LEITURA GRÁFICA
____________________________________________________________________________ O que queremos com a LEITURA DE UM GRÁFICO?
O nosso objetivo, quando temos o gráfico de uma função, é ver se é possível encontrar:
domínio, imagem, pontos do domínio onde 𝒇 (𝒙) > 𝑎 ou 𝒇 (𝒙) < 𝑏 ou 𝒇 (𝒙) = 𝒄,
imagem de um subconjunto do seu domínio através da função 𝒇 e outras informações.
Os exemplos a seguir, mostrarão através de gráficos, uma forma de encontrar essas informações. Mas fique tranquilo, uma vez compreendido esse processo, não será preciso repetir todos os passos quando for pedido que vocês façam um exercício desse tipo.
LEITURA GRÁFICA:
DOMÍNIO E IMAGEM
Leitura gráfica: domínio e image
Como saber se um número real 𝒂 pertence ao domínio
de uma função 𝑓 ?
O número real 𝑎 pertence ao domínio de uma função f se a reta
vertical 𝑥 = 𝑎 corta o gráfico de f em um ponto (único).
Como saber se um número real 𝒃 pertence à
imagem de uma função
f?
O número real 𝑏 pertence à imagem de uma função f se a reta
Assim, (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑓(𝑎)) se a reta vertical 𝑥 = 𝑎 e a reta
horizontal 𝑦 = 𝑏 se cruzam num ponto sobre o gráfico da função
𝑦 = 𝑓(𝑥) e assim,
𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) e 𝑏 ∈ 𝐼𝑚(𝑓)
DOMÍNIO:
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o gráfico no eixo 𝒙.
Nos exemplos a seguir damos o gráfico de uma função e buscamos através dele o domínio dessa função.
(1) Gráfico da função 𝒚 = 𝒇(𝒙)
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒙, vemos que o domínio da função f é o intervalo no eixo 𝑥 indicado na figura em vermelho.
Seu domínio é o intervalo fechado [−𝟏 , 𝟒].
𝑫𝒐𝒎(𝒇) = [−𝟏 , 𝟒].
---
Preste atenção na convenção: só não fazem parte de um gráfico os pontos indicados com "bolinha vazia”.
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒙, vemos que o domínio da função 𝒈 é o conjunto no eixo 𝑥
indicado na figura em vermelho.
Seu domínio é a seguinte união de intervalos disjuntos [−𝟕𝟐 , 𝟏) ∪ (𝟏 , 𝟓]. 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = [−𝟕𝟐 , 𝟏) ∪ (𝟏 , 𝟓].
--- (3) Gráfico da função 𝒚 = 𝒉(𝒙)
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒙, vemos que o domínio da função 𝒉 é o conjunto no eixo 𝑥
indicado na figura em vermelho.
Seu domínio é a seguinte união de intervalos disjuntos [−𝟕𝟐 , 𝟏) ∪ (𝟐 , 𝟔]. 𝑫𝒐𝒎(𝒉) = [−𝟕𝟐 , 𝟏) ∪ (𝟐 , 𝟔] .
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IMAGEM:
Dado um gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu gráfico no eixo 𝒚.
Nos exemplos a seguir damos o gráfico de uma função e buscamos através dele a imagem dessa função.
(1) Gráfico da função 𝒚 = 𝒇(𝒙)
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒚, vemos que a imagem da função f é o intervalo fechado no eixo 𝑦 indicado na figura em vermelho.
Sua imagem é o intervalo fechado [−𝟗𝟒 ,𝟑𝟕𝟏𝟐 ]. 𝑰𝒎(𝒇) = [−𝟗𝟒 ,𝟑𝟕𝟏𝟐 ].
--- (2) Gráfico da função 𝒚 = 𝒈(𝒙)
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒚, vemos que a imagem da função 𝒈 é o intervalo no eixo 𝑦
indicado na figura em vermelho.
Sua imagem é o intervalo (−𝟐, 𝟓, 𝟐𝟓]. 𝑰𝒎(𝒈) = (−𝟐 , 𝟓, 𝟐𝟓].
(3) Gráfico da função 𝒚 = 𝒉(𝒙)
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒚, vemos que a imagem da função 𝒉 é o intervalo no eixo 𝑦
indicado na figura em vermelho. Sua imagem é o intervalo (−𝟐 , 𝟓, 𝟐𝟓]. 𝑰𝒎(𝒉) = (−𝟐 , 𝟓, 𝟐𝟓].
OBSERVE que as funções 𝒚 = 𝒈(𝒙) e 𝒚 = 𝒉(𝒙) têm domínios diferentes, mas têm a mesma imagem.
𝑫𝒐𝒎(𝒈) = [−𝟕𝟐 , 𝟏) ∪ (𝟏 , 𝟓] 𝑫𝒐𝒎(𝒉) = [−𝟕𝟐 , 𝟏) ∪ (𝟐 , 𝟔] 𝑰𝒎(𝒈) = (−𝟐 , 𝟓, 𝟐𝟓] 𝑰𝒎(𝒉) = (−𝟐 , 𝟓, 𝟐𝟓].
Seria interessante voltar aos gráficos e observar porque isso acontece.
Qual é o domínio e a imagem da função 𝑔 cujo
gráfico é dado ao lado?
Como nesse exemplo não temos informações completas sobre a função 𝑔 , não podemos responder qual é o domínio e a imagem dessa função.
COMO ENCONTRAR OS SEGUINTES CONJUNTOS:
(a) 𝑨 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) < 𝑏 } e 𝑩 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) ≤ 𝒃 }
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐴 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está abaixo da reta horizontal 𝑦 = 𝑏, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥.
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐵 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está abaixo e sobre a reta horizontal 𝑦 = 𝑏, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥.
(b) 𝐴 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) > 𝑎 } e 𝑩 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) ≥ 𝒂 }
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐴 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está acima da reta horizontal 𝑦 = 𝑎, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥.
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐵 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está acima e sobre a reta horizontal 𝑦 = 𝑎, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥.
(c) 𝑨 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒂 < 𝑓(𝒙) < 𝑏 } e 𝑩 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒂 ≤ 𝒇(𝒙) ≤ 𝒃 }
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐴 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está entre as retas horizontais 𝑦 = 𝑎 e 𝑦 = 𝑏 , e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥.
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐵 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está entre e sobre as retas horizontais 𝑦 = 𝑎 e 𝑦 = 𝑏, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥.
EXEMPLOS:
(1) Dado o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥),
encontre o conjunto {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 0 }
Abaixo esboçamos a parte do gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥), que está acima da reta horizontal 𝒚 = 𝟎 , eixo 𝒙.
Em vermelho está aprojeção no eixo𝒙 da parte do gráfico que está acima da reta horizontal 𝒚 = 𝟎 , eixo 𝒙.
Logo, {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 0 } = [−1 , 0) ∪ (0 , 1,6) ∪ (3,7 , 4] .
(2) Dado o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥),
encontre o conjunto {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ −1 ≤ ℎ(𝑥) ≤ 3 }
Ao lado esboçamos a parte do gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥), que está entre e sobre as
retas horizontais 𝒚 = −𝟏 e 𝒚 = 𝟑.
Em vermelho, está a projeção no eixo𝒙 da parte do gráfico que está entre e sobre as retas horizontais
𝒚 = −𝟏 e 𝒚 = −𝟑 .
Logo, {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(ℎ) ∶ −1 ≤ ℎ(𝑥) ≤ 3 } = [−3 , 1) ∪ [2,6 , 5,3]
Seja 𝑓 ∶ 𝐴 ↦ 𝐵 uma função cujo domínio é o conjunto 𝐴 ⊂ ℝ .
Seja 𝐷 ⊂ 𝐴, um subconjunto do domínio da função 𝑓 .
Queremos saber:
QUAL É A IMAGEM DO CONJUNTO 𝑫 PELA FUNÇÃO 𝒇?
O que isso quer dizer? Queremos saber qual é o seguinte conjunto: { 𝒇(𝒙) ∶ 𝒙 ∈ 𝑫 ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) } .
Podemos denotar esse conjunto por 𝒇(𝑫) Portanto, podemos dizer que
EXEMPLO:
(1) Dado o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) e o intervalo [𝟏 , 𝟑] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇),
encontre a imagem de [𝟏 , 𝟑] pela função 𝑓, ou seja encontre 𝒇([𝟏 , 𝟑]).
Em verde está o intervalo [𝟏 , 𝟑] do eixo 𝒙 contido no domínio da função 𝒇 .
Parte do gráfico da função restrita ao intervalo
[𝟏 , 𝟑] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) , no eixo 𝒙
Projeção (em vermelho) no eixo 𝒚 da parte do gráfico da função 𝒇 restrita ao intervalo [𝟏 , 𝟑] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) .
Logo, 𝑰𝒎 ( [𝟏 , 𝟑] ) = [ −𝟗𝟒 ,𝟏𝟐𝟓 ]
Seja 𝑓 ∶ 𝐴 ↦ 𝐵 uma função cujo domínio é o conjunto 𝐴 ⊂ ℝ .
Seja 𝐸 ⊂ 𝐵, um subconjunto da imagem da função 𝑓 .
Queremos saber qual é o seguinte subconjunto do domínio da função 𝒇
EXEMPLO:
Em verde está o intervalo [−𝟐𝟑 ,𝟏𝟐𝟓] do eixo 𝒚 contido na imagem da função 𝒇 .
Parte do gráfico da função restrita ao Intervalo [−𝟐𝟑 ,𝟏𝟐𝟓] ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) no eixo 𝒚
Projeção (em vermelho) da parte do gráfico da função restrita ao intervalo
[−𝟎, 𝟒 , 𝟐] ∪ [𝟑, 𝟔 , 𝟑, 𝟖] sobre o eixo 𝒙. Logo, { 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) ∈ [−𝟐 𝟑 , 𝟓 𝟏𝟐] ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) } = [−𝟎, 𝟒 , 𝟐] ∪ [𝟑, 𝟔 , 𝟑, 𝟖] ---
E agora, aos exercícios:
Exercício 1: Encontre uma lei de formação (fórmula) para cada uma das funções cujos gráficos estão
abaixo.
a) 𝒚 = 𝒇(𝒙)
b) 𝒚 = 𝒈(𝒙)
Exercício 2: Dado o gráfico da função yf ( x) ao lado:
a) Obtenha os valores de f(1), f(3), f(0);
b) Estime o valor de f(2);
OBSERVAÇÃO: estimar significa apresentar um valor aproximado ou um pequeno intervalo que contém o valor procurado.
c) Encontre os valores de x para os quais f(x)2;
d) Obtenha o domínio e a imagem de f.
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Exercício 3:
Dado o gráfico das funções yf ( x), yg( x) e )
( x h y
no mesmo par de eixos, faça o que se pede:
a) Obtenha os valores de f (2), g(2), h(2);
b) Para quais valores de x temos f(x) g(x)?
c) Obtenha o domínio e a imagem de f ;
d) Obtenha o domínio e a imagem de g ;
e) Para quais valores de x f(x) g(x) ;
f) Para quais valores de x h(x) f(x) ;
g) Sabendo-se que o gráfico da função ℎ (em verde) é um segmento de reta, dê o seu domínio, a sua imagem e a sua lei de formação.
_____________________________________________________________________________________ Exercício 4: Dado o gráfico da função yf( x) (em azul)e da funçãoyg( x) (em vermelho) no mesmo par de eixos e sabendo-se que em vermelho e em azul estão desenhados segmentos de reta, faça o que se pede:
a) Dê uma lei de formação de cada função; b) Obtenha o domínio e imagem de cada função; c) Para quais valores de x temos f(x) g(x)?
d) Para quais valores de x temos f(x) g(x) ;
e) Para quais valores de x temos f(x)g(x) ;
f) Encontre a solução da equação f (x)1
Exercício 4: Dado o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , encontre: (a) Domínio de 𝑓 : 𝐷𝑜𝑚(𝑓) (b) Imagem de 𝑓 : 𝐼𝑚(𝑓) ;
(c) 𝐷 = { 𝑓(𝑥) ∶ 𝑥 ∈ [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) } = 𝑓( [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ); (d) 𝐸 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) ∈ [−3 , 2) } (e) 𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) = 3 } ; (f) 𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 3 } .
__________________________________________________________________________________ Bom trabalho!
