ATERROS REFORÇADOS SOBRE SOLOS MOLES ANÁLISE NUMÉRICA E ANALÍTICA. Christiane Marinho de Moraes TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

Christiane Marinho de Moraes

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Aprovado por:

Prof. Maurício Ehrlich, D.Sc.

Prof. Willy Alvarenga Lacerda, Ph.D.

Profa. Bernadete Ragoni Danziger, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL OUTUBRO DE 2002

MORAES, CHRISTIANE MARINHO DE

Aterros reforçados sobre solos moles – análise numérica e analítica [Rio de Janeiro] 2002

VIII, 223p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Civil, 2002)

Tese – Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE

1. Aterro Reforçado 2. Solo Mole I. COPPE/UFRJ II. Título (série)

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, Marlene e Carlos Fernando,

que sempre me apoiaram com carinho, amor e estímulo.

Ao meu sobrinho, Pedrinho,

AGRADECIMENTOS

A Deus, pela minha existência e por tudo que consegui realizar.

Ao Prof. Maurício Ehrlich, pela dedicada e eficiente orientação, disponibilidade, cooperação, atenção e paciência com que realizou seus trabalhos como orientador e, do mesmo modo, como professor.

Aos professores Márcio de Souza Soares de Almeida, Bernadete Ragoni Danziger e Willy Alvarenga Lacerda, pela colaboração como integrantes da banca examinadora.

À Fabiana Loiola, pela amizade e pelas orientações sobre a utilização do programa CRISP.

Aos professores da área de Geotecnia da COPPE/UFRJ, em especial, Dirceu Velloso, Francisco Lopes, Fernando Danziger, Willy Lacerda, pela atenção e pelos ensinamentos.

À Profa. Bernadete Ragoni Danziger, que me incentivou à cursar o mestrado, pela amizade e conhecimentos compartilhados durante o curso de graduação na UFF.

À minha tia Irinéa Pereira Gomes, pelo carinho e pela revisão do texto.

À minha amiga Simone Juste Gonzalez e aos meus familiares, especialmente, meus pais e meu irmão André Luiz, pelo incentivo, carinho e apoio nos momentos difíceis durante o curso de mestrado.

À Elizabeth de Serpa Pinto Ramos, do setor de pesquisas on-line/cd-rom da biblioteca do CT/UFRJ, pela colaboração na pesquisa bibliográfica.

Aos colegas da COPPE/UFRJ.

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

ATERROS REFORÇADOS SOBRE SOLOS MOLES – ANÁLISE NUMÉRICA E ANALÍTICA

Christiane Marinho de Moraes Outubro/2002

Orientador: Maurício Ehrlich Programa: Engenharia Civil

Estudou-se – através do programa de elementos finitos CRISP92-SC, versão em dupla precisão – a utilização do reforço, de rigidez variável, colocado na interface aterro-fundação e sua contribuição no aumento das condições de estabilidade e na redução dos deslocamentos do solo mole de fundação; identificando, desse modo, os fatores intervenientes no comportamento do conjunto.

Foram analisadas as influências: da largura, e da coesão do solo, do aterro; da rigidez e do comprimento dos reforços; da resistência não-drenada, da profundidade e do módulo elástico do solo de fundação. O efeito da compactação, de igual forma, foi analisado.

Um método analítico, para o cálculo do fator de segurança de aterros não-reforçados e não-reforçados, e da força máxima mobilizada no reforço, foi proposto. Compararam-se os valores da força de tração provenientes de métodos analíticos e numéricos.

Nos resultados do presente trabalho, verificou-se que a força de tração mobilizada no reforço, os deslocamentos, no solo de fundação, máximos horizontais e verticais são modificados pela rigidez do reforço. O módulo elástico do solo mole de fundação, bem como a rigidez axial do reforço, são parâmetros preponderantes para a definição da magnitude da força máxima de tração.

A importância da relação entre a largura do aterro e a profundidade da fundação na determinação da contribuição do reforço e a influência do comprimento do reforço, da compactação, da coesão e da resistência não-drenada da fundação, também, foram evidenciadas nos resultados do presente trabalho.

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

REINFORCED EMBANKMENTS ON SOFT SOILS – NUMERICAL AND ANALYTICAL ANALYSIS

Christiane Marinho de Moraes October/2002

Advisor: Maurício Ehrlich Department: Civil Engineering

The use of reinforcement with varied stiffness placed in the interface embankment-foundation has been studied. The contribution of reinforcement to the increase of stability conditions, as well as to the reduction of displacements in soft soil foundations, has also been studied. Consequently, factors which intervene in the behaviour of all elements can be identified. The program of finite elements CRISP92-SC, double precision version, has been used in the analysis.

The following influences have been analysed: embankment length, reinforcement stiffness, reinforcement length, foundation undrained shear strength, embankment cohesion, depth of foundation and modulus of elasticity of foundation. The effect of compactation has also been analysed.

It has been proposed an analytical method in order to calculate the safety factor for both reinforced and unreinforced embankments, and to calculate the mobilized tensile force in the reinforcement as well. Values of tensile force arising from both analytical and numerical methods have been compared.

In the present thesis, it has been noticed that the tensile force mobilized by the reinforcement and the maximum horizontal and vertical displacements are modified by the reinforcement stiffness. The modulus of elasticity of the soft soil foundation, as well as the reinforcement axial stiffness are the main parameters to define the magnitude of the maximum tensile force.

The importance of the relationship between the embankment length and the depth of foundation to determine the contribution of the reinforcement is shown in the results of the present research. The influence of the reinforcement length, the compactation, the foundation cohesion and undrained shear strength in the results is also shown.

ÍNDICE

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CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO 01

1.1 – Considerações preliminares 01

1.2 – Objetivo e organização da tese 02

CAPÍTULO 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 03

2.1 – Introdução 03

2.2 – Conceito e aplicações do solo reforçado 03

2.3 – Mecanismo e interação do solo reforçado 05

2.4 – Considerações relativas ao projeto de aterros reforçados sobre solos moles 07

2.5 – Métodos de análise de estabilidade 09

2.5.1 – Estabilidade da fundação 09

2.5.2 – Estabilidade interna 13

2.5.3 – Estabilidade global 14

2.6 – Análise de elementos finitos 27

CAPÍTULO 3 – PROCEDIMENTO NUMÉRICO E ANALÍTICO 36

3.1 – Introdução 36

3.2 – Método analítico 36

3.2.1 – Aterros não-reforçados 36

3.2.2 – Aterros reforçados 39

3.2.2.1 – Reforço integral da base do aterro 40

3.2.2.2 – Reforço parcial da base do aterro 41

3.3 – Programa de elementos finitos 42

3.4 – Modelos constitutivos dos solos 44

3.4.1 – Formulação hiperbólica 44

3.4.2 – Modelo elasto-plástico 49

3.4.3 – Modelagem da compactação 51

3.5 – Análises numéricas 55

3.5.1 – Geometria empregada 55

página

3.5.3 – Modelagem do processo construtivo 62

3.6 – Análises preliminares 64

CAPÍTULO 4 – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS 69

4.1 – Introdução 69

4.2 – Casos analisados 69

4.3 – Análise dos resultados 71

4.3.1 – Análise de estabilidade 71

4.3.2 – Influência da rigidez do reforço na distribuição da força no reforço e nas movimentações ao longo do aterro 73

4.3.3 – Influência da coesão do solo do aterro 80

4.3.4 – Influência da profundidade da fundação e da largura do aterro 84

4.3.5 – Influência do comprimento parcial e da rigidez dos reforços 86

4.3.6 – Influência da resistência do solo de fundação 89

4.3.7 – Influência da largura do aterro e da resistência do solo de fundação nas deformações horizontais 93

4.3.8 – Influência do módulo elástico do solo de fundação 95

4.3.9 – Influência da compactação do solo do aterro 97

4.3.10 – Comparação dos resultados numéricos e analíticos 99

CAPÍTULO 5 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS 103

5.1 – Conclusões 103

5.2 – Sugestões para futuras pesquisas 105

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 106

APÊNDICE 1 110

APÊNDICE 2 123

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 – CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES

Projetos envolvendo a construção de aterros sobre solos moles, como rodovias, barragens de terra e ferrovias, tornaram-se comuns nas últimas décadas, devido ao crescimento econômico e social.

Aterros sobre solos moles são caracterizados por baixa resistência e permeabilidade, e alta deformabilidade. Assim, deve-se atentar para o baixo fator de segurança durante e logo após a construção do aterro, visto que, nessas fases, o carregamento é máximo, porém a resistência do solo de fundação é mínima, por causa do excesso de poro-pressão gerado. No final da construção, com o decorrer do tempo, há uma tendência de aumentar a estabilidade, em conseqüência do ganho de resistência promovido pelo adensamento do solo mole.

Várias técnicas foram desenvolvidas para evitar ou conviver com os problemas existentes nesse tipo de obra. No caso de camadas pouco espessas, pode-se remover o solo mole. Pode-se conviver com o problema aumentando a estabilidade do aterro, construindo-o em várias etapas; construindo bermas laterais de equilíbrio; utilizando estacas; melhorando o solo mole ou reforçando o conjunto. Essas técnicas podem ser combinadas com outras que objetivam a aceleração dos recalques e o ganho de resistência, como o uso de drenos verticais e pré-carregamento com sobre-altura de aterro.

A colocação do reforço, geralmente geotêxtil ou geogrelha, na interface aterro-fundação, para melhorar a estabilidade da obra, é uma alternativa econômica e tecnicamente atrativa. Além de reduzir o espraiamento lateral do aterro e o deslocamento horizontal da fundação, através da força de tração mobilizada no reforço, pode minimizar o consumo de material necessário para a construção do aterro, aumentar a velocidade de construção e reduzir os recalques diferenciais.

Assim como o conhecimento das características geotécnicas dos solos, o conhecimento das propriedades do reforço, dos mecanismos do reforço e da interação com os solos adjacentes são fundamentais para o desenvolvimento de um bom projeto.

1.2 – OBJETIVO E ORGANIZAÇÃO DA TESE

Objetiva-se, com o presente trabalho, analisar numericamente a influência do reforço em aterros sobre solos moles, identificando os fatores preponderantes no comportamento do conjunto, contribuindo, desse modo, para um melhor entendimento desse tipo de construção. É proposto um método analítico para o cálculo do fator de segurança e da força máxima de tração no reforço.

Apresenta-se, a seguir, a descrição dos próximos capítulos.

A introdução ao tema aterros reforçados sobre solos moles é apresentada no capítulo 2, através da revisão bibliográfica: do conceito e aplicações do solo reforçado; do mecanismo e interação solo-reforço; das considerações relativas ao projeto; dos métodos adotados para análises de estabilidade e de estudos numéricos.

O método analítico proposto; o programa de elementos finitos; os modelos constitutivos que representam o comportamento tensão-deformação do solo; as descrições dos materiais e da geometria, utilizados no estudo, são expostos no capítulo 3. Nesse capítulo, também, são apresentados resultados de estudos preliminares que balizaram os procedimentos adotados nas análises numéricas.

No capítulo 4, são apresentados e discutidos os resultados das análises analíticas e numéricas efetuadas.

O capítulo 5 apresenta as conclusões e as sugestões para possíveis temas com a finalidade da realização de pesquisas futuras.

No apêndice 1, são anexados os gráficos de força de tração no reforço, de tensão vertical e deslocamentos horizontais e verticais, relacionados às análises preliminares apresentadas no capítulo 3.

No apêndice 2, são anexados todos os gráficos de tensão vertical, força de tração no reforço e deslocamentos horizontais e verticais, relacionados às análises apresentadas no capítulo 4.

No apêndice 3, são apresentados os resultados dos valores do fator de segurança, considerando a geometria e os parâmetros empregados no presente trabalho, calculados através do método analítico proposto.

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 – INTRODUÇÃO

Apresenta-se, neste capítulo, uma revisão bibliográfica sobre o tema em questão. Discutem-se o conceito e as aplicações do solo reforçado, o mecanismo e interação solo-reforço e as considerações relativas ao projeto de aterros reforçados sobre solos moles. Apresentam-se, também, métodos de análises de estabilidade e análises numéricas.

2.2 – CONCEITO E APLICAÇÕES DO SOLO REFORÇADO

Os solos, em geral, desde que adequadamente compactados, apresentam boa resistência à compressão e ao cisalhamento. No entanto, a resistência à tração é baixa.

A técnica de solo reforçado objetiva incorporar, ao solo, materiais que absorvam as cargas de tração, melhorando as características mecânicas do material composto. Muros reforçados, taludes reforçados, aterros reforçados sobre solos moles, são algumas das aplicações correntes.

Em aterros reforçados sobre solos moles, o reforço pode ser colocado em toda a extensão da interface aterro-fundação, em camadas compreendendo toda altura ou somente posicionadas próximo à base do aterro. Nos aterros muito extensos, o reforço pode ser instalado parcialmente, limitando-se a trechos próximo às bordas do mesmo. O reforço, também, pode ser empregado combinado a bermas de equilíbrio ou associado a estacas. A figura 2.1 esquematiza alguns exemplos.

Existem diversos tipos de reforços, os quais variam segundo a forma e a matéria-prima com que são fabricados. Por exemplo: tiras, mantas ou grelhas, que podem ser metálicas ou sintéticas, comumente denominadas geossintéticos (geotêxteis, geocélulas e geogrelhas). Os geossintéticos são fabricados a partir de polímeros.

Dentre as características necessárias para atuarem como reforço, tem-se que os geossintéticos devem ser resistentes, relativamente rígidos, duráveis e aderentes ao solo. A magnitude da força, a ser mobilizada nos reforços, depende do tipo de aplicação. A força suportada por cada camada de reforço pode variar entre 10 e 400kN/m.

A aderência do reforço ao solo é determinada em função da forma do geossintético. Grelhas ou mantas proporcionam uma boa aderência ao solo.

A durabilidade do reforço é influenciada pelo tempo e deve ser avaliada juntamente com as condições ambientais. Em obras permanentes, a durabilidade do geossintético é um fator importante a ser considerado.

PALMEIRA (1999) cita as contribuições da presença do reforço geossintético em aterros sobre solos moles, tais como:

distribuição de tensões mais favorável para o solo mole;

aceleração do processo de adensamento, caso o reforço seja drenante;

execução de taludes mais íngremes;

aumento do fator de segurança.

Em relação ao fator de segurança, observa-se, na figura 2.2 (a), que o reforço melhora a estabilidade do aterro reforçado durante o período construtivo e no processo de adensamento do solo mole de fundação até que o ganho de resistência deste torne desnecessária a presença do reforço. No caso do reforço colocado ao longo de todo o talude do aterro, visando a execução de taludes mais íngremes, o reforço é necessário por toda a vida da obra, como se verifica na figura 2.2 (b).

tempo (a) 1.0 Reforçado Não-reforçado Fs Final de construção Fs 1.0 (b) tempo Final de construção Não-reforçado Reforçado

Figura 2.2 – Fator de segurança de aterros não-reforçados e reforçados: (a) reforço colocado na interface aterro-fundação; (b) reforço incorporado ao talude do aterro

2.3 – MECANISMO E INTERAÇÃO DO SOLO REFORÇADO

Mesmo sob tensões de compressão, podem se verificar deformações de expansão dentro da massa do solo. Considerando, para um melhor entendimento, uma amostra de solo não-reforçado carregado externamente por tensões de compressão σ1 e σ3, sendo σ1 > σ3, observa-se que, sob este carregamento, o solo sofre compressão axial e expansão lateral, a qual é associada ao desenvolvimento de deformações laterais dentro da massa de solo. A inserção de reforços, no solo, promove a redução das deformações verticais e horizontais (δv > δvr; δh > δhr). Na figura 2.3, ilustra-se o modelo explicativo desse mecanismo.

(a) (b) h/2 σ3 σ1 δ σ1 σ3 σ3 σ3 δ σ1 v δ σ1 δvr Reforços hr/2

Figura 2.3 – Efeito do reforço em um elemento de solo: (a) não-reforçado; (b) reforçado

Considerando a hipótese da aderência perfeita entre o solo e o reforço, as deformações do solo e do reforço serão as mesmas na interface. Sob deformação horizontal nula, εx = 0, o solo estará na condição de repouso (Ko) e o reforço descarregado. As deformações laterais reduzirão as tensões horizontais no solo, tendendo ao estado ativo (Ka), e incrementarão as tensões nos reforços até que o equilíbrio seja satisfeito. Quanto maior a rigidez dos reforços, R, menores serão as deformações laterais, εx, e maiores serão as tensões horizontais no solo, σx, e de tração nos reforços, T. A figura 2.4 representa esse mecanismo de mobilização de tensões e deformações em uma massa de solo reforçado (EHRLICH, 1994).

O mecanismo de transferência de carga, entre solo e reforço, é efetuado na interface solo-reforço por atrito (tiras, mantas e grelhas) ou resistência passiva (grelhas).

A interação depende das características do solo e do reforço e de como essas são afetadas pelo ambiente interno e externo, como regime de poro-pressão e cargas impostas, que definirão as tensões efetivas normais aplicadas.

ativa (Ka) Condição

;

σ

S

T

S

σ

ε

ε

σ

ε

2.4 – CONSIDERAÇÕES RELATIVAS AO PROJETO DE ATERROS REFORÇADOS SOBRE SOLOS MOLES

A análise de estabilidade, adotada em projetos de aterros reforçados sobre solos moles, consiste em verificar os possíveis mecanismos de ruptura desse tipo de obra. Usualmente, são examinados três modos de ruptura, conforme esquematizados nas figuras 2.5(a), 2.5(b) e 2.5(c) (JEWELL, 1982; BONAPARTE e CHRISTOPHER, 1987; H. MIKI, 1997; HIRD, PYRH e RUSSEL, 1991).

Figura 2.5 – Classes de ruptura de aterros sobre solos moles (JEWELL, 1982)

Figura 2.4 – Tensões (σ e T) e deformações (ε) no solo e no reforço (EHRLICH, 1994) (Sv e Sh: espaçamento vertical e horizontal dos reforços; Ra > Rb: rigidez dos reforços)

a) Instabilidade da fundação – recalques ou deformações excessivas; extrusão da fundação sob o aterro intacto, devido à baixa capacidade de carga da fundação (figura 2.5(a)).

b) Instabilidade interna – deslocamento lateral do aterro sobre o reforço (figura 2.5(b)). c) Instabilidade global – ruptura do aterro e da fundação com superfície de ruptura envolvendo o conjunto (figura 2.5(c)).

No primeiro tipo de instabilidade, o mecanismo de colapso dominante é o da fundação. A resistência do reforço é suficiente para evitar o colapso do aterro, mas o peso do aterro promove a plastificação da fundação.

Esse mecanismo de ruptura pode ser utilizado como técnica para aumentar a estabilidade da obra, através da expulsão do solo mole de fundação, no caso de camadas pouco espessas. O reforço, na base do aterro, faz com que essa técnica seja efetuada sob condições mais controladas e minimiza o consumo de material necessário ao aterro para expulsão da camada (FAHEL, PALMEIRA e ORTIGÃO, 2001).

Os dois últimos mecanismos envolvem, necessariamente, ou a ruptura dos reforços ou o arrancamento dos mesmos da zona de embutimento no aterro.

Ao se verificar o comportamento da obra, deve-se considerar as características dos materiais envolvidos. A diferença entre as deformações dos materiais presentes é um fator importante em aterros compactados sobre solos moles, sendo recomendável o uso de reforço com elevada rigidez à tração, pela imposição de baixas deformações no aterro. Nos reforços geossintéticos, deve-se verificar a importância da fluência, em relação ao tempo que o reforço será necessário para manter a estabilidade da obra. O possível ganho de resistência, através do processo de adensamento do solo mole de fundação, e a resistência à tração do reforço devem ser analisados conjuntamente. Ainda, a respeito dos reforços, é importante a consideração da anisotropia, comum em alguns geossintéticos, referente às propriedades mecânicas – tais como resistência e rigidez à tração – para que este não seja orientado de forma incorreta em relação às tensões atuantes (FAHEL, PALMEIRA e ORTIGÃO, 2001).

Em relação aos aterros reforçados, compactados, é importante lembrar que a compactação modifica a força de tração gerada no reforço, uma vez que as tensões verticais e horizontais, induzidas pelo processo, são transferidas para o reforço (EHRLICH e MITCHELL, 1994).

A figura 2.6 mostra o efeito do adensamento do solo mole na resistência da fundação e na força de tração do reforço necessária para manter a estabilidade do aterro. Em alguns casos, conforme exposto anteriormente, o ganho de resistência do solo mole de fundação, pelo processo de adensamento, pode suprir a necessidade da presença do reforço para manter a estabilidade do aterro depois de determinado tempo de construção (PALMEIRA, 1999). tempo Su Final de construção T ou Su T necessária para manter a estabilidade

Figura 2.6 – Efeito do adensamento do solo mole de fundação

2.5 – MÉTODOS DE ANÁLISE DE ESTABILIDADE

Neste item, serão apresentados alguns métodos de análise de estabilidade de aterros reforçados sobre solos moles encontrados na literatura. Os métodos serão expostos de acordo com o tipo de estabilidade relacionada.

2.5.1 – ESTABILIDADE DA FUNDAÇÃO

Em análises de estabilidade da fundação, as cargas aplicadas ao subsolo por um aterro reforçado podem ser comparadas àquelas aplicadas a uma sapata. Desse modo, as análises são tratadas como um problema de capacidade de carga da fundação e, assim, permitem o uso de soluções baseadas na teoria da plasticidade.

Para a resistência ao cisalhamento, Su, são considerados dois perfis a serem analisados: resistência crescente linearmente com a profundidade, e resistência uniforme, porém, com profundidade limitada por uma camada resistente. Os perfis são mostrados nas figuras 2.7(a) e 2.7(b), respectivamente.

O fator de capacidade de carga da sapata, para os dois perfis de resistência, depende se esta é lisa ou rugosa. Na base da sapata rugosa, são geradas tensões cisalhantes que resistem à movimentação do solo, o que não acontece na base da sapata lisa, justificando a diferença entre os valores do fator de capacidade de carga. A figura 2.7 mostra, também, os valores do fator de capacidade de carga para sapata lisa e rugosa, considerando os dois perfis de resistência.

Figura 2.7 – Fator de capacidade de carga (Nc): (a) resistência não-drenada (Su) crescente linearmente com a profundidade (BOOKER e DAVIS, 1973); (b) resistência não-drenada (Suo) uniforme, porém com profundidade (D) limitada por uma camada resistente (MANDEL e SALENÇON, 1972)

O aterro não-reforçado aplica, à fundação, cargas verticais combinadas com tensões cisalhantes desenvolvidas pelo deslocamento lateral do aterro. Essas tensões cisalhantes reduzem a capacidade de carga da fundação. O reforço, colocado na interface aterro-fundação, melhora a estabilidade, atuando de duas formas: reduzindo as forças que causam a ruptura, opondo-se às tensões cisalhantes derivadas do aterro (assim a fundação só suporta cargas verticais) e aumentando as forças que resistem à ruptura, gerando tensões cisalhantes e, conseqüentemente, melhorando a capacidade de carga da fundação (SHARMA, 1994).

No primeiro caso, quando o empuxo ativo do aterro é equilibrado somente pela força do reforço, Paterro = Preforço, o carregamento equivale à sapata lisa. No segundo caso, a força no reforço é maior que o empuxo ativo do aterro, Preforço > Paterro.

A força total suportada por um reforço – considerando as tensões cisalhantes aplicadas na face inferior e superior, correspondentes respectivamente às forças Pfundação e Paterro – é igual a:

Preforço= Paterro + Pfundação (2.1)

Pfundação = α.Suo.x (2.2)

onde: x é a distância do pé do talude ao ponto no qual a força Pfundação é mobilizada pelo reforço.

Quando o valor da tensão cisalhante, aplicada à fundação, iguala a resistência ao cisalhamento na superfície, Suo, o carregamento equivale à sapata rugosa e a força Pfundação é máxima, sendo o aterro considerado totalmente reforçado (α = 1).

A figura 2.8 mostra os gráficos, de soluções da teoria da plasticidade, utilizados nas análises de estabilidade da fundação de aterros reforçados sobre solos moles. A altura crítica do aterro reforçado pode ser calculada com o auxílio desses gráficos.

Nos cálculos efetuados por SHARMA (1994), usando soluções baseadas na teoria da plasticidade, observou-se que estas superestimam a força no reforço e subestimam a altura crítica, sendo que a melhor previsão da altura crítica, através dessas soluções, ocorre se o ganho de resistência da fundação, durante a construção do aterro, devido ao processo de adensamento, for considerado. O mesmo não acontece no cálculo da força no reforço. Esse fato é atribuído à: desconsideração da rigidez relativa e da compatibilidade na interface argila-reforço; suposição da mobilização total da resistência na interface argila-reforço; desconsideração do ganho de resistência do aterro

proporcionado pelo reforço. As deformações do solo e do reforço, também, são desconsideradas na teoria da plasticidade.

Portanto, a aplicação da teoria da plasticidade, no cálculo da força no reforço, deve ser usada com cuidado, visto que é improvável que resulte na tensão real do reforço mobilizada no campo, superestimando a contribuição do reforço. Desse modo, é válido o uso do método de elementos finitos, para o cálculo do esforço no reforço.

Figura 2.8 - Análise de estabilidade da fundação de aterros reforçados sobre solos moles baseada em soluções da teoria da plasticidade: (a) resistência crescente com a profundidade (BOOKER e DAVIS, 1973); (b) resistência constante com a profundidade (MANDEL e SALENÇOM, 1972)

2.5.2 – ESTABILIDADE INTERNA

Para impedir a ruptura interna do aterro, pelo seu deslocamento lateral, as tensões horizontais do aterro devem ser equilibradas pelas tensões cisalhantes. Sendo o aterro reforçado, o empuxo ativo atuante no interior do aterro – mobilizado por algum deslocamento lateral do aterro antes da força no reforço ser mobilizada – é absorvido pelo reforço e não transferido para a fundação como ocorreria se o aterro não fosse reforçado.

A análise da estabilidade interna consiste em comparar o empuxo atuante no interior do aterro, Paterro, com a força de atrito disponível na interface aterro-reforço, Pdisp. A transferência do empuxo ativo, atuante no aterro, para o reforço é garantida se Pdisp>Paterro.

O empuxo ativo e a força de atrito disponível são dados pelas seguintes equações: δ γ = . .n.h .tg 2 1 P 2 disp (2.3) a 2 aterro .h .K  . 2 1 P = ; (Ka=tg2(45º- φ’/2)) (2.4) onde:

h – altura do aterro a uma distância x do pé do aterro; γ – peso específico do aterro;

Ka – coeficiente de empuxo ativo, de Rankine; φ’– ângulo de atrito efetivo do solo;

δ – ângulo de atrito na interface aterro-reforço; n – inclinação do talude.

O fator de segurança, em relação à ruptura interna, é definido como:

aterro disp P P Fs= (2.5) Substituindo as equações (2.3) e (2.4) na equação (2.5), tem-se:

a

K n.tg

Reportando a ALMEIDA (1996), BONAPARTE et al. (1987) recomendam usar o fator de segurança, quanto à ruptura interna do aterro reforçado, igual a 2.

2.5.3 – ESTABILIDADE GLOBAL

Métodos de equilíbrio limite são comumente aplicados em análises de estabilidade de aterros sobre solos moles. Em aterros reforçados, algumas considerações referentes à influência da força de tração mobilizada no reforço, em relação aos métodos de equilíbrio limite, devem ser feitas. Segundo ALMEIDA (1996), BONAPARTE e CHRISTOPHER (1987), destacam: o efeito da força atuante no reforço na estabilidade; a magnitude da força no reforço e a orientação da força no reforço em relação à superfície de ruptura.

A força no reforço pode atuar de duas formas na estabilidade: como força independente que aumenta o momento resistente sem alterar a resistência do solo e, através da componente normal, aumentando a resistência do solo do aterro. A segunda forma é geralmente adotada para aterros reforçados com várias camadas de reforço, não sendo recomendada para aterros com uma única camada de reforço (BONAPARTE et al., 1987 apud ALMEIDA, 1996).

A magnitude da força mobilizada pelo reforço é função do alongamento do reforço. Quanto maior o alongamento do reforço, maior será a força mobilizada por ele. A colocação do reforço, a deformação do solo de fundação, durante e logo após a construção do aterro, e a deformação do solo mole de fundação, durante o processo de adensamento, são alguns dos fatores que influenciam o alongamento do reforço.

No cálculo da força máxima no reforço, requerida para obter um determinado fator de segurança, efetuada através do método de equilíbrio limite, é necessário assumir uma orientação para a força no reforço em relação à superfície de ruptura. O reforço é, em muitas vezes, instalado na direção horizontal, mas, próximo da condição de ruptura, o reforço se deforma junto com o aterro e a fundação. Assim, três diferentes direções para a força no reforço, em relação à superfície de ruptura, são estudadas, conforme ilustrado na figura 2.9:



horizontal (DUNCAN e WONG, 1984; FOWLER, 1982; JEWELL, 1982; INGOLD, 1983; MILLIGAN e LA ROCHELLA, 1984),



tangencial à superfície de ruptura no ponto em que a superfície intercepta o reforço (BINQUET e LEE, 1975; QUAST, 1983) e



bissetorial em relação às direções horizontal e tangencial (HUISMAN, 1987). A figura 2.10 mostra a influência da orientação da força no reforço no fator de segurança. Verifica-se que considerar a força no reforço atuando na direção horizontal é conservativo.

Figura 2.9 – Direção da força atuante no reforço em relação à superfície de ruptura

Segundo KANIRAJ (1996), a força máxima no reforço diminui com o aumento de sua inclinação. Então, a direção da força no reforço tem influência sobre a magnitude desta e, portanto, na escolha do tipo de reforço a ser usado. O fator de segurança do aterro não-reforçado e a rigidez do reforço são fatores importantes para a orientação da força.

Nos métodos de equilíbrio limite, a análise de estabilidade é feita considerando possíveis mecanismos de colapso (pesquisando o mecanismo de colapso que oferece menor fator de segurança) e calculando o equilíbrio estático dos blocos que compõem o mecanismo. O modelo rígido-plástico descreve o comportamento do solo.

Existem algumas diferenças entre os métodos propostos de equilíbrio limite, como por exemplo, a consideração do tipo de superfície de ruptura a ser analisada. A escolha da superfície de ruptura depende da geometria do aterro e da fundação.

No caso de um aterro extenso sobre uma camada de solo mole de profundidade limitada por uma camada resistente, é melhor considerar o mecanismo de blocos deslizantes. A superfície circular é bem aplicada em camadas profundas (JEWELL, 1987).

JEWELL (1982) mostrou que a consideração de superfície circular para camadas de solo mole pouco espessas subestima o valor do empuxo ativo do aterro podendo até ser negativo, gerando tração no aterro. LESHCHINSKY (1987) sugeriu, então, a adoção de superfície logarítmica no aterro. É possível, também, considerar superfície planar para o aterro e calcular o empuxo ativo pela teoria de Rankine (ALMEIDA, 1996).

a) MÉTODO DE LOW et al.(1990) –SUPERFÍCIE CIRCULAR DE RUPTURA

A figura 2.11 esquematiza superfície circular de ruptura adotada no método de LOW et al. (1990). 1 n z H a Reforço vertical média Camada resistente Yo

Figura 2.11 – Método de LOW et al. (1990)

A força no reforço contribui para a redução do momento instabilizante no cálculo do fator de segurança do aterro reforçado que é determinado pela seguinte equação: ref inst res r M M M F − = (2.7) onde:

Mres e Minst – somatório dos momentos resistentes e instabilizantes proporcionados pelas forças atuantes no solo;

Mref – momento proporcionado pela força no reforço.

Considerando a força no reforço atuando na direção horizontal, Mref, é igual a: Mref = T.(Yo – z - a) (2.8) Sendo a força no reforço, T, calculada pela equação:

R 2 r 0 I   . F F -1 T     = _(2.9)

em que:

Fo – fator de segurança mínimo para aterro não-reforçado;

IR – número de estabilidade, para o caso reforçado, fornecido pelo gráfico da figura 2.12 que depende da relação D/H e de n.

O fator de segurança do aterro não-reforçado é determinado pela equação:     φ + + =     c . N   S . N F u ₂ 1 o (2.10) na qual:

N1, N2 e λ – números de estabilidades dependentes da relação D/H e n, fornecidos pelos gráficos da figura 2.13;

Su – resistência não-drenada do solo de fundação; γ – peso específico do aterro;

c e φ – parâmetros de resistência do solo do aterro.

O cálculo deve ser repetido, considerando várias profundidades diferentes para a determinação do valor de Fo, mínimo e, conseqüentemente, o valor de T, máximo.

Figura 2.12 – Número de estabilidade para aterro reforçado (modificado de LOW et al., 1990)

Figura 2.13 – Números de estabilidade para aterro não-reforçado (modificado de LOW, 1989)

b) MÉTODO MISTO DE JEWELL (1987) – SUPERFÍCIE CIRCULAR NA FUNDAÇÃO E PLANAR NOATERRO

A figura 2.14 ilustra o método misto de JEWELL (1987).

Figura 2.14 – Método misto de JEWELL (1987)

O fator de segurança do aterro reforçado e a força no reforço são calculados através das seguintes equações:

T inst res r T.d M M F − = (2.11) T inst r o d M . F F -1 T     = (2.12)

Para o caso da resistência não-drenada, variando linearmente com a profundidade, tem-se:

T = Fr.(E.dE + W.dw + Q.dQ) – R2.[α.(Suo – ρ.R.cos(α/2)) + 2.ρ.R.sen(α/2)] (2.13) Fr.dT

onde:

Mres e Minst – somatório dos momentos resistentes e instabilizantes proporcionados pelas forças atuantes no solo;

T – força requerida no reforço;

dE ,dw, dQ e dT – braço de alavanca das forças E, W, Q e T em relação ao centro do círculo;

Fo – fator de segurança do aterro não-reforçado.

O fator de segurança do aterro não-reforçado é igual a:

Fo = R2.[α.(Suo – ρ.R.cos.(α/2)) + 2.ρ.Rsen.(α/2)] (2.14) E.dE +W.dW +Q.dQ

Várias superfícies devem ser analisadas para a determinação do Fo mínimo e T máximo.

c) ÁBACOS DE MILLIGAN eBUSBRIDGE – SUPERFÍCIE CIRCULAR E PLANAR

A figura 2.15 apresenta os ábacos, usados na determinação da força no reforço, válidos para duas inclinações de talude (2:1 e 3:1) e aterro com coesão nula. Os ábacos dependem da relação D/H e da resistência não-drenada, a qual deve ser minorada por um fator de segurança, conforme mostra a equação (2.15).

Figura 2.15– Ábacos de MILLIGAN e BUSBRIDGE

Nos ábacos de MILLIGAN e BUSBRIDGE, o equilíbrio de momentos é efetuado pela equação:

T r u res inst .tg T.d F S . M M +     φ = (2.15)

onde:

Mres e Minst – momentos resistente e instabilizante; T – força mobilizada no reforço;

dT – braço de alavanca da força no reforço; Fr – fator de segurança do aterro reforçado; φ − ângulo de atrito do solo;

Su – resistência não-drenada do solo de fundação.

d) MÉTODO DE KANIRAJ (1994) – SUPERFÍCIE CIRCULAR

Figura 2.16 – Método de KANIRAJ (1994)

Esse método estuda o caso de aterro reforçado sobre solos moles com berma de equilíbrio e canal de drenagem. A superfície circular de ruptura abrange a berma e o canal e termina na base da zona trincada do aterro, como mostrado na figura 2.16.

O fator de segurança é definido como:

inst res r M M F = (2.16)

O momento resistente, Mres, é definido, considerando o somatório dos momentos proporcionados pelas forças resistentes que atuam: no solo de fundação, ao longo da

superfície NMJ, (Mrf); no solo de aterro, ao longo da superfície JI’, (Mra); no reforço, (Mrr); como:

Mres = Mrf + Mra + Mrr (2.17)

O momento instabilizante, Minst, é definido por quatro parcelas formadas pelo somatório dos momentos ocasionados pelas massas: de solo EG’I’J, (Mia), e G’GII’, (Mit), no aterro; ABCE na berma, (Mib); no canal, (Mic); como:

Minst = Mia + Mit + Mib+ Mic (2.18)

A equação para o momento Mrf é definida por LOW (1989). As outras expressões para os momentos resistentes e instabilizantes são definidas por KANIRAJ (1994).

Através da expressão (2.16), a força no reforço é definida por:

T = Misnt.Fr – Mrf – Mra (2.19) La

O braço de alavanca, La, da força do reforço em relação ao centro do círculo, depende do valor assumido para a inclinação da força no reforço em relação à horizontal, α. A tabela 2.1 fornece expressões de La para diferentes valores de α.

O cálculo da força no reforço deve ser feito para várias profundidades.

Tabela 2.1 - Expressões para o braço de alavanca, La

αα La 0 Yo – D – a θ/4 Yo.(2.M – 1).[ (1 + M)/2] 1/2 θ/2 Yo.M 3θ/4 Yo.[ (1 + M)/2] 1/2 θ Yo sendo: M = [1 – ((D + a)/2.Yo)]1/2

Algumas condições devem ser verificadas nas análises do método de KANIRAJ (1994), assim estabelecidas:



o centro do círculo deve estar localizado acima, ou, no nível, da base da zona trincada;



a berma e a escavação devem estar dentro da região definida pela superfície circular de ruptura;



a extremidade direita do círculo, ponto I’, deve estar localizada abaixo da crista do aterro e não abaixo das outras extremidades da superfície.

As equações, para essas três condições e para as coordenadas do centro do círculo crítico (Xo, Yo), são apresentadas por KANIRAJ (1994).

e) MÉTODO DAS CUNHAS – ANÁLISE TRANSLACIONAL

Paterro Pa Pp D S x C A B T

Nesse método, é analisada a ruptura do tipo bloco em translação, ABCD, como mostra a figura 2.17. A força no reforço, atuando a uma distância x do pé do aterro, é calculada considerando a aplicação, no bloco, dos empuxos do aterro e da fundação, e da força resistente mobilizada, conforme a seguinte equação:

T = Paterro + Pa – Pp – S (2.20) Figura 2.17 – Método das cunhas: análise translacional

sendo:

T – força no reforço;

Paterro – empuxo ativo atuante no aterro;

Pa e Pp – empuxos ativo e passivo atuantes na fundação; S – força resistente mobilizada no reforço.

f) MÉTODO DE JEWELL (1996) – SOLUÇÃO ANALÍTICA

Apresenta-se, na figura 2.18, o método analítico de JEWELL (1996).

x z H H 2Suz F Suz F x n Suo F n 1 σ α γ 2Suz F H = γ ρ 1 Su z Suo

Figura 2.18 - Método de JEWELL (1996): solução analítica

JEWELL (1996) propôs soluções analíticas para os cálculos dos fatores de segurança e da força no reforço em aterro sobre solos moles, nas seguintes condições:



Solo mole com resistência não-drenada constante e profundidade limitada     + + = H . K 2.D 2.n.H 8.D .  S F a u o (2.21)

(

)

"

Solo mole com resistência não-drenada crescente com a profundidade

              + + + = 2 1 uo uo uo r o S #%$&'$( ). 1 ) .( 2 . 2 S #%$&'$( 4 . * $( S F ou F (2.24) _      + = 2 K * $( . F ) + ,+.-. / +0 T a r uo 2 _(2.25)

Em aterro não-reforçado, α e Fo são calculados, de forma iterativa, pela equação:

uo o o a 2.n.S / +0 . F . K -1 = (2.26)

Para aterro reforçado: 0 < α≤ 1

Essas expressões são sugeridas para a condição 6 S / +0 . F u r ≥ _. Em que:

Fo – fator de segurança do aterro não-reforçado; Fr – fator de segurança do aterro reforçado; T – força requerida no reforço;

Su – resistência não-drenada do solo de fundação;

Suo – resistência não-drenada do solo de fundação na superfície; Ka – coeficiente de empuxo ativo de Rankine do solo de aterro; ρ − razão do aumento da resistência não-drenada com a profundidade;

α − razão entre a tensão cisalhante mobilizada e a resistência não-drenada na superfície do solo de fundação.

Segundo PALMEIRA et al. (1998): α≅ 1, para aterro reforçado e α≅ -0,7 a -0,5, para aterro não-reforçado.

A influência da coesão do aterro, nos resultados dos fatores de segurança calculados pelos métodos de análise de estabilidade, deve ser considerada (PALMEIRA e ALMEIDA, 1980).

SHARMA (1994) comenta que, muitos desses métodos não consideram o efeito da deformação na interação solo-reforço e a redistribuição de tensões no aterro devido à

presença do reforço, como também o ganho de resistência, durante a construção do aterro, ocasionado pelo processo de adensamento do solo mole.

ROWE e SODERMAN (1985) incluíram o efeito da interação solo-reforço nas análises de equilíbrio limite, admitindo uma deformação admissível, compatível para o reforço, deduzida em um gráfico da figura 2.19. A magnitude dessa deformação, εa, depende da rigidez da fundação, Eu, da geometria do aterro, B, da profundidade da fundação, D, e da altura crítica do aterro não-reforçado, Hc. O parâmetro adimensional, Ω, foi proposto com base em estudos de aterros não-reforçado e reforçado sobre argila mole, usando o método de elemento finitos.

Figura 2.19 – Deformação compatível, εa, versus parâmetro adimensional, Ω (após ROWE e SODERMAN (1985) apud SHARMA (1994))

2.6 – ANÁLISE DE ELEMENTOS FINITOS

O método de elementos finitos é usado, visando uma previsão mais realista das deformações causadas pela construção de aterro reforçado sobre solos moles. O conhecimento das deformações é importante para verificar, não apenas se a força no reforço, calculada nas análises de estabilidade, é realmente mobilizada, como também para avaliar as condições de trabalho do aterro.

Para melhor entendimento da importância do reforço em aterro sobre solos moles e dos fatores que influenciam o comportamento da obra, alguns estudos foram realizados, através de análises em elementos finitos.

BORGES e CARDOSO (1998) estudaram os efeitos da rigidez do reforço, do comprimento do aterro e da construção em seqüência, através de um modelo numérico desenvolvido por BORGES (1995), baseado no método de elementos finitos. No modelo, foram formuladas as seguintes hipóteses teóricas:

1. condição de deformação plana;

2. formulação acoplada de fluxo e equações de equilíbrio, considerando as relações constitutivas do solo em tensões efetivas (extensão da teoria de adensamento de Biot); 3. utilização do modelo de estados críticos a fim de simular o comportamento do solo

do aterro e da fundação;

4. utilização do modelo elasto-plástico para simular o comportamento do reforço; 5. utilização do modelo elasto-plástico na interface solo-reforço.

O efeito da rigidez do reforço foi analisado, comparando quatro aterros com a mesma geometria, sendo um sem reforço (1B) e os outros com geossintéticos de rigidezes diferentes (J3A< J1A< J2A). Como mostram as figuras 2.20, 2.21 e 2.22, a rigidez do reforço aumenta a força mobilizada no geossintético, reduz o deslocamento horizontal do solo adjacente ao reforço e diminui o recalque, na base do aterro, principalmente, o recalque diferencial.

Figura 2.20 – Efeito da rigidez do reforço no recalque no final do processo de adensamento

Figura 2.21 – Efeito da rigidez do reforço no deslocamento horizontal do solo adjacente ao geossintético: (a) no final da construção; (b) no final do processo de adensamento

Figura 2.22 – Efeito da rigidez do reforço na força mobilizada no geossintético: (a) no final da construção; (b) no final do processo de adensamento

Por se tratar de um problema bi-dimensional, a geometria do aterro, principalmente a largura (L), influencia tanto a estabilidade global quanto os deslocamentos. Assim, foram efetuadas análises considerando, aterros reforçados, (A), e não-reforçados, (B), com duas larguras distintas, (L1A,B > L2A,B).

Nos resultados dessas análises, apresentados nas figura 2.23 e 2.24, verificou-se que:

2

a redução do valor máximo do recalque, devido à presença do geossintético, pode ser mais efetiva em aterros com larguras maiores;

2

a força máxima mobilizada no reforço não depende da largura do aterro. O aumento da largura do aterro só proporciona o aumento da área do geossintético, em que a força de tração tem, aproximadamente, um valor uniforme na zona central da base do aterro;

2

a geometria do aterro, representada pela relação 2L/D, influencia o tipo de superfície de ruptura que pode ocorrer. A superfície de ruptura que não corta o aterro e o reforço (figura 2.25(a)) é mais comum quando o valor da relação 2L/D for pequeno e, nesse caso, o reforço não contribui, diretamente, para a estabilidade global.

Figura 2.23 – Influência da largura do aterro no recalque no final do processo de adensamento

Figura 2.24 – Influência da largura do aterro na força mobilizada pelo reforço: (a) no final da construção; (b) no final do processo de adensamento

(a) (b) 2L D D 2L

Figura 2.25 – Influência da largura do aterro (2L) no tipo de ruptura global

Em relação à influência da construção em seqüência (construção do aterro, em camadas, começando pela extremidade), BORGES e CARDOSO (1998) mostraram que esta é mais importante, ao longo do tempo, na redução dos valores dos recalques: máximo e diferencial.

BORGES (1995) relata que esse comportamento se deve ao fato de que, no final da construção, a distribuição do excesso de poro-pressão é mais uniforme no meio da zona carregada da fundação, resultando, dessa forma – em conseqüência da redução das deformações cisalhantes na fundação – na redução dos deslocamentos horizontais e dos recalques.

KWOK (1987), apud ALMEIDA (1996), e, HIRD e KWOK (1989), também, estudaram o efeito da rigidez do reforço em análises não-drenadas, utilizando os modelos: elasto-plástico de Mohr-Coulomb e Cam-Clay modificado, para simular o comportamento do aterro e da fundação, respectivamente. O reforço foi modelado como

elemento elástico linear de barra, sem rigidez à flexão e com o módulo J (J = força/unidade de largura/deformação específica), variando entre zero e

15.000kN/m. Elementos de interface, submetidos ao critério de Mohr-Coulomb, foram colocados entre o reforço e o solo.

A figura 2.26 mostra que o reforço contribui para a diminuição de recalques e deslocamentos horizontais. Com o aumento da rigidez do reforço, a força aumenta e a deformação específica diminui. Reforços muito deformáveis, no entanto, não apresentam contribuição muito significativa na minimização das deformações e no aumento da estabilidade.

HIRD e KWOK (1989) analisaram a influência da espessura da camada do solo mole, considerando camadas com espessuras de 2,4, 6,0 e 9,6m subjacentes a aterros não-reforçado e reforçado. Os autores notaram que os deslocamentos aumentam com o incremento da espessura do solo mole e que a atuação do reforço é mais efetiva em camadas menos espessas.

SHARMA (1994) comparou os resultados de análises numéricas com as medições efetuadas em modelos centrífugos. O comportamento do solo de fundação foi simulado com o modelo Cam-Clay modificado, assumindo a possibilidade de diferentes tensões de sobre-adensamento para as zonas de compressão, extensão e de cisalhamento na argila mole, objetivando mobilizar diferentes resistências não-drenadas em cada região. No aterro, foi usado o modelo elasto-plástico com critério de escoamento de Mohr-Coulomb. O reforço foi modelado como elemento elástico bilinear de barra, utilizando-se os parâmetros derivados de curvas, oriundas de ensaios de tração. A interação solo-reforço foi modelada usando elementos de barra, obedecendo ao critério de escoamento de Mohr-Coulomb. Foram analisadas duas espessuras de camada do solo mole (4,0 e 8,0m).

SHARMA (1994) obteve boa concordância entre os resultados, medidos e calculados numericamente, pelo método de elementos finitos, relativos a: excessos de poro-pressão, recalques, deslocamentos horizontais e força no reforço. Assim, pôde-se observar, por exemplo, que a magnitude da força de tração mobilizada no reforço é sensível à magnitude e distribuição da resistência não-drenada no subsolo e que os recalques e deslocamentos horizontais são superiores na camada mais espessa.

Figura 2.26 – Estudo paramétrico relativo à influência da rigidez do reforço (HIRD e KWOK, 1989)

CAPÍTULO 3

PROCEDIMENTO ANALÍTICO E NUMÉRICO

3.1 – INTRODUÇÃO

Apresentam-se, neste capítulo, os procedimentos utilizados nas análises do presente trabalho. Descrevem-se o método analítico proposto; o programa de elementos finitos; os modelos constitutivos que simulam o comportamento tensão-deformação do solo; os materiais e a geometria, empregados no estudo. Também, são apresentados estudos numéricos preliminares que balizaram os procedimentos adotados nas análises paramétricas.

3.2 – MÉTODO ANALÍTICO

EHRLICH (2001) propõe um método analítico para a determinação do fator de segurança e da força máxima de tração atuante no reforço.

Neste procedimento, busca-se representar o mecanismo de colapso, de forma simplificada, utilizando o modelo rígido-plástico e o método das cunhas. Definida a superfície de ruptura, analisa-se o equilíbrio estático dos blocos que compõem o mecanismo, calculando-se, assim, o fator de segurança.

Apresentam-se, a seguir, o procedimento proposto e as equações estabelecidas para o cálculo do fator de segurança e da força máxima de tração no reforço.

3.2.1 – ATERROS NÃO-REFORÇADOS

(a) A figura 3.1 ilustra o mecanismo de colapso de um aterro não-reforçado que obedece a seguinte relação:

n H

D≥ (3.1) em que:

D – profundidade da camada do solo de fundação; H – altura do aterro;

D* = H/n 4₅ ° Ea Ep 2L n 1 D H Su/Fs Camada resistente Su/Fs Eaterro

Fazendo-se o equilíbrio das forças atuantes nos blocos, tem-se:

Ep + Ea + Eaterro = 0 (3.2)

onde: Ep e Ea são, respectivamente, o empuxo passivo e o empuxo ativo atuantes na fundação; Eaterro é o empuxo ativo de Rankine atuante no aterro. Estes fatores são dados pelas seguintes equações:

.D* Fs S . 2 * D . 2 E f 2 u p + γ = (3.3) 3 .H.D* * .D Fs S -2. * .D 2 3 E f 2 u _a a = + (3.4) _a 2 a aterro .K 2 * H . 3 E = (3.5)     ₊φ γ = ' a 2 45º .tg 2.c -H H* (3.6) nas quais:

γf – peso específico do solo de fundação;

D – profundidade da camada do solo de fundação; D* – profundidade da superfície de ruptura;

Su – resistência não-drenada do solo mole de fundação; γa – peso específico do solo do aterro;

H – altura do aterro;

H* – altura do aterro desconsiderando a zona de tração; φ – ângulo de atrito interno do solo do aterro;

c – coesão do solo do aterro;

Ka – coeficiente do empuxo ativo de Rankine (correspondente ao aterro); Fs – fator de segurança.

Substituindo as equações (3.3), (3.4), (3.5) em (3.2), tem-se:

            + γ = H . 2 K . * H * D * D . H . 4.S Fs a 2 a u _(3.7)

Considerando D* = H/n e substituindo na equação (3.7), o fator de segurança é definido por:                   + γ = 2 K . n . H * H 1 1 . H . 4.S Fs a 2 a u _(3.8)

(b) Já o mecanismo de colapso, ilustrado na figura 3.2, representa o caso de um aterro não-reforçado com talude pouco íngreme ou sobre uma camada mole pouco espessa, obedecendo a seguinte relação:

n H

D< (3.9)

Efetuando-se o equilíbrio das forças atuantes nos blocos e substituindo os fatores, explicitados anteriormente, obtém-se as seguintes equações:

D 0 n H . Fs S E E E u aterro a p =      − + + + (3.10)

            + + γ = a 2 a u K . H . 2 * H D n H D . 3 . H . S Fs (3.11) Camada Resistente H/n Su/Fs Su/Fs Su/Fs H D 1 n 2L Ep Ea 4₅ ° D Eaterro

Figura 3.2 – Mecanismo de colapso para aterro não-reforçado em que D < H/n

Para a geometria empregada no presente estudo, tem-se: n = 2; D = 4 e 8m; H = 2 ,7m, portanto, estes valores correspondem ao mecanismo de colapso esquematizado na figura 3.1 (D ≥ H/n), sendo o fator de segurança calculado através da equação (3.8).

Desta forma, pela modelagem descrita nos casos em estudo, o fator de segurança, considerando o aterro não-reforçado, independe da largura do mesmo (2L = 24, 12 e 6m), visto que essa largura não interfere no desenvolvimento da zona de colapso.

3.2.2 – ATERROS REFORÇADOS

Apresenta-se, neste item, para o caso de aterros reforçados, o mecanismo de colapso e as equações para o cálculo do fator de segurança do aterro e da força de tração máxima mobilizada no reforço.

3.2.2.1 – REFORÇO INTEGRAL DA BASE DO ATERRO

Na figura 3.3, apresenta-se uma configuração de colapso que pode se verificar em aterros reforçados. Neste mecanismo, desconsidera-se a hipótese de colapso do reforço por arrancamento ou ruptura.

45 ° Ea Ep 2L n 1 D H Su/Fs Su/Fs D* 2L - D* Su/Fs Reforço Camada resitente

Figura 3.3 – Mecanismo de colapso de um aterro reforçado integralmente

Efetuando-se o equilíbrio das forças atuantes nos blocos, tem-se: .

(

)

Substituindo-se, na expressão (3.12), as equações (3.3) e (3.4), tem-se:       + γ = * D L . 2 3 . H . S Fs a u _(3.13) sendo que: se 2L/D ≥1, D* = D; se 2L/D < 1, D* = 2L.

A força de tração máxima atuante no reforço é expressa por: máx u aterro máx .L Fs S E T = + (3.14)

onde: Lmáx é a distância do pé do talude ao ponto para o qual a força de tração mobilizada no reforço é máxima e Eaterro é o empuxo atuante no aterro o qual pode ser obtido pela equação (3.5), no caso em que o reforço permita deformações horizontais suficientes para mobilizar o estado ativo no aterro.

Para reforços muito rígidos, ter-se-ão deformações horizontais nulas no aterro (estado no repouso), devendo-se, então, utilizar a expressão a seguir:

_o 2 a aterro .K 2 H . 4 E = (3.15)

3.2.2.2 –REFORÇO PARCIAL DA BASE DO ATERRO

4 5° Ea Ep 2L n 1 D H Su/Fs Su/Fs Su/Fs Reforço Eaterro Camada resistente D Lr - D

Figura 3.4 – Mecanismo de colapso de um aterro reforçado parcialmente

Na figura 3.4, busca-se representar o mecanismo de colapso de um aterro reforçado parcialmente. O equilíbrio das forças atuantes nos blocos é expresso por:

(

)

Substituindo-se as equações (3.3), (3.4) e (3.5) em (3.16), obtém-se o fator de segurança que é expresso por:

            + + γ = a 2 r a u K . D . H . 2 * H 1 D L 3 . H . S Fs (3.17)

A força de tração máxima mobilizada no reforço parcial é calculada conforme explicitado no item anterior.

No apêndice 3, são apresentados, para as configurações analisadas no presente trabalho, os fatores de segurança calculados através do método proposto por EHRLICH (2001).

3.3 – O PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS

O programa de elementos finitos, atualmente denominado CRISP92 (CRItical State Program(s)), foi desenvolvido, em 1975, por pesquisadores do Grupo de Mecânica dos Solos do Departamento de Engenharia Civil na Universidade de Cambridge (BRITTO e GUNN, 1990).

O programa CRISP92 foi desenvolvido para realizar análises drenadas, não-drenadas e dependentes do tempo, de problemas geotécnicos estáticos, sob carregamento-descarregamento monotônico, nas condições: estado plano de deformações, axissimétrica e tridimensional. Nas análises axissimétricas, o carregamento, também, tem que ser axissimétrico, não permitindo, portanto, análises de torção (BRITTO, 1991).

O comportamento de tensão-deformação do solo é descrito, no CRISP92, pelas seguintes leis constitutivas: elástico linear isotrópico/anisotrópico; elástico linear com o módulo elástico variando linearmente com a profundidade; modelos de estados críticos (Cam-Clay e Cam-Clay modificado) e elasto-plástico perfeito (com superfície de escoamento/ruptura obedecendo aos critérios de Tresca, Von Mises, Mohr-Coulomb ou Drucker-Prager).

Os tipos de elementos possíveis de serem usados, no CRISP92, são apresentados na tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Elementos do CRISP92 (BRITTO e GUNN, 1990) Tipo Nome do elemento Campo de deslocamentos Campo de deformações Excesso de poro-pressão (∆u) 1 Bar (barra) quadrático linear não disponível 2 LST (triângulo) quadrático linear não disponível 3 LST (triângulo) quadrático linear linear 4 LSQ (quadrilátero) quadrático linear não disponível 5 LSQ (quadrilátero) quadrático linear linear 6 CUST (triângulo) 4º grau cúbico não disponível

7 CUST (triângulo) 4º grau cúbico cúbico

8 LSB

(paralelepípedo)

quadrático linear não disponível

9 LSB

(paralelepípedo)

quadrático linear linear

12 BEAM (viga) quadrático linear não disponível 13 SLIP (interface) quadrático linear não disponível

onde:

Bar – linear strain bar; LST – linear strain triangle; LSQ – linear strain quadratic; CUST – cubic strain triangle; LSB – linear strain brick element; Beam – linear strain beam element; Slip – linear strain slip element.

O CRISP92 divide-se em módulos de pré-processadores, análises e pós-processadores, sendo disponibilizada uma interface com programas de planilhas eletrônicas, como Lotus 123 e Excel.

A técnica incremental é utilizada pelo programa para aproximar a não-linearidade física do material, dividindo-se o carregamento aplicado – e o tempo em análises de adensamento – em um certo número de incrementos. O sistema de equações é resolvido através da aproximação da rigidez tangente e da solução frontal (ITURRI, 1996).

ITURRI (1996) desenvolveu o programa CRISP92-SC (“CRISP92 with Soil Compaction”) que é uma versão modificada do programa original CRISP92 de BRITTO e GUNN (1990). O programa original foi modificado implementando-se: o modelo geral histerético de carregamento-descarregamento de SEED e DUNCAN (1986), adotado para modelagem da compactação; a formulação hiperbólica de DUNCAN et al. (1980); a formulação hiperbólica combinada com o modelo de Drucker e Prager (1952, 1953); a formulação hiperbólica com variação linear da coesão e do módulo de elasticidade inicial. Foram incluídas, também, outras implementações complementares no programa CRISP92.

LOIOLA (2001) implementou a versão em dupla precisão, no programa CRISP92-SC, a partir da versão em dupla precisão, existente no programa original CRISP92. Além desta implementação, LOIOLA (2001) efetuou pequenas alterações para adequar o programa à modelagem da compactação proposta por EHRLICH (2000).

O presente trabalho utilizou o programa de elementos finitos CRISP92-SC, versão em dupla precisão, visando evitar possíveis erros numéricos relacionados à diferença de ordem de grandeza da rigidez dos materiais envolvidos nas análises (solo do aterro, solo de fundação e reforço).

3.4 – MODELOS CONSTITUTIVOS DOS SOLOS

No estudo numérico, do presente trabalho, é considerado o modelo elasto-plástico para o solo mole de fundação e o modelo hiperbólico para o solo do aterro.

O modelo hiperbólico foi implementado por ITURRI (1996), baseando-se na formulação hiperbólica de DUNCAN et al. (1980), no programa CRISP92-SC.

A compactação é modelada, de acordo com método proposto por EHRLICH (2000), objetivando simular as condições reais de campo nas quais o solo é submetido.

3.4.1 – FORMULAÇÃO HIPERBÓLICA

ITURRI (1996) comenta que SEED e DUNCAN (1984) modificaram o modelo hiperbólico proposto por DUNCAN et al. (1980), objetivando: melhorar a modelagem do módulo volumétrico para baixos níveis de tensões; melhorar a modelagem do comportamento do solo durante o período de descarregamento-recarregamento; suprimir a instabilidade computacional proveniente do alívio de tensões.

Segundo ITURRI (1996), as modificações efetuadas por SEED e DUNCAN (1984) não requisitaram alterações nos parâmetros do solo.

Os parâmetros hiperbólicos, utilizados no modelo de DUNCAN et al. (1980), são:

5

K, n – parâmetros adimensionais do módulo de Young;

5

Kur – parâmetro adimensional do módulo de Young no trecho de descarregamento-recarregamento;

5

c – coesão;

5

φ, ∆φ – parâmetros do ângulo de atrito;

5

Rf – relação de ruptura;

5

Kb, m – parâmetros adimensionais do módulo volumétrico.

No modelo de DUNCAN et al. (1980), as curvas de tensão-deformação não-linear do solo podem ser representadas por hipérboles, conforme a figura 3.5.

Figura 3.5 – Formulação hiperbólica de DUNCAN et al. (1980): (a) representação hiperbólica da curva tensão-deformação; (b) módulo de descarregamento-recarregamento (DUNCAN et al., 1980)

O módulo elástico inicial é expresso por:

n a 3 a i P 6 K.P E     = (3.18)

sendo:

Pa – pressão atmosférica; σ3 – tensão de confinamento.

O módulo elástico tangente – inclinação da curva tensão-deformação em um determinado instante – é fornecido pela equação:

Et = Ei.(1 - Rf.SL)2 (3.19)

em que: o nível de tensões atingido, SL; a relação de ruptura, Rf; a tensão desvio na ruptura – para o mesmo valor de tensão confinante – (σ1 – σ3)rup, são definidas pelas seguintes equações:

SL = σ1 – σ3 (3.20) (σ1 – σ3)rup

Rf = (σ1 – σ3)rup (3.21) (σ1 – σ3)ult

(σ1 – σ3)rup = 2.c.cosφ + 2.σ3.senφ (3.22)

1− senφ

Substituindo as equações (3.20), (3.21) e (3.22) em (3.19), tem-se:

Et = K.Pa . σ3 n . 1 – Rf .(1 – senφ).(σ1 – σ3) 2 (3.23) Pa 2.c.cosφ + 2.σ3.senφ

O módulo elástico descarregamento-recarregamento, indicado na figura 3.5(b), é definido pela expressão:

n a 3 a ur ur P . P . K E     = σ (3.24)

Expressa-se o módulo volumétrico por:

m a 3 a b P . P . K B     = σ (3.25)

Em relação ao módulo volumétrico, na versão modificada por SEED e DUNCAN (1984), foi fixado um valor para o limite inferior deste, visando fixar, também, um limite inferior para o coeficiente de Poisson, ν, sendo esses determinados por (ITURRI, 1996):     φ φ       = sen sen -2 . 3 E B t min (3.26) o o min K 1 K + ≥ ν (3.27) sendo: Ko = 1 – senφ .

O coeficiente de Poisson e o módulo volumétrico são relacionados pela seguinte expressão: 6.B E -3.B _t = ν (3.28)

ITURRI (1996) relata que, segundo SEED e DUNCAN (1984), esses limites inferiores foram fixados, a fim de evitar a possível subestimação das tensões horizontais, em elementos de solos submetidos às baixas tensões.

De acordo com ITURRI (1996), o modelo, modificado por SEED e DUNCAN (1984), diferencia o carregamento primário – carregamento correspondente ao nível de tensões igual ou superior aos atuantes anteriormente – do descarregamento-recarregamento, eliminando a descontinuidade existente no ponto de transição do módulo elástico tangente – correspondente ao carregamento primário, Et – para o módulo elástico descarregamento-recarregamento, Eur, promovendo uma transição linear entre esses.

Desse modo, definem-se as seguintes expressões:

4 a 3 P . SL SS= σ (3.29) 4 a 3 past max crit P SS SL σ = (3.30)

nas quais:

SS – estado de tensões;

SSmax past – estado de tensões em que o carregamento primário se inicia;

SLcrit – nível de tensões no qual o carregamento primário se inicia para uma dada tensão de confinamento σ3.

Assim, o módulo elástico, na versão modificada, é definido com base nas seguintes considerações:

1. Se SL 798: crit, Et é calculado através da equação (3.19);

2. Se SL ;=<?>A@ BDCFE.GH crit, Eur é calculado através da equação (3.24);

3. Se (3/4).SLcrit < SL < SLcrit, o módulo é calculado através de uma interpolação linear entre os valores dos módulos Eur, para (3/4).SLcrit, e Et, para SLcrit.

A figura 3.6 ilustra a definição do módulo elástico para a versão modificada.

Nível de tensão (SL) (a) M ód ulo E Módulo Et Módulo Eur SLmax past

Carregamento primário _{Carregamento primário}

crit 3/4SL ur Módulo E t Módulo E M ód u lo E (b) Nível de tensão (SL) SLcrit (Para um dadoσ3)

As relações hiperbólicas, para tensão-deformação, foram desenvolvidas – segundo DUNCAN et al. (1980) – para serem usadas em análises incrementais de comportamento não linear do solo. Podendo ser, dessa forma, empregadas nos métodos de elementos finitos em análises de tensões e movimentações de solos.

Figura 3.6 – Definição do módulo elástico na versão modificada (SEED e DUNCAN, 1984 apud ITURRI, 1996)