PROPORCIONALIDADE E PORCENTAGEM
Edvonete Souza de Alencar Anhanguera Uniban, Brasil edvonete.s.alencar@ hotmail.com Angélica da Fontoura Garcia Silva Anhanguera Uniban, Brasil angelicafontoura@gmail.com
RESUMO
O presente artigo é resultado parcial de uma pesquisa cujo objetivo é observar e refletir sobre as análises dos professores no tocante às resoluções de alunos fictícios em duas situações-problema envolvendo proporcionalidade simples e porcentagem. Este estudo foi realizado em uma escola da rede pública de São Paulo, que obteve excelente índice de proficiência em Matemática em uma avaliação externa. Nosso público-alvo foram professores que lecionam para o 5.º ano do Ensino Fundamental. Escolhemos este segmento de ensino por se tratar do ano examinado pela referida avaliação externa. Como referencial teórico, nos baseamos nos autores que tocam a Formação de Professores, entre eles: Shulman , Schön e Ball e Bass . Quanto à fundamentação matemática, utilizamos Berh, Lesh e Post e Vergnaud .Coletamos nossos dados por meio de questionários, em que os professores analisaram produções dos alunos referentes à temática proposta. Posteriormente, realizamos uma entrevista retomando as situações estudadas. Esta pesquisa identificou quais meios os educadores investigados adotam no ensino da proporcionalidade e porcentagem, além de ter permitido a investigação de quais os conhecimentos dos professores ao realizarem suas ações docentes.
Palavras-chave: Conhecimento Profissional Docente, Proporcionalidade e Porcentagem
ABSTRACT
This article is a partial result of a research that aims to observe and reflect on the analysis of teachers in relation to the resolutions of fictitious students in problem situations involving two simple proportionality an percentage. This study was conducted in a public school in São Paulo who got an excellent rate of proficiency in Mathematics in an external evaluation. Our target audience for this study were teachers who teach for five years of elementary school. We chose this segment of education by the year it is estimated that the external evaluation. As a theoretical framework in with the authors touch we based teacher Education including: Shulman , Schön and Ball and Bass . As a Mathematical foundation used Berh, Post and Lesh and Vergnaud . We collect our data through questionnaires in which teachers analyzed students productions concerning this topic. Subsequently we conducted an interview reiterating the conditions studied. This research identified what means the educators investigated using in teaching and proportionality and percentage. Besides allowing the investigation of knowledge which teachers have to carry their teaching practices.
Keywords: Teacher Professional Knowledge, proportionality and percentage. 1 Introdução
Este artigo apresenta dados parciais obtidos em uma pesquisa do Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu – Mestrado em Educação Matemática, realizada no grupo de Formação de Professores que Ensinam Matemática. Fizemos a pesquisa em uma escola pública da cidade de São Paulo com excelente desempenho em uma avaliação externa. Foram selecionados para participação deste estudo cinco professores que lecionam para o 5.º ano do Ensino Fundamental. Optamos por este grau de ensino por tratar-se do segmento avaliado pelo Sistema de Avaliação e Rendimento do Estado de São Paulo (Saresp1).
1
Saresp (Sistema de Avaliação do Estado de São Paulo) foi criado em 1996, com o intuito de ser um sistema de avaliação do rendimento dos alunos do Ensino Fundamental e Médio, visando à reestruturação curricular, à melhoria na formação continuada dos professores e à participação da comunidade. Informações obtidas no site
Nosso objetivo neste estudo foi verificar e refletir sobre as análises dos professores no tocante às resoluções dos alunos em duas situações-problema envolvendo proporcionalidade simples e porcentagem.
Explanaremos nosso problema de pesquisa apresentando inicialmente a relevância e os fundamentos teóricos que darão base ao estudo, os procedimentos metodológicos adotados e, por fim, as considerações finais.
2 Relevância e fundamentos teóricos
O interesse na realização desta pesquisa surgiu da percepção da importância do papel do professor no desenvolvimento da organização pedagógica, importância observada em estudos como de Shulman (1986), Schön (1983) e Tardif e Raymond (2000), nos quais relatam aspectos sobre o conhecimento profissional docente.
O público selecionado para participar deste estudo foram professores que lecionam no 5.º ano do Ensino Fundamental, pois, segundo pesquisa realizada por Fiorentini (2002), existem poucas investigações neste segmento de ensino, principalmente concernentes às práticas profissionais.
Realizamos um levantamento bibliográfico nos artigos publicados na Revista Zetetike dos anos de 1998 –2008, nos quais dos 2.101 estudos em Educação Matemática somente 73 (3,47%) destas publicações trata-se dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Cabe destacar que destes 73 artigos apenas 14 (32,88%) dizem respeito à temática do conhecimento profissional docente, e estes estão direcionados principalmente aos 2.º e 3.º anos.
Diante disso, verificamos a necessidade de realizar estudos envolvendo a temática do conhecimento profissional docente nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Para fundamentarmos nossa pesquisa, utilizamos os autores que relatam sobre o conhecimento profissional docente. Shulman (1986) menciona que, para que este conhecimento se efetive, é necessário que o professor possua a tríade dos conhecimentos:
específico, didático e curricular. Cabe evidenciar que o conhecimento específico é “aquele conteúdo do qual deveriam ter domínio pleno a fim de ensinar” (p. 9); o conhecimento didático “explicita como o professor compreende e permite que os conteúdos se tornem compreensíveis ao aluno, para isso utiliza diferentes estratégias e meios para que o estudante aprenda” (p. 9); e o conhecimento curricular “são as especificações e detalhes sobre o currículo proposto” (p. 9).
As ideias de Tardif e Raymond (2000)apontam que os saberes docentes são além plurais, também temporais. Para o autor tais saberes se constituem por meio da aprendizagem e da socialização decorrentes das experiências de sua vida pessoal e profissional. Nesse sentido, tais saberes consolidam-se mediante o desenvolvimento e entrelaçamento de diferentes tempos sociais como, por exemplo, a convivência em família, a escola durante a formação básica, a formação profissional, o início na profissão, dentre outros.
Para complementar a fundamentação, utilizaremos as ideias de Schön (1983) que realiza a reflexão sobre a prática docente e propõe que devemos refletir em contextos ricos e complexos. O autor defende que o saber profissional é formado por um conjunto de competências: conhecimento na ação (o conhecimento executado na ação); reflexão na ação (a verbalização da atuação dos docentes); e reflexão sobre a ação (a modificação das estratégias mentais da ação docente).
Ball e Bass (2003) trazem contribuições sobre o conhecimento profissional docente relacionado à Matemática. Os autores abordam a importância do conhecimento do professor sobre a análise das resoluções dos alunos e propõem a questão: “Qual Matemática o professor precisa saber para ensinar efetivamente?”. Em seus estudos, elas concluem que o conhecimento do professor afeta as aprendizagens dos alunos, portanto o docente deve possuir pleno domínio da tríade citada por Shulman (1986).
Quanto à fundamentação dos processos de ensino e aprendizagem do objeto matemático, abordaremos Berh, Lesh e Post (1988) e Vergnaud (1990). Destacamos Berh et al. (1988) que discutem a importância do raciocínio proporcional como elemento básico para os progressivos estudos matemáticos. Os autores abordam tal necessidade ao relatarem que:
[...] uma forma de raciocínio matemático envolve o sentido de covariância e múltiplas comparações, assim como a aptidão para reunir e processar mentalmente diversos conjuntos de informação. O raciocínio proporcional está relacionado com inferência e predição e envolve o pensamento qualitativo e quantitativo (BEHR et al., 1988, p. 1).
Portanto, os autores nos dizem que a ideia de proporcionalidade é complexa, pois envolve relações holísticas entre expressões racionais, representação de taxas, razão,
quociente e fração. No entanto, dizem que para sua resolução não basta a aplicação de procedimentos. Ressaltam ainda que alguns alunos costumam resolver pelo procedimento de cálculo utilizando-se de regra de três .
Para a fundamentação das estruturas multiplicativas, apoiar-nos-emos em Vergnaud (1990). O autor apresenta a Teoria dos Campos Conceituais e procura discutir como estes estão ligados às situações. Assim, um campo conceitual é definido por Vergnaud (1990) como o conjunto de situações que, segundo seus estudos, a “[...] abordagem através de situações permite gerar uma classificação que é baseada no cognitivo, análise de tarefas e procedimentos que podem ser postos em jogo [...]” (VERGNAUD, 1990, p. 140).
Notamos nos estudos deste autor a necessidade de trabalhar com situações significativas e diversificadas para o desenvolvimento do raciocínio lógico matemático, visto que a formação do conceito se dá pela tríade:
[...] de três conjuntos: C (S,I,R), S: conjunto de situações que dão sentido ao conceito (a referência), I: conjunto de invariantes sobre os quais as respostas da operacionalidade dos esquemas (o significado) e R: (conjunto das formas linguísticas e não linguísticas que permitem representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento (o significante) (VERGNAUD, 1990, p. 139).
Buscamos, ainda, dissertações e teses que fundamentassem nossa pesquisa como: Araujo (2003), Rodrigues (2006) e Nürnberg (2008). Tais estudos analisaram os processos de ensino e de aprendizagem relacionados ao campo multiplicativo.
3 Procedimentos metodológicos
Reiteramos que para a realização desta pesquisa selecionamos uma escola que obteve excelente desempenho em uma avaliação externa da Rede Pública, Saresp, aplicada na cidade de São Paulo, com todos os professores que lecionavam no 5.º ano do Ensino Fundamental uma vez que esse ano é o avaliado pelo sistema Saresp.
A escolha da escola se deu mediante a análise dos índices desta avaliação, na qual a referida instituição obteve um excelente resultado, conseguindo dobrar no ano de 2009 a nota de 2008. Os índices vão de uma escala de 0 a 10, e em 2008 esta escola alcançou o índice em Matemática de 3,1788 e em 2009, de 7,4580.
Utilizamos para coleta de dados: um questionário e uma entrevista ambos realizados no próprio ambiente escolar. Nos dois instrumentos nos referenciamos a questões apresentadas no Relatório do Saresp de 2009 como as com maiores índices de dificuldade e resoluções de discentes fictícios. Tanto no questionário como na entrevista solicitamos aos professores que analisassem as respostas dos alunos das questões envolvendo proporcionalidade e
Sabendo-se que 4 maçãs custam RS 2,50, quanto Julia pagará por 16 maçãs?
porcentagem. Pedimos aos docentes possíveis ações que eles proporcionariam aos alunos e que atividades e propostas metodológicas seriam indicadas para solucionar as dificuldades deles.
Após, realizamos uma entrevista em que identificamos o perfil profissional, a relação deste docente com a Matemática, como docente e como aluno, e retomamos as duas questões para que os professores explicassem as situações de proporcionalidade e porcentagem.
3.1 Descrição das questões analisadas
Cabe ressaltar que a ideia para elaboração do instrumento de pesquisa inspirou-se nos estudos de Ball e Bass (2003) nos quais a autora analisa o Conhecimento Profissional Docente por meio da proposição de análise de casos próximos aos encontrados pelos docentes em sala de aula. Nesse estudo elaboramos dois casos envolvendo duas questões uma envolvendo o contexto de proporcionalidade direta e outra envolvendo porcentagem.
A primeira questão envolve uma situação de proporcionalidade simples que foi retirada do Guia de Planejamento e Orientação dos Professores do 4.º ano, material da rede pública de ensino do Estado de São Paulo, que apresentamos a seguir:
H13 – Resolver problemas que envolvam a multiplicação e a divisão, especialmente em situações relacionadas à comparação entre razões e a configuração retangular.
A) Explicite aspectos que podem indicar o grau de compreensão de cada um deles sobre a resolução da operação indicada.
B) Dê sugestões para a aprendizagem nos diferentes casos: qual seria sua intervenção?
Quadro 1 – Questão envolvendo situação de proporcionalidade. Fonte: Acervo Pessoal
Aluno 1 AAAAAAA
lunoallualun o Aluno 2
O objetivo da questão é identificar como os professores analisam as dificuldades dos alunos e como a utilizam para realizar suas intervenções, em um problema de proporcionalidade simples.
A questão proposta envolvia uma situação-problema não convencional, pois o seu enunciado propunha a relação proporcional de 4 maçãs com o valor de R$ 2,50 e perguntava-se o valor de dezesperguntava-seis, fato que não é o que tradicionalmente perguntava-se apreperguntava-senta nos livros didáticos. Vale ressaltar que normalmente é indicado o cálculo do valor unitário da maçã para em seguida calcular as dezesseis.
Para melhor análise das respostas dos professores examinamos cada resolução dos estudantes.
A resposta do aluno 1 demonstra erro, pois este acredita que o valor da proporcionalidade inicia-se na unidade. Constatamos que em seu entendimento R$2,50 é o valor de uma maçã. O estudante não percebe que o valor da situação-problema se refere a quatro maçãs. Ele se utiliza da multiplicação para resolução, o que pode indicar que compreende a ideia dessa operação.
Quanto ao aluno 2, observamos que ele responde de forma acertada a situação proposta e não se utiliza da multiplicação para resolver o problema, resolve utilizando-se de adição por parcelas iguais. Notamos que o aluno entendeu que 4 maçãs custam R$ 2,50 e por isso formou quatro grupos de quatro para obter as dezesseis.
A segunda situação envolve porcentagem. Ela foi retirada do Relatório do Saresp 2008 e escolhida por ter obtido o índice mais baixo de acerto: 24% O objetivo da apresentação dessa questão em um caso fictício foi identificar como os professores reconhecem as dificuldades dos alunos nas resoluções e como realizam as intervenções de acordo com cada problemática.
Escolhemos esta questão em razão de ela não possuir o enunciado convencional, exigindo que se compreenda que o solicitado não é a porcentagem indicada no corpo do problema, proporcionando que o aluno deduza a porcentagem complementar. A situação proposta foi:
Analise as questões abaixo. Trata-se de itens do Saresp e apresentamos algumas resoluções de alunos fictícios.
H16 – resolver problemas envolvendo noções de porcentagem (25%, 50%, 75%, 100%) No período da manhã da escola “Aprendendo Sempre” estudam 400 alunos, dos quais 25% têm menos de 10 anos. O número de alunos dessa escola com 10 ou mais anos de idade é?
Aluno 1
A) Explicite aspectos que podem indicar o grau de compreensão de cada um deles sobre a resolução da operação indicada.
B) Dê sugestões de encaminhamentos.
Quadro 2 – Questão envolvendo porcentagem Fonte: Acervo Pessoal
Analisando as soluções indicadas, observamos que Aluno 1 utiliza o procedimento da divisão. O Aluno 2, por sua vez, apresenta o algoritmo da multiplicação. Normalmente, estas são duas estratégias adotadas para resolução da porcentagem. Examinando a resolução, notamos que o Aluno 1 usa erroneamente os dados do enunciado do problema, realiza uma divisão para calcular 25%. Ao fazer a divisão, o estudante comete erro, efetuando a divisão por 5, em vez de realizá-la por 25. Verificamos que esta resolução nos dá indícios de que o aluno domina os procedimentos para efetuar a divisão com divisor com valor unitário.
Por seu turno, o Aluno 2 utiliza os dados contidos no enunciado e apresenta a resolução com algoritmos da multiplicação. Observamos que ele demonstra a solução parcialmente correta, pois acaba equivocando-se ao realizar a multiplicação de 5 unidades x 4 centenas, que é igual a 20 centenas. Inferimos que o aluno pode ter se esquecido de indicar o algarismo 2 ao lado do zero. Verificamos que a segunda parcela da multiplicação é feita corretamente, mas, como cometeu o erro anterior, erra o resultado, que lhe promoveria metade da solução. Acreditamos que esse aluno domina a multiplicação por dezena, mas não podemos deduzir se a sua resolução contempla a primeira parte do procedimento.
O Aluno 3 demonstra uma estratégia diferente. Ele reconhece que para identificar 75% é Aluno 3
necessário subtrair 25% de 100%, no caso, o todo. Portanto, o estudante realiza sucessivamente 4 subtrações porque, provavelmente, sabe que 4 vezes 100 é igual a 400.
4 Análise
A análise foi realizada utilizando-se os depoimentos dos docentes citados no questionário e na entrevista. Nosso trabalho foi identificar as ações pedagógicas desses professores, assim como os aspectos concernentes ao conhecimento profissional docente.
4.1 Análise da questão de proporcionalidade
Obtivemos como respostas dos questionários as seguintes assertivas:
A primeira criança não conseguiu resolver a questão, pois não conseguiu assimilar o conteúdo – utilizou as propriedades associativas, comutativa etc. (PROFESSOR A). O 2.º chegou ao resultado esperado, não utilizando-se do recurso que seria dividir 2,50 por 4 e multiplicar o resultado por 16. O 1.º não leu com atenção, o que gerou a incompreensão do que foi pedido, ele entendeu que teria que multiplicar 2,50 por 16 (PROFESSOR B).
O 1.º caso não obteve o resultado positivo, mas no 2.º caso não usou a multiplicação, porém fez corretamente o resultado – raciocínio lógico (PROFESSOR C).
[o primeiro aluno] Não conseguiu compreender a conta. [o segundo aluno] Ele chegou no resultado no objetivo dado a ele (PROFESSOR D).
[o primeiro aluno] Embora multiplicasse por 16, não compreendeu que 2,50 era o preço das 4 maçãs juntas. [o segundo aluno] Chegou ao resultado, mesmo não fazendo a divisão, pois seria um recurso desnecessário (PROFESSOR E).
Ao analisar as respostas dos professores identificamos que os educadores possuem a tendência de aceitar a proposta do aluno que considerou o valor unitário das 4 maçãs como correta pelo fato de este ter solucionado por meio da multiplicação.
Dessa forma, retomamos na entrevista alguns aspectos da questão analisada para complementar os dados anteriores:
Sim, eu consideraria certo [o aluno 2] mas eu mostraria ao segundo aluno [...] que dependendo de [...] na vida, no dia a dia, muita gente não vai aceitar isso aqui. Por exemplo, [...] quando você vai fazer um concurso, [...] então eles te cobram uma coisa, você vai considerar isso está certo ótimo, só que na hora que o rapaz está fazendo um teste para o concurso ou numa firma consideraria porque ele usou uma outra saída (PROFESSOR A).
Ficou constrangida e não respondeu (PROFESSOR B).
O segundo aluno aqui eu consideraria certo (PROFESSOR C). O da multiplicação está correto (PROFESSOR D).
Ok, Mesmo considerando que o aluno que resolveu pela adição estava com o resultado o correto? (entrevistadora).
É porque aqui ele foi na tabuada, passo a passo e na adição ele foi direto, ele já somou tudo e por o método da multiplicação ele não chegaria no resultado ideal mais no próximo (PROFESSOR D).
Eu consideraria o segundo certo porque ele chegou ao resultado. Mas o professor deveria fazer um trabalho para questionar como ele chegou a esse resultado e mostrar a ele outro jeito mais prático (PROFESSOR E).
Ao analisarmos os depoimentos, concluímos que dois professores indicam a necessidade de maior intervenção do conceito da multiplicação e identificamos que um professor mostrou preocupação com o uso procedimental utilizado pelo aluno, e não necessariamente com a exatidão da resposta.
Percebemos ainda a fragilidade nos argumentos da resposta dos docentes em relação ao conhecimento proporcionalidade, e este fato pode ser observado na especificação dada pelo
Professor D ao considerar a resolução por parcelas iguais inadequada. Esse mesmo
profissional afirma em seu depoimento: “este daqui foi direto [...] já somou tudo”. Observamos que ele acredita que a resposta da multiplicação seja adequada, mesmo apresentando resultado incorreto.
Cabe ressaltar que um dos docentes não respondeu. A nosso ver, o fato de um dos professores se abdicar de sua resposta, ter ficado constrangido e não ter respondido a questão nos indica que o professor possui dúvidas sobre o conhecimento do conteúdo, o que lhe causa insegurança. A esse respeito Shulman (1986) relata sobre a importância do conhecimento do conteúdo e sua correlação com as demais vertentes para a formação do conhecimento profissional docente.
Afirmamos que dos cinco professores analisados três aceitam a resposta pela adição de parcelas iguais, porém dois deles indicam a necessidade de ampliação dos conceitos para os alunos que envolvem o algoritmo da multiplicação e da divisão.
Ao perguntarmos aos professores sobre possibilidades de intervenção e sugestões de atividades, obtivemos como respostas:
Levar os alunos a terem conhecimento da tabuada/ como bingo/ sorteio (com formação de grupo = quanto é 2 x 9 = sorteio) material todo confeccionado pelo aluno (PROFESSOR A).
Leitura e sugestão trabalhar por etapas (PROFESSOR B).
Trabalharia com material concreto, ou até mesmo desenhos (maçãs) (PROFESSOR C).
1.ª Eu usaria o processo na conta passo a passo todo multiplicação e divisão. Para ele ler reler o enunciado do problema (PROFESSOR D).
Analisando as respostas inferimos que os docentes tentam, a seu modo, solucionar as dificuldades dos alunos. Os professores propõem atividades e estratégias de ensino que permitam maior compreensão dos discentes. Este fato nos remete às ideias de Vergnaud (2001), quando indica que para a formação de um conceito é necessária a tríade (S – Situações, I – Invariantes, R – realidade). No caso, existe a tentativa de diversas atividades para a aprendizagem de um conceito. Observamos ainda que as sugestões dos professores são pouco precisas. Identificamos que esse fato nos remete às análises realizadas por Borba, Selva, Luna, Silva e Ferreira (2008). As autoras consideram que no tocante às atividades sugeridas os professores acreditam que ocorre:
[...] algo meio “mágico” para resolver as dificuldades em Matemática. Assim, o uso do material, sem análise do tipo de intervenção que vai ser realizada, não parece ser uma resposta que esclareça e mobilize novas propostas de trabalho em sala de aula (BORBA et al., 2008, p. 10).
Examinando esse resultado sob o ponto de vista de Shulman (1986), a dificuldade de domínio desse conteúdo específico implicaria igualmente a fragilidade de conhecimentos para o seu ensino. Consideramos, assim como Ball e Bass (2003, p. 8), que “é sobre o que os professores precisam ensinar, mas sobre o que eles por si mesmos necessitam saber e ser capazes de fazer para levar a cabo uma forma responsável de ensinar”.
4.2 Análise da questão de porcentagem
Os professores apresentaram as seguintes considerações após analisarem as resoluções dos alunos fictícios:
Que os alunos não assimilaram o conteúdo e observo que é necessário trabalhar com os passos da divisão para ver de onde vêm essas dificuldades (PROFESSOR A). Assimilou a 2.ª parte do processo [referindo-se ao aluno 1].
Assimilou a 1.ª parte do processo [referindo-se ao aluno 2].
O terceiro se baseou no termo menos 400-25 (referindo-se ao fato do 3 aluno recorrer a subtração sucessiva) (PROFESSOR B).
O que chegou mais próximo foi o 1.º caso [aluno 1], porém não fez corretamente a conta.
Não assimilou o conteúdo proposto [referindo-se ao aluno 2 e 3] (PROFESSOR C). O aluno ele já conhece a tabuada para fazer o problema [referindo-se ao aluno1]. O aluno ele já usou a porcentagem 25% para chegar na conta ele não soube fazer a conta [referindo-se ao aluno 2].
Ele (referindo-se ao aluno) tem que dar base nos números decimais jogos dominó e material didático [referindo-se ao aluno 3] (PROFESSOR D).
O aluno assimilou a 2.ª parte do processo [referindo-se ao aluno1]. O aluno assimilou a 1.ª parte do processo [referindo-se ao aluno 2].
Ele usou o conceito “menos” para resolver a situação 400-25 [referindo-se ao aluno 3] (PROFESSOR E).
a resolução da porcentagem, ou seja, adotam a ideia de parte-todo para calcular o valor de uma porcentagem, multiplicando o índice e dividindo o produto obtido por 100. Entretanto, identificamos que a maioria demonstra não compreender solidamente esse conceito. Os professores utilizam de procedimentos para justificar suas indagações e explicar como o aluno resolve a situação.
Novamente identificamos que os professores têm dificuldades de analisar as resoluções dos alunos. E, portanto, inferimos que os sujeitos deste estudo possuem dúvidas concernentes ao conhecimento específico, quanto ao uso de diferentes estratégias de resolução. Neste momento reconhecemos as ideias de Shulman (1986), ou seja, a ausência de conhecimentos sobre o significado da porcentagem implica também desconhecimento da relação desse conceito com os conjuntos numéricos e, consequentemente, a falta de argumentos para convencer os alunos sobre tais relações.
Ao retomarmos a questão na entrevista, solicitamos aos docentes que indicassem como ensinam esse conteúdo. Obtivemos as seguintes assertivas:
Eu faço assim, eu pego uma televisão, vamos assim dizer, o que eu consulto ali é o básico mesmo, ou seja, o tradicional, nada de diferente e eles pegaram. Por exemplo eu tenho uma televisão que custa 600 reais e tenho desconto de 20% para quem vai pagar à vista. Então eu disse a eles: vocês vão pegar esses 600 reais multiplicar por 20. É o básico o que a gente aprendeu na escola. O que eu aprendi na escola. E aí o que deu a gente vai estar deduzindo vai fazer uma subtração [...] é o valor que eu vou estar pagando pela TV. Eu coloquei na lousa eles foram lá fizeram. Propus outros exercícios. No meu modo de ver é o mais fácil (PROFESSOR A).
Agora eu nem sei (cochichou) [...] nós multiplicamos [...] Primeiro seria a multiplicação e o segundo a divisão, mas aí agora (PROFESSOR B).
Bom, teria que pegar aqui, trabalhar sempre o 100% no caso [...] Na verdade o 1.º caso e 2.º caso eles chegaram próximo porque trabalhou a divisão e multiplicação. Está mais o último eu desconsiderei porque ele subtraiu. Eu explicaria [...] Pegaria um valor, um valor que ficaria destacado no problema e multiplicaria por 100 e se fosse o caso cortaria o zero e ficaria com o resultado, dividiria por 100, multiplicaria por 100 primeiro, depois dividiria (PROFESSOR C).
[...] eu ia passar um exemplo para ele e a ação como é que faz, passo a passo da porcentagem [...] também tratando que a porcentagem trata de saber a tabuada (PROFESSOR D).
Primeiro antes de entrar na porcentagem acho muito importante eles terem a noção dos termos da operação. Que é muito difícil eles chegarem da quarta série usando esses termos, então eu sempre tento assim, quando eu estou explicando eu já utilizo. Ah! É de mais, não tem outra palavra. A adição. Então os meus alunos eles já estão bem acostumados com estes termos. Agora em relação a porcentagem eu leio o enunciado vou tirando palavras-chave e que eles têm que ler por um processo de partes que eles não podem fazer tudo ao mesmo tempo, que eles têm que ler parte por parte e irem interpretando para depois resolvendo. E a tabela da porcentagem os dois números multiplicados divididos por 100 (PROFESSOR E).
contextualizadas no ensino de porcentagem ao relatar o exemplo de compra e juros, que nos permite considerar um fator positivo no ensino e aprendizagem destes alunos.
Verificamos em seu depoimento o relato de experiência de vida positiva quando estudante, o que lhe permite adotar os mesmos métodos que aprendeu na escola, e tal aspecto nos remete às ideias de Tardif e Raymond (2000). A assertiva a seguir mostra tais evidências:
É o básico o que a gente aprendeu na escola. [relato sobre porcentagem] O que eu aprendi na escola (PROFESSOR A).
O professor D acredita ser necessário o domínio da tabuada para a resolução da divisão e multiplicação. Encontramos este dado também na pesquisa de Nürnberg (2008), que analisou um grupo de professores, os quais também indicaram a importância de conhecer a tabuada para a aprendizagem do algoritmo da multiplicação e divisão.
O professor E sugeriu a interpretação das situações-problema como meio de intervenção para que os alunos compreendam a situação e identifiquem qual operação devem utilizar. Identificamos este dado também no artigo elaborado por Borba et al. (2008), quando o professor aponta a necessidade de interpretar o enunciado do problema com os alunos.
Como complemento de nosso estudo, solicitamos sugestões de intervenção para a aprendizagem nos diferentes casos:
É necessário voltar para diagnosticar os problemas (voltar com os passos da Matemática na divisão) (PROFESSOR A).
Rever conceitos, trabalhar com duplas produtivas, apresentar informativos de lojas e etc. (PROFESSOR B).
Apresentar outras situações com dados de porcentagem (notícias, jornal de supermercado etc.) (PROFESSOR C).
Começaria do zero para ver o que o aluno sabe o quê (PROFESSOR D). Retomar os conceitos
Trabalhar com duplas produtivas
Utilizar de material concreto, jogos, panfletos (PROFESSOR E).
Os depoimentos confirmam as primeiras análises. Os docentes sugerem a retomada de conceitos da operação divisão, o que novamente mostra que estes usam suas justificativas no uso do procedimento.
Cabe salientar que dois docentes dão a sugestão da utilização de duplas produtivas e dois professores propõem atividades com material do cotidiano dos alunos como jornal, revistas e panfleto. Reconhecemos neste fato os estudos de Vergnaud (1991), quando os professores pesquisam diferentes situações para que o estudante aprenda o conteúdo proposto.
5 Considerações finais
o ensino nos procedimentos. Identificamos estes dados em outras pesquisas realizadas por Rodrigues (2006) e Araujo (2003), que apontam a dificuldade de os professores reconhecerem as diferentes estratégias de resoluções dos alunos e de valorizar a resolução de problemas por meio das operações.
Observamos que a história de vida profissional e as experiências como estudante influenciam o docente em suas análises e em sua prática pedagógica. Acreditamos que estes professores tiveram experiências positivas com o uso do algoritmo e, portanto, utilizam essas práticas ao ensinar seus alunos.
Verificamos que os professores buscam compreender as estratégias de resoluções que os alunos realizam e propõem atividades que os estimulem ao trabalho colaborativo. Percebemos que esses educadores estabelecem uma relação entre o conteúdo procedimental em práticas pretensamente contextualizadas.
Entretanto, verificamos que a ausência de conhecimentos sobre os pressupostos que envolvem a proporcionalidade implica também a restrição da análise das produções dos alunos. Da mesma forma, limita as possibilidades de seleção e organização de propostas de intervenção.
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