APOSTILA ANPAD

(1)

AULA 01

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos Números Naturais Conjunto dos Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}6, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Atenção: Sempre que usamos o asterisco (*) junto ao Atenção: Sempre que usamos o asterisco (*) junto ao nome do conjunto estamos dizendo que excluímos o nome do conjunto estamos dizendo que excluímos o zero (0) deste conjunto.

zero (0) deste conjunto.

Conjunto dos Números Inteiros Conjunto dos Números Inteiros Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,....} Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,....} OBSERVAÇÃO OBSERVAÇÃO

Também temos os seguintes subconjuntos de Z: Também temos os seguintes subconjuntos de Z: ZZ++= {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}= {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

⇒

conjunto dos númerosconjunto dos números

inteiros não negativos. inteiros não negativos.

ZZ--= {..., -4, -3, -2, -1, 0}= {..., -4, -3, -2, -1, 0}

⇒

conjunto dos númerosconjunto dos números

inteiros não positivos. inteiros não positivos.

* * + +

Z

= {1, 2, 3, 4, 5,...}= {1, 2, 3, 4, 5,...}

⇒

conjunto dos números inteirosconjunto dos números inteiros positivos. positivos. * * − −

Z

= {..., -4, -3, -2, -1}= {..., -4, -3, -2, -1}

⇒

conjunto dos números inteirosconjunto dos números inteiros negativos.

negativos. Observe que Z

Observe que Z++= N, assim N também é subconjuntos de= N, assim N também é subconjuntos de

Z, ou seja, N Z, ou seja, N⊂⊂ZZ

Conjuntos dos Números Racionais Conjuntos dos Números Racionais Q = Q =   

qq

pp

, com p , com p∈∈Z e qZ e q∈∈Z*Z* OBSERVAÇÃO: OBSERVAÇÃO:

São números racionais os números naturais, os São números racionais os números naturais, os números inteiros, as frações, os decimais exatos e números inteiros, as frações, os decimais exatos e as dízimas periódicas.

as dízimas periódicas. São subconjuntos dos núme

São subconjuntos dos números racionais:ros racionais:

•

• Q* = conjunto dos números racionais não nulos.Q* = conjunto dos números racionais não nulos. •

• QQ++= conjunto dos números racionais não negativos.= conjunto dos números racionais não negativos.

•

• QQ--= conjunto dos números racionais não positivos.= conjunto dos números racionais não positivos.

•

Q

**₊₊= conjunto dos números racionais positivos.= conjunto dos números racionais positivos. •

•

Q

**₋₋ = conjunto dos números racionais negativos= conjunto dos números racionais negativos..

O conjunto dos números naturais e o conjunto dos O conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros também são subconjuntos do números inteiros também são subconjuntos do conjunto dos racionais.

conjunto dos racionais. N

N⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂Q e ZQ e Z⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂QQ

Conjunto dos Números Irracionais (I) Conjunto dos Números Irracionais (I)

São números irracionais os decimais, infinitos e São números irracionais os decimais, infinitos e não periódicos. não periódicos. Exemplos: Exemplos: 0,1234567... 0,1234567... 5, 5, 1010010001..1010010001.. ππππππππ(pi(pi 77

Conjunto dos Números Reais Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais, indicado pela letra O conjunto dos números reais, indicado pela letra R, é a união dos conjuntos dos números racionais R, é a união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

com o conjunto dos números irracionais. R = Q

R = Q∪∪∪∪∪∪∪∪II Assim

Assim todos todos os os conjuntos conjuntos numéricos numéricos vistos vistos sãosão subconjuntos dos reais.

subconjuntos dos reais. N N⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂R R ZZ⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂R R QQ⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂R R II⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂RR R R II Q Q Z Z N N CONJUNTOS CONJUNTOS CONCEITOS PRELIMINARES CONCEITOS PRELIMINARES

A idéia de conjuntos pode ser caracterizada por uma A idéia de conjuntos pode ser caracterizada por uma “coleção de objetos”. Os obje

“coleção de objetos”. Os objetos componentes de umtos componentes de um conjunto são denominados

conjunto são denominadosELEMENTOS ELEMENTOS do conjunto.do conjunto.

Tanto o

Tanto oconjuntoconjuntoquantoquantoelementoelementosão chamados desão chamados de

conceitos primitivos (não possuem definição) conceitos primitivos (não possuem definição) REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO

REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO I . Por extensão (ou tabu

I . Por extensão (ou tabular)lar)

Nessa representação os elementos são dispostos entre Nessa representação os elementos são dispostos entre chaves e separados por ponto e

chaves e separados por ponto e vírgula.vírgula. É utilizada para

É utilizada paraconjuntos finitosconjuntos finitosououinfinitosinfinitos..

Exemplos: Exemplos:

e.1. Conjunto da v

e.1. Conjunto da vogais: ogais: A = {a; e; i; o; u}A = {a; e; i; o; u} e.2. Conjunto dos números ímpares positivos m

e.2. Conjunto dos números ímpares positivos menoresenores que 100:

que 100:

B = {1; 3; 5; ...; 999} B = {1; 3; 5; ...; 999}

e.3. Conjunto dos números ímpares positivos: C = {1; 3; e.3. Conjunto dos números ímpares positivos: C = {1; 3; 5; 7; 9; ...}

5; 7; 9; ...}

Representação por compreensão (ou propriedade) Representação por compreensão (ou propriedade) Quando é fornecida uma propriedade característica dos Quando é fornecida uma propriedade característica dos elementos e, pode ser escrito por:

elementos e, pode ser escrito por: P = {x/x é equipe de fórmula 1} P = {x/x é equipe de fórmula 1}

Lê-se: P é o conjunto dos elementos x tal que x

Lê-se: P é o conjunto dos elementos x tal que x é equipeé equipe de fórmula 1.

de fórmula 1. Nota: O símbolo (

Nota: O símbolo ( // ) significa “) significa “tal quetal que”.”.

Representação por diagrama de Euler-Venn Representação por diagrama de Euler-Venn

É uma forma de representar que permite a visualização É uma forma de representar que permite a visualização das relações entre um elemento e um conjunto, entre das relações entre um elemento e um conjunto, entre conjunto e conjunto, etc.

conjunto e conjunto, etc.

Nessa representação os elementos de um conjunto são Nessa representação os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores de uma figura representados por pontos interiores de uma figura fechada.

fechada.

Pontos exteriores representam elementos que não Pontos exteriores representam elementos que não pertencem ao conjunto.

(2)

(3)

••dd ••ee ••cc ••aa ••bb

A

IMPORTANTE IMPORTANTE

Para indicar que um elemento pertence a um conjunto, Para indicar que um elemento pertence a um conjunto, usamos o símbolo

usamos o símbolo∈∈∈∈∈∈∈∈(pertence) e, em caso contrário,(pertence) e, em caso contrário, utilizamos

utilizamos o símo símbolobolo

∉

(não pertence)(não pertence)

Para

Para a a figura figura anterior: anterior: aa∈∈A A e e dd∉∉AA

Obs

Obs.: Os símbolos.: Os símbolos∈∈∈∈∈∈∈∈ee∉∉∉∉∉∉∉∉são utilizados parasão utilizados para

relacionar elemento com conjunto. relacionar elemento com conjunto.

CONJUNTO UNITÁRIO CONJUNTO UNITÁRIO Possui um único elemento Possui um único elemento CONJUNTO VAZIO

CONJUNTO VAZIO

É o conjunto que não possui nenhum elemento. É o conjunto que não possui nenhum elemento. Este conjunto é representado por:

Este conjunto é representado por:∅∅ ou { }ou { } CONJUNTO UNIVERSO

CONJUNTO UNIVERSO

É conjunto ao qual pertencem todos os

É conjunto ao qual pertencem todos os conjuntosconjuntos considerados.

considerados.

Representamos o conjunto universo por Representamos o conjunto universo por UU.. SUBCONJUNTOS

SUBCONJUNTOS

Consideremos dois conjuntos

Consideremos dois conjuntos AA ee BB, o conjunto, o conjunto A A seráserá subconjunto do conjunto

subconjunto do conjunto BB se qualquer elemento dese qualquer elemento de A A também pertencer a

também pertencer a BB.. Nesse caso, dizemos que “

Nesse caso, dizemos que “ A Aestá contidoestá contidoemem BB” ou que” ou que

A

A é subconjunto deé subconjunto de BB..

B

A

Em símbolos teremos: Em símbolos teremos: A

A⊂⊂BB lê-se:lê-se:AAestá contido emestá contido emBB

ou ou B

B⊃⊃_A_A ___lê-se:_lê-se:BBcontémcontémAA

Também utiliza-se os símbolos: Também utiliza-se os símbolos:

⊄

⊄ : não está contido: não está contido ⊃

⊃ : não contém: não contém ⊇

⊇ : contém ou é igual: contém ou é igual ⊆

⊆ : está contido ou é igual: está contido ou é igual

As relações entre “elementos e conjuntos” e As relações entre “elementos e conjuntos” e entreentre “conjunto a conjunto”, ficam bem resumidas no “conjunto a conjunto”, ficam bem resumidas no esquema: esquema: ⊂ ⊂ ouou ⊂⊂ ⊄ ⊄ ouou ⊃⊃

Elemento

Conjunto

Elemento

Conjunto

∈ ∈ouou∉∉

CONJUNTO DAS PARTES CONJUNTO DAS PARTES

O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

formado por todos os subconjuntos de A.

Representamos o conjunto das partes por: P(A). Representamos o conjunto das partes por: P(A). Exemplo:

Exemplo:

Considere o conjunto T = {1; 2; 3},

Considere o conjunto T = {1; 2; 3}, represente orepresente o conjunto P(T).

conjunto P(T). P(T) = {

P(T) = {∅∅; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; ; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3}}{1; 2; 3}} Importante: note que todos os elementos de P(T) são Importante: note que todos os elementos de P(T) são conjuntos, portanto é necessário muita atenção ao conjuntos, portanto é necessário muita atenção ao emprego dos símbolos de pertinência e in

emprego dos símbolos de pertinência e inclusão! Veja:clusão! Veja: a) {1; 2}

a) {1; 2} ∈∈ P(T) P(T) b) b) {{1; {{1; 2}}2}} ⊂⊂ P(T)P(T)

Para calcularmos o número de subconjuntos que um Para calcularmos o número de subconjuntos que um

conjunto possui, utilizamos a relação: conjunto possui, utilizamos a relação:

n[P(A)] = 2

kk

onde

ondekk é o número de elementos do conjuntoé o número de elementos do conjunto

Exercícios de Sala Exercícios de Sala

1) Dados os conjuntos A = {1; 2} e B = {

1) Dados os conjuntos A = {1; 2} e B = { {1}; {2} },{1}; {2} }, classifique em verdade

classifique em verdadeiro (V) iro (V) ou falso (F):ou falso (F): a) 1 a) 1∈∈A A ( ) ( ) b) 11b) ∈∈B B ( ( ) ) c) 22c) ∉∉A ( A ( )) d) 2 d) 2∉∉B B ( ( ) ) e) e) {1}{1}∈∈A A ( ( ) ) f) f) {1}{1}∈∈B ( B ( )) g) {2} g) {2}∉∉A A ( ( ) ) h) h) {2}{2}∉∉B B ( ( ) ) i) i) A A = = B B ( ( ))

2) Classifique em verdadeiro ou falso: 2) Classifique em verdadeiro ou falso: a) a)∅∅ ⊂⊂{3} {3} ( ( ) ) b)b)∅∈∅∈{3} ( {3} ( ) ) c)c)∅∅ ∈∈{{∅∅; ; {3}} {3}} ( ( )) d) d)∅∅ ⊂⊂{{∅∅; ; {3}}( ) {3}}( ) e) e) {3}{3}⊂⊂{3} {3} ( ( ) ) f) f) {3}{3}∈∈{3} {3} ( ( )) g) {3} g) {3}∈∈{{∅∅;{3}} ;{3}} ( ( ) ) h) h) {3}{3}⊂⊂{{∅∅; ; {3}} {3}} ( ( )) 3) Escrever todos os subconjuntos de A = {a, b, c}. 3) Escrever todos os subconjuntos de A = {a, b, c}. 4) Qual o número de subconjuntos de

4) Qual o número de subconjuntos de B = {a, b, c, d}.B = {a, b, c, d}. 5) Qual o número de elementos de um conjunto 5) Qual o número de elementos de um conjunto que tem 1 024 subconjuntos?

que tem 1 024 subconjuntos? 6) Dados o

6) Dados os conjuntos A = {5; 1s conjuntos A = {5; 12; 4x} 2; 4x} e e B = {12; 2B = {12; 28; 5},8; 5}, calcule o valor de x para que

(4)

AULA 02

OPERAÇOES ENTRE CONJUNTOS

INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS ( A INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS ( A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B)

Considere dois conjuntos quaisquer A e B, interseção é Considere dois conjuntos quaisquer A e B, interseção é o conjunto dos elementos que pertencem

o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A

simultaneamente a A ee B.B. A

A∩∩B B (lê-se: “A int(lê-se: “A inter B”).er B”).

A A∩∩BB

A

A BB

Se

SeAA∩∩BB ==∅∅, isto é, os conjuntos A e , isto é, os conjuntos A e BB não têm elemento em comum dizemos que não têm elemento em comum dizemos que

eles são

eles são DISJUNTDISJUNTOSOS

PROPRIEDADES PROPRIEDADES  AA∩∩_{A = A}_{A = A}

 AA∩∩ ∅∅₌₌∅∅

 AA∩∩_{B = B}_{B = B}∩∩_A_A UNIÃO (REUNIÃO) DE CONJUNTOS (A

UNIÃO (REUNIÃO) DE CONJUNTOS (A∪∪∪∪∪∪∪∪B)B) Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, sua união Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, sua união é oé o conjunto dos elementos que pertencem a A

conjunto dos elementos que pertencem a A ouou a B.a B. A

A∪∪B B (lê-se: “A (lê-se: “A união B”).união B”).

PROPRIEDADES PROPRIEDADES  AA∪∪A = AA = A  AA∪∪ ∅∅= A= A  AA∪∪B = BB = B∪∪AA A A B B

DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS

A diferença A – B é o conjunto dos elementos do A diferença A – B é o conjunto dos elementos do conjunto A que não pertencem ao conjunto B! conjunto A que não pertencem ao conjunto B! Observe o exemplo:

Observe o exemplo:

Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4,

Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 55} e o conjunto B = {} e o conjunto B = {55,, 6, 7} a diferença desses conjun

6, 7} a diferença desses conjuntos é representada portos é representada por outro conjunto, chamado de conjunto diferença. outro conjunto, chamado de conjunto diferença.

Então A – B serão os elementos do conjunto A menos os Então A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B.

elementos que pertencerem ao conjunto B. Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.

Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.

CONJUNTO COMPLEMENTAR

Quando B

Quando B⊂⊂A, a diferença A – B A, a diferença A – B chama-se conjuntochama-se conjunto

complementar de B em relação a A. complementar de B em relação a A. B B Exemplos: Exemplos: e.01. Send

e.01. Sendo A = o A = {a; e; i; o; {a; e; i; o; u} u} e e B = {a; B = {a; e}e}

A A • •ii • •oo • •uu • •aa • •ee B B Teremos: Teremos: A – B = {i; o; u} A – B = {i; o; u} e.02.

e.02. Sendo A Sendo A = {a; e; = {a; e; i; o; u} i; o; u} e e B = {a; B = {a; e; i}e; i} Teremos: A – B = {o; u}

Teremos: A – B = {o; u} e.03.

e.03. Sendo A = Sendo A = {a; e; i; o; {a; e; i; o; u} u} e e B = {a; B = {a; e; i; x; y}e; i; x; y} Poderemos ter:

Poderemos ter: A

A – – B B = = {o; {o; u} u} B B – – A A = = {x; {x; y}y}

NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS Indicamos por n(A) o número de e

Indicamos por n(A) o número de elementos dolementos do conjunto A;

conjunto A; n(B) o

n(B) o número de elementos do cnúmero de elementos do conjunto B; n(Aonjunto B; n(A∩∩B) oB) o

número de elementos da interseção entre os

número de elementos da interseção entre os conjuntosconjuntos A e

A e B e, B e, n(An(A∪∪B) o número de elementos da união entreB) o número de elementos da união entre os conjuntos A e B, é válida a seguinte relação:

os conjuntos A e B, é válida a seguinte relação:

n(A

n(A∪∪B) = B) = n(A) n(A) + n(B) – + n(B) – n(An(A∩∩B)B)

Muita atenção aos conectivos: Muita atenção aos conectivos:

 ““ee (símbolo:(símbolo:∧∧∧∧∧∧∧∧)”, associamos à)”, associamos àinterseção.interseção.

 ““ ou ou (símbolo:(símbolo:∨∨∨∨∨∨∨∨_{)”, associamos à}_{)”, associamos à}união.união.

Exercícios de Sala Exercícios de Sala 1) Considere os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 1) Considere os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, B = {3;7}, B = {3; 5; 7} e 5; 7} e C = {5; 6; 7; 8; 9}, D C = {5; 6; 7; 8; 9}, Determine:etermine: a) a) A A – – B B = = b) b) A A – – C C = = c) c) C C – – B B = = d) d) B B – – A A == e) e) C C – – A A = = f) f) AA∩∩C C = = g) g) BB∩∩C =C = h) A h) A∩∩(B(B∩∩C) C) = = i) i) (A (A – – C)C)∩∩B =B = 2)

2) .. Sendo n(ASendo n(A∪∪B) = 70, n(A) = 30 e n(B) = 60, calculeB) = 70, n(A) = 30 e n(B) = 60, calcule

n(A n(A∩∩B).B).

3) Numa pesquisa sobre emissoras de TV a que 3) Numa pesquisa sobre emissoras de TV a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem oo canal A; 250, o canal B e 50 preferem outros canais canal A; 250, o canal B e 50 preferem outros canais diferentes de A e B.

diferentes de A e B. Pergunta-se:Pergunta-se:

a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B? a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?

b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B?

ao canal B?

c) Quantas pessoas assistem ao canal B

c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assisteme não assistem ao canal A?

ao canal A?

d) Quantas pessoas não assistem ao canal A? d) Quantas pessoas não assistem ao canal A? 4)

4) .. (FGV-SP) Numa Universidade com N alunos, 80(FGV-SP) Numa Universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e

Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as três faculdades, Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade? quantos alunos estão matriculados na Universidade? a) a) 304 304 b) b) 162 162 c) c) 146 146 d) d) 154 154 e) e) 286286 5) (Fatec 5) (Fatec-SP) Se -SP) Se A = {2; A = {2; 3; 5; 6; 3; 5; 6; 7; 8}, 7; 8}, B = {1B = {1; 2; 3; 6; 2; 3; 6; 8} ; 8} ee C = {1; 4; 6; 8}, então: C = {1; 4; 6; 8}, então:

(5)

a) (A – B)∩C = {2} b) (B – A)∩C = {1} c) (A – B)∩C = {1} d) (B – A)∩C = {2} e) n.d.a.

AULA 03

FUNÇAO

Sistema Cartesiano Ortogonal

È um sistema constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si.

x y 0 a b P (a, b) 1º Quadrante 2º Quadrante 3º Quadrante 4º Quadrante Eixo da abscissa. Eixo da ordenada.

Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano, P(a, b), denominado par ordenado e

representam ascoordenadas do ponto P.

PRODUTO CARTESIANO

Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por Bo conjunto formado pelos

pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B e

indicamos A x B (lê-se: A cartesiano B).

Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}. Vamos formar o conjunto dos pares ordenados:

A x B = {(0, 2), (0,4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)} Representação Gráfica

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, o produto cartesiano A x B = {(0, 2), (0,4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)} pode ser representado de duas formas:

Representação por meio de Flechas.

A B 0 1 2 2 4

Representação no plano cartesiano

( 0, 2) 0 1 2 x y 2 4 ( 2, 2) ( 2, 4) ( 1, 2) ( 1, 4) ( 0, 4) OBSERVAÇÃO

Cada par ordenado A x B é representado por um ponto no plano cartesiano.

RELAÇÃO BINÁRIA

Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B , a qualquer subconjunto de Ax B. Em termos

simbólicos, sendo  uma relação de A em B , podemos escrever:

 = { (x;y)  Ax B ; x  y }

Ex:  = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } é uma relação de A = { 0;2;3;4} em B = {3;5;0}.

RELAÇÃO

Dados dois conjuntos A e B, dá-se nome de relação R

de A em B a qualquer subconjunto de A x B. Representação Gráfica de uma relação

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, e a relação R = {(x, y)∈A x B | y = 2x}, podemos representar graficamente esta relação R nas seguintes formas:

A B 0 1 2 2 4 OBSERVAÇÃO

1) Os elementos de A associados com os elementos de B chamamos de Domínio.

D = {1, 2}

2) Os elementos de B que foram associados com os elementos de A chamamos de Imagem.

Im = {2, 4} FUNÇÕES

Considerando dois conjuntos, A e B, não-vazios e uma relação binária de A em B, dizemos que essa relação é

(6)

função de A em B se, e somente se, a cada elemento x do conjunto A corresponder um único elemento y do conjunto B

f: AB

lê-se: f é função de A em B

Ou, no caso de ser possível escrever uma lei de correspondência através de uma expressão matemática:

y = f(x)

lê-se: y é função de x, com x ∈ A e y ∈ B EXEMPLO

Vamos considerar algumas relações representadas pelos diagramas de flechas e ver quais delas representam uma função:

a)

R1é função de A em B, pois a cada elemento do

conjunto A corresponde um único elemento do conjunto B.

b)

R2não é uma função de A em B, pois o elemento 4 do

conjunto A possui dois correspondentes em B (2 e -2). c)

R3é função de A em B, pois cada elemento do conjunto

A corresponde um único elemento do conjunto B. d)

R4não é uma função de A em B, pois o elemento 6 do

conjunto A não possui correspondente no conjunto B.

EXERCICIOS

1) (Unifesp – SP) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, -x-y) e também por (4 + y, 2x + y), em relação ao mesmo sistema de coordenadas. Determine xy_.

2) Dados os conjuntos A = {3, 5, 6} e B = {1, 4}, determine a forma tabular dos produtos: a) A x B

b) B x A

3) Quais das seguintes relações de A em B são funções? a)

(7)

b)

c)

d)

e)

f)

4) (PUC) Qual dos gráficos abaixo não representa uma função?:

a) b)

c) d)

(8)

AULA 04

POTENCIAÇAO

DEFINIÇÃO

Considere a potência an, sendo a um número real e n um número inteiro. Estudaremos agora como

determinar o valor dessa potência, caso o expoente n seja um número maior que 1, igual a 1, nulo ou negativo. Observe os seguintes casos:

O EXPOENTE É UM INTEIRO MAIOR QUE 1

fatores n ...a ... a.a.a.a... an = O EXPOENTE É 1 a a1 =

O EXPOENTE É ZERO, COM BASE NÃO-NULA

0 a 1,

a0 = ≠

O EXPOENTE É UM INTEIRO NEGATIVO, COM BASE NÃO-NULA 0 a , a 1 a−n ₌ _n _≠ EXERCICIOS 1) O valor da expressão 3 0 2 3 16 2 4 1 2 1 + −       +       ₋ é: a) 33/16 b) 17/16 c) 15/16 d) -15/16 e) -17/16 2) ( MACK)

( )

2 1 5 1 3 3 2 3 5 2 0 2 2 + +













+ − − − é igual a : a) 17 3150 b)90 c) 73 1530 d) 3150 17 e) –90

3) (F.S.A.) O valor da expressão

E = 0,4 8 5 : 2 . 3 4−1

+

−3

−

_{é :} a) –226/5 b) –2/5 c) 2/9 d) 9/20 e) /35 4) O valor de 2 1 3 1 25 , 0 4 8 16 + − − é igual a : a) 1/8 b) 1/6 d) 4 d) 1 / 2 e) 1 PROPRIEDADES

MÚLTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE O produto de potência de mesma base é igual à outra potencia de mesma base cujo expoente é a soma dos expoentes dados. A expressão geral é: an.am = an+m

Exemplo: 22.23 ₌ 22+3 ₌ 25 ₌ 32

QUOCIENTE DE POTÊNCIA DE MESMA BASE

O quociente de potência de mesma base equivale à outra potência de mesma base cujo expoente é a diferença dos expoentes dados. A expressão geral

é: a (a 0) a a _n _m m n

≠

=

− Exemplo: 2 2 4 2 2 78 76 2 76 78

=

− POTÊNCIA DE UM PRODUTO

A potência de um produto equivale ao produto dos fatores elevados ao mesmo expoente. A expressão geral é: (a.b)n =an.bn Exemplo: (5.3)2 = 52.32

POTÊNCIA DE UMA DIVISÃO

A potência de uma divisão equivale à divisão de duas potências cujas bases são o numerador e o denominador da divisão inicial, elevadas ao mesmo expoente. A

expressão geral é: (b 0) b a b a n n n ≠ =













Exemplo: 3 3 3 3 4 3 4

=













POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA

A potência de uma potência equivale à outra, cuja base é a mesma e cujo expoente é o produto dos expoentes. A expressão geral é:

( )

an m

=

an.m. Exemplo:

( )

₂2 3 ₌₂2.3 ₌ ₂6 EXERCICIOS 1) A metade de 410 é : a) 219 b) 210 c) 25 d) 45 e) 48 2) Simplifique a expressão

[

29

÷

(

22

×

2

)

3

]

−3 3) Simplifique: 7 6 3 4 2 2 1 2 1 2 1 − +













− ×

























− ÷













− 4) Simplifique a expressão ₃ 4 2 . 2 2 . 2 2 + + − n n n

(9)

AULA 05

RADICIAÇAO

DEFINIÇÃO

De modo geral podemos escrever:

2) n e N (n a b b a n n ₌ _⇔ ₌ _∈ _≥ _.

No radical n _a _{, o numero n é chamado de índice do} radical e o número a, radicando.

Na determinação da raiz enésima de um número real a, ou seja, n _a _{, podem ocorrer os seguintes casos.}

1° Caso: a ≥0e o índice n é um número inteiro positivo, diferente de um. Exemplos: 4 16 = 5 125 3 ₌

Ou seja, sendo a ≥0e n um número inteiro positivo deferente de um, dizemos que a expressão n _a corresponde ao número real não-negativo b tal que:

a bn = . OBSERVAÇÃO

Não é correto escrever 25 =±5, pois o resultado de cada operação deve ser única. O radical 25

corresponde ao número real não-negativo cujo quadrado é 25.

2° Caso: a <0 e o índice n um número inteiro positivo impar, diferente de um.

Exemplos: 3 27 3 ₋ ₌ ₋ 2 128 7 ₋ ₌ ₋

Ou seja, sendo a <0 e n um número inteiro positivo impar, diferente de um, a raiz é um número real negativo.

3° Caso: a <0 e o índice n é um número inteiro positivo par.

Exemplos:

4

−

Não de define em R, pois nenhum numero real elevado ao quadrado é igual a – 4

Ou seja, sendoa < 0 e n um inteiro positivo par, a expressão n _a _{não se define no conjunto dos reais.}

EXERCICIOS

1) Calcular o valor da expressão: 3 3

4 6

5 ₀₊ ₁₋ ₈₁₊ ₋₁₂₅₋ ₆₄

2) Determine o valor da expressão numérica: 3 1 4 1 3 ₈

₊

₁₆

₋

₍

₋

₂₎

₊

₂₇−

−

3) Calcule o valor da expressão.

4 2 2 2

2

+

4) Qual o valor de:

( )

2 3 0 3 27 2 2 1 8 9 − + −













+ − − PROPRIEDADES

PRODUTO DE RADICAIS DE MESMO INDICE Para multiplicarmos dois radicais de mesmo índice, multiplicamos os radicandos e conservamos o índice. A expressão geral desta propriedade é:n _a.b ₌ n _a_.n _b

Exemplo: 4. 25 = 4.25 = 100 =10

DIVISÃO DE RADICAL DE MESMO INDICE

Para dividir dois radicais de mesmo índice, dividimos os radicandos e conservamos o índice.

A expressão geral desta propriedade é:

n n n b a b a = Exemplo: 16 4 2 32 2 32 = = = POTÊNCIA DE UM RADICAL

O resultado de elevar um radical a uma potência equivale a elevar o radicando a esta mesma potência.

A expressão geral é:

( )

n _a m ₌ n _am Exemplo:

( )

3 2 6 ₌3 26 ₌3 64 ₌ 4

RAIZ DE UMA RAIZ

Para extrair a raiz de um radical, multiplicam-se os índices.

(10)

A expressão geral é:n m_a ₌ n.m_a

Exemplo: 3 64 ₌ 2.364 ₌ 6 64 ₌ 2

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Racionalizar os denominadores de uma fração significa operar para que não fiquem números irracionais no denominador.

P ara racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização:

1° Caso: O denominador é um radical de índice

2. 2 2 5 2 2 5 2 2 . 2 5 2 5 2

=

2° Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2 7 7 3 7 7 3 7 7 . 7 3 7 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 = = =

3° Caso: O denominador é uma adição ou subtração de dois termos, em que pelo menos um deles é um radical

(

)

(

)

(

)

3 2 5 5 . 3 2 3 2 3 2 − = = + + −

(

)

(

)

5 3 2 5 3 2 3 2

−

=

−

EXERCICIOS 1) Simplificando a expressão:

(

₉_×₁₀−6

)

_⋅

(

₀_,₀₀₄₉

)

_⋅ ₂_,₅_×₁₀3 _{, obtém-se} a) 105 b) 10,5 c) 1,05 d) 0,105 e) 0,0105

2) (MACK) Se n é um número natural maior que 1, a expressão n n 2 2n 2 20 4 +

+

2 + é igual a? 3) (FUVEST)Calcule

2

3

3 +

.

AULA 06

FATORAÇAO

Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais números.

FATOR COMUM

Nesse tipo de fatoração, percebemos que há um termo, chamado de fator, que é comum a todos os elementos das operações iniciais.

Ex.: 3xy + 9xz + 6x = 3x (y + 3z + 2)

AGRUPAMENTO

Nesse caso, não existe um fator comum entre todas as parcelas, por isso há uma espécie de duas operações de “termo em evidência”.

Para fatorar uma expressão algébrica por agrupamento :

• formamos grupos com os termos da expressão;

• em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência;

• colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos (se existir).

Ex.: x² - ay + xy – ax = x (x + y) – a (y + x) = (x + y) (x – a)

QUADRADO PERFEITO

Quadrado da soma de dois termos:

(a + b)² = a² - 2ab + b²

Quadrado da diferença de dois termos

(a - b)² = a² - 2ab + b²

DIFERENÇÃ DE QUADRADOS

Produto da soma pela diferença de dois termos

(a + b) . (a – b) = a² - b²

CUBO PERFEITO Cubo de uma soma

(

)

3 3 2 2 3 2 b) b)(a (a b 3ab b 3a a b a+ = + + + = + +

(11)

CUBO DE UMA DIFERENÇA

(

)

3 3 2 2 3 2 b) b)(a (a b 3ab b 3a a b a− = − + − = − −

S0MA E DIFERENÇA DE CUBOS

) b ab b)(a (a b a3 + 3 = + 2 − + 2

)

b

ab

b)(a

(a

b

a

3 3 2 2 + + − = − EXERCICIOS

1) Fatorando 3x - 6y + ax - 2ay, obtém-se : a)(x + y)(3- 2a)

b) ( x + 2y)( 3 - a ) c) ( x - 2y) ( 3 - a ) d) ( x + 2y) ( 3 + a ) e) ( x - 2y)( 3 + a )

2) (METODISTA) Simplificar a expressão

        − − ÷ + + ÷       ₋ ab 2 b ab 2 a ab 2 b ab 2 a 2 b 2 a , onde ab ≠ 0

3) (FUVEST) A diferença entre o quadrado de dois números naturais é 21. Um do possíveis valores da soma dos quadrados desses dois números é : a) 29 b) 97 c) 132 d) 184 e) 252 4) (PUC-SP) Simplificar a expressão

( )       ₊ −       −       − 2 x 3 x 2 x 1 2 x 2 2x 2 x 5) (MACK-02) O valor de 3 2 2 3 4 4 y xy y x x y x − + − − para x = 111 e y = 112 é: a) 215 b)223 c)1 d) –1 e)214 6) (CEAG) Se a < -2, os valores de x tais que

a

x a x

2(

− < − +

) ( 2) são aquelas que satisfazem:

a) x < a-2 b)x < -2ª c) x > 2ª d) x > a-2 e) a - 2 < x < 2 - a

AULA 07

EQUAÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

Denomina-se equação do 1º Grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax + b = 0 , com a e b∈IR e a≠0 Resolução

Resolver uma equação do 1º grau é encontrar o valor da incógnita que satisfaz à equação, tal valor é a raiz ou solução da equação. É muito simples encontrar a raiz, como se faz a seguir:

1º caso Raizes: Logo V = R 2° Caso Raizes: Logo V = 3º caso Raizes: Logo V = EXERCICIOS

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

2) Resolver, em

ℜ

, a equação: 0 ) 4 ( 2 3 ) 1 ( 2 x+ − x+ − − x =

3)(ANPAD) A raiz da equação 5

6 1 x 2 4 1 x 3 = + − − é um número: a) Par b) Maior que 15 c) Não inteiro d) Primo e) Divisível por 3

5) (FUVEST) -Certa pessoa entra na igreja e diz a um santo: se você dobrar a quantia de dinheiro que eu

(12)

tenho, dou-lhe CR$ 20.000,00. Dito isto, o santo realizou o milagre e a pessoa, o prometido. Muito animada, ela repetiu a proposta e o santo, o milagre. Feito isto, esta pessoa saiu da igreja sem qualquer dinheiro.

Pergunta-se: quanto em dinheiro a pessoa possuía ao entrar na igreja?

SISTEMAS DE EQUAÇÕES

Um sistemas de duas equações de 1° grau, nas incógnitas x∈ℜey∈ℜ é um conjunto de duas

equações do tipo:    = + = + p ny mx c by ax onde a,b,c,m,n,p∈ℜ PROCESSO DE SUBSTITUIÇÃO Para resolver o sistema

   = + = + 7 y 2x 8 2y x

isolamos uma das incógnitas numa das equações e substituímos na outra equação o valor encontrado.

Na 1° equação isolando x obtemos x=8−2y; a seguir

substituímos esse valor na outra equação:

( ) ( )    = + = + II 7 y 2x I 8 2y x

Substituindoxem(II), temos:

3 y -9 -3y 7 y 4y -16 7 y 2y) 2.(8 = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + −

Substituindo y em (I), temos:

2 x 8 6 x 8 2(3) x+ = ⇒ + = ⇒ = .

Concluímos então que o par (2, 3) é solução do sistema; logo, S = (2, 3).

PROCESSO DA ADIÇÃO Para resolver o sistema

   = − = + 3 4y 7x 5 3y 2x

Escolhe uma das incógnitas para eliminar. Para isso multiplica-se cada equação pelo coeficiente que essa incógnita tem na outra equação e somam-se ( ou subtraem-se), membro a membro, as equações obtidas. No sistema proposto, vamos eliminar a incógnita y, multiplicando a 1° equação por 4 e a 2° por 3. Acompanhe: ( ) ( )    × = − × = + 3 3 4y 7x 4 5 3y 2x    = − = + ⇒ 9 12 21 20 12 8 y x y x ,

somando-se as duas equações temos: x = 1.

Substituindo esse valor de x numa das equações do sistema, por exemplo, na 1°, obteremos:

2(1) +3y = 5⇒2+3y=5⇒3y=3⇒ y=1.

Pronto! O conjunto solução é S = (1, 1).

EXERCICIOS

1) UNICAMP - Um copo cheio de água pesa 385g, com

3 2

da água pesa 310g. Qual é o peso do copo vazio?

2) UNI – RIO - André, Bento e Carlos têm juntos 41 anos. Calcular as idades de cada um sabendo que Bento é três anos mais velho que André e Carlos é qu atro anos mais jovem que André

3) Num escritório de advocacia trabalham apenas dois advogados e uma secretária. Como o Dr. André e o Dr. Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secretaria, Cláudia, coloca 1 grampo em cada processo do Dr. André e 2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que, ao todo são 78 processos nos quais foram usados 110 grampos, podemos concluir que o número de processos do Dr. Carlos é igual a?

4) (Fuvest) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

AULA 08

EQUAÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

Denomina-se equação do 2º Grau na incógnita x, toda equação da forma: ax² + bx + c = 0, com a ,b e c∈IR e a≠0 Temos que: x é denominado incógnita a é o coeficiente do termo em x2 b é o coeficiente do termo em x.

c é denominado” termo independente” de x RESOLUÇÃO

Resolver uma equação é determinar seu conjunto-solução; uma raiz é um número que transforma uma sentença aberta em sentença verdadeira.

A equação na forma ax² + bx + c = 0, é também chamada de EQUAÇÃO REDUZIDA ou NORMAL EQUAÇÕES INCOMPLETAS

(13)

A equação fica reduzida a ax² = 0, pode ser resolvida da seguinte maneira: 2 2 0 2 ax 0 x x 0 x 0 a = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Portanto, a única solução possível para esse caso, é x = 0.

2° caso: b = 0

A equação fica reduzida a ax² + c = 0, pode ser resolvida da seguinte maneira:

2x² - 50= 0  2x² = 50  x² = 50/2 x² = 25  x = ± 25,

assim teremos como solução x1= 5 e x2= -5.

Resposta.: S = {-5, 5}

Importante:Observe que nesse caso as duas raízes são

“simétricas” (mesmo valor numérico, com sinais diferentes).

3° caso: c = 0

A equação fica reduzida a ax² + bx = 0, pode ser resolvida “fatorando” o termo comum x. Acompanhe o exemplo:

x² - 4x = 0 coloca-se x em evidência: x.(x – 4) = 0 x1= 0 e x2– 4 = 0x2= 4

Resposta: S = {0; 4}

Importante: Podemos observar que nesse caso a primeira raiz é sempre zero, a segunda é determinada a partir da expressão entre parênteses.

Um caso especial : (ax±±±±b)2_{= k}

Para esse caso, extraimos a raiz quadrada do segundo membro da equação, teremos portanto, duas raízes simétricas, a partir daí resolvemos a equação em duas etapas (como no 3° caso). Acompanhe o exemplo: (2x – 8)2_{= 16} _ _{(2x – 8) =} _± ₁₆ _ _{2x – 8 =}_±₄

Observe que agora “abriremos” em duas resoluções:

I) 2x – 8 = 4  2x = 4 + 8  2x = 12  x = 12/2 x1= 6

II)2x – 8 = −4 2x = −4 + 8 2x = 4  x = 4/2 x2= 2

Resposta: S = { 2; 6}

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO COMPLETA DO 2° GRAU

1° PASSO

Calcular o valor do discriminante (∆) através da Expressão

2

∆₌_b ₋_4.a.c

Através desta expressão do discriminante, podemos fazer análises quanto ao número de raízes que a equação possui.

O discriminante pode ser positivo (∆> 0), nulo (∆= 0) ou

negativo (∆< 0). É de extrema importância que você saiba o quadro seguinte pois servirá de apoio em diversas situações:

∆

< 0

∆

= 0

∆

> 0 A equação possui

duas raízes reais e desiguais (diferentes).

A equação possui duas raízes reais

e iguais.

A equação não possui raízes

reais.

3° PASSO

Aplicação da fórmula resolutiva

b ∆ x 2a − ± = EXERCICIOS

1) (CEAG)O quadrado do triplo de um número positivo excede de 12 o triplo do quadrado desse número . Esse número

a) é menor que 1 b) é ímpar c) está compreendido entre 7 e 10 d) é maior que 17 e) é irracional

2) (CEAG)A soma de um número inteiro positivo com o quadrado de seu sucessor é igual a 41. Qual é o produto deste número pelo seu antecessor ?

a) 6 b) 12 c) 20 d) 30 e) 4

3) (CEAG) O maior número que se deve subtrair de cada fator do produto 5x8, para que esse produto diminua de 36 unidades , é :

a)3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9

4) (CEAG)A equação do segundo grau x² - 8x + m + 1 = 0 , m∈R, admite raízes reais se , e somente se

(14)

5)(CEAG) considere a equação do segundo grau x² + mx + m - 1 = 0 , onde m é um número real. Se para um determinado valor de m essa equação admite raízes iguais, então essas raízes são iguais a :

a) 1/2 b) -1/2 c) 1 d) -1 e) 2

AULA 09

FUNÇÃO DO 1º GRAU

1)(CEAG) Analisando a função f(x) = -3x - 5, podemos concluir que :

a) O gráfico da função é crescente.

b) O ponto onde a função corta o eixo y é (0, -5). c) x = 5

2

− é zero da função.

d) O gráfico da função é decrescente 2) (CEAG)Sabendo que a função

f(x) = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = -8, calcule os valores de m e n:

a) m = 4 e n = -12 b) m = -4 e n = 10 c) m = 3 e n = 4 d) m = 14 e n = 10

3) Através de um estudo sobre o

consumo de energia elétrica de uma fábrica, chegou-se à equação C = 400t, em que C é o consumo em KWh e t é o tempo em dias. Quantos dias são necessários para que o consumo atinja 4800 KWh? a) 12 b) 14 c) 13 d) 15 e) 23

4)O gráfico que melhor representa a função y = 3x – 2 é:

AULA 10

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

Denomina-se inequação do 1o_{grau na variável x toda}

desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:

• a x+b≥0; • a x+b>0; • a x+b≤0; • a x+b<0. com a, b∈ R e a≠0. EXERCICIOS

1) Resolver a inequação seguinte: 4( x−1)− x2≥3 x− x( x+1) 2) Resolver a inequação seguinte:

3 1

−

x + 2 1 4

(

−

x

)

> 4 x + 6 2

−

x 3) Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x) ≤ 0 4) Determinar o conjunto verdade da inequação:

6 2 4 2 ) 1 ( 4 3 1 x x x x − + > − + −

AULA 11

FUNÇÃO DO 2º GRAU

É toda função do tipo

f(x)=ax2 +bx+c

, onde a , b

e c são números reais, com a ≠ 0.

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

O gráfico dessa função é uma parábola.

Para construirmos o gráfico da função quadrática

devemos primeiramente encontrar os zeros(raízes)

da função em seguida fazer uma análise gráfica.

Devemos considerar 3 possíveis casos.

∆ ∆ ∆

∆

> 0

A equação ax² +bx + c = 0, possui duas

raízes reais e desiguais (x

1

≠ x

2

)

A PARÁBOLA INTERCEPTA O EIXO Ox

EM DOIS PONTOS DISTINTOS

a > 0 x•1 •x2 _x a < 0 x x1 x2 • •

(15)

∆ ∆∆

∆

= 0

A equação ax² +bx + c = 0, possui duas

raízes reais e iguais (x

1

= x

2

)

A PARÁBOLA TANGENCIA O EIXO Ox .

∆

∆∆

∆

< 0

A equação ax² +bx + c = 0,

não possui raízes reais.

A PARÁBOLA NÃO “TOCA” O EIXO Ox .

ZEROS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

“São os valores de x que anulam a função”.

Para descobrirmos as raízes (ou os zeros) da função

c bx ax

f(x)= 2 + +

, basta atribuirmos à variável y, o

valor zero. Ficaremos portanto com a equação de

segundo grau:

ax2 +bx+c= 0

, para resolvê-la

utilizaremos a fórmula resolutiva da equação de

segundo grau:

2a

∆

b

x

_1,2

=

−

±

Onde

2 ∆ ₌_b ₋_4ac

O símbolo

∆∆∆∆

( letra grega: delta), é o DISCRIMINANTE

SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Para estudarmos o sinal da função

f(x)= ax2 +bx+c

devemos levar me consideração o discriminante

∆

e o

sinal do coeficiente de x² (a), então temos;

I)

∆

>0

a > 0

a < 0

-0 2 X1 + + – -1 0 1 -4 -2 – _– + X1 X2

II)

∆

=0

a > 0

a < 0

0 2 X1=X2 + + 2 - 1 0 1 -4 -2 X1=X2 – –

III)

∆

<0

a > 0

a < 0

+ - + + 0 2 – - -1 – 0 1 – -4 -2

VÉRTICE DA PARÁBOLA

a b x_v 2 − = a y_v 4 ∆ − = ) ; ( x_v y_v V = ABSCISSA ORDENADA

IMPORTANTE:

Dependendo das informações do exercício, podemos determinar a abscissa do vértice por

2

2 1 x x xv

+

=

(média aritmética das raízes)

PONTO DE MÁXIMO E PONTO DE MÍNIMO

Caso a parábola tenha concavidade voltada para

cima, o

VÉRTICE é PONTO DE MÍNIMO.

x x1= x2 • a > 0 x x1= x2 • a < 0 x a > 0 x a < 0

(16)

y x 0 • V • • • x1 xv yv c x 2 O VÉRTICE é PONTO DE MÍNIMO

a > 0

Se a concavidade da parábola for voltada para baixo, o

VÉRTICE é PONTO DE MÁXIMO.

O VÉRTICE é PONTO DE MÁXIMO y x 0 V • • • • x1 x 2 xv yv c

a < 0

EXERCICIOS

1) (CEAG)Qual a parábola abaixo que poderia representar uma função quadrática com discriminante negativo (D < 0 )?

2)(CEAG) As coordenadas do vértice da parábola y = x2– 2x + 1 são:

a) (1, 0) b) (0,1) c) (-1, 1) d) (-1, 4) e) N.D.A.

3) (CEAG)Um corpo lançado do solo verticalmente para

cima tem posição em função do tempo dada pela função f(t) = 40 t – 5 t2 onde a altura f(t) é dada em metros e o tempo t é dado em

segundos. O tempo que o corpo levou para atingir a altura máxima é:

a) 2 segundos b) 3 segundos c) 8 segundos d) 4 segundos

AULA 12

Inequações do 2

o

grau

Denomina-se inequação do 2ograu na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:

a x2+b x+c≥0; a x2+b x+c>0; a x2+b x+c≤0; a x2+b x+c<0. com a, b, c∈ R e a≠0. EXERCICIOS

1) Resolva as seguintes inequações do 2º Grau abaixo, sendo U = R:

a) x2– 5x + 6 > 0 b) – x2– x – 6 ≥ 0 c) 3x2– 2x + 1 < 0 d) – x2+ 4x – 4 ≤ 0 2) Quantos números inteiros satisfazem à seguinte condição : o quadrado de um número é menor que o seu quádruplo ?

a)1 b) 3 c) 5 d) nenhum e) infinitos 3) Considere a inequação x²- 7x + 6 < 0. Quantos

números inteiros pertencem ao conjunto solução dessa inequação ?

a)3 b) 4 c) 5 c) 6 e) infinitos

AULA 13

EXPONENCIAL

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Seja a um número real positivo e diferente de 1 (a > 0 e a≠1). Chamamos de função exponencial de base a a função:

f:ℜℜℜℜℜℜℜℜ+*, definida por f(x) = ax

Domínio: D = |R

O domínio desta função é o conjunto dos números reais, pois não há restrição para os valores de x. Imagem: Im = |R+

(17)

A imagem desta função é o conjunto dos reais positivos pois como a é positivo, ax _{será sempre um número positivo}

para qualquer valor de x. GRÁFICO

1º)Para a > 1

Para a > 1 a função y = ax _{é crescente e o gráfico é:}

0 1

x

2º)Para 0 < a < 1

Para 0 < a < 1 a função y = ax_{é decrescente e o gráfico}

é: 0 1 x y EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

As equações que apresentam incógnitas como expoente são chamadas equações exponenciais. Na resolução de equações exponenciais, utilizamos todas as

propriedades de potências. Mas partimos sempre da propriedade mais importante:

am_{= a}n

⇒

_{m = n (a> 0 e a}_≠_≠_≠_≠₁₎ EXERCICIOS 1) Resolver a equação 2x_{= 128} 2) Resolver a equação 2x₌ 1 16 3) Resolva a equação 26 x 5 23x 4 0

−

.

+ =

4) (MACK) A solução da equação 9

16 12 9 3













=













− x x é um número racional x, tal que :

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

Denominamos inequação exponencial toda

desigualdade que possui variável no expoente. Como por exemplo 2x-1_{> 128.}

Para resolvermos uma inequação devemos nos preocupar com as seguintes propriedades:

1) Quando a >1 ... ax2_{> a}x1 _{<-> x}₂_{> x}₁ _{(conserva o} sentido da desigualdade). 2)Quando 0 < a < 1 ... ax2> ax1 <-> x2< x1(inverte o sinal da desigualdade). EXERCICIOS 1) Resolver a inequação: 22x−₁_{> 2}_{x + 1} 2)_{Resolver a inequação: (0,1)}5x−₁_{< (0,1)}_{2x + 8} 3) Resolva a inequação 5 x2

≤

( )

0 2, −1 4) Resolva a inequação 4 x−6.2 x+8<0

5) (UNIMES) Resolva a inequação 2 1 ₁

9 1 3 − _< ₊ x x

AULA 14

LOGARITMOS DEFINIÇÃO

Seja a e b números reais positivos, com a≠≠≠≠1.

Chamamos de logaritmo de b na base a ao número real x tal que ax_{= b.} b a onde x, x b a

log

= = Onde b é o logaritmando a é a base e x é o logaritmo EXERCICIOS

1) ( ANPAD ) Se log3 1/27 = x, então o valor de x é: a)-9 b)-3 c)-1/3 d)1/3 e)3

2) ( CEAG ) Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente:

a)2, 1 e -3 b)1, 0 e -2 c)3, 1 e -2 d)4, -2 e -3 e)3, 0 e -2

3)( ANPAD ) A expressão mais simples para alogaxé:

(18)

4)FV - RJ ) O valor de log927 é igual a:

a)2/3 b)3/2 c)2 d)3 e)4

1)(ANPAD ) O valor da expressão

8 log . 64 1 log 01 , 0 log 1 log 4 2 10 3 + é: a) 4/15 b) 1/3 c)4/9 d)3/5

PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DE LOGARITMOS

P.1►Log_bb = 1 P.2►Log_b1 = 0 P.3►Log_bbc_{= c} P.4►b_Logb_a= a

P.5 ►Log_a(b.c) = Log_ab + Log_ac P.6►Log_a(b/c) = Log_ab – Log_ac P.7 ►Log_abn_{= n.Log}_a_b

MUDANÇA DE BASE

Muitas vezes necessitaremos transformar o log de um número em uma certa base para outra base. Sendo a, b, c∈ ℜ+*, com a≠1 e c≠1, temos:

log

a c b c b a = OBSERVAÇÃO

Em alguns cálculos de logaritmo é conveniente fixarmos sua base. Uma das bases “fixas” mais conhecidas, e utilizadas, é a base ‘e’ . O número ‘e’ é um número irracional que pode ser expresso com qualquer precisão. Recebeu esse nome em homenagem ao Matemático Euler . Seu valor é, aproximadamente, 2,7182818 . Se considerarmos o logaritmo com a base e, temos:

ln b = x⇔ex_{= b}

EXERCICIOS

1) ( ANPAD) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60 vale:

a)1,77 b)1,41 c)1,041 d)2,141 e)0,141

2) ( ANPAD)Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será

o valor de log 28 ?

a)1,146 b)1,447 c)1,690 d)2,107 e)1,107

3) ( CEAG ) Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a: a)0,6990 b)0,6880 c)0,6500 d)0,6770 e)0,6440

4) ( CEAG) Se log2 b - log2 a = 5, então o quociente b/a vale:

a) 10 b)25 c)32 d)64 e)128

5) ( CEAG ) O valor de 3 . log 3 + log 5 é:

a)log 30 b)log 135 c)log 14 d)log 24 e)log 45

AULA 15

EQUAÇOES LOGARITMICAS

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou ambos.

log b = log c ⇔ b = c

EXERCICIOS

1) (FGV) A equação log(x + 2) + log(x – 2) = 1: a) tem duas raízes opostas.

b) tem uma única raiz maior que 7. c) tem uma única raiz irracional. d) tem conjunto solução vazio. e) tem uma única raiz menor que 3.

2) (FGV) O valor de x que satisfaz a equação log(2x + 7) = log2x + log7 é um número:

a)menor que 1/2 b) entre ½ e 1 c)entre 1 e 3/2 d) entre 3/2 e 2 e) maior que 2

3) (FGV) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da equação x

5 = 60 vale aproximadamente: a) 2,15 b)2,54 c)2,28 d) 2,67 e) 41 4) (FGV) a) Resolva a equação log (x – 2) + log (x + 2) = 2

FUNÇÃO LOGARITMICA

Dado um número real a∈IR*₊ chamamos de função logarítmica de base a a função f :IR*₊ → IR que associa a cada x o número real log x, isto é,

(19)

IR IR

:

f *₊ → tal que f(x) =log_ax

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Para a > 1, teremos:

1 x

y

a

1

•

a²

2 C

D

-1

A

Para 0 < a < 1, teremos:

1 x

y

A

•

-1

1/a

B

1 C

D

2 a

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA

Para resolvermos uma inequção logarítmica devemos nos preocupar com as seguintes propriedades:

1) Quando a > 1 -> x2> x1 « logax2> logax1(conserva

o sentido da desigualdade)

2) Quando 0 < a < 1 -> x2> x1 « logax2< logax1

(inverte o sentido da desigualdade)

EXERCICIOS

1) ( ANPAD)A desigualdade log2(5x-3) < log27 é

verdadeira para:

a)x > 0 b)X > 2 c)x < 3/5 d)3/5 < x < 2 e)0 < x < 3/5 2)( ANPAD ) Qual o valor de x na inequação log1/2x >

log1/22 ? a)x > 1/2 b)x < 1/2 c)x > 2 d)x < 2 e x > 0 e)x = 2

3)( ANPAD ) Se log1/3(5x-2 ) > 0 então x pertence ao

intervalo: ( 0, 1 ) (- , 1 ) ( 2/5, 3/5 ) ( 2/5 , ) (- , 3/5 )

AULA 17

FUNÇAO MODULAR Definição

Em todo número x podemos associar um valor absoluto de x ou um número real denominado módulo de x

representado por x e obtido do seguinte modo:

0 0

<

−

=

≥

=

x se x x x se x x 1) Resolva a) |- 5| = b) |+0,34| = c) | - 12 | =

2)Resolva as equações abaixo: a) 2 x

−

1

=

x

+

2

b) 3 x

+

2

=

2 x

−

3

c) x

−

1

=

3

3) (ANPAD)De acordo com sugestão do fabricante, o preço de venda p, em reais, de certo objeto deve ser tal que

15 41

p− ≤ . A diferença entre o maior e o menor preço de venda desse objeto é:

a) R$15,00 b) R$20,00 c) R$25,00 d) R$30,00

4) (ANPAD)A solução da inequação (x−1)2 >3 é: a) x≤−2 ou x≥4 b) x > 4 c) x > 0 d) −−−2 < x < 4− e) x < −−−2 ou x > 4−

AULA 18

ANÁLISE COMBINATÓRIA

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1

maneiras diferentes, a segunda de k2maneiras

(20)

total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:

T = k1. k2. k3. ... . kn

EXEMPLO

O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

SOLUÇÃO

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000.

EXERCICIOS

01.Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?

02.Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia? 03.Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados? 04.Um edifício tem 8 portas. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode entrar e sair desse edifício de modo que não saia pela porta que entrou?

05.Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?

06.De quantas maneiras distintas um aluno poderá responder um questionário de 12 perguntas, cujas respostas para cada pergunta é verdadeiro ou f also?

AULA 19

PERMUTAÇÕES SIMPLES

Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é,

Pn= n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1

EXEMPLO

Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.

SOLUÇÃO

P5= 5! = 5.4.3.2.1 = 120

ANAGRAMA

Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.

EXEMPLO

Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c

elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:

c!... b! a! n! P_n(a,b,c,...)

=

EXEMPLO

Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA. (não considere o acento) SOLUÇÃO

Temos 10 elementos, alguns com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever:

k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200

Resposta:151200 anagramas.

EXERCICIOS

1) De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca? 2) De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares? 3) Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?

4) Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.

(21)

AULA 20

ARRANJOS SIMPLES

Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.

b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k, teremos a

seguinte fórmula: k)! (n n! A_n,_k − = 5-1 EXEMPLO:

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2,..., 9. O segredo do cofre é marcado por uma

seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas ela deverá fazer, no máximo, para conseguir abri-lo?

SOLUÇÃO

As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de

arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:

10.9.8 = 720.

EXERCICIOS

1) Quantos números de 5 algarismos distintos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 2) Quantas são as possibilidades de criar palavras de 3 letras, sem repetição, com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto?

4) De quantas maneiras distintas podemos classificar os 6 primeiros colocados numa corrida de bicicleta disputada por 10 ciclistas?

2) (ANPAD) Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. O número de maneiras diferentes que essas 2 pessoas podem ocupar esses lugares é:

a)21 b)84 c)120 d)42

3) (ANPAD) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 10_{. lugar,}

Brasil; 20_{. lugar, Nigéria; 3}0_{. lugar, Holanda).}

Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

a) 69 b) 2024 c)9562 d)12144 e) 13824

AULA 21

COMBINAÇÕES SIMPLES

Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

6-1.EXEMPLO

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combinações de taxa 4: abcd.

Representando por Cn,ko número total de combinações

de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula: k)! (n k! n! Cn k

−

=

EXERCICIOS

1) Quantas comissões de 3 participantes podem ser formadas com 5 pessoas?

2) (ANPAD) Numa classe há 10 rapazes e 6 moças. Quantas comissões de 4 rapazes e 2 moças podem ser formadas?

a) 40 b) 480 c) 3 150 d)380 e) 600 3)(ANPAD) Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ?

a)52 b)86 c)24 d)32 e)48

03)(CEAG).Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia?

a) 5 b) 10 c) 30 d) 40 e) 50

04) (ANPAD).Um edifício tem 8 portas. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode entrar e sair desse edifício de modo que não saia pela porta que entrou? a) 18 b) 27 c) 49 d) 56 e) 72

(22)

AULA 22

PROBABILIDADES

ESPAÇO AMOSTRAL

É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.

No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral {cara, coroa}.

No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

No experimento aleatório "dois lançamentos

sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral : {(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)}

Obs: cada elemento do espaço amostral que

corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. No primeiro exemplo : cara pertence ao espaço amostral {cara, coroa}.

EVENTOS

É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.

Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: Assim, qualquer que seja E, se E c S (E está contido em S), então E é um evento de S.

Se E = S , E é chamado de evento certo.

Se E c S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar.

Se E = Ø , E é chamado de evento impossível. PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

n( E ) P(A)

n( S ) =

EXEMPLO

Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara.

Espaço amostral: S ={cara, coroa}⇒n(S ) = 2

Evento E: E ={cara}⇒ n( E ) = 1 Como n(S) n(E) P(A) = , temos 2 1 ) ( A = P ou 0,50 = 50% EXERCICIOS

1) Jogando um dado, determine qual a probabilidade de sair na face de cima:

O número 5 O número 4 Um número par Um número impar

Um número maior que 4 Um número menor que 4

2)(CEAG) Um livro tem 100 páginas numeradas de 1 a 100. Abrindo-se numa página ao acaso, a probabilidade de que o número da página contenha o número 2 é: a) 1% b) 10% c) 19% d) 28% e) 37% 3) (CEAG) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, qual é a

probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8?

a) 3/25 b) 7/50 c) 1/10 d) 8/50 e) 1/5

AULA 23

UNIÃO DE DOIS EVENTOS REGRAS DA ADIÇÂO

União A∪B: implica na ocorrênciade pelo menos um

dos eventos

A

Β

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral A probabilidade de ocorrer A ou B é dada por:

A

Β

P(A ou B) = P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) Se A∪B=φ e A e B são chamados de eventos mutuamente exclusivos, neste caso

Β

A

P(A ou B) = P(A∪B) = P(A) + P(B)

Se

A B=

∩ φ e A∪B= S , A e B são chamados eventos exclusivos. Então:

(23)

A

B

S

P(A ou B) = P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1 PROBABILIDADE CONDICIONAL

Esta probabilidade, como o próprio nome diz, está condicionada a um acontecimento que ocorreu anteriormente. Simbolicamente esta probabilidade é escrita na forma P(A/B) que representa; “

probabilidade de ocorrer o evento Adepois que eu já sei

que ocorreu o evento B

) B ( n ) B A ( n ) B / A ( P ==== ∩ EXERCICIOS

1) Se P(A)=0,6, P(A∩B)=0,2, P(A∪B)=0,8. Calcule P(B) 2)(ANPAD)Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A probabilidade de o bilhete sorteado ser maior que 40 ou número par é:

a. 60% b. 70% c. 80% d. 90% e. 50% 3)(ANPAD)Num único lance de um par de dados

honestos, a probabilidade de saírem as somas “múltiplo de 4” ou “primo” é:

a. 1/3 b. ¼ c. 1/5 d. 2/3 e. 2/5 4) (ANPAD) Numa urna foram colocadas 30 bolas: 10 bolas azuis numeradas de 1 a 10, 15 bolas brancas numeradas de 1 a 15 e 5 bolas cinzas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola, a

probabilidade de obter-se uma bola par ou branca é: a) 29/30 b) 7/15 c) 1/2 d) 11/15 e) 13/15

AULA 24

INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS

P(A∩B)= P(B) P(A / B) P(A) P(B / A)=

PROPRIEDADES A e B eventos independentes = ∩ P(A B) P(A) P(B) A e B eventos dependentes = ∩ P(A B) P(A) P(B)

LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE

Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam

independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complementoA cuja probabilidade é 1 – p.

EXEMPLO

Realizando-se a seqüência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só K vezes Resolução

1) Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o eventoA.

2) Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento Aé 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:

3) As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k.

4) Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que

possuem a mesma probabilidade pk _{. (1 – p)}n-k _{, e}

portanto a probabilidade desejada é:

k n-k n,k

C .p (1- p)

EXERCICIOS

1) (ANPAD) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale: a) 1/6 b) 2/9 c) 4/9 d) 16/81 e) 20/81 2) (CEAG) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem da mesma cor é:

a) 13/72 b) 1/18 c) 5/18 d) 1/9 e) 1/ 4 3) (ANPAD) Uma moeda viciada apresenta