Matemática Completa

(1)

HINO NACIONAL

Letra: Joaquim Osório Duque Estrada

Música: Francisco Manuel da Silva

Ouviram do Ipiranga as margens plácidas

De um povo heroico o brado retumbante,

E o sol da Liberdade, em raios fúlgidos,

Brilhou no céu da Pátria nesse instante.

Se o penhor dessa igualdade

Conseguimos conquistar com braço forte,

Em teu seio, ó Liberdade,

Desafia o nosso peito a própria morte!

Ó Pátria amada,

Idolatrada,

Salve! Salve!

Brasil, um sonho intenso, um raio vívido

De amor e de esperança à terra desce,

Se em teu formoso céu, risonho e límpido,

A imagem do Cruzeiro resplandece.

Gigante pela própria natureza,

És belo, és forte, impávido colosso,

E o teu futuro espelha essa grandeza.

Terra adorada,

Entre outras mil,

És tu, Brasil,

Ó Pátria amada!

Dos filhos deste solo és mãe gentil,

Pátria amada,

Brasil!

9 7 8 8 5 3 2 2 8 4 9 2 1 ISBN 978-85-322-8492-1

MATEMÁTICA

COMPLETA

componente curricular:

MATEMÁTICA

ensino médio

Gio

VA

nni

Jr.

bon

Jorno

pA

ulo câm

Ar

A

2

ensino médio

M

ATEMÁTICA

C

OMPLET

A

componente cur ricular :

MA

TEMÁTICA

Deitado eternamente em berço esplêndido,

Ao som do mar e à luz do céu profundo,

Fulguras, ó Brasil, florão da América,

Iluminado ao sol do Novo Mundo!

Do que a terra mais garrida

Teus risonhos, lindos campos têm mais flores;

“Nossos bosques têm mais vida”,

“Nossa vida” no teu seio “mais amores”.

Ó Pátria amada,

Idolatrada,

Salve! Salve!

Brasil, de amor eterno seja símbolo

O lábaro que ostentas estrelado,

E diga o verde-louro desta flâmula

- Paz no futuro e glória no passado.

Mas, se ergues da justiça a clava forte,

Verás que um filho teu não foge à luta,

Nem teme, quem te adora, a própria morte.

Terra adorada,

Entre outras mil,

És tu, Brasil,

Ó Pátria amada!

Dos filhos deste solo és mãe gentil,

Pátria amada,

Brasil!

Manual do

(2)

(3)

componente curricular:

MATEMÁTICA

José Ruy Giovanni Jr.

Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo – USP. Professor de Matemática em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1985.

José Roberto Bonjorno

Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP. Professor de Matemática e Física em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1973.

Paulo Roberto Câmara de Sousa

Mestre em Educação pela Universidade Federal da Paraíba – UFPB. Especialização em Educação Matemática pela Universidade Federal Rural de Pernambuco – UFRPE. Licenciado em

Matemática pela Universidade Federal de Pernambuco – UFPE. Professor de Matemática do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1974. Professor de programas de formação continuada e pós-graduação desde 1990.

2

3a_edição São Paulo, 2013

ENSINO MÉDIO

MATEMÁTICA

COMPLETA

MANUAL DO

PROFESSOR

(4)

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Giovanni Júnior, José Ruy

Matemática completa : 2o_{ano / José Ruy}

Giovanni Jr., José Roberto Bonjorno, Paulo Roberto Câmara de Sousa . 3. ed. --São Paulo : FTD, 2013.

Componente curricular: Matemática ISBN 978-85-322-8491-4 (aluno) ISBN 978-85-322-8492-1 (professor)

1. Matemática (Ensino médio) I. Bonjorno, José Roberto. II. Sousa, Paulo Roberto Câmara de. III. Título.

13-03934 CDD-510.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino médio 510.7

Diretora editorial

Silmara Sapiense Vespasiano

Editora

Juliane Matsubara Barroso

Editora adjunta

Flávia Renata P. de Almeida Fugita

Editores assistentes

Dario Martins de Oliveira Kátia Takahashi

Assistentes de produção

Ana Paula Iazzetto Lilia Pires

Assistente editorial

Gislene Aparecida Benedito

Supervisora de preparação e revisão de textos

Sandra Lia Farah

Preparadores

Amanda Lenharo di Santis José Alessandre da Silva Neto

Revisores

Carina de Luca Daniella Haidar Pacifico Desirée Araújo S. Aguiar Francisca M. Lourenço Giseli Aparecida Gobbo Júlia Siqueira e Mello Juliana Cristine Folli Simões Juliana Rochetto Costa Lilian Vismari Carvalho Maiara Andréa Alves Pedro Henrique Fandi

Operadora de editoração eletrônica

Gislene Aparecida Benedito

Coordenador de produção editorial

Caio Leandro Rios

Editor de arte

Fabiano dos Santos Mariano Projeto gráfico e capa Fabiano dos Santos Mariano

Ilustrações que acompanham o projeto Editoria de Arte

Fotos da capa

Haveseen/Shutterstock/Glow Images Filip Fuxa/Shutterstock/Glow Images Chistian Delbert/Shutterstock/Glow Images

Iconografia Supervisora Célia Rosa Pesquisador(es) Dulce Plaça Eliana Almeida Nelson Molinari Jr. Editoração eletrônica Diagramação Setup Bureau Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin Eziquiel Rachetti

Vânia Aparecida Maia de Oliveira

Gerente executivo do parque gráfico

Reginaldo Soares Damasceno

Matemática Completa

Editora FTD S.A.

Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP CEP 01326-010 – Tel. (0-XX-11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970

Internet: www.ftd.com.br E-mail: ensino.medio@ftd.com.br

(5)

Esta coleção do Ensino Médio tem como objetivo auxiliar e estimular você a compreender a Matemática e sua presença dinâmica no dia a dia. Após cada conceito, na intenção de ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos adquiridos, os volumes destacam exemplos que analisam a resolução de atividades e oferecem vasta gama de exercícios, nos quais você pode priorizar a compreensão e aplicação do conteúdo abordado. Paralelamente aos contextos matemáticos específi cos, a coleção propõe a leitura e interpretação de textos que buscam aguçar sua curiosidade e levá-lo(a) a refl etir sobre a realidade socioeconômica atual e seu comprometimento em relação à cidadania e à sustentabilidade ambiental. Além de primordiais para o prosseguimento educacional nesse período, esses aspectos também são fundamentais para a formação humana contemporânea.

Os Autores

(6)

60Capítulo 2  Matrizes

Conteúdos apresentados neste capítulo: · Conceito de matriz · Matriz quadrada · Igualdade de matrizes · Adição e subtração de matrizes · Multiplicação de um número

real por uma matriz · Multiplicação de matrizes · Inversa de uma matriz

1 Conceito de matriz

Matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos. Nas matrizes, cada número é chamado elemento da matriz. As filas ho-rizontais são denominadas linhas e as filas verticais são chamadas colunas.

Observe a matriz a seguir: 108 9 4 5 6 5 710 12 116 108 9 4 5 6 5 710 12             ou 1 116               Nesse exemplo, a matriz tem 4 linhas e 3 colunas. Dizemos que essa é uma matriz do tipo 4 3 (4 linhas e 3 colunas). Lê-se: quatro por três.

Vejamos outros exemplos:

2 3 1 7 6 8     matriz 2 3 4₅12   matriz 1 3

Essa matriz tem uma só linha. Dizemos que é uma matriz linha.

1

7   matriz 2 1

Essa matriz tem uma só coluna. Dizemos que é uma matriz coluna.

 0 0 0 0 0 0         matriz 3 2

Como todos os elementos dessa matriz são iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula.

Em geral, indicamos a matriz nula por 0, sem mencionarmos o tipo da matriz. Numa matriz, cada número ocupa uma posição definida por sua linha e por sua coluna, nessa ordem.

Representação genérica

De modo geral, uma matriz A de m linhas e n colunas (m n), ou seja, uma matriz Am × n, é indicada assim:

… … … …                   × A a a a a a a a a a a a a a a a a m n 11 12 13 1n 21 22 23 2n 31 32 33 3n m1 m2 m3 mn com m, n N*

Em uma matriz A, a32 representa o elemento da 3a linha e da 2a coluna, enquanto a23 representa o ele-mento da 2a linha e da 3a coluna.

Abreviadamente, a matriz genérica A pode ser representada assim: A m n [aij]m n ou A m n (aij)m n

Nessa expressão, i assume valores no conjunto {1, 2, 3, ..., m} e j assume valores no conjunto {1, 2, 3, ..., n}. 1a coluna 2a coluna 3a coluna 10 8 9 4 5 6 5 710 12 11 6             1a linha 2a linha 3a linha 4a linha

270Capítulo 8 Noções de Estatística

Observação: Uma amostra para representar bem uma população, deve propiciar semelhança com aquilo que distingue a população a ser observada, isto é, deve ter “a cara da população”. Para estudar o aproveita-mento do aprendizado dos alunos do Ensino Médio de uma cidade, por exemplo, convém entrevistar não ape-nas os alunos do 3o ano ou não somente os alunos de uma única escola dessa cidade, ou seja, é necessário diversificar a composição da amostra.

Estabelecendo conexões Inferência e publicidade

Inferir significa deduzir por meio de raciocínio, delimitar com base em conclusão ou consequência. Em Estatística, inferência é um ramo que estuda técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, de informações e conclusões que são elaboradas com base na análise de subconjuntos, geralmente de tamanho muito menor. Empre-gando a linguagem vista neste capítulo, podemos dizer que a inferência estatística visa estudar a população com base na amostra.

Essa ideia ocorre no dia a dia, por exemplo, quando se experimenta uma pequena quantidade de um alimento para verificar se ele está ou não totalmente quente, ou então quando o vendedor oferece uma laranja ao comprador para que ele decida se vai ou não comprar.

É evidente que tal analogia transmite uma visão simplista de infe-rência. Há outros exemplos de aplicação, bem mais complexos, como a inferência usada nas pesquisas para o mercado publicitário ou nas pesquisas eleitorais.

No Brasil, as pesquisas eleitorais, em geral, são feitas por empresas ligadas à Associação Brasileira de Empresas de Pesquisa (Abep) e, além de registradas em órgãos governamentais, precisam informar, entre outras coisas, as técnicas e os controles de qualidade realizados.

Em uma pesquisa, um aspecto importante refere-se à coleta da amostra. Na escolha de uma amostra, é necessária uma quantidade de informações que, de acordo com as técnicas desenvolvidas, determina-rão o quanto a inferência pode vir a se concretizar, ou seja, qual é a margem de confiança da pesquisa. Para um alto grau de confiança, as amostras devem ser rigorosamente representativas da po-pulação em estudo, selecionadas por meio de critérios estatísticos – quotas proporcionais de sexo, idade, grau de instrução e setor de dependência econômica, por exemplo – e com base nas fontes oficiais de dados do país, como o Tribunal Regional Eleitoral (TRE), o Tribunal Superior Eleitoral (TSE) e o já citado IBGE.

Fontes de pesquisa: MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. de. Noções de probabilidade e estatística. Edusp: São Paulo, 2013; ABEP.

Disponível em: <www.abep.org/novo/>. Acesso em: 4 fev. 2013.

A Câmara Internacional de Comércio (ICC, na sigla em inglês) e a Sociedade Europeia para Pesquisa de Opinião e Mercado (Esomar, na sigla em inglês), criaram o Código Internacional ICC/Esomar. Consulte-o no site <http://ler.vc/fymrqp> e responda:

a) Quais são os direitos de uma pessoa entrevistada em uma pesquisa de mercado? b) Que providência um pesquisador deve tomar para entrevistar uma criança ou um menor de idade?

Atividade FAÇA NO

CADERNO

Wdstock/Getty Images

Trigonometria no ciclo  Capítulo 19 8Capítulo 1  Trigonometria no ciclo

Saco do Mamanguá, maré alta. Paraty, RJ, 2007.

Quase três quartos da superfície do planeta Terra são cobertos pela água dos mares e oceanos.

A força gravitacional entre a Lua e a Terra provoca nessa massa um mo-vimento que altera o nível da água no litoral ao longo do dia. Esse fenômeno é chamado de maré. Na maré alta, a água avança sobre o litoral. Na maré baixa, ela recua. Esse ciclo se repete a cada seis horas, aproximadamente.

Esse fenômeno periódico pode ser modelado por uma função trigonomé-trica. Neste capítulo, você vai estudar conteúdos relacionados à Trigonome-tria, entre eles as funções seno, cosse-no e tangente.

Saco do Mamanguá, maré baixa. Paraty, RJ, 2007.

AQUI TEM MATEMÁTICA

Fotos: Fabio Colombini

CAPÍTULO

1

Trigonometria no ciclo

Ícone calculadora

Os exercícios com este ícone trabalham o uso da calcu-ladora para resolver a atividade.

Ícone Desafio

Os exercícios com este ícone apresentam uma ampliação da análise e aplicação do conteúdo estudado.

Conteúdos

apresentados neste capítulo

No início de cada ca-pítulo, é apresenta-da uma relação dos conteúdos que serão trabalhados. Abertura de capítulo Apresenta um tema relacionado ao conteú-do matemático que será desenvolvido no capítulo. Este tema vol-tará a ser abordado na seção Retomando e pesquisando.

Estabelecendo conexões

Este boxe apresenta textos que exploram a relação entre a Mate-mática e outras áreas, ou entre conceitos da própria Matemática.

(7)

Tecnologia

Probabilidade _{Capítulo 6}185 Acompanhe como usar uma planilha eletrônica para resolver problemas de Probabilidade. Siga o roteiro:

 Abra uma planilha no Libre Office e nomeie-a de Probabilidade.

 Em Inserir Função, a categoria Estatística possui uma fórmula que permite simular um grande nú-mero de lançamento de moedas ou dados. Trata-se da função: DISTRBINOM (distribuição binomial).

 A sintaxe dessa função é: DISTRBINOM:

 X: número de sucessos em uma série de tentativas.

 Tentativas: o número total de tentativas.

 PS: a probabilidade de sucesso em uma tentativa.

 Acumulado: A0 calcula a probabilidade individual e A 1 calcula a probabilidade acumulada. No nosso caso, utilizaremos para essa variável lógica A 0.

 Construa uma tabela na planilha com os campos: X: sucessos; Tentativas; PS e Probabilidade. Vamos supor que estamos lançando uma moeda 4 vezes e desejamos saber qual a probabilidade de obtermos, nesses lançamentos, 3 “caras”. Utilizando a planilha, basta preenchermos a tabela com os valores 3, 4, e 0,5 e colocarmos o cursor na célula referente ao cálculo da probabilidade.

Acionamos a fórmula DISTRBINOM e completamos com os valores: X 3; Tentativas 4; PS 0,5 e A 0 Ao acionarmos o OK, obteremos a solução do problema: 0,25 ou 1₄

Utilize a planilha do Libre Officepara resolver os itens a seguir:

a) Ao lançarmos uma moeda 10 vezes qual a probabilidade de que em 7 desses lançamentos apareçam a face “cara” voltada para cima?

b) Nessa mesma situação, encontre a probabilidade de aparecerem pelo menos 4 “caras”.

Libr

e Of

fice

Atividade FAÇA NOCADERNO

Funções logarítmicas  Capítulo 8295 294Capítulo 8  Funções logarítmicas

LEITURA E COMPREENSÃO

Noções de Estatística  Capítulo 8295 294Capítulo 8  Noções de Estatística

Lager

eek/Karlium/Easypix

Fabio Colombini

Segundo a organização não governamental SOS Mata Atlântica, somados todos os fragmentos de floresta nativa acima de 3 hectares, temos atualmente 11% da mata atlântica que existia originalmente. (Fonte de pesquisa: <http://www. sosma.org.br/nossa-causa/a-mata-atlantica/>. Acesso em: 3 maio 2013.)

Segundo a pesquisa, os moradores também se preocupam com a poluição de rios e cachoeiras (33%), mares e praias (28%), queimadas (28%), construções irregulares (22%), invasão de áreas prote-gidas (21%), falta de educação ambiental (13%), caça ilegal (12%), poluição do ar (12%) e pesca ilegal (10%).

O zelo pela preservação ambiental em Ilhabela também é revelado por outros dados da pesquisa. Cerca de 6 a cada 10 moradores é favorável à limitação da entrada de veículos em Ilhabela, número similar ao dos ilhabelenses que aprovam a cobrança da taxa de preservação am-biental na saída de veículos do município. Sobre a pesquisa: O Ibope Inteligên-cia realizou 406 entrevistas domiciliares no município, entre 11 e 15 de agosto deste ano [2012]. O percentual de erro é de 5 pontos percentuais sobre os re-sultados da amostra. O objetivo foi medir e acompanhar a evolução de indicadores de aspectos relacionados à cidade para auxiliar nas discussões de políticas pú-blicas e programas de Governo voltados para Ilhabela.

Fonte: IBOPE. Cresce a preocupação com o desmatamento em Ilhabela, 4 set. 2012. Disponível em: <http://www.ibope.com.br/pt-br/noticias/Pagi-nas/Cresce-a-preocupacao-com-o-desmatamento-em-Ilhabela-no-litoral-norte-paulista.aspx>. Acesso em: 7 fev. 2013.

Interpretando o texto FAÇA NO

CADERNO

1. A reportagem trata de um dos poucos lugares do Brasil que preserva a Mata Atlântica. Que lugar é esse?

2. Segundo a pesquisa do Ibope Inteligência, qual foi o índice percentual de aumento, de 2010 para 2012, no número de pessoas que considerava o desmatamento como um dos problemas ambientais mais sérios da ilha?

3. Qual foi a amostra da pesquisa do Ibope tratada na reportagem?

4. O percentual de erro é de 5 pontos percentuais sobre os resultados da amostra. O que isso significa?

5. Em que período as entrevistas da pesquisa foram realizadas?

6. Qual o objetivo da pesquisa?

Joel Silva/Folhapr

ess

Em nosso cotidiano, usamos a Estatística para estabelecer os índices de inflação ou de emprego e desemprego, por exemplo. E você sabe definir o que é Estatística?

Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a Estatística é uma ciência que cuida da coleta de dados, que são organizados, analisados e então utilizados para determinado objetivo. No caso do IBGE, a principal importância da Estatística é informar sobre a realidade do Brasil por meio de números. Além disso, os conceitos estatísticos podem também ser aplicados em outras ciências. Na Medicina, por exemplo, a estatística serve para saber se um novo tratamento é eficaz para determinada doença.

Fonte de pesquisa: IBGE 7 a 12. O que é estatística? Disponível em: <http://7a12.ibge.gov.br/sobre-o-ibge/o-que-e-estatistica>. Acesso em: 7 fev. 2 013.

Veja a seguir uma reportagem que utiliza dados estatísticos.

Cresce a preocupação com o desmatamento em Ilhabela Poluição de rios, cachoeiras, mares e

praias também aparecem como sérios pro-blemas da cidade.

Ilhabela, no litoral norte de São Paulo, é um dos poucos lugares do país que preservam a Mata Atlântica brasileira, hoje reduzida a 22% da sua cobertura original, de acordo com dados do Ministério do Meio Ambiente. No arquipélago paulista, a preocupação dos moradores com o desmatamento vem aumentando nos últimos anos. Segundo a pesquisa do [Instituto Brasileiro de Opinião Pública e Estatística] Ibope Inteligência, em 2010, 24% da população considerava o desmatamento como um dos problemas ambientais mais sérios da ilha, percentual que subiu para 38% em 2012.

Tecnologia

Neste boxe são trabalhadas atividades que utilizam algum recurso tecnológico, como calculadora ou softwares ma-temáticos.

Leitura e compreensão

Em alguns capítulos, esta seção apresenta um texto relacionado aos conteúdos desen-volvidos, acompanhado de questões que traba-lham a compreensão desse texto.

Em outros, traz uma questão seguida de um encaminhamento que objetiva desenvolver habilidades e compe-tências cognitivas.

56 Capítulo 1  Trigonometria no ciclo RETOMANDO E PESQUISANDO

Na seção Aqui tem matemática, na abertura deste capítulo, você viu que existe um deslocamento das águas do oceano, gerando as marés. Observe nas imagens a seguir a mesma paisagem em dois momentos distintos.

1. Nas imagens acima, você deve ter observado que o nível da água em relação ao litoral nesse local não é o mesmo nos dois momentos em que as fotografias foram tiradas. Isso ocorre devido ao movimento das marés. Acesse o site <http://www.climatempo.com.br/tabua-de-mares/> (acesso em: 27 maio 2013) e veja a tábua de marés para pelo menos três dias quaisquer na cidade de Paraty, Rio de Janeiro, e responda: qual é o intervalo de tempo entre duas marés altas? E entre duas marés baixas?

2. Suponha que, em determinado período, a altura da maré em Paraty seja dada, aproximadamente, pela função h(t) 0,705 senπ₆t 0,415, em que h é a altura e t é a hora do dia, com 0 t 24. Con-sidere ainda que a altura máxima atingida seja 1,12 m, e a mínima, 0,29 m. Responda: a) Qual é a amplitude da maré?

b) Em que hora do dia a maré atinge altura máxima?

Saco do Mamanguá, maré baixa. Paraty, RJ, 2007. Saco do Mamanguá, maré alta. Paraty, RJ, 2007.

Fotos: Fabio Colombini

Ver Orientações para o Professor.

Retomando e pesquisando

Apresenta textos e atividades acom-panhados de indicações de sites, revistas ou livros em que são en-contradas informações sobre o tema abordado na abertura do capítulo, proporcionando uma oportunidade de se pesquisar algum assunto re-lacionado a esse tema.

Os ícones abaixo indicam pontos onde você encontra material complementar no livro digital. Clique em cada um deles para ter acesso.

Vídeo/áudio Texto

Objetos educacionais Imagens enriquecidas

Professor, você encontrará mais informações sobre esse material nas Orientações do livro digital para o Professor.

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Sumário

4

Adição e subtração de matrizes ... 66

Exercícios ... 68

5

Multiplicação de um número real por uma matriz ... 68

Exercícios ... 69

6

Multiplicação de matrizes ... 70

Exercícios ... 74

Tecnologia ... 76

7

Inversa de uma matriz... 77

Exercícios ... 78 RETOMANDO E PESQUISANDO ... 79 LEITURA E COMPREENSÃO ... 80 Capítulo 3 •

Determinantes

1

Introdução ... 84

2

Determinantes de matrizes quadradas de ordens 1 e 2 ... 85 Exercícios ... 86 Estabelecendo conexões ... 87

3

Determinante de uma matriz de 3a_ordem - Regra de Sarrus ... 87

Exercícios ... 89

4

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 .... 90

Exercícios ... 92 Estabelecendo conexões ... 93 Tecnologia ... 94

5

Propriedades e teoremas ... 95 Exercícios ...100, 102 RETOMANDO E PESQUISANDO ...102 LEITURA E COMPREENSÃO ...103

Capítulo 4 •

Sistemas lineares

1

Equação linear ...106

Exercícios ...107

2

Sistemas lineares ...108

Exercícios ...110

Estabelecendo conexões ...111

3

Classificação de um sistema linear ...112

Exercícios ...113

4

Matrizes associadas a um sistema linear ...114

Exercícios ...115

Tecnologia ...116

5

Resolução de um sistema linear por escalonamento ...117

Exercícios ...122

6

Discussão sobre um sistema linear ...122

Exercícios ...124

RETOMANDO E PESQUISANDO ...124

Capítulo 1 •

Trigonometria no ciclo

1

Circunferência: arco, ângulo central ... 10

2

Unidades de medida de arcos e ângulos ... 11

Exercícios ... 14

3

Circunferência trigonométrica ... 15

Exercícios ... 18

4

Seno e cosseno de um arco ... 18

Exercícios ... 23 Estabelecendo conexões ... 23 Exercícios ... 28 Tecnologia ... 30

5

Tangente de um arco ... 30 Exercícios ... 34

6

Equações trigonométricas ... 35 Exercícios ... 38

7

Cotangente de um arco ... 38 Exercícios ... 40

8

Secante e cossecante de um arco ... 40

Exercícios ... 41

9

Relação trigonométrica fundamental ... 42

Exercícios ... 43

10

Propriedades dos arcos complementares ... 43

Exercícios ... 44

11

Equações trigonométricas que envolvem artifícios ... 45

Exercícios ... 46

12

Fórmulas da adição de arcos ... 46

Exercícios ... 48

13

Fórmulas da multiplicação de arcos ... 49

Exercícios ... 51

14

Identidades trigonométricas ... 52 Exercícios ... 53

15

Inequação trigonométrica ... 54 Exercícios ... 55 Estabelecendo conexões ... 55 RETOMANDO E PESQUISANDO ... 56 LEITURA E COMPREENSÃO ... 57 Capítulo 2 •

Matrizes

1

Conceito de matriz ... 60

2

Matriz quadrada ... 61 Exercícios ... 62

3

Igualdade de matrizes ... 63 Exercícios ... 65 Estabelecendo conexões ... 65

(9)

Capítulo 5 •

Análise combinatória

1

Problemas que envolvem contagem ...128

Exercícios ...130

2

Princípio multiplicativo ...131 Exercícios ...133 Estabelecendo conexões ...134

3

Fatorial ...135 Exercícios ...136

4

Arranjo simples ...137

5

Permutação simples ...140 Exercícios ...142

6

Permutação com elementos repetidos ...142

Exercícios ...144

7

Combinação simples ...144 Exercícios ...148

8

Número binomial ...149 Exercícios ...152 Estabelecendo conexões ...152

9

Fórmula do binômio de Newton ...153

Exercícios ...154

Tecnologia ...155

10

Termo geral do binômio de Newton ...156

Exercícios ...157 RETOMANDO E PESQUISANDO ...157 LEITURA E COMPREENSÃO ...158 Capítulo 6 •

Probabilidade

1

Experimentos aleatórios ...162 Exercícios ...165

2

Probabilidade ...166, 170 Estabelecendo conexões ...172

3

Probabilidade da união de dois eventos ...173

Exercícios ...174

4

Probabilidade condicional ...176 Exercícios ...179

5

Eventos independentes ...180 Exercícios ...183 Tecnologia ...185

6

Experimentos não equiprováveis ...186

Exercícios ...186

LEITURA E COMPREENSÃO ...188

Capítulo 7 •

Geometria

1

Geometria no plano e no espaço ...192

Exercícios ...196, 198, 202, 205, 208

2

Tópicos de Geometria plana ...209

Exercícios ...211, 214

3

Poliedros ...216 Exercícios ...219, 220

4

Prismas ...220 Exercícios ... 223, 226, 228 Estabelecendo conexões ...230 Exercícios ...231 Tecnologia ...233

5

Pirâmides ...234 Exercícios ...237, 239, 241, 244, 245

6

Cilindros ...246 Exercícios ...248, 249

7

Cones ...251 Exercícios ... 254, 256, 259

8

Esferas ...260 Exercícios ...261, 263 RETOMANDO E PESQUISANDO ...264 LEITURA E COMPREENSÃO ...265

Capítulo 8 •

Noções de Estatística

1

Estatística: introdução ...268

Estabelecendo conexões ...270

2

Frequências ...271

Exercícios ...273

3

Representação gráfica da distribuição de frequências . ..274

Exercícios ...277

4

Distribuição de frequências com dados agrupados ..279

Exercícios ...281

5

Medidas de tendência central ...282

Exercícios ...284, 288

6

Desvio médio ...288

Exercícios ...291

7

Variância e desvio padrão ...291

Exercícios ...293

LEITURA E COMPREENSÃO ...294

Sugestões para pesquisa e leitura ...296

Lista de siglas ...298

Respostas ...299

(10)

Saco do Mamanguá, maré alta. Paraty, RJ, 2007.

CAPÍTULO

1

(11)

Trigonometria no ciclo l Capítulo 1

9

Quase três quartos da superfície do planeta Terra são cobertos pela água dos mares e oceanos.

A força gravitacional entre a Lua e a Terra provoca nessa massa um mo-vimento que altera o nível da água no litoral ao longo do dia. Esse fenômeno é chamado de maré. Na maré alta, a água avança sobre o litoral. Na maré baixa, ela recua. Esse ciclo se repete a cada seis horas, aproximadamente.

Esse fenômeno periódico pode ser modelado por uma função trigonomé-trica. Neste capítulo, você vai estudar conteúdos relacionados à Trigonome-tria, entre eles as funções seno, cosse-no e tangente.

Saco do Mamanguá, maré baixa. Paraty, RJ, 2007.

AQUI TEM MATEMÁTICA

Fotos: Fabio Colombini

(12)

Conteúdos apresentados neste capítulo:

·

Circunferência: arco, ângulo

central

·

Unidades de medida de arcos

Secante e cossecante de um

arco

·

Relação trigonométrica

fun-damental

·

Propriedades dos arcos

com-plementares

·

Equações trigonométricas que

Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.

Os pontos A e B são chamados extremidades dos arcos.

Neste livro, desde que não haja indicação explícita em contrário, convencionamos indicar os arcos menores de uma circunferência apenas pelos extremos. A extremidade B arco AB extremidade

A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente, isto é, o ângulo que tem vértice no centro da circunferência e cujos lados passam pelos extremos do arco.

A medida do arco AB é . Representa-se por med (AB).

Note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento (me-dida linear) desse arco. Os arcos AB e CD possuem a mesma medida , porém não têm o mesmo comprimento. A B α O C D α O A B

A circunferência e suas partes são utilizadas em muitas situações cotidianas, em plantações e em construções.

James L. Amos/Corbis/Latinstock

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11

2 Unidades de medida de arcos e ângulos

Para expressar a medida de arcos e ângulos, utilizamos o grau e o radiano.

Grau

Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma dessas partes é um arco de

1o_{(lê-se um grau).}

Então, observamos que a circunferência possui 360.

arco de 90° arco de 180° arco de 270° arco de 360°

Assim, o ângulo AOB e o arco AB da figura medem, cada um, 50. Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.

Um minuto é igual a 1 60 do grau. Um segundo é igual a 1 60 do minuto. Usamos os símbolos:

Grau Minuto Segundo

°  

Por exemplo, se a medida de um arco é 50 graus, 15 minutos e 27 segundos, indicamos: 50 15 27.

Radiano

Quando o comprimento de um arco é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém, dizemos que esse arco mede 1 radiano (indicamos 1 rad).

Na figura:

comprimento do arco AB : r

medida do arco AB : 1 rad Escrevemos: med (AB) 5 1 rad

Para determinar a medida a de um arco qualquer PQ em radiano, basta fazermos a proporção: med (PQ)

medida do arco de 1 volta

5_{comprimento da circunferência}comprimento de PQ V₂a_π5_{2 r}_π, V a5,_r

90 100 120 140 4030 50 60 70 80 180 210 240 160 270 300 330 0 20 360

0

10

1º 10 B 50o _{arco de 50}o A O arco de comprimento r A O B 1 rad r r

(14)

Em geral, para determinar a medida a de um arco PQ em radiano, basta dividirmos a medida do compri-mento do arco () pela medida do raio da circunferência que o contém (r):

a5med

( )

PQ� 5 ,_r

Por exemplo, a medida de um arco PQ de comprimento 8 cm, contido numa circunferência de raio igual a 4 cm, é 2 rad, pois:

med ( PQ ) 5 , r 5

8 cm

4 cm 5 2 rad

Como o comprimento da circunferência mede C 5 2pr, a medida, em radiano, da circunferência toda é: a 5 C_r 5 2 r_rπ 5 2π

arco de p rad

arco de 2p rad arco de π₂ rad arco de π3_{2 rad}

Ilustrações: Editoria de Arte

Comparando as medidas desses arcos em grau e em radiano, obtemos: Unidade Amplitude grau 0° 90° 180° 270° 360° radiano 0 rad π 2 rad p rad π 3 2 rad 2p rad

Comprimento de um arco

Para determinar o comprimento  do arco AB correspondente a um ângulo central de medida a, em grau ou em radiano, podemos então estabelecer a seguinte regra de três simples e direta:

360° ou 2p rad (volta completa) corresponde a 2pr;

a corresponde ao comprimento .

Ângulo Comprimento

360° 2 p r a (em graus) ,

ou Ângulo2p rad Comprimento2 p r a (em rad) ,

A unidade de medida usada para obter o comprimento do arco é a mesma que se usa para obter o comprimento do raio.

Observe a seguir alguns exemplos de situações envolvendo arcos e ângulos da circunferência.

90° 2rad 5 π 270° 3 2 rad π 360o2 rad_π 180° πrad 0 A B α º O r r

(15)

13

1.

Eratóstenes, matemático e astrônomo grego que viveu no século III a.C., foi o primeiro a medir com certa precisão a circunferência terrestre e, portanto, determinar a medida do raio da Terra. No processo utilizado, ele teve de medir o ângulo formado entre duas cidades no Egito, Alexandria e Siena, obtendo 7 12, como mostra a figura abaixo. Escreva essa medida em grau, utilizando a notação decimal, e em radiano. Siena 7°12 δ Alexandria arco da_circunfer ê_ncia da_T er_ra Resolução

Para escrever 12 em grau, aplicamos uma regra de três:

minuto grau

60 1

12 x

x 5 12_{60 1}? 5 51₅ 0,2

Portanto, 7° 12 equivale à soma 7° 1 0,2°, isto é, a 7,2°.

Agora, também com uma regra de três, vamos estabelecer a relação entre grau e radiano:

grau radiano 180 p 7,2 x V V 5 5 5 180 7,2 πx 25 πx x 25π

Portanto, 7° 12 equivale a 25 radπ .

Exemplos

2.

_{Expresse 6 rad em grau.}π

Resolução

Estabelecemos a seguinte regra de três:

grau radiano 180 p x ₆π 180 x 6 180 x 6 6 x 1806 30 V V 5π_π 5 _ππ5 5 5

Logo, 6 radπ equivale a 30°.

3.

As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâ-metro.

Alberto De Stefano

60 cm

a) Qual é o comprimento aproximado da circunfe-rência dessa roda?

b) Aproximadamente quantas voltas dará cada roda num percurso de 94,2 m?

Use o valor aproximado 3,14 para p.

Resolução

a) A medida do raio é igual à metade da medida do diâmetro.

Logo: r 5 30 cm

Assim, o comprimento da circunferência da roda é: C 5 2pr V C  2 · 3,14 · 30 5 188,4

Portanto, a circunferência dessa roda mede apro-ximadamente 188,4 cm.

b) Como 188,4 cm 5 1,884 m, a cada volta da roda a bicicleta percorre 1,884 m.

Para percorrer 94,2 m, o número de voltas será dado pelo quociente:

94,2 : 1,884 5 50

Portanto, ela dará 50 voltas.

(16)

FAÇA NO

CADERNO

Exercícios

4.

Determine, em grau e em radiano, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 8h20min.

Resolução Vamos considerar:

a a medida do ângulo pedido;

x a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das

horas em 20 min, a partir das 8h. 12 11 10 9 8 7 ₆ 5 4 3 2 1 30º 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 30º 120º

O mostrador do relógio é dividido em 12 arcos iguais. Por isso, o arco compreendido entre dois números consecutivos mede 360°

12 , ou seja, 30 .°

Assim, a 5 x 1 120.

Como a cada 60 minutos o ponteiro das horas percorre 30, temos:

tempo (min) ângulo (grau)

60 30 20 x Assim, obtemos: V V 5 5 5 60 20 30x 3 30x x 10 (medida em grau) a 5 x 1 120 ä a 5 10 1 120 ä a 5 130 Em radiano: grau radiano 180 130 130 180 1318 a a _______π ______ _⇒ 5 ?π5 π

O menor ângulo formado pelos ponteiros de um

relógio às 8h20 mede 130 ou 13₁₈π rad.

1.

(Inatel-MG) Qual é o comprimento de um arco de 60, em uma circunferência que tem 90 cm de raio?

2.

Quanto mede em graus, aproximadamente, um arco de 1 rad?

Considere p 5 3,14. 57° 19' 29''

3.

A figura a seguir representa a planta do terraço de um apartamento. Qual o perímetro do piso desse terraço?

Considere p 5 3,14. 30,56 m

5 m 4 m

4 m

4 m 4 m

4.

(Enem-MEC) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Consideran-do o raio da Terra igual a 6 370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: a) 16 horas b) 20 horas c) 25 horas d) 32 horas e) 36 horas 30 p cm X

5.

(Mack-SP) A figura representa uma pista não oficial de atletismo, com 4 raias para corridas, cujas curvas são determinadas por semicircunferências. Cada raia tem largura igual a 2 m e os atletas devem percorrer 300 m sobre as linhas, conforme as setas indicam na figura.

k r r d posições de partida para corridas de 300 m

sentido das corridas

d d

linha de chegada para corridas de 300 m

Sendo r 5 10 m e adotando p 5 3, o valor de k 1 d é: a) 248 m b) 247 m c) 245 m d) 244 m e) 240 m

6.

(Enem-MEC) Calcule o menor ângulo entre os pon-teiros de um relógio que marca 12 horas e 20 minutos. a) 120 b) 110 c) 100 d) 130 e) 115 X X

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Trigonometria no ciclo  Capítulo 1

15

7.

(Unimep-SP) Das 16h30min, até às 17h10min, o ponteiro das horas de um relógio percorre um arco de: a) 24

b) 40 c) 20 d) 18

e) Nenhuma das alternativas anteriores

8.

(Vunesp-SP) Em um jogo ele-trônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.

A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é: a) π 1 b) π 1 c) 2π 1 d) 2π e) 2π 1

9.

(UFG-GO) Deseja-se marcas nas trajetórias circulares concêntricas, representadas na figura a seguir, os pontos A

e B, de modo que dois móveis partindo, respectivamente,

dos pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na

mesma trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem.

X

1 rad

1 cm

X

Considerando-se que o ponto A deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m

do centro, o valor do ângulo , em graus, será igual a:

A linha de origem B α a) 30 b) 36 c) 45 d) 60 e) 72

10.

Qual o comprimento da chapa metálica necessá-ria para confeccionar a peça de fixação, em forma de U, mostrada na figura? As medidas indicadas estão em centímetro. Considere π 3,14. 61,4 cm Alexandr e Argozino Neto 10 15 X

3 Circunferência trigonométrica

Arco orientado

A figura mostra que o percurso de A para B pode ser feito no sentido anti--horário (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio), seguindo o arco alaranjados AB , ou no sentido horário, seguindo o arco verde AB .

Estabelecendo como positivo o sentido anti-horário e como negativo o sentido horário, temos:

O A B med (_AB_{) π2 rad} Editoria de Arte O B A med (AB) π3_{2 rad} B A O Editoria de Arte Editoria de Arte Editoria de Arte Editoria de Arte

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Circunferência trigonométrica

Vamos fixar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais uÔv no plano.

A circunferência orientada de centro na origem do sistema, de raio unitário (r 5 1) e cujo sentido positivo é anti-horário, é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico.

Sobre essa circunferência, vamos marcar os arcos trigonométri-cos que têm:

origem no ponto A (1, 0);

medidas algébricas positivas, se marcados no sentido anti--horário, e negativas, se marcados no sentido horário.

Os eixos do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes, chamadas quadrantes, numeradas a partir do ponto A, no sentido anti-horário.

Como a circunferência trigonométrica tem raio unitário (r 5 1), a medida de qualquer arco, em radiano, é numericamente igual ao com-primento desse arco:

a 5 5 5, , , r 1

Logo, no lugar de ₂π rad, escrevemos apenas ₂π ; em vez de 2 32π rad, escrevemos 232π e etc.

Além da origem A, cada arco trigonométrico tem como extremidade um único ponto na circunferência. Assim, é comum indicarmos o arco apenas por esse ponto, isto é, a cada número real x podemos associar um único ponto na circunferência. Esse ponto é chamado imagem de x no ciclo.

É como se enrolássemos a reta numérica na circunferência trigonométrica, com a parte associada aos números positivos “enrolada” no sentido anti-horário, e com a parte associada aos números negativos “enro-lada” no sentido horário. Em ambos os casos, a origem a reta coincide com o ponto A.

Para obter a imagem P de 3₄π , partimos de A e caminhamos 3₄π na circunferência, no sentido anti-horário. A imagem Q de 2 5₆π é obtida caminhando 5₆π no sentido horário na circunferência, a partir de A.

Arcos côngruos

Seja P um ponto da circunferência trigonométrica. É fácil verificarmos que, com origem em A e extremidade em P, há uma infinidade de arcos. Para isso, basta fazermos o percurso num sentido ou noutro e dar mais ou menos voltas completas na circunferência.

Vamos considerar, por exemplo, o arco AP de ₃π rad.

A(1, 0) O u v r 5 1 1 2 90° rad π rad 2π rad rad 180° 360° 270° III IV II I A v u 0° π 2 3π 2 π 4(45 )o P Q π 2(90 )o π 6(30 )o 3 2π(270 )o p (180o₎ _{0 (0}o₎ A 3 4π π 6 5 2 u v

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17 Exemplos

Existem infinitos arcos com extremidade P, côngruos a 3π rad. Veja o quadro:

De modo geral:

se um arco mede a graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: a 1 k ? 360°, com k  Z

se um arco mede a radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: a 1 2kp, com k  Z

chama-se primeira determinação positiva de um arco a medida  do arco côngruo a ele, tal que: 0 <  , 360° ou 0 <  , 2p rad P A v u O π 3 rad

1.

Um móvel percorreu um arco de 1 690° na circunferência trigonométrica, partindo do ponto A. Quantas voltas completas esse móvel deu, e em qual quadrante parou?

Resolução

1 690 360

250 4

1 690° 5 250° 1 4 ? 360° (expressão geral)

número de voltas completas o arco de 1 690° tem a mesma ex-tremidade que o arco de 250°

O móvel deu 4 voltas completas no sentido anti-horário e, como 180° , 250° , 270°, o móvel parou no

3o_quadrante.

2.

Calcule a 1a_{determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de 1 940°.}

Resolução

1 940 360

140 5

1 940° 5 140° 1 5 ? 360° (expressão geral)

número de voltas completas 1a_{determinação positiva}

A 1a_{determinação positiva é 140° e a expressão geral é a 5 140° 1 k ? 360°, com k  Z.}

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FAÇA NO

CADERNO

Exercícios

11.

Determine o quadrante em que está a extremidade dos seguintes arcos:

a) 21 640° b) 2 630° c) 2487

4 π rad

12.

Determine quantas voltas completas um móvel dá e em que quadrante ele para se, partindo da origem dos arcos, percorre, na circunferência trigonométrica, um arco de: a) 1 810° b) 25 4 radπ c) 21 200º d) 2 350° e) 316 radπ f) 17_{8 rad}π 2o_quadrante ₂o_quadrante 4o_quadrante 12. a) 5 voltas: 1o_quadrante b) 3 voltas: 1o_quadrante c) 3 voltas: 3o_quadrante d) 6 voltas: 3o_quadrante e) 2 voltas: 3o_quadrante f) 1 volta: 1o_quadrante

13.

Os polígonos regulares das figuras estão inscritos nas circunferências trigonométricas. Determine em grau e em radiano as primeiras determinações positi-vas dos arcos cujas extremidades são vértices de cada polígono: a) _M Q N P 60º b) B E O C A D F

Respostas no ﬁ nal do livro.

4 Seno e cosseno de um arco

Consideremos no ciclo trigonométrico o ponto M, que é a imagem de um número real x, conforme indica a figura.

Consideremos também o arco AM, que corresponde ao ângulo central de medida x. Seja OM o raio do ciclo, M’ e M” as projeções ortogonais do ponto M nos eixos u e v, respectivamente.

Do triângulo retângulo OM”M, temos: senx M”M

OM OM’ OM’ senx OM’ 5 5

1 5 Æ 5 cos x OM”

OM OM” OM cos x OM”

5 5 5 5

1 ” Æ Definimos:

• Seno de x é a ordenada do ponto M.

• Cosseno de x é abscissa do ponto M.

O eixo v é o eixo dos senos e o eixo u é o eixo dos cossenos. Daí, se M é um ponto do ciclo trigonomé-trico, podemos escrever: M (cos x, sen x).

Essas novas definições têm a vantagem de não ficarem restritas aos ângulos agudos do triângulo re-tângulo, como nas definições anteriores. Agora, podemos falar em seno e cosseno de arcos (ou ângulos) de qualquer medida.

No 1o_{quadrante (I), o seno é positivo e o}

cos-seno é positivo. A O sen x cos x M” M’ v M u

No 2o_{quadrante (II), o seno é positivo e o}

cosseno é negativo. M A O sen x cos x M” M’ v u M A O x M’ M” u r51 v

(21)

19

No 3o_{quadrante (III), o seno é negativo e o}

cosseno é negativo. M A O sen x cos x M” M’ v u

No 4o_{quadrante (IV), o seno é negativo e o}

cosseno é positivo. M A O M’ M” sen x cos x v u

Valores notáveis de sen x e cos x

Vamos destacar os valores do seno e do cosseno para os arcos com extremidade nos eixos v (dos senos) e u (dos cossenos), e também para os arcos do 1o_{quadrante cujos}

sen (180° 2 x) 5 sen x sen (p 2 x) 5 sen x cos (180° 2 x) 5 2cos x cos (p 2 x) 5 2cos x

cos sen O 1 1 1 1 3 2 2 2 1 2 1 2 2 2 ₂3 60º 3 π    45º 4 π    30º 6 π    90º 2 π    0° (0) 360°(2p) 180° 270º 3 2π   

(22)

Note que os arcos de medidas x e (180° 2 x) ou x e (p 2 x) são arcos suplementares e que suas extre-midades são pontos simétricos em relação ao eixo dos senos.

Dois arcos suplementares têm: senos iguais

cossenos simétricos

Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante

Grau Radiano 180o1x cos sen x π1x cos sen x

sen (180° 1 x) 5 2sen x sen (p 1 x) 5 2sen x cos (180° 1 x) 5 2cos x cos (p 1 x) 5 2cos x

Note que as extremidades desses arcos são pontos simétricos em relação à origem do sistema de eixos. Os arcos de medidas x e (180° 1 x) ou x e (p 1 x) têm: senos simétricos

cossenos simétricos

Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante

Grau Radiano 360o2x cos sen x 2π2x cos sen x

sen (360° 2 x) 5 2sen x sen (2p 2 x) 5 2sen x cos (360° 2 x) 5 cos x cos (2p 2 x) 5 cos x

Os arcos de medidas x e (360° 2 x) ou x e (2p 2 x) são arcos replementares e suas extremidades são pontos simétricos em relação ao eixo dos cossenos.

Dois arcos replementares têm: senos simétricos cossenos iguais

(23)

21

Das figuras também obtemos:

(360° 2 x) e 2x são medidas de arcos côngruos.

sen (360° 2 x) 5 sen (2x) 5 2sen x

cos (360° 2 x) 5 cos (2x) 5 cos x

Com base no que foi visto, podemos construir o quadro a seguir, que indica os valores do seno e do cosseno de arcos recorrentes em nosso estudo.

90° (0,1) 60° 45° 30° 330° 360° 0° 315° 300° 270° 240° 225° 210° 180° 150° 135° 120° π 3 π 2 π 4 π 6 11π 6 7_π 4 5π 3 3π 2 4π 3 5π 4 7_π 6 5π 6 3_π 4 2_π 3 (0,1) (1, 0) (1, 0) 1 2 , 2 3 2 , 2 2 2 1 2 , 2 3 1 2 , 2 3 2 , 2 2 2 2 , 2 2 2 2 , 2 2 2 1 2 , 2 3 1₂ , ₂3 2 , 3 1₂ 1 2 , 2 3 1 2 , 2 3 y π ₂_{π x}

£ (em grau) (em radiano) sen £ cos £

0° 0 0 1 30° π₆ 1 2 23 45° π₄ 2 2 2 2 60° π₃ 3 2 1 2 90° π₂ 1 0 120° 2π 3 23 212 135° 3₄π 2 2 2 22 150° 5₆π 1 2 223 180° _p 0 21

£ (em grau) (£ em radiano) sen £ cos £

210° 7₆π 21 2 223 225° 5₄π 2 2 2 2 22 240° 4₃π 2 3 2 212 270° 3₂π 21 0 300° 5₃π 2 3 2 1 2 315° 7₄π 2 2 2 2 2 330° 11₆π 21 2 23 360° _2p 0 1 Editoria de Arte

(24)

1.

A quantidade de energia consumida por uma cidade varia com as horas do dia. Os técnicos da companhia de energia conseguiram aproximar essa necessidade de energia pela função:

P(t) 40 20 cos 12 t 4

(

)

60

( )

π π π P(15) 60 MW

O consumo de energia é maior às 15h.

2.

Calcule os valores de sen 210° e cos 210°.

Resolução 210º cos sen 30º 1 2 ₂3 1₂ 3 2

Reduzindo esse arco ao 1o_{quadrante, temos:}

sen210ºsen30º1₂

cos210ºcos30º ₂3

3.

Calcule o valor da expressão E sen1830º cos13 sen163 . π π Resolução

Vamos calcular a 1a_{determinação positiva de cada}

arco: •1830º 360º 30º 5 1830º 30º 5 360º sen1830º sen30º 1₂ V • 13π π 12π π 6 2π cos 13π cos π 1 • 16 3π123π43π4π43π43π 2 2π

sen163πsen 43π(3o_quadrante)

Reduzindo do 3o_{para o 1}o_quadrante:

cos sen 4π 3 π 3 4 3π π π 3 e sen4₃πsenπ₃ ₂3 Então: E 1 2 1 3 2 1 2 3 2 1 3 3 3

4.

Simplifique a expressão A sen (900° x) cos (1 980° x) sen(1 440° x). Resolução Sabemos que: 900° 180° 2 360° 1 980° 180° 5 360° 1 440° 0 4 360° Logo:

sen (900° x) sen (180° x) sen x cos (1 980° x) cos (180° x) cos x sen (1 440° x) sen (x) sen x Substituindo na expressão, temos:

A sen x cos x sen x ⇒ A cos x

Exemplos

(25)

23 Estabelecendo conexões

FAÇA NO

CADERNO

Exercícios

14.

Sendo A5 cos5 1sen 6 13 4 π π    e

B 5 (sen 675° 2 cos 1 200°), qual a relação de ordem que podemos estabelecer entre A e B? A , B

15.

(FGV-SP) A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de um produto, é dada por f x

( )

5100 0 5x1 , 1 ?3 sen xπ₆ , em que x 5 1 corresponde a janeiro de 2011, x 5 2 correspon-de a fevereiro correspon-de 2011 e assim por diante.

A previsão de vendas (em toneladas) para o pri-meiro trimestre de 2011 é:

(Use a aproximação decimal 3 1,75 .) a) 308,55

b) 309,05

c) 309,55 d) 310,05

e) 310,55

16.

Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram que a população P de animais de certa espécie presente

na reserva variava durante o ano segundo a fórmula P(t) 5 500 2 150 cos t 2

3 1

(

)

π

X

em que t é o tempo medido em meses e t 51 corres-ponde ao mês de janeiro.

a) Qual seria a população de animais dessa espécie na reserva no mês de novembro? 425

b) E no mês de junho? 575

17.

(Acafe-SC) Analise o ciclo trigonométrico a se-guir e determine o perímetro do retângulo MNPQ, em unidades de comprimento. A alternativa correta é: a) 1 3 2 1 b) 1 2 31 c) 11 3 d) 21 3 e) 2 1

(

1 3

)

18.

(Fuvest-SP) Qual dos números é maior? Justifique. a) sen 830° ou sen 1 195° sen 830º

b) cos (2535°) ou cos 190° cos 190º

M 60° cos x1 1 sen x N Q O P X

O menor caminho

Imagine duas cidades sobre um mesmo paralelo, por exemplo, Budapeste e Quebec, que se localizam aproximadamente a 45° N e 19° L e a 45° N e 73° O, respectivamente. S P O B Q O’ N

Suponha que você vai viajar de avião de Quebec para Budapeste.

Intuitivamente, pode parecer que seu avião percorrerá a menor trajetória se sobrevoar na mesma direção do paralelo. No entanto, isso é um engano. Veja o porquê.

A distância entre dois pontos, Q e B, é o menor comprimento das trajetórias que ligam Q e B. Em uma superfície plana, a distância de Q a B é o comprimento do segmento de reta QB . Em uma superfície esférica, é o comprimento do menor arco QB contido na circunferência máxima por Q e B, que é a circunferência contida no plano que passa pelo centro da esfera.

Yoko Aziz/Age Fotostock/Easypix

Chris Cheadle/Age Fotostock/Easypix

Ver Orientações para o Professor.

Cidade de Quebec, capital da Província de

Quebec, Canadá. Budapeste é a maior cidade e também capital da Hungria.

A representação é apenas um esquema.

(26)

Então, o menor percurso de Quebec a Budapeste é pela circunferência máxima, que passa por essas cidades e tem o raio de mesmo comprimento que o raio da Terra, aproximadamente 6 380 km.

Cálculo do comprimento , do arco QB do percurso sobre o paralelo. Observe a figura da página anterior.

Sabendo que o ângulo de deslocamento QÔ’B mede 92° (73° 1 19°), podemos obter o raio O’B desse paralelo.

O ângulo £ e o ângulo O’BO são alternos internos, logo têm a mesma medida. Como o triângulo O’BO é retângulo em O’, tem-se que cosθ5 O’B_OB , ou O’B 5 OB cos £. Substituindo OB 5 OP por 6 380 km e £ por 45°, temos BO’  4 511 km.

Agora basta fazermos uma regra de três:

, 5 92 2 3 14 4511? ? ₃₆₀, ?  7240 , 2p ? B0

92° 360°

Portanto, a trajetória sobre o paralelo entre cidades é de aproximadamente 7 240 km.

Já por uma circunferência máxima, segundo informação obtida em <www.timeanddate.com> (acesso em: 24 set. 2012), a distância percorrida é de aproximadamente 6 428 km.

A diferença de 812 km (7 240 – 6 428) equivale a uma economia de aproximadamente 54 minutos em um voo cuja velocidade é de 900 km/h.

Gráfico das funções seno e cosseno

Para estudar a função seno, dada pela lei y 5 sen x, e a função cosseno, dada pela lei y 5 cos x, ambas definidas para todo x  R, vamos variar x no intervalo [0, 2p].

y 5 sen x

Verifique, na tabela da página 21, os valores de sen x que aparecem no gráfico.

0 π 2π 1 1 y x p 2= π 3 2 2 2 1 2 2 1₂ 2 2₂ 2 3₂ π 6 π4 π3 π2 23π34π π 7 6 π 5 6 π 5 4 43π 32π 53π74π116π

O gráfico da função seno é chamado senoide. Ele continua à direita de 2p e à esquerda de 0 (zero), repetindo o mesmo formato (padrão).

O domínio da função y 5 sen x é o conjunto dos números reais, isto é: D(f) 5 R

A imagem da função y 5 sen x é o intervalo [21, 11], isto é: 21 < sen x < 1

Toda vez que adicionamos 2p a determinado valor de x, a função seno assume o mesmo valor. Como 2p é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y 5 sen x é p 5 2p.

Editoria de Arte circunferência máxima paralelo Q B O Editoria de Arte

(27)

25

Essa conclusão pode ser obtida, também, com base no ciclo trigonométrico em que marcamos o arco x. sen x 5 OM”

sen (x 1 2p) 5 OM” sen (x 1 4p) 5 OM” A A

sen (x 1 2kp) 5 OM”, k  Z

Quando adicionamos 2 kp, com k  R, ao arco x, obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a função seno é periódica:

sen x 5 sen (x 1 2kp), k  Z

De modo geral, o período de uma função do tipo y 5 a 1 b sen (kx), com a  R, b  R e k  R, é dado por:

5

p 2_kπ

y 5 cos x

Verifique, na tabela da página 21, os valores de cos x que aparecem no gráfico.

0 π 2π 1 1 y x p 2= π π 2 32π π 6 π4 π3 3 2 2 2 1 2 2 1₂ 2 2₂ 2 3₂ π 2 3 34π56π 76π54π43π π 5 3 74π116π

O gráfico da função cosseno é chamado cossenoide. Ele continua à direita de 2p e à esquerda de 0 (zero), repetindo o mesmo formato (padrão).

O domínio da função y 5 cos x é o conjunto dos números reais, isto é: D(f) 5 R

A imagem da função y 5 cos x é o intervalo [21, 11], isto é: 21 < cos x < 1

O período da função y 5 cos x é igual a 2p.

Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico, em que marcamos o arco x. Quando adicionamos 2kp, com k  R, ao arco x, obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a função cosseno é periódica:

cos x 5 cos (x 1 2kp), k  Z

De modo geral, o período de uma função do tipo y 5 a 1 b cos (kx), com a  R, b  R e k  R, é dado por: 5 p 2_kπ M O M” x sen

(28)

Paridade

Quando uma função f é tal que f(x)  f(x), para todo x do seu domínio, dizemos que f é uma função ímpar.

Como sen (2x) 5 2sen x, para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar.

sen (2x) 5 2sen x

O seno é uma função ímpar.

Quando uma função f é tal que f(x)  f(x), para todo x do seu domínio, dizemos que f é uma função par.

Como cos (2x) 5 cos x, para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par.

cos (2x) 5 cos x

O cosseno é uma função par.

sen x sen x sen (x) x x x cos

1.

Em certas espécies em perfeito equilíbrio eco-lógico, a variação no tamanho de sua população é periódica. Esse período depende de condições ambientais, como a quantidade de predadores e a quantidade de alimento disponível, entre outros fatores. Em uma ilha, a população

P

de certa espécie animal é dada pela função:

P t

( )

5500 100 cos1

( )

π₃t

em que t corresponde aos meses do ano (t 5 1 correspondendo a janeiro).

π₃t , mas

deslocando cada ponto 500 unidades “para cima”, isto é, no sentido positivo do eixo dos y.

t 5 3 ≤ y 5 2100 ≤ P 5 400 t 5 6 ≤ y 5 100 ≤ P 5 600 0 2 100 200 300 400 500 600y 4 6 8 10 t

A variação da população corresponde à imagem da função P, ou seja: Im 5 [400, 600]

A população dessa espécie varia entre 400 e 600 animais.

2.

Determine

k

para que exista o arco que satisfaz a igualdade sen x 5 2k 2 5.

Resolução

Sabemos que 21 < sen x < 1. Substituindo sen x por 2k 2 5, temos:

(II) (I) 2k 2 5 < 1 (II) 2k 2 5 > 21

21 < 2k 2 5 < 1 2k < 6 2k > 4 (I) k < 3 k > 2 Na reta real: (I) (II) (I) (II)5 2 2 3 3 2 k 3< < S 5 {k  R | 2 < k < 3} 100 y 50 1 2 5 6 8 10 t 4 3 250 2100 p 2 O período da função é p 6. 52 5 ? 5 3 3 ₆ π π π π 5

(30)

3.

Que valores de

x

podem pertencer ao domínio da função dada pela lei y5 sen x

( )

2₄π , no universo 0< 2x π₄,2π.

Resolução

Para que exista a raiz, devemos ter: sen x

( )

2₄π >0

Fazendo-se z5 2 π, vem: sen z > 0x ₄

No ciclo, temos:

(II)

Agora, substituímos

z

por x2 π₄: 0< 2x ₄π<π

(I) (I) x2₄ππ (II) x2₄π>0 x< π 5₄ x> π₄ Na reta real: (I) (II) (I) (II)5 π 5 4 π 4 π 4 54π 5

{

 π< < π

}

D(f) x R_{| 4 x} 5₄ sen 0 z 0 z π π FAÇA NO CADERNO

Exercícios

19.

(FGV-SP) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica

f(x) 5 900 2 800 sen

( )

x₁₂?π

em que f(x) é o número de clientes e x, a hora da ob-servação (x é um inteiro tal que 0 < x < 24).

Utilizando essa função, a estimativa da diferen-ça entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a: a) 600 b) 800 c) 900 d) 1 500 e) 1 600

20.

Construa os gráficos das funções cujas leis são y 5 2 sen x e y 5 2 1 sen x, dando o domínio, a imagem e o período de cada uma. Em seguida, compare esses gráficos com o gráfico de y 5 sen x.

X

Resposta no final do livro.

21.

(UFV-MG) Para a existência da expressão sen 52x21

3 , os valores de x estão compreendidos no intervalo: a) 21 < x , 1 b) 21 , x < 0 c) 2 < ,1 1 3 x d) 21 < x < 2

22.

(USF-SP) As funções trigonométricas e seus gráfi-cos formam o tópico de maior aplicabilidade da trigono-metria em vários campos da ciência. Uma das aplicações dessas funções é na medicina; no monitoramento da frequência cardíaca. A frequência cardíaca do ser hu-mano varia ao longo do dia e o número de batimentos cardíacos em um período de tempo, geralmente medido em bpm (batimentos cardíacos por minuto), pode ser representado por meio de uma função periódica.

A função y 5 12 sen (15t 2 135°) 1 62 relaciona o número y de batimentos por minuto de um deter-minado paciente em observação e o tempo t de horas decorridas após a meia-noite.

Determine a frequência cardíaca desse paciente às 7h da noite e o horário em que ele apresentará o número máximo de batimentos cardíacos por minuto.

X

68 bpm e 15h