Método das Forças. Exemplos de Aplicação em Vigas

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(1)Método das Forças Exemplos de Aplicação em Vigas.

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(3) Método das Forças. Vigas. EXEMPLO1: Analise a viga da figura por meio do Método das Forças considerando como incógnita redundante o momento fletor no apoio B. Despreze o efeito das deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes.. Figura 1 – Viga contínua. Figura 2 – Estrutura isostática fundamental. Propriedades geométricas da seção I AB =. 0,20 ⋅ (0,70) 3 12. ⇒. 0,20 ⋅ (0,50) 3 12 I AB = 2,744 ⋅ I BC. I BC =. I AB = 5,71667 ⋅10 −3 m 4. ⇒. I BC = 2,08333 ⋅ 10 −3 m 4. ⇒. I AB = 2,744 ⋅ I. Módulo de elasticidade constante: E = constante. Fase L. Figura 3 – Fase L. 3.

(4) Método das Forças. Vigas. Figura 4 – Diagrama de momento fletor – Fase L. DQL1 =. M L m1 dx M m dx +∫ L 1 EI EI AB BC. ∫. 20 ⋅ (8) 3 20 ⋅ (5) 3 48 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ (5 + 2) + + 24 ⋅ E ⋅ (2,744 ⋅ I ) 24 ⋅ EI 6 ⋅ 5 ⋅ EI 155,49 104,167 67,20 326,857 DQL1 = + + ⇒ DQL1 = EI EI EI EI DQL1 =. Fase 1. Figura 5 – Fase 1. Figura 6 – Diagrama de momento fletor – Fase 1 (m1 ) 2 dx (m1 ) 2 dx + ∫ EI BC∫ EI AB 1⋅ 8 1⋅ 5 F11 = + 3 ⋅ E ⋅ (2,744 ⋅ I ) 3 ⋅ EI. F11 =. 4. ⇒. F11 =. 2,6385 EI.

(5) Método das Forças. Vigas. Cálculo da redundante ⇒. D QL + F Q = D Q. 326,857 2,6385 ⋅ Q1 + =0 EI EI. D QL1 + F11Q1 = D Q1 = 0 ⇒. Q1 = − 123,88 kNm. Cálculo dos esforços nas barras 20 ⋅ (8) 2 + 123,88 = 0 2 20 ⋅ (8) 2 8 ⋅ VBE − − 123,88 = 0 2 20 ⋅ (5) 2 − 48 ⋅ 2 − 123,88 = 0 5 ⋅ VBD − 2 20 ⋅ (5) 2 5 ⋅ VC − − 48 ⋅ 3 + 123,88 = 0 2. 8 ⋅VA −. ⇒. V A = 64,52 kN. ⇒. VBE = 95,49 kN. ⇒. V BD = 93,98 kN. ⇒. VVCA = 54,02 kN. Pontos de cortante nulo Vão AB. 64,52 − 20 ⋅ X AB = 0. ⇒. X AB = 3,23 m. Vão BC VMD = − 54,02 + 20 ⋅ 2 = − 14,02 kN VME = − 54,02 + 20 ⋅ 2 + 48 = 33,98 kN (Logo tem-se que a força cortante muda de sinal sob o ponto M) Pontos de momento máximo Vão AB M MÁX = 3,23 ⋅ 64,52 −. 20 ⋅ (3,23) 2 2. ⇒. M MÁX =104,05 kNm. Vão BC (sob o ponto M) M MÁX = 54,02 ⋅ 2 −. 20 ⋅ (2) 2 2. ⇒. M MÁX = 68,05 kNm. 5.

(6) Método das Forças. Vigas. Diagrama de esforços solicitantes. Figura 7 – Diagrama de força cortante. Figura 8 – Diagrama de momento fletor. 6.

(7) Método das Forças. Vigas. EXEMPLO2: Analise a viga da figura através do Método das Forças considerando como incógnitas redundantes os momentos fletores nos apoios A e B. Despreze o efeito das deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes. Dado: EI constante em todos os vãos da viga.. Figura 9 – Viga contínua. Figura 10 – Estrutura isostática fundamental. Fase L. Figura 11 – Fase L. Figura 12 – Diagrama de momento fletor – Fase L. 7.

(8) Método das Forças. Vigas. DQL1 =. M L m1 dx M m dx M m dx +∫ L 1 +∫ L 1 EI EI EI AB BC CD. DQL1 =. 12 ⋅ (6) 3 24 ⋅ EI. DQL 2 =. M L m2 dx M m dx M m dx +∫ L 2 +∫ L 2 EI EI EI AB BC CD. ∫. ⇒. DQL1 =. 108 EI. ∫. 12 ⋅ (6) 3 12 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ [4 ⋅ 1 ⋅ (3 + 4) − (2) 2 ] 60 ⋅ (4) 2 30 ⋅ 4 DQL 2 = + + − 24 ⋅ EI 24 ⋅ EI ⋅ 4 16 ⋅ EI 6 ⋅ EI DQL 2 =. 108 18 60 20 + + + EI EI EI EI. ⇒. DQL 2 =. 166 EI. Fase 1. Figura 13 – Fase 1. Figura 14 – Diagrama de momento fletor – Fase 1. (m1 ) 2 dx (m1 ) 2 dx (m1 ) 2 dx F11 = ∫ +∫ +∫ EI EI EI AB BC CD 6 2 F11 = ⇒ F11 = 3 ⋅ EI EI F12 = F21 =. 8. 6 6 ⋅ EI. ⇒. F12 = F21 =. 1 EI. F12 = F21 =. m1 m2 dx m m dx m m dx +∫ 1 2 +∫ 1 2 EI EI EI AB BC CD. ∫.

(9) Método das Forças. Vigas. Fase 2. Figura 15 – Fase 2. Figura 16 –Diagrama de momento fletor – Fase 2. F22 =. (m2 ) 2 dx (m2 ) 2 dx (m2 ) 2 dx + + ∫ EI BC∫ EI CD∫ EI AB. F22 =. 2 4 + EI 3 ⋅ EI. ⇒. F22 =. 10 3 ⋅ EI. Cálculo das redundantes −1. Q = − F D QL. 0  DQ1  DQ =   =   0  DQ 2  1  2 1 10 / 3   1 [20 / 3 − 1] F= ( EI ) 2. F=. 1 EI. ⇒. F=. 17 3 ⋅ ( EI ) 2. 10 / 3 − 1 1 3 ⋅ ( EI ) 2 10 / 3 − 1 3 ⋅ ⇒ F −1 = ⋅ EI    2 2  EI 17  − 1 17  −1 1 108 ⋅ D QL = EI 166 − 34,24 − 3 194  ⋅ ⇒ Q= Q =   kN ⋅ m 17 224  − 39,53 F −1 =. 9.

(10) Método das Forças. Vigas. Esforços nas barras 12 ⋅ (6) 2 − 34,24 + 39,53 = 0 2 12 ⋅ (6) 2 6 ⋅ VBE − + 34,24 − 39,53 = 0 2 4 ⋅ VBD − 12 ⋅ 2 ⋅ 3 − 60 ⋅ 2 − 39,53 + 30 = 0 6 ⋅VA −. ⇒. V A = 35,12 kN. ⇒. VBE = 36,88 kN. ⇒. VBD = 50,38 kN. ⇒. VCE = 33,62 kN. ⇒. VCD = 20,00 kN. 2. 12 ⋅ (2) − 60 ⋅ 2 + 39,53 − 30 = 0 2 1,50 ⋅ VCD − 30 = 0 4 ⋅ VCE −. Pontos de cortante nulo Vão AB. ⇒. X AB = 2,93 m. VEE = 50,38 −12 ⋅ 2. ⇒. VEE = 26,38 kN. VED = 50,38 −12 ⋅ 2 − 60. ⇒. V ED = − 33,62 kN. 35,12 −12 ⋅ X AB = 0. Vão BC. Logo o momento máximo no vão BC será no ponto E.. Pontos de momento máximo Vão AB M MÁX = 2,93 ⋅ 35,12 −. 12 ⋅ (2,93) 2 − 34,24 2. Momento no ponto central do vão 12 ⋅ (3) 2 M M = 35,12 ⋅ 3 − − 34,24 2. ⇒. M MÁX =17,15 kNm. ⇒. M M =17,12 kNm. ⇒. M MÁX = 37,23 kNm. Vão BC M MÁX = 50,38 ⋅ 2 −. 10. 12 ⋅ (2) 2 − 39,53 2.

(11) Método das Forças. Vigas. Diagrama de esforços solicitantes. Figura 17 – Diagrama de força cortante. Figura 18 – Diagrama de momento fletor. 11.

(12) Método das Forças. Vigas. EXEMPLO3: Resolver a viga da figura pelo Método das Forças. Considerar apenas as deformações por flexão. Dado: EI constante.. Figura 19 – Viga Contínua. Figura 20 – Estrutura isostática fundamental. DQ1 = 0 DQ 2 = 0 Fase L. Figura 21 – Fase L. Figura 22 – Diagrama de momento fletor – Fase L. 12.

(13) Método das Forças. Vigas. Fase 1. Figura 23 – Fase 1. Figura 24 – Diagrama de momento fletor – Fase 1. Fase 2. Figura 25 – Fase 2. Figura 26 – Diagrama de momento fletor – Fase 2. 13.

(14) Método das Forças. Vigas. Cálculo dos deslocamentos 8. D QL1 =. 2. 2. M L m1 ∫0 EI dx = ∫0 (. ) dx. x. 8. 0. ) dx + ∫ (. x. ) dx. x. ) dx. 2. ) dx. + ∫(. x. ) dx. x. ) dx. 0 2. ∫(. ) dx + ∫ (. x. 0. 0. Cálculo dos coeficientes de flexibilidade 4. mm F11 = ∫ 1 1 dx = ∫ ( EI 0 0 8. F12 =. m 1m 2 dx = ∫0 EI 8. )2 dx = 21,3333 EI. 4. ∫(. x. ) dx. =. 0. 8. m m F22 = ∫ 2 2 dx = ∫ ( EI 0 0. 53,3333 EI. )2 dx = 170 ,6666 EI. Fase Final. Cálculo das redundantes D QL =. 1  346,666    EI 1293,333. D Q = D QL + F Q. F=. 1 21,3333 53,3333  EI 53,3333 170,6666. Q = F −1 {D Q − D QL }.  0,21428 − 0,06696 F −1 = EI   − 0,06696 0,02678 .  0,21428 − 0,06696 1  346,666   12,3214  Q = − EI  =  ×  − 0,06696 0,02678  EI 1293,333 − 11,4285. 14. 346 ,6666 EI. 2. x. 2. 8. =. 0. M Lm 2 dx = ∫ ( EI 0 +. x. 2. ∫( 0. D QL 2 = ∫. ∫( 0. 2. +. +. =. 1293 ,3333 EI.

(15) Método das Forças. Vigas. Cálculo das demais reações de apoio. Figura 27 – Reações de apoio. ∑V = 0 ⇒ V. A. + 12,3214 − 11,4285 − 20 − 10 + 10 = 0. V A = 19,1071 kN. ∑M. A.  3⋅ 4  = 0 ⇒ M A − 20 ⋅ 2 + 40 + 12,3214 ⋅ 4 − 10 ⋅   + 10 ⋅ 8 − 11,4285 ⋅ 8 = 0  2 . M A = 22,1429 kNm. Diagrama de esforços solicitantes. Figura 28 – Diagrama de força cortante. Figura 29 – Diagrama de momento fletor. 15.

(16) Método das Forças. Vigas. EXEMPLO4: Calcule a viga contínua abaixo usando o método das forças e em seguida trace os diagramas finais de força cortante e momento fletor. Despreze as deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes.. Figura 30 – Viga contínua Dados: Seção transversal das barras AB, DE e EF – 20cm x 50cm. Seção transversal das barras BC e CD – 20cm x 40cm. Grau de indeterminação estática – (g.i.e.): -. nº de vinculos externos = 2+1+1+1+1=6 nº de equações de equilibrio = 3 g.i.e. = 6-3=3. Figura 31 – Estrutura isostática fundamental Propriedades geométricas das seções transversais Barras AB, DE e EF A = 20 ⋅ 50 = 1000cm 2 = 0,1m 2 20 ⋅ 50 3 = 208333,33 cm 4 12 I = 2,0833 × 10 −3 m 4 I=. Barras BC e CD A = 20 ⋅ 40 = 800cm 2 = 0,08m 2 20 ⋅ 40 3 = 106666,67 cm 4 12 I = 1,0667 × 10 −3 m 4 I=. 16.

(17) Método das Forças. Vigas. Fase L. Figura 32 – Fase L •. Utilizando tabelas de deslocamentos em vigas isostáticas:. - DQL1 = DQL1 '+ DQL1 ' ' DQL1 ' =. 20 ⋅ 4 3 53,3333 = 24 ⋅ EI AB EI AB. DQL1 =. 53,3333 22,5 46691,257 + = EI AB EI BC E. DQL1 ' ' =. 20 ⋅ 33 22,5 = 24 ⋅ EI BC EI BC. - DQL 2 = DQL 2 '+ DQL 2 ' ' DQL 2 ' =. 20 ⋅ 33 22,5 = 24 ⋅ EI BC EI BC. DQL 2 ' ' =. 20 ⋅ 3 ⋅ 2 40 ⋅ 4 2 30 40 70 4 ⋅1⋅ (3 + 4) − 2 2 + = + = 24 ⋅ 4 ⋅ EI CD 16 ⋅ EI CD EI CD EI CD EI CD. DQL 2 =. 22,5 70 86691,659 + = EI BC EI CD E. [. ]. - DQL 3 = DQL 3 '+ DQL 3 ' ' 20 ⋅1⋅ 2 40 ⋅ 4 2 23,3333 40 63,3333 2 DQL 3 ' = 4 ⋅ 3 ⋅ (1 + 4) − 2 + = + = 24 ⋅ 4 ⋅ EI CD 16 ⋅ EI CD EI CD EI CD EI CD. [. ]. DQL 3 ' ' =. 60 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ (3 + 5) 10 ⋅ 2 ⋅ 5 96 16,6667 79,3333 − = − = 6 ⋅ 5 ⋅ EI DE 6 ⋅ EI DE EI DE EI DE EI DE. DQL 3 =. 63,3333 79,3333 97442,540 + = EI CD EI DE E. 17.

(18) Método das Forças. Vigas. Fase 1 (Q1 = 1 ; Q2 = 0 ; Q3 = 0). Figura 33 – Fase 1 F11 = F '11 + F ' '11 F '11 =. 1⋅ 4 3 ⋅ EI AB. F21 =. 1⋅ 3 468,604 = 6 ⋅ EI BC E. F ' '11 =. 1⋅ 3 3 ⋅ EI BC. ⇒. F11 =. 1577,310 E. F31 = 0. Fase 2 (Q1 = 0 ; Q2 = 1 ; Q3 = 0). Figura 34 – Fase 2 F21 =. 1⋅ 3 468,604 = 6 ⋅ EI BC E. F22 = F '22 + F ' ' 22 F ' 22 =. 1⋅ 3 3 ⋅ EI BC. F32 =. 1⋅ 4 624,805 = 6 ⋅ EI CD E. 18. F ' ' 22 =. 1⋅ 4 3 ⋅ EI CD. ⇒. F22 =. 2186,785 E.

(19) Método das Forças. Vigas. Fase 3 (Q1 = 0 ; Q2 = 0 ; Q3 = 1). Figura 35 – Fase 3 F31 = 0 F23 =. 1⋅ 4 624,805 = 6 ⋅ EI CD E. F33 = F '33 + F ' '33 F '33 =. 1⋅ 4 3 ⋅ EI CD. F ' '33 =. 1⋅ 5 3 ⋅ EI DE. ⇒. F33 =. 2049,738 E. Fase Final. Cálculo das redundantes: D Q = D QL + F ⋅ Q. 0   D Q = 0 0  . D QL. 0 46691,257 1577,310 468,604  1  1   = × 86691,659  F =  468,604 2186,785 624,805  × E  E   0 624,805 2049,738 97442,540. Resolvendo-se o sistema: − 22,651 kNm    Q = − 23,395 kNm − 39,880 kNm   ESTRUTURA FINAL:. Figura 36 – Indicação dos momentos fletores nos apoios. 19.

(20) Método das Forças. Vigas. Cálculo das reações de apoio. ∑M. B. ∑M. =0. 20 ⋅ 4 2 4VA − + 22,651 = 0 2. ∑M. A. VA = 34,34kN. D. VB ' = 45,66kN. =0. 4VC ' '−(20 ⋅ 2 ⋅ 3) − (40 ⋅ 2) − 23,395 + 39,880 = 0 VC ' ' = 45,88kN. ∑M. C. B. 20 ⋅ 3 2 + 23,395 = 0 2. V B ' ' = 29,75 kN. =0. − 3VC '+. 20 ⋅ 3 2 + 23,395 − 22,651 = 0 VC ' = 30,25 kN 2. ∑M. =0. E. 5V D ' '−(60 ⋅ 3) − 39,880 + 20,00 = 0 V D ' ' = 39,98kN. ∑M. =0 2. − 4V D '+39,880 + (40 ⋅ 2) +. 20 ⋅ 2 − 23,395 = 0 2. VD ' = 34,12kN. V A = 34,34 kN VB = VB' + VB'' = 75,41 kN. Resumindo: VC = VC' + VC'' = 76,13 kN VD = VD' + V D'' = 74,10 kN VE = 30,02. 20. =0. 3V B ' '−22,65 −. ∑M. =0. 20 ⋅ 4 2 − 4VB '+ + 22,651 = 0 2. ∑M. C. kN. D. =0. − 5VE + 20 + (60 ⋅ 2) + (10 ⋅ 5) − 39,880 = 0 VE = 30,02kN.

(21) Método das Forças. Vigas. DIAGRAMAS FINAIS. Figura 37 - Diagrama de força cortante. Figura 38 - Diagrama de momento fletor. Cálculo dos coeficientes do exemplo 4 usando o princípio dos trabalhos virtuais (P.T.V.):. Diagrama de momento fletor nas diversas fases:. Figura 39 - Diagramas da FASE L. Figura 40 - Diagramas da FASE 1. 21.

(22) Método das Forças. Vigas. Figura 41 - Diagramas da FASE 2. Figura 42 - Diagramas da FASE 3 FASE L : DQLi = ∫. Cálculo dos deslocamentos: 4. DQL1 =. 1 ( EI AB ∫0. DQL1 =. 1 EI AB. DQL 2 =. 1 EI BC. 3. )dx +. 1  40 ⋅ 1 ⋅ 4   +  3  EI BC. 1 ( EI BC ∫0. (. ) dx +. 0 2. 1 EI CD. ∫. (. ) dx +. 0. 2. 1 EI CD. ∫. 1 EI CD. 2. 1 EI CD 1 EI CD. ∫. (. )dx +. 0 2. ∫. 1 ) dx + EI DE. (. 0. 1 EI DE. 3. ∫ 0. 1 EI CD. (. ) dx. ) dx+. 2. ∫. (. ) dx. 0. 1  22,5 ⋅ 1 ⋅ 3  1  10 ⋅ (1 + 0,5) ⋅ 2  1  +  + EI BC  3 3  EI CD   EI CD 1 (22,5 + 10 + 40 + 20) = 92,5 = 86691,659 = EI BC EI BC E. DQL 3 =. 22. (. 0. DQL 2 = DQL 2. ) dx.  22,5 ⋅ 1 ⋅ 3  53,33 22,5 46691,257 + =  = 3 EI   EI AB EI BC. 3. ∫. M L mi dx EI. 1  60 ⋅ 0,5 ⋅ 2   60(1 + 2 ⋅ 0,5) ⋅ 2   +  = 6 3   EI CD  . (I BC. = I CD ). 2. ∫. (. ) dx +. 0 2. ∫ 0. (. ) dx +.

(23) Método das Forças. Vigas. 1  10 ⋅ 0,5 ⋅ 2  1  60 ⋅ 0,5 ⋅ 2  1  60(2 ⋅ 0,5 + 1) ⋅ 2  1  64 ⋅ (1 + 2 ⋅ 0,6) ⋅ 2   +  +  +   EI CD  3 3 6 6  EI CD   EI CD   EI DE   1  0,6(2 ⋅ 64 − 20)  + ⋅ 3 =  EI DE  6  DQL 3 =. DQL 3 =. 1 (3,33 + 20 + 40) + 1 (46,93 + 32,4) = 63,33 + 79,33 = 97442,540 EI CD EI DE EI CD EI DE E. Coeficientes de flexibilidade: F11 =. 1 EI AB. 1 F11 = EI AB. F21 =. F21 =. 1 EI BC. 1 EI BC. 1 F22 = EI BC. F23 =. 1 EI CD. 1 F23 = EI CD. F33 =. ∫. (. )2 dx +. 0.  (1)2 ⋅ 4  1    3  + EI BC  . 1 EI CD. 1 F33 = EI CD. 1 EI BC. 3. ∫. (. )2 dx. 0.  (1)2 ⋅ 3  640,10 937,21 1577,31    3 = E + E = E  . 3. ∫. (. ) dx. 0. 1  1 ⋅ 1 ⋅ 3  468,60  = EI BC  6  E. F31 = 0. F22 =. 4. ⇒. ∫. F12 =. 468,60 E. F13 = 0. 3. (. ⇒. )2 dx +. 0.  (1)2 ⋅ 3  1    3  + EI CD  . 1 EI CD. 4. ∫. )2 dx. (. 0.  (1)2 ⋅ 4  937,21 1249,61 2186,81   =  3 = E + E E  . 4. ∫. (. ) dx. 0.  (1)2 ⋅ 4  624,8    6 = E   4. ∫. (. )2 dx +. 0.  (1)2 ⋅ 4  1    3  + EI DE  . ⇒. 1 EI DE. F32 =. 624,8 E. 5. ∫. (. )2 dx. 0.  (1)2 ⋅ 5  1249,61 800 2049,74   + =  3 = E E E  . 23.

(24) Método das Forças. Vigas. EXEMPLO5: Calcule as reações de apoio da viga da figura utilizando o método das forças. Considere as deformações devidas à força cortante e ao momento fletor. A seção transversal usada trata-se de um perfil soldado de aço, padrão VS-800x111 , conforme figura. Dados: E=2,1x104 kN/cm2 (aço) G=8x103 kN/cm2 (aço). Figura 43 - Viga. A = 142cm 2 AALMA = 0,8 ⋅ 77,5 = 62cm 2 fS =. A AALMA. =. 142 = 2,29 62. I = 155074cm 4. G.I.E = 3-2=1 Estrutura isostática fundamental:. Figura 44 - Estrutura isostática fundamental Fase L. Figura 45 - Fase L    2,29 ⋅ 0,45 ⋅ 1000 2 0,45 ⋅ 1000 4  +  DQL1 = −  4 3 8 ⋅ 2 , 1 × 10 ⋅ 155074    2 ⋅ 8 × 10 ⋅ 142  24.   = −(17,2729 + 0,4536) = −17,7265cm .

(25) Método das Forças. Vigas. Fase 1. Figura 46 - Fase 1.    2,29 ⋅1000  1000 3 −3  +  F11 =   = 0,10236 + 2,0158 × 10 = 0,10437 4 3  3 ⋅ 2,1× 10 ⋅155074   8 × 10 ⋅142  Equação de compatibilidade: DQ1 = 0 DQ1 = DQL1 + F11 ⋅ Q1 = 0. Q1 = −. DQL1 F11. =. 17,7265 = 169,84kN (Reação vertical no apoio B) 0,10437. Cálculo das reações de apoio finais: (usando o método da superposição de efeitos) V A = V AL + V A1 ⋅ Q1 = 450 − 1 ⋅169,84 = 280,16kN (para cima) M A = M AL + M 1A ⋅ Q1 = 2250 − 10 ⋅169,84 = 551,60kNm (sentido anti-horário) Caso fossem desprezadas as deformações devidas à força cortante: DQL1 = − F11 =. qL4 = −17,2729cm 8EI. L3 = 0,1024 3EI. Q1 = 168,75 KN Demais reações de apoio :. V A = 281,25kN M A = 562,5kNm. Erros cometidos devido à não consideração das deformações devidas à força cortante: 168,75 − 169,84 ×100 = 0,64% 169,84. -. Erro% Q1 :. -. Erro % VA :. 281,25 − 280,16 ×100 = 0,38% 280,16. -. Erro % Ma :. 562,50 − 551,60 ×100 = 1,98% 551,60. -. Observação : O cálculo de DQL1 e de F11 se baseou no resultado obtido no exemplo a seguir, onde foi calculada a flecha na extremidade livre da viga em balanço, pelo M.C.U., considerando as deformações devidas ao momento fletor e à força cortante. 25.

(26) Método das Forças. Vigas. EXEMPLO6: Calcule a flecha na extremidade livre da viga em balanço submetida ao carregamento indicado, usando o método da carga unitária. Considere as deformações devidas ao momento fletor e à força cortante.. Figura 47 – Viga em balanço Dados: E, G - material elástico linear isotrópico A,I - constantes geométricas da seção fs - fator de forma para cisalhamento Fase L Estrutura dada submetida ao carregamento real. Figura 48 – Fase L. (Momento fletor). (Força cortante). Figura 49 – Diagramas de força cortante e momento fletor - Fase L. 26.

(27) Método das Forças. Vigas. Para efeito de integração o diagrama ML pode ser decomposto como :. Figura 50 – Decomposição do diagrama de momento fletor Fase U Carrega-se a estrutura dada com uma carga unitária correspondente ao deslocamento que se pretende determinar. No caso, carga unitária vertical aplicada em B.. Figura 51 – Fase U. (Força cortante). (Momento fletor). Figura 52 – Diagramas de força cortante e momento fletor - Fase U Aplicando-se a equação do M.C.U.. M L ⋅ mu V ⋅v dx + ∫ f S L u dx EI GA 2  f 1 1  1 qL  1  qL2   (− L) ⋅ L +  (− L )(L ) + S  (P + qL + P ) ⋅ L  ∆B = −  PL + EI  3  2  3 8    GA  2 ∆ B ⋅1 = ∫.  L3 L   L4 L2  ∆ B = P + fS + fS  + q  GA   8EI 2GA   3EI Observar na resposta acima a influência da carga P, 1ª parcela, na qual está explícita a PL3 influência das deformações de flexão ( ) e a influência das deformações devidas à força 3EI L cortante ( P ⋅ f S ⋅ ). GA L De forma análoga, na 2ª parcela (influência de q) tem-se q (influência das deformações 8 EI L2 de flexão) e f S ⋅ q ⋅ (influência da força cortante). 2GA 27.

(28) Método das Forças. Vigas. EXEMPLO7: Calcule a flecha no meio do vão da viga abaixo, considerando a contribuição da flexão e do cisalhamento.. Dados: E = 2,1× 10 4 kN / cm 2 G = 8 × 103 kN / cm 2 Figura 53 – Viga bi-apoioada Propriedades geométricas da seção:. I = 155074cm 4 AMESA = 80cm 2 AALMA = 62cm 2 A = AMESA + AALM = 142cm 2. Fator de forma para cisalhamento: fS =. A AALMA. =. 142 = 2,29 62. Fase L. Figura 54 = Fase L Fase U. Figura 55 = Fase U. 28.

(29) Método das Forças ∆=∫. Vigas. mM vV dx dx + ∫ f S EI GA. O deslocamento é composto de duas parcelas, uma devida à flexão e outra devida ao cisalhamento.. ∆c. ∆M (infl.do momento). (infl. da força cortante). Utilizando a tabela de integrais de produto, tem-se: - contribuição do momento fletor ( ∆M ). 5. 1 ∆ = EI. ∫. M. 10. ∫. .. 0. 5. Substituindo os valores:. ∆M = 0,018m contribuição da força cortante ( ∆C ). -. f ∆ = S GA C. 5. ∫(. 10. .. 0. ∫ 5. Substituindo os valores:. ∆C = 0,001134m A flecha será então: ∆ = ∆M + ∆C = 0,018 + 0,001134 = 0,01913m A influência da força cortante no deslocamento total é, então: ∆C = 0,0593  → ∆C corresponde a 5,93% do deslocamento total. ∆. 29.

(30)

(31) Método das Forças Exemplos de Aplicação em Treliças.

(32)

(33) Método das Forças. Treliças. EXEMPLO1: Determinar os esforços nas barras da treliça da figura abaixo utilizando o método das forças. Dados: − EA=constante. sen (α ) = 0 ,6 cos (α ) = 0 ,8. Figura 1 – Treliça. Grau de indeterminação estática:. G.I .E = (m + v ) − 2 ⋅ n = (3 + 6) − 2 ⋅ 4 = 1. Q1 = N BD. Figura 2 - Estrutura isostática fundamental Equação de compatibilidade (deslocamento axial relativo na seção transversal da barra BD) : DQ1 = 0. 33.

(34) Método das Forças. Treliças. Fase L. − N AD cos(α ) − N CD cos(α ) + 50 = 0   N AD sen(α ) − N CD sen(α ) − 50 = 0. 2 N AD = 145,83 ⇒ N AD = 72,92.  N AD + N CD = 62,50   N AD − N CD = 83,33. N CD = 62 ,50 − N AD. ⇒ N CD = −10,42. Fase 1. Q1 = 1 ( NBD = 1 ). ∑V = 0 ∴ N ∑ H = 0∴ N. AD. AD. sen(α ) − N CD sen(α ) = 0 ⇒ N AD = N CD cos (α ) + N CD cos (α ) + 1 = 0. 2 N AD cos (α ) = −1 ⇒ N AD = −0,625 ⇒ N CD = −0 ,625. Cálculo dos coeficientes. Barra. Li. {N L }i. {n 1 }i. {N L ⋅ n 1 ⋅ L}i. {(n ) ⋅ L}. AD. 2,5. 72,92. -0,625. -113,94. 0,97656. CD. 2,5. -10,42. -0,625. 16,28. 0,97656. BD. 2,0. 0. 1. 0. 2,0. Σ=. -97,66. 3,953120. 3 − 97,66  N ⋅n ⋅L DQL1 = ∑  L 1  = EA  i EA i =1 . 3  (n )2 ⋅ L  = 3,953120 F11 = ∑  1 EA  i EA i =1 . 34. 2. 1. i.

(35) Método das Forças. Treliças. Cálculo da redundante DQL1 =. − 97,66 EA. F11 =. 3,953120 EA. DQ1 = DQL1 + F11 Q1 = 0. Q1 =. DQ1 − DQL1 F11. =. 0 − (−97,66) = 24,70 3,953120. Esforços axiais finais N i = (N L )i + (n1 )i ⋅ Q1 N AD = 72,92 − 0,625 ⋅ (24,70) = 57,48 kN N CD = −10,42 − 0,625 ⋅ (24,70) = −25,86 kN N BD = Q1 = 24,70 kN. 35.

(36) Método das Forças. Treliças. EXEMPLO2: Calcular a treliça da figura abaixo utilizando o método das forças. Dados: − EA=constante.. Figura 3 – Treliça Grau de indeterminação estática:. G.I .E = (m + v ) − 2 ⋅ n = (6 + 4) − 2 ⋅ 4 = 2 Incógnitas Redundantes: o Q1→ reação horizontal em B o Q2→ força normal na barra 6. Figura 4 - Estrutura isostática fundamental Equações de compatibilidade:. 36. DQ1 = 0 DQ 2 = 0.

(37) Método das Forças. Treliças. Fase L, Fase 1 e Fase 2. Fase L. Fase 1. Fase 2 Figura 5 – Fase L, Fase 1 e Fase 2 Quadro resumo dos esforços nas diversas fases Barra. {EA}i. Li. {N L }i. {n 1 }i. {n 2 }i. 1. EA. 3. 0. 0. − 2. 2. EA. 3. 5. 0. − 2. 3. EA. 3. -10. 0. − 2. 4. EA. 3. 5. -1. − 2. 5. EA. 3 2. −5 2. 2. 1. 6. EA. 3 2. 0. 0. 1. 2 2 2 2. 37.

(38) Método das Forças. Treliças. Cálculo dos coeficientes das matrizes e vetores Barra. {N L ⋅ n 1 ⋅ L}i {N L ⋅ n 2 ⋅ L}i. {(n ) ⋅ L}. {n 1 ⋅ n 2 ⋅ L}i. 0. 0. 1,5. 0. 0. 1,5. 0. 0. 1,5. 2. 1. i. {(n. 2. )2 ⋅ L}i. 1. 0. 0. 2. 0. − 15. 3. 0. 30. 4. -15. − 15. 5. − 30 2. -30. 6 2. 6. 3 2. 6. 0. 0. 0. 0. 3 2. Σ=. -57,4264. -30. 11,4853. 8,1213. 14,4853. 2 2 2. 3. 3 2. 1,5. 6 − 57,4264  N ⋅n ⋅L DQL1 = ∑  L 1  = EA  i EA i =1  6 − 30,0  N ⋅n ⋅L DQL 2 = ∑  L 2  = EA  i EA i =1 .  (n1 )2 ⋅ L  11,4853  = F11 = ∑  EA  i EA i =1  6. 6  n ⋅ n ⋅ L  8,1213 F21 = F12 = ∑  1 2  = EA  i EA i =1  6  (n )2 ⋅ L  = 14,4853 F22 = ∑  2 EA  i EA i =1 . Notar que nos somatórios acima o índice i varia de 1 a 6, onde 6 é o número de barras da treliça.. 38.

(39) Método das Forças. Treliças. Cálculo das redundantes. D QL =. 1 − 57,4264   EA  − 30 . F=. 1 11,4853 8,1213  EA  8,1213 14,4853. D Q = D QL + F Q = 0. Q1 = 5,858 kN Q2 = -1,213 kN. Forças normais finais N i = (N L )i + (n 1 )i ⋅ Q1 + (n 2 )i ⋅ Q 2. (Superposição de efeitos). N1 = 0,858 (barra CD) N2 = 5,858 (barra AB) N3 = - 9,142 (barra AC) N4 = 0 (barra BD) N5 = 0 (barra BC) N6 = - 1,213 (barra AD). 39.

(40) Método das Forças. Treliças. EXEMPLO3: Considerando a treliça da figura e a relação de áreas das suas barras, determinar o valor da área mínima necessária para as barras tracionadas, sendo a tensão admissível do aço igual a 160 Mpa. Utilizar o método da flexibilidade. (Obs.: não é necessário analisar as barras comprimidas, que dependem do índice de esbeltez).. Figura 6. - Treliça. Dados: E = 205 GPa A1 = A2 = A3 = 3A A4 = A5 = A6 = A A7 = A8 = A9 = A10 = 2A. Estrutura isostática fundamental G.I.E = ( b + v ) – 2 n = (10 + 4) – 12 = 2. Figura 7 – Estrutura isostática fundamental. Equações de compatibilidade :. 40. DQ1 = 0 DQ 2 = 0.

(41) Método das Forças. Treliças. Fase L:. Figura 8 – Fase L. ∑M = 0 ∑V = 0 ∑H = 0 A. tan α =. 1,5 ⇒ α = 36,87° 2,0. sen α = 0,6  cos α = 0,8. tan β =. 1,5 ⇒ β = 26,57° 3,0. sen β = 0,447  cos β = 0,894. ⇒ 20 ⋅ 7 + 4 VC + 10 ⋅ 1,5 = 0. ⇒. VC = − 38,75 kN. ⇒ 38,75 − 20 + V A = 0. ⇒. V A = − 18,75 kN. ⇒ 10 + H A = 0. ⇒. H A = − 10 kN. Figura 9 – Forças normais nas barras – Fase L Nó A: ∑V = 0 ⇒ N AE . 0,6 − 18,75 = 0. ∑H = 0. ⇒ 31,25 ⋅ 0,8 + N AB − 10 = 0. ⇒. N AE = 31,25 kN ⇒. N AB = − 15 kN. 41.

(42) Método das Forças. Nó B: ∑V = 0. ∑H = 0. Treliças. ⇒. N EB = 0. ⇒ N AB − N BC = 0. ⇒. N BC = − 15 kN. Nó E: ∑V = 0 ⇒ N AE .0,6 + N EB + NCE .0,6 = 0 ⇒. 31,25 ⋅ 0,6 + 0 + N CE . 0,6 = 0. ∑H = 0. N CE = − 31,25 kN. ⇒ N AE . 0,8 − N EF − N CE . 0,8 = 0 31,25 ⋅ 0,8 − N EF − (− 31,25)⋅ 0,8 = 0. ⇒. N EF = 50 kN. Nó F: ∑ H = 0 ⇒ N EF − 10 − N FD . 0,894 = 0 ⇒. 50 − 10 − N FD . 0,894 = 0. ∑V = 0. N FD = 44,74 kN. ⇒ N FC + N FD . 0,447 = 0 N FC + 44,7 ⋅ 0,447 = 0. ⇒. N FC = − 20 kN. Nó C: ∑ H = 0 ⇒ NCE . 0,8 + N BC − NCD = 0 − 31,25 ⋅ 0,8 − 15 − N CD. ∑V = 0. = 0. ⇒. ⇒ N CE . 0,6 + N FC + 38,75 = 0 ⇒. − 31,25 ⋅ 0,6 + N FC + 38,75 = 0. Nó D: ∑V = 0 ⇒ − 20 + N FD . 0,447 = 0. ∑H = 0 Fase 1:. N CD = − 40 kN. ⇒ N CD + N FD . 0,894 = 0. ⇒. N FD = 44,74 kN ⇒. N CD = − 40 kN. (Q1 = 1 ; Q2 = 0). Figura 10 – Fase 1. ∑M = 0 ∑V = 0 ∑H = 0 A. 42. ⇒. 4 .VC ' = 0 ⇒. ⇒. Vc ' = 0. VA ' = 0 ⇒. N FC = − 20 kN. H A' = −1.

(43) Método das Forças. Treliças. Figura 11 – Forças normais nas barras – Fase 1 Nó A: ∑V = 0. ⇒. N AE = 0. ∑H = 0. ⇒. N AB = 1. Nó B: ∑V = 0. ∑H = 0. ⇒ ⇒. N EB = 0. N BC = 1. Nó E: ∑V = 0 ⇒ N AE .0,6 + N EB + NCE .0,6 = 0. ∑H = 0. N CE = 0. ⇒ − N AE . 0,8 + N EF + N CE . 0,8 = 0. Nó F: ∑ H = 0 ⇒ N EF − N FD . 0,894 = 0. ∑V = 0. ⇒. ⇒. ⇒. ⇒ N FC + N FD . 0,447 = 0. N FD = 0. ⇒. N FC = 0. Nó C: ∑ H = 0 ⇒ N CE . 0,8 + N BC − N CD − 1 = 0. ⇒. ∑V = 0. ⇒ N CE . 0,6 + N FC = 0. Nó D: ∑V = 0 ⇒. ∑H = 0. N FD . 0,447 = 0. ⇒. ⇒ N CD + N FD . 0,894 = 0. ⇒. N EF = 0. N CD = 0. N FC = 0. N FD = 0 ⇒. N CD = 0. 43.

(44) Método das Forças Fase 2:. Treliças. (Q1 = 0 ; Q2 = 1). Figura 12 – Fase 2. ∑M = 0 ∑V = 0 ∑H = 0 A. ⇒. Vc " = 0. ⇒. VA " = 0 ⇒. H A" = 0. Figura 13 – Forças normais nas barras – Fase 2 Nó A: N AE = 0 ; N AB = 0 Nó D: N CD = 0 ; N DF = 0 Nó B: N EB = − 0,6 ; N BC = − 0,8 Nó C: N CE = 1 ;. N FC = − 0,6. Nó E: N CE = 1 ; N EF = − 0,8 Nó F: N FD = 0 ; N FC = − 0,6. 44.

(45) Método das Forças. Treliças. Barra. {A}i. Li. {N L }i. {n 1 }i. {n 2 }i. 1. 3A. 2,0. -15. 1. 0. 2. 3A. 2,0. -15. 1. -0,8. 3. 3A. 3,0. -40. 0. 0. 4. A. 2,5. 31,25. 0. 0. 5. A. 2,0. 50. 0. -0,8. 6. A. 3,35. 44,74. 0. 0. 7. 2A. 1,5. 0. 0. -0,6. 8. 2A. 1,5. -20. 0. -0,6. 9. 2A. 2,5. -31,25. 0. 1. 10. 2A. 2,5. 0. 0. 1. Barra. 1 2.  N L ⋅ n1 ⋅ L   N L ⋅ n2 ⋅ L      A A  i  i − 10 − 10. A. A. 0.  (n1 )2 ⋅ L     A i. 0,6667.  n1 ⋅ n2 ⋅ L    A  i.  (n2 )2 ⋅ L     A i. 0. 0. A 8. − 0,5333. 0,6667. A. A. 0,4267 A. A. 3. 0. 0. 0. 0. 0. 4. 0. 0. 0. 0. 0. 5. 0. − 80. 0. 0. 1,28. A. A. 6. 0. 0. 0. 0. 0. 7. 0. 0. 0. 0. 0,27 A. 8 9. 0. 9. 0. 0. A. 0. 0,27 A. 0. − 39,0625. 0. 1,25. A 10. 0. 0. A 0. 0. 1,25 A. Σ=. − 20. A. DQL1. − 102,0625 DQL2. − 0,5333. 1,3333 A. A F11. 4,7467 A. F12. A F22. 45.

(46) Método das Forças. Treliças. Equação de compatibilidade DQ = DQL + F Q = 0 DQL + F Q = DQ. 0  0   . =. 1  − 20  1  1,3333 − 0,5333  Q1  +     EA − 102,0625 EA − 0,5333 4,7467  Q2 . Q1 = 24,711 kN Q2 = 24,278 kN. Esforços nas barras da estrutura hiperestática N = NL + n1.Q1 + n2.Q2. N1 = -15+1 . 24,711 = 9,711 kN N2 = -15+1 . 24,711 – 0,8 . 24,278 = -9,711 kN N3 = -40,0 kN N4 = 31,25 kN N5 = 50 – 0,8 . 24,278 = 30,577 kN N6 = 44,74 kN N7 = -0,6 . 24,278 = -14,567 kN N8 = -20 – 0,6 . 24,278 = -34,567 kN N9 = -31,25 + 1 . 24,278 = -6,972 kN N10 = 24,278 kN. Área mínima. σ adm = 160MPa = 16kN / cm 2. σ=. 46. F A. ⇒. Amin =. Fmax. σ adm. ⇒. Fmax = 44,74kN Amin =. 44,74 16. ⇒. Amin = 2,796 cm 2.

(47) Método das Forças. Treliças. EXEMPLO4: Calcule as forças normais da treliça da figura utilizando o Método da Flexibilidade (Método das Forças). Dados: − E = 2,1x104 kN/cm2 − Área da seção transversal das barras: •. A1 = A2 = A3 = A8 = A15 = A16 = A17 = 3,0 cm2. •. A4 = A7 = 10,0 cm2. •. A5 = A6 = A11 = A12 = 5,0 cm2. •. A9 = A10 = A13 = A14 = 20,0 cm2. Figura 14 - Treliça. 47.

(48) Método das Forças. Treliças. Estrutura Isostática Fundamental - Grau de Inderteminação Estática: . . 2 17 3 2 9 2 - Incógnitas Redundantes: força normal na barra 5 força normal na barra 11 $ . a. a. Figura 15 – Estrutura Isostática Fundamental . 3,0 71,565° 1,0. 1,0 $ 63,435° 0,5. 48. &' 0,949 (& 0,316. &'$ 0,894 (&$ 0,447.

(49) Método das Forças. Treliças. Fase L $ . a. a. Figura 16 – Fase L Reações de Apoio: * +, 0 - 3./ 20 3 15 6 10 7 0 - ./ * 0 0 - 10 15 20 0, 0 - 0, 45 220 * . 0 - ./ ., 0 - ., 3. 220 3. Nó I:. * . 0 - 1 0,894 1 0,894 0 - 1 1. * 0 0 - 10 1 0,447 1 0,447 0 - 1 1 11,180 Nó G:. * 0 0 - 12 1 0,447 0 - 12 5 * . 0 - 1 0,894 13 0 - 13 10. 49.

(50) Método das Forças Nó H:. * 0 0 - 15 12 1 0,447 14 0,316 0 - 14 79,057 * . 0 - 1 0,894 14 0,949 15 0 - 15 85 Nó D:. * . 0 - 13 0,949 ./ 0 - 13 77,300 * 0 0 - 15 13 0,316 0 - 15 24,444 Nó C:. * . 0 - 12 0. * 0 0 - 15 14 0 - 14 24,444 Nó F:. * . 0 - 15 12 1 0,949 13 0,949 0 - 1 12,298 * 0 0 - 20 13 0,316 16 1 0,316 0 - 16 0,556 Nó E:. * 0 0 - 16 14 0,316 17 0,316 0 - 17 77,300 Nó B:. * . 0 - 18 1 0,949 0 - 18 11,667. * 0 0 - 14 1 0,316 19 0 - 19 20,556. 50. Treliças.

(51) Método das Forças. Treliças. Fase 1 $ . a. a. Figura 17 – Fase 1 Reações de Apoio: 0, ., ./ 0 Nó I: 1 0. 1 0. Nó D: * . 0 - 13 0. * 0 0 - 15 0. Nó C: * . 0 - 12 0. * 0 0 - 14 0. Nó A: * . 0 - 17 0. * 0 0 - 19 0 51.

(52) Método das Forças. Treliças. Nó B: * 0 0 - 1 0. * . 0 - 18 0. Nó F: * . 0 - 15 1 0,949 0 - 15 0,949. * 0 0 - 16 1 0,316 0 - 16 0,316 Nó G: * . 0 - 1 0,949 13 0 - 13 0,949 * 0 0 - 12 1 0,316 0 - 12 0,316 Nó H: * . 0 - 14 0,949 15 0 - 14 1 Fase 2 $ . a. a. Figura 18 – Fase 2. 52.

(53) Método das Forças. Treliças. Reações de Apoio: 0, ., ./ 0 Nó I: 1 0. 1 0. Nó D: * . 0 - 13 0. * 0 0 - 15 0. Nó A: * . 0 - 17 0. * 0 0 - 19 0. Nó G: * . 0 - 13 0. * 0 0 - 12 0. Nó H: * 0 0 - 14 0. * . 0 - 15 0. Nó C: * . 0 - 12 1 0,949 0 - 12 0,949. * 0 0 - 14 1 0,316 0 - 14 0,316 Nó E: * 0 0 - 16 1 0,316 0 - 16 0,316. * . 0 - 1 0,949 18 0 - 18 0,949 Nó F: * . 0 - 1 0,949 12 0 - 1 1. 53.

(54) Método das Forças. Treliças. Quadro Resumo dos Esforços Axiais: Barra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17. :;<= 3 3 3 10 5 5 10 3 20 20 5 5 20 20 3 3 3. :><= 1,118 1,118 1 3 3,162 3,162 3 1 3,162 3 3,162 3,162 3 3,162 1 1 1. :1? <= 11,180 -11,180 -5 10 0 79,057 -85 -0,556 77,300 11,667 0 -12,298 0 -77,300 20,556 24,444 24,444. : <= 0 0 -0,316 -0,949 1 1 -0,949 -0,316 0 0 0 0 0 0 0 0 0. : <= 0 0 0 0 0 0 0 -0,316 0 -0,949 1 1 -0,949 0 0 -0,316 0. . . > @ A ; =. . > B C ; =. Cálculo dos Coeficientes das Matrizes e Vetores: Barra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ∑. 54. 1? . . > @ A ; = 0 0 0,52705 -2,84605 0 50 24,19142 0,05856 0 0 0 0 0 0 0 0 0 71,93098. 1? . . > @ A ; = 0 0 0 0 0 0 0 0,05856 0 -1,66020 0 -7,77778 0 0 0 -2,57667 0 -11,95608. . > B C ; = 0 0 0,03333 0,27 0,63246 0,63246 0,27 0,03333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,87158. 0 0 0 0 0 0 0 0,03333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,03333. 0 0 0 0 0 0 0 0,03333 0 0,135 0,63246 0,63246 0,135 0 0 0,03333 0 1,60158.

(55) Método das Forças. EF? G . 71,93098 . 1,87158 . Treliças. EF? . 11,95608 . G G . 0,03333 . G . 1,60158 . Solução do Sistema de Equações EF? . 1 71,93098 H I 11,95608. G. EF EF? G. 1 1,87158 J 0,03333. 0,03333 K 1,60158. 38,581 L1 8,268 L1. Esforços Axiais Finais 1 11,180 L1 1 11,180 L1 12 7,200 L1 13 46,601 L1 19 38,581 L1 14 40,476 L1 15 48,399 L1 16 9,030 L1 17 70,300 L1. 18 1 1 12 13 19 14 15. 3,823 L1 8,268 L1 4,030 L1 7,844 L1 77,300 L1 20,556 L1 21,830 L1 24,444 L1. 55.

(56)

(57) Método das Forças Exemplos de Aplicação em Pórticos.

(58)

(59) Método das Forças. Pórticos. Análise de Pórticos Planos Deformações possíveis de ocorrer nos pórticos são devidas a:. • • •. Momento Fletor Força Normal Força Cortante. ∆x1 = ∫. Mm Nn Vv dx + ∫ dx + ∫ f s dx EI EA GA. Deformação preponderante:. •. Devida a momento fletor. Cálculo dos coeficientes:. - Considerar sempre o efeito das deformações devidas ao momento fletor. DQLj = ∫ Fij = ∫. Mm j EI. mi m j EI. dx + ∫. dx + ∫. Nn j EA. ni n j EA. dx + ∫ f s. dx + ∫ f s. Vv j GA. vi v j GA. dx. dx. 59.

(60)

(61) Método das Forças. Pórticos. EXEMPLO1: Analisar o pórtico dado considerando as deformações por flexão e as deformações axiais. Dados: - EI = constante. - EA= constante. - Seção Transversal: 20x50 cm2.. A. B. C. Figura 1 – Pórtico plano Grau de indeterminação estática: 3. A. B. B. C. Figura 2 - Estrutura isostática fundamental Fase L. A. B. B. C. Figura 3 – Fase L. 61.

(62) Método das Forças. Pórticos. Diagramas. Força normal: nula nas duas barras B. B. A. A B. B. C. (VL). C. (ML). Figura 4 – Diagramas de força cortante e momento fletor – Fase L Fase 1. B A. B. C. Figura 5 – Fase 1. Diagramas B A. B B. A. B A. B. C C. C. (N1). (V1). (M1). Figura 6 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Fase 1. 62.

(63) Método das Forças. Pórticos. Fase 2. A. B. B. C. Figura 7 – Fase 2. Diagramas B. B A. A. B. B. B. C. (N2). A B. C. C. (V2). (M2). Figura 8 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Fase 2. Fase 3 B A. B. C. Figura 9 – Fase 3. 63.

(64) Método das Forças. Pórticos. Diagramas Força normal: nula nas duas barras. Força cortante: nula nas duas barras.. A. B. B. C. Figura 10 – Diagrama de momento fletor – Fase 3 Propriedades geométricas I=. 0,2 ⋅ 0,5 3 = 2,0833 × 10 −3 m 4 12. A = 48 I. A = 0,2 ⋅ 0,5 = 0,1 m 2. ⇒ A = 48 I. Cálculo de DQL. ∫. DQLj =. AB. M Lm j EI. dx +. ∫. M Lm j. BC. EI. dx +. ∫ AB. N Ln j EA. ∫. dx +. BC. N Ln j EA. dx. DQL1 = 0 + 0 + 0 + 0. DQL 2 =. 1 1 − 5000   (− 240 )(2 ⋅ 10 + 5) ⋅ 5  + 0 + 0 + 0 = EI  6 EI . DQL 3 =. 1 1 − 600   (− 240 ) ⋅ 1 ⋅ 5  + 0 + 0 + 0 = EI  2 EI . Cálculo dos coeficientes de F. Fij =. mi m j mm nn nn dx + ∫ i j dx + ∫ i j dx + ∫ i j dx EI EI EA EA AB BC AB BC. ∫. 1 (− 4 )(− 4 ) ⋅ 4 1 ⋅ 1 ⋅ 10 64 10 64 10 517 F11 = 0 + ⋅ + +0= + = + = 3 EI EA 3EI EA 3EI 48 EI 24 EI. F21 = F12 = 0 + 0 + 0 + 0 64.

(65) Método das Forças. F31 = F13 = 0 + F22 =. 1 1 ⋅ (− 4 ) ⋅ 4 8 ⋅ +0+0 = − 2 EI EI. 1 10 ⋅ 10 ⋅ 10 (− 1) ⋅ (− 1) ⋅ 4 = 1000 + 4 = 1000 + 4 = 4001 ⋅ +0+0+ 3 EI EA 3EI EA 3EI 48 EI 12 EI. F32 = F23 = F33 =. Pórticos. 1 10 ⋅ 1 ⋅ 10 50 ⋅ +0+0+0 = 2 EI EI. 1 ⋅ 1 ⋅ 10 1 ⋅ 1 ⋅ 4 14 + +0+0 = EI EI EI. Fase Final. 21,5417 1   0 F= EI   − 8. 0 333,4167 50. − 8  50   14 . D QL.  0  1  = − 5000 EI   − 600 . D Q = D QL + F Q.  − 15,7571   Q =  21,3590  − 42,4291   •. Caso fosse omitido o efeito das deformações axiais:. 21,3333 1   0 F= EI   − 8. 0 333,3333 50. − 8  50   14 . D QL.  0  1  = − 5000  EI  − 600 . − 16,0714   Q =  21,4286  − 42,8571  . 65.

(66) Método das Forças. Pórticos. Esforços finais (considerando as deformações axiais). B. A. B. C. Figura 11 – Esforços finais Por equilíbrio: H A = 15,76 kN VA = 48 − 21,36 = 26,64 kN. M A = 48 ⋅ 5 − 21,36 ⋅ 10 + 42,43 = 68,84 kNm H C = 15,76 kN VC = 21,36 kN. M C = −42,43 + 15,76 ⋅ 4 = 20,60 kNm Diagramas de esforços solicitantes. B A. (N) (V) C C A B. (M) C. Figura 12 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor. 66.

(67) Método das Forças. Pórticos. EXEMPLO2: Calcular as reações de apoio do pórtico da figura utilizando o método da flexibilidade, incluindo as deformações devidas ao momento fletor, à força normal e à cortante. Traçar os diagramas finais de esforços solicitantes.. Figura 13 – Pórtico plano Dados: E = 205 GPa G.I.E = 3 + 2 - 3. ⇒. ν = 0,20. G.I.E. = 2. Figura 14 – Estrutura isostática fundamental Propriedades geométricas Área = 15 . 1,25 + 15 . 1,25 + 1,0 . 27,5 = 65 cm2. 3 3 30 27,5 I = 15 . − 14 . = 9486,98 cm4. 12 12. EA = 1.332.500 kN EI = 19.448,3 kNm2. 67.

(68) Método das Forças. Pórticos. Fase L. Figura 15 – Fase L tan β =. ∑H =0. ⇒. 4 2. =2. sen β = 0,894. cos β = 0,447. H AL = 0.  5,5  = 0 ⇒ 6 .VCL − 20 . 5,5 .  + 2  − 50 . 2 = 0 ⇒ VCL = 103,75 kN  2  ⇒ VAL = 56,25 kN ∑V = 0 ⇒ VAL + 103,75 − 20 .5,5 − 50 = 0. ∑M. A. Figura 16 – Decomposição dos esforços – Fase L. 68.

(69) Método das Forças. Pórticos. (NL). (VL). (ML) Figura 17 – Diagramas da fase L Barra BC: ⇒. V = 6,25 − 20 X. 0 = 6,25 − 20 X. ⇒. X = 0,3125 m. 2. M = 112,5 + 6,25 X − 20 X = 0,3125 m Fase 1. ⇒. X 0≤ X ≤4 2 M = 113,48 kNm. (Q1 = 1 ; Q2 = 0). Figura 18 – Fase 1. 69.

(70) Método das Forças. ∑MA = 0 ∑V = 0. ⇒. Pórticos 1 − 6.VC ' = 0. ⇒. VA ' = −. ∑H = 0. ⇒. ⇒. VC ' =. 1 6. 1 6 HA' = 0. Figura 19 – Decomposição dos esforços – Fase 1 Diagramas. (N1). (V1). (M1) Figura 20 – Diagramas da Fase 1. 70.

(71) Método das Forças. Pórticos. (Q1 = 0 ; Q2 = 1). Fase 2. Figura 21 – Fase 2. ∑M. A. =0. ∑V = 0 ∑H = 0. ⇒ ⇒. ⇒. − 1 . 4 + 6.VC " = 0. VC " = 0,667 kN. VA " = − 0,667 kN ⇒ H A " = − 1 kN. Figura 22 – Decomposição dos esforços – Fase 2 Diagramas. (N2). (V2). (M2) Figura 23 – Diagramas da fase 2. 71.

(72) Método das Forças. Pórticos. Cálculo dos deslocamentos DQL1 =. 1 1 1 ⋅ 112,5 ⋅ (1 + 2 ⋅ 0,667 ) ⋅ 4,472 + ⋅ 0,667 ⋅ (2 ⋅ 112,5 + (− 22,5)) ⋅ 4 +  19448,31  6 6. 1 1  ⋅ (40 ⋅ 0,667 ⋅ 4 ) + [(− 50,312) ⋅ (0,1491) ⋅ 4,472] 3  1332500. DQL1 = 1,65 × 10 −2 − 2,52 × 10 −5 DQL 2 = +. ⇒. DQL1 = 1,65 x 10 −2 rad. 1 1 1 1  ⋅ 112,5 ⋅ (2,667 ) ⋅ 4,472 + ⋅ 40 ⋅ 2,667 ⋅ 4 + ⋅ 2,667 ⋅ (2 ⋅ 112,5 ⋅ (− 22,5) ⋅ 4)  19448,31  3 3 6 . 1 [(− 50,312) ⋅ (1,043) ⋅ 4,472] 1332500. DQL 2 = 4,88 × 10 −2 − 1,76 × 10 −4. ⇒. DQL 2 = 4,86 x 10 −2 m. Cálculo dos coeficientes de flexibilidade 1 1 1  ⋅ (2 ⋅ (1 ⋅ 1 + 0 , 667 ⋅ 0 , 667 ) + 0 , 667 ⋅1 + 1 ⋅ 0 , 667 )⋅ 4 , 472 + ⋅ 0 , 667 2 ⋅ 4   19448 , 31  6 3  1 + 0 ,1491 2 ⋅ 4 , 472 1332500 F11 =. [(. ). ]. F11 = 1,92 x 10 −4 1 1 1 1  ⋅ 2,667 2 ⋅ 4,472 + ⋅ 2,667 2 ⋅ 4 + 1,0432 ⋅ 4,472 + 4  19448,31  3 3 1332500  −3 F22 = 1,04 x 10 F22 =. [(. 1 1 1  ⋅ (2,667 ) ⋅ (1 + 2 ⋅ 0,667 ) ⋅ 4,472 + ⋅ (0,667 ) ⋅ (2,667 ) ⋅ 4  19448,31  6 3  1 + [(0,1491) ⋅ (1,043) ⋅ (4,472)] 1332500 F21 = F12 = 3,61 × 10 −4 F21 = F12 =. 72. )].

(73) Método das Forças. Pórticos. Equação de compatibilidade DQ = DQL + FQ = 0. 0 1,65 x 10 −2  0  =  −2    4,86 x 10 . 1,92 x 10 −4 3,61 x 10 −4   Q1  +  .   −4 1,04 x 10 −3  Q2  3,61 x 10. Q1 = 5,545 kN m Q2 = -48,656 kN m. Estrutura Hiperestática VA = VAL + VA’.Q1 + VA”.Q2 VA = 56,25 - 0,1667 . 5,545 + (- 0,6667) . (- 48,656)) VA = 87,76 kN VC = VCL + VC’.Q1 + VC”.Q2 VC = 103,75 + 0,1667 . 5,545 + 0,6667 . (- 48,656) VC = 72,24 kN HA = HAL + HA’.Q1 + HA”.Q2 HA = -1 - (-48,656) HA = 48,656 kN. Estrutura Final. 48,656kN 72,24kN. 48,656kN. 5,545kNm. 87,76kN. Figura 24 – Reações de apoio. 73.

(74) Método das Forças. Pórticos. Diagramas Finais 48,656kN. N 100,21kN. 37,76kN. 1,89m. 42,24kN V. 4,27kN. 13,55kNm. 13,55kNm. 22,11kNm. M 5,545kNm. Figura 25 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor. 74.

(75) Método das Forças. Pórticos. EXEMPLO3: Calcular o pórtico da figura abaixo pelo método das forças considerando: (1) As deformações devidas ao momento fletor, força cortante e força normal. (2) Apenas as deformações devidas ao momento fletor e à força normal. (3) Apenas as deformações devidas ao momento fletor. Adotar como incógnitas redundantes o momento no apoio A (Q1) e o momento fletor na extremidade B da barra AB (Q2) . Dados: - Seção transversal retangular constante: b=20cm; h=40cm - Módulo de elasticidade: E=3,0x107 kN/m2 - Coeficiente de Poisson: ν = 0,2. α. Figura 26 – Pórtico plano. Figura 27 - Estrutura isostática fundamental (E.I.F). 75.

(76) Método das Forças. Pórticos. Propriedades Geométricas do Pórtico e da Seção Transversal. I=. A = 0,20 ⋅ 0,40 = 0,08 m 2. 0,20 ⋅ (0,40) 3 = 1,0667 ⋅ 10 −3 m 4 12. sendo E=constante ⇒ EA = 75EI. A = 75 I. Cos (α ) = 0,98058. 1 5. α = Arc tan  =11,310 o. Sen(α ) = 0,196116. Seção retangular ⇒ fs = 1,2 G=.  E  GA =  (75 I ) = 31,25 EI  2,4 . E E = 2(1 + υ) 2,4. Comprimento da Barra BC = l BC =. 5 = 5,099 m Cosα. Fase L. Figura 28 – Fase L Reações de Apoio:. ∑M. 3⋅ H A =0. ⇒. HA =0. ∑H = 0. H A = − HC. ⇒. HC =0. ∑M. 5 ⋅ V A − 24 ⋅ 6 ⋅ 3 = 0. ⇒. V A = 86,40 kN. VC + 86,40 − 6 ⋅ 24 = 0. ⇒. VC = 57,60 kN. ( AB ) B. C. =0. ∑V = 0 76. =0.

(77) Método das Forças. Pórticos. Diagramas da Fase L C. C B. B D. D. VL NL A. A C. B. D. ML A. Figura 29 – Diagrama de força normal, força cortante e momento fletor – Fase L Fase 1 (Q1=1; Q2=0). Figura 30 – Fase 1 Reações de Apoio:. ∑M. 1 3. 1−3⋅ H A =0. ⇒. HA =. ∑H = 0. H A = − HC. ⇒. HC = −. ∑M. 1 5 ⋅ VA + 1 − ⋅ 4 = 0 3. ⇒. VA =. V A = − VC. ⇒. VC = −. ( AB ) B. C. =0. =0. ∑V = 0. 1 3. 1 15 1 15 77.

(78) Método das Forças. Pórticos. Diagramas da Fase 1 C D. C B. D. B. N1. V1. A. A C B. D. M1 A. Figura 31 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Fase 1. Fase 2 (Q1=0; Q2=1). Figura 32 – Fase 2. 78.

(79) Método das Forças. Pórticos. Reações de Apoio:. ∑M. 3⋅ H A +1 =0. ⇒. ∑H = 0. H A = − HC. ⇒. ∑M.  1 5 ⋅ VA −  −  ⋅ 4 + 1 − 1 = 0  3. ⇒. V A = − VC. ⇒. ( AB ) B. C. =0. =0. ∑V = 0. 1 3 1 HC = 3 4 VA = − 15 4 VC = 15. HA =−. Diagramas da Fase 2. C. C. D. D. B. B. N2. V2. A. A. C D B. A. M2. Figura 33 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Fase 2. 79.

(80) Método das Forças. Pórticos. Fase Final. (1) Considerando as deformações devidas ao momento fletor, força cortante e força normal. •. Cálculo do Vetor DQL:. DQL1 = ∫. M L m1 N n V v ′ 1 + DQL ′′ 1 + DQL ′′′ 1 dx + ∫ L 1 dx + ∫ f S L 1 dx = DQL EI EA GA. DQL 2 = ∫. M L m2 N n V v ′ 2 + DQL ′′ 2 + DQL ′′′ 2 dx + ∫ L 2 dx + ∫ f S L 2 dx = DQL EI EA GA. Influência do Momento Fletor: ′ 1 =0 DQL ′ 2= DQL. 1 EI. 1  1  107,079 0 + 3 ⋅ (−12) ⋅ 1 ⋅ 5,099 + 3 ⋅ 75,0 ⋅ 1 ⋅ 5,099 = EI  . − Influência da Força Normal: ′′ 1 = DQL.  18,095 1  1  − 1 − 86,40 ⋅   ⋅ 3 + (− 0,34 ) ⋅ (11,30 − 12,24) ⋅ 5,099 =  EA  EA 2  15  . ′′ 2 = DQL.  − 70,028 1  1 4 − 86,40 ⋅   ⋅ 3 + (0,379)(− 12,24 + 11,30) ⋅ 5,099 =  EA  EA 2  15  . − Influência da Força Cortante: ′′′ 1 = 0 DQL ′′′ 2 = 1,2 ⋅ DQL. 1 1 (− 0,1961)(61,18 − 56,48) ⋅ 5,099 = − 2,820  GA  2 GA . Portanto: DQL1 = 0 +. DQL 2 =. 80. 18,095 18,095 0,241 +0= = EA 75 EI EI. 107,079 70,028 2,820 107,079 70,028 2,820 106,055 − − = − − = EI EA GA EI 75 EI 31,25EI EI.

(81) Método das Forças. Pórticos. Cálculo da Matriz F:. (m1 )2 dx + (n1 )2 dx +. F11 = ∫. EI. F21 = F12 = ∫. F22 = ∫. -. ∫. EA. ∫. (v1 )2 dx = F ′ GA. 11. + F11′′ + F11′′′. m1 m2 nn vv dx + ∫ 1 2 dx + ∫ f S 1 2 dx = F21′ + F21′′ + F21′′′ EI EA GA. (m2 )2 dx + (n2 )2 dx + EI. fS. ∫. EA. ∫. fS. (v2 )2 dx = F ′ GA. 22. + F22′′ + F22′′′. Influência do Momento Fletor:. F11′ =. 1 1 (1,0)2 ⋅ 3 = 1  EI  3  EI. F21′ =. 1 EI. 1 1   6 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 3 = 2 EI  . F22′ =. 1 EI. 1 1  2,6997 2 2 ( ) ( ) 1 , 0 3 1 , 0 5 , 099 ⋅ + ⋅ 3  = EI 3  . − Influência da Força Normal: 2  0,6028 1  − 1  2 F11′′ =   ⋅ 3 + (− 0,340) ⋅ 5,099 = EA  15  EA . F21′′ =. 1  1 4  − 0,7104 − ⋅ ⋅ 3 − 0,340 ⋅ 0,379 ⋅ 5,099 =  EA  15 15 EA . F22′′ =. 2  0,9458 1  4  2   ⋅ 3 + (0,379) ⋅ 5,099 = EA  15  EA . − Influência da Força Cortante: 2  0,40 1,2  − 1  F11′′′ =   ⋅ 3 = GA  3   GA. F21′′′ =. 1,2  − 1  1   − 0,40    ⋅ 3 = GA  3  3   GA. 81.

(82) Método das Forças. F22′′′ =. Pórticos. 2  0,6353 1,2  1  2 ⋅ 3 + (− 0,1961) ⋅ 5,099 =    GA  3  GA . Somando as três contribuições: F11 =. 1 0,6028 0,40 1 0,6028 0,40 1,02084 + + = + + = EI EA GA EI 75EI 31,25EI EI. F21 =. 1 0,7104 0,40 1 0,7104 0,40 0,47773 − − = − − = 2 EI EA GA 2 EI 75EI 31,25EI EI. F22 =. 2,6997 0,9458 0,6353 2,6997 0,9458 0,6353 2,73264 + + = + + = EI EA GA EI 75EI 31,25EI EI. •. Solução do Sistema de Equações (Cálculo das Redundantes):. D Q = D QL + F Q. D QL =. 1  0,241    EI 106,055. F=. 1 1,02084 0,47773 EI 0,47773 2,73264.  19,523  Q=  kN.m − 42,224. (2) Considerando apenas as deformações devidas ao momento fletor e à força normal. •. Solução do Sistema de Equações:. D Q = D QL + F Q. D QL =. 1  0,241    EI 106,145.  20,611  Q=  − 42,862. 82. F=. 1 1,00804 0,49053 EI 0,49053 2,71231.

(83) Método das Forças. Pórticos. (3) Considerando apenas as deformações devidas ao momento fletor. •. Solução do Sistema de Equações:. D Q = D QL + F Q. D QL =. 1  0    EI 107,079. F=. 0,5  1 1 EI 0,5 2,6997.  21,856  Q=  − 43,711. Comparação dos Resultados. Resumo dos Resultados. Flexão + Axial. Flexão + Axial. Flexão. + Cisalhamento. •. Q1. 19,523. 20,611. 21,856. kNm. Q2. -42,224. -42,862. -43,711. kNm. Erros considerando apenas deformações devidas à flexão:. ∆Q1 % =. 21,856 − 19,523 × 100 = 11,95% 19,523. ∆Q2 % =. − 43,711 + 42,224 × 100 = 3,66% − 42,224. •. Erros considerando deformações devidas à flexão e à força axial:. ∆Q1 % =. 20,611 − 19,523 × 100 = 5,57% 19,523. ∆Q2 % =. − 42,862 + 42,224 × 100 = 1,51% − 42,224. 83.

(84)

(85) Método das Forças Exemplos de Aplicação em Grelhas.

(86)

(87) Método das Forças. Grelhas. EXEMPLO1: Calcule os esforços na grelha abaixo usando o Método das Forças. Despreze as deformações devidas à força cortante.. Figura 1 – Grelha. Estrutura Isostática Fundamental. Figura 2 – Estrutura Isostática Fundamental. Fase L. Figura 3 – Fase L. 87.

(88) Método das Forças. Grelhas. Fases 1, 2 e 3. Figura 4 – Fases 1, 2 e 3 Momentos Fletores. 88.

(89) Método das Forças. Grelhas. Momentos de Torção. Cálculo dos Deslocamentos. DQL1 = ∫. DQL1 =. M L .m1 T .t dx + ∫ L 1 dx EI GJ. 1 EI. 2 1  1  (− 90 )(1,0 ).3,0 + (22,5)(1,0 ).3,0 + 3 2  GJ. DQL1 = −. 90 270 90 405 − =− − EI GJ EI EI. DQL1 = −. 495 EI. DQL 2 = ∫. M L .m2 T .t dx + ∫ L 2 dx EI GJ. DQL 2 =. {(− 90 )(1,0).3,0}. 1 1   .(− 180 )(− 1,0 ).3,0 + 0 EI  2 . 270 EI M .m T .t = ∫ L 3 dx + ∫ L 3 dx EI GJ. D QL 2 = DQL 3. 89.

(90) Método das Forças 1 1 1 1   .(− 3,0)(− 90 ).3,0 + .(22,5)(− 3,0).3,0 + .(− 180)(− 3,0)(3,0) 3 3 EI  3 . DQL 3 = +. 1 GJ. Grelhas. {(− 90)(− 3,0).3,0}. DQL 3 =. 742,5 810 742,5 1215 + = + EI GJ EI EI. DQL 3 =. 1957,5 EI. Cálculo dos coeficientes de Flexibilidade 2. F11 = ∫. 2. m1 t dx + ∫ 1 dx EI GJ. F11 =. 1 (1,0)2 (3,0) + (1,0)2 (3,0) + 1 (1,0)2 (3,0) + (− 1,0)2 (3,0) EI GJ. F11 =. 6 6 6 9 + = + EI GJ EI EI. {. }. m1 .m2 t .t dx + ∫ 1 2 dx EI GJ. F31 = F13 = ∫. m3 .m1 t .t dx + ∫ 3 1 dx EI GJ. 1 EI 0 F31 = F13 = EI. F21 = F12 = 0 + 0 = 0. 2. m2 t dx + ∫ 2 dx EI GJ. F22 =. 1 EI. F22 =. 6 6 6 9 + = + EI GJ EI EI. F22 =. 15 EI. 90. 15 EI. 1 1 1  {(1,0)(− 3,0).3,0 + (1,0)(3,0 ).3,0}  (1,0 )(− 3,0 ).3,0 + (1,0 )(3,0 ).3,0 + 2 2  GJ 0 + =0 GJ. 2. F22 = ∫. }. F11 =. F21 = F12 = ∫. F31 = F13 =. {. {(− 1,0) (3,0) + (1,0) (3,0)} + GJ1 {(1,0) (3,0) + (1,0) (3,0)} 2. 2. 2. 2.

(91) Método das Forças F23 = F32 = ∫. Grelhas. m2 .m3 t .t dx + ∫ 2 3 dx EI GJ. F23 = F32 =. 9 0 + EI GJ. 2. 2. F33 = ∫. F33 = +. 1 GJ. F33 =. F32 = F23 =. 9 EI. m3 t dx + ∫ 3 dx EI GJ. 1 1 1 1 1  2 2 2 2  (− 3,0) (3,0) + (− 3,0) (3,0) + (3,0 ) (3,0) + (3,0) (3,0 ) +  EI  3 3 3 3 . {(− 3,0) (3,0) + (− 3,0) (3,0)} 2. 2. 36 54 36 81 + = + EI GJ EI EI. F33 =. 117 EI. Fase Final. D QL.  − 495  1   =  270  EI   1957,5. 15 1  0 F= EI   0. Condições de Compatibilidade:. 0 15 9. 0   9   117 . 0   D Q = 0   0. Resolvendo o sistema de equações: DQ = DQL + F.Q = 0 DQL + F.Q = DQ. Obtém –se: Q1 = 33,0 kN.m Q2 = -8,35 kN.m Q3 = -16,09 kN.m. 91.

(92) Método das Forças. Grelhas. EXEMPLO2: Calcular as reações de apoio da grelha da figura abaixo através do método das forças. Dados: E = constante. G = E / 1,5. Figura 5 – Grelha vista superior (Planta) Propriedades Geométricas das Seções. 1 3. -. Barras AB e CD:. b=h ⇒ β =. 1 1  − 0,211 −  = 0,140833 3  12 . J AB = 0,140833 ⋅ h ⋅ b 3 I AB =. b ⋅ h3 12. ⇒. ⇒. J AB = 0,140833 ⋅ h 4. h4 12. J AB 12 = 0,140833 ⋅ h 4 ⋅ 4 = 1,69 ⇒ J AB = 1,69 I AB I AB h. -. Barra BC:. 4 ( 1 0,15  0,15)    = 0,22888 β = − 0,21 1− 3 0,30  12(0,30 )4 . J BC = 0,22888 ⋅ 0,30 ⋅ (0,15) = 2,317412 × 10 −4 3. 92. b h. β = − 0,21 1 −. J = β ⋅ h ⋅ b3. b4   12h 4 .

(93) Método das Forças. Grelhas. J BC = 0,34332 ⇒ J BC = 0,34332 ⋅ I AB I AB I 0,15 ⋅ (0,30 ) = AB 12 2 3. I BC =. Estrutura Isostática Fundamental Devido à simetria do problema, tem-se que a força cortante e o momento torçor são nulos na seção de simetria. Apenas o momento fletor é diferente de zero nesta seção. Portanto, lançando mão desta característica, a estrutura isostática fundamental pode ser tomada como a apresentada na figura abaixo.. Figura 6 – Estrutura isostática fundamental – E.I.F. Fase L. Figura 7 – Fase L. 93.

(94) Método das Forças. Grelhas. Por equilíbrio tem-se:. Figura 8 – Equilíbrio das barras e nós. Figura 9 - Decomposição dos momentos na barra AB Diagramas Força cortante. 94. Momento torçor. Momento fletor.

(95) Método das Forças. Grelhas. Fase 1. Figura 10 – Fase 1. Figura 11 - Equilíbrio e Decomposição dos Momentos na Barra AB Diagramas Força cortante. Momento torçor. Momento fletor. 95.

(96) Método das Forças. Grelhas. Cálculo dos Deslocamentos DQL1 = ∫. DQL1 =. DQL1 =. M L m1 Tt dx + ∫ L 1 dx EI GJ. 1 1 1 1  (− 1)(− 900 ) ⋅ 3  (− 0,6 )(− 4480 − 480 ) ⋅ 5  +  EI AB  2  EI BE  3  1 + (640 ⋅ 0,8 ⋅ 5) GJ AB 7440 900 2560 7440 2 × 900 1,5 × 2560 11 512,189 + + = + + = EI AB EI BE GJ AB EI AB EI AB 1,69 × EI AB EI AB. Cálculo dos coeficientes de flexibilidade. [. ]. [. ]. F11 =. 1 (− 0,6)2 ⋅ 5 + 1 12 ⋅ 3 + 1 (0,8)2 ⋅ 5 EI AB EI BE GJ AB. F11 =. 1,8 3 3,2 1,8 2⋅3 1,5 ⋅ 3,2 10,640 + + = + + = EI AB EI BE GJ AB EI AB EI AB 1,69 ⋅ EI AB EI AB. (. ). Fase Final 11 512,189 EI AB = DQL1 + F11 Q1. DQL1 = DQ1. Q1 =. F11 =. 10,640 EI AB. EI AB  − 11 512,189    = −1 081,973 kNm 10,640  EI AB . Cálculo das reações de apoio M AY = M AYL + M AYQ ⋅ Q. M AX = M AXL + M AXQ ⋅ Q. V A = V AL + V AQ ⋅ Q. Por simetria: VD = 800 kN M DX = 3 200 kN ⋅ m M DY = −2 118,0 kN ⋅ m 96. M AY = −3200 + (− 1) ⋅ (− 1 081.973) M AY = −2 118,0 kN ⋅ m M AX = 3200 + (0) ⋅ (− 1 081.973) M AY = 3 200 kN ⋅ m V A = 800 + (0) ⋅ (− 1 081.973) V A = 800 kN.

(97) Método das Forças. Grelhas. EXEMPLO3: Calcular a grelha abaixo considerando o carregamento indicado, sendo a altura das barras h = 0,60 m. Considerar como incógnitas redundantes os momentos reativos no apoio C.. EI = 1,5 GJ Figura 12 – Grelha. Estrutura Isostática Fundamental. G.I .E. = 3 + 2 − 3 = 2. Figura 13 – Estrutura Isostática Fundamental. Fase L. Figura 14 – Fase L. 97.

(98) Método das Forças. ARL 3 =. Grelhas. 4⋅4 = 2,0 8. 10 ⋅ ARL1 + (2 ⋅ 6) − (8 + 4) ⋅ 6 − 2 ⋅ 6 ⋅ 3 = 0 ⇒. ARL1 = 9,6. ARL 2 = (8 + 4 + 2 ⋅ 6) − 9,6 − 2 = 12,4. Diagramas da Fase L. Barra AB: - Momento torçor: nulo. - Momento fletor:. Barra DC: - Momento torçor: nulo. - Momento fletor:. Figura 15 – Diagramas de momentos fletor e torçor – Fase L Fase 1. (Q1 = 1; Q2 = 0). Figura 16 –Fase 1 98.

(99) Método das Forças. Grelhas. Diagramas da Fase 1. Barra AB: - Momento torçor: nulo. - Momento fletor:. Barra CD: - Momento fletor: nulo. - Momento torçor:. Figura 17 – Diagramas de momentos fletor e torçor – Fase 1. Fase 2. (Q1 = 0; Q2 = 1). Figura 18 – Fase 2. 99.

(100) Método das Forças. Grelhas. Diagramas da Fase 2. Barra AB: - Momento torçor: nulo. - Momento fletor:. Barra DC: - Momento torçor: nulo. - Momento fletor:. Figura 19 – Diagramas de momentos fletor e torçor – Fase 2. Cálculo dos Deslocamentos DQL1 =.  − 36,4 1 1 4 1  6 1  6 ⋅ 38,4 ⋅ ⋅ 4 + ⋅  −  ⋅ 38,4 ⋅ 6 + ⋅  −  ⋅ 9 ⋅ 6 =  EI  3 10 3  10  3  10  EI . DQL 2 =. 1 EI. 1 3 1 3 1 3 1 1 1  1   59,8  3 ⋅ 38,4 ⋅ 10 ⋅ 4 + 3 ⋅ 38,4 ⋅ 10 ⋅ 6 + 3 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 6 + 3 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 4 + 6 ⋅ 8 ⋅  2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 = EI    . Cálculo dos Coeficientes de Flexibilidade F11 =. 1 EI. 2 1  4 2 1  6  1 2 0,9333 8 ⋅1,5 12,9333 ⋅ ⋅ 4 + ⋅ − 1 ⋅8 = + =   ⋅ 6 +    3  10   GJ EI EI EI  3  10 . (. F12 = F21 =. 1 F22 = EI. 100. 1 EI. ). 1  4   3   1 1  6 3 0,2  3 ⋅  10  ⋅  10  ⋅ 4 + 3 ⋅  − 10  ⋅  10  ⋅ 6 + 0 + GJ (0) = − EI          . 2 1  3 2  1 1 3 1 2 (0) = 2,9667  ⋅   ⋅ 4 + ⋅   ⋅ 6 + ⋅ (1) ⋅ 8 + 3  10  3 EI  3  10   GJ.

(101) Método das Forças. Grelhas. Equação de Compatibilidade. DQ = DQL + F Q. DQL =. Q = F −1 (DQ − DQL ) F=. 1 − 36,4 EI  59,8 . 1 12,7667 − 0,2  EI  − 0,2 2,9667. 0,07740 0,00522 F −1 = EI   0,00522 0,33743. Assim sendo, Q1 = 2,5053 t ⋅ m Q2 = −19,9884 t ⋅ m. Cálculo das Reações de Apoio. AR = ARL + ARQ ⋅ Q.  9,6  ARL = 12,4  2 . ARQ. 0,075   0,1  = − 0,1 0,05   0 − 0,125.  2,5053  Q=  − 19,9884. 0,075   9,6   0,1  2,5053     AR = 12,4 + − 0,1 0,05  ⋅  − 19,9884  2   0 − 0,125   8,351  AR = 11,150  4,499 . 101.

(102)

(103) Método das Forças Exemplos de Aplicação em Estruturas Sujeitas a Variação de Temperatura e/ou Recalques de Apoio.

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(105) Método das Forças. Vigas. EXEMPLO1: A viga principal de uma ponte, já executada, simplesmente apoiada nos topos dos pilares A, B e C, sofreu recalques (verticais para baixo) nas fundações dos pilares B e C, localizadas no leito do rio, de 1,5 cm e 0,8 cm respectivamente. Avalie os esforços introduzidos na estrutura em decorrência destes recalques, usando o método das forças, determinando as reações de apoio e traçando os diagramas de forças cortantes e momentos fletores. Dados: E=3x107 kN/m2. Seção Transversal. Figura 1 – Viga principal de uma ponte. Figura 2 – Viga contínua. Grau de Indeterminação Estática: 1 DQ1 = -0,015 m. Figura 3 - Estrutura isostática fundamental – E.I.F.. 105.

(106) Método das Forças. Vigas. Fase R. Figura 4 – Fase R DQR1 =. − 0,008 ⋅ 12 = −3,56 × 10 −3 m 27. Fase 1. Figura 5 – Fase 1. Figura 6 – Diagrama de momento fletor – Fase 1 F11 =. 1 1 1  400 2 2 ⋅ (− 6,667 ) ⋅ 12 + (− 6,667 ) ⋅ 15 =  EI  3 3  EI. Fase Final D QR + F ⋅ Q = D Q. − 3,56 × 10 −3 +. E = 3 × 10 7 kN. 400 ⋅ Q1 = −0,015 EI m. 2. EI = 1 × 10 6 kNm 2. Q1 =. 106. − 0,01144 EI = −28,6 kN 400. 0,40 ⋅ 13 I= = 3,3333 × 10 −2 m 4 12.

(107) Método das Forças. Vigas. Cálculo das demais Reações. Figura 7 – Reações de apoio. ∑ M = 0 ∴ − V ⋅ 27 + 28,6 ⋅ 12 = 0 ∑ V = 0 ∴ V − 28,6 + V = 0 ⇒ A. C. A. C. ⇒ VC = 12,71 kN VA = 15,89 kN. Diagramas de Esforços Solicitantes 15,89kN. 12,71kN. Figura 8 – Diagrama de força cortante. 190,68kNm. Figura 9 – Diagrama de momento fletor. 107.

(108) Método das Forças. Treliças. EXEMPLO2: Obter os esforços nas barras da estrutura abaixo. Além da carga indicada, considerar um deslocamento vertical de 1cm no apoio D para baixo (no sentido negativo do eixo y). Adotar como redundantes o esforço interno na barra BD e a reação vertical no apoio A (direção do eixo y). Todas as barras têm seção constante de 10cm2 e módulo de elasticidade E=21000kN/cm2.. Figura 10 - Treliça Estrutura Isostática Fundamental: − Grau de Indeterminação Estática:. G.I .E = (m + v ) − 2 ⋅ n = (8 + 4) − 2 ⋅ 5 = 2 − Incógnitas Redundantes: o Q1→ força normal na barra DB o Q2→ reação vertical no apoio A. Figura 11 – Estrutura isostática fundamental – E.I.F.. 108.

(109) Método das Forças. Treliças. Fase L. sen (60°) = 0,866  cos (60°) = 0,5. Figura 12 – Fase L  1,5   = 26,565°  3,0 . sen (α ) = 0,447.  1,5   = 45°  1,5 . sen (β ) = 0,707. α = Arc tan. cos(α ) = 0,894. β = Arc tan. cos(β ) = 0,707. Nó C:. ∑V = 0 ∴ 50 ⋅ 0,866 + N ⋅ 0,447 = 0 ⇒ ∑ H = 0 ∴ 50 ⋅ 0,5 − N − N ⋅ 0,894 = 0 EC. BC. EC. N EC = −96,825 ⇒ N BC = 111,603. Nó B:. ∑V = 0 ∑H = 0. ⇒ N EB = 0 ⇒ N AB = 111,603. Nó D:. ∑H = 0. ⇒ N DE = 0. Nó E:. ∑ H = 0∴ N. EC. ⋅ 0,894 − N AE ⋅ 0,707 − N DE = 0 ⇒ N AE = −122,474. Nó A:. ∑V = 0 ∴ N. DA. + N AE ⋅ 0,707 = 0 ⇒ N DA = 86,602. 109.

(110) Método das Forças. Treliças. Fase R. DQR = −∑ Ri × δ i i. δi = - 1 cm = - 0,01 m Fase 1. Figura 13 – Fase 1 Nó C:. ∑V = 0 ∑H = 0. ⇒ N EC = 0 ⇒ N BC = 0. Nó B:. ∑V = 0 ∴ N ∑ H = 0∴ N. EB. + 1 ⋅ 0,707 = 0 ⇒ N EB = −0,707. AB. + 1 ⋅ 0,707 = 0 ⇒ N AB = −0,707. DE. + 1 ⋅ 0,707 = 0 ⇒ N DE = −0,707. DE. + N AE ⋅ 0,707 = 0 ⇒ N AE = 1. Nó D:. ∑ H = 0∴ N Nó E:. ∑ H = 0∴ N Nó A:. ∑V = 0 ∴ N. DA. + N AE ⋅ 0,707 = 0 ⇒ N DA = −0,707. Reação Vertical em D (RD):. ∑V 110. D. = 0 ∴ RD1 + N DA + 1 ⋅ 0,707 = 0 ⇒ RD1 = 0.

(111) Método das Forças. Treliças. Fase 2. Figura 14 – Fase 2 Nó C:. ∑V = 0 ∑H = 0. ⇒ N EC = 0 ⇒ N BC = 0. Nó B:. ∑V = 0 ∑H = 0. ⇒ N EB = 0 ⇒ N AB = 0. Nó D:. ∑H = 0. ⇒ N DE = 0. Nó E:. ∑H = 0. ⇒ N AE = 0. Nó A:. ∑ V = 0 ∴1 − N. DA. = 0 ⇒ N DA = 1. Reação Vertical em D (RD):. ∑V. D. = 0 ∴ RD 2 + N DA = 0 ⇒ R D 2 = −1. 111.

(112) Método das Forças. Treliças. Quadro Resumo dos Esforços: Barra. {EA}i. Li. {N L }i. {n 1 }i. {n 2 }i. AB. EA. 1,5. 111,603. − 2. BC. EA. 3,0. 111,603. 0. DA. EA. 1,5. 86,603. − 2. AE. EA. 1,5 2. -122,474. 1. 0. DB. EA. 1,5 2. 0. 1. 0. DE. EA. 1,5. 0. − 2. EB. EA. 1,5. 0. − 2. EC. EA. 3,354. -96,825. 0. 2. 0 1. 2. 0. 2. 0. 2. 0. 0. Cálculo dos Coeficientes: Barra. 112. {N L ⋅ n 1 ⋅ L}i {N L ⋅ n 2 ⋅ L}i. {(n ) ⋅ L}. {n 1 ⋅ n 2 ⋅ L}i. 2. 1. i. {(n. 2. )2 ⋅ L}i. AB. -118,372. 0. 0,75. 0. 0. BC. 0. 0. 0. 0. 0. DA. -91,856. 129,904. 0,75. -1,061. 1,5. AE. -259,807. 0. 1,5 2. 0. 0. DB. 0. 0. 1,5 2. 0. 0. DE. 0. 0. 0,75. 0. 0. EB. 0. 0. 0,75. 0. 0. EC. 0. 0. 0. 0. 0.