O teorema de Toponogov

Geometria Riemanniana Professor: Dr. Cláudio Gorodski Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo

O teorema de Toponogov

Gabriela Cristina da Silva

Resumo O objetivo deste trabalho é demonstrar uma versão do Teorema de Toponogov apresentada em [1]. Para provar o teorema, apresentamos os conceitos de triân- gulo geodésico, ângulo entre vetores tangentes, dobradiça e seus tipos, bem como resultados derivados dos teoremas de Rauch e Berger.

Sumário

1 Introdução 3

2 Quem foi o matemático Toponogov? 4

3 O Teorema de Toponogov 5

4 Apêndice 19

Agradecimentos

Gostaria de agradecer ao professor Cláudio Gorodski pelo curso de Geometria Rieman- niana que foi fundamental para o entendimento do teorema e pelo incentivo a estudar o assunto. Também agradeço ao meu orientador Paolo Piccione pelas correções realizadas ao longo do texto. Por fim, agradeço a minha família pelo apoio e paciência devido a minha ausência.

1 Introdução

Os teoremas de comparação são tópicos fundamentais estudados em Geometria Rie- manniana e podem ser compreendidos usando diversas ferramentas. Sendo assim, um dos resultados clássicos, que foi provado em 1951 pelo matemático americano Harry Rauch, é o chamadoTeorema de Comparação de Rauch, ver [3]. O teorema afirma que dadas M e Mduas variedades Riemannianas,JeJcampos de Jacobi ao longo das geodésicas que pos- suem mesma velocidade, respectivamente,γ: [0,`] → Meγ: [0,`] → Me supondo que γ não possua pontos conjugados em (_0,`] e, além disso, que K(x,γ⁰(t)) > K(x,γ⁰(t)) para todot, todo x ∈ _Tγ(t)Mex ∈ _Tγ(t)Mentão|_J|6|_J|. De modo intuitivo, podemos concluir que se as curvaturas aumentam então os comprimentos diminuem. Isso fica nítido comparando os espaços-forma: espaço euclidiano Rⁿ, espaço hiperbólico realRHⁿ e a esferaSⁿ na qual os campos de Jacobi são conhecidos, ver [2].

Diante isso, uma poderosa ferramenta da Geometria Riemanniana é o teorema de To- ponogov que generaliza o teorema de Rauch. Tendo como objetivo comparar triângulos geodésicos e dobradiças em variedades Riemannianas de curvatura seccional constante (como no teorema de Rauch), com relação a ângulos e comprimentos. Além disso, possui diversas aplicações, sendo utilizado para provar: o Teorema de Gromov que consiste em obter uma estimativa do número de geradores do grupo fundamental; resultados sobre pon- tos críticos de funções distância; o teorema do diâmetro da esfera; o teorema que fornece uma estimava para a soma dos números de Betti; entre outros que podem ser encontrados em [4].

Em suma, existem várias versões do teorema de Toponogov, assim, este trabalho tem por objetivo apresentar uma demonstração para o mesmo baseado na versão abordada em [1]. Na seção 2 é apresentado a origem do teorema e uma breve biografia do matemático Toponogov. Além disso, na seção 3 são apresentadas algumas definições essenciais para a compreensão do teorema, como os conceitos de triângulo geodésico, ângulo entre veto- res tangentes, dobradiça e seus tipos, bem como é apresentada a demonstração do mesmo, consistindo na prova de oito afirmações. Por fim, no apêndice são apresentados todos os resultados, derivados dos teoremas de Rauch e Berger, utilizados para provar o teorema.

2 Quem foi o matemático Toponogov?

Victor Andreevich Toponogov (1930 – 2004) foi um importante matemático russo autor do teorema de comparação de triângulos que leva seu nome. Seus trabalhos foram de extrema importância no desenvolvimento da Geometria Riemanniana.

Figura 1: Matemático russo Victor Toponogov.

Fonte: Google Imagens.

Toponogov nasceu na cidade de Tomsk, na Rússia, antiga União Soviética. Seu pai era contra o comunismo pregado pelo regime totalitário de Joseph Stálin, porque a coleti- vização de terras diminuiu consideravelmente a qualidade de vida dos cidadãos, e isso fez com que ele sofresse com a repressão militar em 1937. Naquela época, todos os que se opunham ao governo eram tachados de "anti-soviéticos" ou "inimigos do povo". Embora fosse um bom estudante com notas altas, e se graduado com honras a sua continuação nos estudos estava seriamente comprometida, por ser considerado "filho de inimigo do povo"

e, portanto, estar sujeito às restrições impostas pelo governo.

Quando Stálin veio a falecer, em 1953, a repressão russa já não era tão forte e Topo- nogov pôde fazer sua pós graduação na Universidade de Tomsk. Anos depois Toponogov se mudou para a cidade de Novosibirsk, e demonstrou profundo interesse pela Geometria Riemanniana, inspirado por seu orientador, o importante geômetra professor Abram Fet, e sobretudo pelos trabalhos de Alexandrov. Ele teve uma passagem pelo Instituto de Rádio- Fisica e Eletrônica como cientista pesquisador, e mais tarde o teorema que leva seu nome foi sua tese de doutorado na Universidade de Moscou, em 1958.

Toponogov ainda viria a se mudar para o Instituto de Ciências, onde ocupou os cargos de vice diretor, chefe de um dos laboratórios e cientista chefe. Ele também se dedicou ao treinamento de outros jovens matemáticos. Toponogov faleceu na cidade de Novosibirsk,

3 O Teorema de Toponogov

Umtriângulo geodésicoT em uma variedade RiemannianaMé um conjunto formado por três segmentos de geodésicas minimizantes normalizadas:

γ₁ : [0,`<sub>1</sub>]→ M, γ2: [0,`₂] → M,γ3 : [0,`₃]→ M,

de comprimentos`<sub>1</sub>,`₂e`<sub>3</sub>, respectivamente, chamadosladosdo triângulo, como pode ser observado pela figura 2, de modo queγi(`_i) = _γi+1(0) e satisfazendo as desigualdades triangulares`<sub>i</sub>+`_i+1>`_i+2, no qual os índices ao longo do texto são tomados módulo 3.

Figura 2: Triângulo Geodésico.

Fonte: Autora.

Os pontos terminais dos segmentos de geodésicas são chamados vértices de T e o ânguloentre−_γ⁰_i+1(`_i+1)eγ⁰_i+2(₀)será denotado por:

αi =^(γ_i⁰₊₁(`_i+1),γ⁰_i+2(0)), com06αi 6π.

Além disso, dadosγ1eγ2segmentos geodésicos emMtal queγ1(`₁) = γ2(0)eα =

^(−γ₁⁰(`₁),γ₂⁰(0)). A configuração denotada por (γ1,γ2,α) é chamada de dobradiça, como pode ser observado pela figura3.

Figura 3: Dobradiça.

Fonte: Autora.

Ademais, define-se por M^H a variedade Riemanniana completa de dimensão 2 sim- plesmente conexa com curvatura seccional constanteHe porMa variedade Riemanniana completa com curvatura seccional constante maior ou igual a H denotada por KM > H.

Definimos por:

– dH a distância Riemanniana emM^H; – dga distância Riemanniana emM.

Enunciaremos o teorema e em seguida o provaremos.

(Teorema de Toponogov). SejaMuma variedade Riemanniana completa comKM >H.

(A) Seja(_γ1,γ2,γ3)um triângulo geodésico em M. Suponha queγ1,γ3são minimizantes e se H > 0, que L[γ2] 6 ^√π_H^{. Então em} M^H existe um triângulo geodésico(γ1,γ2,γ3) tal que L[_γi] = L[_γi] parai = 1, 2, 3eαi 6 αi comi = 1, 3. Exceto no caso H > 0 e L[_γi] = ^√π

H para algumi, o triângulo emM^H está unicamente determinado.

(B) Seja(γ1,γ2,α)uma dobradiça emM, tal queγ1,γ2são segmentos geodésicos, sendo γ1 minimizante, γ1(`<sub>1</sub>) = γ2(0) e α = ^(γ<sub>1</sub><sup>0</sup>(`₁),γ₂⁰(0)). Se H > 0, suponha que L[γ2] 6 ^√π_H. Além disso, sejamγ₁,γ₂segmentos geodésicos em M^H tal queγ₁(`<sub>1</sub>) = γ<sub>2</sub>(0), L[γi] = L[γ<sub>i</sub>] = `_ieα =^(γ⁰₁(`₁),γ₂⁰(0)). Então:

dg(γ1(0),γ2(`<sub>2</sub>))6dH(γ<sub>1</sub>(0),γ<sub>2</sub>(`₂).

A demonstração do teorema consiste na prova de oito afirmações, utilizando argumen- tos citados em partes anteriores, além de demonstrar (B) para casos particulares de dobra- diças. Qualquer condição sobre√

Hdeve ser ignorada seH 60. Durante a demonstração iremos considerar M^H−ε em vez de M^H. Isto será crucial nas partes 5 a 7, além de ser essencial para garantir que os triângulos sejam finos na construção da parte 8.

Parte 1. Seja (γ₁,γ₂,α) uma dobradiça em M^H−ε com L[γ_i] 6 ^√π_H^, i = 1, 2. Con- formeα cresce de0aπ, então f(_α) = d_H−ε(γ₁(₀)_,γ2(`<sub>2</sub>))cresce de forma monótona de|`₁−`₂|aD =minn

√ 2π

H−ε−`<sub>1</sub>−`₂,`<sub>1</sub>+`₂^o

Demonstração. Inicialmente fixe γ₁ e deixe γ₂ variar. Assim, vamos dividir o argu- mento em duas partes: na primeira parte vamos provar que f é diferenciável em (0,π) e na segunda parte que f é uma função monótona. Na primeira parte, se H 6 0, sendo M^H−ε simplesmente conexa temos que pelo teorema deCartan-Hadamard(ver apêndice) aexp_γ

1(0) é um difeomorfismo. No entanto, seH >0, sabemos que a aplicação exponen- cial é um difeomorfismo na bolaB√^2π

H−ε

(0) ⊂TpM^H−ε. Dessa forma, é suficiente mostrar qued_H−ε(γ₁(₀)_,γ2(`₂)) < ^√π

H−ε. Para isso vamos supor qued_H−ε(γ₁(₀)_,γ2(`₂)) =

√π

H−ε, entãoγ₁∪γ₂é a união de dois segmentos geodésicos ligando pontos antípodas em M^H−εsendo uma esfera de dimensão 2 com curvatura seccionalH−_ε. Assim, como cada segmento geodésico tem comprimento menor que ^√π

H−ε, podemos concluir queγ₁∪_γ2é uma geodésica diferenciável que une γ₁(0) eγ₂(`<sub>2</sub>), com isso temos queα = π, o que é uma contradição. Portanto, f é diferenciável em (0,π). Para a segunda parte, vamos mostrar o crescimento de f. Com isso, observe que conforme γ<sub>2</sub>(`₂) se move, ela traça um círculo de raio `<sub>2</sub> ao redor de γ<sub>2</sub>(0) como pode ser observado pela figura 4. Assim, podemos afirmar que a geodésica minimizanteσα ligando os pontosγ<sub>1</sub>(0)aγ<sub>2</sub>(`₂)é per- pendicular ao círculo citado somente quando α = 0 ou α = π. Nesse caso, σ∪ −γ₂ formaria outra geodésica diferenciável de γ₁(0) a γ₁(`₁), diferente de γ₁. No entanto, isto é impossível se H 6 0pelo teorema de Cartan-Hadamard e se H > 0teríamos que

`₁ = ^√π

H−ε > ^√π

H contradizendo a hipótese sobre`₁.

Figura 4: Interpretação geométrica da Parte 1.

Fonte: Autora.

Desta forma, sabemos que a fómula da primeira variação das geodésicasσαé dada por:

d

dαL(_σα) α=α0

=−

Z _L[σ_α0] 0

hV,∇_σ⁰

α0σ_α⁰₀i_g dt

| {z }

(i)

+hV(L[_σα0]),σ_α⁰₀(L[_σα0)])i_g,

| {z }

(ii)

comα0 >0fixo, Ldenota o funcional de comprimento eV é o campo de variação deσα. Diante disso,(i) é zero, poisσα é geodésica e(ii)é diferente de zero pela “não perpendi- cularidade” das geodésicas σα. Assim, f ⁰(α) 6= 0paraα ∈ (0,π). Como f(π) = D e

f(0) = |`<sub>2</sub>−`₁|<D, então f é crescente. Portanto, f é estritamente monótona.

Parte 2. Em M^H−ε um triângulo com lados de comprimento menor ou igual a ^√π

H está determinado pelo comprimento de seus lados.

Demonstração.Seja(γ₁,γ₂,γ₃)um triângulo emM^H−ε. Dessa forma, considere(σ1,σ2,σ3) outro triângulo em M^H−ε tal que L[γ_i] = L[σ_i]. Assim, fixe L[γ₁] e L[γ₂] e pela parte 1 sabemos queL[γ₃] está determinado de modo único pelo ânguloα3. Diante disso, pela homogeneidade deM^H−ε, existe uma isometria que levaσiemγ_icomi=1, 2, 3.

Parte 3. Seja(γ1,γ2,α3)uma dobradiça em Mtal queγ1é minimizante e L[γ2] 6 ^√π_H^. Então as afirmações (a) e (b) são equivalentes:

(a) Seja γ3 uma geodésica minimizante de γ2(`₂) a γ1(0). Então existe um triângulo (γ₁,γ₂,γ₃)emM^H−ε comL[γ_i] = L[γ_i]eα36α3.

(b) Seja (_γ1,γ₂,α3) uma dobradiça em M^H−ε com L[_γi] = L[_γi], i = 1, 2. Então

`<sub>2</sub>−`₁6dg(γ1(₀)_,γ2(`<sub>2</sub>))6d<sub>H</sub>−ε(γ<sub>1</sub>(<sub>0</sub>)<sub>,γ2</sub>(`₂)).

Demonstração. (a) ⇒(b). Considere (γ₁,γ₂,α3) uma dobradiça como em (b). Diante disso, podemos construir o triângulo geodésico(γ₁,γ2,γ3), na qual γ3é uma geodésica minimizante ligando os extremos γ2(`<sub>2</sub>) e γ<sub>1</sub>(0). Com isso, as desigualdades triangula- res são satisfeitas, ou seja, `₁+`<sub>3</sub> > `₂ e `<sub>2</sub>+`₃ > `₁. Caso contrário, teríamos que

`<sub>3</sub> < `₂−`<sub>1</sub>ou`₂−`<sub>1</sub> <−`₃e além disso, por (a) temos um triângulo(γ₁,γ₂,γ₃) em M^H−ε comL[γi] = L[γ_i]eα3 6α3. Dessa forma, pela Parte 1 conformeα3aumenta até α3mantendo L[γ₁] eL[γ₂] constantes, a funçãodH−ε(γ₁(0),γ₂(`₂))é não-decrescente.

Portanto:

`<sub>2</sub>−`₁6`<sub>3</sub>=dg(γ<sub>1</sub>(0),γ2(`₂))6d_H−ε(γ₁(0),γ₂(`₂)).

(b) ⇒(a). Sejaγ3uma geodésica minimizante ligando os extremosγ2(`<sub>2</sub>) eγ1(0). Por (b), seγ<sub>1</sub>, γ<sub>2</sub>⊂ <sub>M</sub><sup>H−ε</sup> e^(−<sub>γ</sub><sup>0</sup><sub>1</sub>(`₁)_,γ⁰₂(₀)) = _α3, então:

dH−ε(γ₁(0),γ₂(`<sub>2</sub>))>dg(γ1(0),γ2(`₂)) =`<sub>3</sub> >`₂−`₁. Ademais, como(γ1,γ2,γ3)satisfaz a desigualdade triangular, temos que:

`<sub>3</sub>>`₁−`₂. (1)

Multiplicando a desigualdade1por−1e tomando o módulo em ambos os lados temos que

|`<sub>2</sub>−`₁| >`<sub>3</sub> =<sub>dg</sub>(γ1(<sub>0</sub>)<sub>,γ2</sub>(`₂)). Com isso e pela Parte 1, podemos reduzir o ângulo α3entreγ₁eγ₂a um ânguloα3de modo que:

dH−ε(γ₁(0),γ₂(`<sub>2</sub>)) =dg(γ1(0),γ2(`₂)).

Então seγ₃é uma geodésica minimizante ligando os extremosγ₁(0)eγ₂(`₂), temos que γ₁,γ₂eγ₃formam um triângulo geodésico com L[_γi] = L[_γi]parai =1, 2, 3eα36α3.

Para demonstrar a parte 4, precisamos das definições de dobradiça pequena e de tri- ângulo pequeno.

Seja(γ₁,γ₂,α)uma dobradiça, dizemos que essa dobradiça épequenasemax{L[γ_i]} =

r

2 parai =1, 2eexp_γ

2(0)

Br(0) é um difeomorfismo. Além disso, seja(γ1,γ2,γ3)um tri- ângulo, dizemos que este triângulo épequenose cada uma das dobradiças(γ_i,γ_i+1,α_i+2) é pequena.

Parte 4. (A) é satisfeito para triângulos pequenos e (B) é satisfeito para dobradiças pe- quenas.

Demonstração. Primeiramente mostraremos que (B) é satisfeito para dobradiças pe- quenas e depois aplicaremos a Parte 3 para provar que (A) é satisfeito para triângulos pequenos. Sejam (_γ1,γ2,α3) uma dobradiça pequena em M e (_γ1,γ₂,α3) uma dobra- diça pequena em M^H−ε tal que L[_γi] = L[_γi]_,i = _{1, 2}. Além disso, p = _γ1(`<sub>1</sub>) e p = γ<sub>1</sub>(`₁). Considere γ₃ uma geodésica minimizante que liga os extremos γ₂(`<sub>2</sub>) e γ<sub>1</sub>(0) e seja i : TpM<sup>H−ε</sup> → TpM uma isometria injetora tal que i(γ<sup>0</sup><sub>1</sub>(`₁)) = γ₁⁰(`₁) e i(γ⁰₂(0)) = γ⁰₂(0), como pode ser observado pela figura 5. Definimos a curva em M como:

c =exp_p◦i◦ exp⁻_p¹(_γ3),

que liga os extremos γ2(`₂) e γ₁(0). Assim, como a dobradiça (γ₁,γ2,α3) é pequena podemos aplicar oCorolário do teorema de comparação de Rauch(ver apêndice), obtendo o desejado:

L[c]6L[_γ3] Portanto, (B) é satisfeito para dobradiças pequenas.

Figura 5: Isometriai.

Fonte: Autora.

Para provar que (A) satisfaz para triângulos pequenos, fixe o vértice γ2(0) em um triân- gulo pequeno(γ1,γ2,γ3). Assim, pela parte 3 existe um triângulo(γ₁,γ₂,γ₃)emM^H−ε com L[γi] = L[γ_i] e α3 6 α3. Além disso, pela parte 2 sabemos que os triângulos em M^H−ε estão determinados pelos comprimentos de seus lados. Assim, tomando qualquer outro vértice e aplicando o procedimento anterior, obtemos o mesmo triângulo. Em con- sequência, existe um único triângulo emM^H−εcomL[γ_i] = L[γ_i]eα_i 6α_i, ou seja,(A) satisfaz para triângulos pequenos.

Para dar continuidade vamos definir o conceito de dobradiça fina com ângulo reto.

Seja γ₁,γ₂, ^π₂

uma dobradiça em M e γ₁,γ₂,^π₂

uma dobradiça em M^H−ε com L[_γi] = L[_γi]. Considere γ₃ uma geodésica minimizante ligando os extremosγ₁(0) e γ₂(`₂), definida por:

γ₃(t) = exp_γ

2(t) f(t)E(t),

em que E é um campo vetorial unitário paralelo ao longo de γ₂ e perpendicular a γ⁰₂ e f : [_0,`<sub>2</sub>] →<sub>R</sub>é uma função apropriada. SejaE um campo vetorial unitário paralelo ao longo deγ2e perpendicular aγ<sup>0</sup><sub>2</sub>tal queE(0) = −γ<sup>0</sup><sub>1</sub>(`₁).

Figura 6: Dobradiça fina com ângulo reto.

Fonte: Autora.

Assim, dizemos que γ₁,γ₂,^π₂

é umadobradiça fina com ângulo retose na hipótese doCorolário do teorema de Berger(ver apêndice) se aplica as curvasexp_γ

2(t)(f(t)E(t))

Parte 5.(B) satisfaz para dobradiças finas com ângulo reto.

Demonstração. É consequência direta do Corolário do teorema de Berger que pode ser encontrado no apêndice.

Ademais, considere a seguinte definição:

Seja (γ₁,γ2,α) uma dobradiça em M com α > ^π₂ e (γ₁,γ₂,α) a dobradiça corres- pondente em M^H−ε com L[γ_i] = L[γ_i]. Considere γ₃ a geodésica minimizante ligando os extremosγ₂(`<sub>2</sub>) aγ<sub>1</sub>(0) eσ : [0,`] → M^H−ε o segmento geodésico, como pode ser observado na figura7, que parte deγ₂(₀)e satisfaz:

–

σ⁰(0),γ⁰₂(0)=0;

– σ⁰(0) = −_δγ⁰₁(`₁) +_βγ⁰₂(0), comδ,β>0;

– σ(`)é o primeiro ponto deσque tocaγ₃.

Figura 7: Interpretação da definição de dobradiça fina com ângulo obtuso.

Fonte: Autora.

Além disso, seja σ : [0,`] → M o segmento geodésico, como pode ser observado na figura8, que parte deγ2(0)tal que:

– hσ⁰(0),γ⁰₂(0)i =0;

– σ⁰(₀) = −_δγ1⁰(`₁) +_βγ⁰₂(₀); – L[σ] = L[σ].

Figura 8: Dobradiça fina com ângulo obtuso.

Fonte: Autora.

Dizemos que(γ₁,γ2,α)é umadobradiça fina com ângulo obtuso se γ₁,σ,α−^π₂ é uma dobradiça pequena e se σ,γ₂,^π₂

é uma dobradiça fina com ângulo reto.

Parte 6.(B) é satisfeito para dobradiças finas com ângulo obtuso.

Demonstração.Pela desigualdade triangular em Mtem-se:

dg(γ1(0),γ2(`<sub>2</sub>))6dg(γ1(0),σ(`)) +dg(σ(`),γ2(`₂)).

Por definição sabemos que(γ1,σ,α− ^π₂) é uma dobradiça pequena e pela Parte 4 (B) é satisfeito para dobradiças pequenas, então temos que:

dg(γ1(0),σ(`))6dH−ε(γ<sub>1</sub>(0),σ(`)). (2) Além disso, por definição sabemos que(σ,γ2, ^π₂)é uma dobradiça reta fina e pela Parte 5 (B) é satisfeito para dobradiças finas com ângulo reto, então temos que:

dg(σ(`),γ2(`₂))6dH−ε(σ(`),γ<sub>2</sub>(`₂)). (3)

Somando as desigualdades2e3, comodg(γ1(0),σ(`)) +dg(σ(`),γ2(`<sub>2</sub>)) =dg(γ1(0),γ2(`₂)), temos que:

dg(γ1(0),γ2(`<sub>2</sub>))6dH−ε(γ<sub>1</sub>(0),σ(`)) +dH−ε(σ(`),γ<sub>2</sub>(`₂))

=dH−ε(γ₁(0),γ₂(`₂)).

Prosseguindo vamos definir o conceito de dobradiça fina com ângulo agudo para de- monstrar a parte 7.

Sejam(γ₁,γ₂,α)uma dobradiça comα < ^π₂ eγ₂(`)o ponto mais próximo deγ₁(0) e defina:

τ =_γ2

[0,`] , θ =<sub>γ2</sub> [`,`₂]

eσ : [0,k] → Muma geodésica minimizante deγ1(0)eγ2(`). Dizemos que (<sub>γ1</sub>,γ2,α) é uma dobradiça fina com ângulo agudo se (<sub>γ1,τ,σ</sub>) é um triângulo pequeno tal que 0< ` < `₂e(σ,θ, ^π₂)é uma dobradiça fina com ângulo reto.

Figura 9: Dobradiça fina com ângulo agudo.

Fonte: Autora.

Parte 7.(B) é satisfeito para dobradiças finas com ângulo agudo.

Demonstração. Pela Parte 4, sabemos que (A) é satisfeito para triângulos pequenos.

Com isso existe um triângulo (γ₁,τ,σ) em M^H−ε com L[γ₁] = L[γ₁], L[τ] = L[τ], L[_σ] = L[_σ]e^ −_γ1⁰(`<sub>1</sub>),τ<sup>0</sup>(0) = <sub>α</sub> 6α. Além disso,^ −<sub>τ</sub><sup>0</sup>(`),σ⁰(k) =_α1 6 ^π₂^. Assim, sejaθ : [`,`₂] → M^H−ε uma geodésica definida porθ(`) = τ(`), θ⁰(`) =τ<sup>0</sup>(`) eγ₂=τ∪θ.

Então:

^−_σ⁰(k)_,θ⁰(`) =_π−_α1 > ^π 2. Como σ,θ, ^π₂

é uma dobradiça reta fina e por meio da parte 5, sabemos que (B) é satis- feito para dobradiças finas com ângulo reto, então temos que:

dH−ε σ(0),θ(`<sub>2</sub>)>dg(σ(0),θ(`₂)). (4)

Masσ(0) =γ₁(0), σ(0) =γ1(0),θ(`<sub>2</sub>) =γ<sub>2</sub>(`₂)eθ(`<sub>2</sub>) = γ2(`₂). Além disso, como

^(−γ₁(`₁),γ₁(0)) = α6αentão pela Parte 1 podemos aumentar o ânguloαaα. Assim, temos que:

d_H−ε(γ₁(0),γ₂(`<sub>2</sub>)) >dg(γ<sub>1</sub>(0),γ<sub>2</sub>(`₂)).

Agora provaremos o teorema de maneira mais geral. Seja T = (γ1,γ2,γ3) um tri- ângulo geodésico, dizemos queT éfinose(γ1,γ2,α3)e(γ3,γ2,α1)são dobradiças finas.

Com isso, considere uma dobradiça (γ₁,γ2,α) como em (B). Seja N ∈ _N fixo e defina:

τk,` =_γ2^"

k`₂ N ^,

(k+`)`₂ N

#,

em queke`são inteiros positivos com0 6k,` 6N. Além disso, sejaσkuma geodésica minimizante ligando os pontosγ1(0)eγ2

_k`

2

N

. DefinaT_k,`um triângulo da formaT<sub>k,</sub>` = (_{σk,τk,`,σk+`})como pode ser observado pela figura10.

Figura 10: Partição em triângulos finos.

Fonte: Autora.

Vamos mostrar que(σ_k,τ_k,`,σ<sub>k</sub>+`)é de fato um triângulo, ou seja, todas as desigualda-

A desigualdadeL[γ1] +L[σN]>L[γ2]é satisfeita, pois caso contrário teríamos que:

L[γ1] +L[σN] <L[γ2]6 √^π

H < √ ^π

H−ε. (5)

As duas últimas desigualdades se cumprem se H > 0 usando o teorema de Bonnet- Myers(ver apêndice) e são necessárias somente neste caso. Em qualquer caso a desigual- dade5 implicaria por sua vez que podemos construir com geodésicas minimizantes uma dobradiça (γ₁,γ₂,α) em M^H−ε com L[γ₁] = L[γ₁] e L[γ2] = L[γ₂], e usando a desi- gualdade triangular temos:

dH−ε(γ₁(0),γ₂(`₂))>L[γ₂]−L[γ₁].

Ou seja, dH−ε(γ₁(0),γ₂(`<sub>2</sub>)) > L[γ<sub>2</sub>]−L[γ<sub>1</sub>] = L[γ2]−L[γ<sub>1</sub>] > L[σN] = dg(γ<sub>1</sub>(0),γ2(`₂))e teríamos (B).

A desigualdade L[_τ0,k] +L[_σk] > L[_γ1] (5) se cumpre porque usando a desigualdade triangular e o fato de queσk eγ1são minimizantes,

L[τ_0,k] +L[σ_k]>dg

γ2(0),γ2

k`₂ N

+L[σ_k] >L[γ1].

E L[τ_k+`,N−k−`] +L[σ_k+`] > L[σN](6) segue de σ_k+1 eσN são minimizantes e pela desigualdade triangular,

L[τ_k+`,N−k−`] +L[σ_k+`]>dg

γ₂

(k+`)`₂ N

,γ₂(`₂)

+L[σ_k+`]>L[σ_N].

Então, somando as desigualdades 5 e 6, e pela desigualdade triangular, temos:

L[τ_0,k] +L[σ_k] +L[τ_k+`,N−k−`] +L[σ_k+`]>L[γ1] +L[σN]

> L[γ2]

=L[_τ0,k] +L[_{τk,`</sub>] +L[<sub>τk+`,N−k−`}] Assim, temos que:

L[_τ0,k] +L[_σk] +

((((((((

L[_{τk+`,N−k−`}] +L[_σk+`] >

L[_τ0,k] +L[_τk,`] +

((((((((

L[_{τk+`,N−k−`}]_. Portanto, L[_σk] +L[_{σk+`</sub>] >L[<sub>τk,`}], ou seja,T_k,`é um triângulo. Assim, por compaci- dade temos que para todo`fixado e Nsuficientemente grande,T_k,`é fino para todok.

Parte 8. Se (A) é verdade para T_k,` com ` fixo para todo k, então (B) é verdade para T_k,`+1com`fixo e para todok.

Demonstração.Suponha que (A) é verdade, então existe um triânguloT_k,` = (<sub>σk</sub>,τk,`,σk+`) emM^H−εtal que:

L[σ_k] = L[σ_k],L[τ_k,`] = L[τ<sub>k,</sub>`],L[σ_k+`] = L[σ<sub>k</sub>+`] e

α_k 6α_k, β<sub>k+`</sub> 6β<sub>k</sub>+`

no qualα_k =^σ_k⁰,τ_k,⁰_`

eβ_k+` =^σ<sub>k</sub><sup>0</sup><sub>+`</sub>,−τ_k,⁰_`

.

.

Figura 11: Interpretação geométrica da parte 8.

Fonte: Autora.

Observe que β_k+`+α<sub>k</sub>+` = π. Agora se extende τ_k,` agregando um segmento τ<sub>k</sub>+`,1

de comprimento L[<sub>τk+`,1</sub>]. Dessa forma, vamos utilizar um argumento análogo a parte 7, uma vez que nas partes 5, 6 e 7 foi provado que (B) é satisfeito para dobradiças finas: reta, obtusa e aguda, respectivamente. Assim, como(σk+`,τk+`,1,αk+`)é uma dobradiça fina

por definição, então temos que:

dH−ε

σ_k(0),τ_k,`+1

(k+`+1)`₂ N

>dg

σ_k(0),τ_k,`+1

(k+`+1)`₂ N

com a dobradiça(σ_k,τ_k,`+1,α_k).

Portanto, (B) e (A) são satisfeitos em M^H−ε, pois (B) é satisfeito por indução, a base de indução se tem conforme descrito antes do parte 8 e o passo indutivo pela parte 8. Por fim, (A) é cumprida pelas Partes 3 e 4. Como temos (B) paraM^H−ε, sabe-se que para todo ε>0suficientemente pequeno,

dH−ε(γ^ε₁(₀)_,γ^ε₂(`<sub>2</sub>))>dg(γ1(<sub>0</sub>)<sub>,γ2</sub>(`₂))

ondeγ^ε₁,γ^ε₂ ⊂ M^H−ε formam um ângulo α3. A funçãod_H−ε é contínua em relação aε, então fazendoε→₀, temos:

d_H(_γ1(0),γ₂(`<sub>2</sub>))>dg(<sub>γ1</sub>(0),γ2(`₂))

De modo análogo, pela Partes 3 e 2 (A) é satisfeito. Dessa forma, completa-se a prova do teorema de Toponogov.

4 Apêndice

Os resultados apresentados a seguir podem ser encontrados em [2], [3] e [1].

Teorema de Hadamard. Seja M uma variedade Riemanniana completa, simplesmente conexa, com curvatura seccionalK(p,σ) 60, para todo p ∈ Me todoσ ∈ TpM. Então Mé difeomorfa aRⁿ,n =dimM, mais precisamente,exp : TpM→ Mé um difeomor- fismo.

Teorema de Rauch. Sejam Mⁿ e M^n+k duas variedades Riemannianas com k > 0 e γ : [_0,a]→ _Meγ : [_0,a] → _Mgeodésicas unitárias. E sejam Je Jcampos de Jacobi ao longo deγeγ, respectivamente, tais que:

J(₀) = J(₀) =_0,

g(DtJ(0),γ⁰(0)) = g(DtJ(0),γ⁰(0)),

|DtJ(0)|_g =|DtJ(0)|_g.

Suponha que γ não contém pontos conjugados em (0,a] e que, para todo t, para todo x ∈ T_γ(_t)Mex ∈ T_γ(_t)M, temos:

K(x,γ⁰(t))>K(x,γ⁰(t)),

ondeK(x,y)denota a curvatura seccional com respeito ao plano gerado porxey. Então

|J|_g6|J|_g.

Ademais, se para algumt0 ∈ (0,a], temos que|J(t0)| =|J(t0)|, então K(J(t),γ⁰(t)) =K(J(t),γ⁰(t)), ∀t ∈[0,t0].

Corolário do Teorema do Rauch. Sejam Mⁿ e Mⁿ variedades Riemannianas. Suponha que para todop ∈ M, p ∈ M, σ⊂ TpM, σ ⊂T_pM, temos queK_p(_σ) >Kp(_σ).

Sejam p ∈ M, p ∈ M e fixe uma isometria linear i : TpM → T_pM. Seja r > ₀ tal que as restrições exp_p

Br(0) seja um difeomorfismo e exp_p

Br(0) uma aplicação não- singular. Seja c : [0,a] → exp_p(Br(0)) ⊂ Muma curva diferenciável e defina a curva c : [0,a]→exp_p(Br(0))⊂ Mcomo:

c(_s) =_expp◦ _i◦_exp⁻_p¹(_c(_s))_{, s}∈ [_0,a]_. EntãoL[c]6L[c].

Para enunciar o segundo teorema convém introduzir as seguintes noções:

Definição. SejaSuma subvariedade da variedade Riemanniana M. Dizemos queq é um ponto focal de S se é valor crítico de exp_p

NpS para algum p ∈ S, onde NpS denota o complemento ortogonal deTpSemTpM.

Definição. Seja Muma variedade Riemanniana. Sejam p ∈ Me x ∈ TpMfixos. Consi- dere o conjunto:

⊥

Como exp_p : TpM → Mé um difeomorfismo local ao redor de0, existe uma vizinhança Udo zero emx^⊥tal que exp_p

U é um mergulho. A subvariedadeN =exp_p(U)se chama subvariedade geodésica definida porx.

Teorema de Berger. Sejam Mⁿ e M^n+k duas variedades Riemannianas, tais quek > 0.

Além disso, considereγ: [0,a] →Meγ : [0,a] → Mgeodésicas unitárias. Suponha que para todot, x ∈ T_γ(t)Mex → T_γ(t)M, temos queK(x,γ⁰(t)) >K(x,γ⁰(t)). Ademais, suponha que para nenhumt ∈(_0,a]o pontoγ(_t)é ponto focal da subvariedade geodésica S definida porγ⁰(0). Sejam J e J campos de Jacobi ao longo deγ eγ, respectivamente, tal que|J(0)|_g =|J(0)|_g, g(J(0),γ⁰(0)) = g(J(0),γ⁰(0)) e |DtJ(0)|_g =|DtJ(0)|_g. Então|J(t)|_g>|J(t)|_g.

Corolário do Teorema de Berger. SejamMⁿ eM^n+kduas variedades Riemannianas tais quek > ₀. Sejamγ : [_0,a] → _Me γ : [_0,a] → _M geodésicas unitárias eE,E campos vetoriais unitários paralelos ao longo deγeγ, tais que são perpendiculares sempre aγ⁰ e γ⁰, respectivamente. Além disso, defina a curva diferenciávelc: [0,a] → Mpor:

c(t) = exp_γ(t)(f(t)E(t)),

em que f : [_0,a] → _Ré uma função diferenciável. Além disso, defina a curva diferenciá- velc :[0,a] → _Mpor:

c(t) = exp_γ(t)(f(t)E(t)).

Suponha queK>Ke que para cadata geodésicaη :[0,a] → Mdefinida por:

η(s) = exp_γ(t)(t)(s f(t)E(t)),

não contém pontos focais da subvariedade geodésica definida porη⁰(₀). Então:

L[c]>L[c].

Teorema de Bonnet-Myers. Seja Mⁿ uma variedade Riemanniana completa. Suponha- mos que a curvatura de Ricci deMsatisfaz

Ricp(v) > ¹ r² >0

para todo p∈ Me todov∈ Tp(M),|v| =₁. EntãoMé compacta e o diam(M) 6πr.

Referências

[1] EBIN, D. G; CHEEGER J.Comparison Theorems in Riemannian Geometry. Ams Chelsea Publishing American Mathematical Society Rhode Island.

[2] GORODSKI, C. Notas de aulas. Universdade de São Paulo, Câmpus São Paulo.

Disponível em: <https://www.ime.usp.br/gorodski/teaching/mat5771-2021/riem- geom-gorodski-2016.pdf>. Acesso em: 04 de maio. de 2021.

[3] MANFREDO, do C.,Riemannian Geometry. Mathematics: Theory & Applications, Birkäuser.

[4] MEYER, W. Toponogovs Theorem and Application. Disponível em:

<https://www2.math.upenn.edu/ wziller/math660/TopogonovTheorem-Myer.pdf>.

Acesso em: 04 de maio. de 2021.

[5] TOPONOGOV, V. A., Biography. Disponível em:<

http://math.haifa.ac.il/ROVENSKI/toponogove.htm>. Acesso em: 29, maio de 2021.