Modelo matricial. Introdução aos Sistemas de Informação Geográfica Aula 5 Modelo matricial. Modelo matricial. Modelo matricial. Resolução espacial

Introdução aos

Sistemas de Informação Geográfica

Alexandre Gonçalves DECivil - IST alexandre.goncalves@tecnico.ulisboa.pt

Aula 5

Modelo matricial

Modelo matricial

1. Resolução

2. Tipos de valores e dados 3. Compatibilização

4. Álgebra de mapas: funções locais, focais, zonais e globais

5. Interpolação

6. Conversão vetorialmatricial 7. Vetorial versus matricial

Modelo matricial

Divide a área de estudo numa grelha regular de células numa sequência específica formando uma tesselação ou pavimentação

– cada célula tem um valor numérico associado – todo o local no interior da área de estudo é

preenchido com uma célula

Modelo matricial

As células não têm de ser quadradas. Quais os polígonos regulares que formam

tesselações (pavimentações)?

com pentágonos não dá

Resolução espacial

5

Tipos de valores e dados

• Valores

– Inteiros (pode ser uma grandeza medida ou codificar algo) – Reais

• Dados

– Funções contínuas (ex. temperatura, altitude)

– Dados categóricos (ex. uso do solo) • Cada célula só tem um valor

– muitas vezes inadequado: uma fronteira pode passar a meio de uma célula

• tem de haver alguma regra de decisão de classificação (ver conversão vetorialmatricial, no fim)

– onde não há dados, há o valor Sem valor / No Data / Null

No Data / NULL 6 (valor de um dos atributos desta layer vetorial) 6 aqui não há nada vetorial matricial 6

Estrutura de uma matriz

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Zonas são grupos de células com o mesmo valor

– Cada zona está associada a uma linha da tabela de atributos da matriz Regiões são zonas contíguas

– O número de regiões varia consoante a definição de contiguidade de células 4 0 4 4 11 0 4 4 11 0 0 4 11 4 4 0 0 4 4 Null 11 4 11 11 11

Estrutura: Zonas e Regiões

Nesta matriz há ___ zonas e ___ regiões

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Quando se georreferencia uma imagem ou se transformam coordenadas é necessário “mover” e “alterar” um CDG matricial

• O valor da célula na imagem/grelha corrigida é o valor da célula mais próximo na imagem/grelha original, independentemente do desvio existente.

• Vantagens

– Computacionalmente simples – Não altera os valores originais – Aplicável a escalas nominais

• Desvantagens

– Objetos sofrem desvio de até meia célula – Estruturas lineares ficam com aspeto zigzag

Compatibilização pelo método vizinho

mais próximo

Imagem/ grelha corrigida 9

Compatibilização pelo método da

interpolação bilinear

• O valor da célula na matriz corrigida é uma média ponderada do valor das 4 células mais próximas na matriz original.

• Vantagens

– Adequado a funções contínuas…

• Desvantagens

– Pode suavizar demasiado os valores… – Altera os valores das células para

valores que não existiam na matriz original, pelo que não serve para dados nominais Imagem/grelha original Imagem/ grelha corrigida 10

Álgebra de mapas (análise espacial

matricial)

• Funções locais Usam o valor da célula na mesma posição na matriz(es) de entrada

• Funções focais Usam os valores das células num foco de forma fixa

• Funções zonais Usam os valores das células definidas segundo zonas • Funções globais

Todas as restantes funções de álgebra de mapas

Funções locais

Populacao2010 Populacao2000 VarPop

_

₌

Designam-se por funções locais as funções obtidas por combinação dos valores de uma ou mais matrizes com a mesma posição na matriz.

169 3 99 35 87 2 94 24 94 1 5 11 Null 62 46 19 Null 32 39 13 Null 30 7 6 Null 74 156 38 Null 74 89 35 Null 0 75 3 52 100 34 123 48 69 22 100 4 31 12 23

Funções locais

VarPop=((Pop2010–Pop2000)/(Pop2000))*100 169 3 99 35 87 2 94 24 Null 62 46 19 Null 32 39 13 Null 74 156 38 Null 74 89 35 52 100 34 123 48 69 22 100 0 0 0 0 94 50 5 46 Null 0 0 0 Null 94 18 46 Null 0 0 0 Null 0 75 9 0 0 0 0 8 45 55 23 Pop2010 Pop2000 resultado se se usar a divisão inteira (onde 2/3 = 0) resultado se se usar a divisão real 13

Funções locais

Operadores Aritméticos

•Os operadores básicos (+,-,*,/) estão geralmente disponíveis. •Atenção aos problemas de arredondamento e precedência de operadores.

Operadores Booleanos ou Lógicos

•Os operadores básicos (AND, OR, NOT) estão geralmente disponíveis.

•Output: 0=FALSE, 1=TRUE •Input: 0=FALSE, ~0=TRUE

AND =

0 3 5 1 Null 0 2 Null Null 0 1 Null

Null 3 1 8 Null 2 0 7 Null 1 0 1

Null 9 5 4 Null 2 3 0 Null 1 1 0

6 5 7 3 0 3 2 1 0 1 1 1

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Funções locais: Reclassificação

• é uma das operações mais usadas

3 1 [ 0,2] =0 ] 2,6] =1 ] 6,9] =2 2 7 6 5 9 1 5 8 0 1 0 1 1 2 2 2 http://giscommons.org

Funções focais

... 6 4 5 9 3 7 5 6 4 5 6 7 ... ... 5 ... 6

As funções focais têm em consideração não somente o valor de uma célula isolada mas também os valores das células situadas numa vizinhança próxima, definida em geral por uma janela, designada foco.

exemplo: média focal com janela de 3x3

16

Funções focais

Nas funções focais propriamente ditas há uma janela móvel, i.e., as vizinhanças sobrepõem-se.

Nas funções de bloco as vizinhanças são justapostas. O valor de output é igual em todas as

células de um dado bloco.

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Funções focais

definição de um foco

O foco pode tomar qualquer forma

vizinhança

circular células incluídas no foco

célula a processar vizinhança anelar (donut) células incluídas no foco célula a processar 18

Funções focais

© Paul Bolstad, GIS Fundamentals

Exemplos de aplicação: • Remoção do “ruído” (deteção de

erros/outliers)

• Cálculo de declive e orientação • Índice de rugosidade 2 , ) ( cel j i ij cel X X R    19

Funções zonais

• As funções zonais são semelhantes às focais, com a diferença de a vizinhança não ter uma forma fixa, podendo a zona ser definida numa outra matriz. • Calculam para cada célula uma determinada função

ou estatística usando o valor dessa célula e de todas as que pertencem à mesma zona.

• Algumas funções zonais (tipo I) nas quais as zonas são definidas por um valor isolado permitem obter estatísticas ou quantificar as características da geometria das zonas de input.

• Outras funções zonais (tipo II) nas quais as zonas são definidas através de uma segunda matriz permitem obter estatísticas ou preencher zonas específicas com valores da matriz de input.

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Funções zonais

Exemplos do tipo I: Área zonal, Perímetro zonal, Profundidade zonal Exemplos do tipo I: Área zonal, Perímetro zonal, Profundidade zonal

resposta a perguntas do tipo “Qual a área de cada zona”, “Qual o perímetro de cada zona”, “Qual a distância mínima a que se encontram células de outro valor?” 21

Funções zonais

A G A A X G A A X G G A X A 1 1 1 3 A G G A A Null X A X X X 2 2 0 0 5 6 2 1 0 3 2 4 0 1 2 1 12 2 2 0 1 25 25 25 25 10 25 25 25 Null 14 14 14 10 10 25 10 10 10 25 25 25 14 14 14 14 resultado de uma soma zonal 

layer de zonas layer de valores a agrupar

Exemplos do tipo II: Maioria, Máximo, Média, Mediana, Mínimo, Minoria, Intervalo, Desvio-padrão, Variância, Soma, Variedade

Funções globais

Caminhos de menor custo Cálculos hidrológicos Cartas de visibilidades Métricas de paisagem

(veremos + tarde)

• As funções globais são todas as que não são nem locais, nem focais, nem zonais. Exemplos:

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Interpolação

• A interpolação é uma técnica para estimar valores desconhecidos de uma função a partir de valores conhecidos da mesma função x f(x) a f(a) b ? c f(c) d f(d)

Interpolação na conversão de formatos

Necessária na conversão de pontos  matriz Opcional na conversão de matriz  pontos

Dois modos de considerar os valores da grandeza representada por uma matriz: com interpolação usando os valores mais próximos (esq.) ou usando só o mais próximo (dir.)

3 D l a tt ic e – s ua v e 3 D gri d – por bl oc os 25

Interpolação na reamostragem

• Vizinho mais próximo

– para dados categóricos (discretos)

• Interpolação bilinear • Convolução cúbica/bicúbica Matriz original Nova matriz Reamostragem é a alteração

da resolução espacial de uma matriz, ou o recálculo dos valores das células que é necessário quando se faz uma transformação de coordenadas

26

Interpolação na reamostragem

• Vizinho mais próximo

• Interpolação bilinear – para funções contínuas

• Convolução cúbica/bicúbica Matriz original Nova matriz

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Interpolação na reamostragem

• Vizinho mais próximo • Interpolação bilinear

• Convolução cúbica/bicúbica – para funções contínuas

28

Interpolação na reamostragem

w w w .c hri s m a dd e n. c o .uk 29

Interpolação na reamostragem

Outra maneira, como função focal

Interpolação

Interpolação linear

(grau 1) Interpolação polinomial _{(grau >1)}

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Interpolação

• Splines (regularized / tension)

• Utilizam splines baseados nos pontos de input mais próximos • Criam superfícies suavizadas de

curvatura mínima • Exatas nos pontos de input

• Triangulações

• A mais simples interp. linear

K J I AOJK AOIJ AOIK O f(x,y) = z = ax + by + c z1 = ax1 + by1 + c z2 = ax2 + by2 + c z3 = ax3 + by3 + c

Interpolação

• IDW – Inverse Distance Weighted Parâmetros: • Potência n • Número máximo de vizinhos ou raio de procura máximo 33

Interpolação

• IDW

– quanto maior a potência, maior a diferença entre células vizinhas – quanto maior a vizinhança, mais

suave será a superfície – estima exctamente nos pontos

amostrais

– à medida que se afasta destes, tende para a média da região

– necessita de boa distribuição das amostras

Interpolação

• Exemplo de IDW

x y f(x,y)=zi Dist. à obs. 8 = di wi= 1/ di (1/di) / (S1/di) 1 61 139 477 4.5 0.2222 0.2088 2 63 140 696 3.6 0.2778 0.2610 3 64 129 227 8.1 0.1235 0.1160 4 68 128 646 9.5 0.1053 0.0989 5 71 140 606 6.7 0.1493 0.1402 6 73 141 791 8.9 0.1124 0.1056 7 75 128 783 13.5 0.0741 0.696 8 65 137 ? 0 0 0 S1/di = 1.0644 1.0 f ^(65,137) = 594.0 pesos normalizados pesos

Interpolação

Interpolação

• Vizinho natural

– a área de cada polígono de Thiessen dá o peso de cada ponto/polígono para calcular o valor

Interpolação

• Raio fixo

Interpolação

• Trend

– Polinómio ajustado por mínimos quadrados (até grau 12 no ArcGIS) – Não exata

Interpolação

• Krigagem

– baseada na variabilidade espacial, segundo direções e segundo a distância entre pontos

– considera autocorrelação (relação estatística entre pontos amostrais) – múltiplos métodos, e cada um usa fórmulas para avaliar a relação

entre a posição dos pontos e os respetivos valores da grandeza a interpolar

– fornecem ainda medida (e mapa) da incerteza de estimação

Interpolação

• Quantificação de margens de erro

e = f^(x,y) - f(x,y) erro de estimação

e = 1/n S f^(x,y) - f(x,y) erro médio para os n pontos

MAE =e = 1/n Sf^(x,y) - f(x,y) erro absoluto médio

MSE = 1/n S [ f^(x,y) - f(x,y) ]2 _{erro quadrático}

médio

f^(x,y) é o valor estimado; f(x,y) é o valor conhecido

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Álgebra de mapas: cuidados

© Paul Bolstad, GIS Fundamentals

• As matrizes podem diferir

– Na resolução espacial – Na orientação dos eixos – Nas coordenadas dos cantos – No tipo de valores numéricos

que guardam

– No valor associado a NoData – ...

Conversão vetorialmatricial

• só há um valor por célula

• necessidade de regras de atribuição

– maior parte da área (para áreas) – valor no centro

– presença na célula (para entidades lineares) – necessidade de preservar algumas entidades “raras”

• escolha da resolução espacial: é boa prática a regra de escolher para resolução espacial nunca mais que ½ do menor comprimento ou ¼ da área do menor elemento vetorial não pontual 43

Conversão vetorialmatricial

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“Vantagens” do matricial

• Estrutura de dados simples • Análise fácil • A plataforma computacional não é exigente • Dados da deteção remota são em formato matricial

• Modelação simples • Algoritmia geralmente

mais simples

• Inexatidão posicional • Como cada célula tende à

generalização do conteúdo, o resultado tem resolução inferior ao vetorial.

• Não indica precisamente o que existe em dado local. • Cada célula tem de ser

classificada, mesmo que nada lá exista.

• Grande volume de dados

“Desvantagens” do matricial

“Vantagens” do vetorial

• Mais aproximado aos

“mapas” • Resolução mais elevada • Maior precisão no posicionamento dos objetos • Menor volume de dados (em geral) • Interpretação evidente • Topologia • Produtos cartográficos mais “apelativos”

“Desvantagens” do vetorial

• Manipulação mais

“difícil” do que matricial • Requer processamento

geométrico