Cap3- Filtros 3.1- Funções de Transferência

(1)

Cap3- Filtros

_{3.1- Funções de Transferência}

• Filtros

• Filtro é um sistema físico, com uma entrada e uma saída, que tem uma resposta que

depende da frequência do sinal de entrada

• Ex. Filtros: suspensão e escape de automóvel, isolador acústico, óculos de sol, antena de

rádio, microfone, altifalante, etc.

.

• Filtros electrónicos

• São circuitos analógicos, digitais (com circuitos lógicos ou microprocessadores) ou

electromecânicos que descriminam sinais com diferentes frequências

• Os filtros são os componentes fundamentais mais importantes dos sistemas electrónicos

modernos realizados quer em circuito integrado monolítico quer em circuitos discretos, que têm aplicações transversais a muitas áreas da engenharia:

(2)

Cap3- Filtros

_{3.1- Funções de Transferência}

.

• Telecomunicações

• Sistemas Telefónicos

• com e sem fios, telemóveis

• RDIS, ATM, Modems; canceladores de eco

• Transmissores e receptores de rádio

• TV, radiodifusão, satélite e cabo

• Comunicações ópticas • Agregados de antenas • RADAR

• Instrumentação

• Geradores e Processadores de sinal

• sintetizadores, moduladdores e

desmoduladores, amplificadores Lock in, etc

• Analisadores de espectro e de redes • Sistemas de visualização

• Osciloscópio, registadores, etc.

• Controlo e energia

• Controladores fixos ou adaptativos • Sensores selectivos

• Sistemas de controlo de harmónicas • Rejeição de interferências e de ruído • Movimento de elevador ou braço de

robot

• Aplicações Baseadas em Filtros

• Áudio e vídeo

• Sistemas sonoros em salas • Canceladores de ruído • Igualadores

• Sistemas de altifalantes • Áudio e vídeo digital

• Conversores de ritmo e de resolução

• Gravadores de som e de vídeo

• VHS, mp3, mini-disc, etc.

(3)

Cap3- Filtros

_{3.1- Funções de Transferência}

• Filtros

• Filtro é um sistema físico, com uma entrada e uma saída, que tem uma resposta que

depende da frequência do sinal de entrada.

• A grande maioria dos filtros são sistemas lineares e invariantes no tempo ‘SLIT’ • Um SLIT pode ser analisado com técnicas baseadas em transformadas (ex. Laplace)

x(t) y(t) X(s) Y(s) T(s) = Y(s)/X(s) ) ( ) ( ) ( s X s Y s T = ₍ ₎ 1 ) ( ) ( ) ( = =T s − s Y s X s H ) ( ) ( ) ( . ) ( )) ( ( )) ( ( ) ( _jω _T _jω _j _T _jω _T _jω _ejφ ω _eα ω jφ ω T = ℜ + ℑ = = + .

• Função de transferência

• É o cociente das transformadas de Laplace dos sinais de saída e de entrada

• Função de transferência directa, T(s) e inversa H(s).

• Resposta em frequência

• É o cociente das transformadas de Laplace dos sinais de saída e de entrada, no caso

destes serem sinusoidais

Fase da resposta em frequência Módulo da resposta

(4)

Cap3- Filtros

_{3.1- Funções de Transferência}

-4 -2 0 2 4 0 2 4 6 ω t Sinal original τ_G= 0 f_c = 7*f τ_G= cte f_c = 7*f Fase linear τ_G= var. f_c = 7*f Fase não linear

•Limitações da resposta

• Largura de banda finita

• Atenua componentes de amplitude do sinal

• Ex: filtro que só deixa passar 7 comp. harmónicas de um sinal onda quadrada

• Atraso de grupo não constante

• Deforma relação de fase entre as várias

harmónicas

τ τ s e s X s Y t x t y − = − = ). ( ) ( ) ( ) ( τ ω ω φ τ ωτ ω φ ω ω ωτ τ _⇒ ₌ _⇒ ₌ ₌ ₌ ₋ ₌ = − − d d j T e j T e s T₍ ₎ s ₍ ₎ j ₍ ₎ ₁_; ₍ ₎ _- _, _g ( )

ω

φ

ω

τ

ω

φ

ω

α

ω

ω ω

d

G

A

j

T

G

j T j T

)

(

)

(

arctan

)

(

)

(

)

(

)

(

.

686 ,

8 )

(

log

.

20 )

(

)) ( ( )) ( ( 10

−

=

−

=

ℜ ℑ

• Resposta em frequência ideal

• O sistema ideal reproduziria na sua saída um sinal

igual ao sinal de entrada, atrasado de um tempo τ

• Resposta em frequência:

• Ganho G(ω)

• Atenuação A(ω)

• Fase φ(ω)

• Atraso de grupo τ(ω)

Sistema ideal

(5)

Cap3- Filtros

_{3.1- Funções de Transferência}

• Tipo de filtros

• Função de transferência normalizada

• O andamento das curvas de resposta em frequência depende apenas da relação de frequências e não dos valores da frequência

• Se normalizar a resposta em frequência a um valor notável da frequência, ωC , pode-se comparar

filtros em aplicações muito diferentes desde áudio até microondas

c

s

S

ω

=

Atenuação na frequência normalizada de filtro passa-baixo Atenuação na frequência normalizada de filtro rejeita-banda

(6)

Cap3- Filtros

_{3.1- Funções de Transferência}

• Sistema de 1ª ordem Passa-baixo

Normalizado

-25 -20 -15 -10 -5 0 0,1 1 10 3 dB 0 dB/dec -20 dB/dec G(Ω) dB Ω -90 -45 0 0,1 1 10 φ(Ω) º -45 º/dec -66 º/dec Ω 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0,1 1 Ω 10 τ(Ω) /τ(0)º φ(Ω) º ) (

.

)

(

1

1 )

(

=

Ω

− Ω

Ω

+

=

Ω

_F

_j

_e

j j

j

F

ϕ

Ω

=

Ω

+

=

Ω

e

(

)

arctan

1

1 )

(

2

ϕ

j

F

Passa - Alto Módulo Resposta em f:

- Igual a passa-baixo com eixo das frequências invertido

baixo alto S S alto

j

F

j

F

S

baixo

S

F

S

)

1 (

)

(

1

1 )

(

)

₁

Ω

=

Ω

+

=

+

=

→ Passa - Baixo Resposta em frequência:

(7)

• Sistema de 2ª ordem Passa-baixo

Cap3- Filtros

_{3.1- Funções de Transferência}

1 .

.

2

1 .

.

2 .

)

(

₂ ₂ ₂ 2

+

=

+

=

S

k

s

k

S

T

p p p p

ξ

ω

ξ

ω

s_p1 s_p2 j q p = p p s_p1 s_p2 j q s_p1 s_p2 j q -40 -20 0 20 0,1 1 Ω 10 dB Q=0,1 Q=10 2 -180 -135 -90 -45 0 0,1 1 Ω 10 φ(Ω ) Q=0,1 2 Q=10 0,01 0,1 1 10 100 1000 0,1 1 Ω 10 τ(Ω )/ τ(0) Q=10 Q=0,1 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 ) . . 2 ( ) 1 ( 1 ) 0 ( ) (         Ω + Ω − = Ω + Ω − =         Ω p p Q T j T ξ       Ω − Ω − = Ω ₂ 1 . . 2 arctan ) ( ξp φ 2 2 2 2 ) . . 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( Ω + Ω − Ω + = Ω p ξ τ τ

(8)

Cap3- Filtros

• Frequências e propriedades notáveis da Biquad. Passa-Baixo

3.1- Funções de Transferência

Quadrado da função normalizada Ω k T φ ωp.τ Observações 0 1 0 _1/ p Q - 1-ξp p p Q = ξ . 2 1 -45º - - Ω|T|máx 2 2 1 1 p p Q Q − - - Gmáx p Q ≥ 2-1/2 Ωτmáx - -               − + =         − + 2 2 4 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 p p p p Q Q ξ ξ τmáx p Q ≥ 3-1/2 1 p p Q = ξ . 2 1 -90º ₂ p Q - 1+ξp 2 . 2 2 1 p p Q = ξ -135º p Q - ∞ 0 -180º 0 - 2 2 2 2 ) . . 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( Ω + Ω − Ω + = Ω p ξ τ τ 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 ) . . 2 ( ) 1 ( 1 ) 0 ( ) (         Ω + Ω − = Ω + Ω − =       Ω p p Q T j T ξ       Ω − Ω − = Ω ₂ 1 . . 2 arctan ) ( ξp φ Atraso de grupo normalizado

(9)

• Sistema de 2ª ordem Passa-alto

• Pode obter-se a partir do filtro passa-baixo pela transformação de frequência

Cap3- Filtros

_{3.1- Funções de Transferência}

1 . . 2 . 1 . . 2 1 ) ( ₂ 2 1 2 ₊ ₊ = ₊ ₊ = = a p a a S S b p b a S S S k S S k S T a b ξ ξ b a S S = 1 2 2 2 2

)

.

2 (

)

1 (

)

(

)

(

Ω

+

Ω

−

Ω

=

∞

Ω

p

T

j

T

ξ

2 10 10

(

)

20 .

log

.

20 )

(

Ω

=

T

j

Ω

_pbaixo

+

Ω

G

(

2 .

(

)

1 )

º.

180 )

(

)

(

Ω

_a

=

φ

Ω

_b

+

u

Ω

−

φ

)

(

.

2 )

(

)

(

)

(

=

Ω

−

Ω

−

=

Ω

φ

τ

π

δ

τ

a _b a

_d

d

• Resposta em frequência

• Pode obter-se a partir da do filtro passa-baixo

-40 -20 0 20 0,1 1 Ω 10 dB Q=0,5 Q=10 2 0 45 90 135 180 0,1 1 Ω 10 φ (Ω) Q=0,5 2 Q=10 0,01 0,10 1,00 10,00 100,00 1000,00 0,10 1,00 Ω 10,00 τ(Ω)/τ(0) Q=10 Q=0,2 2

(10)

Cap3- Filtros

_{3.1- Funções de Transferência}

• Sistema de 2ª ordem Passa-banda

2 2 ₂_. _. _. . . . 2 . ) ( p p p p p s s s k s T ω ω ξ ω ξ + + = bn p bn s b s S . 2 2 ₊_ω = p p k j T ξ φ ξ . 2 / 1 arctan ) ( . 2 / 1 1 1 ) ( 2 Ω − Ω = Ω        _Ω₋ _Ω + = Ω p p B B Q B=Ω ₂ −Ω ₁ =2ξ = 1 (2. ( ) 1) º. 90 ) ( ) (Ω _bn =φ Ω _b + u Ω − φ ) ( . ) ( ) ( ) ( = Ω − Ω Ω Ω − = Ω φ τ π δ τ bn _b bn _d d

• Resposta em frequência

• Pode obter-se a partir da do filtro passa-baixo

0,01 0,1 1 10 100 1000 0,1 1 Ω 10 τ(Ω)/τ(0) Q=10 Q=0,5 2 -90 -45 0 45 90 0,1 1 Ω 10 φ (Ω) Q=0,5 2 Q=10 1 . . 2 . . 2 ) ( ₂ + + = S S S k S T p p ξ ξ p b b b _s k S k S F ξ 2 1 1 ) ( + = + = S S s_b = + 1

(11)

0,01 0,1 1 10 100 1000 0,1 1 Ω 10 τ(Ω)/τ(0) Q=10 Q=0,5 2 -π para Ω = 1 2 2 2 2 . . . 2 ) ( p p p z br _s _s s s T ω ω ξ ω + + + = 1 2 2 2 2 + + + = S . . S S ) S ( T p ξ χ ) ( log . ) j ( T log . ) ( G _pbaixo 2 2 10 10 20 20 Ω + −Ω = Ω χ ) ( º. 180 ) ( ) ( φ χ φ Ω _bn = Ω _b + u Ω− ) ( . ) ( d ) ( d ) ( bn _b bn τ π δ χ φ τ = Ω − Ω− Ω Ω − = Ω -40 -20 0 0,1 1 W 10 dB Q=0,5 Q=10 2 -90 -45 0 45 90 0,1 1 Ω 10 φ (Ω) Q=0,5 2 Q=10

• Filtro de 2ª ordem Rejeita - banda

Cap3- Filtros

_{3.1- Funções de Transferência}

-40 -20 0 20 0,1 1 Ω 10 dB Q=0,5 Q=10 2 χ2 dB

• Resposta em frequência

(12)

Cap3- Filtros

_{3.1- Funções de Transferência}

• Sistema de 2ª ordem Igualador de atraso

-10 10 0,1 1 Ω 10 dB Q=0,5 2 Q=10 -360 -270 -180 -90 0 0,1 1 Ω 10 φ (Ω) Q=0,5 2 Q=10 0,01 0,1 1 10 100 1000 0,1 1 Ω 10 τ(Ω)/τ(0) Q=10 Q=0,5 2 2 2 2 2

.

2 .

.

2 )

(

p p p p p p

s

T

ω

ξ

ω

ξ

+

−

=

b ia

2 .

(

)

(

Ω

=

φ

Ω

φ

b bn bn

_d

d

)

(

.

2 )

(

)

(

=

Ω

−

=

Ω

φ

τ

• Resposta em frequência

• Pode obter-se a partir da do filtro passa-baixo 0

|

)

(

|

T

Ω

=

T

Utiliza-se para alterar características de fase e de atraso de grupo de filtros selectivos em amplitude