Produtos Not´aveis
Priscila Costa Ferreira de Jesus e Tatiane Oliveira Santos
Resumo: Neste trabalho apresentamos uma proposta de atividade para o
desen-volvimento de produtos not´aveis que pode auxiliar o na comprens˜ao deste t´opico e no trabalho do professor. Para as demonstra¸c˜oes sugerimos um enfoque mais geom´etricas e a constru¸c˜ao de materiais manipulativos que tem por objetivo a visu-aliza¸c˜ao destes produtos especiais. Uma atividade envolvendo o triˆangulo de Pascal ´e apresentada de modo a generalizar a constru¸c˜ao do binˆomio de Newton. Alguns exerc´ıcios s˜ao sugeridos ao final do texto.
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
2 Proposta de ensino 2
2.1 Proposta da atividade: . . . 2
3 O Quadrado da soma. 3
4 Quadrado da diferen¸ca. 4
5 O produto da soma pela diferen¸ca 5
6 Curiosidade: Produtos not´aveis e o Triˆangulo de Pascal 6 1. Introdu¸c˜ao
Nos Elementos, Euclides realiza todas as constru¸c˜oes utilizando somente r´egua e compasso. Al´em disso, a r´egua n˜ao tem nenhuma marca¸c˜ao, nenhum n´umero, nenhuma medida. Euclides e os antigos matem´aticos gregos n˜ao faziam c´alculos e nem estabeleciam medidas. Preocupavam-se apenas com rela¸c˜oes que podiam obter geometricamente.
A parte mais substancial do percurso efetuado pela matem´atica grega estava subordinada `a geometria. Na Gr´ecia antiga o racioc´ınio matem´atico baseava-se, quase unicamente, nas formas e figuras geom´etricas, assim, um segmento de reta representava tamb´em o seu pr´oprio comprimento, o produto de dois segmentos de reta representava uma ´area retangular, o produto de trˆes segmentos de reta representava um volume de um paralelep´ıpedo. Isto ´e, efetuavam as opera¸c˜oes arit-m´eticas atrav´es das constru¸c˜oes geom´etricas, por exemplo, se x e y′representavam dois segmentos, ent˜ao x.y era a ´area do retˆangulo de lados x e y. Para os geˆometras gregos, um problema sol´uvel com r´egua n˜ao graduada e compasso era um problema cuja solu¸c˜ao passava por construir os elementos desconhecidos, utilizando apenas a r´egua n˜ao graduada e o compasso, a partir dos elementos geom´etricos conhecidos. 1 Typeset by style. c Pibid – Mat.
2. Proposta de ensino
Ao abordar um conte´udo em sala de aula ´e importante sempre explicar ao aluno o porque estudar tal assunto.
O conte´udo tratado neste texto ´e conhecido como “Produtos Notaveis”, e para isto, n´os professores devemos entender tamb´em a importˆancia deste conte´udo.
Antes de qualquer coisa, o que s˜ao os produtos not´aveis?
Vamos entender o significado das palavras “Produtos”e “Notaveis”. Nos di-cion´arios encontramos os seguintes significados:
• Produtos: o resultado de uma multiplicacao. • Not´aveis: Digno de nota, de aten¸c˜ao.
Assim o termo “Produtos Not´aveis”significa multiplica¸c˜ao que se destaca.
Respondendo a nossa quest˜ao temos dois motivos fundamentais para o ensino de produtos not´aveis:
1. O assunto esta proposto nos parˆametros curriculares nacionais. 2. ´E uma ferramenta que auxilia nos c´alculos de ´algebra e geometria.
Se as f´ormulas s´o forem impostas por n´os professores, os alunos n˜ao saber˜ao a origem das f´ormulas e geralmente esquecem pelo fato de acharem que isso ´e decoreba.
Neste texto temos o intuito de mostrar ao aluno como foram demonstradas geometricamente algumas das f´ormulas, pois assim poderemos transmitir uma vis˜ao mais concreta do assunto.
2.1. Proposta da atividade: 1. Objetivos:
• Compreender geometricamente a demonstra¸c˜ao da f´ormula do quadrado da soma, diferen¸ca de dois quadrados e produto da soma pela diferen¸ca. 2. Conceitos a serem Desenvolvidos
• Quadrado da soma.
• Diferenca de dois quadrados. • Produto da soma pela diferen¸ca. 3. Materiais Did´aticos utilizados:
• Papel cart˜ao. • Tesoura. • R´egua.
• L´apis e borracha. ´
E importante que o professor utilize as duas formas de demonstra¸c˜oes j´a que cada aluno tem a sua maneira pr´opria de visualizar, ent˜ao demonstraremos alge-bricamente e geometricamente.
3. O Quadrado da soma. Desenvolvimento desta atividade:
Proponha ao aluno que recorte um quadrado de lados com medida a, um quadrado de lados com medida b e dois retˆangulos de lados com medidas a e b. Veja figura1.
Figura 1: Ilustrando as pe¸cas que ser˜ao produzidas
Dada as figuras em (1) ´e importante aproveitar o momento para o enriqueci-mento da atividade com rela¸c˜ao ao estudo das propriedades das figuras geom´etricas. Propomos ao professor que indague aos alunos quais s˜ao as maneiras de se obter a respectivas ´areas, os ˆangulos que comp˜oe as figuras, classifica¸c˜ao das figuras geom´etricas e como encontrar seus per´ımetros.
Com essas quatro figuras pe¸ca aos alunos que montem um quadrado utilizando todas as pe¸cas. Veja a figura 2.
Figura 2: Ilustrando o quadrado da soma
Questionem aos alunos as maneiras de obtermos a ´area deste quadrado formado por todas as pe¸cas.
O esperado s˜ao as seguintes respostas: • (a + b)2
• (a + b)(a + b)
• a2+ ba + ab + b2 ou a2+ ab + ab + b2 ou a2+ 2ab + b2
Reflita com os alunos a maneira que pensaram para calcular a ´area do quadrado montado e conclua que independentemente da maneira que foi calculada a ´area do quadrado de lados (a + b) o resultado tem que ser sempre igual j´a que se trata da mesma figura. Isto ´e,
(a + b)2= (a + b).(a + b) = a2+ b.a + a.b + b2= a2+ a.b + a.b + b2= a2+ 2.a.b + b2. Logo,
(a + b)2= a2+ 2.a.b + b2. 4. Quadrado da diferen¸ca. Desenvolvimento desta atividade:
Com as figuras utilizadas no exerc´ıcio anterior os desafiem a construir um quadrado de lado (a − b). Os alunos devem sobrepor o lado de medida b dos retˆangulos sobre os lados do quadrado. Veja a figura3.
Figura 3: Ilustrando o quadrado da diferen¸ca
Questione-os sobre as diferentes maneiras de se obter a ´area deste quadrado (quadrado azul).
Esperam-se as seguintes respostas: • (a − b)2
• (a − b)(a − b)
Novamente reflita com os alunos a maneira que pensaram para calcular a ´area do quadrado.
Conclua com os alunos que independentemente da maneira que foi calculada a ´
area do quadrado de lados (a − b), o resultado tem que ser sempre igual j´a que se trata da mesma figura.
Isto ´e,
(a − b)2= (a − b).(a − b) = a2
− b.a − a.b + b2= a2− a.b − a.b + b2= a2− 2.a.b + b2. Logo,
(a − b)2= a2− 2.a.b + b2.
5. O produto da soma pela diferen¸ca Desenvolvimento desta atividade:
Utilizando essas figuras pergunte como ´e poss´ıvel mostrar geometricamente uma figura com ´area de medidas (a + b).(a − b).
Do quadrado de lados com medida a (quadrado azul), sobreponha o retˆangulo de medidas a e b (retˆangulo cinza). Veja a figura 6.
Figura 4: Ilustrando a constru¸c˜ao do retˆangulo de lados de medidas a − b
Pergunte aos alunos de que forma podemos manipular as pe¸cas para obtermos o lado (a + b).
O professor deve direcionar `a aula para que os alunos percebam que deve-se posicionar o retˆangulo de lado a e b (retˆangulo verde), da seguinte maneira, veja a figura 5:
Obtendo uma figura com um lado de medida (a + b). Desta forma conseguimos obter uma figura que representa um retˆangulo (retˆangulo vermelho) com lados de medidas (a + b) e (a − b).
Indague aos alunos qual ´e a ´area dos retˆangulos (a + b) e (a − b) e as maneiras que eles chegaram nestes resultados. Os alunos poder˜ao apresentar as seguintes respostas:
Figura 5: Constru¸c˜ao do retˆangulo de lados de medidas (a + b) e (a − b).
• (a + b)(a − b).
• a2− ba + ab + b2 ou a2+ b2. Conclua com os alunos que:
(a − b).(a + b) = a2− b.a + a.b + b2= a2+ b2. Logo,
(a − b).(a + b) = a2+ b2.
6. Curiosidade: Produtos not´aveis e o Triˆangulo de Pascal O triˆangulo de Pascal ´e um triˆangulo aritm´etico formado por n´umeros que tˆem diversas rela¸c˜oes entre si. Muitas dessas rela¸c˜oes foram descobertas pelo pr´oprio Pascal, o que justifica o nome que lhe ´e dado. As diagonais exteriores deste triˆangulo ´e sempre o n´umero um, e os outros n´umeros ´e sempre o resultado da soma dos dois n´umeros dois que est˜ao acima. Confira na figura6.
Figura 6: Ilustrando o triˆangulo de Pascal
Por exemplo, na sexta linha temos o n´umero 5 e o n´umero 10 que somados resultam 15, notem que o n´umero 15 est´a logo abaixo e entre os n´umeros 6 e 20. Pe¸ca para que cada aluno construa em seus cadernos o Triˆangulo de Pascal, para o entendimento do processo.
No triˆangulo de Pascal, algumas propriedades podem ser observadas juntamente com os alunos:
• Na segunda diagonal (esquerda para direita) quando encontrado um n´umero primo (isto ´e, apenas divis´ıvel por ele pr´oprio e por 1) ent˜ao todos os elemen-tos dessa linha, excluindo o 1, s˜ao divis´ıveis por ele.Por exemplo na linha 8 temos: ( 1 7 21 35 35 21 7 1), como 7 ´e primo ent˜ao 7, 21 e 35 s˜ao divis´ıveis por ele.
• Observem tamb´em que a soma de cada linha ´e uma potˆencia de 2.
O que muita gente n˜ao sabe ´e que o famoso produto not´avel da forma (a + b)n pode ser obtido atrav´es do triˆangulo aritm´etico conhecido como o Triˆangulo de Pascal.
Observe com os alunos que os n´umeros da terceira linha do triˆangulo ( 1 2 1) representam os coeficientes de 1.a2+ 2.a.b + 1.b2.
Explique que atrav´es do Triˆangulo de Pascal pode-se desenvolver, al´em do pro-duto not´avel (a + b)2 , outros produtos do tipo (a + b)3 , (a + b)4 e, assim por diante.
Dˆe exemplos como:
(a + b)4= 1.a4+ 4.a3.b+ 6.a2.b2+ 4.a.b3+ 1.b4( quinta linha )
(a + b)5= 1.a5+ 5.a4.b+ 10.a3.b2+ 10.a2.b3+ 5.a.b4+ 1.b5( sexta linha ) A partir desse momento uma d´uvida geral surgir´a entre os alunos: Como os termos foram obtidos nos desenvolvimentos acima?
Explique que a regra ´e a seguinte:
• em cada monˆomio da express˜ao alg´ebrica h´a um produto do termo a pelo termo b, isto ´e, em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a0= b0= 1, a1= a, b1= b);
• a partir do primeiro monˆomio os expoentes de a v˜ao decrescendo e os de b v˜ao crescendo;
• a soma dos expoentes de cada monˆomio da express˜ao alg´ebrica ´e igual ao expoente do binˆomio;
• o primeiro expoente de a ´e igual ao expoente do binˆomio e o ´ultimo ´e zero; • o primeiro expoente de b ´e zero e o ´ultimo ´e igual ao expoente do binˆomio; • o primeiro expoente de b ´e zero e o ´ultimo ´e igual ao expoente do binˆomio; a
express˜ao alg´ebrica possuir´a 1 termo a mais que o expoente do binˆomio. Propomos que exemplifique com o desenvolvimento de (a + b)5
(a + b)5= 1.a5.b0+ 5.a4.b1+ 10.a3.b2+ 10.a2.b3+ 5.a1.b4+ 1.a0.b5 Explique este exemplo citando as regras e mostrando como utiliz´a-las, por ex-emplo:
• expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0 (ordem decrescente) • expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (ordem crescente)
• soma do expoentes de a e de b em cada monˆomio: 5 (expoente do binˆomio) • a express˜ao alg´ebrica obtida possui 6 termos (5 + 1)
Analise a figuras e escreva o produto not´avel que representa a ´area colorida. Desenvolva algebricamente e geometricamente: (−2 + x).(−x + 2) (x + 6)2 (x 2 + y).( x 2− y) (x − y 4) 2
Desenvolva utilizando como ferramenta o triˆangulo de Pascal: (−2+x)3(x+6)4 (c + d)5 (a −b
2).
Agradecimentos
Agradecimentos especiais `a profa. Alexandra Abdala e ao prof. Doherty An-drade pelas in´umeras sugest˜oes.
Referˆencias
1. ANDRINI, ´Alvaro; VASCONCELOS, Maria Jos´e. Praticando Matem´atica, 7a S´erie. 1o ed. S˜ao Paulo: Editora do Brasil, 2002.
2. DANTE, Luiz Roberto. Tudo ´e Matem´atica - 7a s´erie. 2ed. S˜ao Paulo: ´Atica, 2006. 3. http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca l/curios.htm
4. http://www.brasilescola.com/matematica/quadrado-soma.htm
5. http://www.brasilescola.com/matematica/produto-soma-pela-diferenca.htm 6. http://www.brasilescola.com/matematica/quadrado-diferenca.htm
