MECÂNICA - ESTÁTICA
Resultantes de
Sistemas de Forças
Cap. 4
Prof Dr.
Cláudio Curotto
Adaptado por:
Prof Dr.
Ronaldo Medeiros-Junior
TC021 - Mecânica Geral I - Estática2
Objetivos
Discutir o conceito de momento de uma força e mostrar
como calcular este momento em duas e três
dimensões.
Fornecer um método para encontrar o momento de
uma força em torno de um eixo específico.
Definir o momento de um binário.
Apresentar métodos para determinar resultantes de
sistemas de forças não concorrentes.
Indicar como reduzir um sistema de cargas distribuidas
em uma força resultante numa posição específica.
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
3
4.7 Sistema Equivalente
Um sistema é equivalente se os
efeitos externos
que
ele produz sobre um corpo são
iguais
aos causados
pelo sistema de forças e momentos de binário original.
Esse método é utilizado para reduzir um sistema de
forças e momentos de binário agindo sobre um corpo
para uma forma
mais simples,
substituindo-o por um
sistema equivalente
, que consiste de uma
força
resultante única
agindo em um ponto específico e um
momento de binário resultante
.
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
4
4.7 Sistema Equivalente
Efeitos externos de um sistema:
se referem ao
movimento de
rotação e translação
do corpo, se
este estiver
livre
para se mover, ou se refere às
forças reativas nos apoios
se o corpo é mantido fixo.
4.7 Sistema Equivalente
(a)
(b)
(c)
4.7 Sistema Equivalente
O
O
A força
F foi movida para O sem modificar seus efeitos externos
sobre o bastão.
Princípio de transmissibilidade
: uma força
F agindo sobre um
corpo (bastão) é um
vetor deslizante
, já que pode ser aplicado
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
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4.7 Sistema Equivalente
Se
F for aplicado
perpendicularmente
ao bastão, podemos
conectar um par de forças
F e –F
iguais e opostas
no ponto O. A
força F agora é aplicada em O, e as outras duas forças,
F em A
e
–F em O forma um
binário
que produz o
momento de binário
M = Fd. Portanto, a força
F pode ser movida de A para O, desde
que
um momento de binário
M esteja incluído para manter um
sitema equivalente
.
Obs.:
como M é um
vetor livre
, ele pode agir em
qualquer ponto
no bastão
.
O
O
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
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4.7 Sistema Equivalente
Ponto O não esta na linha de ação da força:
Força
F está aplicada em A (Fig. a)
OA não passa pela linha de ação de
F
A força
F deve ser movida para O (mantendo
constantes os efeitos externos no corpo)
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
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4.7 Sistema Equivalente
Generalizando
1.
Aplique
+F e –F em O (Fig. b).
2.
+F em A e –F em O criam um binário de momento (M = r x F).
M é um vetor livre ⇒ pode ser aplicado em qualquer ponto P
(Fig. c)
3.
+F em A e –F em O são canceladas
+F está aplicada em O (Fig. c)
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
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4.8 Resultantes de um Sistema de Forças e Momentos
Generalizando
M
1=
r
1x
F
1M
2=
r
2x
F
2M
Cé um vetor livre e pode ser movido para O
F
R= F
1+ F
2M
Ro=
M
C+
M
1+
M
2A primeira equação estabelece que a força resultante do sitema seja
equivalente à soma de todas as forças; e a segunda equação
estabelece que o momento de binário resultante do sistema seja
equivalente à soma de todos os momendo de binário mais os
momentos de todas as forças em relação ao ponto O.
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
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4.8 Resultantes de um Sistema de Forças e Momentos
F
R= F
1+ F
2A segunda equação estabelece que o
momento de binário resultante
do sistema
seja equivalente à
soma de todos os momendo de binário
mais os
momentos de todas as forças em relação ao ponto O
.
M
Ro=
M
C+
M
1+
M
2A primeira equação estabelece que a
força resultante
do sistema seja
equivalente à
soma de todas as forças
.
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
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OBSERVAÇÕES
Módulo e direção de
F
R
são independentes
da posição de O
M
Ro
depende de O porque
r
1
e
r
2
foram
usados no cálculo de
M
1
e
M
2
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
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4.8 Resultantes de um Sistema de Forças e Momentos
De uma forma geral:
Se o sistema de forças se situa no plano x-y e quaisquer momentos de
binário são perpendiculares a esse plano, então as equações
anteriores se reduzem às três equações escalares:
= ∑
= ∑
O+ ∑
R
R
C
O
F
F
M
M
M
x y OR
x
R
y
R
C
O
F
F
F
F
M
M
M
= ∑
= ∑
=
∑
+
∑
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
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Problema 4.101
Substitua o sistema
de forças e
momentos por um
sistema equivalente
com força e
momento agindo no
ponto P.
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
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Problema 4.101
x y OR
x
R
y
R
C
O
F
F
F
F
M
M
M
= ∑
= ∑
=
∑
+
∑
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
16
2 2 2 2 -1 0 -1 0
60 cos 30
60 sin 30
140
( 5
51, 962 N
170 N
1, 962)
( 170)
170
tan
tan
51, 962
18
17
73
0
8 N
253
x y x y y x y y x x R R R R R R R R R R R y R x RF
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
θ
θ
θ
= −
= −
= −
∴
= −
° −
∴
=
+
=
−
+ −
∴
−
=
=
−
+
∴
=
=
=
=
∑
= ∑
°
Problema 4.101
MRP FRxProblema 4.101
60
30 (12 8) 60 cos 30 (8) 40 140(3 12)
(anti-h
2,6
8
kN.
m
orári
o
)
P P P R R P RM
M
M
sen
M
=
=
=
°
−
+
°
+
+
+
∑
FRxPontos importantes
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
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Problema 4.118a
Os pesos dos vários componentes do caminhão
são mostrados. Substitua o sistema de forças
por um equivalente com a força resultante e
momento aplicados em A.
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
20
Problema 4.118a
x y OR
x
R
y
R
C
O
F
F
F
F
M
M
M
= ∑
= ∑
=
∑
+
∑
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
21
Problema 4.118a
10750 lb
99500 lb.ft (anti-horári
17
o)
50
5500
3500
10750 lb
3500(20)
5500(6) 1750(2)
A A A R y R A R R R R RF
F
F
M
F
M
M
F
M
+ ↑
= −
−
−
= −
+
=
=
+
−
=
= ∑
↓
=
∑
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
22
Problema 4.135
Substitua os dois
momentos e as forças,
atuando na montagem
de tubos, por um
sistema de força e
momento equivalente
atuando no ponto O.
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
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Problema 4.135
x y z O R x R y R z R C OF
F
F
F
F
F
M
M
M
= ∑
= ∑
= ∑
= ∑
+ ∑
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
24
Problema 4.135
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
300
N
100
N
141, 42
141, 42
Vetores Força e M
N
100
N.m
127, 28
127, 28
omento:
;
200 cos 45
45
N
180 cos 45
45
N
.
.
N
m
m
sen
sen
=
=
=
−
=
=
=
° −
°
=
° −
°
−
1 3 2 2 2 1 2F
k
F
j
F
i
k
M
k
M
i
k
F
i
k
M
i
k
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
25
Problema 4.135
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
300
N ;
100
N
141, 42
141, 42
N
Força equivalent
141, 42
100
158, 5
141
100
15
e no ponto O:
141, 42
100
(300 14
8
N
1, 42)
9
N
=
=
=
−
=
=
+
=
+
+
=
+
=
+
+
−
+
+
∑
1 3 2 R R 1 2 3 R R RF
k
F
j
F
i
k
F
F
F
F
i
j
F
i
F
F
F
F
i
j
k
k
j
k
TC021 - Mecânica Geral I - Estática
