a calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares?
– Que dificuldades manifestam os alunos na escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares?
– Que perceções têm os alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares?
Relativamente ao que os alunos podem escrever a partir da utilização da calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares, as orientações metodológicas do programa de Matemática B apontam os seguintes indicadores: (i) interpretar uma função e predizer quer a forma do seu gráfico quer o seu comportamento; (ii) discutir a razoabilidade de modelos gerados pela calculadora gráfica; (iii) estabelecer e descrever regularidades; (iv) resolver e formular problemas; e (v) descrever adequadamente o conteúdo matemático.
1.2. Pertinência do estudo
Com base em princípios e métodos de trabalho aplicados, a disciplina de Matemática é, por assim dizer, a base para a educação do aluno, contribuindo para a formação da sua autonomia e solidariedade, capacidade de empreendedorismo, responsável e consciente das relações e a sua involvência no meio ambiente em que vive. A disciplina de Matemática é uma parte imprescindível da cultura científca e humanística, preparando o aluno para fazer as suas escolhas profissionais, a adquirir flexibilidade em adaptar-se a novas situações, para que se sinta motivado a continuar a sua formação ao longo da vida. Além disso, a disciplina de Matemática é também de enorme ajuda na construção do diálogo na comunicação com os outros, fornecendo instrumentos de compreensão, seleção, avaliação e integração das mensagens e o acesso a
fontes de conhecimento científico. A comunicação matemática surge no programa de Matemática do ensino secundário como um tema transversal, com o intuito do aluno desenvolver a capacidade de comunicar conceitos, raciocínios e ideias, oralmente ou por escrito, com clareza e progressivo rigor lógico; interpretar textos de Matemática; exprimir o mesmo conceito em diversas formas ou linguagens; usar corretamente o vocabulário específico da Matemática; e apresentar textos de forma clara e organizada (Ministério da Educação, 2001).
Através da comunicação matemática “as ideias tornam-se objetos de reflexão, aperfeiçoamento, discussão e correção” (NCTM, 2007, p. 66), sendo parte indispensável na educação matemática. Perante os desafios de raciocinar e pensar matematicamente e, consequentemente, transmitir as suas ideias quer oralmente ou por escrito, os alunos desenvolvem a sua capacidade de argumentação matemática. Em particular, a comunicação escrita ajuda os alunos a consolidar o seu raciocínio, uma vez que os leva a refletir sobre o seu trabalho e a clarificar as suas próprias ideias acerca dos conceitos desenvolvidos na aula, o que enriquece o seu pensamento quando apresentam os seus métodos de resolução ou quando justificam o seu raciocínio (NCTM, 2007). Assim, compete ao professor incentivar com alguma regularidade a resolução de problemas, onde por vezes surgem atividades designadas genericamente por composições matemáticas. Este tipo de atividade está contemplada nos exames nacionais do 12.º ano de matemática com recurso à calculadora gráfica.
A tecnologia, em particular a calculadora gráfica, veio mudar a dinâmica da aula de Matemática e a forma de resolver as tarefas matemáticas. Segundo Burril (2008), os alunos com a calculadora gráfica podem explorar conceitos matemáticos de novas formas e com maior profundidade, permitindo estabelecer ligações entre as várias representações (gráfica, numérica e algébrica). Importa que os alunos transcrevam estas representações de forma adequada, estando aliada à tecnologia a comunicação, em particular a comunicação escrita. Os alunos ao transcreverem para o caderno o que retiram da calculadora juntamente com a devida justificação só têm a ganhar, desenvolve o raciocínio, uma vez que ser capaz de comunicar claramente o seu raciocínio matemático é uma competência essencial (Ball, 2003).
1.3. Estrutura do relatório
Este relatório está dividido em quatro capítulos. No primeiro capítulo – Introdução – apresenta-se o tema, o objetivo e as questões de investigação que orientaram a prática pedagógica, a pertinência deste estudo e a estrutura do relatório.
No segundo capítulo – Enquadramento Contextual e Teórico – caracteriza-se a escola e a turma onde se realizou a intervenção pedagógica e apresenta-se a fundamentação teórica deste relatório e as metodologias de ensino delineadas e as estratégias de avaliação da intervenção pedagógica.
No terceiro capítulo – Intervenção Pedagógica – apresenta-se e analisa-se o processo da intervenção pedagógica, dividido em quatro secções. Na primeira secção analisam-se as perceções dos alunos, antes da prática pedagógica, sobre a escrita matemática e a calculadora gráfica. A secção a seguir corresponde a uma breve descrição dos tópicos lecionados na intervenção pedagógica. De seguida, apresenta-se uma secção que trata da calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos não lineares, com o propósito de evidenciar o que os alunos escrevem, apresentando diferentes momentos de trabalho dos alunos, segundo as categorias definidas para a concretização deste trabalho. Na última secção, apresenta-se a avaliação da intervenção pedagógica, onde se analisam as respostas dos alunos a questões colocadas no final de algumas aulas e as perceções dos alunos depois da intervenção pedagógica sobre as estratégias desenvolvidas.
No quarto capítulo – Conclusões, Limitações e Recomendações – apresentam-se e problematizam-se os resultados obtidos através das questões de investigação delineadas. Por fim, apontam-se algumas limitações e recomendações para projetos futuros.
CAPÍTULO 2
ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO
Este capítulo tem como finalidade descrever o contexto onde se realizou a intervenção pedagógica, em particular, a escola e a turma, e ainda fundamentar os pressupostos teóricos que a sustentam (Modelos contínuos não lineares, Comunicação escrita e a Calculadora gráfica e a escrita matemática) e as metodologias de ensino/aprendizagem e de avaliação de intervenção que foram utilizadas.
2.1. Enquadramento Contextual
Este subcapítulo destina-se à caraterização da Escola e da Turma onde se realizou a minha Intervenção Pedagógica.
2.1.1. Caracterização da Escola
A escola onde desenvolvi a minha prática pedagógica faz parte de um mega agrupamento da cidade de Braga. As suas instalações foram objeto de requalificação (2009 a 2010) no âmbito da intervenção do Parque Escolar, reunindo as condições essenciais ao desenvolvimento da ação educativa tendo como missão construção de uma educação para a cidadania, promotora do desenvolvimento da autonomia pessoal de cada um, favorecendo a clarificação de um sistema de valores, numa perspetiva humanista, que permita aos indivíduos a interpretação crítica e fundamentada do mundo atual (Projeto Educativo). A escola desenvolve um projeto educativo com grande envolvimento dos alunos em atividades extra curriculares, destacando os clubes e oficinas na escola: atelier de artes, clube de arqueologia, clube do ambiente, desporto escolar, oficina de Latim e língua Portuguesa, oficina de robótica, oficina de teatro, rádio, televisão e revista.
Para a dinamização das oficinas, há uma valorização das TIC por parte da escola, é de referir que têm aplicações como a plataforma Moodle e página web da escola, todas as salas de aula têm um computador, com ligação ao videoprojector, estando algumas salas equipadas com quadro interativo. O registo das faltas dos alunos e dos sumários é feito numa plataforma online própria, Inovar Mais. A biblioteca também está equipada com computadores, existem dois laboratórios multimédia, quatro laboratórios software e quatro de hardware, sala de música com
estúdio para rádio e televisão e pode-se ainda destacar uma iniciativa da escola Aprender e inovar com TIC, que é um projeto recente, 2010-2013, de integração das TIC na escola.
A escola apresenta um leque diversificado de atividades extra curriculares que funcionam praticamente durante todo o ano letivo, dando oportunidade aos alunos dos diversos departamentos de participarem ativamente. Foi o que se verificou ao longo do ano, com a realização do “Canguru Matemático” e “Torneio de Xadrez”, cuja organização ficou a cargo do núcleo de matemática. O Canguru Matemático é um concurso internacional de Matemática, com realização anual. Nele participam alunos dos 2.º, 3.º e 4.º anos de escolaridade, bem como os alunos do 2.º e 3.º ciclos dos ensinos básico e secundário. Cabe a sua promoção à associação Canguru sem Fronteiras, que congrega personalidades de diversos países ligadas à Matemática. Embora esteja aberto a todos os estudantes sem qualquer prova de seleção prévia, este concurso é realizado no mesmo dia em todos os países participantes, cuja prova consiste simplesmente num enunciado de cerca de 30 questões de escolha múltipla, com um grau de dificuldade crescente. Esta atividade, embora bastante publicitada, através de cartazes afixados pelo recinto da escola, por aviso passado em todas as salas de aula e ainda um comunicado colocado no site da escola, não teve a adesão esperada, pois, dos 40 alunos inscritos, apenas 18 compareceram no dia da prova. O Torneio de Xadrez cumpriu o segundo ano consecutivo nesta escola e contou com o apoio do Clube de Xadrez de Braga, fornecendo todo o material necessário para o torneio, cabendo à escola ceder o espaço e promover adequadamente esta atividade, através de cartazes e avisos nas salas de aula, bem como conseguir os prémios para entregar aos vencedores da prova. Embora apenas dois alunos desta escola tenham participado, a adesão a esta atividade foi muito grande, pois havia sido expandida às escolas que fazem parte deste agrupamento.
Como membro integrante do grupo de Matemática, mesmo sendo estagiária, tive parte ativa na concretização das referidas atividades, desde a sua promoção até ao dia das respetivas provas, enquanto responsável por vigiar uma das salas de aula durante a realização do Canguru Matemático e verificar se tudo corria dentro da normalidade no Torneio de Xadrez. Foi uma experiência muito gratificante participar nestes eventos, pois, além de ter contactado com alunos de outras escolas que não a minha, verifiquei com satisfação que a escola efetivamente pode exercer uma atividade social e lúdica tão importante como formar intelectualmente as pessoas.
Relativamente à avaliação da escola, esta foi avaliada em três domínios: (i) Resultados, que abrange resultados académicos, resultados sociais e reconhecimento da comunidade; (ii)
Prestação do serviço educativo, que abrange planeamento e articulação, práticas de ensino e monitorização e avaliação do ensino e das aprendizagens; e (iii) Liderança e gestão, que abrange as categorias de liderança, gestão e autoavaliação e melhoria. Segundo a última avaliação externa realizada no ano de 2011 pela Inspeção Geral da Educação e Ciência, foi atribuída a classificação de Muito Bom nos três domínios, uma vez que a Escola produziu “um impacto consistente, quer em alinhamento, quer acima dos valores esperados na melhoria das aprendizagens e dos resultados dos alunos e nos respetivos percursos escolares” (Projeto Educativo, p. 3). Este documento permite também aceder pormenorizadamente à informação referente aos recursos humanos e à caracterização socioeconómica da comunidade escolar, tratando-se de uma escola em que o corpo docente é constituído por 197 professores, dos quais 87% são do quadro da escola, sendo 19 de Matemática. O pessoal não docente é constituído por 27 assistentes operacionais e 15 assistentes técnicos. Relativamente aos alunos, 79% não têm qualquer auxílio económico e cerca de 72% têm computador e Internet em casa. Ao nível da formação académica dos pais, 9% têm formação superior e 16% têm formação média. Em termos de ocupação profissional dos pais, 13% exerce atividades de nível superior e intermédio. 2.1.2. Caracterização da Turma
A turma na qual realizei a minha intervenção pedagógica era do 11.º ano de Matemática B, do curso de Artes, composta por 19 alunos, 7 rapazes e 12 raparigas, e uma aluna assistente, com média de idades de aproximadamente 16 anos. Dos alunos da turma, cinco são repetentes e sete possuem escalão do tipo B do SASE. Em relação às preferências referidas pelos alunos, vinte mencionam que Desenho é uma das suas disciplinas favoritas; apenas três dizem que Matemática é uma das disciplinas favoritas e nove referem que é a Matemática a disciplina que menos gostam, pois é onde apresentam maiores dificuldades.
Relativamente aos pais dos alunos da turma, a sua média de idades é de aproximadamente 46 anos e as suas habilitações académicas são variadas: dois pais possuem o 1.º ciclo (5,3%); dez concluíram o 2.º ciclo (26,3%); sete obtiveram o 3.º ciclo (18,4%); outros sete concretizaram o ensino secundário (18,4%) e doze pais possuem um curso universitário (31,6%). Alguns pais dos alunos (8%) encontram-se desempregados.
Considerando o desempenho dos alunos neste ano letivo e no anterior, não há uma variação significativa na média das classificações (Tabela 1).
Tabela 1. Desempenho dos alunos no final do 10.º ano e durante o 11.º ano. 10.º ano
(final) 1.º Período 2.º Período 11.º ano 3.º Período
Média 12,9 11,1 11,6 12,9
Desvio Padrão 3,39 4,16 3,86 4,29
Avaliação Positiva 14 13 11 12
Avaliação Negativa 3 4 5 4
No 1.º período do 11.º ano houve uma redução do valor do desvio padrão, apesar de um aluno ter desistido do 1.º para o 2.º período. Constata-se também que o número de negativas foi aumentando, apesar de ter em conta que três alunos desistiram ao longo deste ano letivo. No 3.º período a média subiu, no entanto, também se verificou um aumento no valor do desvio padrão, pois trata-se de uma turma onde há alunos com muito bons resultados e alunos com maus resultados, havendo assim uma discrepância acentuada entre as notas.
Tendo em conta que este ano letivo foi o último em que tiveram a disciplina de Matemática, os alunos foram submetidos ao exame nacional que tinha um peso de 30% na sua classificação final. No exame nacional, 10 alunos obtiveram classificação positiva e quatro classificação negativa. A média das classificações do exame nacional foi de 11 valores e a média das classificações finais na disciplina foi de 12,5 valores, o que não varia muito do valor que a turma foi apresentando quer este ano letivo quer no anterior. Sendo de salientar que um aluno faltou ao exame e que apenas um dos alunos com classificação negativa no exame não obteve nota para transitar de ano. Depois de analisar as notas, constatei que a nota máxima foi dezoito e a mínima quatro.
Em termos de comportamento e participação, por norma, estamos perante uma turma composta por alunos ativos e participativos, que não têm qualquer problema em expor as suas dificuldades e receios, embora em algumas aulas fosse difícil “puxar” por eles já que pareciam inanimados, distraindo-se muito facilmente. No entanto, no final da minha prática pedagógica constatei que se, por um lado houve alunos que baixaram o seu rendimento por falta de motivação ou outros motivos alheios à aula, em outros alunos, pelo contrário, vi o seu rendimento ser superado, talvez pelo empenho demonstrado na sala de aula.
No que diz respeito ao que os alunos pensam acerca da disciplina de Matemática, no questionário inicial foram colocadas algumas questões pertinentes para melhor caracterizar a turma. É interessante saber quais as finalidades apontadas pelos alunos sobre a disciplina de
Matemática para a sua formação. Para a maioria dos alunos esta disciplina ajuda a desenvolver o raciocínio (Tabela 2).
Tabela 2. Finalidades da disciplina de Matemática (f) (n=15). Tipo de respostas Frequência
Desenvolve o raciocínio 11
Cria bases para o futuro 4
Útil noutras áreas de formação 4 Útil em situações de vida real 6
Não tem grande finalidade 2
Não sei 1
Alguns alunos consideram que a disciplina de Matemática é útil em situações de vida real, uma vez que usam a Matemática no quotidiano. Consideram também que é aplicada noutras disciplinas, noutras áreas de formação, criando bases para o seu futuro. Dos dois alunos que responderam que a disciplina de Matemática não tem grande finalidade, um afirmou que só escolheu Matemática porque era a condição imposta pelos pais para poder frequentar o curso de Artes. O outro aluno afirmou que não tem grande finalidade a não ser para a média.
Importa também saber qual a opinião dos alunos sobre a forma como se distribuem durante a aula. Relativamente à organização das atividades dos alunos, todos afirmaram que já trabalharam em grupo. Foram, então, questionados quanto às vantagens desta organização. A maior parte dos alunos considera como vantagem o facto de poderem discutir diferentes opiniões, podendo deste modo comparar formas de resolução (Tabela 3).
Tabela 3. Vantagens do trabalho de grupo (f) (n=15). Tipo de respostas Frequência
Discutir diferentes métodos 11
Partilha de conhecimentos 6
Resolução mais rápida 5
Detetar mais facilmente os erros 1
Ajudar os outros 4
Desenvolve o sentido de responsabilidade 1
Outras vantagens apontadas pelos alunos são referentes ao espírito de interajuda, pois desta forma há uma maior partilha de conhecimento, além de tornar a resolução das tarefas
mais rápida já que são vários a pensar nas mesmas, tornando ainda mais fácil de detetar possíveis erros. Alguns alunos consideram também que é importante ajudar os outros, em particular os alunos de nível mais baixo, desenvolvendo assim sentido de responsabilidade.
Tais organizações das atividades acarretam também algumas desvantagens. Para a maioria dos alunos a maior desvantagem no trabalho de grupo é a falta de concentração (Tabela 4).
Tabela 4. Desvantagens do trabalho de grupo (f) (n=15). Tipo de respostas Frequência
Falta de concentração 6
Nem todo o grupo participa 4
Mais conversa 4
Perturbação e barulho na sala de aula 3 Mais tempo na resolução da tarefa 3
Por vezes confunde a matéria 1
Não há desvantagens 2
Alguns dos alunos consideram que trabalhar em grupo faz com que nem todos os membros participem de igual modo, geram-se conversas dispersas alheias ao tema, criando mais barulho e perturbação na sala de aula, com a consequente demora na resolução da tarefa. Um aluno considera que, por vezes, se podem confundir conceitos, pois são várias pessoas a opinar. Já dois afirmam que trabalhar em grupo não traz quaisquer desvantagens.
Em suma e no cômputo geral, os alunos consideram que trabalhar em grupo se torna vantajoso nunca pondo de parte possíveis distrações que poderão ocorrer na realização de tarefas neste método.
2.2. Enquadramento Teórico
Este subcapítulo refere-se à fundamentação teórica do projeto desenvolvido com base na literatura, descrevendo as metodologias e as estratégias de avaliação da ação desenvolvidas. 2.2.1. Modelos contínuos não lineares no currículo escolar
A disciplina de Matemática B apresenta uma natureza mais prática do que a Matemática A e foi pensada para ser trienal nos cursos tecnológicos de desporto e bienal nos cursos de procedimentos de estudo, como é o caso da turma em questão, do curso de Artes. Segundo o
programa de Matemática B, de um modo geral, sabemos que a Matemática é indissociável da cultura científica e humanística, impulsionando os alunos a fazerem escolhas profissionais, a conseguirem adaptar-se a mudanças tecnológicas. Trata-se de estratégias que motivem o aluno a continuar a sua formação ao longo da vida. É também um contributo essencial na construção do discurso através do qual os alunos se comunicam entre si, bem como fornecendo “instrumentos de compreensão mais profunda, facilitando a seleção, avaliação e integração de mensagens necessárias e úteis, ao mesmo tempo que fornece acesso a fontes de conhecimento científico a ser mobilizado sempre que necessário” (Ministério da Educação, 2001, p. 3). No percurso do ensino secundário, o programa da disciplina Matemática B advoga o desenvolvimento das seguintes competências e objetivos gerais:
Tabela 5. Objetivos e competências gerais da disciplina de Matemática B. Valores/ Atitudes Capacidades/ Aptidões
Desenvolver a confiança em si próprio, exprimindo e fundamentando as suas opiniões, com espírito crítico e confiança nos raciocínios elaborados.
Desenvolver hábitos de trabalho e persistência, através da elaboração e apresentação de trabalhos de forma cuidada e bem organizada.
Desenvolver o sentido de responsabilidade, ou seja, tornar-se responsável pelas suas iniciativas e tarefas e avaliar constantemente as situações e decisões a tomar.
Desenvolver o espírito de tolerância e cooperação, fomentando e colaborando em trabalhos de grupo, partilhando saberes e responsabilidades e sobretudo respeitar a opinião dos outros e aceitar as diferenças.
Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real, através da análise da situação do quotidiano, selecionando estratégias de resolução.
Desenvolver o raciocínio e pensamento científico, através da descoberta de relações entre conceitos da Matemática, fazer raciocínios demonstrativos usando métodos adequados.
Desenvolver a capacidade de comunicar, comunicar conceitos, raciocínios e ideias, via oral ou por escrito, com clareza mas sobretudo com um rigor lógico; interpretar textos de Matemática, exprimindo o mesmo conceito em diversas formas ou linguagens, usando corretamente o vocabulário específico da Matemática, a sua simbologia, apresentando os textos de forma clara e organizada.
Para a concretização destes objetivos e competências muito contribuem as tarefas de modelação (Ponte, 2005) que são também uma preocupação do Programa de Matemática B, tal como podemos constatar no quadro dos objetivos e das competências gerais, uma vez que
constituem tanto a metodologia de trabalho privilegiada na construção dos conceitos matemáticos como uma competência a desenvolver que é imprescindível para estudantes que vão enfrentar no seu trabalho profissional problemas concretos muito variados e terão de saber selecionar as ferramentas matemáticas relevantes para cada situação. (Ministério da Educação, 2001, p. 16)
O aluno deverá, então, ser capaz de utilizar a Matemática na interpretação do real, através da análise de uma determinada situação do seu dia-a-dia, escolhendo estratégias de resolução, criando ou selecionando um modelo que se ajuste à situação em questão. Esse modelo irá constituir “uma representação duma dada situação, através de objectos, relações e estruturas com que se procura descrever os elementos considerados fundamentais dessa situação, ao mesmo tempo que se ignoram deliberadamente os elementos tidos como secundários” (Ponte, 1990, p.5). É de salientar que, ainda segundo o mesmo autor, o processo de construção de um modelo matemático poderá ser constituído por diversas etapas e que o mesmo pode ter vários ciclos de aperfeiçoamento sucessivo, até se chegar a uma descrição que melhor se adequa a situação em causa.
Em particular, o Programa de Matemática B defende o estudo de três modelos, que fazem parte da temática Modelos Contínuos Não Lineares: (i) Exponencial, que pode ser introduzido para resolver problemas de evolução das populações, poluição, temperaturas, drogas no sangue, materiais radioativos, entre outros; (ii) Logarítmico, usado em tarefas de, por exemplo, medição da intensidade de um sismo, intensidade de um dado som, medição de PH; e (iii) Logístico, que se trata de um modelo mais realista da evolução do crescimento populacional.
Deste modo, pretende-se que os alunos sejam capazes de reconhecer e dar exemplos de situações em que os modelos exponenciais sejam aplicados com eficácia; usar regras das exponenciais; usar as calculadoras gráficas para encontrar valores ou gráficos que respondam a possíveis mudanças nos parâmetros; predizer e interpretar o gráfico de uma função; descrever regularidades; obter formas equivalentes de expressões exponenciais; definir o número de Neper e o logaritmo natural; resolver equações simples usando exponenciais e logaritmos, no contexto da resolução de problemas, fazendo também apelo ao recurso às tecnologias, à capacidade de resolução de problemas, às atividades investigativas ou de modelação matemática com vista à concretização de aprendizagens significativas (Ministério da Educação, 2001).
Na resolução de problemas ou tarefas de modelação com recurso à calculadora gráfica importa que o aluno tenha bem presente o conceito imagem e conceito definição (Tall & Vinner,
1981). A distinção dos conceitos imagem e definição em matemática são apresentados por Tall e Vinner através de algumas ideias pelas quais podemos distinguir a definição formal de determinado conceito e os processos de conhecimento pelos quais o conceito é formado. Inconscientemente e no dia a dia usamos variados conceitos sem haver uma definição formal dos mesmos e apenas os reconhecemos como tal pelo seu uso apropriado nos contextos e com base na experiência. A estrutura cognitiva, para estes autores, de um conceito vai muito para além de uma simples imagem mental, tenha ela a representação pictórica, simbólica ou outra, é sobretudo um conjunto de processos associados entre si que afetam o seu uso e significado de uma forma consciente ou não.
O conceito imagem é o todo de um conceito, formado por imagens mentais, propriedades e processos associados. A formação deste conceito resulta das experiências que uma pessoa realiza. Através de novos estímulos e à medida que amadurece o conceito imagem vai-se alterando, ativando diferentes partes de tal forma que não se necessita de “formar um todo coerente” (p. 152). Neste processo, surge, no entender de Tall e Vinner, o conceito evocado através do conceito imagem num determinado momento. O conceito definição, como o nome refere, é uma forma de expressão que especifica o conceito. Pode ser memorizado pelo aluno ou então ser uma reconstrução da definição feita pelo aluno, expressando o modo como ele vê o seu conceito imagem.
2.2.2. Comunicação Escrita
A comunicação é uma parte fundamental da matemática, bem como da educação matemática. Por ela partilham-se as ideias de forma a clarificar a compreensão matemática, de tal modo que, por essa comunicação, as ideias são objetos de reflexão, aperfeiçoamento, correção e discussão (NCTM, 2007). Como os alunos, por natureza, não comunicam entre eles sobre matemática, é fundamental que esse incentivo venha da parte do professor, não esquecendo que tanto o professor como o aluno podem desempenhar dois papéis na sala de aula, emissor e recetor, dependendo se a comunicação é feita entre aluno e professor ou entre aluno e aluno (Ball, 2003). Com o decorrer do ensino da matemática, esta comunicação tornar-se-á mais complexa e abstrata, sendo necessário que os alunos ‘exercitem’ tarefas matemáticas com interesse e que as mesmas gerem discussão produtiva.
No programa de Matemática B, a comunicação matemática surge como um tema transversal no ensino e aprendizagem de matemática.
Tendo em conta a estreita dependência entre os processos de estruturação do pensamento e da linguagem, é absolutamente necessário que as actividades tenham em conta a correcção da comunicação oral e escrita. O estudante deve verbalizar os raciocínios e discutir processos, confrontando-os com outros. Deve ser capaz de argumentar com lógica (Ministério da Educação, 2001, p.17).
Os alunos são desafiados a raciocinar e a pensar sobre a matemática e a aprender a serem claros e convincentes na comunicação das suas ideias por via escrita ou oral (NCTM, 2007). A matemática é traduzida por símbolos, daí a enorme importância de uma eficaz comunicação oral e escrita. Destes dois tipos de comunicação, apesar da comunicação oral tender a ser mais valorizada na dinamização de uma aula, a comunicação escrita ganha expressão nos momentos em que os alunos apresentam à turma as suas produções e nos momentos de avaliação de conhecimentos. Apesar de a comunicação oral ser mais comum em sala de aula, é de realçar que a comunicação escrita é tão importante como a oral, pois é uma forma de “ajudar os alunos a consolidar o seu pensamento, uma vez que os obriga a reflectir sobre o seu trabalho e a clarificar as suas ideias acerca das noções desenvolvidas na aula” (NCTM, 2007, p. 67).
Comunicação oral. Como o próprio nome indica, trata-se da oralidade presente em sala de aula, sendo esta a forma de comunicação que o professor utiliza com mais frequência para interagir com os alunos. Trata-se de “um meio importante para que os alunos possam reflectir sobre a sua compreensão da Matemática, ajudando-os a fazer conexões e a clarificar os conceitos matemáticos” (Ponte et al., 2007, p. 45). No entanto, a qualidade da comunicação oral depende do tipo de questões que o professor coloca em momentos de discussão nas aulas de Matemática, tendo um papel fulcral no processo comunicativo no sentido de promover o raciocínio matemático em sala de aula. Love e Mason (1995) indicam três tipos de perguntas que surgem nas aulas: (i) de focalização, cujo objetivo é centrar a atenção do aluno num assunto específico; (ii) de confirmação, que põem à prova os conhecimentos do aluno que do mesmo obtenha a resposta que o professor pretende ouvir, levando a respostas imediatas; (iii) de inquirição, são também classificadas de verdadeiras perguntas, às quais o professor pretende obter alguma informação por parte do aluno.
Esta forma de comunicar com os alunos tem que ser complementada com a escrita, devendo ser tarefa dos professores incentivá-los a que clarifiquem os seus conceitos matemáticos, fomentando entre os alunos e estes com o professor um tipo de negociação oral
de significados e registar em forma escrita as estratégias de resolução dos problemas (Buschman, 1995; Menezes, 2004).
Comunicação escrita. Podemos olhar para a escrita como sendo a outra face da leitura. A leitura envolve o reconhecimento de cada palavra, lembrando o seu significado e ligando as palavras ao pensamento. Escrever requer começar com um pensamento, recordar as palavras para expressá-lo, organizando-as de uma forma lógica e escrevê-las no papel. Assim, enquanto os alunos escrevem, constroem significados à volta de conceitos e fazem conexões com o seu conhecimento. O valor da escrita em Matemática não reside no produto acabado, mas no próprio processo, sendo a escrita a forma de fazer Matemática (Edwards, 2002).
Na aula de Matemática, a escrita ocupa um lugar preponderante como meio de comunicação e registo, podendo, no entanto, constituir um papel fundamental na construção do conhecimento matemático (Coura & Gomes, sd). A escrita é uma boa ferramenta para exercitar a memória, uma vez que muitas discussões orais poderiam ficar perdidas sem o registo em forma de texto. De acordo com o NCTM (2007), “a comunicação pode servir de suporte à aprendizagem de novos conceitos matemáticos, à medida que os alunos actuam sobre uma situação, desenham, utilizam objectos, relatam e apresentam explicações verbais, usam diagramas, escrevem e usam símbolos matemáticos” (p. 67). Assim, o que está incorreto pode ser identificado e trabalhado. Segundo Santos (2005), “um estudante que compreende e domina um determinado conceito deve ser capaz de escrever sobre ele, ressaltando suas certezas e possíveis dúvidas” (p. 128). Ainda segundo este autor, a maior motivação para o uso da escrita nas aulas de Matemática está na procura da organização do raciocínio: elaborar definições com as próprias palavras, construir exemplos, questionar sobre possíveis dúvidas, interpretar uma determinada ideia, estabelecer conexões e atribuir novos significados a conceitos já estabelecidos, tornando-os potencialmente mais reflexivos.
A comunicação escrita nas aulas de Matemática desempenha a função de mediadora entre o que se ensina e o que se aprende, na medida em que integra experiências individuais e coletivas na procura da construção de conceitos estudados. É uma fonte de oportunidades para elevar a autoestima dos alunos e dos professores, assim como para promover as interações na sala de aula. Através deste processo, podemos perceber melhor as emoções e afetividade e não aspetos negativos como a frustração e o medo (Santos, 2005). O processo de comunicação matemática na sala de aula não é um processo isolado, mas sim fruto de vários intervenientes
para que o mesmo tenha um resultado de êxito. Esses intervenientes podem ser os alunos entre si ou aluno e professor.
Ball (2003) menciona que a comunicação escrita tem dois objetivos para os alunos, registar o método de resolução usado e comunicar a uma outra pessoa como um problema foi resolvido, seja outro aluno ou professor, considerando a capacidade de comunicar com clareza o pensamento matemático uma competência essencial. Ainda reforçando esta opinião, Lee (2010) afirma que escrever matemática melhora o conhecimento e a compreensão de ideias matemáticas dos alunos e que colocar uma ideia no papel requer uma reflexão cuidadosa e atenta, ajudando o aluno a aprender e a reter os conceitos explorados na sala de aula.
Erickson (2010) mostra uma visão geral dos princípios da escrita matemática, mencionando algumas regras essenciais a ter em conta em contexto de sala de aula, tais como: (i) escrever frases completas, pois ajuda a organização do pensamento e raciocínio e transmitir essa informação de forma clara; (ii) escrever com precisão e exatidão; (iii) usar um equilíbrio de palavras e símbolos; (iv) explicitar, em soluções longas ou provas, com antecedência ao leitor o que se pretende provar; e (v) escrever e reescrever. Segundo este autor, o objetivo da escrita é comunicar de forma clara, concisa e precisa as ideias matemáticas. Considera, ainda, que a escrita matemática é uma competência que pode e deve ser trabalhada e que pode ser melhorada com a prática.
É importante que o aluno consiga usar palavras e símbolos matemáticos apropriadamente no seu raciocínio, já que parte de ser capaz de escrever matemática é saber quando usar símbolos e quando usar palavras (Lee, 2010). O mesmo autor menciona alguns conselhos de modo a ajudar o aluno a escrever matematicamente: (i) não começar a frase com uma fórmula; (ii) usar corretamente a notação matemática; (iii) usar linguagem precisa e correta; (iv) escrever o mais simples e direto possível, nunca esquecendo de que o aluno tem de se certificar de que os argumentos que apresenta estão cuidadosamente organizados.
É importante mencionar que um aluno, para compreender um determinado enunciado, tem de o ler com atenção, podendo dizer que a escrita está relacionada com a leitura, já que esta pode condicionar a realização de uma tarefa, caso seja mal interpretada pelo aluno. Já Menezes (1996) refere que “a escrita, intimamente ligada à leitura — outra dimensão da comunicação — é extremamente importante na comunicação que tem lugar na sala de aula, principalmente com alunos que têm dificuldade em falar em público” (p. 5).
Na disciplina de Matemática, o aluno tem de saber ler, interpretar e raciocinar, sendo estes os princípios a seguir, de modo a compreender melhor os conteúdos da disciplina. Escrever matemática é por si só um processo rigoroso, já que o aluno tem de transmitir para o papel detalhadamente o seu pensamento, o seu raciocínio usando a simbologia matemática (Menezes, 1996). Podemos ainda acrescentar que o aluno deverá exprimir o mesmo conceito em diferentes formas ou linguagens, fazendo uso correto da linguagem matemática bem como da simbologia da mesma, de forma a desenvolver a sua comunicação matemática.
Para que tudo isto seja concretizável, é necessário fornecer aos alunos tarefas matemáticas que abordem assuntos que os motivem, como por exemplo através de problemas aplicados ao quotidiano, pois desta forma os alunos veem que a Matemática tem mais aplicações do que eles possam pensar (NCTM, 2007). Fuehrer (2009) refere que a escrita oferece um lugar para os alunos explorarem o seu próprio pensamento e a refletirem sobre ele, ajuda os alunos a serem capazes de transmitir ideias, sentimentos e experiências que podem levar ao desenvolvimento de funções cognitivas, incluindo o pensamento crítico, raciocínio lógico e resolução de problemas. Podemos fazer, também, uso da tecnologia como apoio à comunicação, já que à “medida que os alunos criam e analisam números ou objetos na sua calculadora ou no ecrã do computador, ficam com uma referência comum (que muitas vezes, pode ser facilmente alterada) para as discussões de ideias matemáticas” (NCTM, 2007, p. 66), podendo assim associar a comunicação e a tecnologia como fortes aliados no processo de ensino e aprendizagem.
2.2.3. Calculadora gráfica e a Comunicação Escrita
A utilização da tecnologia na aula de matemática tem como objetivo favorecer uma aprendizagem mais profunda, pois permite uma abordagem mais indutiva da Matemática e o desenvolvimento das suas aplicações (Fernandes & Vaz, 1998). A tecnologia deverá ser utilizada não com o intuito de substituir a compreensão e intuição mas sim com o papel de estimulá-las, com responsabilidade e apenas com a simples finalidade de enriquecer a aprendizagem matemática dos alunos (NCTM, 2007). De acordo com o programa de Matemática B,
Não é possível atingir os objectivos gerais e competências deste programa sem recorrer à dimensão gráfica, e essa dimensão só é plenamente atingida quando os estudantes traçam uma grande quantidade e variedade de gráficos com apoio de tecnologia adequada (calculadoras gráficas e computadores) (Ministério da Educação, 2001, p. 14).
Segundo ainda este documento, as calculadoras gráficas são ferramentas que se utilizam com mais frequência e devem ser entendidas como potenciadores do espírito de pesquisa do aluno e não só usada para efetuar meros cálculos. O programa de Matemática B menciona, também, como vantagens: a abordagem numérica de problemas; modelação, simulação e resolução de situações problemáticas; investigação e exploração de várias ligações entre as diferentes representações para uma situação problemática; entre outras (Ministério da Educação, 2001).
Este subcapítulo foi organizado da seguinte forma: (i) Calculadora gráfica na sala de aula; (ii) Calculadora gráfica e a comunicação escrita; (iii) Limitações da calculadora gráfica.
Calculadora gráfica na sala de aula. Desde que a calculadora foi introduzida nos programas de Matemática, em 1997, é um dos recursos tecnológicos mais utilizado nas aulas de Matemática (APM, 1998). Com o tempo, as calculadoras têm-se modernizado, os alunos possuem máquinas cada vez mais poderosas e com mais funcionalidades. Segundo Anderson et al. (1999), a calculadora veio mudar a dinâmica da aula de matemática e a forma de resolver os problemas matemáticos, visto que “tradicionalmente, tanto a formulação do problema matemático como a interpretação da solução eram vistos pelos professores com menor importância em comparação com o processo de resolução do problema” (p. 498). Na perspetiva destes autores, com a ajuda da calculadora na resolução de problemas, os alunos têm mais hipóteses de desenvolver capacidades cognitivas elevadas. Na sala de aula a calculadora gráfica liberta o aluno de cálculos que se vão tornando obsoletos e repetitivos. Segundo Fernandes e Vaz (1998), “a simplificação do cálculo permite mais tempo para explorar atividades matemáticas mais profundas e significativas” (p. 44). Antigamente, os alunos passavam muito do seu tempo a fazer os mesmos cálculos, por vezes morosos, e dos quais se retiravam poucas conclusões. Hoje em dia, com a calculadora, os alunos podem focar-se mais nas conclusões e nas respetivas aprendizagens. Almeida e Oliveira (2009), num estudo sobre o uso da calculadora gráfica no ensino de funções, concluem que
a possibilidade que a calculadora oferece de visualizar rapidamente o efeito da mudança de parâmetros, no gráfico de uma função, contribui para o desenvolvimento da capacidade dos alunos olharem para a matemática de uma forma dinâmica, para seu entendimento conceptual da álgebra como meio de representação e para o desenvolvimento da capacidade de estabelecerem conexões entre a expressão analítica e a representação gráfica de uma função (p. 112).
Fernandes e Vaz (1998) defendem ainda que a utilização da calculadora “pode ter efeitos positivos ao nível da motivação e autoconfiança” (p. 46).
Para Ponte el al. (1997), utilizar a calculadora gráfica durante a resolução de tarefas é uma forma de estimular os alunos a formar conjeturas e a desenvolver a capacidade de investigar e desenvolver raciocínios e argumentos. No entanto, a tecnologia só por si não substitui o professor de matemática. Ela pode ser utilizada de forma eficaz ou não, tudo depende do professor e da forma como este a utiliza. Fernandes e Vaz (1998) defendem que a utilização da calculadora “pode ter efeitos positivos ao nível da motivação e autoconfiança” (p. 46). Nas atividades de aprendizagem, Waits e Demana (1994) referem três formas de integrar a calculadora no ensino da matemática: (1) começar por resolver um exercício ou problema com papel e lápis e, seguidamente, utilizar a calculadora para verificar a resolução; (2) começar por resolver um exercício ou problema com a calculadora e, depois, confirmar ou completá-lo com papel e lápis; e (3) resolver um exercício ou problema apenas com a calculadora, pois a sua resolução através de outros meios é impraticável ou mesmo impossível. Assim, quando os alunos usam a calculadora emerge algo que é comunicado oralmente ou por escrito.
Deste modo, o uso da calculadora deve ser integrado nas aulas tanto para confirmar resultados, como para fazer cálculos e representações que de outra forma seriam impossíveis ou morosos. No entanto, o professor terá sempre muita importância neste processo, e deve evitar que os alunos se tornem dependentes da sua utilização. É da sua responsabilidade que seja feita uma utilização inteligente da calculadora gráfica, tendo para isso que planificar as tarefas de forma adequada ao seu uso e para que seja o aluno a decidir se deve ou não utilizar a calculadora nessas mesmas tarefas (Burril et al., 2002). As calculadoras vieram proporcionar um novo tipo de tarefas, questões e estratégias de ensino e aprendizagem a desenvolver dentro da sala de aula (Dunham & Dick, 1994).
Calculadora gráfica e a comunicação escrita. Ball e Stacey (2003) afirmam que usar a calculadora gráfica na sala de aula exige um pensamento cuidado no que constitui um bom registo escrito, fornecendo novas oportunidades na resolução de problemas. Para auxiliar os alunos e os professores a mudar a natureza dos registos escritos, desenvolveram um conjunto de diretrizes para usar na sala de aula de Matemática, propondo que uma boa comunicação matemática pode ser alcançada se o aluno: (i) anotar todo o seu raciocínio;(ii) anotar toda a informação envolvida, incluindo a sintaxe da calculadora; (iii) certificar-se de que o plano a seguir é claro; (iv) selecionar a informação, pois nem todos os passos intermédios são necessários.
Assim, o raciocínio (R), a informação (I), o plano (P) e algumas respostas (A) – RIPA - são a chave para o êxito da comunicação escrita com o uso da calculadora gráfica na sala de aula.
Foram desenvolvidos alguns estudos por Ball (2005) usando a calculadora gráfica com a comunicação, em particular a escrita, em que um deles envolveu três professores, no ensino secundário, com o objetivo de analisar o que os alunos escolhem para demonstrar a solução escrita e não como usar a calculadora para a resolução de problemas, sendo apontados vários pontos de discussão acerca das soluções escritas, tais como: (i) os alunos têm de considerar o que é importante na escrita matemática; (ii) os alunos devem ter em atenção os destinatários quando escrevem; (iii) RIPA; (iv) o processo de resolução deve conter palavras e não só simbologia matemática; e (v) o uso da sintaxe específica da calculadora. Em particular, os professores envolvidos no estudo, tornaram-se mais conscientes de que os alunos precisam de orientação explícita sobre o que é aceitável escrever com o uso da calculadora.
Além dos estudos realizados por Ball, também Lee (2010) encoraja o uso de argumentos visuais na escrita matemática. No entanto, se incluir uma figura, diagrama, gráfico ou qualquer outra representação matemática visual, é preciso ter a certeza de que explica como essa representação se encaixa no seu raciocínio matemático, complementando a figura com a escrita matemática, salientando que um bom gráfico deve transmitir informações relevantes e específicas para o leitor, que os gráficos e diagramas devem ser cuidadosamente desenhados e claramente marcados os eixos e pontos importantes na resolução do problema.
Limitações da calculadora gráfica. Existem defensores incontestáveis ao uso das calculadoras gráficas, considerando que a sua utilização permite uma aprendizagem mais significativa e mais profunda dos conceitos, bem como o facto de favorecer uma abordagem indutiva e experimental da matemática (Fernandes & Vaz, 1998). Há quem considere que o uso da tecnologia, em particular da calculadora gráfica, prejudique a capacidade de abstração dos alunos. Por exemplo, Albuquerque (1998) refere que
seria interessante medir quanto a exagerada utilização e as concessões que se fazem às máquinas pelas suas limitações e resultados aproximados, no decorrer de uma aula, estão formando espíritos menos rigorosos, menos exigentes e mais preguiçosos, tanto da parte dos alunos como dos professores. (1998, p. 140)
O uso da calculadora deve ser feito criteriosamente e com devidos cuidados. Sendo uma máquina, tem limitações que se devem ter em conta. Os problemas que podem advir com o seu uso estão ligados, por exemplo, com: (1) Precisão numérica; (2) Resolução de problemas; (3)
Construção do gráfico de uma função; (4) Métodos utilizados no cálculo de derivadas, integrais, zeros, extremos. Devido a estas limitações, Buitrago (2004) refere que a utilização da calculadora deve ser efetuada de forma eficaz por parte do professor, bem como utilizá-la de forma didática. Kieran (2007) chama a atenção para o facto de que a utilização da calculadora não garante, só por si, a melhoria da aprendizagem na temática das funções, continuando a verificar-se dificuldades por parte dos alunos no estabelecimento de conexões entre as representações algébrica e gráfica de uma função. É através de um complexo processo que os alunos se tornam capazes de combinar os diferentes recursos de informação disponíveis (resultados teóricos, calculadora e cálculo mental) e, desta forma, construir o seu próprio entendimento dos conceitos matemáticos.
A compreensão completa das limitações das calculadoras gráficas não está ao alcance da maioria dos alunos do Ensino Secundário. Porém, e de acordo com o que é referido no programa oficial, é importante que os alunos tenham conhecimento e entendam que a máquina gráfica tem limitações, devendo o manual da mesma ilustrar através de exemplos estes aspetos, apresentando breves explicações. O professor, por sua vez, deverá aproveitar estas limitações de forma pedagógica, confrontando os alunos com essas limitações e explorando as situações que daí possam advir.
2.3. Estratégias de Intervenção
Este capítulo está dividido em dois subcapítulos, no primeiro, as metodologias de ensino e de aprendizagem e no segundo as estratégias de avaliação da ação que implementei na minha prática pedagógica.
2.3.1. Metodologias de ensino e de aprendizagem
Neste subcapítulo apresento as metodologias de ensino e de aprendizagem que estabeleci na implementação do meu projeto, atendendo à dinâmica que pretendia que existisse na sala de aula. O papel do professor e do aluno, o tipo de tarefas e o formato de ensino foram as minhas principais preocupações.
Papel do professor e do aluno. Na realização deste projeto desempenhei, como professora, diferentes papéis: orientando, questionando e apoiando o aluno no desenvolvimento do seu conhecimento dependendo do momento da aula, de modo a contemplar e a valorizar a atividade do aluno e assumi um papel “simultaneamente dinamizador e regulador do processo de ensino e aprendizagem, criando situações motivadoras e adotando uma estratégia que
