Imara Lima Fernandes
Transporte quântico em nano-estruturas magnéticas
Campinas 2015
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin
Valkíria Succi Vicente - CRB 8/5398
Fernandes, Imara Lima,
F391t FerTransporte quântico em nano-estruturas magnéticas / Imara Lima Fernandes.
– Campinas, SP : [s.n.], 2015.
FerOrientador: Guillermo Gerardo Cabrera Oyarzun.
FerTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física
Gleb Wataghin.
Fer1. Green, Funções de. 2. Pontos quânticos. I. Cabrera Oyarzun, Guillermo
Gerardo,1948-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Quantum transport in magnetic nanostructures Palavras-chave em inglês:
Green's funtion Quantum dots
Área de concentração: Física Titulação: Doutora em Ciências Banca examinadora:
Guillermo Gerardo Cabrera Oyarzun [Orientador] César Augusto Dartora
Fernando Assis Garcia José Antonio Brum
Carlos Manuel Giles Antunez de Mayolo
Data de defesa: 30-06-2015
Programa de Pós-Graduação: Física
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Resumo
Esta tese de doutorado abordou principalmente o estudo teórico das propriedades de trans-porte dependente do spin em nanoestruturas magnéticas. As principais estruturas estudadas foram junções magnéticas de tunelamento e sistemas compostos por um arranjo de pontos quânticos acoplados a eletrodos ferromagnéticos. Com o intuito de obter propriedades físicas do sistema como, a corrente elétrica, a corrente de spin, a densidade local de estados, a ocu-pação média nos pontos quânticos e a corrente induzida por spin transfer-torque utilizamos o formalismo de funções de Green de não-equilíbrio.
Na primeira parte deste trabalho, estudamos os efeitos da inversão do spin nas propriedades de transporte em junções de tunelamento. Para estes sistemas, o fenômeno da magnetorresis-tência tem origem na densidade de estados dos elétrons de condução dos eletrodos e mostramos que ela é fortemente afetada pela inversão do spin no tunelamento. Além disso, foi possível observar que a inversão do spin induz um spin-torque adicional ao sistema.
Na segunda parte deste trabalho, investigamos as propriedades de transporte em um sistema composto por dois pontos quânticos em forma de T acoplados a eletrodos ferromagnéticos. Com a mesma metodologia empregada anteriormente, encontramos que o aparecimento da ressonância de Fano e a formação de estados ligados dependem fortemente dos parâmetros do sistema. Explorando em detalhes o sistema, foi observado que é possível controlar a condutância elétrica do sistema através de um potencial de gate. Em particular, ao variar a posição do nível de energia do ponto quântico central é possível inverter a ressonância de Fano.
Na última parte, apresentamos os resultados numéricos para o sistema considerando um ponto quântico com dois níveis de energia acoplado a dois eletrodos ferromagnéticos, e no interior do ponto quântico levamos em conta a interação e-e e a interação spin-órbita de Rashba. A interação de Rashba introduz a transição entre os níveis de energia com a inversão do spin, o que originou interessantes propriedades no transporte dependente do spin. Em particular, para eletrodos não magnéticos obtivemos que o acoplamento spin-órbita resultou na criação de corrente de spin polarizada.
Palavras-chave: pontos quânticos, funções de Green. vii
Abstract
In this work, we have studied the spin-dependent quantum transport in magnetic nanostruc-tures. The main structures studied are magnetic tunneling junctions and systems composed of an arrangement of quantum dots coupled to ferromagnetic electrodes. Using the nonequili-brium Green's function techinique, we were able to calculate selected properties of the systems such as the electric current, the spin current, local density of states and the current-induced spin-transfer torque.
In the rst system, we have observed the eects of the spin- ip scattering in the transport properties considering tunneling junctions composed by an insulating layer between two ferro-magnetic electrodes. The results obtained for this system showed that the magnetoresistance is related to density of state eects at the ferromagnetic electrodes, and we have found that it is strongly aected by the spin- ip scattering. Besides, we also observed that the spin- ip scattering gives rise to an additional spin-torque to the system.
For the system composed of two quantum dots T-shaped electrodes coupled to ferromag-netic electrodes, we investigated the spin-dependent properties. We have observed that the appearance of the Fano resonance and the formation of bound states rely strongly on system parameters. Another interesting nding is the possibility to control the electrical conductance via a gate voltage. We gured out that changing the energy level of the central dot aected directly the Fano resonance peak intensities.
Lastly, we have showed that for the system composed by a quantum-dot with two energy levels coupled to two ferromagnetic electrodes must be modi ed when the e-e and the Rashba spin-orbit interaction are taken into account. The Rashba interaction induces level transitions with spin- ip resulting in interesting properties in the spin-dependent transport. We have found out that the spin-orbit interaction strongly contributes to the spin current even for non-magnetic electrodes.
Keywords: quantum-dots, Green`s function.
Sumário
Lista de Figuras xv
Lista de Símbolos xxi
1 Introdução 1
2 Funções de Green fora do equilíbrio 5
2.1 Formulação do problema . . . 5
2.1.1 Origem do contorno de integração . . . 6
2.2 Funções de Green de não-equilíbrio . . . 8
2.2.1 Versão de interação . . . 10
2.3 Continuação analítica . . . 12
2.4 Equação de Keldysh . . . 16
3 Transporte para o sistema F M − I − F M 19 3.1 Modelo . . . 20
3.2 Cálculo das propriedades físicas . . . 21
3.2.1 Corrente elétrica . . . 23
3.2.2 Corrente de spin . . . 26
3.2.3 Corrente induzida por spin transfer torque . . . 27
3.3 Resultados . . . 29
4 Formulação do transporte para o sistema (FM,FM)-QD2-QD1 35 4.1 Modelo . . . 35
4.2 Cálculo das propriedades físicas . . . 38
4.2.1 Corrente elétrica e corrente de spin . . . 38
4.2.2 Número de ocupação no ponto quântico QD2 . . . 40
4.2.3 Densidade de Estados Local - LDOS . . . 41 xi
4.3 Cálculo das funções de Green . . . 41
4.3.1 Funções de Green mistas . . . 41
4.3.2 Função de Green do ponto quântico central . . . 44
4.4 Procedimento numérico . . . 46
5 Resultados para o sistema (FM,FM)-QD2-QD1 49 5.1 Parâmetros do sistema . . . 50
5.2 Resultados para o caso não interagente . . . 51
5.3 Resultados para o caso interagente . . . 52
6 Transporte através de ponto quântico com 2 níveis de energia 63 6.1 Cálculo das funções de Green . . . 65
6.1.1 Funções de Green mistas . . . 65
6.1.2 Função de Green do ponto quântico QDa . . . 70
6.2 Cálculo das propriedades físicas . . . 74
6.2.1 Corrente elétrica e corrente de spin . . . 74
6.2.2 Corrente induzida por spin transfer torque . . . 78
6.3 Procedimento numérico . . . 79
7 Resultados para o sistema com o ponto quântico com 2 níveis de energia 81 7.1 Parâmetros do sistema . . . 81
7.2 Resultados para o sistema F M − QD − F M . . . 82
7.2.1 Caso não interagente . . . 82
7.2.2 Resultados para o caso interagente . . . 87
7.3 Resultados para o sistema completo . . . 90
8 Conclusão 93
Agradecimentos
Ao Professor Dr. Guillermo G. Cabrera, pela sua atenção, pelos ensinamentos e por ter me dado todo o apoio necessário para o desenvolvimento desta tese.
Aos funcionários da Secretaria do Departamento de Física da Matéria Condensada e da Secre-taria da Pós Graduação do IFGW.
À agência CNPq pelo suporte nanceiro.
À agência FAPESP pelo suporte nanceiro (Processo 2011/19298-4).
Ao IFGW/UNICAMP pelo apoio e estrutura fornecido para o desenvolvimento desta tese. A Bruna pelos anos amizade e por ser uma amiga que levarei para a vida toda.
A todos os meus amigos, em especial à Juliana, Larissa, Damaris, Kelin e Ricardo pelo com-panheirismo ao logo desses anos especialmente durante os momentos mais difíceis.
A minha família pelo apoio incondicional durante esta jornada. Em especial a minha mãe, Barbara, pelo seu amor e por estar presente em todos os momentos. A minha irmã Ariane por todo seu apoio e pelas longas conversas ao telefone. Ao Cassiano pelo seu apoio. Ao meu pai, Luis, pelo suporte, pelo amor e pela compreensão da minha ausência em alguns momentos. E em especial meu namorado, José Renato, pelo seu apoio incodicional que tornou possível a realização deste trabalho. Pessoa sem a qual eu não seria que eu sou hoje.
Lista de Figuras
1.1 Corte transversal da representação esquemática da origem do spin-torque agindo
sobre a camada ferromagnética da direita. . . 4
2.1 Representação do contorno de ordenamento dos tempos utilizado na transforma-ção da Eq. 2.10. Os tempos são ordenados de acordo com positransforma-ção ao longo do
contorno. . . 8
2.2 Representação do contorno de tempo utilizado na de nição da função de Green
ordenada no contorno. O contorno inicia em t0 passa por t1 e t01 e depois retorna
para t0. C1 indica o ramo superior e C2 o ramo inferior. . . 9
2.3 Representação do contorno de ordenamento temporal C∗ = C
uU C. A parte
Cu = [t0, t0− iβ]tem origem da transformação da matriz densidade e representa
as correlações inicias do sistema. No estado estacionário os efeitos das correlações inicias são eliminados pelas interações iniciais de modo que pode-se tomar o
limite t0 → −∞ e eliminar essa parte do contorno. . . 12
2.4 a) Contorno C utilizado para de nir a função de Green ordenada no contorno. b) Contorno deformado para obter a continuação analítica. O contorno inicia
em t0, passa por t1 e t01 e volta para t0. No caso estacionário t0 → −∞. . . 14
3.1 Ilustração esquemática do sistema composto por dois eletrodos ferromagnéticos (FM) separados por uma camada isolante (I). . . 19 3.2 Corrente em função da voltagem aplicada para (a) con guração paralela (θ = 0),
(b) con guração perpendicular (θ = π/2) e (a) con guração antiparalela (θ = π). A inversão do spin é incluida através do parâmetro α = 0.07. Os parâmetros utilizados foram: r = 2.21, β = 2.7, λ = 0.07, γ = 2 e ρ = 0.6. A corrente está
normalizada pela constante I0. . . 30
3.3 TMR em função da voltagem aplicada para θ = 0 (linha cheia) e θ = π/2 (linha pontilhada). A linha azul denota a TMR calculada sem incluir a inversão do spin,
(It = Id)e a linha vermelha denota a TMR com a inversão do spin (It = Id+Isf),
através do parâmetro α = 0.06. Os parâmetros utilizados foram os mesmos da Fig. 3.2. . . 31
3.4 Dependência angular de τ/Ie para a) α = 0 e b) α = 0.2. O torque por unidade
de corrente é medido em unidades de ~/e. Os parâmetros utilizados foram:
L = 50Å, V0 = 3.0 eV, r = 2.21, β = 2.7, λ = 0.07, γ = 2 e ρ = 0.6. A unidade
da voltagem indicada no grá co é volts (V ). . . 32
3.5 Spin transfer torque τ/Ie em função de θ para V = 0.05V . Os parâmetros
utilizados foram os mesmos da Fig. 3.4 . . . 33 4.1 Diagrama esquemático do sistema composto por dois pontos quânticos em forma
de T acoplados a eletrodos ferromagnéticos. O QD2 está acoplado aos dois
eletrodos ferromagnéticos e ao QD1 através de barreiras de tunelamento. t12
é o acoplamento entre o QD2 e o QD1. As setas azuis indicam a direção de
magnetização das camadas ferromagnéticas. . . 36 4.2 Esquema do procedimento numérico utilizado no cálculo auto-consistente da
ocupação média e das funções de Green. . . 47 5.1 Diagrama esquemático do sistema composto por dois ponto quânticos na forma
de T acoplados a eletrodos ferromagnéticos. . . 50 5.2 a) Condutância elétrica em função da voltagem aplicada considerando eletrodos
não magnéticos, ou seja, P = 0. b) Condutância de spin com a voltagem aplicada considerando eletrodos magnéticos com polarização P = 0.4. Para diferentes
valores de acoplamento entre os pontos quânticos t12. Parâmetros xos: kBT =
0.03 Γ0, 1 = 2 = 3 Γ0 e U = 0. . . 52
5.3 Dependência com a voltagem a) da corrente elétrica e b) da condutância elétrica
Ge para diferentes valores de interação de Coulomb no ponto quântico central,
U. Os eletrodos são magnéticos com polarização P = 0.4 e na con guração
paralela. O acoplamento entre os pontos quânticos é t12 = 0.65 Γ0. Os outros
parâmetros xos são os mesmos da Fig. 5.2. . . 53 5.4 LDOS em função da energia para difererentes valores de interação U na
con- guração paralela. a) LDOS para ponto quântico auxiliar, b) LDOS para o
ponto quântico central. A voltagem aplicada é xa em eV = 6 Γ0. Os outros
LISTA DE FIGURAS xvii 5.5 Dependência com a voltagem da corrente de spin na a) con guração paralela, b)
com a magnetização em θ = π/2 e na c) con guração antiparalela para diferentes
polarizações P . O acoplamento entre os pontos quânticos é t12 = 0.65 Γ0 e a
interação de Coulomb é U = 0.9. Os outros parâmetros xos são os mesmos da
Fig. 5.2. . . 55
5.6 Dependência com a voltagem da corrente de spin Isna con guração antiparalela
para diferentes acoplamentos t12. Os outros parâmetros xos são os mesmos da
Fig. 5.5. . . 56 5.7 Dependência com a voltagem da a) corrente elétrica e b) da condutância elétrica
para diferentes polarizações no eletrodo da direita, PR. Parâmetros xos: PL=
0, kBT = 0.03 Γ0, 1 = 2 = 3Γ0, t12= 0.65 Γ0 e U = 0.9 Γ0. . . 57
5.8 Dependência com a voltagem da a) corrente de spin e b) da condutância de spin
para diferentes polarizações no eletrodo da direita, PR. os parâmetros são os
mesmos utilizados na Fig. 5.7. . . 58 5.9 a) Condutância na con guração paralela, b) condutância na con guração
antipa-ralela e c) magnetorresistência em função do nível de energia do ponto quântico
auxiliar, 1. Parâmetros xos: P = 0.6, kBT = 0.03 Γ0, 2 = 3 Γ0, eV = 6Γ0,
U = 0.9 Γ0 e t12 = 0.65 Γ0. . . 60
5.10 Condutância elétrica em função do nível de energia do ponto quântico auxiliar.
1 na con guração de magnetização paralela para diferentes valores do nível de
energia do ponto quântico central, 2. Parâmetros xos: P = 0.6, kBT = 0.03
Γ0, eV = 6Γ0 e t12 = 0.65 Γ0. . . 61
6.1 Diagrama esquemático do sistema composto por dois pontos quânticos em forma de T acoplado a eletrodos ferromagnéticos através de barreiras de tunelamento TL(R)iσ. As setas azuis indicam a direção de magnetização das camadas
ferro-magnéticas que estão rotacionadas por um ângulo θ. . . 63 7.1 Representação esquemática do sistema F M − QD − F M considerando o ponto
quântico com dois níveis de energia. . . 83 7.2 Dependência com a voltagem da condutância elétrica a) para diferentes valores
de w e t10 = 0.5 Γ0 e b) para diferentes valores de t10 e w = 0.5. Parâmetros
7.3 Dependência com a voltagem da a) corrente de spin e da b) condutância de spin
para diferentes acoplamentos entre os níveis de energia, t10. O inset na gura
a) mostra a corrente de spin em função da voltagem para t10 = 4 10−4 Γ0. Os
outros parâmetros são os mesmos da Fig. 7.2. . . 85 7.4 Dependência com a voltagem da condutância diferencial elétrica na a)
con gu-ração paralela e na b) con gucon gu-ração antiparalela. Parâmetros xos: kBT = 0.03
Γ0, 0 = 1 Γ0, 1 = 3 Γ0, t10 = 0.7 Γ0 e w = 0.5. . . 86
7.5 Corrente induzida por spin transfer torque em função do ângulo θ considerando
o acoplamento entre os níveis de energia: a) t10 = 0, b) t10 = 0.4 Γ0 e c)
t10 = 1.2 Γ0 para diferentes polarizações, P . Parâmetros xos: kBT = 0.03 Γ0,
0 = 1 Γ0, w = 0.5, 1 = 3 Γ0 e V = 6 Γ/e. . . 86
7.6 Corrente induzida por spin transfer torque em função do potencial aplicado para diferentes acoplamentos entre os níveis de energia, considerando θ = π/3 e P =
0.4. Parâmetros xos: kBT = 0.03 Γ0, 0 = 1 Γ0 e 1 = 3 Γ0. . . 87
7.7 a) Condutância diferencial elétrica, b) condutância diferencial de spin e c) STT em função do potencial aplicado para diferentes valores de interação U e consi-derando k = 0. O ângulo relativo entre a magnetização dos eletrodos é θ = π/3
e a polarização P = 0.4. Parâmetros xos: t10 = 0.49, w = 0.5, kBT = 0.03 Γ0,
0 = 1 Γ0, 1 = 3 Γ0. . . 88
7.8 a) Condutância diferencial elétrica, b) de spin e c) STT em função do potencial aplicado para diferentes valores de interação k, considerando U = 0.3. O ângulo relativo entre a magnetização dos eletrodos é θ = π/3 e a polarização P = 0.4. Os outros parâmetros são os mesmos da Fig. 7.7 . . . 89 7.9 a) Corrente de elétrica, b) condutância diferencial elétrica, c) corrente de spin
e d) condutância diferencial de spin em função da voltagem aplicada para di-ferentes ângulos para a magnetização dos eletrodos ferromagnéticos, P = 0.4. Considerando U = 0.3 e k = 0.2. Os outros parâmetros são os mesmos da Fig. 7.7 90
7.10 Representação esquemática do sistema completo (FM,FM)-QD2-QD1
conside-rando o ponto quântico central com dois níveis de energia. . . 91 7.11 Dependência com a voltagem da a) corrente elétrica e da b) condutância elétrica
para diferentes acoplamentos entre os pontos quânticos, t02. Parâmetros xos:
t10 = 0.7 Γ0 e w = 0.5, kBT = 0.03 Γ0, 0 = 1 Γ0, 1 = 3 Γ0, 2 = 1 Γ0, P = 0.4
LISTA DE FIGURAS xix 7.12 Dependência com a voltagem da condutância de spin para diferentes
acoplamen-tos entre os ponacoplamen-tos quânticos, t02. Parâmetros xos: t10 = 0.7 Γ0 e w = 0.5,
Lista de Abreviações e Símbolos
AP - Antiparalela
CISTT - Corrente induzida por spin transfer torque
DOS - Densidade de estados
e − e - Elétron-elétron
EF - Energia de Fermi
FM - Ferromagnético
GMR - Magnetorresistência gigante
I - Isolante
LDOS - Densidade de estados local
M - Majoritário
m - Minoritário
MR - Magnetorresistência
MRAM - Memórias magnéticas não voláteis
MTJ - Junção Túnel Magnética
P - Paralela
QD - Ponto quântico
SO - Spin-órbita
STT - Spin-transfer torque
TMR - Magnetorresistência de tunelamento
e - Carga elementar do elétron (1.602 10−19 C)
h - Constante de Planck (4.135 10−15 eV s)
~ - Constante de Planck sobre 2π (6.582 10−16 eV s)
kb - Constante de Boltzmann (8.617 10−5 eV K−1)
mel - Massa do elétron livre (9.109 10−31 kg)
µ - Potencial químico
Capítulo 1
Introdução
Os avanços nas técnicas de fabricação de sistemas mesoscópicos e o potencial destes sistemas em aplicações tecnológicas [1, 2] têm motivado estudos teóricos [3, 4] e experimentais [5, 6] das propriedades de transporte nesses sistemas, com o objetivo de melhorar o desempenho desses dispositivos. Recentes progressos na produção de nanoestruturas permitem analisar efeitos ba-seados em fenômenos puramente quânticos [7]. O ponto central do transporte em sistemas na escala de micro e nanômetros é que o tamanho do sistema é menor do que o comprimento de coerência de fase, com isso os elétrons podem propagar-se sem sofrer espalhamento inelástico (regime balístico) e a fase da função de onda pode manter sua coerência, dando lugar aos típicos fenômenos de interferência quântica [8]. Os efeitos de interferência resultantes da coerência de fase geram interessantes propriedades no transporte, que podem ser utilizadas na construção de dispositivos com amplas aplicacões tecnológicas.
Um tipo de estrutura que têm atraído grande interesse nos últimos anos são nanoestrutu-ras compostas por pontos quânticos (QD, sigla do inglês Quantum-dot). Pontos quânticos são estruturas com dimensões reduzidas com tamanho da ordem de 100 nm, constituído por um
nú-mero da ordem de 103átomos e um número equivalente de elétrons que se encontram fortemente
ligados aos átomos. Entretanto, um pequeno número de elétrons, que varia tipicamente entre um e algumas centenas, podem se encontrar livres dentro do ponto quântico. O comprimento de onda de de Broglie desses elétrons é da ordem do tamanho do próprio ponto quântico fazendo com que eles se comportem como se estivessem con nados em uma caixa. Esse con namento tridimensional propicia aos pontos quânticos estados eletrônicos semelhantes a átomos, com níveis de energias discretos. De modo análogo ao que acontece nos átomos reais, é preciso uma quantidade discreta de energia para excitar o sistema e para se remover um elétron é necessá-rio adicionar uma energia nita ao ponto quântico. Por essas analogias, os pontos quânticos podem ser considerados como sendo átomos arti ciais exibindo novas propriedades mediantes
à adição de elétrons extras ao sistema e são, portanto, excelentes protótipos para investigar os efeitos de correlações elétron-elétron (e-e) em sistemas con nados. Sistemas constituídos por poucos pontos quânticos [9, 10, 11] tem aumentado signi cativamente, uma vez que eles es-tão sendo considerados como potenciais componentes de um computador quântico [12, 13, 14]. Ao compará-los com sistemas composto por um único ponto quântico, sistemas com múltiplos pontos quânticos podem mostrar interessantes características no transporte quântico [15, 16].
Com o desenvolvimento de dispositivos com baixa dimensionalidade, outra propriedade quântica fundamental do elétron amplamente explorada é o spin [17, 18] levando ao surgimento da spintrônica [19]. Essa nova eletrônica teve um desenvolvimento muito rápido na última década, tanto no estudo de problemas básicos como nas aplicações. Entretanto, para controlar o spin é preciso: i) gerar uma corrente spin-polarizada, ou seja, uma corrente elétrica com predominância de um spin em relação ao outro, ii) transportar essa corrente, iii) detectar a corrente spin-polarizada e por m iv) armazenar essa informação.
A eletrônica de spin tem sido amplamente estudada desde o nal da década de 90, en-tretanto, a primeira vez em que se observou esse fenômeno foi no experimento realizado pelo físico francês Michel Jullière, que estudou o tunelamento entre lmes ferromagnéticos separa-dos por uma camada semicondutora [20]. Nesse experimento, Jullière veri cou que a corrente de tunelamento dependia da magnetização relativa entre as camadas ferromagnéticas, sendo a condutância era máxima quando a magnetização dos eletrodos eram alinhadas paralelamente e mínima no caso de alinhamento antiparalelo (AP). À tensão nula e a uma temperatura de
4.2 K, a variação observada na condutância foi de 14%, este efeito foi denominado
magnetorre-sistência de tunelamento (TMR, sigla do inglês Tunnel magnetoresistance). Em 1995, Moodera
et al. [21] para uma junção de CoFe/Al2O3/Co obtiveram uma variação da resistência de 11%
a 295 K e de 24% a 4.2 K.
Em 1988, dois grupos de pesquisas independentes descobriram materiais que apresentam um alto valor de magnetorresistência, que atualmente é conhecida por magnetorresistência gigante (GMR, sigla do inglês Giant magnetoresistance). O efeito da GMR consiste na dependência da resistência do sistema com a orientação relativa entre os momentos magnéticos das camadas fer-romagnéticas e deve-se ao transporte por camadas ferfer-romagnéticas separadas por uma camada de metal não magnético. A descoberta da GMR pelo grupo de Peter Grünberg [22] utilizou um sistema de três camadas compostas por Fe/Cr/Fe e a baixas temperaturas observou-se um efeito de 10% na presença de campo magnético da ordem de 2T. Já o grupo de Albert Fert [23], utilizou multicamadas de Fe/Cr no qual observou-se um efeito de 50% na presença de campo magnético da ordem de 20T. Recentemente, em nanocontatos foi possível observar um efeito de até 300% [24, 25, 26]. O francês Albert Fert e o alemão Peter Andreas Grünberg
3 foram laureados com o Prêmio Nobel de Física de 2007 pela descoberta da GMR devido à sua importância cientí co-tecnológica.
As descobertas da GMR e da TMR viabilizaram o desenvolvimento de uma eletrônica ba-seada em efeitos dependentes do spin e controlada por campos magnéticos. Esses efeitos são relevantes para uma série de aplicações tecnológicas, como por exemplo, na produção de dis-positivos que apresentam um grande efeito de magnetorresistência e têm sido incorporados como elementos em novos tipos de memórias magnéticas não voláteis (MRAM, sigla do inglês Magnetoresistive Random Access Memory) [27]. O efeito da TMR também pode ser observado em junções ferromagnéticas cuja parte central é composta por uma ilha metálica ou por um arranjo de pontos quânticos, desse modo, a spitrônica tem avançado em dispositivos baseados em nano-estruturas compostas por pontos quânticos e poços quânticos.
Em 1996 outro efeito dependente de spin de grande impacto tecnológico foi descoberto por Slonczenwski [28] e Berger [29]. De forma independente, previram teoricamente a possibilidade de se controlar a magnetização de uma camada magnética. Esse fenômeno cou conhecido como transferência de torque (STT, do inglês Sptransfer torque) e tem como origem a in-teração entre uma corrente de spin-polarizada e o momento magnético local, que produz um torque sobre a magnetização local, resultando na sua inversão ou precessão [30]. A descoberta do spin-transfer torque tem sido amplamente investigada devido ao grande interesse em se ma-nipular localmente a magnetização em escalas nanométricas sem o uso de campos magnéticos. Além disso, esse efeito ocorre em escalas nanométricas e em tempos de nano segundos com grande potencial para aplicações em MRAMs [31]. Com isso, pode-se modi car a informação armazenada pela injeção de uma corrente spin-polarizada [32] não necessitando da aplicação de campo magnético na região da célula de memória o que simpli ca o projeto e o desempenho dessas memórias magnéticas. Este efeito pode ser compreendido tomando um sistema tipo válvula de spin formada por duas camadas ferromagnéticas com magnetizações não colineares e separadas por uma região central não magnética, como indicado na Fig. 1.1. A magneti-zação na camada da esquerda é considerada xa, enquanto que a magnetimagneti-zação da camada da direita está livre, i.e., esta camada pode ter a direção de magnetização alterada por um agente externo. Ao injetar uma corrente elétrica perpendicular ao plano do sistema, passando inicialmente pela camada ferromagnética da esquerda, os elétrons têm seu spin polarizado na direção de magnetização desta camada. Ao atravessar para a camada da direita, os elétrons são sequencialmente spin-polarizados ao longo da magnetização da camada da direita, portanto, transfere momento angular transversal para a camada da direita. Devido à conservação do mo-mento angular, a camada da direita absorve esse momo-mento angular resultando em um torque sobre a magnetização que tende a alinhá-la com a magnetização da camada FM da esquerda,
como pode ser observado na Fig. 1.1.
Elétrons não polarizados
Fig. 1.1: Corte transversal da representação esquemática da origem do spin-torque agindo sobre a camada ferromagnética da direita.
Desse modo, este trabalho aborda principalmente o contexto da eletrônica de spin e esta tese está organizada da seguinte forma:
No Capítulo 2 apresentamos o formalismo para funções de Green fora do equilíbrio. No Capítulo 3 aplicamos o formalismo desenvolvido no Capítulo 2 para investigar as
propriedades de transporte dependentes do spin em junções de tunelamento magnéticas. No Capítulo 4 aplicamos o formalismo de funções de Green fora do equilíbrio desenvolvido no Capítulo 2 para calcular as propriedades de transporte dependente do spin em um sistema composto por dois QDs em forma de T acoplados a eletrodos ferromagnéticos. No Capítulo 5 são apresentados os resultados de transporte obtidos para o sistema
de-senvolvido no Capítulo 4.
No Capítulo 6 apresentamos a formulação do transporte em um sistema composto por dois pontos quânticos arranjados em forma de T e acoplados a eletrodos ferromagnéticos considerando o ponto quântico central com dois níveis de energia
No Capítulo 7 são apresentados os resultados de transporte obtidos para o sistema de-senvolvido no Capítulo 6 considerando o sistema completo em forma de T com o ponto quântico central com dois níveis de energia.
Capítulo 2
Funções de Green fora do equilíbrio
Neste capítulo apresentaremos algumas noções básicas sobre as funções de Green de não-equilíbrio que utilizaremos no decorrer desse trabalho. Esta técnica é uma ferramenta matemá-tica amplamente utilizada no estudo do transporte quântico em sistemas de muitas partículas fora do equilíbrio. A teoria de funções de Green fora do equilíbrio é uma generalização do método de função de Green para sistemas em equilíbrio, e foi originalmente desenvolvida por L. V. Keldysh em 1965 [33] e, independentemente, por L. Kadano e G. Baym [34] e apesar de terem formulações distintas, pode-se mostrar que estas são equivalentes.
2.1 Formulação do problema
O problema do transporte quântico pode ser formulado para sistemas cujas Hamiltonianas podem ser escritas como
H = h + H0(t) , (2.1)
onde h é o Hamiltoniano do sistema independente do tempo, que pode ser separado em duas
partes: h = H0+Hi, onde H0é o Hamiltoniano de partículas livres e Hié o termo que contem as
informações de muitos corpos do problema, ou seja, descreve a interação entre as partículas no
equilíbrio. O termo dependente do tempo H0(t)é o responsável por tirar o sistema do equilíbrio
através de um campo elétrico, uma excitação por luz, um acoplamento entre contatos com diferentes potencias químicos, entre outros. Em particular, nesse trabalho iremos considerar que esse termo é responsável pelo surgimento de uma corrente elétrica no sistema. Assumimos
que o termo de não equilíbrio é nulo para t > t0, ou seja, tem-se que H0(t) 6= 0, de modo que
para tempos menores que t0, o Hamiltoniano do sistema é simplesmente H = h.
Antes de a perturbação ser ligada, o sistema está em equilíbrio térmico e pode ser descrito 5
pela matriz de densidade
% (h) = exp (−βh)
Tr [exp (−βh)] (2.2)
onde β = 1/kBT e o símbolo Tr denota o traço. A principal tarefa desse formalismo é calcular
o valor esperado de um observável físico, associado a um operador quântico O, após ligar o
termo de não-equilíbrio do Hamiltoniano. Desse modo, para t > t0
hO (t)i =Tr [% (h) OH(t)] . (2.3)
onde o índice H indica que a dependência temporal é governada pela Hamiltoniana total do
sis-tema, ou seja, o operador OH está escrito na representação de Heisenberg, portanto, utilizando
~ = 1, evolui segundo a equação
∂O (t)
∂t = i [H, O (t)] . (2.4)
É importante enfatizar que o cálculo de hO (t)i é realizado utilizando a matriz de densi-dade % (h) independente do tempo, ou seja, no equilíbrio. A. P. Jauho e H. Haug justi cam a utilização de % (h) através do argumento físico de que deste modo os graus de liberdade termo-dinâmicos, contidos no Hamiltoniano de equilíbrio h, não seguem instantaneamente a variação
contida em H0(t)[35]. Neste trabalho iremos utilizar a de nição de média indicada na Eq. 2.3.
2.1.1 Origem do contorno de integração
Seguindo o método análogo ao caso de equilíbrio [35], para o cálculo da média indicada na
Eq. 2.3, primeiro deve-se passar o operador OH na representação de Heisenberg para a versão
de interação, com isso a dependência temporal é governada pelo Hamiltoniano independente
do tempo, h. Seja OH e Oh o operador de O na representação de Heisenberg e de
intera-ção, respectivamente. Essas duas representações podem ser relacionadas através da seguinte transformação: OH(t) = v † h(t, t0) Oh(t) vh(t, t0) (2.5) onde vh(t, t0) = T exp −i Z t t0 dt0Hh0 (t0) (2.6)
onde T é o operador de ordenamento temporal e H0
h(t) está na versão de interação de H
2.1 Formulação do problema 7
isto é, sua evolução temporal é dada por ∂Oh
∂t = i [h, Oh(t)] e pode ser escrito como:
Hh0 (t) = exp [ih (t − t0)] H0(t) exp [−ih (t − t0)] . (2.7)
Na Eq. 2.6, a função exponencial pode ser expandida em série de potências de modo que em cada termo o operador de ordenamento temporal T atua colocando à direita os fatores de
Hh0 (t) com menores argumentos de tempo. Analogamente, o operador vh†(t, t0) = vh(t0, t) é
dado por uma exponencial anti-ordenada' no tempo e de nido como
vh†(t, t0) =T exp +i Z t t0 dt0Hh0 (t0) (2.8)
onde os operadores são arranjados na ordem inversa à de nida por T . A Eq. 2.5 pode ser reescrita, utilizando as de nições das Eqs. 2.6 e 2.8, como:
OH(t) = T exp +i Z t t0 dt0Hh0 (t0) Oh(t) T exp −i Z t t0 dt0Hh0 (t0) . (2.9)
Note que a equação acima descreve um contorno: o sistema evolui com H0
h desde o tempo
inicial em t0 até o tempo t onde o operador Oh(t) atua e então volta do tempo t para t0.
As duas integrais na Eq. 2.9 podem ser combinadas em uma única integral começando em
t0 até o tempo t e retornando a t0. Entretanto, a integral ordenada temporalmente deve ser
mantida à direita de Oh(t)enquanto a integral anti-ordenada temporalmente deve ser mantida
à esquerda de Oh(t)para que seja preservada a ordem dos operadores. Para que seja preservada
a ordem correta, podemos de nir Oh(t)por uma integração sobre um contorno C que começa
no tempo t0, vai até t e retorna a t0 de forma que os produtos sejam ordenados de acordo
com suas posições no contorno, como ilustrado na Fig. 2.1, e não através de seu ordenamento cronológico. Portanto, o contorno C é uma forma de se de nir adequadamente o ordenamento dos operadores. Desse modo, de nimos o operador de ordenamento sobre o contorno C, sendo
TC, que distribui automaticamente esses operadores de tal forma que eles atuem na sequência
correta e com isso pode-se reescrever a Eq. 2.10 na seguinte forma,
OH(t) = TC exp −i Z C dt0Hh0 (t0) Oh(t) . (2.10)
X
t
0 Xt
C
Fig. 2.1: Representação do contorno de ordenamento dos tempos utilizado na transformação da Eq. 2.10. Os tempos são ordenados de acordo com posição ao longo do contorno.
2.2 Funções de Green de não-equilíbrio
No formalismo de equilíbrio a função de Green ordenada temporalmente, também chamada de função de Green causal, é de nida como:
Gt(t 1, t01) = i D T ψH(t1) ψ † H(t 0 1) E , (2.11) onde ψH(t1) ψ † H(t 0
1) são operadores fermiônicos na representação de Heisenberg. O operador
T é o operador de ordenamento temporal que arranja os fatores de modo que os operadores
com argumentos menores de tempo são colocados à direita e sua ação está de nida abaixo
T ψH(t1) ψ † H(t 0 1) ≡ ψH (t1) ψ † H(t 0 1) t1 > t01, −ψH† (t01) ψH(t1) t1 < t01 (2.12) Na teoria de equilíbrio, a função de Green causal constitui o elemento básico de uma teoria perturbativa da qual é possível determinar as propriedades de sistemas de muitos corpos. Uti-lizando o teorema de Wick é possível decompor as correlações de muitas partículas através de
uma expansão diagramática para Gt [36].
No formalismo fora do equilíbrio também é possível construir uma teoria perturbativa es-truturalmente equivalente ao caso de equilíbrio [37] utilizando uma expansão diagramática para a função de Green ordenada no contorno. Essa função de Green é de nida da seguinte forma
G (t1, t01) = i D TCψH (t1) ψ † H(t 0 1) E , (2.13)
onde o contorno C inicia e termina em t0 percorrendo o eixo real t e passa apenas uma vez pelos
pontos t1 e t01, como indicado na Fig. 2.2. Em geral adota-se t0 → −∞, desse modo o contorno
começa em −∞ passa por t1 e t01 e retorna a −∞. Analogamente ao caso de equilíbrio, na
de nição da função de Green ordenada no tempo, Eq. 2.13, os operadores de campo fermiônicos
ψH (t1) e ψ
† H(t
0
2.2 Funções de Green de não-equilíbrio 9 X
t
0 Xt'
1t
1 XC
C
1C
2Fig. 2.2: Representação do contorno de tempo utilizado na de nição da função de Green
ordenada no contorno. O contorno inicia em t0 passa por t1 e t01 e depois retorna para t0. C1
indica o ramo superior e C2 o ramo inferior.
Como o contorno possui dois ramos com ordenamentos temporais distintos, podemos de nir
quatro funções de Green de acordo com a posição dos tempos t1 e t01 ao longo do contorno.
De-notando o ramo superior por C1 e o ramo inferior por C2, as funções de Green na representação
de Heisenberg podem ser de nidas como
G (t1, t01) = Gt(t 1, t01) = −i D TCΨˆH(t1) ˆΨ † H(t 0 1) E t1 e t01 ∈ C1, G<(t1, t01) = −iD ˆΨH(t1) ˆΨ†H(t01) E t1 ∈ C2 e t01 ∈ C1, G>(t 1, t01) = iD ˆΨ † H(t 0 1) ˆΨH(t1) E t1 ∈ C1 e t01 ∈ C2, Gt(t 1, t01) = −i D TCΨˆH (t1) ˆΨ † H(t 0 1) E t1 e t01 ∈ C2 (2.14) As funções de Green G<(t
1, t01) e G>(t1, t01) são as funções de Green lesser e greater,
res-pectivamente. Já a função de Green Gt(t
1, t01) é a função de Green causal, ou ordenada
tem-poralmente, que pode ser escrita como:
Gt(t1, t01) = −i D T ˆΨH(t1) ˆΨ † H(t 0 1) E = −iϑ (t1− t01)D ˆΨH(t1) ˆΨ † H (t 0 1) E + iϑ (t01− t1)D ˆΨ † H(t 0 1) ˆΨH (t1) E (2.15) onde as funções ϑ(x) são funções de Heaviside.
A função de Green Gt(t
1, t01) é anti-ordenada temporalmente, de modo que de ne-se o
operador de anti-ordenamento temporal TC cuja atuação gera o seguinte ordenamento temporal
TCψH(t1) ψ † H(t 0 1) ≡ ψH(t1) ψ † H(t 0 1) t1 < t01, −ψ†H(t01) ψH(t1) t1 > t01 (2.16)
O anti-ordenamento é necessário, pois quando os tempos t1 e t01 estão no ramo inferior, C2,
ocorre uma inversão entre o ordenamento cronológico e o ordenamento no contorno.
Consi-derando o caso em que t1 > t01, cronologicamente t1 é maior que t01, entretanto, como ambos
estão no ramo inferior tem-se que no contorno t1 <C t01 o que é o contrário do ordenamento
cronológico. Portanto, tem-se que Gt(t
1, t01) pode ser escrita explicitamente como:
Gt(t1, t01) = −i D TCΨˆH(t1) ˆΨ † H(t 0 1) E = −iϑ (t01− t1)D ˆΨH(t1) ˆΨ†H(t01) E + iϑ (t1− t01)D ˆΨ † H(t 0 1) ˆΨH(t1) E (2.17) Além das funções de Green de nidas acima, Eq. 2.14, outras duas funções de Green que são de grande interesse para o cálculo do transporte, são as funções de Green avançada (a) e retardada (r), que estão de nidas abaixo:
Ga(t1, t01) = iDn ˆΨH(t1) , ˆΨ † H(t 0 1) oE = ϑ (t01− t1) (G<(t1, t01) − G >(t 1, t01)) (2.18) e Gr(t1, t01) = −iDn ˆΨH(t1) , ˆΨ † H(t 0 1) oE = ϑ (t01− t1) (G>(t1, t01) − G < (t1, t01)) (2.19)
onde as chaves , indicam o anti-comutador entre os operadores de campo. É importante
res-saltar que Gr − Ga = G> − G<, de modo que apenas três funções de Green são linearmente
independentes. As funções de Green Gr e Ga satisfazem a equação de Dyson quando a
auto-energia do sistema é de nida. Já a função de Green G< pode ser determinada através da
equação de Keldysh, que pode ser obtida através do procedimento de continuação analítica, conforme veremos na Seção 2.3.
2.2.1 Versão de interação
Para se obter uma expansão diagramática da função de Green ordenada no contorno, deve-mos escrevê-la de modo que o teorema de Wick possa ser aplicado. O primeiro passo consiste em passar os operadores da representação de Heisenberg para a representação de interação com
2.2 Funções de Green de não-equilíbrio 11 relação a h. Repetindo o procedimento realizado na Seção 2.1.1 na função de Green ordenada no contorno, Eq. 2.13, o resultado é,
G (t1, t01) = i D TC h SCψh(t1) ψh†(t01) iE , (2.20)
onde foi de nido
SCH = exp −i Z C dτ Hh0 (τ ) (2.21) sendo que a integração é realizada sobre o contorno C indicado na Fig. 2.1. A evolução temporal dos operadores é determinada pelo Hamiltoniano h que é composto por dois termos,
h = H0 + Hi. Entretanto, o teorema de Wick apenas pode ser aplicado em Hamiltonianas
quadráticas, ou seja, apenas em H0. Desse modo é necessário aplicar mais uma transformação
na Eq. 2.20 para que a dependência seja apenas em H0. É importante ressaltar que a matriz de
densidade implícita na Eq. 2.20 também inclui h, logo o operador h aparece em quatro lugares:
%h, SCH e nos operadores de campo ψh(t1)e ψ
† h(t
0
1). Os detalhes para esta transformação podem
ser encontrado na referência [37] e o resultado nal é dado por:
G (t1, t01) = −i T rn%0TC∗ h Si C∗SC0 ψH0(t1) ψ † H0(t 0 1) io T r [%0TC(SCi∗SC0 )] (2.22) onde foi de nido,
SC0 = exp −i Z C dτ HH0 0(τ ) (2.23) SC∗ = exp −i Z C dτ HHi 0(τ ) (2.24) e a matriz de dendidade é dada por,
%0 =
exp (−βH0)
T r [exp (−βH0)]
. (2.25)
e a dependência temporal das Hamiltonianas é de nida de modo análogo a Eq. 2.5. Além
disso, o contorno C é de nido na Fig. 2.1 e o contorno C∗ é de nido na Fig. 2.3.
A Eq. 2.22 é um resultado importante uma vez que permite que seja construída uma teoria de perturbativa análoga ao caso de equilíbrio. Como não iremos estudar fenômenos
t
0 Xt
C
* X Xt
0– i
β
C
*= C
uU C
Fig. 2.3: Representação do contorno de ordenamento temporal C∗ = C
uU C. A parte
Cu = [t0, t0− iβ]tem origem da transformação da matriz densidade e representa as correlações
inicias do sistema. No estado estacionário os efeitos das correlações inicias são eliminados pelas
interações iniciais de modo que pode-se tomar o limite t0 → −∞ e eliminar essa parte do
contorno.
Cu desaparecer [37] uma vez que no estado estacionário os efeitos das correlações inicias são
eliminados pelas interações iniciais. O denominador da Eq. 2.22 é reduzido à função de partição da função interagente e a expressão nal para a função de Green ordenada no contorno é dada por, G (t1, t01) = −iT r n %0TC h SCψH0(t1) ψ † H0(t 0 1) io (2.26)
onde de nimos o operador SC como
SC = exp −i Z C dτHHi 0(τ ) + HH0 0(τ ) , (2.27)
e a integração é realizada sobre o contorno C indicado na Fig. 2.2.
2.3 Continuação analítica
A função de Green ordenada no contorno é uma ferramenta matemática que permite que as funções de Green para o caso fora do equilíbrio tenham uma estrutura idêntica ao correspon-dente caso no equilíbrio. Com isso, os métodos perturbativos aplicados no caso de equilíbrio podem ser usados no presente caso. Porém, para calcular quantidades físicas de interesse
preci-samos conhecer as funções de correlação G< e G> e as funções de Green retardada e avançada
Gr e Ga. Estas quatro funções de Green podem ser obtidas a partir da função de Green
or-denada no contorno (Eq. 2.13) utilizando o procedimento chamado de continuação analítica [35].
2.3 Continuação analítica 13 obedece a equação de Dyson
G (τ1, τ10) = G 0(τ 1, τ10) + Z C dτ2 Z C dτ3G0(τ1, τ2) Σ (τ2, τ3) G (τ3, τ10) (2.28)
onde as interações estão contidas na auto-energia (irredutível) Σ [G]. Na expressão 2.28,
uti-lizamos a letra grega τi para indicar que o tempo ti (i = 1, 2, 3) está sujeito ao ordenamento
temporal ao longo do contorno C, desse modo a integral é realizada ao longo do contorno. Após a realização do procedimento de continuação analítica, o tempo passa a ser representado
apenas por ti pois as funções de Green passam a assumir uma das quatro formas apresentadas,
Gr, Ga, G> e G< anteriormente que possuem um ordenamento bem de nido. Utilizaremos o
método apresentado por David C. Langreth [38] para converter as integrais de contorno em integrais ao longo do eixo real.
Na equação de Dyson, Eq. 2.28, encontramos produtos de funções de Green com a estrutura
C = AB, ou explicitamente
C (t1, t01) =
Z
C
dτ A (t1, τ ) B (τ, t01) (2.29)
e suas generalizações, envolvendo o produto de três ou mais termos. As variáveis espaciais foram suprimidas uma vez que o contorno é de nido em termos das variáveis temporais. Para
calcular a expressão 2.29, vamos considerar t1 <C t01, ou seja, t01 vem posteriormente ao longo do
contorno, como indicado na Fig. 2.4a. A partir da de nição 2.14, isso corresponde a C<(t
1, t01).
O próximo passo consiste em deformar o contorno transformando cada ramo do contorno inicial em um novo contorno como indicado na Fig. 2.4b. Com isso, a Eq. 2.29 pode ser expressa como C<(t1, t01) = Z C1 dτ A (t1, τ ) B<(τ, t01) + Z C2 dτ A<(t1, τ ) B (τ, t01) , (2.30)
na integração sobre o contorno C1 tem-se que B<(τ, t01), pois τ está con nado no primeiro
contorno enquanto t1 está de nido no segundo contorno de modo que τ será sempre menor que
t01 no contorno C1, logo, B (τ, t01)é uma função do tipo B<. Utilizando os mesmos argumentos,
como t1 está de nido no contorno C1, podemos concluir que no contorno C2, τ será sempre
menor que t1. Logo A (t1, τ ) também é uma função do tipo A<.
t
0 Xt
1C
Xt'
1t
0 Xt
1C
1 Xt'
1 a) b)t
0C
2Fig. 2.4: a) Contorno C utilizado para de nir a função de Green ordenada no contorno. b)
Contorno deformado para obter a continuação analítica. O contorno inicia em t0, passa por t1
e t0
1 e volta para t0. No caso estacionário t0 → −∞.
tem-se que Z C1 dτ A (t1, τ ) B<(τ, t01) = Z t1 −∞ dtA>(t1, t) B<(t, t01) + Z −∞ t1 dtA<(t1, t) B<(t, t01) (2.31)
e invertendo os limites de integração da segunda integral e agrupando as duas integrais, pode-se escrever Z C1 dτ A (t1, τ ) B<(τ, t01) = Z t1 −∞ dt [A>(t1, t) − A<(t1, t)] B<(t, t01) . (2.32)
Podem-se estender os limites de integração até ∞ utilizando a função de Heaviside como abaixo Z C1 dτ A (t1, τ ) B<(τ, t01) = Z ∞ −∞ dtϑ (t1− t) [A>(t1, t) − A<(t1, t)] B<(t, t01) (2.33)
utilizando a de nição de função de Green retardada, Eq. 2.19, pode-se de nir a função análoga,
Ar(t 1, t), de modo que, Z C1 dτ A (t1, τ ) B<(τ, t01) = Z ∞ −∞ dtAr(t1, t) B<(t, t01) (2.34)
2.3 Continuação analítica 15
De modo análogo, a segunda integral sobre contorno C2 resulta em
Z C2 dτ A<(t1, τ ) B (τ, t01) = Z ∞ −∞ dtA<(t1, t) Ba(t, t01) (2.35)
Portanto, utilizando os resultados da Eq. 2.34 e da Eq. 2.35, obtém-se o primeiro resultado
de Langreth e pode-se escrever C< como:
C<(t1, t01) = Z ∞ −∞ dt [Ar(t1, t) B<(t, t01) + A < (t1, t) Ba(t, t01)] (2.36)
Para a função de Green greater, C>(t
1, t01), basta trocar < por > na Eq. 2.36. Esse
resultado pode ser generalizado para o produto de três funções de Green, se consideramos o
produto D = ABC no contorno, obtemos para D< o seguinte
D = Z C ABC → D<= Z dt [ArBrC<+ ArB<Ca+ A<BaCa] (2.37)
Partindo da de nição 2.19, a função retardada Cr pode ser escrita utilizando a expressão
para C<, Eq. 2.36, e C< da seguinte forma
Cr(t1, t01) = ϑ (t1− t01) [C >(t 1, t01) − C <(t 1, t01)] = ϑ (t1− t01) Z dt [Ar(t1, t) (B>(t, t01) − B <(t, t0 1)) + (A>(t1, t) − A<(t1, t)) Ba(t, t01)] = ϑ (t1− t01) Z dt [Ar(t1, t) (Br(t, t01) − B a(t, t0 1)) + (Ar(t1, t) − Aa(t1, t)) Ba(t, t01)] = ϑ (t1− t01) Z dt [Ar(t1, t) Br(t, t01) + A a(t 1, t) Ba(t, t01)] (2.38)
Portanto, nalmente pode-se escrever,
Cr(t1, t01) =
Z
dtAr(t1, t) Br(t, t01) (2.39)
Esse resultado pode ser generalizado para o produto de três ou mais funções podendo ser escrito como:
Dr = Z
dtArBrCr (2.40)
Para a função de Green avançada obtemos Ca(t
1, t01) = R dtAa(t1, t) Ba(t, t01). Além disso, é
necessário calcular as funções de Green maior e menor que podem ser do tipo D>(<) ou E>(<),
onde D (τ, τ0) = A (τ, τ0) B (τ, τ0) e E (τ, τ0) = A (τ, τ0) B (τ0, τ ) sendo τ e τ0 as variáveis de
contorno. De modo análogo ao realizado para Cr obtém-se [38]:
D>(<)(t, t0) = A>(<)(t, t0) B>(<)(t, t0) (2.41) E>(<)(t, t0) = A>(<)(t, t0) B>(<)(t0, t) (2.42) Essas equações constituem a continuação analítica desenvolvida por David Langreth e
po-dem ser aplicadas na equação de Dyson 2.28 para determinar as funções de Green Gr, Ga, Gr <
e G>. Na próxima seção, calcularemos G< o que resultará na equação de Keldysh.
2.4 Equação de Keldysh
A equação de Keldysh pode ser determinada aplicando as regras de continuação analítica
para G< na equação de Dyson, Eq. 2.28. Por simplicidade omitiremos os argumentos das
funções de Green e da auto-energia de modo que cada produto de funções de Green corresponde a uma integral temporal. Além disso, as auto-energias Σ podem ser vistas como funções de Green ao aplicar as regras de continuação analítica. Desse modo, aplicando a Eq. 2.37 na Eq. 2.28 obtemos:
G< = G0<+ G0rΣrG<+ G0rΣ<Ga+ G0<ΣaGa (2.43)
Com o intuito de determinar G<, realizamos uma iteração na equação acima em relação a
G<, substituindo a própria equação no seu segundo termo:
G< = G0<+ G0rΣrG0<+ G0rΣrG0rΣrG<+ G0rΣrG0rΣ<Ga+ G0rΣrG0<ΣaGa
+ G0rΣ<Ga+ G0<ΣaGa (2.44)
reagrupando os termos:
G< = G0<(1 + ΣaGa) + G0r+ G0rΣrG0r Σ<Ga+ G0rΣrG0<(1 + ΣaGa)
2.4 Equação de Keldysh 17
Substituindo G< no ultimo termo e iterando mais uma vez, tem-se que:
G< = G0<(1 + ΣaGa) + G0r+ G0rΣrG0r Σ<Ga+ G0rΣrG0<(1 + ΣaGa) + G0rΣrG0rΣrG0<+ G0rΣrG0rΣrG0rΣrG<+ G0rΣrG0rΣrG0rΣ<Ga + G0rΣrG0rΣrG0<ΣaGa (2.46) reagrupando os termos: G< = G0<(1 + ΣaGa) + G0r + G0rΣrG0r+ G0rΣrG0rΣrG0r Σ<Ga + G0rΣr+ G0rΣrG0rΣr G0<+ G0rΣrG0<+ G0rΣrG0rΣrG0< ΣaGa + G0rΣrG0rΣrG0rΣrG<. (2.47)
Podemos concluir que uma interação in nita resulta em:
G< = G0<(1 + ΣaGa) + GrΣ<Ga+ GrΣrG0<+ GrΣrG0<ΣaGa (2.48) A equação acima pode ser reagrupada como:
G< = (1 + GrΣr) G0<(1 + ΣaGa) + GrΣ<Ga (2.49)
esta é a Equação de Keldysh para G< [35]. Ao comparar essa equação com a forma integral da
equação de Boltzmann [39] tem-se que o primeiro corresponde ao decaimento inicial do sistema enquanto o segundo termo é o termo de espalhamento. Como neste trabalho iremos estudar o estado estacionário do sistema, o primeiro termo não contribui.
Para completar a análise precisamos determinar as funções de Green Gr e Ga. Aplicando
as regras de Langreth na equação de Dyson, Eq. 2.28 obtemos:
Gr(a)= G0r(0a)+ G0r(0a)Σr(a)Gr(a) (2.50) A Eq. 2.49 e a Eq. 2.50 e formam a base para determinar as propriedades de transporte de um sistema fora do equilíbrio. Nos próximos capítulos, aplicaremos estas equações no estudo de uma nanoestrutura composta de dois pontos quânticos em série conectados a dois eletrodos ferromagnéticos, sendo que o ponto quântico central pode ter um ou dois níveis de energia.
Capítulo 3
Transporte para o sistema F M − I − F M
Neste capítulo aplicamos o formalismo de funções de Green fora do equilíbrio desenvolvido no Capítulo 2 para obtermos as propriedades de transporte dependente do spin através de uma junção de tunelamento magnética. Este sistema é composto por dois eletrodos ferromagnéti-cos (FM) separados por uma camada isolante. O eletrodo da direita tem uma diferenca depotencial aplicada de −V , como indicado na Fig. 3.1. O momento magnético ML do eletrodo
da esquerda é de nido paralelo ao eixo z e o momento magnético MR do eletrodo da direita é
paralelo ao eixo z0 que está rotacionado por um ângulo θ em relação a eixo z. Dessa maneira a
corrente de tunelamento ui ao longo do eixo y. Derivamos as equações para a corrente elétrica e para a corrente de spin que nos permitem calcular a condutividade em zero bias e também o fenômeno da TMR. Por m, realizamos uma análise do efeito da inversão do spin no processo de tunelamento sobre as propriedades do transporte em MTJ.
FM FM 0 θ - V I y z M L MR
Fig. 3.1: Ilustração esquemática do sistema composto por dois eletrodos ferromagnéticos (FM) separados por uma camada isolante (I).
3.1 Modelo
O Hamiltoniano que descreve o sistema indicado na Fig. 3.1 pode ser escrito como:
H = HL+ HR+ HT (3.1)
onde HLe HRdescreve o Hamiltoniano dos eletrodos da esquerda e da direita, respectivamente,
e HT é o termo de tunelamento através da barreira isolante. Cada termo da Hamiltoniana da
Eq. 3.1 pode ser expandido como:
HL = X kσ Lkσa†kσakσ (3.2) HR = X pσ [R(k) − σMRcos θ − eVR] b†pσbpσ− MRsin(θ)b†pσbpσ (3.3) HT = X kpσσ0 h Tkpσσ0a†kσbpσ0 + Tσσ 0∗ kp b † pσ0akσ i (3.4)
onde akσ e bkσ são os operadores de aniquilação de elétrons com spin σ e vetor de onda k
nos eletrodos da esquerda e da direita, respectivamente, L
kσ = L(k) − σML− eVL e α(k) é
a dispersão de energia de um elétron no eletrodo ferromagnético α, Tσσ0
kp denota a amplitude
de tunelamento de elétrons do eletrodo da direita para esquerda dependente do spin e do
momento. A Hamiltoniana de tunelamento inclui o termo de inversão de spin quando σ0 = σ.
A Hamiltoniana do eletrodo da direita está quantizada ao longo da magnetização do eletrodo da esquerda, entretanto, pode ser diagonalizada ao longo da magnetização local através da transformação: bpσ = cos θ 2cpσ− σ sin θ 2cpσ b†pσ = cosθ 2c † pσ− σ sin θ 2c † pσ (3.5)
Aplicando a transformação 3.5 na Eq. 3.3 e de nindo R
pσ = R(p) − σMR− eVR temos:
HR =
X
pσ
Rpσc†pσcpσ (3.6)
3.2 Cálculo das propriedades físicas 21 HT = X kpσσ0 Tkpσσ0 cosθ 2a † kσcpσ0− σ0sin θ 2a † kσcpσ0 + h.c. (3.7)
De modo que a Hamiltoniana nal do sistema pode ser escrita como
H =X kσ Lkσa†kσakσ+ X pσ Rpσc†pσcpσ+ X kpσσ0 Tkpσσ0 cosθ 2a † kσcpσ0 − σ0sin θ 2a † kσcpσ0 + h.c. (3.8)
3.2 Cálculo das propriedades físicas
Para calcularmos a corrente de elétrons com spin σ do eletrodo da esquerda, utilizamos o fato de que a corrente pode ser escrita como a evolução temporal do operador número total de elétrons com spin σ no contato da esquerda:
Iσ = −eh ˙NLσi = − ie ~ h[H, NLσ]i (3.9) onde NLσ = P ka †
kσakσ e a Hamiltoniana é dada pela Eq. 3.8. Como [HL, NLσ] = 0 e
[HR, NLσ] = 0 obtem-se que: Iσ = ie ~ X kpσ0 Tkpσσ0 cosθ 2 D a†kσcpσ0 E − σ0sinθ 2 D a†kσcpσ0 E − Tσσ0∗ kp cosθ 2 D c†pσ0akσ E − σ0sinθ 2 D c†pσ0akσ E (3.10)
De nindo a função de Green lesser Gσσ0,<
kp (t − t
0) ≡ i < a†
kσ(t 0)c
pσ0(t) > e fazendo t = t0
podemos reescrever a equação acima:
Iσ = 2e ~ Re " X kpσ0 Tkpσσ0 cosθ 2G σσ0,< kp (t, t) − σ 0 sinθ 2G σσ0,< kp (t, t) # (3.11)
Π = 2e ~ Re " X kp Tkp· R· G<kp(t, t 0 ) # (3.12) onde Tkp = Tkp↑↑ Tkp↑↓ Tkp↓↑ Tkp↓↓ , R = cosθ2 − sin θ 2 sinθ2 cosθ2 e Gkp = G↑↑kp G↑↓kp G↓↑kp G↓↓kp . (3.13)
Como estamos considerando contatos não interagentes, a função de Green ordenada no contorno pode ser obtida utilizando o método da equação de movimento e aplicando o Teorema
de Langreth [35], a função G<
kp(t, t
0) pode ser escrita como:
G<kp(t, t0) = Z dt1 h gpRr (t, t0) · R†· T†kq· g<kL(t0, t1) + g<pR(t, t 0 ) · R†· T†kq· gkLa (t0, t1) i (3.14) onde ga/r/< kα (t, t
0)são as funções de Green do eletrodo α isolado e correspondem a elétrons livres
[35]. Essas funções podem ser escritas da seguinte forma:
gσσkα0,r(t, t0) = −iϑ (t − t0)Dneakασ(t),ea † kασ0(t0) oE gkασσ0,a(t, t0) = iϑ (t0− t)Dneakασ(t),ea † kασ0(t0) oE gkασσ0,<(t, t0) = iDae†kασ(t0)eakασ0(t) E (3.15) o símbolo sobre os operadores dos eletrodos indica que esses estão na representação de
inte-ração, ou seja, sua evolução temporal não depende do operador HT. Para um Hamiltoniano
independente do tempo, as funções de Green variam segundo a diferença t − t0. Nesse caso
temos que substituindo a Eq. 3.14 na Eq. 3.12 e fazendo a transformada de Fourier:
Π = 2e ~Re " X kp Z d 2πTkpR grpR() R†T†kpg<kL() + g<pR() R†T†kqgakL() # (3.16) Os elétrons envolvidos no processo de transferência tem o seu vetor de onda próximos aos
3.2 Cálculo das propriedades físicas 23 de tunelamento independe do momento, mas depende do spin e a matriz de transferência pode
ser dada por Tkp = T. Analisando os termos de Π que envolvem gkL< ():
Π1 = 2e ~Re " X kp Z d 2πT · R · g r pR() R †· T†· g< kL() # (3.17) Realizando a soma k: g<L =X k g<kL = 2πifL() NL() (3.18)
onde fL() é a função de Fermi do eletrodo ferromagnético da esquerda, NL() é uma matriz
2 × 2 diagonal com dois elementos não nulos sendo a densidade de estados (DOS), com spin up e spin down, do eletrodo ferromagnético da esquerda. Ao realizar a soma em p obtemos:
Π1 = 2e ~< Z d 2π2πf () T · R · πNR() · R †· T†· N L() (3.19) onde foi utilizado
X
p
1
− pσ− iη
= −πiNRσ() . (3.20)
De modo análogo, ao analisar o termo de Π que envolvem g<
pR(), podemos reescrever a Eq. 3.12 como Π = 2e ~< Z d 2π2π 2 [f () − f ( − eV )] T · R · NR( − eV ) · R†· T†· NL() (3.21)
3.2.1 Corrente elétrica
A corrente elétrica é composta pela soma da corrente de elétrons com spin para cima e spin para baixo e pode ser escrita como:
I = I↑+ I↓ = T r[Π(V )] (3.22)
T () = T↑↑() iT↑↓() −iT↓↑() T↓↓() (3.23)
onde Tσσ é a probabilidade de transmissão de um elétron com spin σ e apresenta valores reais.
Substituindo na Eq. 3.23, temos que a corrente pode ser escrita como:
It= πe ~ Z d [f () − f ( − eV )]X σσ0 NLσ() NRσ0( − eV )T2 σσ0() + σσ0cos θ(Tσσ2 () − Tσσ2 ()) (3.24)
A corrente total (It) pode ser separada em um termo devido ao tunelamento direto, Id, que
conserva o spin, e em um termo envolvendo a inversão do spin no processo de tunelamento, Isf,
Id = πe ~ Z d [f () − f ( − eV )]X σσ0 Tσσ2 () NRσ0( − eV ) NLσ() (1 + σσ0cos θ) (3.25) Isf = πe ~ Z d [f () − f ( − eV )]X σσ0 Tσσ2 () NRσ0( − eV ) NLσ() (1 − σσ0cos θ) (3.26) No regime de baixas voltagens apenas estados próximos ao nível de Fermi contribuem para o transporte, portanto nos restrigiremos a voltagens pequenas em relação à energia de Fermi. Portanto, podemos expandir a densidade de estados em série de Taylor de modo que o produto da densidade de estados da Eq. 3.24 pode ser escrito como:
NLσ() NRσ0( − eV ) = X i,j 1 i!j! diN Lσ() di EF djN Rσ0( − eV ) d ( − eV )j EF ( − EF)i( − eV − EF)j. (3.27) Supondo que os eletrodos são idênticos e o regime de baixas voltagens, podemos analisar as expressões até segunda ordem, com boa precisão. Considerando a estrutura de bandas descrita através do seguinte conjunto de parâmetros:
r ≡ NM
Nm
EF
3.2 Cálculo das propriedades físicas 25 λ ≡ dNM/d dNm/d EF β ≡ 1 Nm dNm d EF (3.29) ρ ≡ d 2N M/d2 d2N m/d2 EF γ ≡ 1 Nm d2Nm d2 EF . (3.30)
onde m e M signi cam minoritário e majoritário, respectivamente e as quantidades são avaliadas no nível de Fermi. Têm-se as seguintes expressões analíticas:
WP(ε, V ) = 1 + r2 + β (1 + λr) (2ε − V ) + β2 1 + λ2 ε (ε − V ) + 1 2γ(ρr + 1) (ε − V ) 2+ ε2 + 1 2βγ(ρλ + 1)ε(ε − V )(2ε − eV ) + 1 4γ 2 ρ2+ 1 ε2(ε − V )2 (3.31) e WAP(ε, V ) = 2r + β (λ + r) (2ε − eV ) + 2β2λε (ε − eV ) + 1 4ρ 2 γ4ε2(ε − eV )2 1 2βγ(ρ + λ)ε 2 (ε − eV ) + ε(ε − eV )2 + 1 2γ(ρ + r)(ε − eV ) 2 + ε2 , (3.32)
onde foi realizada a mudança de variável ε ≡ − EF, e as variáveis ε e V devem ser dadas
em unidades de eV . Além disso, estamos considerando o caso em que T2
↑↑ = T↓↓2 = Td e
T2
↑↓ = T↑↓2 = Tsf. As funções de Fermi-Dirac a T = 0K são do tipo degrau e tal função pode
ser utilizada como uma boa aproximação para temperatura ambiente, desse modo podemos reescrever as equações 3.25 e 3.26 como, respectivamente,
Id= πe ~ (Nm) 2Z V 0 dεTd(ε) [WP(ε, V ) (1 + cos θ) + WAP(ε, V ) (1 − cos θ)] (3.33) e Isf = πe ~ (Nm) 2Z V 0 dεTsf(ε) [WP(ε, V ) (1 − cos θ) + WAP(ε, V ) (1 + cos θ)] (3.34)
3.2.2 Corrente de spin
A corrente de spin é composta pela diferença da corrente de elétrons com spin para cima e spin para baixo e pode ser escrita como
IS = I↑− I↓ = T r[Π(V )σz] (3.35)
onde Π(V ) é dado pela Eq. 3.21 e σz é a matriz de Pauli,
σz = 1 0 0 −1 . (3.36)
De modo análogo ao realizado para a obtenção da corrente elétrica, a corrente de spin pode ser escrita como:
IS = πe ~ Z d [f () − f ( − eV )]X σσ0 σNLσ() NRσ0( − eV ) ×T2 σσ0() + σσ0cos θ(Tσσ2 () − Tσσ2 ()) (3.37)
A corrente total de spin (IS) também pode ser separada em um termo devido ao tunelamento
direto (IS
d), no qual o spin é conservado, e um termo envolvendo a inversão do spin (IsfS):
IdS = πe ~ Z d [f () − f ( − eV )]X σσ0 σTσσ2 () NLσNRσ0( − eV ) () (1 + σσ0cos θ) (3.38) IsfS = πe ~ Z d [f () − f ( − eV )]X σσ0 σTσσ2 () NRσ0( − eV ) NLσ() (1 − σσ0cos θ) (3.39) Conforme discutimos na sessão 3.2.1, no regime de baixas voltagens podemos utilizar a expansão em segunda ordem da séries de Taylor das densidades de estados e tomando os parâmetros indicados nas Eqs 3.28-3.30 podemos escrever:
IdS = πe ~ Z V 0 dεT↑↑2 (ε)WPS(ε, V ) (1 + cos θ) + WAPS (ε, V ) (1 − cos θ) (3.40) IsfS = πe ~ Z V 0 dεV0T↑↑2 (ε)WPS(ε, V ) (1 − cos θ) + WAPS (ε, V ) (1 + cos θ) (3.41)
3.2 Cálculo das propriedades físicas 27 onde WPS(ε, V ) = X σ σNσNσ = r2− 1 + β (λr − 1) (2ε − V ) + β2 λ2− 1 ε (ε − V ) + 1 2γ(ρr − 1) (ε − V ) 2+ ε2 + 1 2βγ(ρλ − 1)ε(ε − V )(2ε − eV ) + 1 4γ 2 ρ2− 1 ε2(ε − V )2 (3.42) e WAPS (ε, V ) = X σ σNσNσ = β (λ − r) V + 1 2γ (ρ − r) (2ε − V ) V + 1 2γβ (ρ − λ) ε (ε − V ) V (3.43)
3.2.3 Corrente induzida por spin transfer torque
No eletrodo ferromagnético da direita é exercido dois tipos de torques: o primeiro ocorre devido ao potencial dependente do spin (magnetic exchange interaction), já o segundo ocorre devido ao tunelamento de elétrons do eletrodo da esquerda através da camada isolante para o eletrodo da direita. Nós estudaremos o segundo tipo que pode ser obtido a partir da
Hamil-toniana de tunelamento HT. O spin torque que é exercido sobre o eletrodo ferromagnético da
direita pode ser determinado pela derivada temporal do spin total do eletrodo de modo que podemos de nir a corrente induzida por spin transfer torque (CISTT) como [41]:
τR=
i
~h[HT, sR(t)]i (3.44)
onde sR(t) é o spin total no eletrodo ferromagnético da direita que pode ser escrito em função
das matrizes de Pauli (−→σ ) e dos estados do spin (χµ,ν). Podemos de nir o spin total no
ferro-magneto da direita no sistema de coordenadas xyz como sR(t) = ~/2Pqµνc†qµcqνχ†µR−→σ R
−1χ ν,
onde R é a matriz de rotação indicada na Eq. 3.13. A partir da relação ∂ts2 ≈ Ieˆs2× (ˆs1× ˆs2)
obtêm-se que o spin transfer torque está ao longo da direção x0. Desse modo, calculando o
co-mutador [HT, sR(t)], CISTT pode ser escrita em função da funções de Green fora do equilíbrio
utilizando a notação matricial como:
τRx0 = Re " X kpσσ0 cos θGσσkp0,<Tkpσσ0− σ0sin θGσσkp0Tkpσσ0 # . (3.45)
Simpli cando a Eq. 3.45 na forma matricial tem-se: τRx0 = cos θ < " X kp Z d 2πT rG < kp() · Tkp· σx # − sin θ < " X kp Z d 2πT rG < kp() · Tkp· σz # (3.46)
onde σx e σz são as matrizes de Pauli e as matrizes G<kp e Tkp se encontram na Eq. 3.13.
Entretanto, substituindo a Eq. 3.14 na Eq. 3.46 tem-se que
τRx0 = <X kp Z d 2πT r h gpRr () · T†kp· g< kL() · Tkp· (σxcos θ − σzsin θ) i + <X kp Z d 2πT r h gpR< () · T†kp· ga kL() · Tkp· (σxcos θ − σzsin θ) i , (3.47)
portanto, de modo análogo ao realizado para o cálculo da corrente (Sessão 3.2.1), analisamos o
termo envolvendo g<
kL()e g <
pR()separadamente, fazendo a soma em k e p podemos escrever
a CISTT como:
τRx0 = π
Z
d [f () − f ( − eV )] T r [Ξ (, V ) · (σxcos θ − σzsin θ)] (3.48)
onde a matriz Ξ (, V ) é dada pelo produto Ξ (, V ) = R·NR( − eV ) · R†·T†() · N<L() · T ().
Ao fazer o produto das matrizes de Ξ a CISST pode ser reescrita como:
τRx0 = π Z d [f () − f ( − eV )]X σσ0 NLσ() NRσ0( − eV ) Tσσ() Tσσ() cos θ (3.49) +π 2 Z d [f () − f ( − eV )]X σσ0 σNLσ() NRσ0( − eV )T2 σσ() − T 2 σσ() sin θ (3.50)
