Eletromagnetismo Diamagnetismo

Eletromagnetismo

Diamagnetismo

Introdução

Quando introduzimos um campo magnético num material como, por exemplo, aproximando um ímã, os materiais diamagnéticos reagem de maneira oposta aos materiais ferroelétricos, ou seja, quando próximos de ímãs ou outros materiais magnéticos, eles os repelem e são por eles repelidos.

Esse comportamento ocorre, por exemplo, se existirem elétrons emparelhados nos átomos. Ele ocorre para substâncias que não têm momentos de dipolos magnéticos permanentes. A magnetização do material desaparece quando retiramos o campo magnético externo aplicado ao material. A maior parte dos elementos da tabela periódica é diamagnética. Dentre eles destacamos o ouro, a prata e o cobre. Bismuto e grafite são os materiais que exibem o diamagnetismo de forma mais intensa.

Ao aplicarmos um campo magnético externo a um átomo, seu momento angular total experimentará uma variação. Tendo em vista a relação entre essa grandeza e o momento magnético, podemos prever que haverá, igualmente, uma variação desta última. Sendo

∆



j

a variação do momento angular de um elétron, a variação do momento magnético

∆µ

que lhe corresponde será dada por:

( 1 )

resultando daí uma magnetização, a qual escrevemos como:

( 2 )

Existem duas formas de calcular a variação do momento angular quando introduzimos um campo magnético num material. A primeira forma faz uso da indução. Um campo elétrico resulta da variação do campo magnético quando ele varia do seu valor inicial até o valor final. Essa é a base da teoria de Weber. A segunda forma é aquela que faz uso da precessão do momento angular quando sob a ação de um campo magnético. Essa teoria foi desenvolvida, pela primeira vez, por Langevin.

Figura 1: Materiais diamagnéticos repelem os ímãs

∆

µ = − 









_

 ∆

g e

m

j

2



_

M N

V

=

∆µ

Diamagnetismo de Weber

Consideraremos, a seguir, a variação do momento magnético quando o campo magnético varia com o tempo. Um campo magnético variável induzirá um campo elétrico, que dependerá, igual-mente, do tempo. A seguir, determinaremos a dependência do campo elétrico induzido com função da distância r até o centro do átomo e da taxa pela qual varia o campo magnético.

Admitindo o campo magnético na direção do eixo

z

, podemos fazer uso de argumentos de sime-tria para concluir que o campo elétrico induzido e o campo magnético serão da forma:

( 3 )

Utilizando agora um caminho determinado por uma circunferência de raio

r

e cujo círculo delimitado por ela seja perpendicular ao campo magnético, podemos escrever, pela lei de Faraday:

( 4 )

Para a geometria escolhida acima, e lembrando que agora

dr rd e



= θ



_θ e

dS rdrd k



=

θ



, obteremos [de (...)] a identidade:

( 5 )

Donde concluímos, depois de efetuadas as integrações, que:

( 6 )

E, portanto, o campo elétrico induzido a uma distância

r

do centro do átomo será:

( 7 )







E r t

E r t e

B B t k

( , )

( , )

( )

=

=

ϕ

 

 



Edr

d

dt

B dS

∫

= −

∫∫

⋅

E r t r d

d

dt

B t

rdr d

r

( , )

( )

0 2 0 2 0 π _π

θ

θ

∫

= −



∫

∫







rE r t

d

dt

B t r

( , ) = −



( )











2

2

E r t

r dB t

dt

( , ) = −

( )

2

Um elétron situado a uma distância

r

do núcleo experimentará, devido à existência do campo elétrico induzido, um torque dado por:

( 8 )

Utilizando coordenadas cilíndricas, é fácil perceber que:

( 9 )

Admitiremos que, como no caso do momento angular orbital, o momento angular total só tenha a componente

z

. E, portanto:

( 10 )

Lembrando que a taxa de variação do momento angular total é determinada tão somente pelo torque aplicado:

( 11 )

Resulta de (...), (...) e (...) que:

( 12 )

Assim, ao variarmos o campo B desde o valor zero até um valor

B

, teremos uma variação do momento angular dada pela expressão:

( 13 )

A variação do momento angular implica uma variação do momento magnético do elétron. De () temos: ( 14 )



 

 

τ

_E

= ×

r F

_e

= − ×

er E r t

( , )



 



τ

_E

= −

e E r t re e

( , )

_r

× = −

_ϕ

e r E r t k

( , )

dj

dt

dj

dt

k



_

=

dj

dt





= τ

dj

dt

er dB

dt

=

2

2

Figura 3

∆ =

j er B

2

2

∆ =

µ

−

e

∆ =

−

m

j

e r

m

B

2

4

2 2

Considerando-se que num átomo temos diferentes elétrons, com trajetórias circulares de raio

r

_i, podemos escrever para um átomo como um todo:

( 15 )

No caso de uma substância com N átomos num volume V, a magnetização será dada por:

( 16 )

E, portanto, a susceptibilidade diamagnética será:

( 17 )

onde χ = M/H.

Na teoria quântica devemos substituir os valores clássicos de

r

i2 por valores médios no orbital:

( 18 )

∆ =

−

=

∑

µ

e B

m

r

i i z 2 2 1

4

Figura 4



M N

N e B

m

i

r

i z

= ∆ = −

µ

2

∑

₌ 2 1

4

χ

=

−

µ

0 2

∑

₌ 2 1

4

e N

m

i

r

i z

r

2

_→

r

2

Pode-se, por outro lado, mostrar que:

E, portanto, na teoria quântica podemos escrever a seguinte expressão para a susceptibilidade magnética:

( 19 )

Podemos finalizar a teoria do diamagnetismo fazendo alguns comentários.

O primeiro é que o sinal – acima indica que o material magnético será repelido ao aumentarmos o fluxo do campo elétrico.

O material magnético se comporta como um ímã, que sempre repele um outro ímã (nele se forma um polo de mesmo sinal do ímã próximo).

O segundo comentário é que o diamagnetismo é um fenômeno que está presente em todas as substâncias. No entanto, em algumas delas, o paramagnetismo ou o ferromagnetismo podem (por serem mais intensivos) mascarar esse efeito.

Finalmente, é importante entender que tal efeito não depende da temperatura da substância. Os átomos cuja última camada não é completa não têm momentos de dipolo permanentes. Nesse caso, o diamagnetismo é o único comportamento magnético perceptível. Por isso se diz que os átomos com a última camada completa produzem materiais diamagnéticos.

Paramagnetic Substance χ Diamagnetic Substance χ

Aluminum 2,3 × 10−5 _{Bismuth −1,66 × 10}−5 Calcium 1,9 × 10−5 _{Copper −9,8 × 10}−6 Chromium 2,7 × 10−4 _{Diamond −2,2 × 10}−5 Lithium 2,1 × 10−5 _{Gold −3,6 × 10}−5 Magnesium 1,2 × 10−5 _{Lead −1,7 × 10}−5 Niobium 2,6 × 10−4 _{Mercury −2,9 × 10}−5 Oxygen 2,1 × 10−6 _{Nitrogen −5,0 × 10}−9 Platinum 2,9 × 10−4 _{Silver −2,6 × 10}−5 Tungsten 6,8 × 10−5 _{Silicon −4,2 × 10}−6

χ

=

−

µ

0 2

∑

₌ 2 1

4

e N

m

i

r

i z

Movimento de precessão

Quando um objeto dotado de momento angular

L



está sob a ação de um torque perpendicular a ele, podemos escrever esse torque sob a forma:

( 20 )

onde o vetor

Ω



é aquele para o qual a expressão (000) se aplica. Ele é um vetor que é admitido como constante. Em sendo constante, podemos escolher o eixo

z

de tal forma que ele pode ser escrito como:

( 21 )

Veremos que, sob essas circunstâncias, o momento angular executará um movimento de precessão. Corpos rígidos tendem a executar tais movimentos, desde que a força aplicada sobre o corpo rígido leve a um torque que seja perpendicular ao momento angular. Assim, se o objeto extenso está em movimento de rotação caracterizado pelo valor do seu momento angular, após aplicarmos uma força a ele, o momento angular executará um movimento de precessão. Um exemplo de tal situação é o do giroscópio. É um movimento exibido por um pião, para citar outro exemplo.

  

τ = ×

Ω

L





Ω Ω

=

₀

k

A equação do movimento associado à rotação do corpo rígido é:

( 22 )

Observe-se, em primeiro lugar, que o movimento será tal que o módulo do momento angular se mantém constante e isso porque, de (000), tomando o produto escalar da equação acima por

L



, obtemos:

( 23 )

E, consequentemente, durante o movimento, o módulo do momento angular é constante:

( 24 )

onde

L



₀ é um vetor constante, considerando ser o mesmo daquele antes de aplicar o torque. O produto vetorial

Ω×

 

L

é dado por:

( 25 )

Tendo em vista que o vetor

Ω Ω



=

₀

k



é constante e ao longo do eixo

z

, obtemos:

( 26 )

Donde obtemos três equações para o momento angular, a saber:

( 27 )

dL

dt

L

  

= ×

Ω

 

L dL

dt

dL

dt

⋅

=

1

=

2

0

2





L

2

L

2 0

=

 







Ω

× =

L

(

Ω

y Z

L

−

Ω

Z Y

L i

)

+

(

Ω

Z x

L

−

Ω

x z

L j

)

+

(

Ω

x y

L

−

Ω

y x

L k

)

 





Ω

× = −

L

(

Ω

0

L i

y

)

+

(

Ω

0

L j

x

)

dL

dt

L

dL

dt

L

dL

dt

x y y x z

= −

= −

=

Ω

Ω

0 0

0

onde o ângulo

θ

é um ângulo constante (veja figura). Definimos agora duas grandezas,

L

+ _e

_L

−_{, tais que}

( 28 )

Essa grandezas satisfazem a equações simples, de primeira ordem, as quais escrevemos como:

( 29 )

Uma solução para a primeira equação em (000) é:

( 30 )

onde

L

₀

′ =

L

₀

sen θ

. E a solução (000) satisfaz a equação (000) desde que a frequência

ω

₀ seja tal que:

( 31 )

Assim, tomando a parte real e imaginária de (000), e lembrando sua relação com as componen-tes x e y do momento angular e a definição do ângulo

θ

, obtemos:

( 32 )

A última equação de (000) implica que a componente z do momento angular é constante. Escrevemos:

( 33 )

Assim, vemos que o momento angular descreve um movimento em que a variável

φ

das coorde-nadas esféricas é tal que sua dependência do tempo é dada por:

( 34 )

Ou seja, o momento angular executa um movimento de rotação em torno do eixo

z

como velo-cidade angular

Ω

₀.

L

+

_{= L}

x

+ iL

y

e L

−

= L

x

− iL

y

dL

dt

i L dL

dt

i L

+ + − −

=

Ω

₀

= −

Ω

₀

L

+

_{= ′}

L e

i( t+ ) 0 0 ω δ ω₀ = Ω

L

_x

= −L

₀

senθsen(Ω

₀

t + δ)

L

_y

= −L

₀

senθcos(Ω

₀

t + δ)

L

_z

= L

₀

cosθ

Figura 6

φ(t) = Ω

₀

t + δ

Diamagnetismo de Langevin

A teoria clássica do diagmanetismo foi formulada por Langevin. Ela faz uso do Teorema de Larmor. Na formulação anterior, procura-se ressaltar o efeito da lei de Lenz, a qual estabelece que, quando o fluxo do campo magnético muda num circuito elétrico, forma-se nesse circuito uma corrente induzida de tal forma que ela se oponha à mudança do fluxo.

Na formulação de Langevin, partimos da equação que rege o comportamento da alteração com o tempo do momento angular quando aplicamos ao átomo um campo magnético

B'

. Para um elétron pertencente ao átomo de momento angular total



j

temos:

( 35 )

Lembrando a relação (...), temos que:

( 36 )

A solução da equação acima pode ser mais bem entendida a partir do teorema de Larmor da mecânica clássica.

Aqui recorremos ao sistema mecânico análogo a esse, que é o giroscópio. Sabemos que um dos movimentos possíveis é a precessão. Nesse caso, o momento angular, em módulo, não muda. Muda apenas a sua direção, a qual fica sempre contida num cone. O movimento é periódico e caracterizado por uma frequência angular dada por:

( 37 )

Definimos a velocidade angular de Larmor como

( 38 )

dL

dt

B



  

= = ×

τ µ

dL

dt

ge

m

B L



_{ }

= 





₂



_

 ×

ω

_L

π

L

ge

m

B

T

=

=

2

2





ω

_L

ge

m

B

=

2

Portanto, o momento angular precessiona com a velocidade angular de Larmor dada por (...). Ao movimento de precessão do momento angular total corresponde uma corrente:

( 39 )

Assim, um elétron numa órbita circular de raio

r

adquirirá um momento de dipolo magnético induzido pelo campo magnético, cujo valor é:

( 40 )

resultado esse que é idêntico ao da teoria de Weber.

Em geral,

r

₀ se refere à distância do elétron até um eixo que passa pelo centro do átomo. Assim, escrevemos:

( 41 )

A distância quadrática média de um elétron, no entanto, é dada por:

( 42 )

Para distribuição de cargas eletrônicas no átomo esfericamente simétricas, podemos escrever a igualdade:

( 43 )

Assim, utilizando (...), podemos escrever a expressão (...) em termos do quadrado do vetor de posição. Obtemos:

( 44 )

Todos os materiais exibem o diamagnetismo. Esse efeito é exibido com maior intensidade pelo bismuto.

i

e

T

e

ge B

m

L L L

=

−

=

−

ω

=

−

π

π

2

4

2

∆

µ

_L

=

i r

_L

π

= −

g e B

m

r

2 2 2

4

r

2

₌

x

2

₊

y

2

r

2

₌

x

2

₊

y

2

₊

z

2

x

2

₌

y

2

₌

z

2

χ

_M

µ

_i i z

N e

m

r

= −

=

∑

2 0 2 1

6



O diamagnetismo pode ser mascarado pelo paramagnetismo. Os gases nobres, cujos átomos não têm um momento de dipolo permanente, exibem exclusivamente o diamagnetismo (veja tabela).

Os materiais diamagnéticos perfeitos são os materiais supercondutores. Para tais materiais:

( 45 )

ou seja, o campo magnético em seu interior se anula. A esse efeito dá-se o nome de efeito Meissner.

Medindo a Susceptibilidade

Definimos a susceptibilidade por unidade de volume de um material magnético,

χ

, como a grandeza obtida a partir dos quocientes:

( 46 )

onde

M

é a magnetização do material e

H

é a intensidade do campo magnético.

Substâncias para as quais

χ < 0

são denominadas diamagnéticas enquanto aquelas para as quais

χ > 0

são denominadas paramagnéticas.

A energia magnética por unidade de volume de um material magnético, quando magnetizado, é dada pela expressão:

χ = −1

Tabela: "Magnetic Properties are determined by the position of the Element in the Periodic Table."

( 47 )

As componentes da força por unidade de volume são as componentes de vetor gradiente apli-cadas à densidade de energia. Assim, a componente

χ

da força, devida à magnetização de material, é dada por:

( 48 )

Logo, a partir da determinação da força sobre um espécimen, é possível medir a sua suscep-tibilidade. Esse é o método de Faraday. Para a medida de forças, devemos recorrer a pequenas amostras (pois a força é determinada para um ponto do espaço) e uma microbalança de grande sensibilidade.

No método denominado Gouoy, preparamos uma amostra contida num cilindro longo. Inserimos o cilindro na região onde existe um campo magnético de tal forma que apenas a metade do cilindro esteja sujeita ao campo magnético (a outra metade está fora). Nessas circunstâncias, podemos somar as forças ao longo da amostra. A força total é dada por:

( 49 )

onde

A

é a área da base do cilindro.

U B H

=

⋅

=

H

+

H

 



_

2

0

2

2

2 0 2

µ

χ

µ

F

V

dH

d

χ

χ

_µ

χ

=

2

0 2

F

A dx d

dx

H

AH

χ

χµ

χ

_µ

=

1

∫

=

2

0 2

2

0 2

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Créditos de produção deste ebook.

Créditos

Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).

Autoria: Gil da Costa Marques.

Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.

Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.

Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.

Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.

Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,

Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.