Geometria Analítica - Ebook.pdf (10.17Mb)

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Geometria

Analítica

Geometria

Analítica

Presidente da República

Luiz Inácio Lula da Silva

Ministro da Educação

Fernando Haddad

Secretaria de Educação Profissional Tecnológica

Eliezer Moreira Pacheco

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte – IFRN

Reitor

Belchior de Oliveira Rocha

Diretor da Unidade Sede

Enilson Araújo Pereira

Diretoria de Pesquisa

José Yvan Pereira Leite

Coordenador da Editora do IFRN

Samir Cristino de Souza

Conselho Editorial

Samir Cristino de Souza (Presidente) André Luiz Calado de Araújo Antônio Luiz de Siqueira Campos

Dante Henrique Moura Jerônimo Pereira dos Santos

José Yvan Pereira Leite Valdenildo Pedro da Silva

Robson Santana Pacheco

GEOMETRIA ANALÍTICA

Geometria Analítica

© Copyright 2008 da Editora do IFRN Todos os direitos reservados

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Divisão de Serviços Técnicos. Catalogação da publicação na fonte. Biblioteca José de Arimatéia Pereira - IFRN

EDITORAÇÃO

Samir Cristino de Souza

DIAGRAMAÇÃO E CAPA

Karoline Rachel Teodosio de Melo

CONTATOS

Editora do IFRN

Av. Senador Salgado Filho, 1559, CEP: 59015-000 Natal-RN. Fone: (84)4005-2668/ 3215-2733 Email: [email protected]

Pacheco, Robson Santana

Geometria analítica / Robson Santana Pacheco. – Natal (RN): editora do IFRN, 2009.

149 p.

ISBN 978-85-89571-53-1

1. Geometria analítica. 2. Vetores. I. Título. IFRN / BJAP

SUMÁRIO APRESENTAÇÃO ... 7 AGRADECIMENTO ... 9 PREFÁCIO... 11 Capitulo1 VETORES... 13 Introdução ... 13 Vetor ... 16 Exercícios ... 17 Capitulo 2 O PLANO... 19 Sistema de Coordenadas ... 19 Vetores no Plano... 20 Exercícios ... 25 Produto Escalar ... 27

Ângulo de dois Vetores ... 29

Projeção de um Vetor ... 33

Exercícios ... 35

Retas ... 37

Ângulos entre retas ... 42

Distância entre o ponto e uma reta ... 45

A Circunferência... 48

Posições relativas entre ponto e Circunferência ... 50

Exercícios ... 51 Capitulo 3 CÔNICAS... 55 Elipse ... 55 Exercícios ... 62 Hipérbole ... 64 Exercícios ... 72 Parábola ... 74 Exercícios ... 80

Translação de Eixos ... 82

Capitulo 4 ESPAÇO... 87

Introdução ... 87

Vetores no Espaço ... 91

Módulo de um vetor ... 93

Operações com vetores ... 93

Produto Escalar ... 94

Produto Vetorial... 96

Produto Misto... 101

Exercícios Propostos... 103

Capitulo 5 RETAS E PLANOS... 109

Plano ... 109

Exercícios Propostos ... 114

Retas ... 116

Ângulo entre duas retas ... 125

Distancia de um ponto a uma reta ... 128

Distancia entre retas ... 131

Distancia de um ponto a um plano ... 136

Exercícios Propostos ... 140

Capitulo 6 SUPERFICIE ESFERICA ... 145

Equação da Superfície Esférica ... 147

Posição entre um ponto e uma Superfície Esférica ... 151

Plano tangente ... 154

Exercícios Propostos ... 162

REFERÊNCIAS... 167

APRESENTAÇÃO

Em 1591 François Viète (1540-1603) publicou um pequeno livro,

In Artem Analyticam Isagoge (Introdução à Arte Analítica), com o

seguinte e arrojado propósito: não deixar nenhum problema sem solução. A inovação contida em seu livro, que o levou a pensar em poder resolver todos os problemas do mundo, era a introdução dos métodos simbólicos na álgebra. Como quase sempre acontece, a idéia revolucionária não angariou aclamação geral na comunidade matemática – na verdade, gerou polêmicas que durariam cerca de dois séculos. Não obstante, o eventual sucesso da idéia de Viète foi tão completo, que hoje em dia é difícil conceber a matemática sem os seus símbolos. O efeito (relativamente) imediato, porém, foi a transformação da geometria analítica em um poderosíssimo instrumento para a modelação de problemas matemáticos, tanto os da matemática pura, quanto os da matemática aplicada; assim como uma importante propedêutica para o desenvolvimento de vários dos métodos de Cálculo infinitesimal.

O presente livro do Prof. Robson Santana Pacheco, embora não pretenda resolver todos os problemas do mundo, compartilha com o de Viète, no ambiente pedagógico, o que este contribuiu para o percurso histórico. Isto é, o presente livro pretende proporcionar ao aluno atual os requisitos necessários para utilizar a geometria analítica como um instrumento de análise, tanto da matemática pura, quanto da matemática aplicada. Ainda mais, também pretende proporcionar ao aluno parte do conhecimento necessário para que este possa embarcar no estudo do Cálculo sem embaraço. Digo parte do conhecimento porque o Prof. Robson Santana Pacheco não chega a tratar das funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais neste livro.

A apresentação segue o modelo tradicional no ensino da matemática – definição, exemplo, teorema – com uma modificação importante, a saber, pouca ênfase é dada ao papel da demonstração. No seu lugar, ressaltam-se as aplicações, isto é, exemplificações de como proceder para resolver os problemas – de como usar, de forma concreta, a geometria analítica. Isto, em conjunto com a natureza espartana do texto, dá ao livro o caráter de um workbook, deixando facilmente identificáveis pelos estudantes, os elementos essenciais e realçando, como parte essencial da experiência pedagógica do leitor, os exercícios. Ao leitor, enfim, desejamos sorte e sucesso no estudo dessa bela parte da matemática.

AGRADECIMENTO

Agradeço inicialmente a Deus, por ter-me dado paciência,

persistência e convicção a realização do projeto que vislumbrei, ainda como estudante de matemática, na possibilidade de contribuir para o ensino das ciências, como também de me dar esperança nas horas de desânimo, perante os obstáculos, na construção do conhecimento para o exercício da docência. E pela prática da docência tornou-me possível contribuir, com o meio acadêmico, com esta pequena obra. O magistério, quando vocacionado, transforma-se em um verdadeiro sacerdócio e nos deixa honroso quando se vive. Agradeço também a minha esposa, Juçara, e filhos, Alessandra, Fábio e Robson André por terem compreendidos a ausência que os proporcionei em toda a investida profissional que fiz.

Em especial, a Sra. Teresa Dantas de Araujo, funciaonária da FARN (Faculdade Natalense para o Desenvolvimento do Rio Grande do Norte), que com dedicação de que lhe é peculiar soube com paciência digitar os manuscritos iniciais desta obra, aos alunos do Curso de Sistema de Informação-FARN e aos professores, que souberam acolher e criticar os escritos iniciais que hoje se transformam nesta pequena obra. Estes sim, souberam lapidar com trabalho, sugestões e críticas o material que ora eram-lhes ofertados para estudo.

Finalizando, agradeço a Direção Geral do CEFETRN, através

da sua editora, a publicação deste livro.

PREFÁCIO

Trabalhando com estudantes dos diversos cursos na área tecnológica e de ciências exatas, sempre procurei, com zelo de quem é perfeccionista, ser o mais claro e objetivo possível naquilo que me expunha a fazer como docente da disciplina de Geometria Analítica. Senti, durante anos a necessidade, por parte dos estudantes, de um texto mais compacto e descritivo, que usasse de ilustrações e demonstrações geométricas e objetivasse uma compreensão imediata do assunto tratado a cada momento no contexto de cada aula. Resolvi, então, construir a base do programa da disciplina oferecendo aos estudantes de Sistema de Informação um texto que, aplicado e reaplicado por três semestres seguidos, constitui-se como pilar do texto acadêmico ora em curso. Tenho consciência de que muitos detalhes foram deliberadamente omitidos, o que facilitou a este fascículo não ser muito extenso e, ao mesmo tempo, despertar a curiosidade do leitor para a sua participação no processo de ensino aprendizagem. Há um velho provérbio francês que diz: “Aquele que tenta explicar tudo, acaba falando sozinho”. Por isso, fiz opção na escrita deste livro por um caminho, entre dizer demais e dizer de menos.

Para o estudo da Geometria Analítica se faz necessário, a priori, noções de álgebra cursada no ensino básico, e Geometria Plana como também de uma boa abstração na visualização dos conceitos básicos. Estes conceitos são gerenciadores da compreensão e das resoluções de situações variadas. Um dos objetivos da Geometria Analítica é relacionar a álgebra, forma abstrata, com a geométrica, forma concreta. Por isso, se faz necessária a perfeita compreensão dos conceitos agregados, sempre que possível, da forma geométrica dos mesmos.

Neste livro abordaremos o estudo conceitual sobre os vetores no capitulo 0 ; álgebra com vetores, retas no espaço bi-dimensional nos capítulos I e II; cônicas e circunferência, nos capítulos II e III; vetores, retas e planos no espaço tri-dimensional no capitulo IV e concluímos com um estudo sobre a Superfície Esférica no capítulo V. Há um campo bem robusto de exercícios resolvidos como também propostos, alguns clássicos.

Concluindo, espero ter contribuído de alguma forma no que diz respeito ao despertar, no leitor, pelo estudo da matemática como também em uma visão que tenho da própria matemática.

1. VETORES

Introdução

Eixo

É toda reta munida de uma orientação em seu suporte. Convenciona-se como positiva a orientação dada, e negativa a contrária.

Segmento Orientado

Um segmento orientado

AB

é um segmento de reta determinado pelos pontos A e B, da reta, designados respectivamente como origem e extremidade do segmento. Será designado por uma seta.

Segmento Nulo

Um segmento orientado

AB

é nulo se e somente se A coincide com B, ou seja A≡B.

Será representado por

AA

.

r

A

Segmentos Opostos

Sendo

AB

um segmento orientado, afirmamos que o segmento orientado

BA

é oposto de

AB

.

Medida de um segmento

É um número real positivo que expressa a medida de seu comprimento em relação a uma unidade de medida. A medida de um segmento orientado

AB

é o seu comprimento ou módulo.

Direção

Denomina-se de direção de um segmento orientado a inclinação da reta que o contem. Desta feita dois segmentos orientados possuem a mesma direção quando as retas suportes que os contem são paralelas.

(1) (2) (3) A B r C D s A B r C D A B r C D s

Sentido

Sentido de um segmento orientado é a orientação em seu suporte. Desta maneira dois segmentos orientados possuem sentidos opostos se possuem a mesma direção.

Segmentos Eqüipolentes

Dois ou mais segmentos orientados são eqüipolentes quando possuírem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo.

''

'

''

'

~

''

''

~

'

'

~

A

B

A

B

A

B

AB

Observação:

A eqüipolência de segmento orientado é uma relação de equivalência.

1)

AB ~

AB

(Reflexiva)

2) Se

AB ~

CD

, então

CD ~

AB

(Simétrica)

3) Se

AB ~

CD

e

CD ~

EF

, então

AB ~

EF

(Transitiva)

A A’ A’’ A’’’

Vetor

Definimos como um vetor

v

determinado por um segmento orientado

AB

ao conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes ao segmento

AB

.

O vetor será representado por qualquer elemento da classe de segmentos orientados eqüipolentes a um segmento

AB

.

O vetor determinado pelo segmento orientado

AB

será denotado por

AB

ou B – A ou

v

.

As características de um vetor

v

são as mesmas de qualquer de seus representantes: sentido, direção e módulo.

O tamanho ou norma (ou intensidade ou comprimento) de um vetor

u

é uma grandeza modular que corresponde ao comprimento do segmento orientado que o representa e é denotado por

u

.

Dizemos que

u

é um versor ou vetor unitário se e somente se

1

=

u

.

Algumas afirmações sobre vetores são decorrentes da definição de seus representantes:

i) Os vetores

u

e

v

são paralelos,

u //

v

, se os segmentos orientados que os representa forem paralelos. Desta feita eles podem ter o mesmo sentido ou sentidos contrários. ii) Os vetores

u

e

v

são iguais,

u

=

v

, se e somente se tem

iii) Os vetores

u

e

v

são ortogonais,

u

^

v

, se as retas que as contem forem ortogonais.

iv) O vetor

u

é nulo se e somente se a sua norma for zero,

0

=

u

.

Exercícios:

· 1. Verdadeiro ou Falso?

a) Vetor é uma grandeza escalar.

b) A norma de um vetor

v

é sinônimo de tamanho do vetor. c) A norma do vetor

AB

é igual a norma do vetor

BA

. d) Qualquer que seja o vetor

u

tem-se

u

^

0

e

u

//

0

. · 2. Se dois vetores

u

e

v

são paralelos a uma mesma reta então eles são paralelos. Justifique.

· 3. Não podemos afirmar que: “Se

u

e

v

são vetores paralelos a um mesmo plano então eles são paralelos”. Por quê?

· 4. Se

u

=

v

então

u

=

v

. Justifique.

· 5. Demonstrar que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.

· 6. Na figura ao lado exprima os seguintes vetores: a)

(

B

-

A

) (

+

C

-

B

)

b)

(

D

-

A

) (

+

B

-

D

)

c)

(

A

-

E

)

+

D

-

E

· 7. Sendo

a

<

0

podemos afirmar que

a

v //

v

para algum vetor

v

? Justifique.

A

B

C

D

E

2. O PLANO

Sistema de Coordenadas

O plano cartesiano é o plano determinado por dois eixos que se interceptam de forma perpendicular ou oblíqua.

Na classificação teremos então: i) Sistema cartesiano ortogonal; ii) Sistema cartesiano oblíquo.

A cada ponto do plano P no plano cartesiano corresponde um par ordenado (x, y) de números reais e, inversamente, para cada (x, y) tem como seu correspondente um ponto P no plano; escrevemos P(x, y) para indicar estes fatos.

O par ordenado (x, y) será denominado de coordenadas cartesianas do ponto P e, x e y serão denominadas abscissa e ordenada do ponto P.

x X P Y x X P Y

2

p

a <

Distância entre dois pontos

Sejam P(x, y) e Q(x1, y1) pontos do plano. Conforme mostra figura

abaixo; e d(P, Q) a distancia entre os pontos; ou seja

d

(

P

,

Q

)

=

PQ

. Pelo triangulo retângulo determinado PQR, concluímos que:

2 2 2

QR

PR

PQ

=

+

daí:

(

) (

2

)

2

,

,

)

,

(

P

Q

x

x

y

y

d

=

-

+

-Vetores no PLANO

Seja

AB

um segmento orientado no plano XOY. O vetor determinado por

AB

é dado por:

{

XY

XY

AB

}

AB

=

/

~

.

Por esta definição vemos que existe um segmento eqüipolente a

AB

cuja origem coincide com a origem do plano (Fig.1.1). Tomando

v

como tal segmento orientado o denominaremos como o vetor do plano. Assim teremos:

x R P Q x1

y

y

B

v

A (Fig.1.1)

A

B

AB

v

=

=

-Operações com vetores

Sejam

v

₁

=

(

a

,

b

)

e

v

₂

=

(

c

,

d

)

e

l

Î

Â

. As operações adição e multiplicação por escalar serão definidas por:

i)

v

₁

+

v

₂

=

(

a

+

c

,

b

+

d

)

ii)

l =

v

₁

(

l

a

,

l

b

)

Como conseqüência destas operações teremos a diferença de vetores

(

v

₁

-

v

₂

)

.

)

,

(

)

1

(

2 1 2 1

v

v

v

a

c

b

d

v

-

=

+

-

=

-

-Propriedades: a) Adição: i)

v

₁

+

v

₂

=

v

₂

+

v

₁ (Comutativa) ii)

v

₁

+

(

v

₂

+

v

₃

)

=

(

v

₁

+

v

₂

)

+

v

₃ (Associativa) iii)

v

₁

+

q

=

q

+

v

₁

=

v

₁ (Elemento Neutro)

com

q

=

(

0

,

0

)

b) Multiplicação por escalar. Sendo k1 e k2

Î

Â

, e

v

1 e

v

2

vetores no plano:

iv)

(

k

₁

+

k

₂

)

v

₁

=

k

₁

v

₁

+

k

₂

.

v

₁

v)

k

₁

(

v

₁

+

v

₂

)

=

k

₁

v

₁

+

k

₂

v

₂ vi)

k

₁

(

k

₂

v

₁

)

=

(

k

₁

×

k

₂

)

v

₁

vii)

1

×

v

₁

=

v

₁

viii)

0 v

×

₁

=

q

sendo

q

=

(

0

,

0

)

Observação:

É fácil de se verificar que

v

e k

v

são vetores de mesma direção; para

k

¹

0

, e conseqüentemente paralelos e que:

(1) Se

k

>

0

preservam o mesmo sentido, caso contrário sentidos opostos;

(2) Se

k

>

1

teremos uma dilatação e

0

< k

<

1

em contração..

Para representar graficamente o vetor

u

+

v

faz-se uso da construção do paralelogramo conforme a ilustração abaixo. (Fig. 1.2)

v

y

u

y

v u+ (Fig. 1.2)

Y

X

O

Norma ou Módulo

Seja

u

=

( b

a

,

)

um vetor do plano. Então

u

=

a

2

+

b

2 .

Conforme mostra a

ilustração ao lado o triangulo

OED é retângulo. Assim

2 2 2 2 2

ED

OD

OE

ED

OD

OE

=

+

\

=

+

. Como

u

=

OE

tem-se que

2 2

b

a

u

=

+

. Proposição:

Sejam

u

e

v

vetores do plano e

k

Î

Â

, então: i)

k

×

u

=

O

Þ

k

=

0

ou

u

=

O

ii)

u

³

0

e

u

= 0

Û

u

=

O

iii)

u

+

v

£

u

+

v

(Desigualdade triangular)

iv)

k

×

u

=

k

×

u

D

E

a

b

u

O

1.1. Ponto Médio de um segmento Seja

AB

um segmento de reta sendo (x1, y1) e (x2, y2) as coordenadas cartesianas dos pontos A e B respectivamente; e M o ponto médio de

AB

com

(

x ,

M

y

M

)

suas coordenadas. Então:

2

2 1

x

x

x

_M

=

+

e

2

2 1

y

y

y

_M

=

+

. Demonstração:

Os vetores

AM

e

MB

são equivalentes, (Fig. 1.3), logo:

)

,

(

x

x

₁

y

y

₁

AM

=

_M

-

_M

-

e

)

,

(

x

2

x

M

y

2

y

M

MB

=

-

-Assim:

2

2 1 2 1

x

x

x

x

x

x

x

_M

-

=

-

_M

Þ

_M

=

+

2

2 1 2 1

y

y

y

y

y

y

y

_M

-

=

-

_M

Þ

_M

=

+

Exemplo: Considere

A

=

(

2

,

3

)

e

B

=

(

5

,

-

1

)

as extremidades do segmento

AB

. Determine as coordenadas do ponto médio de

AB

. Solução:

y

M

y

2

x

1

y

1

O

x

M

x

2 M A B

(Fig. 1.3)

Seja

M

=

(

x

_M

,

y

_m

)

o ponto médio de

AB

, logo:

2

7

2

5

2

=

+

=

M

x

e

1

2

)

1

(

3

=

-+

=

m

y

1.2. Vetor unitário

Define-se como vetor unitário ao vetor de norma 1. Exemplo:

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

5

2

,

5

1

u

é unitário pois:

1

5

4

1

5

2

5

1

2 2

₌

+

₌

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

u

Caso geral:

Dado um vetor

v

o vetor

v

v

v

_m

=

é o vetor unitário de

v

.

Exercícios:

· 1) Determine o valor de x para que

AB

=

CD

, sendo

)

3

,

1

(

+

= x

A

,

B

=

(

2

,

1

)

,

C

=

(

3

x

-

1

,

2

+

5

x

)

e

)

5

,

1

(

x

D

=

+

. Resp.: x=1

· 2. Determine o ponto de intersecção da reta mediatriz com o segmento

AB

sendo A=(3,5) e B=(-1,-2).

Resp.: L=(1,

)

2

3

· 3. Determine vetores

u,

v

tais que 2 2 2

v

u

v

u

+

=

-

. · 4. Determinar o vetor

w

na igualdade

w

-

u

=

v

+

w

2

1

3

2

, sendo dados

u

=

(

1

,

3

)

e

v

=

(

2

,

1

)

. Resp.:

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

2

19

,

4

w

· 5. Determinar a1 e a2 tais que

w

=

a

1

u

+

a

2

v

, sendo

)

2

,

1

(

=

u

,

v

=

(

4

,

-

2

)

e

w

=

(-

1

,

8

)

. Resp.: a1=3 e a2=-1

· 6. Sabendo que os vetores

u

e

v

não são paralelos e que

0

)

2

(

)

1

(

a

-

b

+

u

+

a

+

b

-

v

=

, determine

a

e

b

. Resp.:

2

1

=

a

e

2

3

=

b

· 7. Sabendo que

u

e

v

são vetores paralelos e que

)

2

,

1

(-=

v

determine o vetor

u

tal que

u

=

2

.

Resp.:

5

2

±

=

t

· 8. Se A e B são dois pontos do plano, designe por d(A, B) a distância entre A e B, d(A,B)=||B-A||. Mostrar que d(A,B)=d(B,A), e

que para três pontos A, B, C quaisquer, temos:

)

,

(

)

,

(

)

,

(

A

B

d

A

C

d

B

C

d

£

+

.

Produto Escalar

Define-se como o produto escalar (ou produto interno) de dois vetores

u

=

(

x

₁

,

y

₁

)

e

v

=

(

x

₂

,

y

₂

)

que se representa por

u

×

v

ou

>

< v

u,

, ao número real

<

u

,

v

>=

x

₁

x

₂

+

y

₁

y

₂.

Exemplo:

Se

u

=

(

3

,

-

1

)

e

v

=

(

2

,

4

)

vetores do plano tem-se

2

4

6

4

)

1

(

2

3

,

>=

×

+

-

×

=

-

=

< v

u

. Exemplo:

Dados os vetores

u

=

(a

,

2

)

e

v

=

(

-

1

,

-

1

)

e o os pontos

A=(2,1) e B=(0,1), determinar o valor de

a

Î

Â

tal que

2

,

+

>=

<

u

v

AB

. Solução:

(

)

( ) (

)

3

4

:

ainda

ou

2

2

3

1

,

3

,

2

,

0

,

2

)

1

,

1

(

),

2

,

(

,

)

0

,

2

(

)

1

,

2

(

)

1

,

0

(

-=

=

-=

>

->=<

-+

->=<

+

<

-=

-=

-=

a

a

a

a

AB

v

u

A

B

AB

Observação:

i) Sendo

v

=

(

a

,

b

)

, o módulo de

v

é dado por

2 2

,

v

a

b

v

v

=

<

>

=

+

.

ii) Sendo A e B pontos do plano, d(A,B)=||A,B||.

Propriedades do produto escalar

Sendo

u

,

v

,

w

vetores do plano e

m

Î

Â

, é fácil verificar que: I)

< v

v

,

>³

0

e

<

v

,

v

>=

0

Û

v

=

0

II)

<

v

,

u

+

w

>=<

v

,

u

>

+

<

v

,

w

>

III)

<

v

,

u

>=<

u

,

v

>

IV)

<

m

u

,

v

>=<

u

,

m

v

>=

m

<

u

,

v

>

V) 2

,

u

u

u

>=

<

TEOREMA – (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Sendo

u

,

v

vetores no plano, então

< ,

u

v

>

£

u

×

v

. Demonstração:

Sendo

v

=

0

a desigualdade é verdadeira. Suponhamos

v

¹

0

e sejam x=<

v

,

v

> e y= -<

u

,

v

> escalares. Então pela

propriedade (I) temos:

0

,

+

>³

+

<

x

u

y

v

x

u

y

v

e desenvolvendo encontramos:

0

,

,

2

,

2 2

_<

_>

₊

_<

_>

₊

_<

_>³

v

v

y

v

u

xy

u

u

x

.

. . . , , , , , 0 , , , 0 , , , , 0 , , , , , 2 , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d q c v u v u v u v u u u v v v u v u u u v v v u v v u u v v v v v u v u v u v v u u v v × £ > < \ × £ > < \ > < × > £< > < \ ³ > < -> < × > \< ³ > < × > < -> < × > \< >³ < × > < + > < × > < × > < -> < × > <

Ângulo de dois vetores

Sejam

u

e

v

vetores do plano e

^

a

o ângulo entre os vetores; então

)

cos(

,

^

a

×

×

>=

<

u

v

u

v

Com efeito, usando a ilustração (Fig. 1.4) e aplicando a lei dos cossenos temos:

)

cos(

2

^ 2 2 2

a

v

u

v

u

u

v

-

=

+

a

u

v

v - u

(Fig. 1.4)

Como,

v

-

u

=

v

+

u

-

2

<

u

,

v

>

2 2 2 , teremos após a comparação:

)

cos(

,

,

2

)

cos(

2

^ 2 2 ^ 2 2

a

a

×

×

>=

\<

>

<

-+

=

-+

v

u

v

u

v

u

u

v

v

u

v

u

Observações:

i) Se <

u

,

v

>>0 significa que o ângulo entre os vetores é agudo

(

0

< a

<

90

°

)

.

ii) Se <

u

,

v

><0 significa que o ângulo entre os vetores é obtuso

(

90

° a

<

<

180

°

)

iii) Se <

u

,

v

>=0 significa que o ângulo entre os vetores é reto

)

90

(

a

=

°

. Neste caso dizemos que

u

e

v

são vetores perpendiculares.

Exemplo:

1. Determine o valor de m para que os vetores do plano

v

=(m,-2) e

u

=(2m-1,5) sejam perpendiculares. Solução:

2

4

8

4

9

1

'

'

2

5

4

10

4

9

1

'

4

9

1

4

80

1

1

0

10

2

0

5

2

)

1

2

(

0

)

2

,

(

),

5

,

1

2

(

0

,

2

-=

-=

-=

=

=

+

=

±

=

+

±

=

=

-=

×

->=

-<

>=

<

m

m

m

m

m

m

m

m

m

v

u

2. Calcular o ângulo entre os vetores

u

=(2,1) e

v

=(3,-1). Solução:

2

2

2

1

2

5

5

)

cos(

,

10

5

5

)

1

(

3

1

2

1

1

3

2

,

)

cos(

2 2 2 2 ^

=

=

×

=

×

=

-+

×

+

×

-×

=

×

>

<

=

â

Logo

v

u

v

u

a

3. Sabendo que o vetor

u

=(1,-3) forma um ângulo de 60° com o vetor

AB

determinado pelos pontos A=(2,1) e B=(m-1,3 m), calcular m. Solução:

: 60 cos , ) 1 3 , 3 ( ) 1 , 2 ( ) 3 , 1 ( donde AB u AB u Mas m m m m A B AB ° × × >= < -= -= -=

.

.

.

.

Projeção de um vetor

Dados

u

e

v

vetores do plano e

^

a

o ângulo entre eles. O nosso objetivo é determinar o vetor

m

denotado por

pro

(u

)

v , projeção de

u

sobre

v

, conforme é ilustrado. (Fig. 1.5)

Pela colinearidade de

m

e

v

existe

k

Î

Â

tal que

m

=k

v

. O nosso intuito é determinar o valor de k.

Então:

)

(

1

A

v

m

k

v

k

v

k

m

×

=

\

×

=

=

Por definição:

)

cos(

,

^

a

×

×

>=

<

u

v

u

v

m

u

v

a

m

u

v

a

(Fig. 1.5)

v

v

u

m

seja

ou

u

m

v

u

v

u

se

tem

u

m

com

e

>

<

=

×

×

>=

<

-=

,

,

)

cos(

^

a

Substituindo em (A) teremos:

v

v

v

v

u

u

proj

m

daí

v

v

u

k

v

÷

×

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

>

×

<

>

×

<

=

=

>

<

=

)

(

:

;

,

2 Exemplo:

Calcule a projeção do vetor

u

=(1,1) sobre o vetor

v

=(+1,4). Solução:

)

4

,

1

(

17

5

)

(

)

4

,

1

(

4

1

4

1

1

1

)

(

)

4

,

1

(

)

4

,

1

(

),

4

,

1

(

)

4

,

1

(

),

1

,

1

(

,

,

)

(

2 2

×

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

×

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

×

+

×

=

×

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

>

<

>

<

=

×

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

>

<

>

<

=

u

proj

u

proj

v

v

v

v

u

u

proj

v v v

Exercícios propostos:

· 9. Sejam

u

=(2,1) e

v

=(4,0) vetores do plano. Calcule: a) <

u

,

v

>

b) O ângulo formado pelos vetores

c) O vetor

w

, de modulo 2, e que faz um ângulo de 30° com o vetor

u

. Resp.: a) 8 b) arc.cos

÷

ø

ö

ç

è

æ

5

2

c)

_÷÷

ø

ö

çç

è

æ

₊

-5

5

2

5

1

,

5

5

5

1

2

ou

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

-

+

5

5

2

5

1

,

5

5

5

1

2

· 10. Sendo A=(1,0), B=(2,5) e C=(-1,3) pontos do plano. Classifique o triangulo ABC quantos aos lados.

Resp.: Isósceles

· 11. Escreva a vetor

u

(7,-1) como a soma de dois vetores, um dos quais é paralelo e o outro é perpendicular ao vetor

w

(1,-1).

Resp.:

v

₁

=

( )

3

,

3

,

v

₂

=

(

4

,

-

4

)

· 12. Se

Pr

oj

(

v

)

=

(

2

,

1

),

u

=

(

4

,

2

)

e

v

=

6

m ,

Resp.:

_÷÷

ø

ö

çç

è

æ

₊

-=

5

155

2

5

,

5

155

10

v

ou

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

_-

₊

=

5

155

2

5

,

5

155

10

v

· 13. Mostre que, se

u

e

v

são vetores do plano,

v

u

v

u

+

£

+

.

Sugestão: Use a desigualdade de Cauchy-Schwaz.

· 14. Sendo A=(1,-1), B=(5,2) e C=(-1,+2) pontos do plano e vértices de um triangulo, determine:

a) Os ângulos internos ^ ^ ^

,

,

B

C

A

.

b) As projeções dos lados AC e AB sobre o lado CB. c) A área do triangulo ABC.

· 15. Determine a altura (relativa ao lado AD) do paralelogramo cujos vértices são A=(1,0), B=(2,2), C=(5,3) e D=(4,1).

Retas

Definimos como equação vetorial da reta (r) passando por um ponto P, na direção do vetor

m

, como sendo:

(1)

PX

=

t

×

u

como

t

Î

Â

e X ponto do plano.

Conhecidos P=(a,b) um ponto do plano,

u

=

(

m

,

n

)

a direção pretendida e

X

=

(

x

,

y

)

ponto do plano que satisfaz a equação (1) concluímos:

(2) x=a+tm

y=b+tn,

t

Î

Â

. Conhecida como equações paramétricas da reta.

Exemplo:

Determinar as equações paramétricas da reta (r) que passa por

A=(1,-3) com a direção

u

=(5,4).

P

u t P+

Solução:

)

4

,

5

(

)

3

,

1

(

)

,

(

x

y

t

u

t

A

X

+

-=

+

=

x=1+5t y=-3+4t,

t

Î

Â

Por eliminação do parâmetro t na equação (2), através das operações elementares, obteremos a equação na forma:

bm

an

my

nx

-

=

-Como a, n, b e m são valores mais conhecidos, tomemos c=na-bm o que resulta em forma simplificada:

)

3

(

c

my

nx

-

=

Esta equação (3) é determinada de equação cartesiana da reta.

Considerações gerais:

0. Se

u

=(o,n) a reta é perpendicular ao eixo x e sua equação é reduzida a forma nx=c;

1. Se

u

=(

m

,o) a reta é perpendicular ao eixo Y e sua

equação é reduzida a forma my=-c;

)

0

(

>

n

c

₍

_<

₀

₎

m

c

2. Sendo

m

,

n

¹

0

a reta é oblíqua ao eixo dos x e sua equação pode ser reduzida a forma

m

c

x

m

n

y

=

-

denominada de Equação reduzida da reta.

Da ilustração acima vemos que

m

n

tg

q

=

denominado de

coeficiente angular da reta. Exemplo:

1. Encontre as equações paramétricas e cartesianas da reta (r) que passa pelo ponto A=(-1,4) possuindo a direção

u

=

(

2

,

5

)

.

u

x

n

c

₌

X

Y

u

X

Y

m

c

y

=

-q

u

q

n

m

Y X

Solução:

Seja

X

=

(

x

,

y

)

um ponto do plano pertencente a reta (r). Assim:

X

=

A

+

t

u

,

t

Î

Â

.

Substituindo os valores na equação temos:

(

x

,

y

)

=

(

-

1

,

4

)

+

t

(

2

,

5

)

x=-1+2t

y=4+5t são as equações paramétricas.

Eliminando o valor de

t

Î

Â

teremos:

13

2

5

5

8

2

5

8

2

5

5

5

4

2

1

:

,

5

4

2

1

-=

-\

-=

-=

+

\

-=

+

=

-=

+

y

x

y

x

y

x

y

x

daí

t

y

e

t

x

2. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A=(2,-1) e

B=(5,4).

Solução:

Como a reta passa pelos pontos A e B, assim um vetor diretor da reta é dados por

AB

.

AB

=

B

-

A

=

(

5

,

4

)

-

(

2

,

-

1

)

=

(

3

,

5

)

Tomando X=(x,y) do plano que satisfaz:

X

=

A

+

t

AB

, teremos:

(

x

,

y

)

=

(

2

,

-

1

)

+

t

(

3

,

5

)

, logo: x=2+3t

y=-1+5t que é a equação paramétrica da reta.

3. Determine a equação cartesiana da reta (r) que possa pelo ponto A=(3,-1) e tem como

u

G seu vetor diretor perpendicular ao vetor

u

=(2,5).

Solução:

Seja

m

_r o vetor diretor da reta (r), e sendo perpendicular a

m

temos que:

<

m

_G

,

u

>=

0

, logo se

u

r

=

( b

a

,

)

teremos:

<

(

a

,

b

),

(

2

,

5

)

>=

0

ou seja:

2

a

+ b

5

=

0

Tomando

a

¹

0

, encontramos um diretor para (r). Como sugestão seja a=5, logo b= -2; assim

m

_r=(5,-2). Seja

X

=

(

x

,

y

)

um ponto do plano. Assim a equação da reta será:

X

=

A

+

t

u

r ou seja:

(

x

,

y

)

=

(

3

,

-

1

)

+

t

(

5

,

-

2

)

e mais precisamente: x=3+5t

y=-1-2t que são as equações paramétricas do reta.

Eliminando t obtemos a equação cartesiana de (r).

4. Encontre o ponto de intersecção entre as retas de equações x-y-=5 e –x+3y=1 respectivamente.

Solução:

A solução consiste unicamente da resolução do sistema linear: x-y=5

–x+3y=1

Usando o método da adição encontramos: 2y=6: logo y=3; Substituindo em qualquer das equações tem-se x=8. Assim

P=(8,3) é o ponto de intersecção.

Representação Gráfica

Ângulo entre retas

Sejam (r) e (s) retas e

m

_r e

m

_s vetores diretores respectivamente. Problema:

Encontrar o menor ângulo formado pelas retas.

Para solucionar este problema temos dois caso a considerar:

X

3 2 1 2 3 4 5 6 7 8

-x-y=5

-x+3y=1

Y

a) (r) e (s) são paralelas. Assim o menor ângulo é 0°

(coincidentes) (não coincidentes)

b) (r) e (s) não paralelas.

O menor ângulo

(

a

)

entre as retas é dado através do produto interno de seus vetores diretores.

)

cos(

,

a

m

m

=

×

>

<

s r s r

u

u

Caso o

cos(

a

)

seja negativo tem-se que

°

<

<

°

180

90

a

, logo o menor será

(

p -

a

)

.

r

Y

(r) (s)

r

Y

(r) (s)

Ilustração:

)

2

(

p

<

a

<

p

Exemplo:

Determine o menor ângulo entre as retas (r) e (s) dadas por suas equações y=2x+1 e y=x-1 respectivamente.

Solução:

Calculamos inicialmente os vetores diretores das retas (r) e (s).

)

2

,

1

(

=

r

m

e

m

_s

=

(

1

,

1

)

Em seguida determinamos o

cos(

)

^

a

, sendo

(

)

^

a

o ângulo entre os vetores, pela equação:

10 3 ) cos( 2 5 2 1 ) 1 , 1 ( ) 2 , 1 ( ) 1 , 1 ( ), 2 , 1 ( ) cos( , , ) cos( ^ ^ = \ × + = × > < = × > < = a a m m a assim u ur s s r

)

(

p -

a

a

a

s

m

r

m

(s)

(r)

Y

X

O

Como

cos(

)

0

^

>

a

, então

2

0

<

a <

p

. Logo

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

10

3

arccos

^

a

.

Distância de um ponto a uma reta

Seja

P

=

(

x

₀

,

y

₀

)

um ponto do plano e (r) um reta de equação

b

ax

y

=

+

; então a distância do ponto P a reta (r) é dada por:

1

))

(

,

(

2 0 0

+

+

+

-=

a

b

ax

y

r

P

d

(1) Demonstração: Se

P

Î

(

r

)

Þ

d

(

P

,

(

r

))

=

0

. Suponhamos que

P

Ï

(r

)

. A distância

)

,

(

))

(

,

(

P

r

d

P

A

d

=

, sendo A o pé da perpendicular traçada de P a reta (r). Assim

AP

A

P

d

(

,

)

=

. Sendo

)

,

1

( a

r

=

m

, o vetor

perpendicular a

m

_r é do tipo

u

1

=

(

-

a

,

1

)

o qual é colinear a

AP

; logo

AP

=

t

( a

-

,

1

)

. Daí,

d

(

P

,

A

)

=

t

(

-

a

,

1

)

para algum

t

Î

Â

.

P

A

x

0

y

0

Portanto:

(*)

1

)

,

(

P

A

=

t

×

a

2

+

d

Conhecido o valor de t o nosso objetivo estará concluído. Seja

A

=

(

x

₁

,

y

₁

)

Î

(

r

)

, assim:

)

1

,

( a

t

AP

=

-

podendo também ser escrito:

(

x

₀

-

x

₁

,

y

₀

-

y

₁

) (

=

-

ta

,

t

)

e;

t

y

y

ta

x

x

=

-=

-1 0 1 0 e

t

y

y

ta

x

x

-=

+

=

0 1 0 1

Daí, substituindo na equação da reta (r) tem-se:

(

)

(

)

2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0

1

1

1

a

b

x

a

y

t

t

a

b

x

a

y

t

b

x

a

y

a

t

b

x

a

y

a

t

t

b

ta

x

a

t

y

+

+

×

+

-=

-=

+

+

×

+

-=

-+

×

+

-=

+

×

-+

×

+

-=

×

-+

+

=

-(

)

(

)

(1) 2 0 0 2 2 0 0 2

c.q.d

1

,

1

1

1

,

:

obtemos

(*)

em

do

Substituin

+

+

×

+

-=

\

+

×

+

+

×

+

-=

+

×

=

a

b

x

a

y

A

P

d

a

a

b

x

a

y

a

t

A

P

d

Exemplo:

1. Determine a distância do ponto

A

=

(-

1

,

4

)

a reta de equação

2

3

-= x

y

. Solução:

A solução deste problema consiste no emprego da relação:

( )

(

)

( )

(

)

( )

10

9

10

9

1

3

2

)

1

(

3

4

,

:

daí

;

1

,

2 2 0 0

=

-=

+

-+

-×

+

-=

+

+

×

+

-=

r

A

d

a

b

x

a

y

r

A

d

2. Determine a distância entre as retas

( )

r

:

y

=

3

x

+

2

e

( )

s

:

y

=

3x

-

10

. Solução:

Como trata-se de retas paralelas,

m

_r

=

( )

1

,

3

e

m

_s

=

( )

1

,

3

, basta tomarmos um ponto qualquer de uma das retas e calcular a distância deste ponto a outra reta. Ou seja: tome

P

Î

( )

r

com

P

=

(

1

,

3

×

1

+

2

) ( )

=

1

,

5

e determine

d

(

P

,

( )

s

)

. Ora a

( )

(

)

( ) ( )

10 12 1 3 10 1 3 5 , 2 -= + -+ × + -= s P d Assim

(

( ) ( )

)

u.c.

10

12

,

s

=

r

d

P

d

x

0

y

0

(r)

Observação:

Sendo a reta de equação x=d a fórmula (1) não se aplica e conforme a representação gráfica ao lado.

( )

(

P

r

)

x

d

d

,

=

0

-A Circunferência

Definimos como circunferência ao lugar geométrico cujos pontos que o constituem eqüidistam de um ponto central fixo, denominado de centro, ou seja:

(

)

{

P

Î

Â

2

;

d

P

,

C

=

R

}

Elementos da circunferência: i) Centro;

ii) Raio: a distância de qualquer de seus pontos ao centro; iii) Diâmetro: é toda corda passando pelo centro da

circunferência.

( )

diâmetro

raio

centro

,

=

=

®

=

AB

R

b

a

C

b

a

A

B

C R

Y

X

Equação Cartesiana

A equação cartesiana da circunferência de centro C=(a,b) e raio R é dada por:

(

x

-

a

) (

2

+

y

-

b

)

2

=

R

2

(

2

)

Desenvolvendo os termos desta equação chegaremos numa equação mais geral que nos possibilitará a encontrar seus elementos mais facilmente, como também verifica se dado uma equação de grau 2 é de uma circunferência. Vejamos:

0

2

2

0

2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=

-+

+

-+

=

-+

-+

+

-R

b

a

by

ax

y

x

R

b

by

y

a

ax

x

Tomando

R

-b

e

2

,

2

,

1

=

-

=

-

=

2

+

2 2

=

=

B

C

a

D

b

E

a

A

chegaremos

a forma mais geral:

0

2 2

+

+

+

+

=

E

Dy

Cx

By

Ax

.

Lema: A equação do tipo

Ax

2

+

By

2

+

Cx

+

Dy

+

E

=

0

representa um circunferência então:

0

4

e

0

2

+

2

-

>

¹

=

B

C

D

AE

A

. Demonstração:

Deixamos para o leitor a demonstração.

Exemplo:

1. Determine a equação cartesiana da circunferência de centro

Solução:

Basta o emprego da equação (2), logo:

(

) (

2

)

2 2

3

1

2

+

-

=

-

y

x

. 2. Verifique se a equação

2

x

2

+

2

y

2

-

6

x

+

y

+

7

=

0

representa a equação de uma circunferência. Solução:

Usando as condições do lema 1.13.2 teremos:

( ) ( )

6 1 4

( )

7 2 36 1 56 37 56 19 0 4 o.k. 2 2 2 2 2+ - = - + - ×+ × = + - = - =- < = = EA D C B A

Como uma das condições não é satisfeita a equação não representa uma circunferência.

Posições relativas entre ponto e circunferência

Nem todos os pontos

P

=

( )

x

,

y

do plano pertencem a circunferência

( )

g

de equação

(

x

-

a

) (

2

+

y

-

b

)

2

=

R

2; somente aqueles que satisfazem a equação. Assim temos três posições a considerar:

i)

d

(

P

,

C

)

=

R

Þ

P

Î

( )

g

;

ii)

d

(

P

,

C

)

>

R

então o ponto é exterior a circunferência; iii)

d

(

P

,

C

)

<

R

então o ponto é interior a circunferência.