Forma de Onda (tensão e corrente)

Aula 10: Cap. 3

Análise de Fourier e

Harmônicos

Engenharia Elétrica Universidade Federal de Juiz de Fora

f(t)

t

Sobrecarga dos condutores de neutroem razão da soma das

harmônicas de ordem 3geradas por cargas monofásicas;

Sobrecarga, vibrações e envelhecimentodos alternadores, transformadores, motores,ruídos nos transformadores;

Introdução

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

Importanteferramenta para análise de circuitos;

Expandeumafunção periódicacomo umasérie infinitadetermosdo tipo

senoidal, cujasfrequênciasdas diversas componentes sãomúltiplas da frequência fundamentaldo sinal periódico;

Análise de circuitos lineares combina:

A série de Fourier

f(t)

t

f(t)

t

Umafunção periódicaf(t)finita e contínuade períodoT e frequênciaω,

pode serrepresentadapor umasérie trigonométricada forma:

f(t) =a0+a1cos(ωt) +a2cos(2ωt) +. . .+ancos(nωt)

+b1sen(ωt) +b2sen(2ωt) +. . .+bnsen(nωt) (1)

ou

f(t) =a0+ ∞

X

n=1

ancos(nωt) + ∞

X

n=1

bnsen(nωt) (2)

Componentes fundamentais(ou primeiro harmônico)

(

a1cos(ωt) b1sen(ωt)

(3)

Integrais importantes na análise de Fourier (funções ortogonais em relação ao períodoT)

Z T

0

cos_(mωt)sen_(nωt)dt=0 para qualquer _{m e n}

Z T

0

cos_(mωt)cos_(nωt)dt=0 para _m6=n

Z T

0

Param=n, pode ser demonstrado que:

Z T

0

cos2_(nωt)dt=

Z T

0

sen2_(nωt)dt= π

ω = T

2 (4)

O cálculo dea0é feitointegrando-se ambos os ladosde (2) emum

período. Assim,

Z T

0

f(t)dt=

Z T

0

"

a0+ ∞

X

n=1

{ancos_{(nωt) +bn}sen_(nωt)}

#

dt (5)

Logo

Z T

0

f(t)dt=

Z T

0

a0dt (6)

Finalmente

a0=

1

T

Z T

0

O cálculo deané feitomultiplicando-se ambos os ladosde (2) por cos_(mωt)eintegrando-se em um período. Assim,

Z T

0

f(t)cos_(mωt)dt=

Z T

0

"

a0+ ∞

X

n=1

{ancos(nωt) +bnsen(nωt)}

#

cos_(mωt)dt

(8)

Logo

Z T

0

f(t)cos_(mωt)dt=

∞

X

n=1

Z T

0

{ancos_(nωt)cos_{(mωt) +bn}sen_(nωt)cos_{(mωt)} dt}

Sabendo que

Z T

0

cos_(nωt)cos_(mωt)dt=0 para _(m6=n) (10)

Por outro lado, quandom=n

Z T

0

f(t)cos_(mωt)dt= anT

2 (11)

Uma vez que aintegral de cosseno ao quadrado em um períodoé1_/2.

Finalmente:

an= 2 T

Z T

0

Já segunda parcela de (9)

Z T

0

sen_(nωt)cos_(mωt)dt=0 (13)

Independentemente sem=nou não.

De modo análogo,multiplicando-se ambos os ladosde (2) porsen_(mωt)e integrando-se em um período

bn=

2

T

Z T

0

f(t)sen_(nωt)dt (14)

Aintegral contendoané nula, uma vez que

Z T

0

Em síntese

a0é uma constante que representa o valor médio da funçãof(t);

Os termos seno e cosseno são denominados harmônicas;

As constantesa1,a2, . . . ,a_n eb1,b2, . . . ,b_nsão amplitudes das diversas

harmônicas;

né um número inteiro que varia de1a_∞;

Os termosa1cos(ωt)eb1sen(ωt)são denominados harmônica

fundamental ou componente fundamental;

Os termosa2cos(2ωt)eb2sen(2ωt)são denominados segunda

harmônica e assim sucessivamente;

A frequênciaωde oscilação da componente fundamental é a relação

Figura 5:Representação gráfica da Série de

Quanto mais componentes de Fourier são considerados na série, mais o somatório se aproxima da funçãof(t).

Graficamente é possível observar que, mesmo para um númeronelevado, este

somatório oscila, de forma amortecida, em torno do valor real def(t), em

especial nas vizinhanças de seus pontos de descontinuidade.

Frequência Magnitude

Tempo

Representação alternativa

Umaforma alternativade expressar a equação (2) é a seguinte

f(t) =a0+ ∞

X

n=1

Ancos(nωt+ϕn) (16)

Em que

An= a2n+b 2 n

1_/2

(17)

ϕn =−tan −1bn

Osgráficos da amplitudeAne dafaseφn, ambos em função deω, são

denominadosespectros de amplitude e fasedef(t)e constituem o espectro de frequênciadef(t)

An

ω

0

2

π

2_,5464

2π 3_π

0_,8488

4π 5_π

0_,5093

6π 7_π

0_,3638

8π 9_π

0_,2829

φn

ω π

−18◦

3_π

126◦

5_π

−90◦

7_π

34◦

9_π

162◦

2π 4π 6π 8π

Resumo:

a0=

1

T

Z T

0

f(t)dt (19)

an= 2 T

Z T

0

f(t)cos_(nωt)dt (20)

bn= 2 T

Z T

0

Represente a função periódicaf1(t), na figura a seguir, através da série

de Fourier. Trace os espectros de amplitude e fase.

1

( )

f t

t

4

12

5



7

5



2

5



3

5

8

5

Resposta An ω 0 2 π

2_,5464

2π 3_π

0_,8488

4π 5_π

0_,5093

6π 7_π

0_,3638

8π 9_π

0_,2829

Figura 10:Espectro de amplitude

φn

ω π

−18◦

3_π

126◦

5_π

−90◦

7_π

34◦

9_π

162◦

2π 4π 6π 8π

Represente a função periódicaf4(t), na figura a seguir, através da série

de Fourier.

4

( )

f t

t

1

3





2



1

0

1

2

3

Figura 12:Exemplo 2.

Resposta:f4(t) =

1 2 −

1

π ∞

X

n=1

1

Considerações

O termo constantea0é nulose a função possui umaárea positiva igual à

área negativa no período;

Uma funçãof(t)épar, se apresentasimetria em relação ao eixo vertical;

Exemplos:t2,t4ecos_(t), dentre outras.

Uma funçãof(t)éímpar, se apresentasimetria em relação à origem;

Exemplos:t,t3esen_(t), dentre outras.

Uma funçãof(t)possui simetria demeia onda, se asegunda metade de cada período é igual à primeira metade exceto por uma troca de sinal.

t f(t)

–T 0 T

(a)

A

–A

t g(t)

–T 0 T

A

t h(t)

–2p –p 0 p 2p

A (b) (c) T 2 T 2 –

f(t) =f(−t) (22)

Z T/2

−T/2

f(t)dt=2

Z T/2

0

Coeficientes da série de Fourier

a0=

2

T

Z T/2

0

f(t)dt (24)

an=

4

T

Z T/2

0

f(t)cos_(nωt)dt (25)

bn=0 (26)

Comobn=0, a sériesópossuitermos em cosseno;

t f(t)

–T 0 T

(a)

A

–A

t g(t)

–T 0 T

(b)

A

–A

t h(t)

–T 0 T

(c) A –A T 2 T 2 –

f(t) =−f(−t) (27)

Z T/2

−T/2

Coeficientes da série de Fourier

a0=0 (29)

an=0 (30)

bn=

4

T

Z T/2

0

f(t)sen_(nωt)dt (31)

Como apenasbn 6=0, a sériesópossuitermos em seno;

Expandindo os termos da serie de Fourier

f(t) =a0+ ∞

X

n=1

ancos_(nωt)

| {z }

par

+ ∞

X

n=1

bnsen_(nωt)

| {z }

´ ımpar

1. Oproduto de duas funções paresé também umafunção par;

2. Oproduto de duas funções ímparesé umafunção par;

3. Oproduto de uma função par por uma função ímparé umafunção ímpar;

4. Asoma (ou diferença) de duas funçõespares é umafunção par;

5. Asoma (ou diferença) de duas funções ímparesé umafunção ímpar;

6. Asoma (ou diferença) de uma função par uma ímparnãoé uma função

t T

–T

f(t)

0 (a) A –A t –T

g(t)

0

(b)

A

–A

T

Figura 15:Exemplos de funções com simetria de

f

t−T

2

Coeficientes da série de Fourier

a0=0 (34)

an=        4 T

Z T/2

0

f(t)cos_(nωt)dt, para_nímpar 0_, para_npar

(35) bn=        4 T

Z T/2

0

f(t)sen_(nωt)dt, para_nímpar 0_, para_npar

(36)

Considerações sobre simetria

Simetria a0 an bn Observações

Par a06=0 a_n 6=0 b_n=0 Integrar emT/2e multiplicar

os coeficientes por 2

Ímpar a0=0 an =0 bn6=0 Integrar emT/2e multiplicar

os coeficientes por 2

Represente a função periódicaf5(t), na figura a seguir, através da série

de Fourier.

5

( )

f t

( )

t s

4

Figura 16:Exemplo 3.

Resposta:f5(t) =2+

8

πcos(πt)−

8

3_πcos(3πt) + 8

5_πcos(5πt)− 8

Represente a função periódicaf6(t), na figura a seguir, através da série

de Fourier.

6

( )

f t

( )

t s

2

2



2



Figura 17:Exemplo 4.

Resposta:f6(t) =

8

πsen(πt) +

8 3_π

sen₍3_{πt) +} 8 5_π

sen₍5_{πt) +} 8 7_π

Nem toda função periódica pode ser representada pela série de Fourier.

Condições de Dirichlet

1. f(t)deve ser unívoca (monovaloridade);

2. f(t)deve ter um número finito de descontinuidades em um intervalo

periódico;

3. f(t)deve ter um número finito de máximos e mínimos no intervalo

periódico;

4. A integralZ

t0+T

t0