PA DEFINIÇÃO E TERMO GERAL

PA – DEFINIÇÃO E TERMO GERAL

EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA

1. (PUC-MG) Três números naturais, a, b e c, estão nessa ordem, em progressão aritmética de razão 2. Se a² + b² - c² = 0, a soma a + b + c é igual a: a) 12 b) 18 c) 24 d) 32 e) 36

2. (FAAP-SP) As medidas dos ângulos internos de um triângulo, em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior desses ângulos é o dobro da medida do menor. O maior ângulo interno desse triângulo mede:

a) 68° b) 72° c) 76° d) 80° e) 82°

3. (VUNESP) Num laboratório foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte sequência de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos.

Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1 hora era de:

a) 241. b) 238.

c) 237. d) 233.

e) 232.

4. Em cada região especificada pela Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel), as frequências das emissoras de rádio FM devem variar de 87,9 a 107,9 MHz, e a diferença entre duas frequências consecutivas deve ser 0,2 MHz. O numero máximo de emissoras FM que podem funcionar em uma mesma região pela Anatel é:

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5. Considere que na é o termo geral de uma progressão aritmética de razão 5 e primeiro termo 8. Podemos afirmar que a

representação gráfica dos pontos (n, na) no plano cartesiano, com n  ℕ*, está contida no gráfico da função afim:

a) y = 3 + 5x b) y = 8 + 5x c) y = 3 + 5x2 d) y = 8 . 5x e) y = 8 . log (x + 9) 6. O termo médio da PA (a1, a2, a3, ..., a49) é: a) a23 b) a24 c) a25 d) a26 e) a27

7. (UFAM) Na PA ( ) , o n-ésimo termo é igual a:

a) b) c) d) e)

8. (UFSCar-SP) Uma função ⨍ é definida recurisivamente como ⨍( ) ⨍( ) Sendo ⨍(1)=5, o valor de ⨍(101) é

a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65

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9. Existem infinitos números inteiros que resultam da soma de tres números inteiros consecutivos; por exemplo, o numero 99 é resultado da soma de 32 + 33 + 34. Considere todos os números inteiros n, com 3 ≤ n < 1000, que resultam da soma de tres números inteiros consecutivos. Quantos são esses números ?

a) 333 b) 334 c) 335 d) 336 e) 337

10. O termo médio da PA (a1, a2, a3, ..., an), com n ímpar, é ak. Então:

a)

b)

c)

d)

e)

11. (VUNESP) Em 05 de junho de 2008, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir dai, o número de fregueses que passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, ate que atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O numero de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado da inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez, foi:

a) 15 b) 16

c) 17 d) 18

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12. (UFAL) Um atleta fez vários lançamentos de dardo e um fato interessante foi que a cada vez a distância alcançada pelo dardo aumentou 2 cm. Se ele fez 30 lançamentos e o alcance do último deles foi 15 m, quantos metros foram alcançados no terceiro lançamento? a) 14,40 b) 14,44 c) 14,46 d) 14,52 e) 14,54

13. (UNIRIO-RJ) A figura abaixo foi publicada em jornal de grande circulação, terça-feira, 25 de setembro. Trata da previsão da altura das ondas no Rio de Janeiro para os três próximos dias, que representa uma progressão aritmética decrescente.

Analisando esta figura, um surfista ficou imaginando a possibilidade de ocorrência de ondas gigantescas. Se isso fosse possível, considerando esta mesma progressão, qual teria sido a altura das ondas no dia 01 de setembro do mesmo ano?

a) 14,5 m b) 15,0 m c) 15,5 m d) 16,0 m e) 16,5 m

14. (UFG-GO) Uma indústria consome mensalmente 150 m3 de um certo reagente. Uma unidade dessa indústria passou a produzir esse reagente e, no primeiro mês de produção, produziu 10% do seu consumo mensal. Se a unidade aumenta a produção do reagente em 3 m3 por mês, quantos meses serão necessários, a partir do início da produção, para que a unidade produza, em um único mês, 70% do volume mensal desse reagente consumido pela indústria?

a) 21

b) 24 c) 28

d) 31 e) 36

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15. (UFSCar-SP) Um determinado corpo celeste é visível da Terra a olho nu de 63 em 63 anos, tendo sido visto pela última vez no ano de 1968. De acordo com o calendário atualmente em uso, o primeiro ano da Era Cristã em que esse corpo celeste esteve visível a olho nu da Terra foi no ano:

a) 15

b) 19 c) 23 d) 27

e) 31

16. (UNIFAL-MG) Uma empresa de entrega de mercadorias possui várias filiais em uma cidade. A fim de maximizar a distribuição, a empresa dividiu a cidade em 305 setores, designando um número natural a cada setor. A tabela abaixo mostra parte do quadro de distribuição de uma das filiais desta empresa, sendo que os demais setores seguem a forma de distribuição apresentada.

O dia da semana em que essa filial atenderá o setor 275 é:

a) sábado. b) quinta.

c) segunda. d) sexta.

e) quarta.

17. (PUC-PR) Há dois tipos de anos bissextos: os que são múltiplos de 4, mas não de 100, e os que são múltiplos de 400. O número de anos bissextos que o século XXI irá ter é:

a) 23.

b) 24. c) 25.

d) 26. e) 27.

PROPRIEDADES E SOMA DOS TERMOS DE UMA PA

EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA

18. Com o objetivo de melhorar a iluminação de um ambiente, um arquiteto projetou parte de uma parede com 820 tijolos de vidro. Esses tijolos devem ser dispostos na forma de um triângulo, de modo que, a partir da segunda fileira, cada tijolo se apoie sobre dois tijolos da fileira inferior até a última, que terá apenas um tijolo, conforme a figura que apresenta as três últimas fileiras.

O número de tijolos da primeira fileira deve ser: a) 35

b) 38 c) 40 d) 45 e) 50

19. (FGV) A soma de todos os inteiros entre 50 e 350 que possuem o algarismo das unidades igual a 1 é: a) 4.566

b) 4.877 c) 5.208 d) 5.539 e) 5.880

20. (UFC-CE) A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150. O 8º termo dessa PA é: a) 10

b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

21. (UNIFESP) “Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos equiláteros. É conveniente definir 1 como o primeiro número triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares.

Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. Dado que Tn satisfaz a relação

PROPRIEDADES E SOMA DOS TERMOS DE UMA PA

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a) 5.050 b) 4.950 c) 2.187 d) 1.458 e) 729

22. (OBM) O triângulo equilátero T a seguir tem lado 1. Juntando triângulos congruentes a esse, podemos formar outros triângulos equiláteros maiores, conforme indicado no desenho abaixo.

Qual é a medida do lado do triângulo equilátero formado por 49 dos triângulos T. a) 7

b) 49 c) 13 d) 21

e) É impossível formar um triângulo equilátero com esse número de triângulos T.

23. (UESPI) Do dia primeiro ao dia vinte e um de junho do ano passado, o número de pessoas com gripe socorridas num posto médico aumentou segundo uma progressão aritmética. Só nos 10 primeiros dias do mês, 290 pessoas gripadas foram atendidas e, no dia vinte e um, o número de atendimentos diário alcançou seu valor máximo de 91 pacientes gripados. Entretanto, no dia vinte e dois, o número de atendimentos diminuiu de 10 pacientes gripados em relação ao dia anterior e, dessa forma, prosseguiu a diminuição diária dos atendimentos de pacientes gripados, até o final de junho. Nessas condições, é correto afirmar que o total de pacientes com gripe que foram atendidos nesse posto médico, durante todo o mês de junho, foi de:

a) 1.220 b) 1.440 c) 1.520 d) 1.560 e) 1.660

24. (UNIFESP) Uma pessoa resolveu fazer sua caminhada matinal passando a percorrer, a cada dia, 100 metros mais do que no dia anterior. Ao completar o 21° dia de caminhada, observou ter percorrido, nesse dia, 6.000 metros. A distância total percorrida nos 21 dias foi de:

a) 125.500 m b) 105.000 m c) 90.000 m d) 87.500 m e) 80.000 m

GABARITO

1.

C

PA (a,b,c) como a razão é 2, podemos escrever a progressão em função de qualquer um dos termos. Pra facilitar os cálculos escolha o termo central e escreva a sequência de forma simétrica (b – 2, b, b + 2).

Como ver a relação a2 0b2 c2  . Basta substituir.



_{b 2 2 0}



2 _{ b}2 _



_{b }



2 _





2 _{4 4} 2 2 _{4 4 0} b  b   b  b  b   2 _{4 4} b  b  _b 2 _b 2 _{4 4 b  0} 2 8 0 b  b 





0 8 0 8 b b b b     

Note que temos duas possibilidades: 1. (-2, 0, 2)

2. (6, 8, 10)

Como o enunciado afirma que a sequência é de números naturais, devemos excluir a 1ª sequência. Dessa forma: a = 6, b= 8 e c = 10.

a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24.

2.

D

Considere três valores em P.A.

( x – R, x, x + R) Utilizando essa forma simétrica, otimizaremos nossos cálculos. Por se tratar de ângulos de um triângulo conhecemos a soma. x  R  x x  R 180 3 180x  60 x 

A medida do maior ângulo é o dobro da medida do menor.





2 x  R  n R





60 2 60  R   R 60 120 2  R   R 3 60R  20R 

3.

C

1, 5, 9, 13...

Fácil notar que trata-se de uma P.A de razão 4. Ao final de uma hora, como temos termos que representam a população a cada minuto, calcularemos o termo de posição 60. Aplicando o termo geral, temos:

60

59

1

a



a



R

60

1 59 . 4

a





60

1 236

a





60

237

a



4. C O primeiro termo é

a

1

87,9



. O último termo é

a

n

107,9



. A razão da P.A é R 0,2 .

Precisamos descobrir o valor de n. Para isso usaremos o termo geral:

a

_n

1



a

₁





n





R





107,9 87,9 1 0,2





n







107,9 87,9 1 . 0,2





n







20 1 . 0,2



n







200 1 . 2



n





n

1 100







101

n



5. A

Considere que

a

_n é o termo. Representação gráfica dos pontos



,

n a

_n



. Sequência: 8, 13, 18, 23, 28 ...

Pontos perdidos: (1, 8) ; (2, 13) ; (3, 18) ; (4, 23) ...

Observe que a relação pedida é entre

n

e

a

n. Podemos utilizar o termo geral.





1

1 .

n

a



a



n



R

como

a

₁

8



e

5

R



, temos:





8 1 . 5

n

a





n



8 5 5

n

a





n



3 5

n

a





n

Como o ponto é da forma



n a

,

n



, temos que substituir n por x e

a

n por y. Dessa forma vem:

3 5

y





x

6. C

Termo médio é o termo que ocupa a posição central. Na sequência



a1, ... a2 a49



temos 49 termos. Note que retirando o termo central restam 48 termos, 24 antecedem o termo central.

Logo o termo central é o 25º.

Uma forma simples de encontrar a posição central entre os termos a₁ e a₄₉ é: 1 49 25 2

 _

7. B

Para encontrar o milésimo termo basta aplicarmos a formula do termo geral: an 1 .  a₁ 



n 



R. Note que 1 3

2

a  .

Precisamos descobrir a razão, para isso devemos subtrair dois termos consecutivos: a₂  a₁  R.

7 3 7 6 1

4  2  4  4  4  R Aplicando no termo geral, temos:





3 1 3 1 6 1 1 . 2 4 2 4 4 4 4 4 n n n a   n        5 5 4 4 4 n n n a     8. A





5 ( ) 2 1 . (1) 5 5 f n f n    f  Substituindo n = 1, temos:





5 (1) 2 5 . 5 2 27 1 1 (2) 5 5 5 f f     f    Substituindo n = 2, temos:





5 (2) 2 5 2 1 (3) 5 f f     f  27 . 5 2 29 5 5   Substituindo n = 3, temos:





5 (3) 2 5 3 1 (4) 5 f f     f  29 . 5 2 31 5 5  

Note que essa sequência é um P.A, onde o primeiro termo é o 5 e a razão é 2 5. Para encontrar o 101º termo, utilizamos o termo geral.

1 2 n k   1 999 100 a  R 101 1 2 100 . 5 f  f  101 200 5 5 40 5 f     101 45 f 

9. A

Como n varia de 3 até 999, temos as seguintes somas: 1º) 0 + 1 + 2 = 3

2º) 1 + 2 + 3 = 6 3º) 2 + 3 + 4 = 9

nº) 332 + 333 + 334 = 999

A sequência dos valores de n é (3, 6, 9, ... , 999).

Observe que trata-se de uma P.A, com primeiro termo e razão iguais a 3. 16 n





999 3 1 . 3  n  999 3 3 3 n  999 3  n 999 333 3 n  333 n 10. A

O termo central ocupa a posição que pode ser calculada como média aritmética da posição dos extremos. Termo central: 1 2 n k a a a   Posição central: 1 2 n k   11. B

A quantidade de pessoas de frequentam a pizzaria a cada sábado forma uma P.A. Observe: (40, 46, 52 ... 136)

Considere a₁ 46

pois no enunciado pede-se a exclusão do dia da inauguração e

a_n 136

.





1 1 . n a  a  n  R





136 46 1 . 6  n 





136 46 1 . 6  n  90 1 . 6



n 



15 1 n  16 n

12. C

Sabemos que o último lançamento alcançou 15 metros, ainda 1500 cm. A razão é 2 cm. Aplicando a fórmula geral, temos:





105 15 1 . 3 90 n   





1 . 3 n 1 1 1 1 26 27 25 26 27 25 26 27 30 1 31 105 24 . ( 0,5) 2,5 ( 12) 2,5 12 14,5 2 1, 2,5 2 1, 2,5 2 n n a a a a a a a a a a a a                    1 1 2 3 1 2 3 25 26 27 1 1,524 58 1442 1444 1446 , , , ... , , ... 15 3 105 1968 ( 1)( 63) n n a a a a a a a a a a a R a a n                 0 1968 63 63 0 2031 63 0 2031 2016 0 63 . 32 2016 15 n n n a a          27 1,5

O último lançamento é o de número 30. Logo, temos:





30 1 1 1 1 2 3 30 1 . 1500 29 . 2 1500 58 1442 1444 1446 a a R a a a a a            

Passando para metros: 14,46 m.

13. A

Consideremos todos os dias do mês de setembro como termos da sequência dada: 1, , , ... , 2 3 25 26, ...27

a a a a a a

Observe pela figura que : 25 26 27 2,5 2 1,5 a a a   





25 1 25 1 1 1 1 1 30 1 . 24 2,5 24 . ( 0,5) 2,5 ( 12) 2,5 12 14,5 a a R a a R a a a a               14. D 10% de 150 = 15 70% de 150 = 105 1 15 3 105n a  R a 





1

1 .

n

a



a



n



R





105 15 1 . 3 90 n   





1 . 3 n 30 1 31 n n    15. A

Note que trata-se de uma P.A de razão – 63. Queremos encontrar o primeiro ano da era cristã nessa sequência:

(1968, 1903, ..., an) Sendo que an deve ser positivo.





1

1 .

n

a



a



n



R

1968 ( 1)( 63) 0 1968 63 63 0 2031 63 0 2031 2016 0 63 . 32 n a n n n             2016 15an  

15 é o primeiro ano da era cristã, que este corpo celeste foi visto da terra.

16. B

A semana tem atendimento a 15 setores. Semana 1 → 15

Semana 2 → 30 Semana 3 → 45

Podemos observar uma sequência dos múltiplos de 15. O maior múltiplo de 15 que temos é o 300.

Observe que até a semana 20 temos atendimento a 300 setores. Na semana 21 terá atendimento as 5 faltantes. Basta olhar na tabela que o atendimento será numa quinta.

17. B

Século XXI (de 2001 até 2100)

Neste século o primeiro ano bissexto é 2004.

Note que aumentando 4 anos encontraremos os próximos anos bissextos. a1 = 2004

a2 = 2008

a3 = 2012

PA de razão 4.

an = ?

Qual seria o último ano bissexto?

Observe que 2100 não é bissexto, portanto usaremos o ano 2096.

an = 2096 an = a1 + (n-1).R 2096 = 2004 + (n-1).4 92 = (n-1)4 23 = n-1 n = 24 18. C

Note que os 820 tijolos podem ser contados por fileiras, logo temos: 1 +2 +3 + ... + n = 820. Utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A, vem:

(1 ) . 820 2 (1 ) . 1640 40 n n n n n      DICA:

Caso não visualize o 40 como resposta, resolva a equação do 2º grau.

19. E

A soma pedida é a soma dos termos de uma P.A de razão 10. Observe: 51, 61, 71 ... 341.

O primeiro passo é descobrirmos quantos termos formam essa sequência.

1 ( 1) 341 51 ( 1) . 10 290 ( 1) . 10 29 1 30 n a a n R n n n n           

Após descobrirmos que a sequência possui 30 termos, podemos aplicar a fórmula da soma. 1 1 30 30 ( ) 2 ( ) 30 2 (51 341) 30 392 n n a a n S a a S       30 2 x 196 30 5880 x  20. A

Observe que o oitavo termo é o termo central dessa P.A. (Logo é a média aritmética)

15 8 150 10 15 15 S A    21. A

Observe que T₁ 1, 1 2, 1 2 3, 1 2 3 4 T₂   T₃    T₄     . Queremos descobrir o valor de T₁₀₀ que será dado pela soma:

(1 100) . 100 1 2 3 ... 100 101 . 50 5050 2         22. A

O triângulo T₁ é formado apenas por 1 triângulo. Observe que o T₂ 1 3 4    e o T₃ 1 3 5 9    . Quantos triângulos teríamos no T₇? 7 1 3 5 7 9 11 13 T        (1 13) . 7 14 . 7 7 . 7 49 2 2     23. B 1 ... 2 3 10 290 a  a a  a  1 10 1 10 ( ) . 10 290 58 2 a a a a     

Note que a10 9a1  R, logo a1 ( 9 ) 58 2 9 58 a1  R   a1  R Sabemos que a₂₁ 91 , pelo termo geral temos:

21 1 1 1 20 91 20 91 20 a a R a R a R       

Podemos calcular agora o valor de R, veja: 2 . (91 20 ) 9 58 182 40 9 58 31 124 4 R R R R R R        

Vamos descobrir agora todos os pacientes que foram a clínica até o dia 2ª 21 1 1 1 1 20 91 20 . 4 91 80 11 a a R a a a        1 21 21 21 ( ) . 21 2 (11 91) .21 102 . 21 1071 2 2 a a S S      

A partir do dia 22 temos uma segunda progressão, decrescente com a razão – 10.

1 81 b  (dia 22) 9 81 b b  R (dia 30) 9 9 81 80 1 b b    1 9 9 ( ) . 9 (81 1) . 9 369 2 2 b b S     

Somando os dois momentos, temos:

1071 369 1440  24. B

1, , ..., 2 3 21

a a a a note que nessa progressão a razão é 100.

21 1 21 1 21 1 1 1 20 20 . 100 2000 2000 6000 4000 a a R a a a a a a         

Somando toda a distância percorrida em cada dia, temos:

1 21 21 21 ( ) . 21 2 (4000 6000) .21 10000 . 21 210000 105000 2 2 2 a a S S       