Grupos Livres - Construção e Propriedades

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

Departamento de Ciˆencias Exatas

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

GRUPOS LIVRES: CONSTRUC

¸ ˜

AO E

PROPRIEDADES

Wallace de Oliveira

Feira de Santana Agosto de 2014

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

Departamento de Ciˆencias Exatas

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

GRUPOS LIVRES: CONSTRUC

¸ ˜

AO E

PROPRIEDADES

Trabalho de conclusão de curso realizado sob a orienta¸cão do Prof. Dr. Kisnney Emiliano de Almeida, como requisito parcial para a ob-ten¸cão do t´ıtulo de Especialista em Matema-tica junto ao Departamento de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Feira de Santana.

Feira de Santana Agosto de 2014

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Resumo

Grupos livres são grupos constru´ıdos de maneira abstrata que satisfazem duas impor-tantes propriedades: Qualquer fun¸cão definida em um certo conjunto de geradores do grupo livre em um grupo qualquer pode ser estendida para um homomorfismo; e qualquer grupo pode ser escrito como quociente de um grupo livre. Nesse trabalho, faremos a constru¸cão dos grupos livres e provaremos ambas as propriedades. Daremos mais foco à primeira propriedade, chamada Propriedade Universal de Grupos Livres, com motiva¸cão e exemplos.

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Agradecimentos

Agrade¸co:

Primeiramente a Deus por ter me guiado em todos os momentos dessa dif´ıcil tarefa, pois sem ele o que eu poderia fazer? Afinal, se estou aqui nessa mesa descrevendo estes ´

ultimos momentos dessa aventura que é viver essa realidade matemática o principal cau-sador dessa busca minha pelo conhecimento foi O Senhor, ao Deus da minha Salva¸cão

GL ´ORIAS, HONRA, MAJESTADE E PODER QUE VIVE E REINA PARA

TODO SEMPRE AM´EM. Nele sim posso falar como Paulo. “Posso Todas as coisas naquele que me fortalece.”

Em Segundo lugar, como não lembrar da minha amada esposa que tanto tem me agra-ciado com a sua paciência, em me suportar mais um ano e meio na especializa¸cão, e o seu amor por mim como entender?! Fato é que eu não mere¸co, porém mesmo assim ela me ama e me faz compreender o que é viver um intenso amor. Mara, te amo! E, se consegui completar mais esta tarefa você tem grande culpa nisto. Obrigado por tudo e por ser tão especial para mim.

Em terceiro lugar vem meus filhos queridos Wallace Jr. e Heloá, onde relato as minhas falhas devido aos estudos, filho, filha; vocês também fazem “arte na minha história”.

Além dessas pessoas, não devo deixar de mencionar o meu excelso Prof. Dr. Kisn-ney Emiliano de Almeida que me ajudou bastante e soube me compreender ante a minha afli¸cão que passei durante este curto per´ıodo do curso. “Professor vou continuar orando por você obrigado por acreditar em mim”.

Enfim, a todos que de forma direta e indireta me ajudarm, meus professores, meus colegas de curso, amigos que encontrei nesta casa, meu muit´ıssimo obrigado que Deus aben¸coe a todos. Não posso deixar de mencionar novamente o que a B´ıblia diz a respeito do ensino a qual está arraigado no meu cora¸cão:“De modo que, tendo diferentes dons

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segundo a gra¸ca que nos foi dada, se é profecia, seja ela segundo a medida da fé; se é ministério, seja em ministrar; SE É ENSINAR, HAJA DEDICAÇ ÃO AO ENSINO”; e finalizo com um singelo porém grandioso Amém.

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Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 7

2 Constru¸c˜ao de grupos livres 9

(7)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Um teorema ([2] pg, 40) bastante importante no estudo de transforma¸c˜oes lineares diz o seguinte:

Sejam E, F espa¸cos vetoriais e U = {u1, ..., un} uma base de E. A cada vetor

ui ∈ U , fa¸camos corresponder (de maneira arbitraria) um vetor u0i ∈ F . Ent˜ao

existe uma ´unica transforma¸c˜ao linear T : E → F tal que para todo i ∈ {1, ..., n}, T (ui) = u0i.

Uma questão que pode ser formulada é: O comportamento dessa transforma¸cão linear com rela¸cão a base U do espa¸co vetorial E seria o mesmo para um homomorfismo de grupos em rela¸cão a um conjunto gerador A? Ou seja, dados um grupo G gerado por um conjunto A = {ai, i ∈ I}, um grupo H qualquer e um conjunto B = {bi, i ∈ I} ⊆ H,

existir´a sempre um homomorfismo de grupos η : G → H tal que η(ai) = bi para todo

i ∈ I ? Se não, para quais grupos G? Quanto à questão se “existirá sempre”, a resposta é não! Basta considerarmos o seguinte contra-exemplo:

Seja G = Z3 que ´e gerado por A = {1} e o grupo H = (R, +). Suponha que existe um

homomorfismo de grupos η : Z3 → R tal que η(1) = 2, ent˜ao ter´ıamos o seguinte:

6 = 2 + 2 + 2 = η(1) + η(1) + η(1) = η(1 + 1 + 1) = η(3) = η(0) = 0, o que ´e absurdo!

Agora se usassemos no lugar de Z3 o grupo G = Z ent˜ao existe um homomorfismo

de grupos η : Z → R tal que η(1) = 2; de fato basta definir η(l) = 2l para todo l ∈ Z tendo ent˜_{ao um homomorfismo. Isso nos leva a pensar no seguinte: O que torna Z mais}

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apropriado para que exista esse homomorfismo do que Z3? Veremos que a resposta est´a

nas suas rela¸cões, que são equa¸c˜_{oes satisfeitas por elementos do grupo, enquanto que Z} é livre de rela¸c˜_{oes o Z}3 possui uma que o prende, definida por a3 = 0, onde a é o gerador

de Z3. Assim, podemos dizer que Z ´e “mais livre” do que Z3.

A partir dessa ideia, faremos no cap´ıtulo 2 a constru¸cão de grupos livres, grupos sem rela¸cões (não-triviais) constru´ıdos a partir de um monóide abstratamente baseado em um alfabeto arbitrário; e no cap´ıtulo 3 apresentaremos duas propriedades essenciais de grupos livres: a propriedade universal, que é um resultado semelhante ao teorema de álgebra linear mencionado acima, e o fato de que todo grupo pode ser escrito como quociente de um grupo livre.

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Cap´ıtulo 2

Constru¸

c˜

ao de grupos livres

O conceito de grupo livre surge a partir da necessidade de se construir um grupo sem condi¸cões desnecessárias que relacionem seus elementos, ou seja, cujos elementos não satisfazem nenhuma equa¸cão além das que são satisfeitas por todos os grupos.

Exemplo 2.1. Seja (G, ·) um grupo, com elemento neutro 1 ∈ G, e g ∈ G. Ent˜ao, necessariamente

gg−1 = g−1g = 1.

Por outro lado, n˜ao necessariamente existe um n´_{umero natural n ∈ N tal que g}n_{= 1.}

Sejam g, h ∈ G. Necessariamente a equa¸c˜ao

ghg−5h9h−9g5h−1g−1 = 1

é satisfeita. Por outro lado, existem muitas equa¸cões envolvendo g e h que não neces-sariamente são válidas em G.

Defini¸cão 2.2. Seja G um grupo. Chamamos as equa¸cões envolvendo a opera¸cão de G e seus elementos que são satisfeitas em G de rela¸cões de G.

Exemplo 2.3. Seja G: = hai = {..., a−2, a−1, a0 _{= 1, a}1_{, a}2_{...} o grupo c´ıclico gerado por}

a. Ent˜_{ao, Z ∼}= hai.

Por´em, se nesse exemplo “modificarmos” o grupo G adicionando a ele a rela¸c˜ao a3 _{= 1,}

ent˜ao teremos:

G ∼= Z 3Z

∼ = Z3.

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Sendo assim, vamos, a partir de um conjunto denominado alfabeto A, montar uma estrutura abstrata de grupos livres de rela¸c˜oes.

Defini¸c˜ao 2.4. Seja A um conjunto finito chamado Alfabeto. Os elementos de A ser˜ao chamados de letras.

Exemplo 2.5. A = {a} neste caso o alfabeto ´e formado somente por uma ´unica letra “a”.

Exemplo 2.6. A = {a,b} neste caso o alfabeto ´e formado pelas letras “a” e “b”.

Exemplo 2.7. A = {a,b,c,d} neste caso o alfabeto ´e formado pelas letras “a”, “b”, “c” e “d”.

Defini¸cão 2.8. Seja A um alfabeto. Uma palavra em A é uma sequência finita de elementos de A.

Exemplo 2.9. Se A = {a,b,c}, ent˜ao ter´ıamos como exemplo as seguintes palavras: ∗ baabcabab que vamos notacionar da seguinte forma: ba2_bcabab;

∗ aaabbbbb que vamos nota¸cionar da seguinte forma: a3_b5_,

ou seja, quando uma letra se repetir em uma palavra, em vez de escrevermos a letra repetida elevaremos a letra ao número de repeti¸cões, como já apresentado acima.

Defini¸cão 2.10. Uma palavra que não tem letras é chamada de palavra vazia e deno-taremos por “1”.

Defini¸cão 2.11. Seja u uma palavra, v é subpalavra de u se existe u1, u2 também

palavras tal que u1vu2 = u.

Exemplo 2.12. Na palavra ba2bcabab temos como subpalavras a2bcaba e abcab, entre outras.

Defini¸cão 2.13. Definimos um monóide como um conjunto M 6= ∅, com uma opera¸cão

• : M × M −→ M tal que, para todo a, b, c ∈ M:

(i) a • (b • c) = (a • b) • c

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Exemplo 2.14. Todo grupo é um monóide, pois vale a associatividade e a existência de elemento neutro, ou seja, um grupo é um monóide onde todo elemento tem inverso. Exemplo 2.15. Seja N o conjunto dos números naturais. Então, (N, +) é um monóide. Exemplo 2.16. Seja W = {1, 2}. Seja P (W ) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} o conjunto das partes de W. Então, (P (W ), ∪) é um monóide.

∪ _∅ {1} {2} {1, 2}

∅ ∅ {1} {2} {1, 2}

{1} {1} {1} {1, 2} {1, 2}

{2} {2} {1, 2} {2} {1, 2}

{1, 2} {1, 2} {1, 2} {1, 2} {1, 2}

Exemplo 2.17. Seja W = {1, 2}. Seja P (W ) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} o conjunto das partes de W. Então, (P (W ), ∩) é um monóide.

∩ _∅ {1} {2} {1, 2}

∅ ∅ ∅ ∅ ∅

{1} _∅ {1} _∅ {1}

{2} _∅ _∅ {2} {2}

{1, 2} _∅ {1} {2} {1, 2}

Seja A∗ o conjunto formado pelas palavras obtidas através dos elementos de um alfa-beto A. Definimos a opera¸cão de aglutina¸cão da seguinte maneira:

Sejam u, v ∈ A∗ palavras do alfabeto A, de forma que u = a1a2...an e v = b1b2...bm,

com a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bm ∈ A. Então, a aglutina¸cão de u e v é definida por:

u • v := (a1a2...an) • (b1b2...bm) = (a1a2...anb1b2...bm).

Mostraremos que A∗, equipado com a opera¸cão de aglutina¸cão, é um monóide. Sejam a1a2...an , b1b2...bm e c1c2...cp palavras de A∗. Então,

(a1a2...an) • [(b1b2...bm) • (c1c2...cp)] = (a1a2...an) • (b1b2...bmc1c2...cp)

= a1a2...anb1b2...bmc1c2...cp

= (a1a2...anb1b2...bm) • (c1c2...cp)

(12)

O elemento neutro ´e a palavra vazia que denotamos anteriormente por “1”:

Se P ∈ A∗ ent˜ao 1 • P = P • 1 = P.

Dessa forma, temos que A∗ pode ser visto como um mon´oide, chamado de mon´oide gerado pelo alfabeto A.

Observa¸c˜ao 2.18. Omitiremos • para facilitar a nota¸c˜ao.

Nossa inten¸cão é formar um grupo a partir desse monóide. Para isso, precisamos estender o alfabeto A a um novo alfabeto que inclua “letras inversas”:

e

A := A ∪ A−1, onde A−1 := {a−1| a ∈ A}.

Exemplo 2.19. Seja o alfabeto A = {a, b} então eA = {a, a−1, b, b−1}. Podemos então construir o monóide eA∗, gerado por eA.

Exemplo 2.20. Seja A = {a, b, c} ent˜ao a−1baa−1bbb−1c ∈ eA∗pode ser escrito da seguinte forma:

(a−1b)(aa−1b)(bb−1c).

Exemplo 2.21. Seja A = {a, b} ent˜ao aba−1b−1a ∈ eA∗pode ser escrito da seguinte forma: (ab)(a−1b−1)(a).

Buscamos agora relacionar elementos eA∗ em eA∗ através de uma involu¸cão que nos possibilitará a defini¸cão de palavras inversas a partir das letras inversas do nosso novo alfabeto eA.

Defina a fun¸c˜ao ϕ : eA → eA dada por:

ϕ(a) = a−1 ϕ(a−1) = (a−1)−1 := a, para todo a ∈ A.

Temos que

ϕ2(a) = ϕ(ϕ(a)) = ϕ(a−1) = a ϕ2(a−1) = ϕ(ϕ(a−1)) = ϕ(a) = a−1.

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Logo, ϕ2 _´_{e a Identidade de e}_{A, e, portanto, ϕ ´}_{e involu¸c˜}_ao.

Podemos então estender a aplica¸cão ϕ : eA −→ eA para uma aplica¸cão ϕ : eA∗ −→ eA∗ de modo que:

ϕ(a1...an) = ϕ(an)...ϕ(a1)

E, como consequˆencia, para todo u, v ∈ eA∗ temos que ϕ(uv) = ϕ(v)ϕ(u). Se u ∈ eA∗, definimos u−1 := ϕ(u) como a palavra inversa de u.

Exemplo 2.22. Seja aba−1bc uma palavra e apliquemos ϕ sobre ela, ent˜ao: ϕ(aba−1bc) = ϕ(c)ϕ(b)ϕ(a−1)ϕ(b)ϕ(a) = c−1b−1ab−1a−1.

A defini¸cão de letras e palavras inversas dará origem a palavras e subpalavras que contenham letras inversas em suas composi¸cões, gerando assim, palavras que por intui¸cão podem ser reduzidas a outras cada vez menores, para este fim, usaremos uma aplica¸cão que denominaremos de redu¸cão elementar.

Defini¸cão 2.23. Uma redu¸cão elementar (em eA∗ → eA∗) é uma transforma¸cão da forma:

uaa−1v //uv onde a ∈ eA e u, v ∈ eA∗

Observa¸cão 2.24. Por praticidade, também chamamos de redu¸cão elementar de u qual-quer palavra obtida de u após uma redu¸cão elementar.

Observa¸cão 2.25. Por conven¸cão, consideremas que toda palavra é a redu¸cão elementar trivial de si própria - basta considerar a = 1.

Defini¸cão 2.26. Uma redu¸cão é a transforma¸cão obtida por uma sequência de redu¸cões elementares. Por praticidade, também chamamos de redu¸cão de u qualquer palavra obtida de u após uma redu¸cão.

Exemplo 2.27. Considere a palavra p = abcb−1bcc−1ba. Ent˜ao, podemos aplicar as seguintes redu¸c˜oes em p:

(14)

p = abcb−1bcc−1ba re ?? re p1 = abccc−1ba re p2 = abcbb−1ba re ?? abcba = q .

As palavras p1, p2, p, q são redu¸cões de p, sendo que p1 e p2 são redu¸cões elementares

de p.

Note que, independentemente da ordem escolhida para as redu¸c˜oes elementares acima, a palavra q obtida ao final ser´a a mesma.

Defini¸c˜ao 2.28. Seja u ∈ eA∗ e u = a1a2...an; ai ∈ eA ∀i = 1, ..., n. Dizemos que o

comprimento da palavra u é o número natural n. Nota¸cão: | u | = n

Claro que se v é uma redu¸cão não-trivial de u então

| v |<| u | .

Lema 2.29. A redu¸cão é um processo confluente, ou seja, se v e w são redu¸cões de u então existe uma palavra p que é redu¸cão de v e w.

u

//_v

w //p

Demonstra¸cão. O diagrama abaixo mostra que basta provar que a redu¸cão elementar é um processo confluente. De fato, se a redu¸cão elementar é confluente então podemos construir as palavras uij sucessivamente, de modo a construirmos a palavra p como redu¸cão de v e

(15)

u re re _// u1 re _// u2 re _// re _// v u0₁ re //_u₁₁ //_u₁₂ // //_v₁ u0₂ re //_u₂₁ //_u₂₂ // //_v₂ // // // re w //un1 //un2 // //p

Provaremos a seguir que a redu¸c˜ao elementar ´e um processo confluente. Sejam u, v, w ∈ eA∗ tais que

u re re _// v w

Temos que existem x1, y1 ∈ eA∗ e a1 ∈ eA tais que v = x1y1 e u = x1a1a−11 y1.

Analoga-mente, existem x2, y2 ∈ eA∗ e a2 ∈ eA tais que w = x2y2 e u = x2a2a−12 y2.

• Se a1a−11 e a2a−12 s˜ao disjuntos, basta retirar de v a subpalavra a2a−12 e retirar da

palavra resultante a subpalavra a1a−11 , obtendo a redu¸c˜ao P .

• Caso a1a−11 e a2a−12 sejam a mesma sub palavra, fa¸ca v = w = P .

• Caso a1a−11 e a2a−12 se sobreponham, ent˜ao uma das letras coincidem, digamos a −1

1 =

a2, de modo que v = x1y1 = x1a−12 y2 e w = x2y2 = x1a1y2. Como a−11 = a2 implica

a−1₂ = a1, temos que v = w. Dessa forma, basta definir P = v = w.

Defini¸cão 2.30. Dizemos que uma palavra é irredut´ıvel ou reduzida se ela não admite redu¸cão não-trivial, ou seja, não possui subpalavras do tipo aa−1, a ∈ eA. Dizemos que uma palavra é redut´ıvel se admite redu¸cão não-trivial.

Exemplo 2.31. As palavras abac, aba−1cbc−1 s˜ao reduzidas e as palavras abb−1ca−1, abb−1ac−1c s˜ao redut´ıveis.

(16)

Proposi¸cão 2.32. Toda palavra pode ser reduzida a exatamente uma palavra irredut´ıvel. Demonstra¸cão. Existência

Seja u ∈ eA∗.

Se u for irredut´ıvel, n˜ao h´a o que provar.

Se u não for irredut´ıvel então u possui uma redu¸cão não-trivial u1. Se u1 for

irre-dut´ıvel, acabou. Se não for, então u1 possui uma redu¸cão não-trivial u2. Continuando

esse processo, formamos uma sequˆencia de palavras (ui), i ∈ N de forma que

| u |>| u1 |>| u2 |> ....

O processo precisa terminar porque o tamanho da palavra através do processo de redu¸cões elementares não triviais sempre diminui. Como o comprimento é sempre um número natural, existir´_{a algum i ∈ N tal que u}i não possui redu¸cões não-triviais. Logo,

vale a existˆencia. Unicidade

Suponha que v e w sejam redu¸c˜oes irredut´ıveis de u:

u

//_v

w

Pela confluência, existe um p onde p é uma redu¸cão de v e w.

u

//_v

w //p

No entanto, v e w s˜ao irredut´ıveis. Logo, v = p = w , e portanto vale a unicidade.

Exemplo 2.33. Considere a palavra u = abb−1ab3b−1a−1aaa−1bca−1. Aplicando redu¸c˜oes sucessivas temos que o seu comprimento diminui at´e ser uma palavra irredut´ıvel.

u1 =| abb−1ab3b−1a−1aaa−1bca−1 |= 15

(17)

u3 =| aab2a−1aaa−1bca−1 |= 11

u4 =| aab2aa−1bca−1 |= 9

u5 =| aab2bca−1 |= 7

u6 = a2b3ca−1

u6 ´e irredut´ıvel, pois n˜ao possui mais subpalavras com letras inversas consecutivas.

Seja A um alfabeto e u ∈ eA∗. Denotaremos por u a redu¸cão irredut´ıvel de u, ou seja, u é a palavra irredut´ıvel obtida a partir de u, via redu¸cão, conforme proposi¸cão 2.32.

Definamos a seguinte rela¸c˜ao: Se u, v ∈ eA∗ ent˜ao u ∼ v se, somente se u = v .

Observa¸cão 2.34. Temos que a rela¸cão ∼ é uma Rela¸cão de Equivalência; pois para todo u, v, w ∈ eA∗ se verificam as propriedades:

• Reflexividade u ∼ u • Simetria u ∼ v se, somente se v ∼ u • Transitividade u ∼ v, v ∼ w ent˜ao ∼ w.

(18)

A classe de equivalência de uma palavra com rela¸cão a ∼ será denotada por ρ(u). Como cada classe possui exatamente uma palavra irredut´ıvel, também denotamos ρ(u) por seu representante u.

O conjunto (quociente) de todas as classes de equivalˆencia acima ser´a denotado por

FA:=

e A∗

∼ = {ρ(u); u ∈ eA

∗_}.

Mostraremos que FA, com a opera¸cão binãria ρ(u) · ρ(v) := ρ(uv) é um grupo e este

grupo ´e que chamaremos de Grupo Livre gerado por A ou com base A. Teorema 2.35. O par (FA, ·), onde

ρ(u) · ρ(v) = ρ(uv), ´e um grupo.

Demonstra¸cão. A opera¸cão está bem-definida, pois se u ∼ u0 e v ∼ v0 então ρ(uv) = ρ(u) · ρ(v) = ρ(u0) · ρ(v0) = ρ(u0v0)

• Associatividade.

[ρ(u)ρ(v)]ρ(w) = (ρ(uv))ρ(w) = ρ(uvw) = ρ(u)(ρ(vw)) = ρ(u)[ρ(v)ρ(w)] • Existˆencia de elemento neutro.

O elemento neutro de FA ´e a classe ρ(1). De fato,

ρ(u)ρ(1) = ρ(u1) = ρ(u) = ρ(1u) = ρ(1)ρ(u) • Existˆencia de Elemento Inverso.

Seja u ∈ eA∗, onde u = a1a2...an; com ai ∈ eA. Ent˜ao,

ρ(ϕ(u)) = ρ(ϕ(a1a2...an)) = ρ(a−1n ...a −1

2 a

−1 1 ) ∈ eA

∗

´e o elemento inverso de ρ(u). De fato,

(19)

ρ(u)ρ(ϕ(u)) = ρ(uϕ(u)) = ρ(a1a2...ana−1n a −1

n−1...a

−1

1 ) = ρ(a1a2...an−1(1)a−1n−1...a −1

1 ) =

ρ(a1a2...an−2(1)a−1n−2...a −1

1 ) = ... = ρ(a1a2(1)a−12 a −1

1 ) = ρ(a1(1)a−11 ) = ρ(1).

Por outro lado,

ρ(ϕ(u))ρ(u) = ρ(ϕ(u)u) = ρ(a−1_n a−1_n−1...a−1₁ a1a2...an) = ρ(a−1n a −1

n−1...a

−1

2 (1)a2...an) =

ρ(a−1_n a−1_n−1...a₃−1(1)a3...an) = ... = ρ(a−1n a −1

n−1an−1an) = ρ(a−1n an) = ρ(1).

Isso mostra que FA ´e grupo.

Defini¸c˜ao 2.36. Um grupo G ´e dito grupo livre se G ∼= FA para algum alfabeto A.

Exemplo 2.37. Seja A um alfabeto sem nenhum elemento, temos que:

Se A = ∅ ent˜ao A∗ = {(1)}. Logo, FA = {ρ(1)}.

Assim, FA´e o que chamamos de grupo trivial.

Exemplo 2.38. Seja A = {a} um alfabeto unit´ario, temos que:

Se A = {a} ent˜ao A∗ = {(1), a, a2, ...an, ..., a−1, a−2, ..., a−n, ..., aa−1a, aaaaa−1, ...}. Logo, FA = {ρ(an); an∈ A∗ e n ∈ Z}

Exemplo 2.39. Seja A = {a, b} um alfabeto com dois elementos, isto implica que:

A∗ = {(1), a, an, b, bm, aba−1ab, ababaaa−1b, ...}.

Embora não seja óbvio descrever formalmente os elementos de FA, a intui¸cão e o

teorema da forma normal (cf. [1]) nos permitem concluir que

(20)

Cap´ıtulo 3

Propriedades de Grupos Livres

O teorema abaixo nos d´a uma vers˜ao para teoria de grupos do conhecido teorema de ´

algebra linear que permite definir uma transforma¸cão linear a partir de sua imagem com rela¸cão aos elementos de uma base do dom´ınio. Dessa forma, se FA é um grupo livre e

G é um grupo qualquer, podemos estender qualquer fun¸cão f : A → G para um único homomorfismo ϕ : FA→ G. Esse fato tem grande importância para a teoria de grupos e

tem o nome de Propriedade Universal dos Grupos Livres. Teorema 3.1. Seja A um alfabeto. Ent˜ao,

1. A fun¸c˜ao ρ dada por:

ρ : A → FA

a 7→ ρ(a) ´

e injetiva.

2. Propriedade Universal de grupos livres : Seja f : A → G uma fun¸cão, onde G é um grupo qualquer. Então, existe um único homomorfismo ϕ : FA→ G tal que

ϕ ◦ ρ = f, de acordo com o seguinte diagrama:

A_{_} ρ f _// G FA ϕ >> .

(21)

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão do item (a) é imediata:

Sejam a, b ∈ A tal que ρ(a) = ρ(b). Como as palavras a e b s˜ao irredut´ıveis e equiva-lentes, ent˜ao a = b.

Para o item (b), seja f : A → G uma fun¸cão de um alfabeto A num grupo G qualquer. Podemos então estender a fun¸cão f para uma fun¸cão

f0 : eA = A ∪ A−1 → G, fazendo a correspondˆencia da seguinte forma:

Se a ∈ A, então f0(a−1) := f (a)−1 ∈ G, onde i1 e i2 são inclusões.

A_{_} i1 f _// G e A f0 ??

Novamente podemos estender f0 : eA → G para uma fun¸c˜ao f∗ : eA∗ → G, da seguinte forma:

Se a1, a2, ..., an ∈ eA ent˜ao,

f∗(a1a2...an) := f0(a1)f0(a2)...f0(an) ∈ G.

Note que: para todo u, v ∈ eA∗ tal que u = a1a2...an e v = b1b2...bn temos que

f∗(uv) = f∗(a1a2...anb1b2...bn) = f0(a1)f0(a2)...f0(an)f0(b1)f0(b2)...f0(bn) = f∗(a1a2...an)f∗(b1b2...bn) = f∗(u)f∗(v). A_{_} i1 f _// G e A f0 ?? i2 //Ae∗ f ∗ OO Defina ϕ : FA→ G

(22)

Precisamos provar que ϕ est´a bem-definida. Mostraremos primeiramente que f∗(u) = f∗(u) para toda palavra u ∈ eA∗.

Seja u ∈ eA∗. Se u for irredut´ıvel, então u = u e não há o que provar. Se u ∈ eA∗ é redut´ıvel, seja u1 uma redu¸cão elementar não-trivial de u. Então, u = x1aa−1y1, com

a ∈ eA e u1 = x1y1. Temos ent˜ao que

f∗(u) = f∗(x1aa−1y1) = f∗(x1)f∗(a)f∗(a−1)f∗(y1) = f∗(x1)f∗(a) (f∗(a)) −1

f∗(y1) =

= f∗(x1)1f∗(y1) = f∗(x1y1) = f∗(u1).

Assim, como u é obtida de u após uma quantidade finita de redu¸cões elementares não-triviais, temos que f∗(u) = f∗(u).

Dessa forma,

Se ρ(u) = ρ(v) ent˜ao u = v, o que implica f∗(u) = f∗(v), e mais uma vez implica que f∗(u) = f∗(v), logo ϕ(ρ(u)) = ϕ(ρ(v)).

Portanto, ϕ est´a bem-definida.

Temos que ϕ ´e homomorfismo de grupos, pois

ϕ(ρ(u)ρ(v)) = ϕ(ρ(uv)) = f∗(uv) = f∗(u)f∗(v) = ϕ(ρ(u))ϕ(ρ(v)). Temos, portanto, o seguinte diagrama:

A_{_} i1 f _// G e A f0 ?? i2 //_A_e∗ f ∗ OO ρ //FA ϕ ``

onde i1 e i2 s˜ao inclus˜oes.

Note que

ρ ◦ i2◦ i1 = ρ : A → FA,

e, aplicando ϕ em ambos os lados, temos que

(23)

Como ϕ ◦ ρ = f∗, ent˜ao

f∗ ◦ i2 ◦ i1 = ϕ ◦ ρ.

Uma vez que f∗◦ i2 = f0, temos que

f0 ◦ i1 = ϕ ◦ ρ

, e, uma vez que f0 ◦ i1 = f , conclu´ımos que

f = ϕ ◦ ρ Suponha

ϕ1◦ ρ = f

Seja a ∈ A ent˜ao:

(ϕ1◦ ρ)(a) = f (a) = (ϕ ◦ ρ)(a)

Seja ρ(a1...an) ∈ FA; a1, ..., an∈ eA

ϕ1(ρ(a1...an)) = ϕ1(ρ(a1))...ϕ1(ρ(an)) = f (a1)...f (an) = ϕ(ρ(a1))...ϕ(ρ(an)) = ϕ(ρ(a1...an))

Abaixo mostramos algumas aplica¸c˜oes e exemplos relacionados `a propriedade univer-sal.

Proposi¸cão 3.2. Seja A = {a} e FAo grupo livre gerado por A. Então, FA=Z. Portanto,e Z é um grupo livre.

Demonstra¸c˜ao. Para mostrar que FA´e isomorfo a Z basta que tenhamos um isomorfismo

ϕ : FA→ Z.

Defina

f : A → Z a 7→ f (a) = 1.

Ent˜ao, pelo teorema 3.1, existe um ´unico homomorfismo ϕ : FA→ Z tal que ϕ ◦ ρ = f.

(24)

• Injetividade

Vamos mostrar que Ker(ϕ) = {ρ(1)}. ´

E f´acil ver que

Ker(ϕ) = {ρ(an) ∈ FA; onde an ∈ A∗ e ϕ(ρ(an)) = 0}.

Suponha que ϕ(ρ(an_{)) = 0 e n > 0. Ent˜}_ao,

ϕ(ρ(an)) = ϕ(ρ(a)ρ(a) · · · ρ(a))

| {z }

n parcelas

= ϕ(ρ(a)) + ϕ(ρ(a)) + · · · + ϕ(ρ(a))

| {z }

n parcelas

=

= f (a) + f (a) + · · · + f (a)

| {z }

n parcelas

= nf (a) = n 6= 0.

Se, por outro lado, n < 0, ent˜ao

ϕ(ρ(an)) = ϕ(ρ(a−1)ρ(a−1) · · · ρ(a−1))

| {z }

−n parcelas

= −ϕ(ρ(a)) − ϕ(ρ(a)) − · · · − ϕ(ρ(a))

| {z }

−n parcelas

=

= −f (a) − f (a) − · · · − f (a)

| {z } −n parcelas = (−n)(−f (a)) = n 6= 0. Logo, ϕ(ρ(an)) = 0 ent˜ao n = 0, e, portanto,

Ker(ϕ) = {ρ(ao) ∈ FA; onde a0 ∈ A∗}

= {ρ(1)}. • Sobrejetividade

Vamos mostrar que a imagem =(ϕ) = Z Seja n ∈ Z. Ent˜ao,

ϕ(ρ(an)) = ϕ(ρ(a)n) = nϕ(ρ(a)) = nf (a) = n Logo, ϕ ´e sobrejetiva.

(25)

Assim, temos que FA∼= Z e, pela defini¸c˜ao 2.36, temos que Z ´e grupo livre.

Exemplo 3.3. Seja A = {a, b} um alfabeto. Queremos definir um homomorfismo FA→

(Z8, +).

Defina

f : A → Z8

a 7→ f (a) = 3 b 7→ f (b) = 5.

Ent˜ao, pelo teorema 3.1, existe um ´unico homomorfismo ϕ : FA→ Z8 tal que:

ϕ ◦ ρ = f

Ent˜ao, ϕ(ρ(a)) = 3 e ϕ(ρ(b)) = 5, onde ρ(a), ρ(b) ∈ FA.

Logo, se tomarmos qualquer classe de palavra formada a partir do alfabeto A, por exemplo a3_b−1_a−2 _{e aplicarmos ϕ temos ent˜}_{ao que :}

ϕ(ρ(a3b−1a−2)) = ϕ(ρ(a3)) + ϕ(ρ(b−1)) + ϕ(ρ(a−2)) =

3ϕ(ρ(a))−ϕ(ρ(b))−2ϕ(ρ(a)) = 3·f (a)−f (b)−2·f (a) = 3·3−5−2·3 = 9−5−6 = −2 = 6 Exemplo 3.4. Seja A = {x, y, z} e S3 = {1, a, a2, b, ba, ba2} o grupo de simetrias do

triˆangulo. Queremos definir um homomorfismo ϕ : FA→ S3.

Defina

f : A → S3

x 7→ f (x) = a2 y 7→ f (y) = b z 7→ f (z) = ba

Ent˜ao, pelo teorema 3.1, existe um ´unico homomorfismo ϕ : FA→ Z8 tal que:

ϕ ◦ ρ = f.

Logo, se tomarmos qualquer classe de palavra formada a partir do alfabeto A, por exemplo xyz−1 e aplicarmos ϕ, temos ent˜ao que :

(26)

ϕ(ρ(x)) ◦ ϕ(ρ(y)) ◦ ϕ(ρ(z))−1 = f (x) · f (y) · f (z)−1 = a2· b · (ba)−1 = a2ba−1b−1 = a2abb = a3b2 = 1

O teorema 3.1 evidencia que FA n˜ao possui rela¸c˜oes entre os geradores e, portanto, o

homomomorfismo existe e fica unicamente determinado. Isso é poss´ıvel, pois os elementos da imagem não precisam “herdar” nenhuma das rela¸cões do dom´ınio, visto que FA não

tem nenhuma rela¸c˜ao n˜ao-trivial.

Exemplo 3.5. Suponha que exista um homomorfismo ϕ : Z3 → Z

1 7→ ϕ(1) = 3. Assim, temos que:

ϕ(1) + ϕ(1) + ϕ(1) = ϕ(3) = ϕ(0) = 0 3 + 3 + 3 = 0

9 = 0

o que é contradi¸cão, então n˜_{ao vale a Propriedade Universal para o grupo Z}3, pois ele não

´e livre.

Exemplo 3.6. Suponha que exista um homomorfismo ϕ : S3 → Z

a 7→ ϕ(a) = 4. Assim, temos que:

ϕ(a3) = ϕ(1) = 0 3ϕ(a) = 0 3 · 4 = 0 ⇒ 12 = 0.

o que é contradi¸cão, então não vale a Propriedade Universal para o grupo S3, pois ele não

(27)

Isso acontece nos exemplos 3.5 e 3.6 pois os grupos considerados possuem rela¸cões que o prendem, ou seja, o homomorfismo existirá apenas se os elementos da imagem satisfazem rela¸cões correspondentes às satisfeitas pelos elementos do dom´ınio, o que não ocorre nos casos acima.

Outra propriedade muito importante de grupos livres é exibida a seguir: Proposi¸cão 3.7. Todo grupo é isomorfo a algum quociente de um grupo livre.

Demonstra¸cão. Seja G um grupo e seja A um conjunto de geradores de G (podemos considerar A = G). Seja f : A −→ G a fun¸cão inclusão de A em G. Pelo teorema 3.1, existe um único homomorfismo ϕ : FA → G tal que ϕ ◦ ρ = f . Temos que ϕ é sobrejetivo,

dado que G ´e gerado por A. Logo, G ∼= FA/ Ker(ϕ), pelo teorema dos homomorfismos.

O resultado acima é essencial para a defini¸cão de apresenta¸cão de um grupo, que é uma maneira canônica de representar um grupo através de seus geradores e rela¸cões. Para mais detalhes sobre apresenta¸cões de grupos, cf. [1].

(28)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] COHEN, D. E. Combinatorial group theory: a topological approach. Cam-bridge University Press, 1989.

[2] LIMA, E. L. ´Algebra linear. IMPA, 2012.

[3] ROTMAN, J. J. A Introduction to the Theory of Groups. Springer, 1995. [4] SILVA, P. V. Teoria Geom´etrica de Grupos. Dispon´ıvel em: http://www.