Professor Mauricio Lutz LIMITES

LIMITES

1) Noção intuitiva de limites

Seja a função f(x)= x2 +1. Vamos dar valores de x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x _{y= x2 +1} x _{y= x2 +1} 1,5 4 0,5 2 1,3 3,6 0,7 2,4 1,1 3,2 0,9 2,8 1,05 3,1 0,95 2,9 1,02 3,04 0,98 2,96 1,01 3,02 0,99 2,98

Notemos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1 (x→1), y tende para 3 (y→1), ou seja:

3 ) 1 2 ( lim 1 + = → x x

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.

Esse é o estudo do comportamento de f(x)quando x tende para 1 (x→1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 ( f(x)→3), dizemos que o limite de f(x) quando x→1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x=1 o valor de f(x) não seja 3.

De forma geral, escrevemos:

b x f a x→ ( )= lim

se, quando x se aproxima de a (x→a), f(x) se aproxima de b ( f(x)→b) Seja, agora a função

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − − + = 1 , 2 1 , 1 2 ) ( 2 x se x x x x x f Como x2 +x−2=(x−1)(x+2), temos: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − + − = 1 , 2 1 , 1 ) 2 )( 1 ( ) ( x se x x x x x f

Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x→1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x)=2, o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x→1. E, no caso, y→3. Logo, o limite de f(x) é 3. Escrevemos: 3 2 1 ) 2 ( lim 1 ) 2 )( 1 ( lim ) ( lim 1 1 1 − = + = + = + − = → → → _x x x x x f x x x Se g:ℜ→ℜ e g(x)= x+2, lim ( ) lim( 2) 1 2 3 1 1 = → + = + = → g x x x x , embora ) ( ) (x f x g ≠ em x=1.

No entanto, ambas têm o mesmo limite.

2) Definição de limite

Dizemos que o limite da função f(x) quando x tende a “a” é igual ao número real L se, e somente se, os números reais f(x) para os infinitos valores de

x permanecem próximos a L, sempre que x estiver muito próximo de “a”.

Indica-se: L x f a x→ ( )= lim 3) Propriedades dos limites

1°) Limite de uma constante

O limite de uma constante é a própria constante.

k k a x→ = lim Exemplo: lim3 3 2 = → x

2°) Limite da soma e diferença

O limite da soma é soma dos limites.

O limite da diferença é a diferença dos limites.

[

( ) ( )

]

lim ( ) lim ( ) lim f x g x f x g x a x a x a x→ ± = → ± →

Exemplo: lim

[

3

]

lim lim3 2 1 3 4 1 3 1 2 3 1 + = → + → = + = → x x x x x x x 3°) Limite do produto

O limite do produto é o produto dos limites.

[

( ). ( )

]

lim ( ).lim ( ) lim f x g x f x g x a x a x a x→ = → →

Exemplo: lim4 lim4.lim 2 4.9 36 3 3 2 3 = → → = = → x x x x x 4°) Limite do quociente

O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f a x a x a x → → → = Exemplo: 6 5 4 2 3 2 ) 4 ( lim ) 3 ( lim ) 4 ( ) 3 ( lim 2 2 2 + = + = + + = + + → → → _x x x x x x x

5°) Limite de uma potência

O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite.

[

]

(

)

n a x n a x f(x) lim f(x) lim → → = * Ν ∈ n

Exemplo: lim

(

3

)

(

lim( 2 3)

)

2 (1 3)2 16 1 2 2 1 + = → + = + = → x x x x 6°) Limite da raiz

O limite da raiz enésima de uma função é igual a raiz enésima do limite dessa função. n a x n a x f(x) lim f(x) lim → → = Exemplo: ₅ 4 5 2 5 4 2 3 lim3 48 lim = = → → x x x x

Exercícios Determine: a) lim7 4 → x b) ₃ 2 lim 1 − → x c) x→

(

x +x

)

3 2 5 lim d) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − → x x x ₂ 1 4 lim 2 4 e) lim

(

3 2 1

)

3 + − → x x x f) lim

(

1

)

2 3 4 0 − + + → x x x x g) 2 16 lim x x→ h) limx→3(x−1)(4−x) i) 1 4 lim 2 3 + → _x x x j) lim 2 ₁ 3 5 − → _x x x k)

(

)

6 12 1 lim − − → x x l)

(

)

2 2 3 2 3 2 5 1 lim − + − → x x x x m) 4 4 1 81 lim x x→ n) 3 2 4 lim x x→ o) xlim→ 2(x+3)(x−4) p) 50 2 1(4 1) lim − → x x q) 5 2 lim 4 2 3 16 + + → _x x x x r) 50 1 1 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ → x _x x s) 3 2 4 5 4 lim − − → x x x t) ₁ 3 5 2 lim ₂ 3 3 3 − − + → _x x x x Gabarito a) 7 b) 3 2 c) 42 d) 66 e) 29 f) 1 g) 6 h) 2 i) 9 j) 24 125 k) 729 l)625 m) 3 n) 3 2 2 o) 5 2−20 p) 1 q) 7 72 r) 64 s) –2 t) 2 1 − 4) Limites laterais

Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos: b x f a x→ + = ) ( lim

Este limite é chamado de limite lateral à direita de a.

Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos: c x f a x→ − = ) ( lim

Este limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.

O limite de f(x) para x→a existe se, e somente se, os limites laterais à direita e a esquerda são iguais, ou seja:

⇒ Se f x f x b

a x a

xlim→ ₊ ( )=lim→ ₋ ( )= , então limx→a f(x)=b.

⇒ Se lim f(x) lim f(x)

a x a

x→+ → −

≠ , então não existe lim f(x)

a x→ .

5) Continuidade

Dizemos que uma função é continua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

⇒ existe f(a) ⇒ existe limf(x) a x→ ⇒ limf(x) f(a) a x→ =

Exemplo: Verificar se a função

2 4 ) ( 2 − − = x x x f é contínua em x=3. Cálculo de f(3) 5 2 3 4 3 ) 3 ( 2 4 ) ( 2 2 = − − = ⇒ − − = f x x x f Calculo do lim ( ) 3 f x x→ : 5 2 3 ) 2 ( lim 2 ) 2 )( 2 ( lim 2 4 lim 3 3 2 3 − = + = + = − + = − − → → → _x x x x x x x x x Como lim ( ) (3) 3 f x f x→ = , f(x) é contínua em x=3. Exercícios 1) Dada a função 1 1 ) ( + − = x x x

f , diga se f(x) é contínua nos pontos:

a) x=0. b) x=−1. c) x=2. 2) Dada a função 10 3 5 ) ( ₂ − + + = x x x x

f , diga se f(x) é contínua nos pontos:

a) x=5. b) x=2.

Gabarito

6) Limites envolvendo infinitos 0 1 lim = →∞_x x Exemplo: 0 1 lim = −∞ → _x x ∞ = + → _x x 1 lim 0 −∞ = − → _x x 1 lim 0

7) Limites envolvendo funções compostas

Se g x b

c

x→ ( )=

lim e f é contínua em bentão:

(

( )

)

( )

(

lim ( )

)

lim f g x f b f g x c x c x→ = = → n c x n c x g(x) limg(x) lim → → = Exemplo:

( )

( )

3 1 27 1 ) 9 3 3 3 1 ) 9 3 ( 1 lim ) 9 3 )( 3 ( 3 lim ₃ 3 2 3 2 3 3 2 3 + − + = − + = − − − + = = + − → − → _{x x x x x} x x x

8) Limite da função polinomial para

n n x xlim→±∞ f(x)= lim→±∞a x m m n n x x _{b x} x a x g x f ±∞ → ±∞ → _{( )} = lim ) ( lim

Exemplos: 1) Dada a função ( )=2 3−5 2 +2 −1

x x x x f , calcular lim f(x) x→+∞ . +∞ = = + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− + +} = − + − = +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → 3 3 3 2 3 2 3 2 lim ) 0 0 0 2 ( lim 1 2 5 2 lim 1 2 5 2 lim ) ( lim x x x x x x x x x x f x x x x x 2) Calcular 7 3 4 1 5 2 lim ₂ 2 − + + − +∞ → _{x x} x x x 2 1 4 2 4 2 lim 0 0 4 0 0 2 lim 7 3 4 1 5 2 lim 7 3 4 1 5 2 lim 7 3 4 1 5 2 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = − + + − = − + + − = − + + − = − + + − +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ±∞ → x

3) Calcular

(

x x x

)

xlim→+∞ +2 +3− 2

(

)(

)

(

)

1 2 2 lim 2 lim 3 2 3 2 lim 3 2 3 2 lim 3 2 3 2 3 2 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 = = + = + + + + + + + − + + = + + + + + + − + + +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Exercícios Calcule: a) lim

(

2 +7

)

+∞ → x x b) xlim→−∞

(

−4x+1

)

c) lim

(

3 2 4

)

3 6 + − + +∞ → x x x x d)

(

x x x

)

xlim 4 2 3 2 7+ + −∞ → e) _{4 5} 1 8 lim − + →∞ _x x x f) _{5 6} 2 3 lim ₂ + − + −∞ → _{x x} x x g) lim 2 3− 2+ +1 ∞ → x x x x h) ₁ 3 lim ₂ 2 − − →∞ _x x x x i) 2 3 2 1 6 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − →∞ _x x x j) x x x x→∞ −5 +7− lim 2 k) 7 4 2 1 3 5 lim ₂ 2 − + + − −∞ → _{x x} x x x l) _x x x _{2 3} 7 4 lim + − −∞ → m) 3 2 2 lim ₂ 3 − + − →∞ _x x x x n) ₃ 2 lim 2 + − −∞ → _x x x o) 3 2 ) 1 ( 8 lim + + ∞ → _{x x} x x Gabarito a) +∞    b) +∞    c) +∞    d) –∞ e) 2 f) 0 g) +∞  h) 1 i) 9 j) – 5/2 k) 5/2 l) –7/3 m) –∞         n) +∞ o)1

9) Limite exponencial fundamental

e x x x x x x ⎟⎠ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −∞ → +∞ → 1 1 lim 1 1 lim ... 71828182 , 2 = e

(

x

)

x e x→ + = 1 0 1 lim 1 1 lim 0 = − → _x ex x Exemplo: 4 4 4 4 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim e x x x x x x x x x ⎥⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +∞ → +∞ → +∞ →

10) Limite trigonométrico fundamental 1 lim 0 = → _x senx x m k mx senkx x→0 = lim Exemplos: a) Calcule x x sen x ₃ 8 lim 0 → 3 8 8 . 1 . 3 1 8 . 8 8 . 3 1 lim 3 8 lim 0 0 ⎟⎠= = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = → → _x x sen x x sen x x b) Calcule x sen x sen x ₄ 5 lim 0 → 4 5 1 . 4 1 . 5 4 4 4 5 5 5 lim 4 5 lim 0 0 = → = = → x x sen x x sen x sen x sen x x Exercícios Calcule: a) x x _x 6 1 1 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +∞ → b) x x _x 2 1 1 1 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +∞ → c) x x _x 3 4 1 1 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −∞ → d) a x x _x + −∞ → ⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 11 lim e) x x sen x ₂ 3 lim 0 → f) _x x sen x 3 lim 0 → g) _{sen x} x sen x ₃ 2 lim 0 → h) _x senx x ₅ lim 0 → i) senx x x 0 lim → j) _{sen x} x sen x π π 3 lim 1 → Gabarito a) 6 e b) e c) e3 e d) e e) 3/2 f) 3 g) 2/3 h) 1/5 i) 1 j) 1/3