Controle 2.pdf

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SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

PUCRS

1

CONTROLE DIGITAL

v1.2

SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

PUCRS

2

CONTROLE DIGITAL ... 1

1 Introdução ao Controle Digital ... 3

1.1 Introdução... 4

1.2 Amostragem e Quantização ... 6

1.3 Modelagem dos Elementos de Amostragem e Retenção ... 7

1.4 Efeitos da Amostragem... 9

1.5 Algoritmo de Controle... 13

1.6 Função de Transferência Discreta... 15

1.7 Problemas Propostos:... 17

1.8 Bibliografia... 18

2 Análise de Sistemas Discretos... 19

2.1 Introdução... 20 2.2 Transformada Z ... 20 2.3 Região de Convergência ... 21 2.4 Sinais ... 24 2.5 Propriedades da Transformada Z... 26 2.6 Convolução... 27 2.7 Transformada Z Inversa... 28 2.8 Problemas Propostos... 29 2.9 Bibliografia... 30

3 Sistemas Discretos Equivalentes ... 31

3.2 Equivalência Por Integração Numérica ... 32

3.3 Estabilidade de Sistemas Discretos... 38

3.4 Equivalência por Mapeamento de Zeros e Pólos... 39

3.5 Equivalência por Retenção de Ordem Zero ... 41

3.6 Problemas ... 43

4 Projeto de Controladores Discretos ... 47

4.2 Projeto do Compensador Discreto ... 48

5 Análise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada ... 54

5.2 Redução de Diagramas de Blocos ... 55

5.3 Estabilidade de Sistemas Discretos... 57

5.4 Erro em regime permanente... 60

5.5 Exercícios ... 62

6 Lugar Geométrico das Raízes com Controle Digital ... 64

6.2 O LGR ... 65

6.3 Correspondência com Sinais Contínuos ... 69

6.4 Implementação do Compensador Digital... 72

6.5 Exercícios ... 72

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SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA PUCRS

1 Introdução ao Controle Digital

Texto Original: Luis Fernando Alves Pereira Alteração e adaptação por: Pablo Alberto Spiller

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital 4

1.1 Introdução

Pode-se dizer que utilização de “Sistemas de Controle” está inserida na base de qualquer dispositivo ou equipamento automatizado. Diariamente nos deparamos com uma série de equipamentos que possuem algum elemento de controle, desde eletrodomésticos como geladeira, ferro elétrico e máquinas de lavar até sistemas robotizados empregados, por exemplo, na indústria automobilística. Observa-se o emprego de ferramentas de modelagem, análise e o posterior projeto de sistemas de controladores em várias áreas Engenharia. Pode-se citar por exemplo, o controle de PH em processos químicos relacionado diretamente a Engenharia Química ou a análise de modos de vibração estrutural relacionado às Engenharias Mecânica e/ou Civil. Encontra-se também exemplos de sistemas de controle nas áreas da Biologia. Um exemplo que pode ser citado é o sistema de controle de equilíbrio do corpo humano, que utiliza informações oriundas do ouvido interno e dos olhos para realização de tal tarefa. De forma geral, todos os exemplos citados anteriormente tem em comum uma estrutura peculiar, bastante conhecida no cenário dos sistemas de controle, que pode ser sintetizada através da representação apresentada na Figura 1.1,

Figura 1.1: Diagrama de blocos de um sistema de controle realimentado.

onde r(t) é definido como sendo o sinal de referência a ser seguido pelo sinal de saída do processo y(t). A informação do sinal de saída do processo é obtida, para efeito de comparação com a variável de referência, através da utilização de elemento sensor que da origem ao sinal b(t).

O diagrama de blocos apresentados na Figura 1.1 esquematiza as partes principais e o conjunto de sinais normalmente apresentados junto à descrição de um sistema de controle do tipo SISO – Single Input Single Output, sendo todas as variáveis representadas por sinais em tempo contínuo. Até o final da década de 50, tal diagrama indicava também a única forma de representação de um sistema de controle do tipo SISO operando em malha-fechada. De acordo com Aströn [1], em 12 de maio de 1959, a empresa Thomson Ramo Woolridge (TRW), em parceria com a empresa Texaco, colocaram em operação junto a um processo de polimerização, o primeiro sistema de controle em malha-fechada baseado em computador. O exemplo bem sucedido da TRW, despertou em outras indústrias o interesse em aplicar em seus processos computadores para exercer a tarefa de controle, que com o crescente evolução tecnológica passaram a ter maior capacidade de processamento e confiabilidade aliados a redução de custo. Outras vantagens de se utilizar computadores em malhas de controle passaram também a serem primordiais. Diferentemente dos controladores analógicos, os sistemas de controle baseados em computador poderiam exercer as funções de armazenamento de dados e supervisão de todas as variáveis do processo em um único local, facilitando as tarefas relacionadas ao gerenciamento e a operação dos processos. Outra vantagem é a possibilidade de utilização de diferentes técnicas de controle, independente do grau de complexidade associada a cada uma delas, através da inserção de novos algoritmos de controle e sem a necessidade de qualquer alteração no hardware do controlador. Mais comum é a necessidade de ajuste de parâmetros dos controladores que, da mesma forma, constitui-se uma tarefa facilmente realizável em um sistema de controle baseado em computador.

Em um sistema de controle baseado em computador a parte relacionada ao controle, até então realizado com componentes eletrônicos analógicos, foi substituída por um computador

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digital, sendo o diagrama de blocos da Figura 1.1 adaptado para a inclusão deste novo componente, conforme apresentado na Figura 1.2.

Figura 1.2: Diagrama de blocos de um sistema de controle realimentado por computador.

Comparando-se os dois diagramas, pode se observar que os sinais de entrada e de saída do computador são os sinais em tempo contínuo b(t) e u(t), agora representados internamente no computador pelos seus equivalentes em tempo discreto, respectivamente b(KT) e u(KT). Observa-se que na Figura 1.2, os blocos que constituem o computador, sob o ponto de vista de execução das tarefas de controle, são o bloco A/D (conversor Analógico/Digital), D/A (conversor Analógico/Digital), Algoritmo de Controle e Clock, descritos a seguir:

• Conversor A/D – É o dispositivo de hardware utilizado para aquisição de um sinal analógico externo ao computador, convertendo-o em um sinal digital equivalente ao sinal externamente lido. No exemplo da Figura 1.2, o sinal analógico externo é o sinal de saída do sensor b(t) que após a conversão A/D será representado pela variável b(KT);

• Conversor D/A – É o dispositivo de hardware utilizado para conversão de um sinal internamente representado no computador, para um sinal analógico externo ao computador. No exemplo da Figura 1.2, o sinal internamente representado no computador é o sinal u(KT) que após a conversão D/A será representado pela variável u(t) utilizada para tarefa de controle do processo;

• Algoritmo de Controle – Este bloco contém os códigos responsáveis pelo processamento do sinal b(KT) de forma a gerar o sinal u(KT), empregado no controle do processo. Na Figura 1.1 observa-se que o sinal de entrada do bloco “Controlador” é dado pela diferença entre os sinais r(t) e b(t), anteriormente definido como sinal de erro e(t). Na Figura 1.2, o Algoritmo de Controle utiliza apenas a informação do sinal b(KT), pois as variáveis de referência r(KT) e o sinal de erro e(KT) são internamente gerados neste bloco;

• Clock – Este é o bloco responsável pela manutenção do sincronismo entre os demais blocos que constituem o bloco “Computador” representado na Figura 1.2.

Considere como exemplo o sistema de controle de temperatura de um processo de mistura apresentado na Figura 1.3 e compeare-o com o da Figura 1.2. Nota-se na representação, a diferenciação entre o subsistema computacional e a representação dos subsistemas processo e sensor e a interligação entre os subsistemas dois sistemas realizada pelos sinais u(t) e b(t).

Figura 1.3: Sistema de controle de temperatura de um tanque.

1.2 Amostragem e Quantização

As operações externas realizadas pelo computador, tanto de leitura do conversor A/D quanto de escrita no conversor D/A, serão realizadas em instantes de tempo múltiplos inteiros de uma variável denominada de período de amostragem – T. 1_{Portanto, o sinal b(KT) representa o} sinal b(t) amostrado no instante de tempo t=KT e, diferentemente das variáveis de tempo contínuo, tais variáveis serão consideradas variáveis ou sinais de tempo discreto.

O sinal discreto no tempo, produzido pela operação de amostragem do sinal será reproduzido internamente no computador por um número finito mais próximo dentre todos os números de amplitude discreta representáveis pelo computador. Conforme definido em [2], esta operação é chamada de quantização.

Exemplo: Considere um sinal de tempo contínuo _y₍_t₎_{= Volts, aplicado a entrada de}_t2 um conversor A/D de 4 bits, cujo valor máximo admissível na entrada é de 16 Volts. Considere também que a variável t∈

[ ]

0,4 segundos e que o período de amostragem T=0.5 segundos. A representação gráfica das variáveis f(t) e f(KT) em função do tempo é apresentada na Figura 1.4.

Figura 1.4: Exemplo de amostragem e quantização de um sinal y(t)=t2Volts.

O conversor de sinal analógico retém, a cada T segundos o valor analógico, , denominada sinal amostrado. Esta então é quantizada, ou seja, convertido numa amplituda representável pelo computador. No caso anterior:

Em y(1,5)=2,25 Volts.

Assim, como o conversor A/D é de 4 bits (ou 16 níveis) e sua amplitude máxima é de 16 Volts, para cada nível tem-se uma amplitude entre níveis de 1 Volt. Admita que os valores assumidos na quantização do sinal são sempre iguais ao valor mais próximo da variável y(t) no instante em que ela é amostrada. Através desta hipótese, o erro associado à operação de quantização deste sinal no instante t= 1,5 é de 0,25 Volts.

Podemos considerar de modo geral, o erro de quantização máximo (E) como: 1 2 + ± = N máxima Amplitude E

Onde N é o número de bits do conversor A/D.

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Realizada as operações de amostragem e de quantização, o sinal apresentará uma representação discreta em tempo e em amplitude, e será representado internamente no computador por um código a ele associado, composto por símbolos 1’s e 0’s, e também será denominado de sinal digital.

Para o efeito de utilização do sinal lido, já na forma digital, para geração de um sinal de controle, será realizada a comparação deste sinal com um valor de referência que também já deverá estar representado como um sinal digital. Tal comparação da origem ao sinal de erro, utilizado pelo Algoritmo de Controle para a determinação de um sinal de controle digital. Este sinal será aplicado ao processo através da utilização de conversores A/D’s, e será mantido constante durante todo o intervalo de tempo T. Esta operação é denominada de retenção.

1.3 Modelagem dos Elementos de Amostragem e

Retenção

Enquanto o conversor A/D é o responsável pela leitura dos sinais em tempo contínuo externos ao computador em instantes de tempo discretos KT, o conversor D/A é o responsável pela operação de escrita de dados digitais existentes internamente no computador na forma digital, em um sinal analógico equivalente, atualizando-o nos instantes de tempo discreto KT. A operação conjunta destes dois elementos é denominada de amostragem (leitura do A/D) e

retenção (escrita no D/A).

A característica ideal de um dispositivo amostrador é que ele consiga realizar cada uma das amostras de um sinal em tempo contínuo de forma instantânea, tal que os valores amostrados apresentem um valor único em cada instante de amostragem. Os dispositivos de amostragem são representados de acordo com a Figura 1.5. Nesta figura o sinal de tempo contínuo f(t) é aplicado a entrada de uma amostrador ideal que realiza as amostras em intervalos regulares de T segundos, resultando no sinal amostrado _f*(_t)_.

Figura 1.5: Representação do dispositivo amostrador ideal.

A característica ideal de um dispositivo de retenção é que ele consiga manter um determinado valor inalterado durante um tempo previamente determinado. Pode-se entender melhor o efeito da retenção, fazendo-se uma analogia a um capacitor que é carregado em um dado instante de tempo. Idealmente, até que haja um caminho elétrico entre seus terminais que possa descarregá-lo, a tensão do capacitor manter-se-á constante. Seguindo este exemplo, os dispositivos de retenção serão representados de acordo com a Figura 1.6. Nesta figura o sinal de sinal amostrado _f*(_t)_{será convertido em um pulso retangular de amplitude igual a do sinal} amostrado com duração de T segundos.

Figura 1.6: Representação do dispositivo retentor ideal.

Entendido o efeito dos elementos de amostragem e retenção, pode-se agora descrever a função de transferência deste elemento, a fim de incluir o efeito destes elementos no comportamento dinâmico do sistema. Para isto, há de se observar que a função de transferência de um sistema linear é igual a transformada de Laplace da resposta ao impulso deste sistema. Pela análise da Figura 1.5, percebe-se que o amostrador é o responsável pela geração de um sinal do tipo impulso em sua saída, i.e.

) ( ). ( ) ( *_t _f _t _t f = δ (1.1)

Este sinal é aplicado ao elemento de retenção, que o transforma em um pulso retangular de mesma amplitude do sinal de entrada, com largura igual ao período que é realizada cada amostra – T segundos, ou seja

(

() ( )

)

). ( ) (_t _f*_t _u_t _u_t _T fh = − − (1.2)

onde o índice h significa o sinal após a operação de retenção – hold. O diagrama de blocos completo do conjunto amostrador-retentor, cujo comportamento dos componentes individuais já foi descrito, é apresentado na Figura 1.7.

Figura 1.7: Diagrama esquemático com os sinais envolvidos na operação de amostragem e retenção. O conjunto apresentado da Figura 1.7 é conhecido como Amostrador-Retentor de Ordem

Zero (Zero Order Hold), cuja representação no domínio da freqüência é dada pela seguinte

função de transferência s e s G s F s F sT h h ₌ ₍ ₎₌1− − ) ( ) ( (1.3) Demonstração:

{

}

{

(

)

}

{

()

}

( ).1. () )) ( ) ( ). ( ). ( ) ( s G s F t f L T t u t u t t f L t f L h h h == − − = δ

{

}

{ } {

}

dt e T t u dt e t u s G T t u L t u L s G T t u t u L s G st st h h h . .) ( . .) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 − ∞ − ∞

∫

− − = − − = − − =

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Analisando apenas a primeira parcela:

dt e t u₍ _.) st_. 0 − ∞

∫

= s s e s ₁ 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ∞ −τ (1.4)

Analisando a segunda parcela: Se t− T=τ, τ τ _e τ _d u s T T ( .) . ) (+ − ∞ −

∫

Como 0u(τ)= para τ <0: τ τ τ τ _e τ _d _u _e τ _d u s T s T T ( .) . ( .) . ) ( 0 ) (+ ∞ − + − ∞ −

∫

= Assim, s e s e e d e e u d e u₍ _.) s T_. ₍ _.) s_. sT_. sT_. s sT_.1 0 0 ) ( 0 − ∞ − − − − ∞ + − ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = =

_∫

∫

_τ τ _τ _τ τ _τ τ _(1.5) Juntando as parcelas (1.4) e (1.5) : s e s G s e s s G dt e T t u dt e t u s G sT h sT h st st h ) 1 ( ) ( 1 . 1 ) ( . .) ( . .) ( ) ( 0 0 − − − ∞ − ∞ − = − = − − =

_∫

1.4 Efeitos da Amostragem

Para apresentar o efeito da amostragem, introduzida pela adição do elemento amostrador-retentor2_{de ordem zero na malha de controle da Figura 1.2, será considerado um} sinal senoidal, de amplitude unitária e freqüência igual a 1.0 Hz, aplicado à entrada de um dispositivo de amostragem e retenção, comumente referenciado na literatura especifica da área pela sigla ZOH – iniciais do nome em inglês Zero Order Hold. A Figura 1.8 apresenta o diagrama de blocos.

Figura 1.8: Exemplo de utilização do ZOH.

2_{O elemento amostrador-retentor de ordem zero será doravante referenciado neste texto como elemento} amostrador-retentor, também citado na literatura como ZOH – iniciais da expressão Zero Order Hold.

Como sinal de saída deste dispositivo obtêm-se um sinal representado em formas de sucessivos degraus, de amplitudes iguais as amplitudes do sinal contínuo nos instantes de tempo em que este sinal foi amostrado, com duração igual a do período de amostragem empregado.

A consideração utilizada para reconstrução de um sinal contínuo que reproduza de maneira mais próxima o sinal de saída do ZOH é que tal sinal seja resultado da interpolação do sinal de saída do ZOH em instantes tempo iguais ao valor de tempo médio existente entre dois instantes subseqüentes de amostragem.

A Figura 1.9 apresenta os sinais de entrada e saída de um dispositivo ZOH, bem como o sinal contínuo correspondente à interpolação nos instantes de tempos médios de amostragem.

Figura 1.9: Sinais de entrada f(t) e sinal de saída fh(t) do conjunto amostrador-retentor, e sinal contínuo aproximado faprox(t).

Pela observação da Figura 1.9, conclui-se que o sinal contínuo aproximado, resultante da interpolação do sinal de saída do elemento amostrador-retentor, está atrasado em relação ao sinal de entrada de meio período de amostragem, ou seja de T/2, mantendo-se inalterados os valores de amplitudes do sinal de saída. Desta observação conclui-se que para a representação do sinal contínuo aproximado, a relação apresentada em (1.6) é válida.

2 ). ( ) ( sT aprox s F s e F = − (1.6)

A expressão (1.6) descreve matematicamente no domínio da freqüência, a consideração realizada para o sinal contínuo equivalente na saída do ZOH, ou seja o produto dos termos _. 2

sT e− e do sinal de entrada F(s), que representa fisicamente um atraso de transporte de meio período de amostragem – T/2, associado ao sinal de entrada F(s). O termo _. 2

sT

e− deve ser considerado para avaliação do efeito da amostragem na resposta em freqüência de um processo que apresente em sua malha de controle um elemento do tipo ZOH. Admitindo s=jω, é fácil concluir que o termo relacionando ao atraso de transporte em (1.6) mantém a magnitude do sinal F(s), alterando apenas a fase do sinal F(s) do valor

2

T

ω − rad.

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Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital 11 Demonstração: 1 . ) ( ) ( . ) ( ) ( ). ( ) ( 2 2 s F s F e s F s F e s F s F aprox T j aprox sT aprox = = = − − ω 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( 2 2 T s F s F e s F s F e s F s F aprox T j aprox sT aprox ω ω − ∠ = ∠ ∠ + ∠ = ∠ = − −

O efeito de um elemento constituído por um atraso de transporte em uma malha de controle é, por vezes, prejudicial no desempenho global do sistema. Percebe-se que há um decréscimo de fase proporcional a freqüência do sinal de entrada - ω, e também proporcional ao período de amostragem T. Pode-se concluir então que quanto maior forem a frequências dos sinais apresentados a entrada do ZOH, menor deverá ser o período de amostragem - T utilizado, de forma a minimizar os efeitos da amostragem no sistema.

Exemplo 1.1: Com objetivo de ilustrar o efeito da amostragem em um sistema de

controle, considere o diagrama de blocos apresentado na Figura 1.10.

Figura 1.10: Diagrama de blocos do sistema empregado no exemplo 1.1.

Será apresentada a resposta ao degrau deste sistema, admitindo dois valores distintos de amostragem, T = 0.05 seg. e T = 0.1 seg. As respostas do sistema considerando estas duas situações são comparadas a resposta do sistema funcionando em malha-fechada sem a utilização do elemento amostrador-retentor, conforme pode-se observar na Figura 1.11.

Figura 1.11: Resposta do sistema em malha-fechada considerando diferentes taxas de amostragem.

A análise visual da Figura 1.11 leva a conclusão que o efeito de períodos de amostragem maiores em um sistema de controle em malha-fechada conforme o apresentado na Figura 1.10, implica em maiores oscilações do sinal de saída do sistema. Tal fenômeno se explica, porque a inclusão do elemento de amostragem e retenção com período de amostragem igual a T segundos, traz consigo somente o acréscimo de

2

T

ω

− radianos na fase da função de transferência do sistema de malha-aberta na freqüência de ω rad/s, mantendo inalterada sua magnitude, isto é:

2 ) ( ) (s Gs T G ZOH ω − ∠ = ∠ ) ( ) (s Gs G ZOH = (1.7)

A implicação nas equações de magnitude e de fase da função de transferência do processo em malha-aberta operando com a inclusão do ZOH - G )(s ZOH, está relacionada

diretamente a alteração da margem de fase do sistema, conforme pode ser visto nos diagramas de Bode apresentados na Figura 1.12. Nesta figura, a curva de fase superior representa a fase do processo operando em malha-aberta sem a inclusão do elemento amostrador-retentor, a curva de fase intermediária representa a fase do processo operando com o ZOH com período de amostragem igual a 0.05 segundos e a curva de fase mais abaixo representa a fase do processo operando com o ZOH com período de amostragem igual a 0.1 segundos.

Figura 1.12: Variação das margens de fase do sistema para diferentes períodos de amostragem. A obtenção dos diagramas de Bode de sistemas que incluem atraso de transporte não é diretamente obtida através das funções disponíveis no Matlab, sendo necessário adaptar os comandos existentes de forma a obter os diagramas de Bode apresentados na Figura 1.12. Apresenta-se na Tabela 1.1 as linhas de comando utilizadas para obtenção dos diagramas de Bode da Figura 1.12.

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Tabela 1.1. Inserção do Atraso de Transporte no Diagrama de Bode % clear all

% close all

num=[100]; % definicao do numerador e denominador do sistema

den=[1 10 0]; % sistema com G(s)=100/s(s+10)

w=logspace(-1,1,100); [mag,fase,w]=bode(num,den,w);

T1=0.05; % atraso de transporte - T=0.05 segundos

T2=0.1; % atraso de transporte - T=0.1 segundos

fase_T1=(-w*T1/2)*180/pi; % fase inserida pelo atraso T1 em graus fase_T2=(-w*T2/2)*180/pi; % fase inseridapelo atraso T2 em graus fase_final_T1=fase + fase_T1; % fase final para sistema com atraso T1

fase_final_T2=fase + fase_T2; % fase final para sistema com atraso T2

magdB=20*log10(mag); % magnitude em dB hold on;

subplot(2,1,1); % grafico de magnitude

semilogx(w,magdB); grid on;

subplot(2,1,2); % grafico de fase

semilogx(w,fase);

semilogx(w,fase_final_T1,'r'); semilogx(w,fase_final_T2,'g'); grid on;

% Para o entendimento de cada uma das funcoes utilize o comando help do % Matlab

1.5 Algoritmo de Controle

Seguindo o diagrama de blocos apresentados na Figura 1.2, já tendo sido apresentado nas seções anteriores a modelagem dos elementos de amostragem e retenção e também o efeito da amostragem na dinâmica do sistema a ser controlado, ainda resta apresentar a forma com que o algoritmo de controle é implementado em um sistema de controle por computador. Considera-se então, como exemplo, que se deseja obter o equivalente discreto de um compensador de avanço de fase apresentado em (1.8). β α β α β α _∈_ℜ _< + + = +_e s s K s C( ) c. , , (1.8)

De acordo com a Figura 1.1 C(s)=U(s)_E₍_s₎, sendo E(s) e U(s) os sinais de erro e de controle do processo, respectivamente. A função de transferência (1.8) pode ser obtida através da equação diferencial (1.9), descrita no domínio do tempo.

) ( . . ) ( ) ( . ) ( t e K dt t de K t u dt t du c c α β = + + (1.9)

O objetivo é a obtenção do sinal de controle u(KT), gerado pelo computador, que deve ser equivalente ao sinal de controle u(t) gerado pelo compensador de avanço de fase representado em (1.8). Uma das formas de obtenção de u(KT) é através da aproximação da equação diferencial (1.9) pela equação de diferenças equivalente. Serão consideradas as aproximações discretas da operação de derivação temporal descrita no domínio contínuo, ou seja

T T KT f KT f dt t df()_≅ ( )− ( − ) (1.10) denominada de backward approximation, ou

T KT f T KT f dt t df()_≅ ( + )− ( ) (1.11) denominada de forward approximation. Considerando a aproximação do tipo backward, serão substituídos em (1.9) os termos que aparecem as derivadas temporais, i.e.

) ( . . ) ( ) ( ) ( . ) ( ) ( KT e K T T KT e KT e K KT u T T KT u KT u c c α β = − − + + − − (1.12)

Pode-se então, a partir de (1.12), obter o sinal de controle u(KT), conforme apresentado em (1.13).

(

)

[

.1 . ( ) .( ) ( )

]

. 1 1 ) ( K T eKT K eKT T uKT T T KT u c + − c − + − + = α β (1.13)

Na equação (1.13) observa-se que o sinal de controle que será aplicado ao processo no instante de tempo t=KT segundos, representado por u(KT), depende do sinal de erro no mesmo instante de tempo e(KT), e dos sinais de erro e de controle ocorridos no instante de tempo t=KT−T segundos, e(KT−T) e u(KT−T), ou seja, dos sinais de erro e de controle avaliados na última operação de leitura e escrita do dos conversores A/D e D/A computador. A implementação da equação (1.13) em um sistema de controle baseado em computador deve ser realizada mediante a utilização do algoritmo apresentado na Tabela 1.2.

Tabela 1.2. Algoritmo Para Implementação do Controlador Discret 1. e(0) ← valor inicial da variável erro

2. u(0) ← valor inicial da variável de controle 3. c1 ← Kc(1+αT) / (1+βT)

4. c2 ← -Kc / (1+βT) 5. c3 ← 1 / (1+βT)

6. e(1) ← Leitura do conversor A/D 7. u(1) ← c1e(1) + c2e(0) + c3u(0) 8. Escreve u(1) no conversor D/A 9. e(0) ← e(1)

10. u(0) ← u(1)

11. Temporiza por T segundos

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1.6 Função de Transferência Discreta

De forma análoga a utilizada para obtenção de funções racionais, que estabelecem a relação entre as variáveis existentes nas equações diferenciais lineares e de coeficientes constantes do tipo apresentado em (1.9), onde a operação de derivada temporal - d(.)_dt é substituída pelo operador equivalente no domínio freqüência 3_{- s, nas equações de diferenças os} sinais atrasados de T, 2T, 3T, ..., kT segundos serão substituídos por termos na forma

k z z z

z−1_, −2_, −3_,..., − _{, que representarão o atraso de cada um dos termos da equação por múltiplos} inteiros do período de amostragem. Sendo assim, a equação (1.13), pode ser rescrita na forma

(

)

(

K T E(z) K z E(z) z U(z)

)

T ) z ( U c1 c 1 1 1 1 ₊ ₋ − ₊ − + = α β (1.14)

Multiplicando ambos os lados da equação por z, é possível estabelecer uma função racional que expressa a relação entre as variáveis U(z) e E(z), conforme apresentado na equação (1.15). ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − + + = T z T z T T K ) z ( E ) z ( U c β α β α 1 1 1 1 1 1 _(1.15)

A equação (1.15) representa a função de transferência discreta do controlador de avanço de fase proposto em (1.8), considerando a aproximação do tipo backward, conhecida também como aproximação retangular regressiva.

1.6.1 Exemplo de Projeto:

Para avaliar a equivalência entre as funções de transferência representadas nos domínios contínuo (1.8) e discreto (1.13), será apresentado o projeto do controlador de avanço de fase que faça com que a resposta da variável de saída do sistema de malha-fechada quando submetido a um sinal de entrada do tipo degrau seja duas vezes mais rápida que a apresentada na Figura 1.11, com sobrepasso percentual de 10%. Pela análise do diagrama de Bode apresentado na Figura 1.12, para o sistema ser duas vezes mais rápido a nova freqüência de zero dB deverá ser de aproximadamente 16.0 rad/s. Sendo assim, o período de amostragem escolhido para o controlador discreto será de T=2*π/

(

30*ω0dB

)

, que é de aproximadamente 0.013 segundos.

O compensador de avanço de fase obtido é apresentado na função de transferência discreta (1.16). A resposta ao degrau do processo operando sem compensação e com o compensador de avanço de fase é apresenta na Figura 1.12. A Figura 1.13 apresenta o diagrama de simulação utilizado para obtenção das curvas de resposta do sistema. Na Tabela 1.3 é apresentado o código do arquivo utilizado para o projeto do compensador de avanço de fase.

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 72 0 89 0 45 4 . z . z . ) z ( E ) z ( U (1.16)

3_{Equivalência válida considerando nulas as condições iniciais das variáveis envolvidas e de suas derivadas} temporais de ordens sucessivas.

Figura 1.13: Resposta ao degrau do sistema.

Figura 1.14: Diagrama de simulação para validação do compensador projetado.

Tabela 1.3. Projeto do Controlador de Avanço de Fase. % Projeto do Compensador de Avanco de Fase

Mp=0.1; % Mp desejado de 10%

tp=0.17; % tp desejado - duas vezes mais rapido que o atual

qsi=sqrt((log(Mp))^2/(1+pi^2)); % Dados do Processo num=[100]; den=[1 10 0]; [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den); grid on;

% Dados do Projeto Controlador Continuo

Wpmax=2*Wcp; % Frequencia de maxima fase do compensador

Pmd=90-(180/pi)*atan(sqrt(-2*qsi^2+sqrt(4*qsi^4+1))/(2*qsi)); % Margem de fase desejada Pmax=Pmd-32; % Fase incluida pelo compensador de avanco na frequencia Wpmax

Rzp=(1-sin(pi*Pmax/180))/(1+sin(pi*Pmax/180)); % Razao zero polo do compensador

z=Wpmax*sqrt(Rzp); % zero do compensador de avanco

p=z/Rzp; % polo do compensador de avanco

(9)

numc=100*Kc*[1 z]; denc=conv(den,[1 p]); margin(numc,denc); grid on;

% Dados do Projeto Controlador Discreto

T=(2*pi)/(30*Wpmax); % Frequencia de amostragem igual a 30*w0dB alfa=z;

beta=p;

Kcd=Kc*((1+alfa*T)/(1+beta*T)); % ganho do compensador discreto

zd=1/(1+alfa*T); % zero do compensado discreto

pd=1/(1+beta*T); % polo do compensado discreto

% Para o entendimento de cada uma das funcoes utilize o comando help do Matlab

1.7 Problemas Propostos:

1. De acordo com [3], ao incluir na malha de controle do sistema um controlador baseado em computador, é recomendável utilizar-se frequências de amostragens iguais ou superiores a 30 vezes a frequência de corte do sistema (frequência em que o processo apresenta magnitude igual a zero dB - ω0dB). Baseado no que foi anteriormente exposto, explicar o porque desta

escolha.

2. Utilizando o Matlab - O termo que representa um atraso de transporte T segundos no

domínio da freqüência é dado por _e−sT_{, que também pode ser aproximado pelo quociente de}

funções racionais de complexidade variável com o grau que se deseja aproximar o termo _e−sT_,

denominado aproximação de Padé. Considerando a aproximação de Padé de primeira ordem, dada pela equação

sT esT + ≅ − 1 1 (1.17) Verifique o grau de aproximação obtido para o exemplo apresentando anteriormente, considerando os mesmos períodos de amostragem utilizados. Obtenha a resposta temporal ao degrau e os diagramas de Bode para os dois casos. Repita o procedimento considerando as aproximações de Padé de segunda e de terceira ordem, apresentadas respectivamente nas equações (1.17) e (1.18).

( )

2 2 1 1 1 sT ! sT esT + + ≅ − _(1.17)

( )

2

( )

3 3 1 2 1 1 1 sT ! sT ! sT esT + + + ≅ − _(1.18)

1.8 Bibliografia

[1] K. J. Aströn and B. Wittenmark, Computer Controlled System – Theory and Design, Prentice Hall, New Jersey, 1984.

[2] S. Haykin and B. V. Veen, Sinais e Sistemas, Artmed Editora Ltda, 1999.

[3] G. F. Franklin, J. D. Powell and M. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Addison Wesley, Third Edition, 1997.

[4] G. F. Franklin, J. D. Powell and A. E. Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley, 1991.

(10)

SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA PUCRS

2 Análise de Sistemas Discretos

Texto Original: Luis Fernando Alves Pereira Alteração e adaptação por: Pablo Alberto Spiller

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos 20

2.1 Introdução

Sistemas dinâmicos se caracterizam por ter seu comportamento descrito por um conjunto de equações diferenciais, estabelecendo por meio destas equações as conexões entre as variáveis físicas que compõe os modelos destes sistemas. Se o conjunto de equações diferenciais que descrevem a dinâmica de um dado sistema for de natureza linear e seus coeficientes não apresentarem variação temporal, é comum a utilização da transformada de Laplace, e o emprego da transformação de domínios (tempo – freqüência), para análise e auxílio na solução de problemas relacionados a tais sistemas. Na representação de sistemas dinâmicos em tempo discreto, também é conveniente o emprego de uma ferramenta análoga a transformada de Laplace, denominada de transformada Z.

2.2 Transformada Z

Uma vez que a transformada Z é uma ferramenta que apresenta o mesma funcionalidade para sistemas dinâmicos representados em tempo discreto que a transformada de Laplace apresenta para sistemas dinâmicos representados em tempo contínuo, será considerado inicialmente a representação de um sinal de tempo contínuo f(t), amostrado em intervalos regulares de T segundos, conforme mostrado na Figura 2.1 e apresentado na equação (2.1).

Figura 2.1: (a) Representação de um amostrador ideal, (b) função de entrada do amostrador, (c) função amostrada.

∑

∞ = − = 0 *₍₎ ₍ ₎ ₍ ₎ K KT t KT f t f δ (2.1)

Tal equação representa a seqüência de valores que a função f(t) apresenta em cada um dos instantes de tempo em que ela é amostrada. Uma vez que a cada um dos instantes em que

f(t) é amostrada o valor da função é único, pode-se obter por inspeção a transformada de Laplace

da função amostrada, conforme o apresentado na equação (2.2).

∑

∞ = − = 0 *₍₎ ₍ ₎ K KTs e KT f s F (2.2)

(11)

Na equação (2.2), a função que representa o intervalo de T segundos existente entre cada uma das amostras, empregada para representar a seqüência de impulsos descrita em (2.1), é a função _e−KTs_{. A partir desta função é definido o operador}_z₌_eTs_{. Empregando este operador na}

equação (2.1), define-se a transformada Z da seqüência descrita por (2.3), i.e.,

∑

∞ = − = 0 ) ( ) ( K K z KT f z F (2.3)

2.3 Região de Convergência [6]

Uma série de potência

∑

∞ k kx

c somente convergirá para certos valores de x . No caso,

∑

∞ =0

k k

x converge se −1<x<1. Em geral, sempre haverá um intervalo (-R, R) no qual a série de potência converge, onde R é chamado raio de convergência. R é denominado desta forma, devido ao fato da série de potência com coeficientes complexos, os valores de x com

R

x< formam um “Disco Aberto” com raio R.

Figura 2.2: Representação de um Disco Aberto de raio R.

A transformada Z, por ser uma série de potência

(

∑

∞_f₍_KT₎_z−K

)

_{, também possui uma} região de convergência. A região de convergência neste caso, é o intervalo de valores os quais a variável z pode assumir que resulte na convergência da transformada Z (da série).

Nem sempre a região de convergência será interna ao raio de convergência R. Veja o exemplo a seguir.

2.3.1 Seqüência Unilateral Direita

Para exemplificar a forma com que é determinada a região de convergência da transformada Z, será considerado o exemplo da seqüência f(KT)=aKT,a∈ℜ_{. Uma vez que se}

deseja a obtenção da transformada Z de uma seqüência, deve-se levar em conta que pode haver termos desta seqüência que já existam antes do instante inicial em que a seqüência esta sendo calculada, isto é K=0. Desta forma, a definição de transformada Z apresentada em (2.3) deve ser ampliada de forma a considerar também a existência de termos para K<0, conforme (2.4).

∑

∞ −∞ = − = K K z ) KT ( f ) z ( F (2.4)

Entretanto, se for levada em conta a existência de valores da seqüência somente para termos com K≥0, a seqüência deverá ser representada na forma f(KT)=aKTu(KT),a∈ℜ_{, e}

(2.4) poderá ser rescrita conforme (2.3), ou seja

(

)

= + + +K = = ∞ − − = − ∞ = −

∑

1 2 2 0 1 0 1 a z a z z a z a ) z ( F T T K K T K K KT _(2.5)

Para que a F(z) seja convergente, é necessário que a relação _aT_z−1_<1_{seja satisfeita,}

estabelecendo-se aí a região de convergência de F(z), ou seja a região do plano Z em que

T a

z > , representada pela área sombreada da Figura 2.3.

Figura 2.3: Região de convergência de F(z) - seqüência unilateral direita.

Definida a região de convergência de F(z) pode-se dar seguimento ao termo geral de (2.5), o qual a série converge. Para isto é necessário multiplicar (2.5) pelo termo a−Tz_{, ou seja:}

K + + + + = − − − − _z_F₍_z₎ _a _z ₁ _a _z1 _a2 _z2 aT T T T _z _> _aT _(2.6)

Subtraindo (2.5) de (2.6) obtem-se F(z), conforme apresentada em (2.7). ) ( ) (z a z F z F z a−T ₌ −T ₊

(

)

T T T a z z ) z ( F z a z a ) z ( F − = ⇒ = − − − ₁ _(2.7)

A seqüência apresentada em (2.5) é denominada de seqüência unilateral direita, que se caracteriza por possuir uma região de convergência externa a um circulo de raio R , maior que o módulo de todos os pólos de F(z). No caso do exemplo apresentado, F(z) apresenta apenas um pólo em _z₌_aT_{e a região de convergência de}_F₍_z₎_{é a região exterior ao circulo de raio}_aT_no

plano Z.

2.3.2 Seqüência Unilateral Esquerda

Outro tipo de seqüência possível é denominada de seqüência unilateral esquerda, cuja transformada Z será aqui exemplificada considerando a seqüência f(KT)=−aKTu(−KT−T),a∈ℜ_.

Conforme (2.4), a transformada Z desta seqüência é dada por

∑

− −∞ = − ∞ −∞ = − _⇒ ₋ = 1 K K KT K K _a _z z ) KT ( f ) z ( F (2.8)

Escrevendo os termos da seqüência descrita em (2.8), obtém-se

z a z a z a ) z ( F ₌ ₋ −3T 3₋ −2T 2₋ −T

K , que é igual a expressão apresentada na equação (2.9). Pela

análise de (2.8) é direta a conclusão de que a região de convergência de F(z) é determinada considerando que _a−T_z<1_{, ou seja} _z _< _aT _{, caracterizando a região interior a um circulo de}

(12)

Figura 2.4: Região de convergência de F(z) - seqüência unilateral esquerda.

De forma análoga aquela observada para as seqüências unilaterais direitas, a região de convergência das seqüências unilaterais esquerdas caracterizam-se por serem internas a um circulo de raio R , menor que o módulo de todos os pólos de F(z).

Expandindo F(z): K + − − − = − −2 2 −3 3 ) (z a z a z a z F T T T (2.9)

Multiplicando-se (2.9) pelo termo _aT_z−1_{e, em seguida subtraindo-se do resultado a} própria F(z), determina-se a transformada Z da seqüência f(KT), conforme a equação (2.10).

(

)

T T T T T T T a z z z a ) z ( F z a ) z ( F z a z a z a ) z ( F z a − = − = ⇒ − = − + − − − − = − − − − − − 1 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 K z < aT (2.10)

Observe que as transformadas Z obtidas em (2.7) e (2.10) são iguais, não sendo possível definir a qual das seqüências cada uma delas está relacionada.

Somente através da informação da região de convergência de cada uma delas é que se torna possível a

determinação da seqüência discreta associada a F(z).

2.3.3 Sequencia Bilateral

Para finalizar a apresentação dos conceitos associados a região de convergência das transformadas Z, será considerado um exemplo da determinação da transformada Z de uma seqüência bilateral, dada pela expressão f(KT) u(KT) u( KT T)

KT KT − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 3

1 _{. Com base nos}

exemplos das duas sequências apresentadas anteriormente conclui-se que

4 4 4 3 4 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1 esquerda unilateral seqüência KT direita unilateral seqüência KT ) T KT ( u ) KT ( u ) KT ( f ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 3 1 _(2.11)

Determina-se então, de forma independente, as transformadas Z de cada um dos termos de (2.11) com suas respectivas regiões de convergência, conforme apresentado nas equações (2.12) e (2.13). Considere T=1.

3 1 3 1 ) ( 3 1 _> − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _z z z KT u Z KT (2.12) 2 1 2 1 ) ( 2 1 < − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _z z z T KT u Z KT (2.13)

De (2.12) e (2.13), é fácil de observar que existe uma intersecção entre as regiões de convergência das transformadas Z das duas seqüências, apresentada na região sombreada da Figura 2.5, concluindo-se então que a transformada Z da seqüência bilateral f(KT) existe, e neste caso é dada pela equação (2.14).

Figura 2.5: Região de convergência de F(z) - seqüência bilateral.

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 1 3 1 6 1 z z z ) z ( F (2.14)

2.4 Sinais

A fim de ilustrar a forma de obtenção de funções representadas no domínio Z pelas suas transformadas equivalentes, serão consideradas algumas funções conhecidas e normalmente empregadas que são as funções degrau unitário, rampa unitária, a função exponencial _f₍_t₎₌_e−at

e a função senoidal.

2.4.1 Função Degrau:

Empregando a definição de transformada Z apresentada em (2.4), de forma a reproduzir a seqüência numérica que reproduz um sinal do tipo degrau unitário obtém-se

L + + + + =₁ −1 −2 −3 ) (z z z z F (2.15)

Ao realizar a operação zF(z)−F(z), a função F(z) também pode ser representada pela seguinte função racional

1 ) ( − = z z z F (2.16)

(13)

2.4.2 Função Rampa

Da mesma forma, empregando o procedimento utilizado para a obtenção da transformada Z da função degrau unitário, será representada a seqüência que descreve a rampa unitária f(KT)=KT , que é L + + + = −1 ₂ −2 ₃ −3 ) (z Tz Tz Tz F (2.17)

Ao realizar a operação zF(z)−F(z), a função (2.17) pode ser representada na forma da função racional

(

)

_{( )}

2 3 2 1 1 ) ( 1 ) ( ) ( − = ⇒ + + + + = − − − − z z T z F z z z T z F z zF L (2.18) 2.4.3 Função Exponencial

Na função exponencial _f₍_KT₎₌_e−aKT_{, conforme realizado para os dois casos anteriores,}

utiliza-se a definição de transformada Z apresentada em (2.4), ou seja

L + + + + =₁ − −1 −2 −2 −3 −3 ) (z e z e z e z F aT aT aT _(2.19)

Neste caso, realiza-se um procedimento semelhante aos realizados anteriormente, i.e.

(

+ + + +L

)

= − − − − − − − − 3 3 2 2 1 1 ) ( e z e z e z e z z F e z aT aT aT aT aT (2.20)

Subtraindo (2.20) de F(z)obtém-se a expressão

aT aT aT _z _e z z F e z z F z F e z − − − ( )− ( )= ⇒ ( )= ₋ (2.21) 2.4.4 Função Seno

Para a função senoidal f(t)=sen(ωt), tem-se a seguinte função amostrada:

∑

∞ = = 0 ) ( ) ( K KT sen KT f ω (2.22)

Para obtenção de uma forma fechada da transformada Z do sinal f(t)=sen(ωt), há de se considerar as seguintes identidades:

j e e T sen jT jT 2 ) (ω = ω − −ω ; 2 T j T j _e e T) cos(ω = ω + −ω e ₁ 0 1 1 − ∞ = − − =

∑

x _x k k _(2.23)

Substituindo as relações apresentadas em (2.23) em (2.22) e aplicando a transformada Z tem-se:

( )

∑

(

)

∑

∞ = − ∞ = ∞ = − − − = − = 0 0 0 2 1 2 1 2 ) ( K KT j K KT j K K KT j KT j e j e j z j e e z F ω ω ω ω _(2.24)

Uma vez que ₁

0 1 1 − ∞ = − − =

∑

x _x k k _{, tem-se:}

(

)

(

)

⎟⎟_⎠⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − − − ₂ ₁ 1 2 1 ) ( _j_T _j_T ₂ j_jT_T j_jT_T e e z z e e z j e z z e z z j z F _ω _ω ω_ω ω_ω (2.25) 1 ) cos( 2 ) ( ) ( ₂ + − = T z z T sen z z F ω ω _(2.26)

A Tabela 2.1, apresentada a seguir, estabelece a relação entre as funções de tempo contínuo e discreto e as respectivas transformadas de Laplace e transformadas Z de cada uma delas.

Tabela 2.1: Representação de algumas funções em tempo contínuo e discreto e suas respectivas transformadas.

f(t) F(s) f(KT) F(z) 1. δ(t) 1 δ(KT) 1 2. δ(t−KT) _e−sKT _δ₍_t₋_KT₎ _z−K 3. u(t) s 1 _u₍_KT₎ 1 − z z 4. t 1₂ s KT

( )

_z₋₁2 z T 5. _e−at a s+ 1 _aKT e− aT e z z − − 6. sen(ω t) ₂ ₂ ω ω + s sen(ωKT) _z2₋2_z_cos( _T₎₊1 ) T ( sen z ω ω 7. cos(ω t) ₂ ₂ ω + s s ) KT cos(ω _z

(

_z_cos( _T₎ _e

)

aT ) T cos( z z 2 2₋₂ ₊ − − ω ω 8. _e−at_sen₍_ω_t₎ 2 2 _ω ω + + )a s ( e sen( KT) aKT _ω − aT aT aT e ) T cos( ze z ) T ( sen ze 2 2 ₂ − − − + − ω ω 9. _e−at_cos(_ω_t₎ 2 2₊_ω + + ) a s ( a s ) KT cos( e−aKT _ω aT aT aT e ) T cos( ze z ) T cos( ze z 2 2 2 2 − − − + − − ω ω

2.5 Propriedades da Transformada Z

Serão apresentadas a seguir duas definições que serão empregadas para estabelecer as propriedades de uma classe de sistemas denominados lineares e invariantes no tempo - LTI. Tais definições serão utilizadas na seqüência para a proposição e o entendimento da operação de convolução entre funções de tempo discreto e sua relação com funções no domínio transformado.

2.5.1 Linearidade:

Uma função f(x)é dita linear se f(αx1+βx2)=αf(x1)+βf(x2). Este resultado aplicado

a definição de transformada Z resulta em:

{

}

{

}

∑

∞ = − ∞ = − ∞ = − + = + = + 0 2 0 1 0 1 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K K K K K K z KT f z KT f z KT f KT f KT f KT f Z β α β α β α ) ( ) ( 2 1 z F z F β α + = (2.27) 2.5.2 Estacionariedade

Um sistema será dito estacionário, ou invariante no tempo, se quando aplicado ao

sistema um sinal de entrada deslocado no tempo implicar em um sinal de saída, com as mesmas características do sinal de saída para uma entrada não deslocada no tempo, deslocado no tempo. Para exemplificar este conceito considera-se um sistema em repouso, sujeito a um sinal de

(14)

entrada u(T) que responde com um sinal de saída y(T). Admitindo o mesmo sistema em repouso, se for aplicado a este sistema o mesmo sinal de entrada deslocado no tempo u(T−KT), o sinal de saída resultante deverá ser idêntico ao sinal y(T), porém com o mesmo deslocamento no tempo considerado para o sinal de entrada, isto é y(T−KT).

2.6 Convolução

Conforme [2], o sinal de saída de um sistema linear e invariante no tempo – LTI, pode ser determinado a partir do conhecimento do sinal de entrada e da função de resposta ao impulso do sistema que se quer determinar a saída. Utilizando o princípio da superposição, aplicável a sistemas LTI, o sinal de saída do sistema é determinado pela somatória dos impulsos ponderados com os valores do sinal de entrada deslocados no tempo. Esta operação é chamada de convolução, que é matematicamente definida como

∫

∞ − = 0 τ τ τ)g(t )d ( u ) t ( y (2.28)

onde y(t) é o sinal de saída do sistema, u(t) é o sinal de entrada do sistema e g(t) é a função de resposta ao impulso do sistema considerado. Escrevendo a equação (2.28) na sua forma equivalente em tempo discreto, tem-se a expressão

∑

∞ = − = 0 J ) JT KT ( g ) JT ( u ) KT ( y (2.29)

Empregar em (2.29) a definição apresentada em (2.3) é o passo inicial para a obtenção da transformada Z da operação de convolução no tempo, ou seja

∑ ∑

∑

∞ = ∞ = − ∞ = − ₌ ₋ = 0 0 0 K J K K K _z _u₍_JT₎_g₍_KT _JT₎ z ) KT ( y ) z ( Y (2.30)

A equação (2.30) pode ser convenientemente rescrita, alterando a ordem da somatória em K em J e adicionalmente considerando L=K−J, resultando em (2.31)

) J L ( J L z ) LT ( g ) JT ( u ) z ( Y − + ∞ = ∞ =

∑

= 0 0 (2.31) que ainda pode ser representada na forma

) z ( G ) z ( U z ) LT ( g z ) JT ( u ) z ( Y ) z ( G L L ) z ( U J J = = ∞ − = − ∞ =

∑

4 4 3 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 10 0 (2.32) Portanto, a convolução de dois sinais representados em tempo discreto é, de acordo com o resultado apresentado em (2.32), o produto das transformadas Z de cada um dos sinais envolvidos. Este resultado é análogo ao obtido para sinais de tempo contínuo, onde a operação de convolução dos sinais representados no domínio do tempo é equivalente no domínio da freqüência ao produto das transformadas de Laplace dos sinais envolvidos, ou seja

) s ( G ) s ( U ) s ( Y d ) t ( g ) ( u ) t ( y =

∫

− ⇒ = ∞ 0 τ τ τ (2.33)

As duas propriedades apresentadas aqui serão utilizadas respectivamente na obtenção das transformadas Z inversas e nas operações e sínteses de diagramas de blocos com sinais e funções descritos no domínio Z.

2.7 Transformada Z Inversa

A obtenção de funções em tempo discreto a partir das mesmas funções representadas no domínio Z pode ser realizada empregando dois métodos distintos, apresentados a seguir.

2.7.1 Método das Frações Parciais

O primeiro deles, também empregado para obtenção de funções em tempo contínuo a partir das mesmas funções representadas no domínio da freqüência, é o método das frações parciais. O exemplo 2.1 será utilizado para ilustrar o método das frações parciais.

Exemplo 2.1: [5]

Será considerado neste exemplo que se deseja obter a função em tempo discreto que é representada no domínio Z pela seguinte função:

) . z )( . z ( z . ) z ( F 7 0 5 0 5 0 − − = (2.34)

O primeiro passo a ser empregado para utilizar o método das frações parciais é rescrever a expressão de interesse, neste caso a equação (2.34), em uma soma de termos preferencialmente familiares (ex.: termos apresentados na tabela 2.1). No caso da equação (2.34) tem-se:

) . z )( . z ( . . z B . z A z ) z ( F 7 0 5 0 5 0 7 0 5 0 + − = − − − = (2.35)

De (2.35) pode-se determinar os valores de A e B, ou seja

5 2 5 2 5 0 5 0 7 0. ) B(z . ) . A . e B . z ( A − + − = ⇒ =− = (2.36)

Desta forma, F(z) poderá ser rescrita convenientemente como

K K _.₍ _. ₎ ) . ( . ) KT ( f . z z . . z z . ) z ( F 2505 2507 7 0 5 2 5 0 5 2 ⇒ =− + − + − − = (2.37)

que é a função em tempo discreto que representa a transformada Z inversa de F(z). Ainda, se for de interesse representar a função amostrada f*(t)_{pode-se, a partir de (2.37),}

determinar esta função:

[

.( . ) .( . )

]

(t KT) ) KT t ( ) KT ( f ) t ( f K K K K * ₌

∑

₋ ₌

∑

∞ ₋ ₊ ₋ = ∞ = δ δ 0 0 7 0 5 2 5 0 5 2 (2.38)

As quatro primeiras amostras deste sinal serão obtidas fazendo K=0,1,2, e 3, resultando em ) T t ( . ) T t ( . ) T t ( . ) t ( ) t ( f* ₌₀_δ ₊₀₅_δ ₋ ₊₀₆_δ ₋₂ ₊₀₅₄₅_δ ₋₃ _(2.39)

A Figura 2.6 apresenta a resposta simulada de f*(t) para 10 amostras. Note os coeficientes de cada uma das amostras.

(15)

2.7.2 Método da Divisão Longa

O segundo método empregado, denominado de método da divisão longa, diferentemente do método das frações parciais, não resulta em uma forma fechada para o sinal de tempo discreto conforme a apresentada em (2.37). No entanto, empregando o método da divisão longa chega-se diretamente a função amostrada f*(t)_.

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − + − + − = − − = − − − 4 4 3 4 4 2 1 3 2 1 divisão da resto divisão da eira int parte z . . z . z . . z . . z . z z . ) . s )( . s ( z . ) z ( F 1 1 1 2 175 0 6 0 5 0 175 0 6 0 5 0 35 0 2 1 5 0 7 0 5 0 5 0 _(2.40)

Da forma com que foi apresentada a função F(z) em (2.40), pode-se representá-la novamente relacionando-a com a parte inteira e com o resto da divisão, i.e.

35 0 2 1 175 0 6 0 5 0 1 ₂ 1 . z . z z . . z . ) z ( F + − − + = − − _(2.41)

O mesmo procedimento da divisão longa é repetido para a parte representada pelo quociente de funções em (2.41), resultando em

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − + − + − − = − − − − − − − − − − 4 4 4 3 4 4 4 2 1 3 2 1 divisão da resto divisão da eira int parte z . z . z . z . z . . . z . z z . . ) . s )( . s ( z . . 2 1 2 2 1 2 1 1 210 0 545 0 6 0 210 0 720 0 6 0 35 0 2 1 175 0 6 0 7 0 5 0 175 0 6 0 _(2.42)

Análogo a representação (2.41) da função F(z), tem-se agora

35 0 2 1 210 0 545 0 6 0 5 0 1 2 ₂ 1 2 . z . z z . z . z . z . ) z ( F + − − + + = − − − − _(2.43)

Do equacionamento apresentado em (2.43), utilizando-se das relações (2.1) e (2.2) anteriormente apresentadas, conclui-se que os quatro primeiros termos do sinal amostrado f*(t)

são dados por

) T t ( . ) T t ( . ) T t ( . ) t ( ) t ( f* ₌₀_δ ₊₀₅_δ ₋ ₊₀₆_δ ₋₂ ₊₀₅₄₅_δ ₋₃ _(2.44)

que coincide exatamente com o sinal representado em (2.39).

2.8 Problemas Propostos

1. Obter os valores de y(KT) quando 2 3 ) ( ₂ + − = z z z z

Y , para K=0 a 4. Obtenha utilizando uma forma fechada de representação de y(KT) em função de K.

Resposta: y(0)=0; y(1)=1; y(2)=3; y(3)=7; y(4)=15;

2. Um sistema apresenta uma resposta y(KT)=KT para K≥0. Obter Y(z) para esta resposta. Resposta:

(

)

2 1 . ) ( − = z z T z Y

3. A resposta de um sistema pode ser expressa por:

(

)

(

T

)

T e z e z z z Y ₁₀_. . 10 1 . 1 ) ( ₋ − − − − =

Utilizando o método da divisão longa:

a) Obtenha a resposta y(t) amostrada com T=0.1; b) Obtenha a resposta y(t) amostrada com T=0.05;

Resposta: a) ... ) 5 ( 979 . 0 ) 4 ( 967 . 0 ) 3 ( 94 . 0 ) 2 ( 86 . 0 ) ( 63 . 0 ) ( 0 ) ( *_t ₌ _t ₊ _t₋_T ₊ _t₋ _T ₊ _t₋ _T ₊ _t₋ _T ₊ _t₋ _T ₊ y δ δ δ δ δ δ

2.9 Bibliografia

[1] K. J. Aströn and B. Wittenmark, Computer Controlled System – Theory and Design, Prentice Hall, New Jersey, 1984.

[2] S. Haykin and B. V. Veen, Sinais e Sistemas, Editora Bookman, 1999.

[3] G. F. Franklin, J. D. Powell and M. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Addison Wesley, Third Edition, 1997.

[4] G. F. Franklin, J. D. Powell and A. E. Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley, 1991.

[5] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC – Livros Técnicos e Científicos, Terceira Edição. [6] H. P. Hsu, Sinais e Sistemas, Coleção Schaum, Editora Bookman, 2004.