Aula_03.ppt

(1)

MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 3

PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc.

(2)

(3)

Aula 3

Análise Combina

Análise Combinatória e

tória e

T

(4)

Conteúdo

·Conceitos

de

Permutações,

Arranjos

e

·Conceitos

de

Permutações,

Arranjos

e

Combinações.

·Teorema Binomial utilizando os coeficientes

binomiais.

·O Triânulo de Pascal como uma ferramenta

adicional facilitadora da utilizaç!o do Teorema

Binomial.

(5)

Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial

"ntroduç!o

Análise combinatória Análise combinatória

(6)

Princ+io -undamental da Contaem

Exemplo

Exemplo: Um número de telefone é uma se!"ncia de # d$%itos& mas o primeiro d$%ito de'e ser diferente de ( ou )* +uantos números de telefone distintos existem,

(7)

ara cada d$%ito temos a possibilidade de )( números& com exce./o do )0& onde só poder/o existir # números:

1 1 1 1 2 1 1 1 1 #*)(*)(*)( 2 )(*)(*)(*)( Assim: #* )(***)(  #*)(4

(8)

6e um determinado e'ento ocorre em 'árias etapas sucessi'as e independentes& onde:

) é o número de possibilidades de ocorrer a )7 etapa& ) é o número de possibilidades de ocorrer a )7 etapa&

8 o número de possibilidades de ocorrer a 87 etapa& 8 o número de possibilidades de ocorrer a 87 etapa&

3 o número de possibilidades de ocorrer a 37 etapa&3 o número de possibilidades de ocorrer a 37 etapa&

(9)

9 número total de possibilidades de ocorrer esse e'ento é dado por

  ) * 8 *3 *  * n   ) * 8 *3 *  * n

(10)

A##A)O '"&P$%'

;ado um con<unto com n elementos distintos& c=ama-se ;ado um con<unto com n elementos distintos& c=ama-se arran<o dos n elementos& tomados p a p& a ualuer se!"ncia arran<o dos n elementos& tomados p a p& a ualuer se!"ncia

ordenada de p elementos distintos& escol=idos entre os n ordenada de p elementos distintos& escol=idos entre os n

existentes* existentes*

(11)

A##A)O '"&P$%'

Temos um Arran<o uando os a%rupamentos conse%uidos Temos um Arran<o uando os a%rupamentos conse%uidos ficam diferentes ao se in'erter a posi./o dos seus elementos* ficam diferentes ao se in'erter a posi./o dos seus elementos*

(12)

A##A)O '"&P$%'

Exemplo: 6e& por exemplo& de um %rupo de oito >#? pessoas& Exemplo: 6e& por exemplo& de um %rupo de oito >#? pessoas&

de'emos dispor cinco >@? delas em fila* ;e uantos modos de'emos dispor cinco >@? delas em fila* ;e uantos modos

podemos reali5ar tal processo, podemos reali5ar tal processo,

         

# x 4 x  x @ x  # x 4 x  x @ x 

(13)

A##A)O '"&P$%'

9bteremos # x 4 x  x @ x   48( possibilidades de filas com cinco pessoas

      48(       48(

# x 4 x  x @ x  # x 4 x  x @ x 

#eresentaç!o: A_#&@ ou A#

@.D Arran<o # elementos tomados @

(14)

A##A)O '"&P$%'

odemos fa5er o cálculo do arran<o utili5ando os conceitos de fatora./o: A_#&@ # x 4 x  x @ x  # x 4 x  x @ x   A_#&@  )! 5 8 ( ! 8  6720 4 . 5 . 6 . 7 . 8 2 . 3 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8

_

(15)

A##A)O '"&P$%'

;e maneira %eral& temos ue um arran<o de n elementos tomados de  a  é i%ual a:

)!

(

!

,

p

n

A

_n _p





(16)

A##A)O '"&P$%'

Exemplo: +uantos números de tr"s d$%itos distintos escol=idos entre )& 8& 3& & @&  e 4& podemos formar,

(17)

A##A)O '"&P$%'

Fsto si%nifica ue temos um arran<o de 4 elementos tomados de 3 a 3* Assim&

)!

(

!

,

p

n

A

_n _p





210

5 .

6 .

7 !

4 !

4 .

5 .

6 .

7 )!

3

7 (

!

7

3 , 7



_



A

(18)

A##A)O '"&P$%'

Exemplo: Um %rupo de pessoas é formado por cinco =omens e tr"s mul=eres* ;ese<a-se

formar filas com @ dessas pessoas de

modo ue as tr/s mul0eres ocuem semre

as tr/s rimeiras osições* Assim& de todas as filas poss$'eis& uantas obedecem

(19)

A##A)O '"&P$%'

Gul=eres: arran<o de tr"s mul=eres tomado de 3 a 3*

OB'1 23 4 5

6

1 .

2 .

3 !

!

0

3 )!

3

3 (

!

3

3 , 3



_



A

(20)

A##A)O '"&P$%'

Homens: arran<o de cinco =omens tomado de 8 a 8*

20 !

3 !

3 .

4 .

5 )!

2

5 (

!

5

2 , 5



_



A

(21)

A##A)O '"&P$%'

Possibilidades de Possibilidades de

(22)

Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial A##A)O '"&P$%' Iesposta: Iesposta:   x 8(  )8( filas poss$'eisJ   x 8(  )8( filas poss$'eisJ 3 , 3

A

₅_,₂

(23)

Aula 3 -

Aula 3 - Análise Combinatória Análise Combinatória e Te Teorema Binomialeorema Binomial

P%#&6TA78O '"&P$%' P%#&6TA78O '"&P$%'

ermuta.Kes simples é uma técnica

ermuta.Kes simples é uma técnica combinatória utili5adacombinatória utili5ada

ermuta.Kes simples é uma técnica combinatória utili5ada ermuta.Kes simples é uma técnica combinatória utili5ada uando

uando dese<amos dese<amos contar as contar as possibilidades possibilidades de de forma./o forma./o dede

uando

uando dese<amos codese<amos contar as ntar as possibilidades possibilidades de de forma./o forma./o dede uma fila ou se!"ncia em ue

uma fila ou se!"ncia em ue

uma fila ou se!"ncia em ue n!o 09 reetiç!o den!o 09 reetiç!o den!o 09 reetiç!o den!o 09 reetiç!o de

elementos

elementos e eee todos esses elementos s!o utilizados notodos esses elementos s!o utilizados notodos esses elementos s!o utilizados notodos esses elementos s!o utilizados no

roblema.

roblema. roblema.

(24)

Aula 3 -

P%#&6TA78O '"&P$%' P%#&6TA78O '"&P$%'

Exemplo:

Exemplo: com os al%arismos )& 8 e 3& uantos números de Exemplo: com os al%arismos )& 8 e 3& uantos números de tr"s al%arismos distintos >isto é& sem repeti./o? podemos tr"s al%arismos distintos >isto é& sem repeti./o? podemos formar, formar,   )   ))  )      8  88  8      3  33 3        )))  )      3  33  3      8  88 8        888  8      )  ))  )      3  33 3        888  8      3  33  3      )  )) )        333  3      )  ))  )      8  88 8        333  3      8  88  8      )  )) )   

(25)

Aula 3 -

P%#&6TA78O '"&P$%' P%#&6TA78O '"&P$%'

Como os números n/o podem se repetir: Como os números n/o podem se repetir:

            3x8x)  3x8x)  3x8x)  3x8x)   3 1 8 3 1 8 3 1 8 3 1 8 1 1 ))1 1 ))

(26)

P%#&6TA78O '"&P$%'

odemos entender a permuta./o simples como sendo um caso do arran<o& onde np:

6

1 .

2 .

3 !

!

0

3 )!

3

3 (

!

3

3 , 3



_



A

(27)

P%#&6TA78O '"&P$%'

Lenerali5ando:

Ent/o& a permuta./o simples pode ser representada pela eua./o:

!

1 !

!

0 !

)!

(

!

,

n

A

_n _n







!

n

P

_n



(28)

P%#&6TA78O '"&P$%'

9utro exemplo de conta%em no ual lan.amos m/o da ferramenta permuta./o simples é a conta%em do número de

ana%ramas

ana%ramas ue podem ser formados com al%uma pala'ra*

Ana%rama é um processo de troca de ordem das letras de uma pala'ra com o intuito de formar uma no'a pala'ra >esta pala'ra formada pode ter sentido ou n/o?*

(29)

Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial P%#&6TA78O '"&P$%' Exemplo: A&O# #O&A O#A& &A#O etc*

(30)

P%#&6TA78O '"&P$%'

Como

Como A&O#A&O# possui  letras:possui  letras:

24

1 .

2 .

3 .

4 !

4



P

(31)

P%#&6TA78O '"&P$%'

Exemplo: +uantos ana%ramas podem ser formados com a Exemplo: +uantos ana%ramas podem ser formados com a

pala'ra

pala'ra $":#O$":#O:: @ letras @ letras

anagramas

P

120

1 .

2 .

3 .

4 .

5 !

5



(32)

P%#&6TA78O '"&P$%'

Exemplo: +uantos ana%ramas podem ser formados com a Exemplo: +uantos ana%ramas podem ser formados com a

pala'ra

pala'ra $":#O$":#O come.ando com 'o%al,come.ando com 'o%al,

          9 ou A  letras 9 ou A  letras

48

1 .

2 .

3 .

4 .

2 !

4 .

2 .

2 P

₄



(33)

P%#&6TA78O CO& %$%&%)TO' #%P%T"(O'

6e entre os n elementos de um con<unto& existem a elementos 6e entre os n elementos de um con<unto& existem a elementos

repetidos& b elementos repetidos& c elementos repetidos e repetidos& b elementos repetidos& c elementos repetidos e assim sucessi'amente& o número total de permuta.Kes ue assim sucessi'amente& o número total de permuta.Kes ue

podemos formar é dado por: podemos formar é dado por:

!...

!

...) , , , , (

e

d

c

b

a

n

P

_n a b c d e



(34)

P%#&6TA78O CO& %$%&%)TO' #%P%T"(O'

Exemplo: +uantos ana%ramas podemos formar com a pala'ra Exemplo: +uantos ana%ramas podemos formar com a pala'ra

&"''"''"PP" &"''"''"PP",,

-)) letras no totalM)) letras no totalM -Iepeti.Kes:Iepeti.Kes: N  letras F letras F N  letras 6 letras 6 N 8 letras 8 letras 

650 .

34 !

2 !

4 !

11

) 2 , 4 , 4 ( 11



P

(35)

P%#&6TA78O CO& %$%&%)TO' #%P%T"(O'

Exemplo:

Exemplo: +ual o número de maneiras diferentes de colocar em uma lin=a de um tabuleiro de xadre5 ># posi.Kes? as pe.as brancas >8 torres& 8 ca'alos& 8 bispos& a rain=a e o rei?,

(36)

P%#&6TA78O CO& %$%&%)TO' #%P%T"(O'

# posi.Kes no total Iepeti.Kes: 8 torres& 8 ca'alos& 8 bispos

5040

2 .

2

2 .

3 .

4 .

5 .

6 .

7 .

8 !

2 !

8

) 2 , 2 , 2 ( 8



P

(37)

CO&B")A78O '"&P$%'

Combina./o simples é uma ferramenta combinatória utili5ada Combina./o simples é uma ferramenta combinatória utili5ada

uando dese<amos contar as possibilidades de forma./o de uando dese<amos contar as possibilidades de forma./o de

um sub%rupo de elementos a partir de um %rupo dado um sub%rupo de elementos a partir de um %rupo dado..

'!o as ossibilidades de formaç!o de um subconjunto formado a artir do conjunto dado.

(38)

CO&B")A78O '"&P$%'

A 9I;EOAPQ9 ;96 EREGEOT9& OE6TE CA69& OQ9 TEG A 9I;EOAPQ9 ;96 EREGEOT9& OE6TE CA69& OQ9 TEG

FG9ITSOCFAJ FG9ITSOCFAJ

(39)

CO&B")A78O '"&P$%'

Exemplo: ormar duplas com edro& o/o e Ana: Exemplo: ormar duplas com edro& o/o e Ana:

edro e Ana 

edro e Ana  edro e o/o edro e o/o  o/o e Ana o/o e Ana  Ana e edro

Ana e edro o/o e edroo/o e edro Ana e o/oAna e o/o

'%#8O -O#&A(O' AP%)A' ; (6P$A'3 '%#8O -O#&A(O' AP%)A' ; (6P$A'3

(40)

CO&B")A78O '"&P$%'

A partir de um con<unto com n elementos de'em-se formar um A partir de um con<unto com n elementos de'em-se formar um subcon<unto com p elementos* A uantidade de subcon<untos subcon<unto com p elementos* A uantidade de subcon<untos

é i%ual a: é i%ual a:



















p

n

p

n

p

n

C

_n _p

)

(

!

,

(41)

CO&B")A78O '"&P$%'

Exemplo: ;entre V CdWs distintos ue est/o em oferta em uma Exemplo: ;entre V CdWs distintos ue est/o em oferta em uma lo<a& o/o dese<a escol=er @ para comprar* ;e uantos modos lo<a& o/o dese<a escol=er @ para comprar* ;e uantos modos

diferentes o/o pode escol=er os @ CdWs, diferentes o/o pode escol=er os @ CdWs,

(42)

Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial CO&B")A78O '"&P$%' C(5, C(<, C(;, C(=, C(>, C(?, C(@, C(, C( Possibilidades1 C(5, C(<, C(;, C(=, C(> C(5, C(<, C(;, C(=, C(? C(5, C(<, C(;, C(=, C(@ C(5, C(<, C(;, C(=, C( C(5, C(<, C(;, C(=, C( etc...

(43)

Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial CO&B")A78O '"&P$%' ruo de  C(s ruo de  C(s em conjuntos de > C(s em conjuntos de > C(s )! ( ! ! , p n p n C _n _p





)!

5

9 (

!

5 !

9

5 , 9



_

C

maneiras

C

126 .

1 .

2 .

3 .

4 !

5 !

5 .

6 .

7 .

8 .

9 !

4 !

5 !

9

5 , 9

















5

9

5 , 9

C

(44)

Coeficientes Binomiais

;ados dois números naturais& n e p& com n X p&

definimos o coeficiente binomial n sobre p& e indicamos por: ou

onde n D dito numerador e p c0amado denominador *













p

n

)! ( ! ! , p n p n C _n _p





(45)

Triânulo de Pascal

9 triYn%ulo de ascal é uma seu"ncia de números binomiais& isto é& inteiros da forma C>n& p?& dispostos em uma tabela em forma de triYn%ulo& como na fi%ura abaixo:

$in0a 2 $in0a 5 $in0a < $in0a ; $in0a = $in0a >

(46)

Oúmeros binomiais em de tabela:

A Zlin=a n[ desta tabela será formada pelos inteiros C>n&p?& onde p 'aria de ( até n*

N $in0a 2& formada apenas pelo C >(&(?  )* N $in0a =:

C E=,2F C E=,5F C E=,<F C E=,;F C E= =F

(47)

Oúmeros binomiais em de tabela:

N Rin=a : C E=,2F C E=,5F C E=,<F C E=,;F C E= =F

G C E=,2F G C E=,;F - C E=,5F G C E=,=F - C E=,<F 1 ! 0 4 ! 0 ! 4 0 4 0 , 4   _        C 4 ! 1 4 ! 1 ! 4 1 4 1 , 4   _        C 6 ! 2 4 ! 2 ! 4 2 4 2 , 4   _        C 4 ! 3 4 ! 3 ! 4 3 4 3 , 4   _        C 1 ! 4 4 ! 4 ! 4 4 4 4 , 4   _        C

(48)

Iepresentando no TriYn%ulo

C E2,2F

C E5,2F C E5,5F

C E<,2F C E<,5F C E<,<F

C E;,2F C E;,5F C E;,<F C E;,;F

C E=,2F C E=,5F C E=,<F C E=,;F C E=,=F

C E>,2F C E>,5F C E>,<F C E>,;F C E>,=F C E>,>F

(49)

Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triânulo de Pascal Iesultado 5 5 5 5 < 5 5 ; ; 5 5 = ? = 5 5 > 52 52 > 5 5 ? 5> <2 5> ? 5

(50)

ropriedade: Em uma mesma lin=a& os coeficientes binomiais euidistantes dos extremos s/o i%uais*

Aplicando a fórmula de combina./o para a lin=a @& por exemplo:       ) @ )( )( @ )       0 5       1 5       2 5       3 5       4 5       5 5

(51)

     

) @ )( )( @ )

Esses coeficientes binomiais s/o complementares e& portanto& i%uaisJ       0 5       1 5       2 5       3 5       4 5       5 5

(52)

A partir da lin=a )& a cada elemento x& com exce./o do primeiro e último& é i%ual \ soma dos dois elementos da cima de anterior: 5 5 5 5 < 5 5 ; ; 5 5 = ? = 5 5 > 52 52 > 5

(53)

Essa propriedade é con=ecida como Relação de Stifel

e pode ser %enerali5ada por:

& nXp Exemplo: H 4 =>                        1 1 1 p n p n p n 45 2 90 1 . 2 ! 8 ! 8 . 9 . 10 ! 2 ! 8 ! 10 8 10 _ _ _ _       9 ! 8 ! 8 . 9 ! 1 ! 8 ! 9 8 9 _ _ _       36 2 72 1 . 2 ! 7 ! 7 . 8 . 9 ! 2 ! 7 ! 9 7 9 _ _ _ _      

(54)

Teorema Binomial

9 teorema binomial fornece uma fórmula para a pot"ncia de um bin]mio& isto é& uma fórmula ue permite calcular diretamente uma express/o do tipo Ea H bFn& onde n é um

inteiro positi'o*

ara n  (  >a ^ b?(  )

ara n  )  >a ^ b?)  a ^ b

ara n  8  >a ^ b?8  a8 ^ 8ab ^ b8

ara n  3  >a ^ b?3  a3 ^ 3 a3b ^ 3ab3 ^ b3

(55)

Teorema Binomial

_ medida ue o expoente n aumenta& o desen'ol'imento do

bin]mio >a+b?n fica mais complexo& podendo ser obtido

multiplicando-se o desen'ol'imento anterior& >a+ b?n-) & por >a

^ b?& isto é:

>a + b?n  >a + b?n-) * >a + b?

Exemplo:

(56)

Teorema Binomial

9s coeficientes de >a^b?n s/o os inteiros ue formam a

lin=a n do triYn%ulo de ascal& ue s/o os números binomiais C>n&p?*

>a ^ b?(  )

>a ^ b?)  )a ^ )b

>a ^ b?8  )a8 ^ 8ab ^ )b8

>a ^ b?3  )a3 ^ 3 a3b ^ 3ab3 ^ )b3

(57)

Teorema Binomial

>a ^ b?(  ) ₅

>a ^ b?)  )a ^ )b 5 5

>a ^ b?8  )a8 ^ 8ab ^ )b8 _{5 < 5}

>a ^ b?3  )a3 ^ 3 a3b ^ 3ab3 ^ )b3 5 ; ; 5

(58)

Teorema Binomial

órmula do teorema binomial:

k k n n o k n

b

a

k

n

b

a

)

.

(

 



_















(59)

Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial Exemplo: Ea H bF> 4 I N Aplicando a fórmula: k k n n o k n b a k n b a ) . . (  



_





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(60)

Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial - )0 termo:  )*a@*)  a@ - 80 termo:  @*a*b - 30 termo:  )(*a3*b8 - 0 termo:  )(*a8*b3 - @0 termo:  @*a)*b - 0 termo:  @*a(*b@  @b@ k k n n o k n b a k n b a ) . . (  

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(61)

N Iesultado:

Ea H bF> 4

(62)

NExemplo: (esenJolJer E;KH<F= usando o teorema

binomial. E;KH<F= 4 >3x? ^ *>3x?3*8 ^ *>3x?8*88 ^ *>3x?)*83 ^ )*>3x?(*8  #)x ^ *>84x?3*8 ^ *>Vx?8* ^ *>3x?)*# ^ )*>3x?(*)  5K= H <5?K; H <5?K< H ?K H 5?                                    ₄_₀ ₀ ₄_₁ ₁ ₄_₂ ₂ ₄_₃ ₃ ₄_₄ ₄ 2 . ) 3 .( 4 4 2 . ) 3 .( 3 4 2 . ) 3 .( 2 4 2 . ) 3 .( 1 4 2 . ) 3 .( 0 4 x x x x x