Caracterização de Antenas Planares com Substrato Metamaterial

UNIVERSIDADEFEDERALDORIOGRANDEDONORTE CENTRODETECNOLOGIA

PROGRAMADEPÓS-GRADUAÇÃOEMENGENHARIAELÉTRICAEDE

COMPUTAÇÃO

Caracterização de Antenas Planares com Substrato

Metamaterial

Marinaldo Pinheiro de Sousa Neto

Orientador: Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes

Natal – RN,

Novembro de 2011

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Engenharia de Telecomunicações) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica.

Seção de Informação e Referência

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Sousa Neto, Marinaldo Pinheiro de

Caracterização de antenas planares com substrato matematerial/ Marinaldo Pinheiro de Sousa Neto. – Natal, RN, 2011.

56 f. : il.

Orientador: Humberto César Chaves Fernandes.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação.

1. Antena de microfita – Dissertação. 2. Metamaterial – Dissertação. 3. Método de linha de transmissão transversa – Dissertação. 4. Instituição de Ensino Superior – Dissertação. I. Fernandes, Humberto César Chaves. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título.

Caracterização de Antenas Planares com Substrato

Metamaterial

Marinaldo Pinheiro de Sousa Neto

Dissertação de mestrado aprovada em Novembro de 2011 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:

Prof. Titular Dr. Humberto César Chaves Fernandes (Orientador)... DEE/UFRN

Prof. Dr. Luiz Marcos Garcia Goncalves...DCA/UFRN

Prof. Dr. Joabson Nogueira de Carvalho...IFPB

Aos meus pais - Ivanaldo e Maria José, pelo amor com que tem cuidado de mim

e a minha irmã Géssica pelo carinho. Aos meus tios - Ronaldo e Nanci pelo apoio.

Agradecimentos

Agradeço a Deus, por ter me dado força e tranqüilidade para a conclusão deste trabalho.

Aos meus pais, Maria José de Aquino Sousa e Ivanaldo Andrade de Sousa, a minha irmã, Géssica Andrade, aos meus tios, Ronaldo e Nanci, pela compreensão, confiança e companheirismo ao longo desses anos.

Ao professor Dr. Humberto César Chaves Fernandes, pela orientação com disponibilidade e alegria para ajudar, e pela amizade.

Aos colegas da graduação.

Aos colegas da pós-graduação pelo companheirismo e amizade prestados durante esta etapa da minha vida: Hugo Michel , Humberto Dionísio, Roberto Raniere, Anderson Max, Leonardo Caetano, Aline Farias.

À UFRN por proporcionar a realização deste trabalho e por conseqüência a realização do meu mestrado.

A CAPES e CNPQ, pelo suporte financeiro concedido para a realização deste Mestrado e pesquisas.

Resumo

Esta dissertação de Mestrado apresenta uma análise teórica e numérico-computacional, das características ressonantes de uma antena de microfita com patch retangular utilizando substrato metamaterial. A análise utiliza o formalismo de onda completa através da aplicação do método da Linha de Transmissão Transversa - LTT, no domínio da transformada de Fourier. É realizado um estudo acerca da teoria dos metamateriais com o intuito de obter seus parâmetros construtivos, os mesmos são caracterizados através de tensores permissividade e permeabilidade. As equações gerais para os campos eletromagnéticos da antena são desenvolvidas aplicando o método da Linha de Transmissão Transversa - LTT. A imposição das condições de contorno adequada à estrutura permite determinar as funções diádicas de Green, relacionando as componentes da densidade de corrente no patch com as componentes tangenciais do campo elétrico. O método de Galerkin é então usado para obter a equação matricial, cuja solução não trivial fornece a freqüência de ressonância da antena. A partir da modelagem é possível obter resultados para a freqüência de ressonância em diferentes configurações de antenas e substratos, além da perda de retorno.

Palavras-chave: Antena de microfita, metamaterial, método de Linha de Transmissão Transversa.

Abstract

This work presents a theoretical and numerical analysis for the radiation characteristics of rectangular microstrip antenna using metamaterial substrate. The full wave analysis is performed in the Fourier transform domain through the application of the Transverse Transmission Line - TTL method. A study on metamaterial theory was conducted to obtain the constructive parameters, which were characterized through permittivity and permeability tensors to arrive at a set of electromagnetic equations. The general equations for the electromagnetic fields of the antenna are developed using the Transverse Transmission Line - TTL method. Imposing the boundary conditions, the dyadic Green’s function components are obtained relating the surface current density components at the plane of the patch to the electric field tangential components. Then, Galerkin’s method is used to obtain a system of matrix equations, whose solution gives the antenna resonant frequency. From this modeling, it is possible to obtain numerical results for the resonant frequency and return loss for different configurations and substrates.

Keywords: Microstrip antennas, metamaterial, Transverse Transmission Line method.

i

Sumário

Lista de Figuras ... iii

Lista de Tabelas ... v

Lista de Símbolos e Abreviaturas... vi

Capítulo 1 ... 1 Introdução ... 1 Capítulo 2 ... 4 Antenas de Microfita ... 4 2.1 Linha de Microfita ... 4 2.4 Métodos de Análise ... 6 2.4.1 Métodos Aproximados ... 7

2.4.2 Métodos de Onda Completa ... 7

2.5 Conclusões ... 8

Capítulo 3 ... 9

Substrato Metamaterial ... 9

3.1 Introdução ... 9

3.2 A nova classe de materiais: Metamateriais... 10

3.3 Projeto do meio Metamaterial ... 12

3.3 Conclusões ... 19

Capítulo 4 ... 20

Aplicação do Método LTT ... 20

4.1 Desenvolvimento dos Campos Transversais ... 20

4.2 Conclusões ... 26

Capítulo 5 ... 27

Campos Eletromagnéticos na Antena ... 27

5.1 Introdução ... 27

5.2 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial ... 27

5.3 Determinação das Equações de Campos Eletromagnéticos ... 28

5.4 Expansão das Densidades de Corrente em Termos de Funções de ... 36

5.5 Conclusões ... 40

Capítulo 6 ... 42

Resultados da Antena com Substrato ... 42

6.1 Introdução ... 42

6.2 Antena Retangular ... 44

6.2.1 CASO 1 ... 45

6.2.2 CASO 2 ... 48

6.3 Resultados do Comportamento das Funções de Base ... 49

ii

Capítulo 7 ... 52 Conclusões ... 52 Referências Bibliográficas ... 54

iii

Lista de Figuras

Capítulo 1

1 Antena de microfita com patch retangular. 1

Capítulo 2

2.1 Antena patch convencional. 4

2.2 Formas geométricas para o patch. 5

2. 3 Antena de microfita convencional com patch retangular, alimentada por cabo

coaxial. 5

Capítulo 3

3.1 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (µ) para os quatro tipos de meios.

Reproduzido de (WILTSHIRE, 2001). 10

3.2 Ilustração da propagação em um meio com índice de refração positivo (RHM e com índice de refração negativo (RHM). θ1 é o ângulo de incidência e θ2 é o ângulo de

refração. Reproduzido de (SUDHAKARAN, 2006). 11

3.3 Ilustração das direções do campo elétrico, do campo magnético, do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM. Reproduzido de (SUDHAKARAN,

2006). 12

3.4 (a) estrutura composta por fios milimétricos (thin wire – TW). (b) estrutura

composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator – SRRs). Reproduzido

de (ITOH, 2006). 13

3.5 Modelo de circuito equivalente do SRR, (a) SRR configuração dupla e (b)

configuração simples. Reproduzido de (ITOH, 2006) 15

3.6 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs. (a) Estrutura LH unidimensional. (b) Estrutura LH bidimensional. Reproduzido de (ITOH, 2006). 16 3.7 Resultados teóricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, (a)

permeabilidade, (b) permissividade. 17

Capítulo 5

5.1 Antena de microfita com substrato metamaterial. 28

Capítulo 6

6.1 Freqüência de Ressonância em função do comprimento do patch. 44 6.2 Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial.

Reproduzido de (BUELL et al., 2006) 45

6.3 Freqüência de Ressonância em função do comprimento do patch para εr = 9.8. 46 6.4 Perda de Retorno em função da freqüência de ressonância. 46 6.5 Freqüência de Ressonância em função do comprimento do patch. 47

iv

6.6 Freqüência de Ressonância em função do comprimento do patch. 47 6.7 Freqüência de Ressonância em função do comprimento do patch. 48 6.8 Freqüência de ressonância em função do comprimento do patch. 49 6.9 Comportamento da função de base na direção de propagação. 50

v

Lista de Tabelas

Capítulo 2

vi

Lista de Símbolos e Abreviaturas

η Impedância Intrínseca do Espaço Livre

g

λ Comprimento de onda guiada L Comprimento do patch

γ Constante de Propagação na Direção y W Largura do patch

ω Freqüência Angular Complexa µ Permeabilidade Magnética ε Permissividade Elétrica κ Número de Onda

i

k Número de Onda da Enésima Região Dielétrica j Número Imaginário Unitário, j= − 1

eff

µ Permeabilidade Magnética efetiva

xx

µ

Permeabilidade Magnética Relativa na Direção x

yy

µ Permeabilidade Magnética Relativa na Direção y

zz

µ

Permeabilidade Magnética Relativa na Direção z

0

µ

Permeabilidade Magnética no Espaço Livre

eff

ε Permissividade Elétrica efetiva

xx

ε

Permissividade Elétrica Relativa na Direção x

yy

ε Permissividade Elétrica Relativa na Direção y

zz

ε

Permissividade Elétrica Relativa na Direção z

0

ε

Permissividade Elétrica no Espaço Livre

[ ]

ε

Tensor Permissividade Elétrica

[ ]

µ

Tensor Permeabilidade Magnética

n

vii

k

β

Variável Espectral na Direção z

ˆx Versor na Direção x

ˆy Versor na Direção y ˆz Versor na Direção z Eɶ Vetor Campo Elétrico Hɶ Vetor Campo Magnético n Índice de refração SRR Ressoador de Anel Partido TW Fio Milimétricos

LHM – Left-Handed Materials

LTT Método da Linha de Transmissão Transversa RHM – Right-Handed Materials

1

Capítulo 1

Introdução

Com o rápido desenvolvimento tecnológico, seja nas telecomunicações, na indústria eletrônica ou na informática, buscaram-se soluções técnicas que atendessem os requisitos de novos e melhores serviços. O tamanho reduzido é uma exigência importante para equipamento de comunicação portátil, como satélite de posicionamento global (GPS) e várias aplicações de comunicações móveis. Em decorrência dessa demanda, novos materiais são desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de controle e propagação de ondas eletromagnéticas. Nesse contexto, as antenas de microfita são introduzidas como alternativa viável de transmissão e recepção de microondas, podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas – Comunicação via satélite, telefonia móvel, redes Wireless (AQUINO, 2008). Essas antenas são estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato dielétrico e um plano de terra na parte inferior, (BAHL; BHARTIA, 2001), Fig. 1. Nessa dissertação metamateriais formados como substratos dielétricos e condutores devidamente arranjados (estruturas periódicas) são utilizados como substratos com o objetivo de desenvolver antenas de alta eficiência e tamanhos reduzidos.

Fig. 1 – Antena de microfita com patch retangular.

Neste trabalho, é utilizado o Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT (FERNANDES, 1984) em conjunto com Galerkin, caso particular do método dos Momentos (SANTOS, 2005), que são métodos de análise rigorosa no domínio espectral.

2

O método LTT consiste em se obter os componentes dos campos elétricos e magnéticos em função dos componentes transversais no domínio da transformada de Fourier – DTF (BRACEWELL, 1965). Em comparação com outros métodos de onda completa, o método LTT apresenta alta eficiência, além de importantes simplificações algébricas das equações envolvidas no processo, o que gera redução de esforços computacionais.

O trabalho está distribuído em sete capítulos, buscando-se abordar todo o referencial teórico para o estudo da estrutura e equacionamento matemático e, em seguida, apresentar uma análise dos resultados obtidos na caracterização da antena. A principal contribuição do trabalho é o desenvolvimento das equações gerais de campos para uma antena planar com metamaterial, assim como sua comprovação com (BUELL et al., 2006).

No capítulo 2, é apresentada a estrutura de uma antena de microfita convencional com suas características, assim como vantagens e desvantagens quando comparadas a outras antenas para microondas. Características e tipos de substratos empregados na sua fabricação, bem como as aplicações, formas e principais métodos e modelos de alimentação e análises.

No capítulo 3, descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do índice de refração, permeabilidade e permissividade. São definidos os principais tipos de metamateriais, descrevendo-se suas estruturas, equacionamentos e curvas características.

O Capítulo 4 trata dos campos eletromagnéticos das estruturas de microfita utilizando o método LTT. Onde a partir das equações de Maxwell serão determinadas as expressões gerais das componentes dos mesmos em uma região qualquer, dessa forma, obtêm um conjunto de equações nas quais as componentes dos campos nas direções x e z são determinadas em função das componentes na direção y, considerando uma propagação “virtual” nesta direção. O método será empregado no desenvolvimento de todas as equações dos campos eletromagnéticos das estruturas de antenas de microfita com substrato metamaterial através em conjunto com a teoria de substrato bianisotrópico. Essas equações constituem-se na alma do trabalho, pois é o ponto de partida para todo o desenvolvimento analítico.

No capítulo 5 a teoria desenvolvida nos capítulos anteriores é aplicada a uma antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a freqüência de ressonância complexa e os campos eletromagnéticos tangenciais à fita condutora. Para tanto é aplicado à solução das equações de Helmohltz, utilizando-se

3

condições de contorno eletromagnéticas adequadas. Em seguida aplica-se o método dos momentos - as densidades de corrente são expandidas em termos de função de bases e obtém-se a equação característica, cuja raiz é a freqüência de ressonância complexa.

Os resultados numéricos para a antena de microfita com substrato metamaterial são apresentados no capítulo 6. Fazem-se comparações com outros autores e análises dos resultados obtidos.

No Capítulo 7, é apresentada a conclusão da aplicação do método LTT às estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados.

4

Capítulo 2

Antenas de Microfita

2.1 – Linha de Microfita

A antena de microfita na sua forma mais simples é composta de um elemento metálico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez está sobre um plano de terra, como mostrado na Fig. 2.1.

Fig 2.1– Antena patch convencional.

O patch pode ter várias geometrias tais como: quadrada, retangular, elíptica, anel circular, circular, triangular, fractal ou qualquer outra configuração de acordo com a característica desejada como mostrado na Fig. 2.2.

5

Fig 2.2– Formas geométricas para o patch.

A forma do patch influencia na distribuição de corrente e por conseqüência na distribuição do campo na superfície da antena.

A radiação da antena de microfita pode ser determinada através da distribuição de campo entre o patch metálico e o plano de terra. Da mesma forma, a radiação pode ser descrita em termos de distribuição de corrente de superfície sobre o elemento metálico.

A alimentação do patch pode ocorrer de várias maneiras, destacando-se a alimentação por meio de cabo coaxial, como mostrado na Fig. 2.3, linhas de microfita, linhas de fenda, acoplamento por íris ou abertura, dentre outras.

Fig 2. 3– Antena de microfita convencional com patch retangular, alimentada por cabo coaxial.

A tabela 2.1 faz uma síntese das técnicas citadas acima, mostrando as principais características, vantagens e limitações (BAHL; BHARTIA, 2001).

6 Características Linha de Microfita Alimentação Coaxial Acoplamento por Abertura Acoplamento por Proximidade Espúrios de Radiação

Maior Maior Menor Médio

Confiabilidade Ótima Boa (a

depender da solda)

Boa Boa

Fabricação Fácil Fácil Difícil Difícil

Casamento de Impedância

Fácil Fácil Fácil Fácil

Largura de Banda

2-5% 2-5% 2-5% 13%

Tabela 2. 1: Tabela comparativa entre as diversas técnicas de alimentação.

As antenas de microfita apresentam particularidades geométricas e propriedades elétricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens, dependendo das aplicações a que se destinam. Assim, pode-se destacar: dimensões e pesos reduzidos, facilidade e baixo custo de fabricação, adequação à aerodinâmica dos dispositivos onde são montadas, facilidade de integração com outros circuitos, baixa eficiência, pequena largura de banda, excitação de ondas de superfície e radiação em um hemisfério (BAHL, 2001; BHARTIA, 1991; JAMES, 1989; POZAR, 1995).

Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitações, como por exemplo, a redução da excitação de ondas de superfície através da utilização de novos substratos, sendo o metamaterial um deles. Um aumento na largura de banda pode ser obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas dielétricas.

Diversos métodos de análise são reportados na literatura para a caracterização das antenas de microfita, destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda completa.

2.4 – Métodos de Análise

Os principais métodos de análise de antenas de microfita são o da linha de transmissão, o modelo da cavidade, ambos aproximados, e os de onda completa dentre

7

os quais se incluem o Método da Linha de Transmissão Equivalente (LTE) ou Método da Imitância, o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT, o qual será usado neste trabalho. Esses se baseiam em equações diferenciais integrais e utilizam-se do método dos momentos e de funções de base para determinar as soluções.

2.4.1 – Métodos Aproximados

O modelo da linha de transmissão é um dos métodos mais simples, embora produza resultados satisfatórios, sendo adequado para análise de antenas de microfita com patch retangular ou quadrado. Para outras geometrias do patch, torna-se inviável a análise através deste modelo. Nessa análise, o elemento radiante pode ser modelado por duas aberturas paralelas, representando dipolos magnéticos.

O Modelo da Cavidade, a princípio, pode se empregado para o estudo de antenas com patches de qualquer geometria. O modelo da cavidade basicamente trata a antena como sendo uma cavidade com paredes ressonantes, onde na base e no topo há paredes elétricas e nas laterais paredes magnéticas. Os campos na antena são considerados como os campos na cavidade, desta forma, sendo expandidos em termos de modos ressonantes na cavidade, onde cada modo tem a sua freqüência de ressonância (BALANIS, 1997).

2.4.2 – Métodos de Onda Completa

A análise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima), oferece rapidez nas formulações, no entanto, incluem uma parcela de erro devido às simplificações feitas, sobretudo quando se trata de aplicações em altas freqüências e substratos anisotrópicos. Assim, a análise a partir de um método rigoroso é imprescindível para a precisão dos resultados. É sabido que o modo de propagação da microfita é modificado devido à interface dielétrico-ar, tornando-se um modo híbrido não -TEM. Logo, o método de análise deve considerar a natureza híbrida dos modos de propagação, por esse motivo tais métodos são chamados de análise dinâmica ou de onda completa. Os mais relatados na literatura são: o Método da Linha de Transmissão Equivalente - LTE ou Método da Imitância, o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz

8

e o Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT. Esse será utilizado ao longo deste trabalho, com uma nova formulação para substratos metamateriais. Por esse motivo é desnecessário apresentá-lo neste momento, pois é detalhado com todo o formalismo matemático no capítulo 4.

2.5 – Conclusões

Nesse capítulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao entendimento dos temas que serão abordados nos capítulos seguintes, situando assim, o leitor acerca do trabalho desenvolvido.

9

Capítulo 3

Substrato Metamaterial

3.1 - Introdução

As propriedades elétricas e magnéticas dos materiais podem ser determinadas por dois parâmetros constitutivos denominados permissividade elétrica (ε) e permeabilidade magnética (µ). Em conjunto, a permeabilidade e a permissividade determinam a resposta do material quando uma onda eletromagnética se propaga através do mesmo. Geralmente, ε e µ são ambos positivos em meios convencionais. Enquanto ε pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo, ε pode apresentar valores negativos abaixo da freqüência de plasma dos metais), nenhum material natural com µ negativo é conhecido. Porém, certos materiais, chamados de materiais LHM (Left-Handed Materials), possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (µeff)

apresentando, simultaneamente, valores negativos (VASCONCELOS, 2010). Em tais materiais, o índice de refração (n) é negativo, fator este que resulta na inversão de fenômenos eletromagnéticos conhecidos, os quais foram investigados, teoricamente, pelo físico russo Veselago (VESELAGO, 1968). Na época da publicação do estudo, o próprio Veselago ressaltou que tais materiais não estavam disponíveis na natureza, o que fez com que suas observações ficassem apenas no território das curiosidades

Esses novos materiais são denominados de metamateriais, onde o prefixo meta é uma alusão à natureza excêntrica de seus parâmetros eletromagnéticos. Entretanto, existem outras denominações para estes meios, na literatura, de acordo com as propriedades do material, tais como materiais left-handed (LHM), materiais de índice de refração negativo (NRI), materiais de índices negativos (NIM), materiais duplo-negativos (DNG), dentre outros.

Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia, capaz de atender às exigências excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicações. Baseados em uma atraente e revolucionária classe de materiais que possuem novas e poderosas propriedades de propagação eletromagnética, eles foram considerados pela revista

10

Science como sendo um dos maiores avanços da ciência no ano de 2006 (SCIENCE, 2006).

3.2 – A nova classe de materiais: Metamateriais

As características desses meios artificiais vão além de sua funcionalidade, já que é permitida a combinação de sinais entre os parâmetros de permissividade e permeabilidade. Esses parâmetros são relacionados ao índice de refração n dado por (ITOH, 2006):

n= ± µ ε_{r r} (3.1)

Onde µr e εr são a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente

relacionadas à permeabilidade e permissividade no espaço livre dadas por µ0 = µ/µr =

4π·10-7 e ε0 = ε/εr = 8.854·10-12, respectivamente. Na equação 3.1 o sinal ± para um

duplo valor da função raiz quadrada é admitido a priori para casos gerais. As quatro possibilidades de combinações de sinais para ε e µ são (+,+), (+,-), (-,+) e (-,-),

A Fig. 3.1 ilustra uma representação gráfica de quatro diferentes possibilidades de materiais para aplicações eletromagnéticas, baseados em suas permissividades e permeabilidades. São também ilustradas a refração e a reflexão considerando uma interface entre o ar e cada meios em questão. Há quatro regiões no diagrama.

Fig. 3.1 – Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (µ) para os quatro tipos de meios. Reproduzido de (WILTSHIRE, 2001).

11

Veselago determinou que se ε ou µ fossem negativos, ou seja, tivessem sinais opostos, o material não suportaria a propagação de ondas eletromagnéticas (VESELAGO et al, 1968). Este fenômeno veio a ser conhecido como “band gap eletromagnético (EBG)”. Ainda temos a região onde ε e µ são positivos, que é o caso dos materiais convencionais (RHM – Right-Handed Materials) onde a refração ocorre positivamente; e a região onde ε e µ são negativos, simultaneamente, onde se encontram os metamateriais (LHM – Left-Handed Materials), nos quais a refração ocorre negativamente.

A presença de índice de refração negativo nos meios LH implica em uma velocidade de grupo antiparalela à velocidade de fase, causando interessantes efeitos, como por exemplo, uma inversão da direção do efeito Doppler ou uma inversão do raio refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (índice de refração negativo). Como Veselago apontou, estas reversões da onda eletromagnética contem implicações para muitos fenômenos. Muitos dos efeitos do índice de refração negativo têm sido examinados pelos pesquisadores, do ponto de vista experimental ou computacional.

O índice de refração determina como o feixe é defletido na interface de separação entre dois meios distintos. Se o índice é positivo, o feixe é defletido no lado oposto da normal à superfície em relação ao feixe incidente. Enquanto se o índice é negativo ele é defletido no mesmo lado da normal á superfície. Considerando um prisma de RHM e LHM, Fig. 3.2, é possível observar o fenômeno da refração nos dois meios. Para o prisma RHM, o raio refratado produz um ângulo positivo com a normal, no prisma de LHM, o raio refratado produz um ângulo negativo com a normal. Além disso, a velocidade de grupo, que caracteriza o fluxo de energia, e a velocidade de fase, que caracteriza o movimento das frentes de onda, aponta em direções opostas, como mostra a Fig. 3.3.

Fig. 3.2 – Ilustração da propagação em um meio com índice de refração positivo (RHM e com índice de refração negativo (RHM). θ1 é o ângulo de incidência e θ2 é o ângulo de refração. Reproduzido de

12

Fig. 3.3 – Ilustração das direções do campo elétrico, do campo magnético, do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM. Reproduzido de (SUDHAKARAN, 2006).

Vale ressaltar que estes materiais artificiais, com índice de refração negativo, possuem os valores de ε e µ dependentes da freqüência, ou seja, são meios dispersivos, sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de freqüência (VASCONCELOS, 2010).

Os metamateriais também podem ser projetados de modo que possam apresentar os mesmos parâmetros eletromagnéticos dos materiais pertencentes aos outros três quadrantes. Daí, muitos trabalhos têm sido desenvolvidos e validados experimentalmente (SMITH et al., 200; SHELBY et al., ZIOLKOWKSI et al., 2001).

3.3 – Projeto do meio Metamaterial

Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagnéticas efetivas homogêneas artificiais com propriedades incomuns que não são encontradas em materiais na natureza (ITOH, 2006). Estruturas nano-compostas de banda eletromagnética proibida são exemplos de metamateriais.

Uma estrutura efetiva homogênea é uma estrutura cuja média do comprimento estrutural de célula p é muito menor que um comprimento de onda guiada λg. Assim,

esse comprimento médio de célula pode ser pelo menos, menor que um quarto de comprimento de onda, p < λg/4. Esta condição de referência p=λg/4 será denominada

como o limite de homogeneidade efetiva, para garantir que o fenômeno refrativo irá dominar em relação ao fenômeno de espalhamento/difração quando a onda se propaga

13

dentro do meio metamaterial. A Fig. 3.4 mostra o primeiro metamaterial proposto por Pendry, constituído de metais e dielétricos e seguindo a condição de homogeneidade efetiva (p < λg/4).

Fig. 3.4 –(a) estrutura composta por fios milimétricos (thin wire – TW). (b) estrutura composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator – SRRs). Reproduzido de (ITOH, 2006).

O metamaterial descrito na Fig. 3.4 (a) é o fio fino de metal (thin-wire TW). Se a excitação do campo elétricoEé paralela ao eixo dos fios

(

E z

)

, para induzir corrente ao longo destes e gerar o momento de dipolo elétrico equivalente, esse metamaterial exibe uma função de freqüência do tipo plasmática para a permissividade na seguinte forma (PENDRY et al., 2000),

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2

1

pe

1

pe pe r

j

j

ω

ω

ξω

ε

ω

ωξ

ω

ξ

ω ω

ξ

= −

= −

+

+

+

+

(3.2)

onde ω_pe2 = 2πc2/_p2ln

(

p r/

)

_{ (c: velocidade da luz, r: raio dos fios) é a freqüência} plasmática elétrica, ajustado na faixa de GHz, e

ξ ε

= ₀

(

p

ω

_pe/r

)

2/

πσ

(σ: condutividade do metal) é o fator de amortecimento devido às perdas do metal. Pode ser notado nessa formula que:

( )

2 2

Re

ε

_r <0, para

ϖ

<

ϖ

_pe−

ξ

, (3.3)

14

2

0, para ,

r pe

ε

<

ϖ

<

ϖ

(3.4)

Por outro lado a permeabilidade é simplesmente µ = µ0, uma vez que não há

presença de material magnético e o momento de dipolo magnético não é gerado. Deve ser notado que os fios são muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente tendendo ao infinito), significando que os fios são excitados em freqüências situadas bem abaixo de sua primeira ressonância.

O metamaterial descrito na Fig. 3.4 (b) é o ressoador de anel partido (split-ring resonator – SSR). Se a excitação do campo magnético H é perpendicular ao plano dos anéis

(

H ⊥y

)

para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo magnético, esse metamaterial exibe uma função de freqüência do tipo plasmática para a permissividade na seguinte forma (PENDRY et al., 2000),

(

)

(

)

( )

(

)

( )

2 2 2 0 2 2 2 ₂ 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0

1

1

r m m m m

F

j

F

_F

j

ω

µ

ω

ω

ωξ

ω ω

ω

_{ω ξ}

ω

ω

ωξ

ω

ω

ωξ

= −

=

−

+

−

−

+

−

+

−

+

(3.5)

Onde F =

π

(

r p/

)

2 (r: raio interno do anel menor),

(

)

0 ₃ 3 ln 2 / m p c dr s ϖ π = (d:

largura dos anéis, s: espaço radial entre os anéis) é a freqüência de ressonância magnética, que pode ser ajustada para GHz, e

ζ

=2pR r'/

µ

₀ (R’: resistência do metal por unidade de comprimento) é o fator de preenchimento devido às perdas. Deve ser notado que a estrutura SRR possui uma resposta magnética apesar do fato de não incluir materiais condutores magnéticos devido à presença de momentos de dipolo magnético artificial gerado pelos anéis ressoadores. A equação 3.6 revela que uma faixa de freqüência pode existir quando Re

( )

µ

_r <0em geral

(

ζ

≠0

)

. No caso sem perdas

(

ζ

≠0

)

temos que, 0 0

0, para

1

m r m pm

F

ϖ

µ

<

ϖ

<

ϖ

<

=

ϖ

−

(3.6)

15

onde ωpm é chamada de freqüência de plasmática magnética. Uma diferença essencial

entre as expressões plasmáticas para a permissividade e a permeabilidade é que o ultimo é de natureza ressonante_

µ ϖ ϖ

(

= _0m

)

_= ∞ da estrutura devido à ressonância dos SRRs, dados por (CHARLES, 1976) como sendo

(

)

2 0 3 3 ln 2 / m pc d s r

ϖ

π

=     .

O circuito equivalente do SRR é mostrado na Fig. 3.5 (PENDRY et al., 2000). Na configuração de anel duplo, Fig. 3.5(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os anéis maiores e menores são modelados por uma capacitância de acoplamento (Cm) e

por um transformador (de raio n). Na configuração de um anel, Fig. 3.5(b) o modelo do circuito é um simples ressoador RLC com freqüência ressonante

ϖ

₀ =1/ LC . O SRR duplo é essencialmente equivalente ao SSR único se o acoplamento mútuo é fraco, porque as dimensões dos dois anéis são muito próximas umas das outras, assim L1 ≈ L2

≈ L e C1 ≈ C2 ≈ C, resultando em uma freqüência ressonante combinada próxima a do

SRR simples com as mesmas dimensões porem com um maior momento magnético devido à maior densidade de corrente.

Fig 3.5 – Modelo de circuito equivalente do SRR, (a) SRR configuração dupla e (b) configuração simples. Reproduzido de (ITOH, 2006)

Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) são apresentadas na Fig. 3.7 (ITOH, 2006). Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magnética ressonante às ondas eletromagnéticas quando o vetor campo magnético H for paralelo ao eixo dos SRRs.

16

Fig. 3.6 – Primeiras estruturas LH de TW e SRRs. (a) Estrutura LH unidimensional. (b) Estrutura LH bidimensional. Reproduzido de (ITOH, 2006).

Resultados para a estrutura da Fig. 3.6 (a) podem ser vistos nas Fig. 3.7.

17

(b)

Fig. 3.7 – Resultados teóricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, (a) permeabilidade, (b) permissividade.

Recentemente, novos substratos artificiais com propriedades dielétricas e/ou magnéticas têm sido empregados para a miniaturização de antenas e circuitos planares de microondas (MOSALLAEI et al., 2007). O uso destes materiais também é investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al., 2007).

Neste trabalho, será utilizado o metamaterial na faixa de freqüência onde a permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos, para aplicações em antenas de microfita. No contexto dos metamateriais, devido ao fato de apresentarem uma anisotropia tanto dielétrica quanto magnética, estes meios podem ser considerados como meios bianisotrópicos. Com isto, a inclusão destes materiais em formalismos numéricos, tais como, MoM, FDTD, entre outros, pode ser realizada.

Na análise, utilizando o método de onda completa da Linha de Transmissão Transversa é preciso que os parâmetros constitutivos do meio sejam definidos. Neste caso, o metamaterial considerado é caracterizado por permissividade e permeabilidade tensoriais (ITOH, 2006).

[ ]

0

0

0

0

0

0

0

xx yy zz

µ

µ

µ

µ

µ









=

_

_









(3.7)

18

[ ]

0

0

0

0

0

0

0

xx yy zz

ε

ε

ε

ε

ε









=

_

_









(3.8)

Quando uma estrutura LH é unidimensional (1D) somente é permitida para a dupla

(

E H ,

)

. Tem-se então que εxx (ω < ωpe) < 0 e εyy = εzz > 0, µxx > 0 e µyy = µxx

(ω0m < ω < ωpm) < 0. Logo, o tensor para o metamaterial 1D, é dado por (ITOH, 2006).

[ ]

0

0

0

0

( )

0

0

0

r eff r

µ

µ

µ

µ ω

µ









=

_

_









(3.9)

[ ]

0

0

0

0

0

0

0

( )

r r eff

ε

ε

ε

ε

ε ω









=

_

_









(3.10)

No caso de uma estrutura bidimensional (2D), embora E tenha que ser orientado ao longo do eixo dos fios, são possíveis duas direções para H; o [ε] é inalterado, mas µxx

= µyy (ω0m < ω < ωmp) < 0 e µzz > 0. Portanto, o tensor para o metamaterial 2D, é dado

por (ITOH, 2006; MOSALLAI et al., 2004):

[ ]

0

( )

0

0

0

( )

0

0

0

eff eff r

µ ω

µ µ

µ ω

µ









= 











(3.11)

[ ]

0

0

0

0

0

0

0

( )

r r eff

ε

ε

ε

ε

ε ω









=

_

_









(3.12)

19

3.3 – Conclusões

Neste capítulo uma introdução sobre o estado da arte dos metamateriais foi apresentado. Foram mencionados os primeiros estudos teóricos e práticos a respeito dessas estruturas, bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas. Foi descrito o fenômeno de refração negativa observando assim o potencial de aplicações eletromagnéticas dessas estruturas.

20

Capítulo 4

Aplicação do Método LTT

Diferentemente de outros métodos de onda completa o Método da Linha de Transmissão Transversa utiliza à direção de propagação “y”, transversa a direção real de propagação “z”. Dessa forma há uma diminuição do tempo computacional quando este método é implementado em alguma linguagem computacional.

4.1 Desenvolvimento dos Campos Transversais

Como exemplos de aplicação, são determinados os campos para a região do substrato metamaterial de uma linha de lâmina bilateral. As equações gerais dos campos são obtidas com a utilização do método LTT (FERNANDES, 1986), a partir das equações de Maxwell:

x E

j

ω µ

[ ]H

∇



= −



(4.1)

x H

j

ω ε

[ ]E

∇



=



(4.2)

Os vetores campo elétrico e magnético no método LTT são decompostos nas suas três componentes (FERNANDES, 1986),

ˆ

ˆ

ˆ

y t x y z

H



=

H



+

H



=

H x



+

H y



+

H z



(4.3)

ˆ

ˆ

ˆ

y t x y z

E



=

E



+

E



=

E x



+

E y



+

E z



(4.4)

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

y t t

y

x

y

z

y

x

y

z

∂

∂

∂

∂

∂

∇ = ∇ + ∇ = ∇ +

=

+

+

∂

∂

∂

(4.5)

∇ =

_t

+

=

−

x

x

z

z

x

x

z

∂

∂

∂

∂

∂

∂

ɵ

ɵ

ɵ

Γ

ɵ

_(4.6) onde

21







H

_t

=

H

_x

+

H

_z – campo magnético na direção transversa (4.7)







E

_t

=

E

_x

+

E

_z – campo elétrico na direção transversa (4.8)

Γ = +

α

j

β

– constante de propagação (4.9)

Para o caso do metamaterial temos que (ITOH, 2006),

[ ]

0

0

0

0

0

0

0

xx yy zz

µ

µ

µ

µ

µ









=

_

_









(4.10)

[ ]

0

0

0

0

0

0

0

xx yy zz

ε

ε

ε

ε

ε









=

_

_









(4.11) Substituindo (4.4) a (4.6) em (4.3)

(

)

0 ˆ 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ˆ 0 0 _ˆ x xx x y z yy y zz _z E x x y z H x H y H z j E y x y z E z

ε

ωε

ε

ε

       ∂ ∂ ∂  _{ } + + × + + = _{⋅  } _{∂ ∂ ∂}  _{ }   _{ }    _{  }       (4.12)

( )

( )

( )

(

)

0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z x z x y x xx y yy z zz H z H y H z H x H y H x x x y y z z j

ω ε

E

ε

E

ε

E

ε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + − + + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   = _ + + _          (4.13)

Separando as componentes transversais x e z de (4.13), teremos:

( )

ˆ

( )

ˆ

0

(

)

ˆ

ˆ

y x z y x xx z zz

H z

H

z

H x

H

x

j

E

E

x

y

y

z

ω ε

ε

ε

∂

∂

∂

∂

_

_

+

− +

+

−

=

_

+

_

∂

∂

∂

∂













(4.14) Reescrevendo,

22

(

)

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

z x y y x xx z zz

H x

H z

H z

H x

j

E

E

y

y

x

z

ω ε

ε

ε



∂

₋

∂



₊



∂

₋

∂



₌

_

₊

_



_∂

_∂

 

_∂

_∂



_

_





















(4.15) como,

ˆ

ˆ

ˆ

z x t

H x

H z

y H

y

y

y



∂

∂



∂

−

=

×



_∂

_∂



_∂











(4.16) e

ˆ

ˆ

y y t y

H z

H x

H

x

z

∂

∂



₋



_{= ∇ ×}



_∂

_∂













(4.17) então,

(

)

0

(

)

ˆ

_{t t y x xx z zz}

y H

H

j

E

E

y

ω ε

ε

ε



∂



_

_

×

+ ∇ ×

=

+



_∂



_

_













(4.18) assim, 0

1

x Z y xx

E

H

H

j

ωε ε

y

z



∂

∂



=

_

−

_

∂

∂











(4.19) e 0

1

Z y x zz

E

H

H

j

ωε ε

x

y



∂

∂



=

_

−

_

∂

∂











(4.20)

23

(

)

0 ˆ 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ˆ 0 0 _ˆ x xx x y z yy y zz _z H x x y z E x E y E z j H y x y z H z

µ

ωµ

µ

µ

    _{ }  ∂ ∂ ∂  _{ } + + × + + = − _{⋅  } _{∂ ∂ ∂}  _{ }   _{ }    _{  }       (4.21)

( )

( )

( )

(

)

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

y z x z x y x xx y yy z zz

E z

E

y

E

z

E x

E y

E

x

x

x

y

y

z

z

j

ω ε

H

µ

H

µ

H

µ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

−

+

− +

+

+

−

∂

∂

∂

∂

∂

∂





=

_

+

+

_



















(4.22)

Separando as componentes transversais x e z de (4.22), teremos:

( )

ˆ

( )

ˆ 0

(

)

ˆ ˆ y x z y x xx z zz E z E z E x E x j H H x y y z

ω ε

µ

µ

∂ ∂ ∂ ∂ _{ } + − + + − = _ + _ ∂ ∂ ∂ ∂       (4.23) reescrevendo,

(

)

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

y y z x x xx z zz

E z

E x

E x

E z

j

H

H

x

z

y

y

ω ε

µ

µ





∂

∂

∂

∂



₋



₊

₋

₌

_

₊

_







_∂

_∂



_∂

_∂

_

_



 















(4.24) como,

ˆ

ˆ

ˆ

z x t

E x

E z

y E

y

y

y



∂

∂



∂

−

=

×



_∂

_∂



_∂











(4.25) e

ˆ

ˆ

y y t y

E z

E x

E

x

z

∂

∂



₋



_{= ∇ ×}



_∂

_∂













(4.26) então

(

)

0

(

)

ˆ

_{t t t x xx z zz}

y E

E

j

H

H

y

ω ε

µ

µ



∂



_

_

×

+ ∇ ×

=

+



_∂



_

_













(4.27) assim,

24 0 x z y xx

j

H

E

E

y

z

ωµ µ



∂

∂



=

_

−

_

∂

∂





ɶ

ɶ

ɶ

(4.28)

e

0 Z y x zz

j

H

E

E

x

y

ωµ µ



∂

∂



=

_

−

_

∂

∂





ɶ

ɶ

ɶ

(4.29)

Aplicando a eq.(4.19) em (4.29) temos:

0 0

1

z y Z y zz xx

j

H

E

H

H

x

y

y

z

ωµ µ

ωε ε



∂

∂



∂

∂





=

_

−

_

−

_

_

∂

∂

_

∂

∂

_





ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

(4.30) 2 2 0 2 0

1

z n xx y y y zz xx

H

E

H

y z

K

K

µ ε

α ωε ε



∂



=

_

+

_

∂ ∂

+





ɶ

ɶ

ɶ

(4.31) E assim, 2 0 2 2 0

1

z n xx y y y zz xx

H

E

H

K

K

µ ε

α ωε ε

y z



∂



=

_

+

_

+

_

∂ ∂

_

ɶ

ɶ

ɶ

(4.32)

Agora, aplicando a eq. (4.29) em (4.19), temos:

0 0 1 x y x y xx zz j E E E H j

ωε ε

y

ωµ µ

x y z  ∂   ∂ ∂  ∂    = _{  } − _− _ ∂ _∂ ∂ _ ∂       ɶ ɶ ɶ ɶ _(4.33) 2 0 2 2 0

1

x y k zz y y xx zz

E

E

H

K

K

ε µ

y x

β ωµ µ



∂



=

_

+

_

+

_

∂ ∂

_

ɶ

ɶ

ɶ

(4.34)

25 0 0

1

x y x y xx zz

j

H

H

H

E

y

j

x

y

z

ωµ µ

ωε ε



∂





∂

∂





∂







=

_

_

_

−

_

_

−

_

∂

_

∂

∂

_

∂













ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

(4.35) 2 0 2 2 0

1

x y K zz y y zz xx

H

H

E

K

K

ε µ

y x

β ωε ε



∂



=

_

−

_

+

_

∂ ∂

_

ɶ

ɶ

ɶ

(4.36)

Por final, aplicando a eq. (4.28) em (4.20), temos:

0 0

1

Z y Z y zz xx

j

E

H

E

E

j

ωε ε

x

y

ωµ µ

y

z



∂

∂





∂

∂











=

_

−

_

_

−

_

_

_

∂

∂

_

∂

∂

_













ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

(4.37) 2 0 2 2 0

1

Z y n xx y y zz xx

E

E

H

K

K

ε µ

y z

α ωµ µ



∂



=

_

−

_

+

_

∂ ∂

_

ɶ

ɶ

ɶ

_(4.38) Onde 2 2 2 2

k

y

y

∂

γ

∂

=

=

(4.39) 2 2 n K

K

i

γ

=

α

+

β

−

(4.40) n

j

x

α

∂

_{= −}

∂

(4.41) K

j

z

β

∂

_{= −}

∂

(4.42)

26 2 0 2 2 0

1

x y K zz y y xx zz

E

E

H

K

K

ε µ

y x

β ωµ µ



∂



=

_

+

_

+

_

∂ ∂

_

ɶ

ɶ

ɶ

(4.43) 2 0 2 2 0

1

Z y n xx y y zz xx

E

E

H

K

K

ε µ

y z

α ωµ µ



∂



=

_

−

_

+

_

∂ ∂

_

ɶ

ɶ

ɶ

(4.44) 2 0 2 2 0

1

x y k zz y y zz xx

H

H

E

K

K

ε µ

y x

β ωε ε



∂



=

_

−

_

+

_

∂ ∂

_

ɶ

ɶ

ɶ

(4.45) 2 0 2 2 0

1

Z n xx y y y zz xx

H

E

H

K

K

µ ε

α ωε ε

y z



∂



=

_

+

_

+

_

∂ ∂

_

ɶ

ɶ

ɶ

(4.46)

4.2 – Conclusões

Foi apresentado o desenvolvimento matemático e a determinação dos campos eletromagnéticos da antena de microfita com substrato metamaterial, utilizando o Método da Linha de Transmissão Transversa.

27

Capítulo 5

Campos Eletromagnéticos na Antena com

Substrato Metamaterial

5.1 Introdução

A análise através de métodos rigorosos de onda completa se faz necessária para a obtenção de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais.

Partindo das equações de Maxwell, as componentes dos campos elétrico e magnético E~_x,Ez

~

, H~_x e Hz

~

são escritos em função das componentes E~_y e Hy

~ _no

domínio da transformada de Fourier. Tomando uma solução geral da equação de onda e aplicando as condições de contorno adequadas, são obtidas as constantes envolvidas nesta solução em função do campo elétrico fora da fita e também à equação matricial não homogênea envolvendo as densidades de corrente nas fitas. Aplicando o método dos momentos, as densidades de corrente são expandidas em funções de base e uma equação matricial homogênea é obtida. A solução não-trivial gera a equação característica, na qual as raízes permitem a obtenção da freqüência de ressonância da antena.

Neste capítulo é apresentada a antena de microfita retangular com substrato metamaterial, a qual é uma modificação da antena retangular.

5.2 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial

As equações de campo eletromagnético são desenvolvidas para a obtenção da freqüência de ressonância da antena de microfita convencional através do método de onda completa LTT e em combinação com este, será utilizado o modelo da Linha de Transmissão para a obtenção do diagrama de irradiação da antena.

A antena é composta por um patch ressoador sobre um substrato dielétrico que tem na parte inferior um plano de terra, como ilustrado na Fig. 5.1.

28

Fig. 5.1 – Antena de microfita com substrato metamaterial.

Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora é desprezada, pois serão considerados os parâmetros dimensionais e eletromagnéticos da estrutura e o sistema cartesiano.

5.3 Determinação das Equações de Campos Eletromagnéticos

Nessa seção, são desenvolvidas as soluções das equações de ondas para antena de microfita com substrato metamaterial na região 1. Para região 2 é considerado o espaço livre.

Das equações de Maxwell tem-se:

x E jω µ[ ]H

∇  = −  (5.1)

x H jω ε[ ]E

∇  =  (5.2)

Onde, para o caso de substrato metamaterial uniaxial:

0 0 0 [ ] 0 0 0 0 xx yy zz µ µ µ µ µ     = _{ }     (5.3) 0 0 0 [ ] 0 0 0 0 xx yy zz ε ε ε ε ε     = _{ }     (5.4)

29

Como as soluções das equações de onda são feitas considerando a direção de propagação, as equações 5.3 e 5.4 se tornam:

0

[ ]ε =ε ε_yy (5.5)

0

[ ]µ =µ µ_yy (5.6)

Calculando-se o rotacional da eq. 5.1, tem-se:

[ ] E jω µ H ∇ ×∇ × = − ∇ ×  (5.7) Substituindo a eq. 5.2 em 5.7, 2 0 yy 0 yy E ω ε ε µ µ E ∇ ×∇ × =  (5.8) Assim, 2 2 0 0 ( E) E ω ε ε µ µ_{yy yy}E ∇ ∇ ⋅  − ∇ =  (5.9)

Como a região é livre de cargas e correntes elétricas, tem-se pelas equações de Maxwell que:

0 E

∇ ⋅ = (5.10)

logo, pode-se escrever 5.9 como segue,

2 2

0 yy 0 yy 0

E ω ε ε µ µ E

∇ −  = (5.11)

esta relação é válida para todas as componentes de E e, em particular, para E_y, ou seja:

2 2

0 0 0

y yy yy y

E ω ε ε µ µ E

30 decompondo-se o operador ∇2, tem-se:

2 2 2 2 2 2 2 x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ (5.13)

assim 6.12 é dada por:

2 2 2 2 0 0 2 2 2 yy yyE 0 x y z

ω ε ε µ µ

∂ ₊ ∂ ₊ ∂ _{+ =} ∂ ∂ ∂  (5.14)

Da teoria da transformada de Fourier, tem-se:

2 2 2 y n y E E x

α

∂ = − ∂   (5.15) 2 2 2 y k y E E z

β

∂ = − ∂   (5.16)

Transformando-se 5.14 para o domínio da transformada de Fourier, tem-se:

2 2 2 0 0 2 0 y n y k y yy yy E E E E y

α

∂

β

ω ε ε µ µ

− + − + = ∂     (5.17) ou, ainda 2 2 2 2 2 ( ) 0 y n k y E k E y

α

β

∂ − + − = ∂   (5.18) Onde k=ω ε ε µ µ2 _{0 yy 0 yy}E_y Logo, 2 2 2 0 y y E E y

γ

∂ − = ∂   (5.19)

31

Onde: γ2 =α_n2+β_k2−k2

A equação 5.19 é a equação de onda para E_y. De maneira análoga, mostra-se que:

2 2 2 0 y y H H y

γ

∂ − = ∂   (5.20)

As soluções das equações dos campos em y para as duas regiões da estrutura em estudo (onde a região 1 representa à ressonância e a região 2 a propagação através do ar), através das equações de onda de Helmholtz, são dadas por:

Região 1:

( )

1 1 cosh 1 y e Eɶ =A γ y (5.21)

( )

1 1 1 y h Hɶ =A senh γ y (5.22) Região 2: ) ( 2 2 2 ~ y h e y A e E = −γ − (5.23) ) ( 2 2 2 ~ y h h y A e H = −γ − (5.24) Substituindo as componentes em y (5.21) – (5.24) nas equações (4.43) – (4.46) obtêm-se as demais componentes dos campos elétricos e magnéticos para as duas regiões da estrutura: Região 1:

(

)

1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 cosh( ) sinh( ) x n e k zz h xx zz j E A y j A y K α γ γ β ωµ γ γ ε µ − = + + ɶ _(5.25)

(

)

1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 0 cosh( ) sinh( ) z k e n xx h zz xx j E A y j A y K β γ γ α ωµ µ γ γ ε µ − = − + ɶ _(5.26)

(

)

1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 0 cosh( ) cosh( ) x n h k zz e zz xx j H A y j A y K α γ γ β ωε ε γ γ ε µ − = − + ɶ _(5.27)

32

(

)

1 2 2 0 1 1 1 1 1 0 cosh( ) cosh( ) z n xx e k h xx zz j H j A y A y K α ωε ε γ β γ γ γ ε µ − = + + ɶ _(5.28) Região 2 ( ) ( )

[

y h

]

h k h y e n x

j

A

e

A

e

k

E

− −

+

− −

+

=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

~

_α

_γ

γ

_ωµβ

γ

γ

(5.29) ( ) ( )

[

y h

]

h n h y e k z

j

A

e

A

e

k

E

− −

−

− −

+

=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

~

_β

_γ

γ

_ωµα

γ

γ

(5.30) ( ) ( )

[

y h

]

e k h y h n x

j

A

e

A

e

k

H

− −

−

− −

+

=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

~

_α

_γ

γ

_ωε

_β

γ

γ

(5.31) ( ) ( )

[

y h

]

e n h y h k z

j

A

e

A

e

k

H

− −

+

− −

+

=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

~

_β

_γ

γ

_ωε

_α

γ

γ

(5.32)

As constantes dos campos elétricos e magnéticos (A1e, A1h, A2e e A2h) são obtidas

através da aplicação das condições de contorno da estrutura na direção y. As condições de contorno são dadas por (DAMIANO et al., 1990):

• Os campos elétricos tangentes às paredes elétricas são iguais a zero (Eɶ_t =0); • Os campos eletromagnéticos no infinito tendem a zero;

• Os campos eletromagnéticos nas interfaces dielétrico-dielétrico são iguais (

ti tj

Eɶ =Eɶ e Hɶ_ti =Hɶ_tj);

• Os campos elétricos tangentes a uma interface dielétrico-dielétrico que possua fitas metálicas são iguais aos campos elétricos a essa interface (Eɶ_ti=Eɶ_tj=Eɶ_fita).

A aplicação destas condições de contorno gera um sistema de equações, no qual a quantidade de equações e de incógnitas é igual a 4 vezes a quantidade de regiões dielétricas consideradas para a estrutura em estudo. A resolução deste sistema não-homogêneo de equações fornece os valores das constantes dos campos elétricos e magnéticos.

33

Aplicando as condições de contorno à estrutura em estudo, têm-se: em y = h xh x x E E E~₁ = ~ ₂ = ~ (5.33) zh z z E E E~₁ = ~ ₂ = ~ (5.34)

Com a aplicação destas condições de contorno, as constantes dos campos elétricos e magnéticos são obtidas em função dos campos elétricos tangenciais E~_xh e

zh E~ : 2 2 2 2 1 1 0 1 1 0 1 2 2 0 1

(

)

(

)

sinh(

)(

)

k xh xx zz n zh zz xx h n xx k zz

E

K

E

K

A

y

β

γ

ε µ

α

γ

ε µ

ωµ

γ

α µ

β µ

+

−

+

=

+

ɶ

ɶ

(5.35) 2 2 2 2 1 1 0 1 1 0 1 2 2 1 1

(

)

(

)

sinh(

)(

)

zz k zh zz xx xx n xh xx zz e k zz n xx

j

E

K

j

E

K

A

y

µ β

γ

ε µ

µ α

γ

ε µ

γ

γ

β µ α µ

−

+

−

+

=

−

ɶ

ɶ

(5.36)

(

)

2 2 n xh k zh e

j

E

E

A

α

β

γ

−

+

=

ɶ

ɶ

(5.37)

(

)

2 0 k xh n zh h

E

E

A

β

α

ωµ

−

=

ɶ

ɶ

(5.38)

Após a obtenção das constantes dos campos, é aplicada a condição de contorno magnética, na interface onde se localiza a fita condutora. A condição de contorno utilizada é apresentada abaixo (HASSANI et al., 1995):

zh x x H J H~ ₁− ~ ₂ = ~ (5.39) xh z z H J H~ 1− ~ 2 =−~ (5.40)

A aplicação das condições de contorno (5.39) e (5.40), pode ser escrita na forma matricial, gerando uma matriz que relaciona os campos elétricos tangenciais à interface