F´ısica Computacional C´ alculo Num´erico

(1)

F´ısica Computacional

C´

alculo Num´erico

Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Instituto de F´ısica

Departamento de F´ısica Aplicada e Termodinˆamica

Professor Lu´ıs Fernando

Professor Anibal Leonardo

(2)

(3)

Pref´

acio

Esta nota de aula foi preparada para apoiar o curso de F´ısica Computacional. Ela tenta englobar os métodos de cálculo numérico e algoritmos mais utilizados na forma¸cão dos alunos de F´ısica, seja por causa das disciplinas do curso seja pela participa¸cão em projetos de pesquisa através de inicia¸cão cient´ıfica.

Rio de Janeiro, 2008

(4)

(5)

Sum´

ario

1 Sistemas Lineares 1

1.1 Sistema de Equa¸c˜oes Lineares . . . 1

1.1.1 Representa¸c˜ao Matricial de um Sistema Linear . . . 2

1.1.2 Opera¸c˜oes Elementares . . . 3

1.2 M´etodos Diretos . . . 3

1.2.1 M´etodo de Gauss . . . 3

1.2.2 M´etodo de Jordan . . . 6

1.2.3 M´etodo da Matriz Inversa . . . 8

1.2.4 M´etodo de Cramer . . . 9

1.3 M´etodos Iterativos . . . 11

1.3.1 Convergˆencia para a Solu¸c˜ao . . . 12

1.3.2 M´etodo de Jacobi . . . 14

1.3.3 M´etodo de Gauss-Seidel . . . 15

(6)

(7)

Lista de C´

odigos

1.1 M´etodo de Gauss . . . 16

1.2 M´etodo de Jordan . . . 19

1.3 M´etodo da Matriz Inversa . . . 22

1.4 M´etodo de Cramer . . . 25

1.5 M´etodo de Jacobi . . . 28

(8)

(9)

Lista de Algoritmos

(10)

(11)

1

Sistemas Lineares

O propósito deste cap´ıtulo não é elaborar um curso de Álgebra Linear, mas apresentar os métodos numéricos para se resolver um sistema de equa¸cões lineares. Inevitavelmente, os métodos que serão apresentados dependerão de um conhecimento prévio de álgebra.

No que tange ao objetivo deste curso, para minimizar o esfor¸co do leitor, sempre que um desenvolvimento depender de um conceito matem´atico mais sofisticado, este ser´a brevemente recordado aqui.

1.1 Sistema de Equa¸

c˜

oes Lineares

Uma equa¸cão é dita ser linear se cada termo contém não mais que uma variável e cada variável é apresentada na primeira potência. Por exemplo

5x+ 2y−4z=−5 e −4x1+ 3x2+

x3

5 = 0 s˜ao lineares, ao passo que

5x2_{+ 2y}₋_xz _{= 3} _e ₋_4x

1x3+ 3x2+x3=−3

n˜ao s˜ao.

A forma generalizada de uma equa¸c˜ao linear deve apresentar, pois, as vari´aveis lineares associadas aos seus coeficientes:

a1x1+a2x2+. . .+aixi+. . .+aNxN =b

ondeai, 1≤i≤N, são os coeficientes,xi, 1≤i≤N são as variáveis lineares ebé o termo independente. Outra forma de representa¸cão, bem mais sucinta, chamada de forma compacta, é:

N

X

j=1

ajxj=b

Um sistema de equa¸cões lineares comN equa¸cões eN incógnitas é um conjunto de equa¸cões do tipo:

S =

    

   

a1,1x1 + a1,2x2 +· · · + a1,NxN = b1

a2,1x1 + a2,2x2 +· · · + a2,NxN = b2

..

. ... ... ...

aN,1x1 +aN,2x2 +· · · + aN,NxN = bN

comaij, 1≤i≤N, 1≤j≤N, n´umeros reais ou complexos. Na forma compacta:

S= N

X

j=1

aijxj =bi, parai= 1, . . . , N.

(12)

1.1. SISTEMA DE EQUAC¸ ˜OES LINEARES

i. o sistema tem solu¸cão única formada pelo conjunto de números {x1 = k1, x2 = k2, . . . , xN = kN} que

satisfaz simultaneamente asN equa¸c˜oes; ii. o sistema tem infinitas solu¸c˜oes;

iii. o sistema n˜ao possui solu¸c˜ao.

O curso se concentrará nos sistemas que tem solu¸cão única deixando os demais casos para um momento mais apropriado no futuro.

1.1.1 Representa¸

c˜

ao Matricial de um Sistema Linear

O sistema linearS, apresentado acima, pode ser escrito na forma matricial A·X=B

ondeAé a matriz de coeficientes,Bé a matriz dos termos independentes eX é a matriz de incógnitas ou matriz solu¸cão. Cada uma das matrizes é representada a seguir:

A=     

a1,1 a1,2 · · · a1,N a2,1 a2,2 · · · a2,N

..

. ... ... aN,1 aN,2 · · · aN,N

     X =      x1 x2 .. . xN      B =      b1 b2 .. . bN     

Alguns dos métodos de solu¸cão de sistemas lineares precisam manipular tanto a matriz de coeficientesAcomo a de termos independentes B. Uma maneira compacta de se representar estas duas informa¸cões numa única estrutura é a matriz ampliada (também chamada de matriz aumentada ou matriz completa) do sistema. Ela difere da matrizA apenas pela inclusão dos termos independentes como última coluna da matriz:

ˆ

A= [A|B] =



   

a1,1 a1,2 · · · a1,N b1

a2,1 a2,2 · · · a2,N b2

..

. ... ... ... aN,1 aN,2 · · · aN,N bN



   

Existem dois tipos de matriz que serão muito úteis na solu¸cão de sistemas lineares e que serão muito utilizadas ao longo das descri¸cões dos métodos−são as matrizes triangular e escalonada.

No primeiro tipo, a matriz tem dimensão N×N e os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são identicamente nulos. Se for abaixo, a matriz é chamada de triangular superior; se for acima, de triangular inferior. As matrizesP eQ, a seguir, são matrizes triangulares superior e inferior respectivamente.

P =         

a1,1 a1,2 a1,3 · · · a1,N−1 a1,N 0 a2,2 a2,3 · · · a2,N−1 a2,N 0 0 a2,3 · · · a3,N−1 a3,N ..

. ... ... ... ... 0 0 0 · · · aN−1,N−1 aN−1,N 0 0 0 · · · 0 aN,N

         Q=         

a1,1 0 0 · · · 0 0

a2,1 a2,2 0 · · · 0 0

a3,1 a3,2 a3,3 · · · 0 0

..

. ... ... ... ...

aN−1,1 aN−1,2 aN−1,3 · · · aN−1,N−1 0

aN,1 aN,2 aN,3 · · · aN,N−1 aN,N

        

Na matriz escalonada, a matriz não precisa ter necessariamente o número de linhas igual ao número de colunas, basta que ela tenha a forma de uma escada onde a parte superior ou a inferior são identicamente nulas.

Suponha o seguinte sistema linear:

S=

 



2x1 + 3x2 − x3 = 5

4x2 − 3x3 = 5

x3 = −1

(13)

1.2. M´ETODOS DIRETOS

ˆ S=





2 3 −1 5 4 −3 5 1 −1





Repare que a solu¸cão do sistema linear pode ser obtido por simples substitui¸cão regressiva. Primeiro calcula-se o valor dex3. Depois, aplica-se o valor dex3na equa¸cão acima e determina-se o valor dex2. Por fim, aplicando-se

os valores dex3 ex2 na primeira equa¸c˜ao, calcula-se o valor dex1.

Se, através de opera¸cões elementares, for poss´ıvel obter-se uma matriz escalonada de uma matriz ampliada qualquer, a solu¸cão do sistema linear associado à esta matriz ampliada estará garantida.

1.1.2 Opera¸

c˜

oes Elementares

São três as opera¸cões elementares que podem atuar sobre as linhas de uma matriz:

i. Permuta¸cão entre linhas. A opera¸cão de permuta¸cão dai-ésima linha pelaj-ésima linha é descrita como: Li↔Lj

ii. Multiplica¸cão de uma linha por um escalar não nulo. A opera¸cão de multiplica¸cão da i-ésima linha pela constanteké:

Li ←kLi

iii. Substitui¸cão de uma linha pela soma dela mesma com outra linha. A opera¸cão de substitui¸cão dai-ésima linha pela soma dela com a j-ésima linha multiplicada porké:

Li←Li+kLj

Após um número finito de opera¸cões elementares sobre uma matrizP qualquer, obtém-se uma outra matriz Qque é dita serequivalente àP. Se a matrizP é uma matriz ampliada e representa um sistema linear, entãoQ também será uma matriz ampliada e representará um outro sistema dito ser equivalente ao primeiro sistema. A equivalência entre sistemas implica em uma outra observa¸cão:

“Se dois sistemas são equivalentes, então as solu¸cões dos dois sistemas são idênticas.”

Deste ponto em diante, serão apresentados os métodos matemáticos e computacionais para a solu¸cão de um sistema de equa¸cões lineares.

1.2 M´

etodos Diretos

1.2.1 M´

etodo de Gauss

Descri¸c˜ao

O objetivo do método de Gauss (também chamado de elimina¸cão gaussiana) é transformar a matriz ampliada original de um sistema linear em uma matriz escalonada através de opera¸cões lineares.

Para explicar o m´etodo, considere o seguinte sistema linear:

S=

 



x1 + 3x2 + x3 = 0 −x1 + 3x2 + 3x3 = 5

x1 −2x2 + x3 = 1

A matriz ampliada deste sistema ´e:

ˆ S=





1 3 1 0

−1 3 3 5 1 −2 1 1





O primeiro passo para torn´a-la escalonada ´e anular o 2o_{e o 3}o_{elementos da 1}a_{coluna. ´}_{E f´}_{acil observar que, se}

a 2a linha for substitu´ıda pela soma da 1a linha com a 2a, o 2o elemento da 1a coluna ser´a zero. E para obter-se zero no lugar do 3o _{elemento, basta substituir a 3}a_{linha pela soma da 3}a _{com a 1}a _{multiplicada por}₋_1.

(14)

1. estabelece-se o 1o _{elemento da 1}a_{coluna (elemento}_a

1,1= 1) comopivot(elemento chave);

2. calcula-se um multiplicador para o 2o _{elemento da coluna (elemento}_a

2,1=−1) segundo a f´ormula

m2,1=− a2,1

pivot =−

−1 1 = 1 3. substitui-se a 2a_{linha (L}

2) pela soma da 1alinha (L1, linha dopivot) multiplicada porm2,1com a 2a(L2):

L2+m2,1L1→L2

3,1= 1):

m3,1=−

a3,1

pivot =− 1 1 =−1 5. substitui-se a 3a_{linha (L}

3) pela soma da 1alinha (L1, linha dopivot) multiplicada porm3,1com a 3a(L3):

L3+m3,1L1→L3

Matricialmente, tem-se que

ˆ S=





1 3 1 0

−1 3 3 5 1 −2 1 1



 L2+ (1)L1→L2

L3+ (−1)L1→L2





1 3 1 0

0 6 4 5

0 −5 0 1





Para completar a forma escalonada, ´e necess´ario que o 3o_{elemento da 2}a_{coluna (a}

3,2=-5) seja nulo. Fixando-se

o elementoa2,2comopivot, calcula-se o multiplicadorm3,2,

m3,2=−

a3,2

pivot =−

−5 6 =

5 6

Por fim, substitui-se a 3a_{linha pela soma da 2}a _{(linha do}_{pivot) multiplicada por}_m

3,2 com a 3a:

L3+m3,2L2→L3

O resultado ´e a matriz escalonada equivalente `a matriz ampliada original do sistema. Sistematizando, 1. estabelece-se o 2o elemento da 2acoluna (elementoa2,2= 6) comopivot;

3,2=−5)

m3,2=−

a3,2

pivot =−

−5 6 =

5 6

3. substitui-se a 3a linha (L3) pela soma da 2alinha (L2, linha dopivot) multiplicada porm3,2 com a 3a(L3)

L3+m3,2L2→L3

Na representa¸c˜ao matricial:

ˆ S=





1 3 1 0

0 6 4 5

0 −5 0 1





L3+ 5₆

L2→L3





1 3 1 0

0 6 4 5

0 0 10₃ 31₆





Retornando para a representa¸cão de sistema linear a partir da matriz escalonada, o cálculo da incógnita x3

torna-se imediato. E por substitui¸c˜ao regressiva, as demais inc´ognitas (x2 ex1) podem ser computadas.

ˆ S=     

x1 + 3x2 + x3 = 0

6x2 + 4x3 = 5 10

3x3 = 31 6 =⇒       

x3= 31₂₀

x2= 16

5−4 31₂₀=−1₅

(15)

Algoritmo e Complexidade

A partir do exemplo, o método de Gauss pode ser generalizado para um sistema deN equa¸cões eN incógnitas. Observe que os elementos da diagonal principal da matriz de coeficientes sempre serão ospivot’s, caso contrário não se obterá uma forma escalonada. Os elementos da matriz ampliada que serão “zerados” sempre estão abaixo dospivot’s (dentro de suas colunas correspondentes).

SejaS um sistema de equa¸c˜oes lineares como o apresentado abaixo

S=                   

a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,jxj +· · · + a1,NxN = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · · + a2,jxj +· · · + a2,NxN = b2

..

. ... · · · ... ... ... ai,1x1 + ai,2x2 + · · · + ai,jxj +· · · + ai,NxN = bi

..

. ... · · · ... ... ... aN,1x1 + aN,2x2 + · · · +aN,jxj +· · · + aN,NxN = bN

e a matriz ampliada do sistemaS

ˆ S=          

a1,1 a1,2 · · · a1,j · · · a1,N b1

a2,1 a2,2 · · · a1,j · · · a2,N b2

..

. ... ... ... ... ai,1 ai,2 · · · ai,j · · · ai,N bi

..

. ... ... ... ... aN,1 aN,2 · · · a1,j · · · aN,N bN

         

O algoritmo que descreve o procedimento de escalonamento da matriz ampliada do sistema e a substitui¸c˜ao regressiva ´e

Algoritmo 1.1:M´etodo de Gauss Dados:

: {comentario}

Entrada:

: {comentario}

Sa´ıda:

: {comentario}

{escalonar a matriz ampliada do sistema}

paraj de 1 at´eN fa¸ca pivot←aj,j

paraide j+ 1 at´eN fa¸ca mi,j← − ai,j

pivot {(N+ 1) divis~oes}

Li←Li+mi,jLj {N somas e N produtos}

fim para fim para

{aplicar substitui¸c~ao regressiva}

paraide N at´e1 passo −1 fa¸ca xi← 1

ai,i



bi−

i+1

X

j=N ai,jxj



 {N divis~oes e N

2₋_N

2 subtra¸c~oes} fim para

A complexidade do escalonamento da matriz ampliada é deve ser verificada acompanhado-se o algoritmo. Sabe-se que cada opera¸cão de linha para anular um elemento envolveN+ 1 divisões,Nsomas eN produtos. Para cada multiplicador, opera-se uma linha inteira. Portanto, o número total de opera¸cões do processo de escalonamento depende da estimativa de quantos multiplicadores serão calculados. Na 1a _{coluna, são (N}₋_{1) multiplicadores.} Na 2a _{coluna, são (N}₋_{2) multiplicadores. Na ´}_{ultima coluna, n˜}_{ao h´}_{a multiplicador (0 multiplicadores). Logo, o} total de multiplicadores pode ser estimado pela série

N

X

j=1

(N−j) = N

2₋_N

(16)

Consequentemente, o número total de opera¸cões será N2₋_N

2 multiplicadores ×(N+ 1 divis˜oes +N somas +N produtos) =

= N

2₋_N

2 (3N+ 1) =

3N3₋_3N2₊_N2₋_N

2 =

= 3N

3₋_2N2₋_N

2 =O(N

3₎

Faltou a complexidade da substitui¸cão regressiva: sãoN divisões mais (N2₋_N_{)/2 subtra¸c˜}_{oes para calcular}

todas as N incógnitas. O total de opera¸cões da substitui¸cão regressiva é da ordem O(N2_{). Conclui-se que a}

complexidade do método de Gauss é da ordemO(N3_{) pois o processo de escalonamento é mais “pesado” que a}

substitui¸c˜ao regressiva.

1.2.2 M´

etodo de Jordan

Descri¸c˜ao

Alguns autores apresentam o método de Gauss como sendo aquele que transforma a matriz ampliada em uma matriz escalonada equivalente. Outros vão um pouco mais além e continuam operando sobre a matriz escalonada até que ela se torne uma matriz diagonal equivalente. Para o primeiro grupo de autores, este procedimento adicional caracteriza um novo método chamado de Método de Jordan.

Portanto, o objetivo do método de Jordan é transformar a matriz ampliada em uma matriz diagonal equivalente. Esta matriz se caracteriza por ter a diagonal principal da matriz de coeficientes identicamente unitária, isto é, uma matriz identidade. Repare que se a matriz equivalente, resultado das opera¸cões elementares sobre as linhas, for identidade, o passo final de substitui¸cão regressiva torna-se desnecessário, pois os valores das incógnitas poderiam ser visualizados diretamente.

Resumindo, o método de Jordan apresenta diretamente a solu¸cão do sistema de equa¸cões lineares após opera¸cões elementares sobre a matriz ampliada. Matricialmente, isto significa:

ˆ A=



   

a1,1 a1,2 · · · a1,N b1

a2,1 a2,2 · · · a2,N b2

..

. ... . .. ... ... aN,1 aN,2 · · · aN,N bN



   

→



   

1 0 · · · 0 r1

0 1 · · · 0 r2

..

. ... . .. ... ... 0 0 · · · 1 rN



   

onderié a própria solu¸cão do sistema: x1=r1,x2=r2,. . .

Três modifica¸cões devem ser feitas no método de Gauss para convertê-lo no método de Jordan: (a) substituir a linha dopivot por ela mesma dividida pelo seupivot,

(b) anular os demais elementos da coluna dopivot (diferente do m´etodo de Gauss que s´o anulava os elemento abaixo dopivot),

(c) e eliminar a substitui¸c˜ao regressiva.

O procedimento geral para o método de Jordan é aplicado à um sistema deN equa¸cões eN incógnitas: 1. para cada coluna j= 1,2, . . . , N

2. estabelecer aj,j comopivot

3. normalizar a linha do pivot(Lj) pelopivot 4. para cada linha Li,i= 1,2, . . . , N ei6=j

5. estabelecer o multiplicador mi,j como−ai,j/pivot(diferente do m´etodo de Gauss) 6. substituirLi porLi+mi,jLj

Considere o mesmo sistema linear apresentado no m´etodo de Gauss:

S=

 



x1 + 3x2 + x3 = 0 −x1 + 3x2 + 3x3 = 5

(17)

A matriz ampliada deste sistema ´e:

ˆ S=

  

1 3 1 0

−1 3 3 5 1 −2 1 1

  

Primeiro, na 1a _{coluna, o} _pivot_j´_{a é unit´}_{ario (nada a fazer). Segundo, o multiplicador da 2}a _{linha (coluna do} pivot) é unitário também, e o multiplicador da 3a _{linha é}₋_{1. Então, a 2}a _{linha ser´}_{a substitu´ıda pela soma dela} mesma com a linha dopivot(L1). A 3a linha será substitu´ıda pela subtra¸cão dela mesma pela linha do pivot.

ˆ S=

  

1 3 1 0

−1 3 3 5 1 −2 1 1

 

 L2+ (+1)L1→L2

L3+ (−1)L1→L3

  

1 3 1 0

0 6 4 5

0 −5 0 1

  

Para a 2a _{coluna, o}_pivot_{´e o elemento}_a

2,2= 6. NormalizandoL2, a matriz ampliada se torna

ˆ S=



 

1 3 1 0

0 6 4 5

0 −5 0 1



 

L2

pivot→L2



 

1 3 1 0

0 1 2₃ 5₆ 0 −5 0 1



 

Agora, diferente do m´etodo de Gauss, deve-se anular o 1o _{elemento da 2}a _{coluna. O multiplicador} _m

1,2 vale −3. A 1a _{linha (L}

1) ser´a substitu´ıda porL1+ (−3)L2:

ˆ S=

  

1 3 1 0

0 1 2

3 5 6

0 −5 0 1

  

L1+ (−3)L2→L1 

 

1 0 −1 −5₂

0 1 2

3 5 6

0 −5 0 1

  

Para anular o 3o_{elemento da 2}a _{coluna (}₋_{5), o procedimento ´e similar: o multiplicador}_m_{+ 3,}_{2 vale 5. Assim,} a 3a _{linha (L}

3) ser´a substitu´ıda porL3+ (5)L2.

ˆ S=

  

1 0 −1 −5 2

0 1 2₃ 5₆ 0 −5 0 1

  

L3+ (+5)L2→L3

  

1 0 −1 −5 2

0 1 2₃ 5₆ 0 0 10

3 31 6   

Duas colunas já estão na forma de Jordan. A 3a _{coluna será tratada da segundo os mesmos procedimentos: o} pivotéa3,3= 10/3.

ˆ S=

  

1 0 −1 −5₂

0 1 2

3 5 6

0 0 10₃ 31₆

  

L3

pivot→L3

  

1 0 −1 −5₂

0 1 2

3 5 6

0 0 1 31₂₀

  

O multiplicador de 1a _{linha ´e 1 e da 2}a _{linha ´e}₋2 3. A 1

a _{linha ser´a substitu´ıda por}_L

1+ (1)L3 e 2a linha por

L2+ −2₃

L3.

ˆ S=



 

1 0 −1 −5 2

0 1 2₃ 5₆ 0 0 1 31 20



 

L1+ (+1)L3→L1

L2+ −2₃L3→L2



 

1 0 0 −19 20

0 1 0 −1₅

0 0 1 31

20



 

Retornando à representa¸cão de sistema linear, é poss´ıvel observar a solu¸cão direta obtida pelo método de Jordan. S=     

x1 + 3x2 + x3 = 0 −x1 + 3x2 + 3x3 = 5

x1 − 2x2 + x3 = 1

=⇒     

x1 =−19₂₀

x2 = −1₅

(18)

A complexidade do método de Jordan é deduzida de forma mais direta que a do método de Gauss: sãoN colunas; para cada coluna são (N−1) multiplicadores; cada opera¸cão de linha envolveNsomas e (N+1) produtos; e, para normalizar a linha dopivot, são calculados (N+ 1) divisões. Organizando tudo isso:

N colunas×[(N+ 1) divisoes + (N−1) linhas×(N somas +(N+ 1) produtos )] = =N[(N+ 1) + (N−1) (2N+ 1)] =N(N+ 1) + 2N2₋_N₋₁₌

=N 2N2_{= 2N}3₌_{O N}3

algoritmo Jordan

paracada coluna jde 1ateN,fazer pivot←aj,j

Lj ← Lj

pivot {(N+ 1) divis˜oes} paracada linhai de1ateN, (i6=j),fazer

mi,j← −ai,j

Li←Li+mi,jLj {N somas e (N+ 1) produtos}

fim para fim para

fim Jordan

1.2.3 M´

etodo da Matriz Inversa

Descri¸c˜ao

Duas outras formas de se resolver um sistema de equa¸cões lineares estão baseadas na inversão de matrizes. Na representa¸cão matricial, um sistema linear corresponde ao produto de matrizes:

A·X=B

Se a matrizAfor invers´ıvel, a solu¸c˜ao do sistema pode ser obtido pela equa¸c˜ao matricial X=A−1_·_B

O primeiro método, chamado de matriz inversa, usa um processo expl´ıcito de inversão da matriz de coeficientes para depois multiplicar pela matriz de termos independentes. O segundo método, conhecido por Regra de Cramer, também está baseado na inversão da matriz de coeficientes, mas não a produz explicitamente. Na se¸cão seguinte, a regra de Cramer será apresentada com mais detalhes.

O processo de inversão utilizado neste método está baseado na rec´ıproca do seguinte teorema:

Teorema: Se a matriz de coeficientes A é invers´ıvel, a sua matriz equivalente Â mais simples é uma matriz identidadeI. Isto significa que a matrizAé um produto de opera¸cões matriciais elementares:

I = Ek·Ek−1· · · · ·E2·E1·A

= (Ek·Ek−1· · · · ·E2·E1·I)·A

ou seja,

Ek·Ek−1· · · · ·E2·E1·I=A−1

A rec´ıproca:

(19)

Na prática, opera-se simultaneamente as matrizesAeIatravés de opera¸cões elementares num formato similar ao da matriz ampliada (justapondo as matrizesAeI lado-a-lado):

(A|I)←→ I|A−1

Para exemplificar o m´etodo, assuma o sistema linear apresentado na se¸c˜ao anterior:

S=

 



x1 + 3x2 + x3 = 0 −x1 + 3x2 + 3x3 = 5

x1 − 2x2 + x3 = 1

=⇒ A=

 

1 3 1

−1 3 3 1 −2 1

 

sendoAa matriz de coeficientes. Justapondo a matrizAe a matriz identidade, obt´em-se:





1 3 1 1 0 0

−1 3 3 0 1 0 1 −2 1 0 0 1





Como resultado final do processo, onde se encontrava a matrizA, agora se encontra a matriz identidadeI, e onde se encontrava a identidade, encontra-se agora a matriz inversa A−1_.





1 0 0 0,45 −0,25 0,30 0 1 0 0,20 0 −0,20 0 0 1 −0,05 0,25 0,30





O procedimento para inversão é idêntico ao do método de Jordan. Só é preciso acrescentar o procedimento de multiplica¸cão de matriz por vetor.

algoritmo Matriz Inversa

paracada coluna jde 1ateN,fazer pivot←aj,j

Lj ← Lj

pivot

paracada linhai de1ateN, (i6=j),fazer mi,j← −ai,j

Li←Li+mi,jLj {(2N−1) somas e 2N produtos}

fim para fim para

paracada linha ide1 ateN,fazer xi ←

N

X

j=1

ai,jbj {(N−1) somas eN produtos}

fim para

fim Matriz Inversa

A complexidade do método da Matriz Inversa, assim como o procedimento para inversão, também é idêntica ao do método de Jordan: O N3_{. Sugestão de exerc´ıcio: demonstre a complexidade do método da Matriz Inversa}

´eO N3_.

1.2.4 M´

etodo de Cramer

Descri¸c˜ao

Antes de apresetar o método de Cramer para calcular a solu¸cã de um sistema linear, será apresentada uma BREVE recorda¸cão sobre determinantes, cofatores e matrizes adjuntas.

(20)

det (A) =|A|=X N!

(−1)Ja1,j₁a1,j₂· · ·a1,jN

ondeJ é o número de inversões da permuta¸cão (j1, j2,· · · , jN). Observe que o somatório temN! termos que é o

número de permuta¸cões poss´ıveis paraN números.

O cálculo do determinante de uma matriz quadradaApode ser simplificada (conceitualmente, mas não com-putacinalmente) pelo uso dos cofatores. Por defini¸cão, o cofator (ou complemento algébrico do elemento ai,j) é um número calculado pela expressão

∆i,j = (−1)i+j|Ai,j|

ondeAi,j é a submatriz da matrizAde onde ai-ésima linha e aj-ésima coluna foram retiradas.

A partir da defini¸cão de cofator, o determinante de uma matriz quadradaAN,Npode ser simplificada à seguinte expressão:

det (A) =|A|= N

X

j=1

ai,j∆i,j

Observe que o ´ındicei, referente a linha, fica livre para o leitor fixar. Esta forma ´e similar para colunas:

det (A) =|A|= N

X

i=1

ai,j∆i,j

Com estes cofatores, forma-se uma nova matriz ¯Adenominada matriz de cofatores deA:

cof (A) = ¯A= [∆i,j] =



   

∆1,1 ∆1,2 · · · ∆1,N ∆2,1 ∆2,2 · · · ∆2,N

..

. ... . .. ... ∆N,1 ∆N,2 · · · ∆N,N



   

A transposta da matriz de cofatores ´e chamada de matriz adjunta:

adj (A) = ¯At₌

    

∆1,1 ∆2,1 · · · ∆N,1

∆1,2 ∆2,2 · · · ∆N,2

..

. ... . .. ... ∆1,N ∆N,2 · · · ∆N,N

    

A matriz adjunta adj (A) da matriz quadradaAN,N est´a relacionada `a inversaA−1_{segundo a express˜}_ao

A−1₌ adj (A)

det (A)

Isso implica que s´o existe inversa da matrizAse, e somente se, o determinante deAfor diferente de zero. Voltando a forma matricial do sistema linear, tem-se que:

A·X =B⇒X =A−1·B =adj (A) det (A)·B

     x1 x2 .. . xN      = 1 det (A)     

∆1,1 ∆2,1 · · · ∆N,1

∆1,2 ∆2,2 · · · ∆N,2

..

. ... . .. ... ∆1,N ∆N,2 · · · ∆N,N

     ·      b1 b2 .. . bN      Ent˜ao,

x1=b1∆1,1+b2∆2,1+· · ·+bN∆N,1

(21)

1.3. M´ETODOS ITERATIVOS = 1 det (A) N X i=1

bi∆i,1=

b1 a1,2 · · · a1,N b2 a2,2 · · · a2,N

..

. ... . .. ... bN a2,N · · · aN,N

a1,1 a1,2 · · · a1,N a2,1 a2,2 · · · a2,N

..

. ... . .. ... aN,1 a2,N · · · aN,N

De forma análoga, as outras solu¸cões podem ser obtidas colocando-se o vetor de termos independentesBna coluna correspondente ao ´ındicek da variável incógnitaxk:

xk =b1∆1,k+b2∆2,k+· · ·+bN∆N,k

det (A) =

= 1 det (A) N X i=1 bi∆i,k=

a1,1 · · · a1,k−1 b1 a1,k+1 · · · a1,N a2,1 · · · a2,k−1 b2 a2,k+1 · · · a2,N

..

. ... ... ... ... aN,1 · · · aN,k−1 bN aN,k+1 · · · aN,N

a1,1 a1,2 · · · a1,N a2,1 a2,2 · · · a2,N

..

. ... . .. ... aN,1 a2,N · · · aN,N

O grande complicador do método de Cramer é o número de opera¸cões envolvido na computa¸cão da solu¸cão do sistema de equa¸cões lineares. No cálculo do determinante de uma matriz quadradaN×N, tem-seN! produtos de N elementos cada (total deN!(N−1) produtos) e maisN!−1 somas. Só em opera¸cões elementares, sãoN!N−1. Se o sistema possui N incógnitas, serão no totalN + 1 determinantes a serem computados. Isto significa que, ao final do método, (N+ 1)(N!N−1) opera¸cões teriam sido realizados. Isto é da ordemO N!N2. SeN for 5: (5!)52_{= 3000 opera¸cões. Se}_N _{for 8: (8!)8}2_≈_2,_{581 milhões de opera¸c˜}_{oes. “´}_{E conta pr´}_{a chuchu!!!”.}

Por isso, o cálculo do determinante deve ser repensado para fugir deste “gargalo”. Uma sa´ıda simples é utilizar uma matriz equivalente no lugar da matriz original. Se a matriz equivalente for uma matriz triangular superior, escalonada superior ou diagonal principal, o determinante será simplesmente o produto dos termos da diagonal principal. Nesta sa´ıda simples, foram econimizados (N!−1)(N−1) produtos. Para gerar uma matriz equivalente na forma escalonada, pode-se usar o método de Gauss.

O algoritmo para o método de Cramer será então:

algoritmo Cramer

calcular o determinante da matriz de coeficientesA: detA paracada inc´ognitaxk parakde 1ateN,fazer

substituir ak-´esima coluna da matrizApelo vetor de termos independentesB

calcular o determinante da matriz resultante: detCk xk ← detCk

detA fim para

fim Cramer

1.3 M´

etodos Iterativos

(22)

1.3. M´ETODOS ITERATIVOS

este pensamento à solu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares por processos iterativos, significa dizer que a cada itera¸cão, o vertor solu¸cãoX(k)_{tende à solu¸c˜}_{ao exata do sistema}_X.

Em termos práticos, isto quer dizer que a solu¸cãoX(k+1)_{está mais pr´}_{oxima da solu¸c˜}_{ao exata}_X _{que a solu¸c˜}_ao

X(k)_{. E que a solu¸c˜}_ao_X(k+2) _{est´a mais pr´}_{oxima de} _X _{que a solu¸c˜}_ao_X(k+1)_{. Neste processo iterativo, com} _k

tendendo ao infinito, a solu¸c˜ao exata do sistema seria atingida. lim

k→∞X

(k)₌_X

Obviamente, ninguém quer implementar um método que nunca termine. Por isso, todo processo iterativo é desenvolvido dispondo-se de critérios de parada: ou um limite para o número de itera¸cões ou uma precisão m´ınima a ser atingida.

1.3.1 Convergˆ

encia para a Solu¸

c˜

ao

Os processos iterativos de resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares partem da seguinte formula¸cão: “Seja A a matriz de coeficientes de um sistema linear, B o vetor de termos independentes deste sistema e X o vetor de incógnitas ou vetor solu¸cão também deste sistema. Então, o sistema linear é representado matricialmente por:

A·X=B

Se Apuder ser decomposta em duas outras matrizesP eQtal queA= (P−Q) eP seja invers´ıvel, ent˜ao o sistema linear pode ser reescrito como:

A·X = (P−Q)·X=P·X−Q·X =B⇒ ⇒P·X =Q·X+B⇒X =P−1_·_Q_·_X₊_P−1_·_B

Partindo-se de uma aproxima¸c˜ao inicialX(0)_{e renomeando}_P−1_·_Q_para_F _e_P−1_·_B_para_{D, obt´em-se}

que:

X(1) = F·X(0)+D X(2) ₌ _F_·_X(1)₊_D

.. .

X(k) = F·X(k−1)+D sendo esta última equa¸cão a equa¸cão de itera¸cão.”

Mas para que o processo iterativo venha a convergir para uma solu¸cão aproximada do sistema, a matrizF deve satisfazer uma condi¸cão espec´ıfica. Antes de apresentar esta condi¸cão, é necessário estabelecer algumas defini¸cões e teoremas.

Defini¸cão: Define-senorma da matriz AR,S, simbolizado porkAk, o número não negativo

kAk= max

1≤i≤R S

X

j=1 |ai,j|

Exemplo:

A=

−3 2 4 −2

ent˜aokAk= max{|−3|+|2|,|4|+|−2|}= max{5,6}= 6

Teorema: SeAé uma matriz quadrada tal quekAk<1, então todos os seus autovalores têm módulo menor que 1.

Uma breve recorda¸cão: numa progressão geométrica, se|a|<1, então

∞

X

k=0

(23)

Teorema: SeAé uma matriz quadrada diagonalizável, entãoApode ser rescrita comoA=Q·D·Q−1_{, onde}_Q

´e a matriz de autovetores eD, a matriz de autovalores.

A=Q·

    

λ1 0 · · · 0

0 λ2 · · · 0

..

. ... . . . 0 0 0 · · · λ2

    

·Q−1

Teorema: Se A é uma matriz quadrada tal que todos os seus autovalores têm módulo menor que 1, então lim

k→∞A

k_{= 0 (aqui,}_k_{´e expoente e n˜}_{ao ´ındice de itera¸c˜}_ao).

Ak ₌_Q_·

    

λ1 0 · · · 0

0 λ2 · · · 0

..

. ... . .. ... 0 0 · · · λi

     k

·Q−1₌_Q_·

     λk

1 0 · · · 0

0 λk

2 · · · 0

..

. ... . .. ... 0 0 · · · λk

i     

·Q−1

Se todos os autovalores λi têm módulo menor que 1, então lim k→∞A

k _{= 0. Al´em disso,}

∞

X

k=0

Ak _{= (I}₋_A)−1

(similar à progressão geométrica).

Voltando ao processo iterativo, a equa¸c˜ao de itera¸c˜ao tem a forma:

X(1)₌_F_·_X(0)₊_D

X(2)=F·X(1)+D=F·(F·X(0)+D) +D =F2·X(0)+ (I+F)·D

X(3)₌_F_·_X(2)₊_D₌_F_·_(F2_·_X(0)_{+ (I}₊_F)_·_{D) +}_D₌

=F3·X(0)+ (I+F+F2)·D Por indu¸c˜ao matem´atica,

X(k)=Fk−1·X(0)+ (I+F+F2+. . .+Fk−2)·D Levando este resultado ao limite dek tendendo ao infinito e lembrando que lim

k→∞X

(k)₌_{X, onde} _X _{´e a solu¸c˜}_ao

exata do sistema, tem-se que X= lim

k→∞X

(k)_{= lim}

k→∞F

k−1

| {z }

=0

·X(0)+ (I+F+F2+. . .+Fk−2+. . .)

| {z }

=(I−F)−1

·D

assumindo que a matrizF possui autovalores com m´odulo menor que 1. E para isso, a norma deF deve ser menor que 1 (kFk<1).

Desta forma, a condi¸cão necessária para que o processo iterativo venha a convergir para a solu¸cão do sistema linear é encontrar as matrizesP eQtal queP seja invers´ıvel e que P−1_·_Q_<_1.

Duas combina¸cões de P’s eQ’s são muito utilizadas. Na primeira, a matriz Aé decomposta em uma matriz P contentdo somente a diagonal principal e uma matrizQcom o restante dos elementos. O processo que utiliza estas matrizes é chamada de método de Jacobi. A segunda combina¸cão é a decomposi¸cão de A em uma matriz P que é triangular inferior (incluindo a diagonal principal) e em uma matrizQque é triangular superior (sem a diagonal). Quando o processo iterativo usa estas duas matrizes, ele é chamado de método de Gauss-Seidel. Obs.: como já foi mencionado, um dos critérios de parada é o número de itera¸cões. Quando o número de itera¸cões atinge um limite pré-estabelecido, o processo para e o último vetorXé tomado como a solu¸cão do sistema. Outro critério é a precisão das aproxima¸cões. Se a maior diferen¸ca em módulo entre duas aproxima¸cões sucessivas for menor que uma tolerânciaǫ dada, então o processo para. Isto pode ser apresentado como a norma da diferen¸ca de duas aproxima¸cões:

X(

k+1)₋_X(k)

= max₁_≤_i_≤_N n

x

(k+1)

i −x

(k)

(24)

1.3.2 M´

etodo de Jacobi

Descri¸c˜ao

Se

A=

  

a1,1 · · · a1,N ..

. ... aN,1 · · · aN,N

  

comai,i6= 0, i= 1, . . . , N, então, uma decomposi¸cão que atende ao quisito de uma matrizF tal quekFk<1 é

A=     

a1,1 0 · · · 0

0 a2,2 · · · 0

..

. ... . .. ... 0 0 · · · aN,N

     +     

0 a1,2 · · · a1,N a2,1 0 · · · a2,N

..

. ... . .. ... aN,1 aN,2 · · · 0

    

=P+ (−Q)

´

E fato que a matrizP ´e diagonal e invers´ıvel e que sua inversa ´e

P−1₌

    

a1,1 0 · · · 0

0 a2,2 · · · 0

..

. ... . .. ... 0 0 · · · aN,N

     −1 =     

a−1,11 0 · · · 0

0 a−2,12 · · · 0

..

. ... . .. ... 0 0 · · · a−N,N1

    

E sendoQa matriz

Q=     

0 −a1,2 · · · −a1,N

−a2,1 0 · · · −a2,N ..

. ... . .. ...

−aN,1 −aN,2 · · · 0

    

ent˜ao, a matrizF =P−1_·_Q_{e o vetor} _D₌_P−1_·_B _ser˜ao

F =            

0 −a1,2

a1,1

· · · −a1,N

a1,1 −a2,1

a2,2

0 · · · −a2,N

a2,2

..

. ... . .. ...

−aN,1

aN,N − aN,2

aN,N · · · 0

            D=             b1

a1,1

b2

a2,2

.. . bN aN,N            

A condi¸cãokFk<1 para a convergência do processo iterativo é então que

−

a1,2

a1,1

+· · ·+ −

a1,N a1,1

<1 −

a2,1

a2,2

+· · ·+ −

a2,N a2,2

<1 · · · − aN,1 aN,N +· · ·+ −

aN,N−1

aN,N

<1

(25)

Algoritmo Jacobi fazer,

X(k+1)₌_F_·_X(k)₊_D _{_N_×_[N_{+ (N}₋_1)]_}

seX(k+1)₋_Xk_{< ǫ}_ou_itera¸c˜_oes _{> limite}_ent˜_ao parar

fim se fim fazer fim Jacobi

Para os processos iterativos, a complexidade se refere apenas ao custo das opera¸cões em uma itera¸cão, uma vez que não é conhecido previamente o total itera¸cões. No método de Jacobi, a principal opera¸cão é a itera¸cão propriamente dita. Cada itera¸cão envolveN produtos de linha da matriz F pelo vetor de aproxima¸cões X(k)_.

Cada produto de linha por coluna custaN produtos entre elementos e (N−1) somas. Portanto,O(N2_{). A norma}

da diferen¸ca das aproxima¸c˜oes tem complexidade linear,O(N) e n˜ao interfere na complexidade final.

1.3.3 M´

etodo de Gauss-Seidel

Descri¸c˜ao

A matrizApode ser decomposta de uma outra forma: duas matrizes triangulares, uma contendo a diagonal principal (matriz P) e a outra com os elementos restantes (matriz −Q):

A=



     

a1,1 0 · · · 0 0

a2,1 a2,2 · · · 0 0

..

. ... . .. ... 0 aN−1,1 aN−1,2 · · · aN−1,N−1 0

aN,1 aN,2 · · · aN,N−1 aN,1



     

+



     

0 a1,2 · · · a1,N−1 a1,N 0 0 · · · a2,N−1 a1,N ..

. ... . .. ... ... 0 0 · · · 0 aN−1,N 0 0 · · · 0 0



     

=

=P+ (−Q)

O método que utiliza estas matrizes se chama Gauss-Seidel. Note que a matriz P é invers´ıvel pois seus elementos da diagonal não são nulos e a matriz é triangular inferior. Para garantir a convergência do processo, a norma da matrizF =P−1_·_Q_{deve ser menor que 1, o que implica na mesma condi¸cão j´}_{a imposta no método de}

Jacobi: os elementos da diagonal em módulo deve ser maior que a soma dos demais valores da matriz que estejam na mesma linha (também em módulo).

A complexidade do m´etodo Gauss-Seidel seria essencialmente o mesmo que a do Jacobi, ou seja,O N2_{se n˜}_ao

(26)

1.4. C ´ODIGOS-FONTE

1.4 C´

odigos-fonte

C´odigo-fonte 1.1: M´etodo de Gauss program SolucaoGauss

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! Programa SolucaoGauss

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! P r o p o s i t o : Mostra a a p l i c a c a o do metodo de Gauss ! para s o l u c a o de um s i s t e m a de e q u a c o e s l i n e a r e s . !−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! Autor : L u i s Fernando de O l i v e i r a Data : 03/10/2006 ! R e v i s a o :

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

i m p l i c i t none

integer : : p , q ! c o n t a d o r e s

integer : : n ! numero de e q u a c o e s ! m a t r i z de c o e f i c i e n t e s

real,a l l o c a t a b l e ,dimension( : , : ) : : a

! v e t o r de termos i n d e p e n d e n t e s

real,a l l o c a t a b l e ,dimension( : ) : : b

! v e t o r das r a i z e s

real,a l l o c a t a b l e ,dimension( : ) : : x

! a b r i r o a r q u i v o com os dados do s i s t e m a l i n e a r

open(unit=10 ,f i l e=” s i s t e m a . t x t ” ,action=” r e a d ” ,status=” o l d ” )

! l e r numero de e q u a c o e s e i n c o g n i t a s

read(unit=10 ,fmt=∗) n

print ∗, ”Numero de e q u a c o e s : ” , n a l l o c a t e( a ( n , n ) , b ( n ) , x ( n ) )

! l e r e l e m e n t o s do s i s t e m a l i n e a r

! os dados e s t a o o r g a n i z a d o s no a r q u i v o ! como s e q u e n c i a das c o l u n a s

read(unit=10 ,fmt=∗) a read(unit=10 ,fmt=∗) b c l o s e(unit=10)

! s a i d a com as e q u a c o e s do s i s t e m a l i n e a r ! ORIGINAL

print ∗

print ∗, ”−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−” print ∗, ” Equacoes do s i s t e m a l i n e a r o r i g i n a l ” print ∗, ”−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−” do p=1,n

do q=1,n−1

write(unit=∗,fmt=” ( f 6 . 2 , a , i 2 , a ) ” ,advance=”no” ) a ( p , q ) , ”x ( ” , q , ” ) + ”

end do

write(unit=∗,fmt=” ( f 6 . 2 , a , i 2 , a , f 6 . 2 ) ” ) a ( p , q ) , ”x ( ” , q , ” ) = ” , b ( p )

end do

c a l l Gauss ( n , a , b )

! s a i d a com as e q u a c o e s do s i s t e m a l i n e a r ! ESCALONADA

(27)

print ∗, ”−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−” print ∗, ” Equacoes do s i s t e m a l i n e a r e s c a l o n a d o ” print ∗, ”−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−” do p=1,n

do q=1,n−1

end do

! e x e c u t a a s u b r o t i n a de s u b s t i t u i c a o r e g r e s s i v a ! e r e s o l v e o s i s t e m a l i n e a r

c a l l S u b s t R e g r e s s i v a ( n , a , b , x )

! s a i d a com os r e s u l t a d o s e n c o n t r a d o s

print ∗

print ∗, ”−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−” print ∗, ” S o l u c a o do s i s t e m a l i n e a r ” print ∗, ”−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−” do p=1,n

print ∗, ”x ( ” , p , ” ) = ” , x ( p ) end do

d e a l l o c a t e( a , b , x )

!−−−−−−−

contains

!−−−−−−−

subroutine S u b s t R e g r e s s i v a ( d , a , b , x )

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! S u b r o t i n a S u b s t R e g r e s s i v a ( n , a , b , x )

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! P r o p o s i t o : R e s o l v e r o p r o c e d i m e n t o de s u b s t i t u i c a o ! r e g r e s s i v a s o b r e uma m a t r i z e s c a l o n a d a s u p e r i o r ! Entrada :

! d : numerico , numero de e q u a c o e s e i n c o g n i t a s ! a : numerico , m a t r i z de c o e f i c i e n t e s

! b : numerico , v e t o r de termos i n d e p e n d e n t e s ! S a id a :

! x : numerico , v e t o r s o l u c a o

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

integer,intent(in) : : d

real,dimension( : , : ) ,intent(in) : : a real,dimension( : ) ,intent(in) : : b real,dimension( : ) ,intent(out) : : x

! v a r i a v e i s l o c a i s

integer : : i , j ! c o n t a d o r e s

r e a l : : soma ! a u x i l i a r de s o m a t o r i o

do i =0,d−1

! s o m a t o r i o

(28)

soma = soma+a ( d−i , d−j )∗x ( d−j ) end do

! equacao i t e r a t i v a para c a l c u l a r as s o l u c o e s

x ( d−i ) = ( b ( d−i )−soma ) / a ( d−i , d−i ) end do

end subroutine S u b s t R e g r e s s i v a subroutine Gauss ( d , a , b )

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! S u b r o t i n a Gauss ( d , a , b )

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! P r o p o s i t o : Transformar a m a t r i z do s i s t e m a em uma ! m a t r i z e s c a l o n a d a .

! Entrada :

! d : numerico , numero de e q u a c o e s e i n c o g n i t a s ! Entrada e Sa i da :

! a : numerico , m a t r i z de c o e f i c i e n t e s

! b : numerico , v e t o r de termos i n d e p e n d e n t e s

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

real,dimension( : , : ) ,intent(inout) : : a real,dimension( : ) ,intent(inout) : : b integer : : i , j , k ! c o n t a d o r e s

r e a l : : p i v o t ! e l e m e n t o ch ave

r e a l : : m ! m u l t i p l i c a d o r da l i n h a

do j =1,d

! f i x a r o p i v o t

p i v o t = a ( j , j ) do i=j +1,d

! c a l c u l a r o m u l t i p l i c a d o r da l i n h a

m = −a ( i , j ) / p i v o t

! s u b s t i t u i r a l i n h a por e l a v e z e s o ! m u l t i p l i c a d o r mais a l i n h a do p i v o t

a ( i , : ) = a ( i , : ) + m∗a ( j , : )

! p r o c e s s a r o termo i n d e p e n d e n t e da ! mesma forma

b ( i ) = b ( i ) + m∗b ( j ) end do

end do

(29)

C´odigo-fonte 1.2: M´etodo de Jordan program S o l u c a o J o r d a n

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! Programa S o l u c a o Jo r d a n

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! P r o p o s i t o : Mostra a a p l i c a c a o do metodo de Jordan ! para s o l u c a o de um s i s t e m a de e q u a c o e s l i n e a r e s . !−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! v e t o r das r a´ız e s

! a b r i r o a r q u i v o com os dados do s i s t e m a l i n e a r

print ∗

do q=1,n−1

end do

c a l l Jordan ( n , a , b , x )

! s a i d a com as e q u a c o e s do s i s t e m a l i n e a r ! IDENTIDADE

print ∗

(30)

do p=1,n

do q=1,n−1

end do

print ∗

print ∗, ”x ( ” , p , ” ) = ” , x ( p ) end do

!−−−−−−−

contains

!−−−−−−−

subroutine Jordan ( d , a , b , x )

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! S u b r o t i n a Jordan ( d , a , b , x )

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! P r o p o s i t o : Transformar a m a t r i z do s i s t e m a em uma ! m a t r i z e s c a l o n a d a .

! Entrada :

! d : numerico , numero de e q u a c o e s e i n c o g n i t a s ! Entrada e Sa i da :

! a : numerico , m a t r i z de c o e f i c i e n t e s

! b : numerico , v e t o r de termos i n d e p e n d e n t e s ! x : numerico , v e t o r s o l u c a o

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

real,dimension( : , : ) ,intent(inout) : : a real,dimension( : ) ,intent(inout) : : b real,dimension( : ) ,intent(inout) : : x

r e a l : : m ! m u l t i p l i c a d o r da l i n h a

do j =1,d

p i v o t = a ( j , j )

! n o r m a l i z a r a l i n h a do p i v o t

a ( j , : ) = a ( j , : ) / p i v o t b ( j ) = b ( j ) / p i v o t

! z e r a r os e l e m e n t o f o r a da d i a g o n a l

do i =1,d

i f ( i /= j ) then

(31)

m = −a ( i , j )

! s u b s t i t u i r a l i n h a por e l a mais ! a l i n h a do p i v o t v e z e s o

! m u l t i p l i c a d o r

a ( i , : ) = a ( i , : ) + m∗a ( j , : )

! p r o c e s s a r o termo i n d e p e n d e n t e da ! mesma forma

b ( i ) = b ( i ) + m∗b ( j ) end i f

end do end do

! c o p i a a s o l u c a o do s i s t e m a l i n e a r para o ! v e t o r s o l u c a o

x = b

(32)

C´odigo-fonte 1.3: M´etodo da Matriz Inversa program S o l u c a o M a t r i z I n v e r s a

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! Programa S o l u c a o M a t r i z I n v e r s a

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! P r o p o s i t o : Mostra a a p l i c a c a o do metodo da i n v e r s a o ! de m a t r i z e s para s o l u c a o de um s i s t e m a de e q u a c o e s ! l i n e a r e s .

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! a b r i r a r q u i v o com os dados do s i s t e m a l i n e a r

print ∗

do q=1,n−1

end do

c a l l I n v e r s a o ( n , a , b , x )

! s a i d a da m a t r i z i n v e r s a

print ∗

(33)

do p=1,n

do q=1,n−1

write(unit=∗,fmt=” ( f 6 . 2 ) ” ,advance=”no” ) a ( p , q ) end do

write(unit=∗,fmt=” ( f 6 . 2 ) ” ) a ( p , q ) end do

print ∗

print ∗, ”x ( ” , p , ” ) = ” , x ( p ) end do

!−−−−−−−

contains

!−−−−−−−

subroutine I n v e r s a o ( d , a , b , x )

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! S u b r o t i n a I n v e r s a o ( d , a , b , x )

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! P r o p o s i t o : I n v e r t e r a m a t r i z do s i s t e m a e armazenar ! na m a t r i z i n v

! Entrada :

! d : numerico , numero de e q u a c o e s e i n c o g n i t a s ! b : numerico , v e t o r de termos i n d e p e n d e n t e s ! Entrada e Sa i da :

! a : numerico , m a t r i z de c o e f i c i e n t e s ! x : numerico , v e t o r s o l u c a o

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

real,dimension( : , : ) ,intent(inout) : : a real,dimension( : ) ,intent(in ) : : b real,dimension( : ) ,intent(inout) : : x

r e a l : : m ! m u l t i p l i c a d o r da l i n h a ! m a t r i z i n v e r s a

real,a l l o c a t a b l e ,dimension( : , : ) : : i n v

! a l o c a r e s p a c o para a m a t r i z

a l l o c a t e( i n v ( n , n ) )

! e l e m e n t o s da m a t r i z i d e n t i d a d e

i n v = 0 do i =1,d

i n v ( i , i ) = 1 end do

! para cada c o l u n a da m a t r i z , f a z e r

(34)

p i v o t = a ( j , j )

! n o r m a l i z a r a l i n h a do p i v o t

a ( j , : ) = a ( j , : ) / p i v o t i n v ( j , : ) = i n v ( j , : ) / p i v o t

! z e r a r os e l e m e n t o f o r a da d i a g o n a l

do i =1,d

i f ( i /= j ) then

m = −a ( i , j )

! s u b s t i t u i r a l i n h a por e l a mais ! a l i n h a do p i v o t v e z e s o

! m u l t i p l i c a d o r

a ( i , : ) = a ( i , : ) + m∗a ( j , : )

i n v ( i , : ) = i n v ( i , : ) + m∗i n v ( j , : ) end i f

end do end do

! c o p i a os dados da m a t r i z i n v e r s a em ’ a ’

a = i n v

! m u l t i p l i c a a m a t r i z i n v e r s a p e l o v e t o r de ! termos i n d e p e n d e n t e s para g e r a r a s o l u c a o

(35)

C´odigo-fonte 1.4: M´etodo de Cramer program SolucaoCramer

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! Programa SolucaoCramer

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! P r o p o s i t o : Mostra a a p l i c a c a o do metodo de Cramer ! para s o l u c a o de um s i s t e m a de e q u a c o e s l i n e a r e s . !−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! a b r i r a r q u i v o com os dados do s i s t e m a l i n e a r

print ∗

do q=1,n−1

end do

c a l l Cramer ( n , a , b , x )

print ∗

(36)

do p=1,n

print ∗, ”x ( ” , p , ” ) = ” , x ( p ) end do

!−−−−−−−

contains

!−−−−−−−

function Determinante ( d , a ) r e s u l t ( d e t )

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! Funcao Determinante ( d , a )

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

! P r o p o s i t o : C a l c u l a r o d e t e r m i n a n t e de uma m a t r i z ! quadrada usando e l i m i n a c a o de Gauss .

! Entrada :

! d : numerico , dimensao da m a t r i z ! a : numerico , m a t r i z quadrada ! S a id a :

! d e t : numerico , d e t e r m i n a n t e

!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

real,dimension( : , : ) ,intent(in) : : a r e a l : : d e t

integer : : i , j , k ! c o n t a d o r e s

r e a l : : m ! m u l t i p l i c a d o r da l i n h a ! m a t r i z a u x i l i a r

real,dimension( : , : ) ,a l l o c a t a b l e : : b

! a l o c a r e s p a c o para a m a t r i z

a l l o c a t e( b ( d , d ) ) b = a

do j =1,d

p i v o t = b ( j , j ) do i=j +1,d

m = −b ( i , j ) / p i v o t

! s u b s t i t u i r a l i n h a por e l a v e z e s o ! m u l t i p l i c a d o r mais a l i n h a do p i v o t

b ( i , : ) = b ( i , : ) + m∗b ( j , : ) end do

end do

! c a l c u l a n d o o d e t e r m i n a n t e da m a t r i z

d e t = 1 do i =1,d

d e t = d e t∗b ( i , i ) end do