Álgebra Linear: Lista de exercícios 10

(1)

Universidade Federal do Paraná 2◦ semestre 2015.

Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic

Lista de exercícios 10

Aplicações Lineares

Exercício 1: Mostre que cada um dos operadores seguinte é linear em R2. Descreva geome-tricamente o que cada transformação linear executa.

a) L(x) = (−x1, x2)|,

b) L(x) = −x, c) L(x) = (x₂, x1)T,

d) L(x) = 1₂x,

e) L(x) = x₂e₂.

Exercício 2: Seja L o operador linear em R2 definido por:

L(x) = (x1cos α − x2sin α, x1sin α + x2cos α).

Exprima L em termo de cordenadas polares. Descreva geometricamente o efeito da transfor-mação linear.

Exercício 3: Seja a um vetor não nulo fixo em R2. Uma representção da forma: L(x) = x + a

é chamada de translação. Mostre que uma translação não é um operador linear. Exercício 4: Seja L : R2 → R2 _{um operador linear. Se:}

L((1, 2)|) = (−2, 3)|, L((1, −1)|) = (5, 2)|, encontre o valor de L((7, 5)|).

Exercício 5: Determine se as seguintes são transformações lineares de R3 em R2. a) L(x) = (x₂, x3)|

b) L(x) = (1 + x₁, x2)|,

c) L(x) = (x₃, x1+ x2)|,

d) L(x) = (0, 0)|,

Exercício 6: Determine se as seguintes são transformações lineares de R2 em R3. a) L(x) = (x₁, x1, 1)|

b) L(x) = (x₁, x2, x1+ 2x2)|,

c) L(x) = (x₁, 0, 0)|,

d) L(x) = (x₁, x2, x21+ x22)|,

(2)

a) L(A) = 2A, b) L(A) = A|,

c) L(A) = A + I, d) L(A) = A − A|,

Exercício 8: Seja C uma matrix n × n fixa. Determine se os seguintes são operadores lineares sobre Rn×n.

a) L(A) = CA + AC, b) L(A) = C2A,

c) L(A) = A2C,

Exercício 9: Determine se os seguintes são operadores lineares de P2 em P3.

a) L(p(x)) = xp(x), b) L(p(x)) = x2+ p(x),

c) L(p(x)) = p(x) + xp(x) + x2p(x).

Exercício 10: Determine o núcleo e a imagem das seguintes aplicações lineares: a) L(x) = (x3, x2, x1),

b) L(x) = (x₁, x2, 0),

c) L(x) = (x1, x1, x1).

Exercício 11: Determine o núcleo e a imagem das seguintes aplicações lineares em P₃: a) L(p(x)) = xp0(x), b) L(p(x)) = p(x) − p0(x).

(3)

Resoluções:

Resolução do Exercício 1:

a) Para quaisquer x = (x1, x2) e y = (y1, y2) em R2, e qualquer α ∈ R, calculemos

L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2)| = (−x1− y1, x2+ y2)| = (−x1, x2)|+ (−y1, y2)| = L(x) + L(y). L(αx) = L(αx1, αx2)| = (−αx1, αx2)| = α(−x1, x2)| = αL(x).

Segue que L é linear. Temos L(1, 0) = (−1, 0), L(0, 1) = (0, 1) e L(1, 1) = (−1, 1), concluemos que L é a simetria em relação ao eixo 0y, paralela a 0x.

b) Para quaisquer x, y ∈ R2, e qualquer α ∈ R, calculemos: L(x + y) = −(x + y) = −x − y = L(x) + L(y). L(αx) = −(αx) = α(−x) = αL(x).

Segue que L é linear. Temos L(1, 0) = (−1, 0), L(0, 1) = (0, −1) e L(1, 1) = (−1, −1), concluemos que L é a simetria central de centro 0_R2.

c) Para quaisquer x = (x₁, x2) e y = (y1, y2) em R2, e qualquer α ∈ R, calculemos

L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2)| = (x2+ y2, x1+ y1)| = (x2, x1)|+ (y2, y1)| = L(x) + L(y). L(αx) = L(αx1, αx2)| = (αx2, αx1)| = α(x2, x1)| = αL(x).

Segue que L é linear. Temos L(1, 0) = (0, 1), L(0, 1) = (1, 0) e L(1, 1) = (1, 1), concluemos que L é a simetria em relação à a reta diagonal ∆+_{:= R.(1, 1) paralela à reta antidiagonal} ∆−:= R.(−1, 1).

d) Para quaisquer x, y ∈ R2, e qualquer α ∈ R, calculemos: L(x + y) = 1 2(x + y) = 1 2x + 1 2y = L(x) + L(y). L(αx) = 1 2(αx) = α(1 2x) = αL(x).

Segue que L é linear. Temos L(1, 0) = (1₂, 0), L(0, 1) = (0,1₂) e L(1₂,1₂) = (1₂,1₂), concluemos que L é uma dilatação de centro 0

R2, de fator 1 2.

e) Para quaisquer x = (x₁, x2) e y = (y1, y2) em R2, e qualquer α ∈ R, calculemos

L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2)| = (x2+ y2) e2 = x2e2+ y2e2 = L(x) + L(y). L(αx) = L(αx1, αx2)| = (αx2) e2 = α(x2e2) = αL(x).

Segue que L é linear. Temos L(1, 0) = (0, 0), L(0, 1) = (0, 1) e L(1, 1) = (0, 1), concluemos que L é a projeção sobre o eixo 0y paralela ao eixo 0x.

(4)

Resolução do Exercício 2: Em coordenadas polares, L se escreve da forma: L(r, θ) = (r, θ + α).

Segue que L é a rotação de centro 0_R2 e de angulo α.

Resolução do Exercício 3: Sejam x e y em R2 quaisquer. Comparemos L(x + y) e L(x) + L(y), tem-se que:

L(x + y) = (x + y) + a = x + y + a

L(x) + L(y) = (x + a) + (y + a) = x + y + 2a. .

Jà que a 6= 0_R2, vemos que L(x+y) 6= L(x)+L(y), segue que L não é linear. No caso a = 0

R2,

L é linear pois é a identidade.

Outra maneira de ver que L não é linear (no caso a 6= 0_R2) segue da observação do que a

imagem da origem por L não é a origem: L(0

R2) = a 6= 0R2.

Resolução do Exercício 4: Vamos usar a propriedade de linearidade de L. Observemos que (7, 5)|= 4(1, 2)|+ 3(1, −1)|, segue que: L((7, 5)|) = L(4(1, 2)|+ 3(1, −1)|) ∗ = 4L((1, 2)|) + 3L((1, −1)|)) = 4(−2, 3) + 3(5, 2) = (−8 + 15, 12 + 6) = (7, 21)

Note que foi em ∗ que foi usada a linardade de L. Resolução do Exercício 5:

a) Para quaisquer x = (x₁, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) em R3, e qualquer α ∈ R, calculemos

b) Sejam x, y ∈ R3, calculemos:

L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3)|

= (1 + x1+ y2, x2+ y2)|

= (1 + x1, x2) + (y1, y2)|

6= (1 + x₁, x2)|+ (1 + y2, y3)|= L(x) + L(y).

Segue que L não é linear. Tambem pode ser verificado direitamente que L(0, 0, 0) = (1, 0) 6= (0, 0), logo L não é linear.

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d) Para quaisquer x, y ∈ R3, e qualquer α ∈ R, calculemos: L(x + y) = (0, 0)| = (0, 0)|+ (0, 0)| = L(x) + L(y). L(αx) = (0, 0)| = α(0, 0)| = αL(x). Segue que L é linear.

Resolução do Exercício 6: a) L(0

R2) = (0, 0, 1)

| _{logo L não é linear.}

b) Para quaisquer x = (x₁, x2) e y = (y1, y2) em R2, e qualquer α ∈ R, calculemos

c) Para quaisquer x = (x1, x2) e y = (y1, y2) em R2, e qualquer α ∈ R, calculemos

L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2)| = (x1+ y1, 0, 0)| = (x1, 0, 0)|+ (y1, 0, 0)| = L(x) + L(y), L(αx) = L(αx1, αx2, αx3)| = (αx1, 0, 0)| = α(x1, 0, 0)| = αL(x). Segue que L é linear.

d) Para x ∈ R2 (x diferente de 0_R3) e α ∈ R (α diferente de 0) temos:

L(αx) = (αx1, αx2, (αx1)2+ (αx2)2)|

= α(x1, x2, α(x21+ x22))|

6= α(x₁, x2, x21+ x22)|= αL(x).

(6)

a) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = 2(A + B) = 2A + 2B = L(A) + L(B). L(αA) = 2(αA) = α(2A) = αL(A), Segue que L é linear.

b) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = (A + B)| = A|+ B| = L(A) + L(B), L(αA) = (αA)| = α(A|) = αL(A). Segue que L é linear.

c) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = (A + B) + I

= A + B + I

6= A + B + 2I = (A + I) + (B + I) = L(A) + L(B). Segue que L não é linear.

d) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = (A + B) − (A + B)|

= (A − A|) + (B − B|) = L(A) + L(B),

L(αA) = (αA) − (αA)| = α(A − A|) = αL(A). Segue que L é linear.

a) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = C(A + B) + (A + B)C

= (CA + AC) + (CB + BC) = L(A) + L(B),

L(αA) = C(αA) + (αA)C = α(CA + AC) = αL(A). Segue que L é linear.

b) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = C2(A + B) = C2A + C2B = L(A) + L(B), L(αA) = C2(αA) = α(C2A) = αL(A). Segue que L é linear.

(7)

c) No caso C 6= 0, para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n tais que (AB + BA)C 6= 0_Rn×n (por exemplo: A = B = I) temos: L(A + B) = (A + B)2C = (A2+ AB + BA + B2)C = (A2C + ABC + BAC + B2C 6= A2C + B2C = (A + I) + (B + I) = L(A) + L(B). Segue que L não é linear.

No caso C = 0, L(A) = 0_Rn×n para qualquer A, logo é linear. Resolução do Exercício 9: Sejam P, Q ∈ P₂_{, e α ∈ R.}

a) Para quaisquer p(x), q(x) em P2, e qualquer α ∈ R, calculemos:

L(p(x) + q(x)) = x(p(x) + q(x)) = x.p(x) + xq(x) = L(p(x)) + L(q(x)). L(αp(x)) = x(αp(x)) = α.(xp(x)) = αL(p(x)). Logo L é linear.

b) Consideremos o polinômio nulo 0_p₂. Temos: L(0P2) = x

2_{+ 0}

P2 6= 0P3.

Logo L não é linear.

c) Para quaisquer p(x), q(x) em P2, e qualquer α ∈ R, calculemos:

L(p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x)) + x(p(x) + q(x)) + x2(p(x) + q(x)) = p(x) + xp(x) + x2p(x) + q(x) + xq(x) + x2q(x) = L(p(x)) + L(q(x)). L(αp(x)) = αp(x) + x.αp(x) + x2αp(x) = α.(p(x) + xp(x) + x2p(x)) = αL(p(x)). Logo L é linear. Resolução do Exercício 10: a) Por definição do núcleo, temos:

N (L) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | L(x) = 0_R3)}.

Logo x = (x1, x2, x3) pertence em N (L) se e somente se L(x) = 0 ou seja, se e somente se

(x3, x2, x1) = (0, 0, 0). Concluemos que N (L) = {(0, 0, 0)}.

É claro que qualquer elemento y = (y1, y2, y3) em R3 é da forma y = L(x) para um certo

x ∈ R3, pois o sistema (y₁, y2, y3) = (x1, x2, x3) sempre tem uma solução (x1, x2, x3).

(8)

b) Temos N (L) = {x = (x₁, x2, x3) ∈ R3 | L(x) = 0R3)}, logo:

x = (x1, x2, x3) ∈ N (L) ⇐⇒ L(x) = (0, 0, 0),

⇐⇒ (x1, x2, 0) = (0, 0, 0),

⇐⇒ x1 = x2 = 0, x1 qualquer

⇐⇒ (x1, x2, x3) = (0, 0, α) onde α ∈ R.

Logo N (L) é o subespaço de dimensão 1 de R3 dado por:

N (L) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (0, 0, α), α ∈ R}

= Cob(e3)

= R.e3.

Por outro lado, temos:

Im(L) = {y = (y1, y2, y3) ∈ R3 | existe x ∈ R3, y = L(x)}

= {y = (y1, y2, y3) ∈ R3 | existe x ∈ R3, y = (x1, x1, x1)}

= {L(x) ∈ R3 | x ∈ R3}

= {(x1, x2, 0) ∈ R3 | x1, x2 ∈ R}

Logo Im(L) é o subespaço de dimensão 2 de R3 dado por Im(L) = Cob(e₁, e2).

c) Temos N (L) = {x = (x₁, x2, x3) ∈ R3 | L(x) = 0R3)}, logo:

x = (x1, x2, x3) ∈ N (L) ⇐⇒ L(x) = (0, 0, 0),

⇐⇒ (x1, x1, x1) = (0, 0, 0),

⇐⇒ x1 = 0, x2, x3 quaisquer

⇐⇒ (x1, x2, x3) = (0, α, β) onde α, β ∈ R.

Logo N (L) é o subespaço de dimensão 2 de R3 dado por:

N (L) = {(x1, x2, x3) ∈ R3|(x1, x2, x3) = (0, α, β), α, β ∈ R3} = Cob(e2, e3).

Im(L) = {y = (y₁, y2, y3) ∈ R3 | existe x ∈ R3, y = L(x)}

= {y = (y1, y2, y3) ∈ R3 | existe x ∈ R3, y = (x1, x1, x1)}

= {L(x) ∈ R3 | x ∈ R3_}

= {(x1, x1, x1) ∈ R3 | x1 ∈ R}

Logo Im(L) é o subespaço de dimensão 1 de R3 dado por: Im(L) = Cob(v) = R.v, onde v é o vetor definido por v := (1, 1, 1).

(9)

a) Temos por definição do núcleo que N (L) := {p(x) = a + bx + cx2 ∈ P₃ | L(p(x)) = 0_P₃}, logo: p(x) = a + bx + cx2 ∈ N (L) ⇐⇒ L(p(x)) = 0P3, ⇐⇒ xp0(x) = 0P3, ⇐⇒ x.(b + 2cx) = 0P3, ⇐⇒ bx + 2cx2 = 0P3, ⇐⇒ b = c = 0, a qualquer ⇐⇒ _{p(x) = a, onde a ∈ R.}

Portanto N (L) é o subespaço de dimensão 1 de P₃ dos polinômios constantes, ou seja: N (L) = {p(x) ∈ P3 | p(x) = a, a ∈ R} = Cob(1).

Im(L) = {q(x) ∈ P₃ | existe p(x) ∈ P₃, q(x) = L(p(x))} = {L(p(x) ∈ P3 | p(x) ∈ P3}

= {bx + 2cx2 ∈ P3 | b, c ∈ R}

= {bx + c0.x2 ∈ P₃ | b, c0_{∈ R}}

Logo Im(L) é o subespaço de dimensão 2 de P₃ gerado pelos polinômios x e x2: Im(L) = Cob(x, x2).

b) Temos por definição do núcleo que N (L) = {p(x) = a + bx + cx2 ∈ P₃ | L(p(x)) = 0_P₃)}, logo: p(x) = a + bx + cx2 ∈ N (L) ⇐⇒ L(p(x)) = 0P3, ⇐⇒ p(x) − p0(x) = 0P3, ⇐⇒ a + bx + cx2− (b + 2cx) = 0P3, ⇐⇒ (a − b) + (b − 2c)x + cx2 = 0P3, ⇐⇒ a = b = c = 0, ⇐⇒ p(x) = 0P3.

Portanto N (L) = {0_P₃} é o subespaço trivial de P₃. Por outro lado, temos:

Im(L) = {q(x) ∈ P₃ | existe p(x) ∈ P₃, q(x) = L(p(x))}

= {q(x) ∈ P3 | q(x) = (a − b) + (b − 2c)x + cx2, a, b, c ∈ R}

Para qualquer q(x) = α + βx + γx2 ∈ P3 o sistema:

     a−b = α, b −2c = β, c = γ

tendo uma solução (a, b, c), concluemos que a imagem de L é o espaço P₃ inteiro: Im(L) = P3.

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