Aula 12

(1)

UFABC - Física Quântica - Curso 2017.3 Prof. Germán Lugones

Aula 12

Barreira de potencial, efeito túnel, poço finito,

e oscilador harmônico

(2)

2

Uma barreira de potencial é descrita por uma função de energia potencial com um máximo.

Na mecânica newtoniana clássica, se uma partícula está inicialmente ao lado esquerdo da barreira (que poderia ser uma montanha), e se a energia mecânica total é E1, a partícula não pode se mover mais para o lado direito

do ponto x=𝑎.

Caso ela fizesse isso, a energia potencial V seria maior que a energia total E e a energia cinética K=E–U seria negativa, o que seria impossível na mecânica clássica, uma vez que K =(1/2)mv2_{nunca poderá ser negativa.}

Barreira de potencial

Capítulo 40 — Mecânica quântica I: funções de onda 299

TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 40.3 Suponha que a largura do poço de poten-cial finito da Figura 40.15 seja reduzida à metade. Como o valor de U₀ deve variar para que haja apenas três níveis de energia ligados cujas energias são as frações de U₀ que aparecem na Figura 40.15b? U₀ deve: (i) aumentar por um fator de 4; (ii) aumentar por um fator de 2; (iii) permanecer inalterado; (iv) diminuir pela metade; (v) diminuir por um fator de 1₄.

40.4 BARREIRA DE POTENCIAL E TUNELAMENTO

Uma barreira de potencial é o oposto de um poço de potencial; ela é descrita por uma função de energia potencial com um máximo. A Figura 40.18 mos-tra um exemplo. Na mecânica newtoniana clássica, se uma partícula (como uma montanha-russa) está inicialmente ao lado esquerdo da barreira (que poderia ser uma montanha), e se a energia mecânica total é E₁, a partícula não pode se mover mais para o lado direito do ponto x ! a. Caso ela fizesse isso, a energia potencial

U seria maior que a energia total E e a energia cinética K ! E – U seria negativa, o que seria impossível na mecânica clássica, uma vez que K ! 1

2mv2 nunca poderá

ser negativa.

Uma partícula da mecânica quântica comporta-se de forma diferente: se ela en-contra uma barreira como a da Figura 40.18 e possui energia menor que E₂, ela pode aparecer do outro lado. Esse fenômeno é chamado tunelamento. No tunelamento da mecânica quântica, ao contrário do que ocorre no tunelamento da mecânica macroscópica, a partícula não atravessa realmente a barreira e não perde nenhuma energia no processo.

Tunelamento através de uma barreira retangular

Para entender como o tunelamento pode ocorrer, vamos examinar a função energia potencial U(x), demonstrada na Figura 40.19. Ela descreve o inverso da situação indicada na Figura 40.13; a energia potencial é igual a zero em todos os pontos, exceto no intervalo 0 " x " L, no interior do qual ela possui valor igual a

U₀. Isso poderia representar um modelo simples de um elétron entre duas placas metálicas separadas por uma lacuna de ar de espessura L. A energia potencial é menor dentro de ambas as placas que na região entre as placas.

Figura 40.18 Uma barreira de

energia potencial. De acordo com a mecânica newtoniana, quando a energia total é E₁, uma partícula que está do lado esquerdo da barreira não pode se deslocar para a direita do ponto x ! a. Quando a energia total é maior que E₂, a partícula pode ultrapassar a barreira.

x U(x)

E₁ E₂

0 a

(d) Pela Figura 40.15b, notamos que a energia mínima necessária para libertar o elétron do poço de potencial a partir de seu nível fundamental n ! 1 é igual a U₀ – E₁ ! 9,0 eV – 0,94 eV ! 8,1 eV, que é igual a três vezes a energia do fóton de 2,7 eV calculada na parte (c), o comprimento de onda correspondente é igual a um terço de 460 nm ou 150 nm (para dois dígitos signifi-cativos), e o fóton se encontra na região ultravioleta do espectro.

AVALIAR: para conferir, podemos calcular as energias dos esta-dos ligaesta-dos usando as fórmulas E₁ ! 0,104U₀, E₂ ! 0,405U₀ e

E₃ ! 0,848U₀, como vemos na Figura 40.15b. Para uma verifi-cação adicional, note que os três primeiros níveis de energia de um poço infinito de mesmo comprimento são E_1–PPI ! 1,5 eV,

E_2–PPI ! 4E_1–PPI ! 6,0 eV e E_3–PPI ! 9E_1–PPI ! 13,5 eV. As energias encontradas na parte (b) são menores que essas. Como mencionamos anteriormente, a profundidade finita do poço faz abaixar os níveis de energia em comparação com os respectivos níveis no caso do poço com profundidade infinita.

Uma aplicação dessas ideias são os pontos quânticos, que são partículas de tamanho nanométrico de um semicondutor como o seleneto de cádmio (CdSe). Um elétron dentro de um ponto

quântico se comporta como uma partícula em um poço de po-tencial finito com uma largura L igual ao tamanho do ponto. Quando pontos quânticos são iluminados com luz ultravioleta, os elétrons absorvem os fótons ultravioleta e são excitados a níveis de energia mais altos, como o nível n ! 3 descrito neste exem-plo. Se o elétron volta ao nível fundamental (n ! 1) em duas ou mais etapas (por exemplo, de n ! 3 a n ! 2 e de n ! 2 a n ! 1), uma das etapas envolverá a emissão de um fóton de luz visível, como calculamos aqui. (Descrevemos esse processo de

fluores-cência na Seção 39.3.) Aumentar o valor de L diminui a energia dos níveis e, portanto, o espaçamento entre eles e, consequen-temente, provoca uma diminuição na energia e um aumento no comprimento de onda dos fótons emitidos. A fotografia do início deste capítulo mostra pontos quânticos de diferentes tamanhos em solução: cada um deles emite um comprimento de onda ca-racterístico, que depende do tamanho do ponto. Pontos quânticos podem ser injetados nos tecidos vivos e seu brilho fluorescente pode ser usado como um indicador em pesquisas biológicas e médicas. Eles também podem ser fundamentais para uma nova geração de lasers e de computadores ultrarrápidos.

(Continuação)

Book_SEARS_Vol4.indb 299 16/12/15 5:46 PM

(3)

Uma partícula da mecânica quântica comporta-se de forma diferente: se ela encontra uma barreira como a da Figura e possui energia menor que E2, ela

pode aparecer do outro lado. Esse fenômeno é chamado tunelamento ou efeito túnel.

Capítulo 40 — Mecânica quântica I: funções de onda 299

TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 40.3 Suponha que a largura do poço de poten-cial finito da Figura 40.15 seja reduzida à metade. Como o valor de U₀ deve variar para que haja apenas três níveis de energia ligados cujas energias são as frações de U₀ que aparecem na Figura 40.15b? U₀ deve: (i) aumentar por um fator de 4; (ii) aumentar por um fator de 2; (iii) permanecer inalterado; (iv) diminuir pela metade; (v) diminuir por um fator de 1₄.

40.4 BARREIRA DE POTENCIAL E TUNELAMENTO

Uma barreira de potencial é o oposto de um poço de potencial; ela é descrita por uma função de energia potencial com um máximo. A Figura 40.18 mos-tra um exemplo. Na mecânica newtoniana clássica, se uma partícula (como uma montanha-russa) está inicialmente ao lado esquerdo da barreira (que poderia ser uma montanha), e se a energia mecânica total é E₁, a partícula não pode se mover mais para o lado direito do ponto x ! a. Caso ela fizesse isso, a energia potencial

U seria maior que a energia total E e a energia cinética K ! E – U seria negativa, o que seria impossível na mecânica clássica, uma vez que K ! 1

2mv2 nunca poderá

ser negativa.

Uma partícula da mecânica quântica comporta-se de forma diferente: se ela en-contra uma barreira como a da Figura 40.18 e possui energia menor que E₂, ela pode aparecer do outro lado. Esse fenômeno é chamado tunelamento. No tunelamento da mecânica quântica, ao contrário do que ocorre no tunelamento da mecânica macroscópica, a partícula não atravessa realmente a barreira e não perde nenhuma energia no processo.

Tunelamento através de uma barreira retangular

Para entender como o tunelamento pode ocorrer, vamos examinar a função energia potencial U(x), demonstrada na Figura 40.19. Ela descreve o inverso da situação indicada na Figura 40.13; a energia potencial é igual a zero em todos os pontos, exceto no intervalo 0 " x " L, no interior do qual ela possui valor igual a

U₀. Isso poderia representar um modelo simples de um elétron entre duas placas metálicas separadas por uma lacuna de ar de espessura L. A energia potencial é menor dentro de ambas as placas que na região entre as placas.

Figura 40.18 Uma barreira de

energia potencial. De acordo com a mecânica newtoniana, quando a energia total é E₁, uma partícula que está do lado esquerdo da barreira não pode se deslocar para a direita do ponto x ! a. Quando a energia total é maior que E₂, a partícula pode ultrapassar a barreira.

x U(x)

E₁ E₂

0 a

(d) Pela Figura 40.15b, notamos que a energia mínima necessária para libertar o elétron do poço de potencial a partir de seu nível fundamental n ! 1 é igual a U₀ – E₁ ! 9,0 eV – 0,94 eV ! 8,1 eV, que é igual a três vezes a energia do fóton de 2,7 eV calculada na parte (c), o comprimento de onda correspondente é igual a um terço de 460 nm ou 150 nm (para dois dígitos signifi-cativos), e o fóton se encontra na região ultravioleta do espectro.

AVALIAR: para conferir, podemos calcular as energias dos esta-dos ligaesta-dos usando as fórmulas E₁ ! 0,104U₀, E₂ ! 0,405U₀ e

E₃ ! 0,848U₀, como vemos na Figura 40.15b. Para uma verifi-cação adicional, note que os três primeiros níveis de energia de um poço infinito de mesmo comprimento são E_1–PPI ! 1,5 eV,

E_2–PPI ! 4E_1–PPI ! 6,0 eV e E_3–PPI ! 9E_1–PPI ! 13,5 eV. As energias encontradas na parte (b) são menores que essas. Como mencionamos anteriormente, a profundidade finita do poço faz abaixar os níveis de energia em comparação com os respectivos níveis no caso do poço com profundidade infinita.

Uma aplicação dessas ideias são os pontos quânticos, que são partículas de tamanho nanométrico de um semicondutor como o seleneto de cádmio (CdSe). Um elétron dentro de um ponto

quântico se comporta como uma partícula em um poço de po-tencial finito com uma largura L igual ao tamanho do ponto. Quando pontos quânticos são iluminados com luz ultravioleta, os elétrons absorvem os fótons ultravioleta e são excitados a níveis de energia mais altos, como o nível n ! 3 descrito neste exem-plo. Se o elétron volta ao nível fundamental (n ! 1) em duas ou mais etapas (por exemplo, de n ! 3 a n ! 2 e de n ! 2 a n ! 1), uma das etapas envolverá a emissão de um fóton de luz visível, como calculamos aqui. (Descrevemos esse processo de

fluores-cência na Seção 39.3.) Aumentar o valor de L diminui a energia dos níveis e, portanto, o espaçamento entre eles e, consequen-temente, provoca uma diminuição na energia e um aumento no comprimento de onda dos fótons emitidos. A fotografia do início deste capítulo mostra pontos quânticos de diferentes tamanhos em solução: cada um deles emite um comprimento de onda ca-racterístico, que depende do tamanho do ponto. Pontos quânticos podem ser injetados nos tecidos vivos e seu brilho fluorescente pode ser usado como um indicador em pesquisas biológicas e médicas. Eles também podem ser fundamentais para uma nova geração de lasers e de computadores ultrarrápidos.

(Continuação)

(4)

4

Consideremos o espalhamento de um feixe de partículas de massa m e energia E, por uma barreira de potencial retangular de altura V0 e largura a.

Nas regiões I e III a equação de Schrödinger pode ser escrita como:

Barreira de potencial retangular

15. Aplicações da equação de Schrödinger

163 Exerc´ıcio 15.7.3 Considere o espalhamento de um feixe de part´ıculas de massa

m e energia E, por uma barreira de potencial retangular de altura V

_◦

e largura

a.

Para E < V

_◦

:

a) mostre que a probabilidade de transmiss˜ao ´e dada por

t =

!

1 +

V

◦

senh

2

ρa

4 E(V

_◦

_{− E)}

"

−1

onde ρ =

#

2 m(V

_◦

_{− E)/!}

b) determine os limites de t para ! → 0 e ρa ≫ 1 (E ≪ V

◦

).

Para E > V

_◦

:

c) mostre que a probabilidade de transmiss˜ao ´e dada por

t =

!

1 +

V

◦

sen

2

ka

4 E(V

_◦

_{− E)}

"

₋₁

onde k =

#

_{2 m(E − V}

_◦

_)/!

Para E ≫ V

◦

:

d) determine o limite dos coeficientes t e r;

e) determine os valores de energia para os quais t ´e m´aximo.

A barreira de potencial pode ser representada esquematicamente pela figura

abaixo.

A equa¸c˜ao de Schr¨odinger pode ser escrita como

−

!

2

2 m

d

2

dx

2

ψ(x) + V

◦

ψ(x) = Eψ(x)

⇒

d

2

_ψ

dx

2

+

k2

$

%&

'

2 m

!

[E − V

◦

] ψ(x) = 0

onde V

_◦

= constante.

~

2

2m

d

2

(x)

dx

2

= E (x)

(5)

Nas região II equação de Schrödinger pode ser escrita como:

Na região II, temos dois tipos de soluções:

15. Aplicações da equação de Schrödinger 163

Exerc´ıcio 15.7.3 Considere o espalhamento de um feixe de part´ıculas de massa m e energia E, por uma barreira de potencial retangular de altura V_◦ e largura a.

Para E < V_◦:

a) mostre que a probabilidade de transmiss˜ao ´e dada por t = ! 1 + V◦ senh2 ρa 4 E(V_◦ _{− E)} "−1 onde ρ = #2 m(V_◦ _{− E)/!} b) determine os limites de t para ! → 0 e ρa ≫ 1 (E ≪ V◦).

Para E > V_◦:

c) mostre que a probabilidade de transmiss˜ao ´e dada por t = ! 1 + V◦ sen2 ka 4 E(V_◦ _{− E)} "−1 onde k = #_{2 m(E − V}_◦_)/! Para E ≫ V◦:

d) determine o limite dos coeficientes t e r;

e) determine os valores de energia para os quais t ´e m´aximo.

A barreira de potencial pode ser representada esquematicamente pela figura abaixo.

A equa¸c˜ao de Schr¨odinger pode ser escrita como

− ! 2 2 m d2 dx2ψ(x) + V◦ψ(x) = Eψ(x) ⇒ d2_ψ dx2 + k2 $ %& ' 2 m ! [E − V◦] ψ(x) = 0 onde V_◦ = constante.

164 F´ısica Moderna Caruso _{• Oguri}

Nesse caso, h´a dois tipos de solu¸c˜oes:

• E > V◦ =⇒ ψ(x) ∼e±ikx com k =

√ 2 m(E_−V_◦) ! = p ! • E < V◦ =⇒ ψ(x) ∼e±ρx com ρ = √ 2 m(V_◦_−E) !

a) Para E < V_◦, a fun¸c˜ao de onda em cada uma das 3 regi˜oes mostradas na figura pode ser expressa como

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ψI = incidente % &' ( Aeik◦x + refeletida % &' ( B−ik◦x _k ◦ = √ 2mE/! (x < 0 e V = 0) ψII = Ceρx + D−ρx ρ = ) 2m(V_◦ _{− E)/!} (0 < x < a e V = V_◦) ψIII = F e' (% &ik◦x transmitida (x > a e V = 0) e o coeficiente de transmiss˜ao ´e dado por

t = Jtrans Jinc = * * * *F_A * * * * 2

As condi¸cões de contorno vão impor rela¸cões entre as várias constantes. São

elas: _⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ψI(0) = ψII(0) ⇒ A + B = C + D ψ_I′(0) = ψ_II′ (0) _{⇒ ik}_◦(A − B) = ρ(C − D) ψII(a) = ψIII(a) ⇒ Ceρa + De−ρa = F eik◦a

ψ_II′ (a) = ψ_III′ (a) ⇒ ρ(Ceρa _{− De}−ρa) = ikF eik◦a

⎧ ⎨ ⎩ 2Ceρa ₌ +_{1 +} ik_◦ ρ , F eik◦a 2Deρa ₌ +_{1 −} ik_◦ ρ , F eik◦a ⎧ ⎨ ⎩ 2ρ(C + D) = [(ρ + ik_◦)e−ρa _{+ (ρ − ik} ◦)eρa] F eik0a = 2ρ(A + B)

(6)

Resolveremos primeiramente o caso com E < V0:

Classicamente, uma partícula que incide desde a esquerda deve ser refletida com certeza em x=0. Veremos que no caso quântico, existe uma probabilidade não nula de que a partícula atravesse a barreira de potencial e passe para a região III. Esse fenômeno se denomina efeito túnel.

163 Exerc´ıcio 15.7.3 Considere o espalhamento de um feixe de part´ıculas de massa

m e energia E, por uma barreira de potencial retangular de altura V

_◦

e largura

a.

Para E < V

_◦

:

a) mostre que a probabilidade de transmiss˜ao ´e dada por

t =

!

1 +

V

◦

senh

2

ρa

4 E(V

_◦

_{− E)}

"

−1

onde ρ =

#

2 m(V

_◦

_{− E)/!}

b) determine os limites de t para ! → 0 e ρa ≫ 1 (E ≪ V

◦

).

Para E > V

_◦

:

c) mostre que a probabilidade de transmiss˜ao ´e dada por

t =

!

1 +

V

◦

sen

2

ka

4 E(V

_◦

_{− E)}

"

₋₁

onde k =

#

_{2 m(E − V}

_◦

_)/!

Para E ≫ V

◦

:

d) determine o limite dos coeficientes t e r;

e) determine os valores de energia para os quais t ´e m´aximo.

A barreira de potencial pode ser representada esquematicamente pela figura

abaixo.

A equa¸c˜ao de Schr¨odinger pode ser escrita como

−

!

2

2 m

d

2

dx

2

ψ(x) + V

◦

ψ(x) = Eψ(x)

⇒

d

2

_ψ

dx

2

+

k2

$

%&

'

2 m

!

[E − V

◦

] ψ(x) = 0

onde V

_◦

= constante.

E

(7)

Para o caso em que E < V0, as funções de onda nas três regiões são:

Queremos determinar o coeficiente de transmissão dado por:

• E > V◦ =⇒ ψ(x) ∼e±ikx com k =

t = Jtrans Jinc = * * * *F_A * * * * 2

2ρ(C − D) = [(ρ + ik )e−ρa _{+ (ρ − ik} _)eρa_{] F e}ik_◦a _{= 2ρ = 2ik} _{(A − B)}

T = ⇤ III,trans III,trans ⇤ I,inc III,inc = |F | 2 |A|2

(8)

As condições de contorno para a função de onda e a sua derivada são:

Somando e subtraindo as Eqs. (3) e (4) temos:

164

F´ısica Moderna Caruso _{• Oguri}

Nesse caso, h´a dois tipos de solu¸c˜oes:

• E > V

◦

=⇒ ψ(x) ∼e

±ikx

com k =

√

2 m(E_−V_◦) !

=

p

!

• E < V

_◦

=⇒ ψ(x) ∼e

±ρx

com ρ =

√

2 m(V_◦_−E) !

a) Para E < V

_◦

, a fun¸c˜ao de onda em cada uma das 3 regi˜oes mostradas na

figura pode ser expressa como

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

ψ

I

=

incidente

% &' (

Ae

ik◦x

+

refeletida

% &' (

B

−ik◦x

_k

◦

=

√

2mE/!

(x < 0 e V = 0)

ψ

II

= Ce

ρx

+ D

−ρx

ρ =

)

2m(V

_◦

_{− E)/!}

(0 < x < a e V = V

_◦

)

ψ

III

= F e

' (% &

ik◦x transmitida

(x > a e V = 0)

e o coeficiente de transmiss˜ao ´e dado por

t =

J

trans

J

inc

=

*

F

_A

*

2

As condi¸cões de contorno vão impor rela¸cões entre as várias constantes. São

elas:

_⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

ψ

I

(0) = ψ

II

(0)

⇒ A + B = C + D

ψ

_I′

(0) = ψ

_II′

(0)

_{⇒ ik}

_◦

(A − B) = ρ(C − D)

ψ

II

(a) = ψ

III

(a) ⇒ Ce

ρa

+ De

−ρa

= F e

ik◦a

ψ

_II′

(a) = ψ

_III′

(a) ⇒ ρ(Ce

ρa

_{− De}

−ρa

) = ikF e

ik◦a

⎧

⎨

⎩

2Ce

ρa

₌

+

_{1 +}

ik_◦ ρ

,

F e

ik◦a

2De

ρa

₌

+

_{1 −}

ik_◦ ρ

,

F e

ik◦a

⎧

⎨

⎩

2ρ(C + D) = [(ρ + ik

_◦

)e

−ρa

_{+ (ρ − ik}

◦

)e

ρa

] F e

ik0a

= 2ρ(A + B)

2ρ(C − D) = [(ρ + ik

◦

)e

−ρa

+ (ρ − ik

◦

)e

ρa

] F e

ik◦a

= 2ρ = 2ik

◦

(A − B)

(1) (2) (3) (4)

164 Nesse caso, h´a dois tipos de solu¸c˜oes:

• E > V◦

=⇒ ψ(x) ∼e

±ikx

com k =

√

2 m(E_−V_◦) !

=

p

!

• E < V

◦

=⇒ ψ(x) ∼e

±ρx

com ρ =

√

2 m(V_◦_−E) !

a) Para E < V

_◦

, a fun¸c˜ao de onda em cada uma das 3 regi˜oes mostradas na

figura pode ser expressa como

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

ψ

I

=

incidente

% &' (

Ae

ik◦x

+

refeletida

% &' (

B

−ik◦x

_k

◦

=

√

2mE/!

(x < 0 e V = 0)

ψ

II

= Ce

ρx

+ D

−ρx

ρ =

)

2m(V

_◦

_{− E)/!}

(0 < x < a e V = V

_◦

)

ψ

III

= F e

' (% &

ik◦x transmitida

(x > a e V = 0)

e o coeficiente de transmiss˜ao ´e dado por

t =

J

trans

J

inc

=

*

F

_A

*

2

As condi¸cões de contorno vão impor rela¸cões entre as várias constantes. São

elas:

_⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

ψ

I

(0) = ψ

II

(0)

⇒ A + B = C + D

ψ

_I′

(0) = ψ

_II′

(0)

_{⇒ ik◦}

(A − B) = ρ(C − D)

ψ

II

(a) = ψ

III

(a) ⇒ Ce

ρa

+ De

−ρa

= F e

ik◦a

ψ

_II′

(a) = ψ

_III′

(a) ⇒ ρ(Ce

ρa

_{− De}

−ρa

) = ikF e

ik◦a

⎧

⎨

⎩

2Ce

ρa

₌

+

_{1 +}

ik_◦ ρ

,

F e

ik◦a

2De

ρa

₌

+

_{1 −}

ik_◦ ρ

,

F e

ik◦a

⎧

⎨

⎩

2ρ(C + D) = [(ρ + ik

_◦

)e

−ρa

_{+ (ρ − ik◦}

_)e

ρa

_{] F e}

ik0a

= 2ρ(A + B)

2ρ(C − D) = [(ρ + ik◦

)e

−ρa

_{+ (ρ − ik◦}

_)e

ρa

_{] F e}

ik_◦a

_{= 2ρ = 2ik}

_{◦(A − B)}

(5) (6)

(9)

Somando e subtraindo as Eqs. (5) e (6) temos:

Mas, de acordo com as Eqs. (1) e (2) temos C+D = A+B e 𝜌(C–D) = i k0(A–B).

Substituindo nas Eqs. (7) e (8) temos:

• E > V◦ =⇒ ψ(x) ∼e±ikx com k =

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ψI = incidente % &' ( Aeik◦x + refeletida % &' ( B−ik◦x _k ◦ = √2mE/! (x < 0 e V = 0) ψII = Ceρx + D−ρx ρ = ) 2m(V_◦ _{− E)/!} (0 < x < a e V = V_◦) ψIII = F e' (% &ik◦x transmitida (x > a e V = 0) e o coeficiente de transmiss˜ao ´e dado por

t = Jtrans Jinc = * * * * F A * * * * 2

2ρ(C − D) = [(ρ + ik◦)e−ρa + (ρ − ik◦)eρa] F eik◦a = 2ρ = 2ik◦(A − B)

(7) (8)

• E > V◦ =⇒ ψ(x) ∼e±ikx com k =

t = Jtrans Jinc = * * * *F_A * * * * 2

2ρ(C − D) = [(ρ + ik◦)e−ρa + (ρ − ik◦)eρa] F eik◦a = 2ρ = 2ik◦(A − B)

164 Nesse caso, h´a dois tipos de solu¸c˜oes:

• E > V

_◦

=⇒ ψ(x) ∼e

±ikx

com k =

√

2 m(E_−V_◦) !

=

p

!

• E < V

◦

=⇒ ψ(x) ∼e

±ρx

com ρ =

√

2 m(V_◦_−E) !

a) Para E < V

_◦

, a fun¸c˜ao de onda em cada uma das 3 regi˜oes mostradas na

figura pode ser expressa como

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

ψ

I

=

incidente

% &' (

Ae

ik◦x

+

refeletida

% &' (

B

−ik◦x

_k

◦

=

√

2mE/!

(x < 0 e V = 0)

ψ

II

= Ce

ρx

+ D

−ρx

ρ =

)

2m(V

_◦

_{− E)/!}

(0 < x < a e V = V

_◦

)

ψ

III

= F e

' (% &

ik◦x transmitida

(x > a e V = 0)

e o coeficiente de transmiss˜ao ´e dado por

t =

J

trans

J

inc

=

*

F

A

*

2

As condi¸cões de contorno vão impor rela¸cões entre as várias constantes. São

elas:

_⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

ψ

I

(0) = ψ

II

(0)

⇒ A + B = C + D

ψ

_I′

(0) = ψ

_II′

(0)

_{⇒ ik}

_◦

(A − B) = ρ(C − D)

ψ

II

(a) = ψ

III

(a) ⇒ Ce

ρa

+ De

−ρa

= F e

ik◦a

ψ

_II′

(a) = ψ

_III′

(a) ⇒ ρ(Ce

ρa

_{− De}

−ρa

) = ikF e

ik◦a

⎧

⎨

⎩

2Ce

ρa

₌

+

_{1 +}

ik_◦ ρ

,

F e

ik◦a

2De

ρa

₌

+

_{1 −}

ik_◦ ρ

,

F e

ik◦a

⎧

⎨

⎩

2ρ(C + D) = [(ρ + ik

_◦

)e

−ρa

_{+ (ρ − ik}

◦

)e

ρa

] F e

ik0a

= 2ρ(A + B)

2ρ(C − D) = [(ρ + ik

◦

)e

−ρa

+ (ρ − ik

◦

)e

ρa

] F e

ik◦a

= 2ρ = 2ik

◦

(A − B)

(9)

(10)

–

(10)

Agora combinamos as Eqs. (9) e (10) para eliminar B, e tentamos obter o quociente |F/A|, já que ele determina o coeficiente de transmissão T.

165 4A

F

e

−ik◦a

= e

−ρa

(ρ + ik

◦

)

(ρ+ik_◦)/iρk_◦

!

"#

$

% 1

ρ

+

1 ik

&

+e

ρa

_{(ρ − ik◦}

₎

−(ρ−ik◦)/iρk◦

!

"#

$

% 1

ρ

−

1 ik

_◦

&

4 A

F

(iρk

◦

) e

−ik◦a

= e

−ρa ρ2+2iρk_◦_−k2_◦

!

"#

$

(ρ + ik

_◦

)

2

−e

ρa ρ2_−2iρk_◦_−k2_◦

!

"#

$

(ρ − ik◦

)

2

= 2iρk

_◦

'

e

ρa

+ e

−ρa

(

#

$!

"

2 cosh ρa

−

'

ρ

2

_{− k}

_◦2

( '

e

ρa

_{− e}

−ρa

(

#

$!

"

2 senh ρa

A

F

e

−ik◦a

= cosh ρa −

'

ρ

2

_{− k}

_◦2

(

2iρk

_◦

senh ρa

Assim,

)

_F

A

)

2

= cosh

2

ρa

# $! "

1+senh2ρa

+

'

ρ

2

_{− k}

_◦2

(

2

4ρ

2

_k

2 ◦

senh

2

_ρa

= 1 +

*

1 +

'

ρ

2

_{− k}

_◦2

(

4ρ

2

_k

2 ◦

+

#

$!

"

(ρ2+k2_◦)2 4ρ2k2_◦

senh

2

_ρa

)

_F

A

)

2

= 1 +

'

ρ

2

+ k

_◦2

(

4ρ

2

_k

2 ◦

senh

2

_ρa

⎧

⎨

⎩

k

_◦2

= 2mE/!

2

ρ

2

= 2m(V

_◦

_{− E)/!}

2

⇒

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

'

ρ

2

+ k

_◦2

(2

=

'

2mV

_◦

/

!

2

(2

4ρ

2

_k

2 ◦

= 4

%2m

!

2

&

2

E(V

_◦

_{− E)}

Logo,

'

ρ

2

+ k

_◦2

(2

4ρ

2

_k

2 ◦

=

V

◦2

4E(V

_◦

_{− E)}

e, finalmente,

t =

0 1 +

V

◦2

4E(V

_◦

_{− E)}

senh

2

ρa

1

₋₁

(11)

Logo:

Lembrando que:

temos

4A F e −ik◦a = e−ρa (ρ + ik ◦) (ρ+ik_◦)/iρk_◦ ! "# $ % 1 ρ + 1 ik & +eρa _{(ρ − ik} ◦) −(ρ−ik◦)/iρk◦ ! "# $ % 1 ρ − 1 ik_◦ & 4A F (iρk◦) e −ik◦a = e−ρa ρ2+2iρk_◦−k_◦2 ! "# $ (ρ + ik_◦)2 −eρa ρ2−2iρk◦−k2_◦ ! "# $ (ρ − ik◦)2

= 2iρk_◦ 'eρa + e−ρa(

# $! " 2 cosh ρa −'ρ2 _{− k}_◦2( 'eρa _{− e}−ρa( # $! " 2 senh ρa A F e

−ik◦a = cosh ρa − '

ρ2 _{− k}_◦2(

2iρk_◦ senh ρa

Assim, ) ) )A_F ) ) )2 = cosh2 ρa # $! " 1+senh2ρa + ' ρ2 _{− k}_◦2(2 4ρ2_k2 ◦ senh2 _ρa = 1 + * 1 + ' ρ2 _{− k}_◦2( 4ρ2_k2 ◦ + # $! " (ρ2+k2_◦)2 4ρ2k2_◦ senh2 _ρa ) ) )_FA ) ) )2 = 1 + ' ρ2 + k_◦2( 4ρ2_k2 ◦ senh2 _ρa ⎧ ⎨ ⎩ k_◦2 = 2mE/!2 ρ2 = 2m(V_◦ _{− E)/!}2 ⇒ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ' ρ2 + k_◦2(2 = '2mV_◦/!2(2 4ρ2_k2 ◦ = 4 %2m !2 &2 E(V_◦ _{− E)} Logo, ' ρ2 + k_◦2(2 4ρ2_k2 ◦ = V◦2 4E(V_◦ _{− E)} e, finalmente, t = 0 1 + V◦2

4E(V _{− E)} senh2 ρa

1−1

4A F e −ik◦a = e−ρa(ρ + ik ◦) (ρ+ik_◦)/iρk_◦ ! "# $ % 1 ρ + 1 ik & +eρa_{(ρ − ik} ◦) −(ρ−ik◦)/iρk◦ ! "# $ % 1 ρ − 1 ik_◦ & 4A F (iρk◦) e −ik◦a = e−ρa ρ2+2iρk_◦_−k_◦2 ! "# $ (ρ + ik_◦)2 −eρa ρ2_−2iρk_◦_−k2_◦ ! "# $ (ρ − ik◦)2

= 2iρk_◦ 'eρa + e−ρa( # $! " 2 cosh ρa −'ρ2 _{− k}_◦2( 'eρa _{− e}−ρa( # $! " 2 senh ρa A F e

−ik◦a = cosh ρa −

'

ρ2 _{− k}_◦2(

2iρk_◦ senh ρa Assim, ) ) )_FA ) ) )2 = cosh2 ρa # $! " 1+senh2ρa + ' ρ2 _{− k}2_◦(2 4ρ2_k2 ◦ senh2 _ρa = 1 + * 1 + ' ρ2 _{− k}_◦2( 4ρ2_k2 ◦ + # $! " (ρ2+k2_◦)2 4ρ2k2_◦ senh2 _ρa ) ) )A_F ) ) )2 = 1 + ' ρ2 + k_◦2( 4ρ2_k2 ◦ senh2 _ρa ⎧ ⎨ ⎩ k_◦2 = 2mE/!2 ρ2 = 2m(V_◦ _{− E)/!}2 ⇒ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ' ρ2 + k_◦2(2 = '2mV_◦/!2(2 4ρ2_k2 ◦ = 4 %2m !2 &2 E(V_◦ _{− E)} Logo, ' ρ2 + k2_◦(2 4ρ2_k2 ◦ = V◦2 4E(V_◦ _{− E)} e, finalmente, t = 0 1 + V◦2

4E(V_◦ _{− E)} senh2 ρa 1−1

4A F e −ik◦a = e−ρa (ρ + ik ◦) (ρ+ik_◦)/iρk_◦ ! "# $ % 1 ρ + 1 ik & +eρa _{(ρ − ik} ◦) −(ρ−ik◦)/iρk◦ ! "# $ % 1 ρ − 1 ik_◦ & 4A F (iρk◦) e −ik◦a = e−ρa ρ2+2iρk_◦_−k_◦2 ! "# $ (ρ + ik_◦)2 −eρa ρ2_−2iρk_◦_−k2_◦ ! "# $ (ρ − ik◦)2

= 2iρk_◦ 'eρa + e−ρa(

# $! " 2 cosh ρa −'ρ2 _{− k}_◦2( 'eρa _{− e}−ρa( # $! " 2 senh ρa A F e

−ik◦a = cosh ρa −

'

ρ2 _{− k}_◦2(

2iρk_◦ senh ρa

Assim, ) ) )_FA ) ) )2 = cosh2 ρa # $! " 1+senh2ρa + ' ρ2 _{− k}_◦2(2 4ρ2_k2 ◦ senh2 _ρa = 1 + * 1 + ' ρ2 _{− k}_◦2( 4ρ2_k2 ◦ + # $! " (ρ2+k2_◦)2 4ρ2k2_◦ senh2 _ρa ) ) )A_F ) ) )2 = 1 + ' ρ2 + k_◦2( 4ρ2_k2 ◦ senh2 _ρa ⎧ ⎨ ⎩ k_◦2 = 2mE/!2 ρ2 = 2m(V_◦ _{− E)/!}2 ⇒ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ' ρ2 + k_◦2(2 = '2mV_◦/!2(2 4ρ2_k2 ◦ = 4 %2m !2 &2 E(V_◦ _{− E)} Logo, ' ρ2 + k_◦2(2 4ρ2_k2 ◦ = V◦2 4E(V_◦ _{− E)} e, finalmente, t = 0 1 + V◦2

4E(V_◦ _{− E)} senh2 ρa 1−1

(12)

Assim, o coeficiente de transmissão fica:

Vemos que em geral T>0. Isto é, existe uma probabilidade de que a partícula que inicialmente estava do lado esquerdo da barreira possa ser encontrada do lado direito da barreira.

Essa probabilidade depende da espessura 𝑎 da barreira e da energia E da partícula (totalmente cinética) em comparação com a altura da barreira V0.

165 4A

F

e

−ik◦a

= e

−ρa

(ρ + ik

◦

)

(ρ+ik_◦)/iρk_◦

!

"#

$

% 1

ρ

+

1 ik

&

+e

ρa

_{(ρ − ik}

◦

)

−(ρ−ik◦)/iρk◦

!

"#

$

% 1

ρ

−

1 ik

_◦

&

4 A

F

(iρk

◦

) e

−ik◦a

= e

−ρa ρ2+2iρk_◦_−k_◦2

!

"#

$

(ρ + ik

_◦

)

2

−e

ρa ρ2_−2iρk_◦_−k_◦2

!

"#

$

(ρ − ik

◦

)

2

= 2iρk

_◦

'

e

ρa

+ e

−ρa

(

#

$!

"

2 cosh ρa

−

'

ρ

2

_{− k}

_◦2

( '

e

ρa

_{− e}

−ρa

(

#

$!

"

2 senh ρa

A

F

e

−ik◦a

= cosh ρa −

'

ρ

2

_{− k}

_◦2

(

2iρk

_◦

senh ρa

Assim,

)

_F

A

)

2

= cosh

2

ρa

# $! "

1+senh2ρa

+

'

ρ

2

_{− k}

_◦2

(

2

4ρ

2

_k

2 ◦

senh

2

_ρa

= 1 +

*

1 +

'

ρ

2

_{− k}

_◦2

(

4ρ

2

_k

2 ◦

+

#

$!

"

(ρ2+k2_◦)2 4ρ2k2_◦

senh

2

_ρa

)

_F

A

)

2

= 1 +

'

ρ

2

+ k

_◦2

(

4ρ

2

_k

2 ◦

senh

2

_ρa

⎧

⎨

⎩

k

_◦2

= 2mE/!

2

ρ

2

= 2m(V

_◦

_{− E)/!}

2

⇒

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

'

ρ

2

+ k

_◦2

(

2

=

'

2mV

_◦

/

!

2

(

2

4ρ

2

_k

2 ◦

= 4

%2m

!

2

&

2

E(V

_◦

_{− E)}

Logo,

'

ρ

2

+ k

_◦2

(

2

4ρ

2

_k

2 ◦

=

V

◦2

4E(V

_◦

_{− E)}

e, finalmente,

t =

0 1 +

V

◦2

4E(V

_◦

_{− E)}

senh

2

ρa

1

₋₁

T =

F

A

(13)

Casos particular: Consideremos o caso em que E ≪ V0 𝜌𝑎 ≫ 1.

Portanto, o coeficiente de transmissão fica:

Isso indica que a probabilidade de penetração na barreira é muito pequena mas, dependendo da largura, algumas partículas do feixe atravessam a barreira.

b) Para ! → 0 lim

!→0 ρ → ∞ ⇒ lim!→0

(ρ_→∞)

senh ρa → lim_ρ

→∞

eρa

2 → ∞ (15.1)

o coeficiente de transmiss˜ao se anula, lim

!→0 t → 0 (sem transmissão – análogo ao caso clássico)

Para ρa ≫ 1 (E << V_◦) lim ρa_{≫ 1} senh 2 _ρa → e 2 ρa 4 ≫ 1 o coeficiente de transmiss˜ao lim E_{≪ V}_◦ t = 16E(V_◦ _−E) V_◦2 e 2 ρa ≪ 1

indica que a probabilidade de penetra¸cão na barreira é muito pequena mas, dependendo da largura, algumas part´ıculas do feixe atravessam a barreira. Essa é a origem do chamado efeito túnel, utilizado nos microscópios eletrônicos.

c) Para o caso em que E > V_◦, as fun¸cões de onda nas três regiões são ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ψI = incidente % &' ( Aeik◦x + refeletida % &' ( B−ik◦x _k ◦ = √ 2mE/! (x < 0 e V = 0) ψII = Ceikx + D−ikx k = ) 2m(E −V◦)/! (0 < x < a e V = V◦) ψIII = F e' (% &ik◦x transmitida (x > a e V = 0) Formalmente, pode-se escrever

ρ2 = −k2 =⇒ ρ = ik =⇒ senh ρa = senh ika = isen ka

ou

senh2 _{ρa =}

−sen2 ka

Desse modo, pode-se obter o coeficiente de transmissão, para E > V_◦, com a substitui¸cão indicada na equa¸cão anterior, ou seja,

t = * 1 + V◦2 4E(E −V◦) sen2_ka +−1

b) Para ! → 0 lim

!→0 ρ → ∞ ⇒ lim!→0

(ρ_→∞)

senh ρa → lim_ρ

→∞

eρa

2 → ∞ (15.1)

o coeficiente de transmiss˜ao se anula, lim

!→0 t → 0 (sem transmissão – análogo ao caso clássico)

Para ρa ≫ 1 (E << V_◦) lim ρa_{≫ 1} senh 2 _ρa → e 2 ρa 4 ≫ 1 o coeficiente de transmiss˜ao lim E_{≪ V}_◦ t = 16E(V_◦ _−E) V_◦2 e 2 ρa ≪ 1

indica que a probabilidade de penetra¸cão na barreira é muito pequena mas, dependendo da largura, algumas part´ıculas do feixe atravessam a barreira. Essa é a origem do chamado efeito túnel, utilizado nos microscópios eletrônicos.

c) Para o caso em que E > V_◦, as fun¸cões de onda nas três regiões são ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ψI = incidente % &' ( Aeik◦x + refeletida % &' ( B−ik◦x _k ◦ = √ 2mE/! (x < 0 e V = 0) ψII = Ceikx + D−ikx k = ) 2m(E −V◦)/! (0 < x < a e V = V◦) ψIII = F e' (% &ik◦x transmitida (x > a e V = 0)

Formalmente, pode-se escrever

ρ2 = −k2 =⇒ ρ = ik =⇒ senh ρa = senh ika = isen ka ou

senh2 _{ρa =}

−sen2 ka

Desse modo, pode-se obter o coeficiente de transmissão, para E > V_◦, com a substitui¸cão indicada na equa¸cão anterior, ou seja,

t = * 1 + V◦2 4E(E −V ) sen2ka +−1 T

(14)

Na Figura vemos uma função de onda possível para uma partícula tunelando através de uma barreira de energia potencial.

300 Física IV

Vamos considerar as soluções da equação de Schrödinger para essa função

ener-gia potencial em que E é menor que U

₀

. Podemos usar os resultados da Seção 40.3.

Nas regiões x < 0 e x > L, onde U ! 0, a solução é senoidal e dada pela Equação

40.38. Dentro da barreira (0 " x " L), U ! U

₀

e a solução é exponencial, como na

Equação 40.40. Tal como no caso do poço de potencial finito, as funções devem

se unir sem quebras nas fronteiras x ! 0 e x ! L. Ou seja, tanto c(x) quanto dc(x)/

dx devem ser contínuas nesses pontos.

Aplicando essas condições, obtemos uma função de onda do tipo indicado na

Figura 40.20. A função de onda não é igual a zero dentro da barreira (a região

proi-bida pela mecânica newtoniana). O que ainda é mais notável é que existe uma

pro-babilidade de que a partícula que inicialmente estava do lado esquerdo da barreira

possa ser encontrada do lado direito da barreira. Qual é o valor dessa probabilidade?

Depende da espessura L da barreira e da energia E da partícula (totalmente cinética)

em comparação com a altura da barreira U

₀

. A probabilidade de tunelamento T

de que a partícula passe pela barreira é proporcional ao quadrado da razão entre

as amplitudes das funções de onda senoidais dos dois lados da barreira. Essas

amplitudes são obtidas quando igualamos as funções de onda e suas derivadas nas

fronteiras da barreira, um problema matemático bastante trabalhoso. Quando T é

muito menor que 1, esse coeficiente é dado aproximadamente por

T = Ge

-2kL

onde G = 16

_U

E

0

a1

-E

U

₀

b e k

=

"2m 1U

₀

- E2

U

(probabilidade de tunelamento)

(40.42)

A probabilidade diminui rapidamente à medida que aumenta a espessura da

barreira L. Ela também depende criticamente da diferença U

₀

– E, que representa,

na mecânica newtoniana, a energia cinética adicional que a partícula deveria possuir

para ser capaz de passar por cima da barreira.

Figura 40.20

Uma função

de onda possível para uma

partícula tunelando através

da barreira de energia

potencial mostrada na

Figura 40.19.

A função de onda é exponencial dentro da barreira (0 " x " L) ...

A função de onda e suas derivadas (inclinações) são contínuas em x = 0 e x = L, de modo que as funções senoidal e exponencial se unem sem que haja descontinuidades.

...e senoidal fora dela. U(x) U₀ 0 L x c(x) 0 x U(x) U₀ L E

Figura 40.19

Uma barreira de

energia potencial com largura L e

altura U

₀

. De acordo com a

mecânica newtoniana, quando a

energia total E é menor que U

₀

, a

partícula não pode ultrapassar a

barreira, permanecendo confinada

no lado em que ela se encontrava

inicialmente.

Um elétron de 2,0 eV encontra uma barreira com 5,0 eV de

al-tura. Qual é a probabilidade de ele tunelar através da barreira se

a espessura da barreira é (a) 1,0 nm? (b) 0,50 nm?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR:

este problema utiliza as ideias de

tunelamento através de uma barreira retangular, como aquela

mostrada nas figuras 40.19 e 40.20. Nossa incógnita é a

probabi-lidade de tunelamento T na Equação 40.42, que calculamos para

os valores dados E ! 2,0 eV (energia do elétron), U ! 5,0 eV

(altura da barreira), m ! 9,11 # 10

–31

kg (massa do elétron) e L

! 1,00 nm ou 0,50 nm (largura da barreira).

EXECUTAR:

primeiro calculamos G e k na Equação 40.42,

usando E ! 2,0 eV:

G

_{= 16a}

2,0 eV

5,0 eV

b a1

-2,0 eV

5,0 eV

b

= 3,8

U

₀

_{- E = 5,0 eV - 2,0 eV = 3,0 eV = 4,8 10 J}*

k

=

"2 19,11

* 10

-31

_{kg2 14,8 * 10}

-19

_J2

1,055 * 10

-34

J

#

s

= 8,9 * 10

9

_m

-19

(a) Quando L ! 1,00 nm ! 1,00 # 10

–9

m, obtemos que 2kL !

2(8,9 # 10

9

m

–1

) (1,00 # 10

–9

m) ! 17,8 e T ! Ge

– 2kL

!

3,8e

–17,8

! 7,1 # 10

–8

.

(b) Quando L ! 0,50 nm, metade de 1,00 nm, 2kL é metade de

17,8, ou 8,9. Então T ! 3,8e

–8,9

! 5,2 # 10

–4

.

EXEMPLO 40.7

TUNELAMENTO ATRAVÉS DE UMA BARREIRA

(Continua )

(15)

15

Vamos considerar uma partícula imersa em um potencial da forma: V(x) = 0 para 0 < x < L

V(x) = V0 para x<0 e x>L

As soluções da Eq. de Schrödinger são bastante diferentes dependendo de se:

- caso 1: E < V0

- caso 2: E > V0

Vamos resolver agora o caso 1: E < V0 e deixaremos o caso 2 para mais

adiante.

Partícula em uma caixa finita

246 Chapter 6 The Schrödinger Equation

3 1 hc E₃ ₁ 1240 eV nm 300.8 eV 4.12 nm 2 1 hc E₂ ₁ 1240 eV nm 112.8 eV 11.0 nm

6-3

The Finite Square Well

The quantization of energy that we found for a particle in an infinite square well is a general result that follows from the solution of the Schrödinger equation for any particle confined in some region of space. We will illustrate this by considering the qualitative behavior of the wave function for a slightly more general potential energy function, the finite square well shown in Figure 6-8. The solutions of the Schrödinger equation for this type of potential energy are quite different, depending on whether the total energy E is greater or less than V₀. We will defer discussion of the case E V₀ to Section 6-5 except to remark that in that case the particle is not confined and any value of the energy is allowed, that is, there is no energy quantization. Here, we will look first at states with E V₀.

Inside the well, V(x) 0 and the time-independent Schrödinger equation (Equation 6-18) becomes Equation 6-26, the same as for the infinite well:

x k2 x k2 2mE₂

The solutions are sines and cosines (Equation 6-28) except that now we do not require (x) to be zero at the well boundaries but rather that (x) and (x) be continuous at these points. Outside the well, that is, for 0

x L, Equation 6-18 becomes x 2m₂ V₀ E x 2 x 6-33 where 2 2m 2 V0 E 0 6-34 L 0 V(x) V₀ x +a –a 0 V(x) V₀ x (a) (b)

FIGURE 6-8 (a) The finite square well potential. (b) Region I is that with x a, II with a x a, and III with x a.

FIGURE 6-9 (a) Positive function with positive curvature; (b) negative function with negative curvature. f (x) x (b) f (x) x (a)

(16)

Na região dentro do poço, 0<x<L, temos V(x)=0. Portanto, a equação de Schrödinger fica:

Logo, a solução da equação diferencial na região 2 é:

onde

Classicamente, uma partícula de massa m e energia E < V0 encontra-se

confinada dentro do poço finito. Contudo, a mecânica quântica permite que a partícula possa estar fora do poço.

Portanto, 𝜓(x) não deve ser zero em x=0 e x=L.

16

~

2

2m

d

2

(x)

dx

2

= E (x)

)

d

2

(x)

dx

2

+

2mE

~

2

(x) = 0

k = r 2mE ~2 2

(x) = Ae

ikx

+ Be

ikx

(17)

17

Nas regiões 1 e 3 onde V(x) = V0, a equação de Schrödinger fica:

Logo, a solução da equação diferencial nas regiões 1 e 3 é da forma: 𝜓(x) = A ekx_{+ B e}–kx

A função de onda deve ser finita, portanto:

- o termo contendo ekx deve ser nulo na região 3, já que diverge

quando x →+∞.

- o termo contendo e–kx deve ser nulo na região 1, já que diverge

quando x →–∞. ~2 2m d2 (x) dx2 + V0 (x) = E (x) ) d2 (x) dx2 2m(V₀ E) ~2 | {z } ⌘ ↵2 (x) = 0

(18)

18

Assim sendo, as soluções nas regiões 1 e 3 devem ser:

Condições de contorno: A função de onda 𝜓(x) e a sua derivada primeira d𝜓(x)/dx devem ser contínuas já que d2_𝜓_(x)/dx2_{deve estar bem definida.}

Isso leva às condições:

𝜓₁_{(0) = 𝜓}₂_{(0) C = A + B}

𝜓₂_{(L) = 𝜓}₃_{(L) Ae}ikL + Be–ikL = D e–𝛼L

d𝜓1(0)/dx = d𝜓2(0)/dx 𝛼C = ik(A – B)

d𝜓2(L)/dx = d𝜓3(L)/dx ik(AeikL – Be–ikL) = –𝛼D e–𝛼L

1

(x) = Ce

↵x 3

(x) = De

↵x

(19)

19

Os níveis de energia permitidos podem ser obtidos a partir das 4 e q u a ç õ e s a n t e r i o r e s , eliminando-se as incógnitas A, B, C e D.

No entanto, não é possível encontrar uma solução analítica p a r a e s s a s e q u a ç õ e s . Resolvendo-as através de métodos numéricos obtemos as energias mostradas na figura.

6-3 The Finite Square Well 249

where k2 2m E V x 2 now depends on x. The solutions of this equation are no longer simple sine or cosine functions because the wave number k 2 varies with x, but since and have opposite signs, will always curve toward the axis and the solutions will oscillate. Outside the well, will curve away from the axis so there will be only certain values of E for which solutions exist that approach zero as

x approaches infinity.

More

In most cases the solution of finite-well problems involves transcen-dental equations and is very difficult. For some finite potentials, however, graphical solutions are relatively simple and provide both insights and numerical results. As an example, we have included the Graphical Solution of the Finite Square Well on the home page: www.whfreeman.com/tiplermodernphysics6e. See also Equations 6-36 through 6-43 and Figure 6-15 here.

More

FIGURE 6-13 Comparison of the lowest four energy levels of an infinite square well (broken lines) with those of a finite square well (solid lines) of the same width. As the depth of the finite well decreases, it loses energy levels out of the top of the well; however, the n 1 level remains even as V0 0.

Infinite square well Finite square well

x n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 V V = V0 Energy 0 L

FIGURE 6-14 Arbitrary well-type potential with possible energy E. Inside the well [E V(x)], (x) and (x) have opposite signs, and the wave function will oscillate. Outside the well, (x) and

(x) have the same sign, and, except for certain values of E, the wave function will not be well behaved.

V(x)

(20)

Oscilador Harmônico

Analisemos agora as soluções da equação de Schrödinger para o caso de uma partícula sujeita ao potencial unidimensional do tipo oscilador harmônico. O potencial é

e as soluções podem ser obtidas resolvendo

como se trata de uma situação onde há confinamento, pois a partícula está ligada pelo potencial de força restauradora, as energias formam um espectro discreto {En}. Para cada estado de energia haverá uma autofunção (i.e, função

de onda) ψn correspondente. V (x) = k 2x 2 ~2 2m d2 d x2 (x) + k 2x 2 (x) = E (x) {En} n ⇠ x2 (x)

V (x) =

k

2 x

2

~

2

2m

d

2

d x

2

(x) +

k

2 x

2

(x) = E (x)

{E

n

}

n

⇠ x

2

(x)

(21)

Introduzindo-se uma variável adimensional

temos que

(✻)

onde κ ≡ 2E/ ω.

A resolução da Eq. (✻) está além do escopo deste curso. Um estudo bem mais completo do oscilador harmônico quântico pode ser encontrado nos livros-textos de Mecânica Quântica.

⇠

_⌘

r

m!

~

x

d

2

d⇠

2

(⇠

2

_

2

_{) = 0}

(22)

É possível mostrar que κ=2n+1, com n=0,1,2,…, para que se obtenha soluções aceitáveis fisicamente, i.e. ψ(x) tende a zero para x → ±∞.

Decorre imediatamente desta condição a quantização da energia do sistema:

As soluções da Eq. (✻) são dadas por

onde Cn são constantes de normalização, e as funções Hn(ξ) são os

polinômios de Hermite.

254

Chapter 6 The Schrödinger Equation

Any value of the energy E is possible. The lowest energy is E 0, in which case the

particle is at rest at the origin.

The Schrödinger equation for this problem is

2

2m

2

_x

x

2

1

2 m

2

_x

2

_x

_E

_x

_6-55

The mathematical techniques involved in solving this type of differential equation are

standard in mathematical physics but unfamiliar to many students at this level. We

will, therefore, discuss the problem qualitatively. We first note that since the potential

is symmetric about the origin x 0, we expect the probability distribution function

x

2

also to be symmetric about the origin, that is, to have the same value at x

as at x.

x

2

x

2

The wave function (x) must then be either symmetric

x

x , or

anti-symmetric

x

x . We can therefore simplify our discussion by

consider-ing positive x only and find the solutions for negative x by symmetry. (The symmetry

of is discussed further in the Exploring section “Parity”; see page 257.)

Consider some value of total energy E. For x less than the classical turning point A

defined by Equation 6-53, the potential energy V(x) is less than the total energy E,

whereas for x A, V(x) is greater than E. Our discussion in Section 6-3 applies

directly to this problem. For x A, the Schrödinger equation can be written

x

k

2

x

where

k

2

2m

₂

E

V x

and (x) curves toward the axis and oscillates. For x A, the Schrödinger equation

becomes

x

2

x

with

2

2m

2

V x

E

and (x) curves away from the axis. Only certain values of E will lead to solutions

that are well behaved, that is, they approach zero as x approaches infinity. The allowed

values of E for the simple harmonic oscillator must be determined by rigorously

solv-ing the Schrödsolv-inger equation; in this case they are given by

E

_n

n

1

2 n

0, 1, 2,

c

6-56

Thus, the ground-state energy is

1₂

and the energy levels are equally spaced, each

excited state being separated from the levels immediately adjacent by

.

The wave functions of the simple harmonic oscillator in the ground state and in

the first two excited states (n 0, n 1, and n 2) are sketched in Figure 6-18. The

ground-state wave function has the shape of a Gaussian curve, and the lowest energy

E

1₂

is the minimum energy consistent with the uncertainty principle. The

TIPLER_06_229-276hr.indd 254 8/22/11 11:57 AM

6-5 The Simple Harmonic Oscillator

255 allowed solutions to the Schrödinger equation, the wave functions for the simple

harmonic oscillator, can be written

n

x

C

n

e

m x

2 ₂

H

_n

x

6-57

where the constants C

_n

are determined by normalization and the functions H

_n

(x) are

polynomials of order n called the Hermite polynomials.

13

The solutions for n 0, 1,

and 2 (see Figure 6-18) are

0

x

A

0

e

m x 2 ₂ 1

x

A

1

m

e

m x2 2

6-58

2

x

A

2

1 2m x

2

e

m x2 2

Notice that for even values of n, the wave functions are symmetric about the origin;

for odd values of n, they are antisymmetric. In Figure 6-19 the probability

distribu-tions

2_n

x are sketched for n 0, 1, 2, 3, and 10 for comparison with the classical

distribution.

A property of these wave functions that we will state without proof is that

n

x

m

dx

0 unless n

m

{ 1

6-59

This property places a condition on transitions that may occur between allowed states.

This condition, called a selection rule, limits the amount by which n can change for

(electric dipole) radiation emitted or absorbed by a simple harmonic oscillator:

The quantum number of the final state must be 1 less than or 1 greater

than that of the initial state.

Molecules vibrate as

harmonic oscillators.

Measuring vibration

frequencies (see Chapter 9)

makes possible

determination of force

constants, bond strengths,

and properties of solids.

CCR

FIGURE 6-18

Wave functions for the ground

state and the first two excited states of the

simple harmonic oscillator potential, the

states with n 0, 1, and 2.

x 0 n = 0 x 0 n = 1 x 0 n = 2

17

TIPLER_06_229-276hr.indd 255 8/22/11 11:57 AM

(23)

Os primeiros polinômios de Hermite são:

As funções de onda para n=0, 1, 2 são:

↵ = mw_~ = qkm ~2 H0 (y) = 1 H₁ (y) = 2y H₂ (y) = 4y2 2 H3 (y) = 8y3 12y

H₄ (y) = 16y4 48y2 + 12

Hn+1 (y) 2y Hn (y) + 2n Hn 1 (y) = 0

ˆ 1 1 H_n0 (y) H_n (y) e y2dy = ( 0 se n0 _{6= n} ⇡122nn! se n0 = n n (x)

6-5 The Simple Harmonic Oscillator

255 allowed solutions to the Schrödinger equation, the wave functions for the simple

harmonic oscillator, can be written

n

x

C

n

e

m x

2 ₂

H

_n

x

6-57

where the constants C

_n

are determined by normalization and the functions H

_n

(x) are

polynomials of order n called the Hermite polynomials.

13

The solutions for n 0, 1,

and 2 (see Figure 6-18) are

0

x

A

0

e

m x 2 ₂ 1

x

A

1

m

e

m x2 2

6-58

2

x

A

2

1 2m x

2

e

m x2 2

Notice that for even values of n, the wave functions are symmetric about the origin;

for odd values of n, they are antisymmetric. In Figure 6-19 the probability

distribu-tions

2_n

x are sketched for n 0, 1, 2, 3, and 10 for comparison with the classical

distribution.

A property of these wave functions that we will state without proof is that

n

x

m

dx

0 unless n

m

{ 1

6-59

This property places a condition on transitions that may occur between allowed states.

This condition, called a selection rule, limits the amount by which n can change for

(electric dipole) radiation emitted or absorbed by a simple harmonic oscillator:

The quantum number of the final state must be 1 less than or 1 greater

than that of the initial state.

Molecules vibrate as harmonic oscillators. Measuring vibration

frequencies (see Chapter 9) makes possible

determination of force

constants, bond strengths, and properties of solids.

CCR

FIGURE 6-18

Wave functions for the ground

state and the first two excited states of the

simple harmonic oscillator potential, the

states with n 0, 1, and 2.

x 0 n = 0 x 0 n = 1 x 0 n = 2

17

(24)

Gr´

aficos de ψ

_n

_{(x) e |ψ}

_n

_(x)|

2

do oscilador

harmˆ

onico simples

Valores esperados e operadores Aplica¸cões da equa¸cão de Schrödinger: o oscilador harmônico simples

Aula 13 20 / 20 ψ0 ψ1 ψ2 −A A |ψn|2 ξ Pc

Gr´

aficos de ψ

_n

_{(x) e |ψ}

_n

_(x)|

2

do oscilador

harmˆ

onico simples

Valores esperados e operadores Aplica¸cões da equa¸cão de Schrödinger: o oscilador harmônico simples

Aula 13 20 / 20 ψ0 ψ1 ψ2 −A A |ψn|2 ξ Pc