SIMULADO TERCEIRÃO e PRÉ-ENEM – OUTUBRO - MATEMÁTICA – PROFJUNIOR BARRETO
01)(Enem 2014 – Adaptada) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? a) menos de 20.000 b) entre 20.000 e 100.000 c) entre 101.000 e 5.000.000 d) entre 5.000.001 e 40.000.000 e) acima de 40.000.000 RESOLUÇÃO:
Considere 16 posições consecutivas de uma fila, em que as posições de ordem ímpar serão ocupadas pelos 8 filmes de ação, as 5 primeiras posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes de comédia, e as 3 últimas posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes de drama. Daí, os filmes de ação podem ser dispostos de
8
P 8! modos, os de comédia de P55! maneiras e os de drama de P33! possibilidades. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue-se que o resultado é 8! 5! 3!. = 29.030.400
LETRA D
02) (Enem PPL 2012) O apresentador de um programa de auditório propôs aos participantes de uma competição a seguinte tarefa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente em um terreno destinado à realização da competição. A pontuação dos competidores seria calculada ao final do tempo destinado a cada um dos participantes, no qual as moedas coletadas por eles seriam contadas e a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: pontuação = 60 – 36 (60% de 60) = 24. O vencedor da prova seria o participante que alcançasse a maior pontuação. Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova?
a) 0 b) 25 c) 50 d) 75 e) 100 RESOLUÇÃO:
Considerando x o numero de moedas douradas coletadas, a pontuação seria dada por:
Logo, o valor máximo de P(x) será dado por:
máximo 1 P 25. 1 4 a 4 100 Δ LETRA B 2 x x P(x) x x P(x) x 100 100
03) (Uemg 2015) Observe a tirinha abaixo:
Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por casquinha, sendo sempre uma de cada sabor. O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a
a) 20 b) 41 c) 120 d) 35 e) 900 RESOLUÇÃO:
Como uma casquinha pode ter no máximo 3 bolas e os sabores devem ser distintos, segue-se que o resultado
pedido é dado por
6 6 6 6! 6! 6 1 2 3 2! 4! 3! 3! 6 15 20 41. LETRA B
04) (CEFETRJ 2013) Lucas deve comprar exatamente 75 latas de refrigerante para a sua festa de aniversário. O mercado próximo à sua casa oferece pacotes com seis latas por R$ 13,00 e latas vendidas separadamente por R$ 2,40 a unidade. Pergunta-se: qual a despesa mínima, em reais, de Lucas na compra das 75 latas? a) 163,20 b) 169,00 c) 156,00 d) 156,20 e) 155,90 RESOLUÇÃO:
Como 75 6 12 3, sua despesa será de 12 13 3 2,40 R$163,20.
05) (Enem 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é:
a) 6 6 62 10 b) 62! 10! c) 62! 4! 10! 56! d) 62!10! e) 626106 RESOLUÇÃO:
Sabendo que cada letra maiúscula difere da sua correspondente minúscula, há 2 26 10 62 possibilidades para cada dígito da senha. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue-se que existem 62 senhas possíveis 6 de seis dígitos.
Analogamente, no sistema antigo existiam 10 senhas possíveis de seis dígitos. 6
Em consequência, a razão pedida é
6 6 62 . 10 LETRA A
06) (Enem 2010) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes.
Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de: a) 60 min. b) 90 min. c) 120 min. d) 180 min. e) 360 min. RESOLUÇÃO:
5! = 120 sequências possíveis para se visitar as 5 cidades. Desconsiderando as simétricas, termos 60 sequências para visitar, logo o tempo necessário será de 1,5. 60 = 90 minutos.
LETRA B
07)
(
IFSP 2014) Leia o texto sobre a resolução da tela de um computador.O termo resolução refere-se ao número de pixels. Os pixels são minúsculos quadradinhos com uma cor específica atribuída a cada um deles e, quando exibidos em conjunto, formam a imagem.
(Http://www.trt4.jus.br/content-portlet/download/72/resolucao.pdf Acesso em: 03.11.2013. Adaptado)
Sabendo-se que a tela retangular de um computador, em determinada resolução, possui um total de 480 000 pixels e que uma das suas dimensões mede x pixels e a outra (x + 200) pixels, podemos afirmar corretamente que as dimensões dessa tela são, em pixels:
a) 480 e 680. b) 600 e 800. c) 824 e 1 024. d) 1 056 e 1 256. e) 1 166 e 1 366. RESOLUÇÃO: x (x 200)480 000
A diferença entre os valores de todas as opções é 200 e a única opção cujo produto dos números resulta 480 000 é 600 x 800
08) (Enem 2013) Um artesão de joias tem a sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36
RESOLUÇÃO:
Há 3 escolhas para a cor da pedra que ficará no vértice A. Além disso, podem ocorrer dois casos em relação às pedras que ficarão nos vértices B e D : (i) as cores das pedras em B e D são iguais; (ii) as cores das pedras em B e D são distintas.
Portanto, as configurações possíveis são: (A, B, C, D)(3, 1, 2, 1) e (A, B, C, D)(3, 2, 1, 1), o que corresponde a 3 1 2 1 3 2 1 1 12 joias distintas.
LETRA B
09) (Enem PPL 2014) Os sistemas de cobrança dos serviços de táxi nas cidades A e B são distintos. Uma corrida de táxi na cidade A é calculada pelo valor fixo da bandeirada, que é de R$ 3,45, mais R$ 2,05 por quilômetro rodado. Na cidade B, a corrida é calculada pelo valor fixo da bandeirada, que é de R$ 3,60, mais
R$ 1,90 por quilômetro rodado.
Uma pessoa utilizou o serviço de táxi nas duas cidades para percorrer a mesma distância de 6 km.
Qual o valor que mais se aproxima da diferença, em reais, entre as médias do custo por quilômetro rodado ao final das duas corridas?
a) 0,75 b) 0,45 c) 0,38 d) 0,33 e) 0,13 RESOLUÇÃO:
Sejam c e A c , respectivamente, as médias do custo por quilômetro rodado nas cidades B A e B, considerando uma corrida de 6 km. Tem-se que
A B 3,45 3,6 c c 2,05 1,9 6 6 0,15 0,15 6 0,13. LETRA E
10) (Ueg 2015) Renata vai ao supermercado comprar exatamente 1 quilo de determinado produto que é vendido em embalagens de diferentes conteúdos, conforme apresenta a tabela a seguir.
Embalagem 250 gramas 500 gramas 750 gramas Preço R$ 2,70 R$ 5,10 R$ 7, 40
Renata pagará o menor preço por 1 quilo desse produto se comprar:
a) 4 embalagens de 250 gramas. b) 2 embalagens de 500 gramas.
c) 2 embalagens de 250 gramas e 1 de 500 gramas. d) 1 embalagem de 750 gramas e 1 de 250 gramas. e) 3 embalagens de 500 gramas RESOLUÇÃO: [A] 4 2,70 R$10,80 [B] 2 5,10 R$10,20 [C] 2 2,70 5,10 R$10,50 [D] 7,40 2,70 R$10,10
Portanto, Renata pagará o maior preço se comprar 1 embalagem de 750 gramas e 1 de 250 gramas.
LETRA D
11) (Enem 2012) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:
QO = –20 + 4P QD = 46 – 2P
... em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? a) 5 b) 11 c) 13 d) 23 e) 33 RESOLUÇÃO: O preço de equilíbrio é tal que
O D Q Q 20 4P 46 2P 6P 66 P 11. LETRA B
12)(Ufrgs 2013) A sequência representada, na figura abaixo, é formada por infinitos triângulos equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede 1, e a medida do lado de cada um dos outros triângulos é 2
3 da medida do lado do triângulo imediatamente anterior.
A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é: a) 9. b) 12. c) 15. d) 18. e) 21. RESOLUÇÃO:
A soma pedida é igual a 3 1 2 4 3 1 9. 2 3 9 1 3 LETRA A
13) (UEPA-2015) Pesquisas mostram diferenças numéricas significativas entre as várias regiões do Brasil no que diz respeito ao número de fiéis distribuídos pelos diversos grupos religiosos. Os católicos, por exemplo, tem uma maior participação no total da população nas regiões Nordeste e Sul, ultrapassando 80% da população no Nordeste contra uma média nacional de 74%. Por outro lado, Rio de Janeiro e Rondônia são os estados com menor população de católicos. Considere que nos anos seguintes a publicação dos dados constantes no quadro abaixo, o número de fiéis das religiões orientais cresceu 20% ao ano em progressão geométrica enquanto que o número de fiéis afro-brasileiros cresceu 25% ao ano em progressão aritmética.
Números de fiéis por grupos religiosos no Brasil
REGIÃO NORTE Nº. DE FIÉIS
Católicos 9.285.000 Evangélicos 2.550.000 Afro-Brasileiro 5.500 Orientais 15.000 Espiritualista 50.500 Outras Religiões 156.500 Sem Religião 849.500 TOTAL 12.911.000
O número de anos necessários para que a população de fiéis afro-brasileiros atinja a marca de 16.500 fiéis pertence ao intervalo real:
a) [6; 8[ b) [8; 10[ c) [10; 12[ d) [12; 14[ e) [14; 16[ RESOLUÇÃO:
O número de fiéis afro-brasileiros após n anos é dado por bn 5500 1375 n, com n natural. Queremos calcular o valor de n para o qual se tem bn 16500. Desse modo, vem
16500 5500 1375 n 1375 n 11000 n 8. Portanto, temos 8[8, 10[. LETRA B
14) (Ufu 2011 - Adaptada) Na elaboração de políticas públicas que estejam em conformidade com a legislação urbanística de uso e ocupação do solo em regiões metropolitanas, é fundamental o conhecimento de leis descritivas do crescimento populacional urbano.
Suponha que a lei dada pela função p t
0,5. 2
kt expresse um modelo representativo da população de uma cidade (em milhões de habitantes) ao longo do tempo t (em anos), contados a partir de 1970, isto é, t = 0 corresponde ao ano de 1970, sendo k uma constante real.Sabendo que a população dessa cidade em 2000 era de 1 milhão de habitantes (teremos então k = 1/30). Segundo o modelo de evolução populacional dado, qual a estimativa do ano em que a população desta cidade atingirá 16 milhões de habitantes:
a) 2019 b) 2120 c) 2123 d) 2144 e) 2001 RESOLUÇÃO: 0,5.2(1/30)k = 16 2(1/30)t = 32 2(1/30t) = 25 t = 150 Portanto, 1970 + 150 = 2.120. LETRA B
15) (Upe 2015) Uma campanha entre microempresas, para ajudar o Hospital do Câncer, arrecadou R$16.500,00. A primeira microempresa, a menor entre elas, doou a quantia de R$ 350,00; a segunda doou R$ 50,00 a mais que a primeira, e cada uma das microempresas seguintes doou R$ 50,00 a mais que a anterior.
Quantas microempresas participaram dessa campanha? a) 08
b) 11 c) 15 d) 20
e) 35
RESOLUÇÃO:
Os valores doados constituem uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 350 e razão 50. Logo, se n é o número de microempresas que participaram da campanha, então
2 (n 1) 50 16500 350 n n 13n 660 0 2 n 20. LETRA D
16) (Enem PPL 2012) A tabela seguinte apresenta a média, em kg, de resíduos domiciliares produzidos anualmente por habitante, no período de 1995 a 2005.
Produção de resíduos domiciliares por habitante em um país
ANO kg
1995 460
2000 500
2005 540
Se essa produção continuar aumentando, mantendo o mesmo padrão observado na tabela, a previsão de produção de resíduos domiciliares, por habitante no ano de 2020, em kg, será
a) 610. b) 640. c) 660. d) 700. e) 710. RESOLUÇÃO:
Considerando que Q(t) é a quantidade de resíduos domiciliares por habitante no ano t e observando a tabela temos um aumento de 40kg a cada cinco anos. Portanto, em 2020 a quantidade será dada por:
