Curso de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado
Variedades Inst´
aveis e Centrais
Kleyber Mota da Cunha
Orientador: Prof. Dr. Vilton Pinheiro
Salvador-Bahia
Variedades Inst´
aveis e Centrais
Kleyber Mota da Cunha
Disserta¸c˜ao apresentada ao
co-legiado do curso de
P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da
Universidade Federal da Bahia,
como requisito parcial para
ob-ten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em
Matem´atica.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Vilton Pinheiro (Orientador)
Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves
Orientador: Dr. Vilton Pinheiro (UFBA).
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-graduac˜ao em
Ma-tem´atica da UFBA, ?? p´aginas.
Resumo
Neste trabalho, mostraremos que dada uma aplica¸c˜ao Lipschitz f : D ⊂ E → E, onde E ´e espa¸co de Banach, bem pr´oxima, na topologia Cr, de uma automorfismo linear
hiperb´olico, T :E → E, a variedade inst´avel de f ´e bem pr´oxima da variedade inst´avel de
T.
´
E mostrado tamb´em que a variedade inst´avel de f possui algumas propriedades
em comum com a variedade inst´avel de T, como ser f-invariante, e ser constitu´ıda dos
pontos cujo os iterados para tr´as tende ao ponto fixo de f, neste conjunto. Em particular,
mostraremos tamb´em que a variedade inst´avel def ´e lipschitz e t˜ao diferenci´avel quanto f.
Em seguida estenderemos este resultado para um caso mais geral, que ´e a variedade
central.
In this work, we will show that given an Lipschitz map f :D ⊂ E → E, where E
is a Banach space, well close, in the Cr topology, of a hyperbolic automorphism linear map,
T :E →E, the unstable manifold of f it is very close of the unstable manifold of T.
It is also shown that the unstable manifold of f has some properties in common
with the unstable manifold ofT, how to be f-invariante, and to be constituted of the points
whose backwards iterates tends to the fixed point off, in this set. In particular we will also
show that the unstable variety of f is lipschitz and so differentiable as f.
Soon after we will extend this result for a more general case, that it is the central
manifold.
Sum´
ario
Resumo iv
Abstract v
Introdu¸c˜ao 1
1 Preliminares 3
2 Variedade Inst´avel 8
3 O caso f diferenci´avel 22
4 Variedades Centrais 34
4.1 A n˜ao unicidade da Variedade Central . . . 41
Referˆencias 53
Dada uma aplica¸c˜aof :E →E,ondeEespa¸co de Banach, n´os definimos o conjunto inst´avel de um ponto p ∈ E, em rela¸c˜ao a f, sendo o conjunto dos pontos q ∈ E que s˜ao assint´oticos apno passado. Sob certas condi¸c˜oes, n´os mostraremos que esse conjunto possui
certas propriedades interessantes.
Esta disserta¸c˜ao est´a estruturada em quatro cap´ıtulos.
No primeiro cap´ıtulo, apresentamos algumas defini¸c˜oes e alguns resultados de An´alise,
que ser˜ao utilizados no decorrer da disserta¸c˜ao. Omitiremos algumas demonstra¸c˜oes por se
tratarem de resultados conhecidos.
No segundo e terceiro cap´ıtulo, n´os provamos, respectivamente, o Teorema da
Va-riedade Inst´avel na vers˜ao lipschitz, bem como sua vers˜ao diferenci´avel. Este teorema ´e
mais geral que o teorema de Grobman-Hartman, pois este nos diz que se uma aplica¸c˜ao
f : Rn → Rn ´e bem pr´oxima de uma aplica¸c˜ao linear hiperb´olica A : Rn → Rn, ent˜ao f
´e localmente topologicamente conjugada a aplica¸c˜ao A. Este teorema mostra ainda que a
variedade inst´avel(est´avel) def ´e um disco topol´ogico tangente a variedade inst´avel(est´avel)
deAna origem. Mas, o mesmo, n˜ao mostra que a variedade inst´avel(est´avel) ´e diferenci´avel.
O Teorema da Variedade Inst´avel(Est´avel) prova que a variedade inst´avel(est´avel)
´e uma variedade mergulhada Ck que pode ser representada por um gr´afico.
Para provar este teorema, existem basicamente dois tipos de provas: o m´etodo da
transforma¸c˜ao do gr´afico de Hadamard(1901) e o m´etodo da varia¸c˜ao de parˆametros de
Perron(1929). N´os seguiremos, na prova do teorema, a id´eia de Hadamard.
Em seguida, no quarto cap´ıtulo, n´os provamos o Teorema da Variedade Central, que
Introdu¸c˜ao 2
´e uma modifica¸c˜ao do Teorema da Variedade Inst´avel, visto que, neste teorema a aplica¸c˜ao
linear possui autovalores sobre o c´ırculo unit´ario. A vers˜ao diferenci´avel tamb´em ´e provada.
Ainda neste cap´ıtulo, mostraremos atrav´es de um exemplo simples, que ao contr´ario
da variedade inst´avel(est´avel), a variedade central n˜ao ´e ´unica.
No apˆendice mostramos o Teorema da se¸c˜ao Cr, no qual diz que existe uma ´unica
se¸c˜ao invariante diferenci´avel para uma determinada aplica¸c˜ao que tem contra¸c˜ao nas fibras.
Preliminares
Neste cap´ıtulo, apresentaremos algumas defini¸c˜oes, proposi¸c˜oes, bem como alguns
teoremas que ser˜ao de grande utilidade para o desenvolvimento deste trabalho.
1.1 Definic¸˜ao. Seja E e F espa¸cos de Banach. Dizemos que uma aplica¸c˜ao f : E → F ´e Lipschitziana se existe k > 0 tal que, para quaisquer x, y ∈ E, tem-se k f(x)−f(y) k≤ k k x−y k. O menor valor de k para que a desigualdade anterior seja v´alida ´e chamada constante de Lipschitz, e denotada por Lip(f). Quando Lip(f)<1, f ´e dita uma contra¸c˜ao.
1.2 Observa¸c˜ao. A continuidade de uma aplica¸c˜ao pode ser definida da seguinte maneira:
Uma aplica¸c˜aof :U ⊂E →F ´e cont´ınua em p∈U se dado ε >0, existe δ >0 tal que
f(Bδ(p))⊂Bε(f(p)).
1.3 Observa¸c˜ao. Note que toda aplica¸c˜ao Lipschitziana ´e cont´ınua, pois dado ε > 0, basta
tomarδ = ε
k. Ent˜ao kx−yk< δ ⇒kf(x)−f(y)k≤k kx−yk< k· ε k =ε.
1.4 Teorema. Seja f :E → F uma aplica¸c˜ao, onde E e F s˜ao espa¸cos vetorias sobre um corpoF. Se o graf(f) for um subespa¸co vetorial de E×F ent˜ao f ´e linear.
Prova: Seja (x1, y1),(x2, y2) ∈ graf(f) e λ ∈ F, ou seja, y1 = f(x1) e y2 =
f(x2). Como graf(f) ´e subespa¸co linear, temos que (x1, y1) +λ(x2, y2)∈ graf(f), ou seja,
∃(x3, y3)∈graf(f),tal que y3 =f(x3) e (x1, y1) +λ(x2, y2) = (x3, y3). Assimx3 =x1+λx2
ey3 =y1+λy2. Logo
y3 =f(x3) = f(x1+λx2) =y1+λy2 =f(x1) +λf(x2).
Preliminares 4
¥
1.5Observa¸c˜ao. A rec´ıproca deste Teorema n˜ao ´e verdadeira. Basta considerarmos o seguinte
contra-exemplo:
f : R2 −→ R2 v 7→ |v|2·v.
Vemos que f leva subespa¸cos lineares do R2 em subespa¸cos lineares do R2, mas f n˜ao ´e
linear.
1.6 Definic¸˜ao (Ponto Fixo). Seja M um conjunto. Um ponto fixo de uma aplica¸c˜ao f :M →M ´e um elemento x∈M satisfazendo f(x) =x.
1.7 Teorema (Ponto Fixo de Banach).SejaF um subconjunto fechado do espa¸co m´etrico
completo (X, d). Se a aplica¸c˜ao f :F →F ´e uma contra¸c˜ao ent˜ao f possui um, e somente um, ponto fixo.
Prova: Ver em [6].
1.8 Teorema (Pertuba¸c˜ao da Identidade). Seja ϕ : U ⊂ F → F contra¸c˜ao, U ⊂ F aberto, F espa¸co de Banach. A aplica¸c˜ao f : U → F dada por f(x) = x+ϕ(x) ´e um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto f(U) ⊂ F. Al´em disso, se U = F, tˆem se f(U) =F
Prova: Ver em [5].
1.9 Lema. Sejam F um espa¸co de Banach, X um espa¸co m´etrico e f, g duas fun¸c˜oes
cont´ınuas de X em F. Suponha que f seja injetiva e f−1 seja Lipschitz. Se g satisfaz
a condi¸c˜aoLip(f−g)<[Lip(f−1)]−1, ent˜ao g tamb´em ´e injetiva e
Lip(g−1) ≤ {[Lip(f−1)]−1−Lip(f −g)}−1
= Lip(f
−1)
1−Lip(g−f)Lip(f−1)
Prova: Comof ´e injetiva ef−1´e Lipschitz, obtemos parax=f−1(z) ey=f−1(w):
kf−1(z)−f−1(w)k ≤ Lip(f−1)d(z, w) =⇒
kf−1(z)−f−1(w)k−1 ≥ Lip(f−1)−1d(z, w)−1 =⇒
d(x, y)−1 ≥ Lip(f−1)−1 kf(x)−f(y)k−1=⇒
kg(x)−g(y)k = kg(x)−g(y) +f(x)−f(x) +f(y)−f(y)k
≥ kf(x)−f(y)k − k(g−f)(x)−(g−f)(y)k e por (1.1)
≥ [Lip(f−1)]−1d(x, y)−Lip(f −g)d(x, y) = {[Lip(f−1)]−1−Lip(f −g)}d(x, y)
A ´ultima desigualdade nos d´a que g ´e injetiva, pois se g(x) = g(y) ⇒k g(x)−g(y) k= 0 e usando o fato de que [Lip(f−1)]−1−Lip(f−g)>0, por hip´otese, temosd(x, y) = 0⇒x=y.
Agora, sendo x=g−1(z) e g =f−1(w), obtemos novamente da ´ultima desigualdade
d(z, w) ≥ {[Lip(f−1)]−1−Lip(f −g)} kg−1(z)−g−1(w)k⇒
d(z, w)−1 ≤ {[Lip(f−1)]−1−Lip(f −g)}−1 kg−1(z)−g−1(w)k−1⇒
kg−1(z)−g−1(w)k ≤ {[Lip(f−1)]−1−Lip(f −g)}−1d(z, w). (1.2)
Assim de (1.2), obtemos o resultado.
¥
1.10 Teorema. Seja f um homeomorfismo de um subconjunto aberto U de um espa¸co de
Banach E sobre um aberto V de um espa¸co de Banach F, cuja a inversa ´e Lipschitz. Seja
h uma aplica¸c˜ao cont´ınua, Lipschitz de U em F satisfazendo Lip(h)Lip(f−1) < 1. Seja
g = f +h. Ent˜ao g ´e um homeomorfismo de U sobre um subconjunto aberto de F, com
inversa Lipschitz.
Prova: Sejaϕ =g◦f−1 = (f+h)◦f−1 =id+hf−1. Comoh e f−1 s˜ao Lipschitz
temos quehf−1 ´e Lipschitz e
λ = Lip(hf−1)≤Lip(h)Lip(f−1)<1
Assim hf−1 ´e uma contra¸c˜ao. Logo pelo Teorema 1.8 (note que ϕ : f(U) ⊂ F → F)
temos que ϕ ´e um homeomorfismo de f(U) sobre o conjunto aberto ϕ(f(U)). Obtemos
assim queg ´e um homeomorfismo deU sobreg(U), pois composta de homeomorfismos ´e um
homeomorfismo, e
Preliminares 6
Resta agora mostrarmos queg−1 ´e Lipschitz. Para isto basta observamos que
kϕ(x)−ϕ(y)k = kx+hf−1(x)−y−hf−1(y)k
≥ kx−yk − khf−1(x)−hf−1(y)k
≥ kx−yk −λkx−yk
= (1−λ)kx−yk
Da ´ultima desigualdade temos que ϕ ´e injetiva. Logo fazendo ϕ(x) =w eϕ(y) =z
temos:
1
kw−z k ≤
1 1−λ ·
1
kϕ−1(w)−ϕ−1(z)k =⇒
kϕ−1(w)−ϕ−1(z)k ≤ 1
1−λ kw−z k =⇒ϕ
−1 ´e Lipschitz.
Mas ϕ−1 = f ◦g−1 ⇒ g−1 = f−1 ◦ϕ−1. Como ϕ−1 e f−1 s˜ao Lipschitz, temos que g−1 ´e
Lipschitz.
¥
1.11 Proposi¸c˜ao. Seja U um subconjunto aberto de um espa¸co de BanachE e g um
home-omorfismo deU sobre um subconjunto aberto de um espa¸co de BanachF. Se g−1 ´e Lipschitz
com Lip(g−1)< λ, ent˜ao Br
λ(g(x))⊂g(Br(x)).
Prova: Como g−1 ´e Lipschitz, temos que g−1 ´e cont´ınua bastando tomar δ =
ε
Lip(g−1), pela Observa¸c˜ao 1.3. Usando agora o fato de que g
−1 ´e cont´ınua em g(x), pela
Observa¸c˜ao 1.2 temos que:
g−1(Br
λ(g(x)))⊂Br(x)⇒B r
λ(g(x))⊂g(Br(x))
Passando agora o fecho, obtemos:
Br
λ(g(x))⊂g(Br(x)).
Agora resta-nos mostrar queg(Br(x))⊂g(Br(x)). De fato, seja
y∈g(Br(x))⇒ ∃yn ∈g(Br(x)), tal que yn →y.
Agora
Usando agora o fato de que g−1 ´e cont´ınua, temos:
yn→y⇒xn =g−1(yn)→g−1(y)⇒g−1(y)∈Br(x)⇒y∈g(Br(x))⇒
g(Br(x))⊂g(Br(x))
Cap´ıtulo 2
Variedade Inst´
avel
Neste cap´ıtulo iremos provar o Teorema da Variedade Inst´avel Local para um ponto.
2.1 Definic¸˜ao. Seja T : E → E um endomorfismo linear, E um espa¸co de Banach. Dizemos que T ´e hiperb´olico se e somente se existe uma decomposi¸c˜ao em soma direta E =
E1⊕E2, onde E1 e E2 s˜ao invariantes por T e constantes c >0 e λ <1 tal que:
(1) A restri¸c˜ao T1 de T a E1 ´e uma expans˜ao, ou seja:
∀n ≤0, kTn
1 k≤cλ−n.
(2) A restri¸c˜ao T2 de T a E2 ´e uma contra¸c˜ao, ou seja:
∀n ≥0, kT2nk≤cλn.
2.2 Proposi¸c˜ao (Norma adaptada). Seja T como acima. Ent˜ao existe uma m´etrica C∞
em E e uma constante η, 0< η <1 tal que
kT |E2k < η e kT −1 |E
1k < η.
Prova: Ver em [8].
De agora em diante, denota-se por Ei(r), i= 1,2 a bola fechada de raio r e centro
na origem em Ei.
2.3 Teorema (Teorema da Variedade Inst´avel Local para um Ponto). Seja T :E → Eum automorfismo hiperb´olico de um espa¸co de BanachE com decomposi¸c˜aoE =E1⊕E2 =
E1×E2 e suponha que a norma ´e adaptada, isto ´e, n´os podemos encontrar 0< λ < 1, tal
que
kT |E2k < λ e kT −1 |E
1k < λ.
Ent˜ao existe um ε > 0, que depende somente de λ, e constante δ = δ(λ, ε, r) tal que para
toda aplica¸c˜ao Lipschitz f :E1(r)×E2(r)→E, com kf(0) k < δ e Lip(f −T)< ε, existe
uma aplica¸c˜ao g :E1(r)→E2(r) cujo o gr´afico nos d´a uma variedade inst´avel para f.
Al´em disso g e seu gr´afico tem as seguintes propriedades:
(1) g ´e Lipschitz, com Lip(g) ≤ 1. Al´em disto, a restri¸c˜ao de f−1 ao gr´afico de g ´e
contra¸c˜ao e deste modo tem um ponto fixo p sobre o gr´afico de g.
(2) O gr´afico de g ´e igual a T∞n=0fn(E
1(r), E2(r)). (Esta intersec¸c˜ao ´e o conjunto est´avel
local de p, Wu loc(p).)
(3) Se f ´e Ck ent˜ao g ´e Ck.
(4) Se f ´e C1 com f(0) = 0, Df(0) =T, ent˜ao o gr´afico de g ´e tangente a E
1 em 0.
(5) Se f(0) = 0 e f ´e invert´ıvel, o gr´afico de g consiste dos pontos em E1(r)×E2(r) cujo
os iterados para tr´as tende a 0.
(6) Se f(0) = 0, um ponto xpertence ao gr´afico deg se e somente se existe uma seq¨uencia
xn, n≥0, em E1(r)×E2(r), tendendo a 0 tal que fn(xn) =x.
N´os obtemos a variedade est´avel local trocando T por T−1, E
1 por E2.
Antes de come¸carmos a demonstrar o Teorema, iremos fixar algumas nota¸c˜oes:
Ti =T |Ei, pi = proje¸c˜ao deE sobre Ei, fi =pi◦f, i= 1,2.
N´os usaremos, por conveniˆencia, a norma box k kbox= sup(k kE1,k kE2), isto ´e,
Variedade Inst´avel 10
2.4 Observa¸c˜ao. Usando o fato de que E = E1 ⊕E2 = E1 ×E2 e essa decomposi¸c˜ao ´e
invariante por T, para x∈E1 e y∈E2, temos que:
T(x, y) = T(x⊕y) = T(x)⊕T(y) =T1(x)⊕T2(y) = (T1(x), T2(y)).
Iremos a partir de agora, estabelecer alguns resultados que utilizaremos para a
demonstra¸c˜ao do Teorema 2.3.
2.5 Definic¸˜ao (Transformac¸˜ao de Gr´afico). Suponhamos que n´os temos uma σ :
E1(r)→ E2(r) para o qual f1 ◦(id, σ) ´e injetiva e E1(r)⊂ f1◦(id, σ)(E1(r)). Definimos a
fun¸c˜aoΓf(σ) por:
Γf(σ) =f2◦(id, σ)◦[f1◦(id, σ)]−1 |E1(r) .
Isto ´e ilustrado na Figura 2.1.
E1
E2
-r r
graf(g)
f(graf(g))
x (x,g(x))
f(x,g(x))
p f(x,g(x))1
Figura 2.1: Transforma¸c˜ao de Gr´afico
Podemos notar que o gr´afico de Γf(σ) ´e a intersec¸c˜ao def(graf de σ) comE1(r)×
E2(r), por isso Γf ´e chamada Transforma¸c˜ao de Gr´afico. Note que a variedade inst´avel deT
´eE1 que ´e o ´unico gr´afico invariante sobre ΓT, assim existe uma esperan¸ca de encontrarmos
uma variedade inst´avel de f, pois f ´e bem pr´oxima de T no sentido Lip(f −T) < ε, bem como um ponto fixo de Γf.
Seja Lip1(E1(r), E2(r)) o conjunto das fun¸c˜oes Lipschitz cuja constante ´e menor ou
mostraremos que Γf ´e uma contra¸c˜ao de Lip1(E1(r), E2(r)) na m´etrica C0 e usaremos o
Teorema da Contra¸c˜ao para garantir que Γf tem um ´unico ponto fixo g.
2.6 Lema. Se σ ∈Lip1(E1(r), E2(r)) temos a seguinte estimativa:
Lip(f1◦(id, σ)−T1)≤Lip(f−T).
Prova: Note que f1◦(id, σ)−T1 =p1 ◦(f −T)◦(id, σ). De fato,
p1◦(f −T)◦(id, σ)(x) = p1◦(f −T)◦(x, σ(x))
= p1◦(f(x, σ(x))−T(x, σ(x)))
= f1(x, σ(x))−T1(x)
= [f1◦(id, σ)−T1](x)
Assim,
Lip[f1◦(id, σ)−T1] = Lip[p1◦(f−T)◦(id, σ)]
≤ Lip(p1)Lip(f −T)Lip(id, σ)
≤ Lip(f−T)
¥
2.7 Lema. Seε >0´e menor que λ1 eLip(f−T)< ε, ent˜ao para todoσ ∈Lip1(E1(r), E2(r)),
a aplica¸c˜ao f1◦(id, σ) ´e um homeomorfismo. Al´em disso, a inversa ´e uma fun¸c˜ao Lipschitz
cuja constante Lipschitz satisfaz
Lip([f1◦(id, σ)]−1)≤
1
1
λ −ε .
Prova: Pelo Lema 2.6 temos que Lip(f1◦(id, σ)−T1)≤Lip(f −T)≤ε < 1λ <
kT1−1 k−1.
Fazendo g =f1◦(id, σ) e f =T1, podemos aplicar o Teorema 1.10 onde h=g−f,
sendo assim conclu´ımos que g = f1 ◦(id, σ) ´e um homeomorfismo. Agora pelo Lema 1.9,
pois Lip(f−g)<[Lip(T−1
1 )]−1 = 1λ, obtemos:
Lip[f1◦(id, σ)]−1) ≤
1 1
Lip(f−1)−Lip(f−g)
≤ 1
kT1−1 k−1 −Lip(f
1◦(id, σ)−T1)
≤ 1
1
Variedade Inst´avel 12
¥
2.8 Lema. Seja 0< 2ε < 1λ −1. Suponha que Lip(f −T)< ε e k f(0) k< r(λ1 −1−2ε), ent˜ao para todoσ ∈Lip1(E1(r), E2(r)), E1(r)⊂f1◦(id, σ)(E1(r))
Prova: Pelo Lema 2.7 temos que Lip([f1◦(id, σ)]−1)≤
1
1
λ −ε
.
Fazendo agora g =f1 ◦(id, σ) na Proposi¸c˜ao 1.11 e usando o fato de que Br(0) =
E1(r) obtemos:
Br(1
λ−ε)(f1◦(id, σ)(0))⊂f1◦(id, σ)(E1(r))⇒
Br(1
λ−ε)(f1(0, σ(0)))⊂f1◦(id, σ)(E1(r)).
Mostraremos agora queBr(1
λ−ε)−kf1(0,σ(0))k(0)⊂Br( 1
λ−ε)(f1(0, σ(0))).
Seja x∈Br(1
λ−ε)−kf1(0,σ(0))k(0), logo
kxk< r(1
λ −ε)− kf1(0, σ(0))k⇒kxk+kf1(0, σ(0))k< r(
1
λ −ε),
mas
kx−f1(0, σ(0))k≤kxk+kf1(0, σ(0))k< r(
1
λ −ε)⇒x∈Br(1
λ−ε)(f1(0, σ(0))).
Seja ρ=r(1λ −ε)− kf1(0, σ(0)) k. Resta-nos mostrar que ρ≥r, pois assim
E1(r) =Br(0) ⊂Bρ(0) ⊂Br(1
λ−ε)(f1(0, σ(0)))⊂f1◦(id, σ)(E1(r)).
kf1(0, σ(0))k ≤ kf1(0,0)k+kf1(0, σ(0))−f1(0,0)k
≤ kf1(0,0)k+kf1(0, σ(0))−p1T(0, σ(0)) +p1T(0, σ(0))
−f1(0,0) +p1T(0,0)−p1T(0,0)k
≤ kf1(0,0)k+k(f1−p1T)(0, σ(0)) +p1T(0, σ(0))−(f1 −p1T)(0,0)
−p1T(0,0)k
≤ kf1(0,0)k+k(f1−p1T)(0, σ(0))−(f1−p1T)(0,0)k.
ekf1(0,0)k<kf(0,0)k, pois estamos utilizando a norma do sup, temos:
kf1(0, σ(0)) k ≤ kf(0,0)k+k(f −T)(0, σ(0))−(f −T)(0,0)k
≤ kf(0,0)k+Lip(f −T)k(0, σ(0))−(0,0)k ≤ kf(0,0)k+εr
≤ r(λ1 −1−2ε) +εr
= r(1
λ −1−ε)
⇒0≤r(1
λ −ε)− kf1(0, σ(0)) k
| {z }
ρ
−r⇒r≤ρ.
¥
2.9 Lema. Seja0<2ε <1−λeδ < rmin{1
λ−1−2ε,1−ε−λ}. Sef satisfazLip(f−T)< ε e k f(0) k< δ, ent˜ao para todo σ ∈ Lip1(E1(r), E2(r)) a aplica¸c˜ao Γf(σ) est´a bem definida sobre E1(r) e Γf(σ)∈Lip1(E1(r), E2(r)).
Prova: Primeiro mostraremos que Lip([f1◦(id, σ)]−1)≤
1
1
λ −ε
<1. Para isto note
que λ1 −1>1−λ, pois 1λ >1 e 0 < λ <1. Agora, por hip´otese
2ε <1−λ ⇒ε < 1−λ
2 < 1
λ −1⇒
1
λ −ε >1,
como quer´ıamos.
Agora como Γf(σ) =f2◦(id, σ)◦[f1◦(id, σ)]−1 |E1(r), temos:
Lip(Γf(σ)) ≤ Lip(f2◦(id, σ))·Lip([f1◦(id, σ)]−1)
≤ Lip(f2◦(id, σ))
≤ Lip(f2)·Lip(id, σ)
≤ Lip(f2) = Lip(T2+p2(f −T))
≤ Lip(T2) +Lip(p2(f−T))
≤ Lip(T2) +Lip((f −T))
≤ λ+ε≤1,
pois como 2ε <1−λ ⇒ε <1−λ⇒ε+λ <1.
Para mostrar que Γf(σ) ∈ Lip(E1(r), E2(r)), resta mostrar que Γf(σ)(E1(r)) ⊂
Variedade Inst´avel 14
J´a sabemos pelo Lema 2.8 que E1(r)⊂f1◦(id, σ)(E1(r))⇒[f1◦(id, σ)]−1(E1(r))⊂
E1(r), ent˜ao basta mostrar que f2 ◦(id, σ)(E1(r))⊂E2(r). Para isto seja x∈E1(r), ent˜ao:
kf2(x, σ(x))k ≤ kf2(x, σ(x))−p2T(x, σ(x)) +p2T(x, σ(x))k
≤ kf2(x, σ(x))−p2T(x, σ(x))k+kp2T(x, σ(x))k
≤ kf2(x, σ(x))−p2T(x, σ(x))k+kT2 kkσ(x)k
≤ k(f −T)(x, σ(x))k+λr
≤ k(f −T)(x, σ(x))−(f−T)(0,0)k+k(f −T)(0,0)kλr ≤ Lip(f−T)k(x, σ(x))k+kf(0)k+λr
≤ εr+δ+λr
≤ εr+r(1−ε−λ) +λr ≤ r.
Assim como f2(x, σ(x))∈E2 e kf2(x, σ(x))k< r⇒f2(x, σ(x))∈E2(r).
¥
2.10 Lema. Seja (x, y) um ponto de E1(r)×E2(r) tal que f1(x, y) esteja em E1(r). Para
todo σ∈Lip(E1(r), E2(r)) a seguinte desigualdade vale:
kf2(x, y)−Γfσ(f1(x, y))k≤(λ+ 2ε)ky−σ(x)k.
Este lema est´a ilustrado na Figura 2.2.
Prova:
kf2(x, y)−Γfσ(f1(x, y))k = kf2(x, y)−f2(x, σ(x)) +f2(x, σ(x))−Γfσ(f1(x, y))k
≤ kf2(x, σ(x))−Γfσ(f1(x, y))k+kf2(x, y)−f2(x, σ(x))k
= kΓfσ(f1(x, σ(x)))−Γfσ(f1(x, y))k
+kf2(x, y)−f2(x, σ(x))k,
pois Γf(σ) =f2◦(id, σ)◦[f1◦(id, σ)]−1 ⇒Γf(σ)◦[f1◦(id, σ)] = f2◦(id, σ)⇒Γf(σ)(f1(x, σ(x))) =
f2(x, σ(x)).
Como p2 ef s˜ao Lipschitz, temos que f2 =p2◦f tamb´em ´e Lipschitz. Logo
kf2(x, y)−Γfσ(f1(x, y))k ≤ Lip(f2)k(x, y)−(x, σ(x))k
Pelo Lema 2.9 temos que Lip(Γfσ)≤1. Observe tamb´em que
Lip(f2) = Lip(f2−p2T +p2T)
= Lip(T2) + Lip(p2(f −T))
≤ Lip(T2) + Lip(f−T)
≤ λ+ε.
Ent˜ao
kf2(x, y)−Γfσ(f1(x, y))k ≤ (λ+ε)ky−σ(x)k+kf1(x, σ(x))−f1(x, y)k
≤ (λ+ε)ky−σ(x)k+kf1(x, σ(x))−p1T(x, σ(x))
+p1T(x, σ(x)) +p1T(x, y)−p1T(x, y)−f1(x, y)k
≤ (λ+ε)ky−σ(x)k+k(f1−p1T)(x, σ(x))
−(f1 −p1T)(x, y)k+kp1T(x, σ(x))−p1T(x, y)k
≤ (λ+ε)ky−σ(x)k+Lip(f1−p1T)k(x, σ(x))−(x, y)k
+kT1(x)−T1(x)k
≤ {(λ+ε) + Lip(f−T)} ky−σ(x)k ≤ (λ+ε+ε)ky−σ(x)k
≤ (λ+ 2ε)ky−σ(x)k.
¥
x (x,y)
ä(x)
f(x,y)
f (x,y)1 f (x,1 ä(x)) (f (x,y),1 Gfäf (x,y))1
f(x,ä(x)) f (x,y)2
Figura 2.2: Lema 2.10.
2.11 Lema. Na situa¸c˜ao anteriorΓf contrai na distˆanciaC0 por um fator no m´aximoλ+2ε.
Prova: Sejaσ1, σ2 ∈Lip1(E1(r), E2(r)),z ∈E1(r) e (x, y) = ([f1◦(id, σ1)]−1(z), σ1([f1◦
Variedade Inst´avel 16
Aplicando o Lema 2.10 paraσ =σ2 em (x, y) temos:
kf2(x, y)−Γfσ2(f1(x, y))k≤(λ+ 2ε)ky−σ2(x)k.
Mas note que
Γfσ1(z) = f2◦(id, σ1)◦[f1◦(id, σ1)]−1(z)
| {z }
x
= f2◦(id, σ1)(x)
= f2(x, σ1(x)) = f2(x, y)
e que
x= [f1◦(id, σ1)]−1(z)⇒[f1◦(id, σ1)](x) = z ⇒z=f1(x, σ1(x)) = f1(x, y).
Ent˜ao
kΓfσ1−Γfσ2 k = sup
z∈E1(r)
kΓfσ1(z)−Γfσ2(z)k
≤ (λ+ 2ε) sup
z∈E1(r)
kσ1([f1◦(id, σ1)]−1(z))−σ2([f1◦(id, σ1)]−1(z))k
≤ (λ+ 2ε) sup
z∈E1(r)
kσ1(z)−σ2(z)k
= (λ+ 2ε)kσ1−σ2 k,
onde na pen´ultima desigualdade utilizamos o fato de que [f1◦(id, σ1)]−1(E1(r))⊂E1(r)⇒
sup
z∈E1(r)
kσ1([f1◦(id, σ1)]−1(z))k≤ sup
z∈E1(r)
kσ1(z)k.
¥
2.12 Proposi¸c˜ao. Se Lip(f −T)< ε < 1−λ
2 e
kf(0)k≤δ < rmin
½
1
λ −1−2ε,1−ε−λ
¾
ent˜ao a transforma¸c˜ao de gr´aficoΓf tem um ´unico ponto fixo g ∈Lip1(E1(r), E2(r)).
Prova: Pelo Lema 2.11 temos que Lip(Γf)≤λ+ 2ε < λ+ 2·
1−λ
2 = 1⇒Γf ´e uma contra¸c˜ao.
De fato, utilizando a norma da convergˆencia uniforme, seja fn∈Lip1(E1(r), E2(r)),
tal que fn →u f. Assim
kf(x)−f(y)k ≤ kf(x)−fn(x)k+kfn(x)−fn(y)k+kfn(y)−f(y)k < ε
2+kx−yk+
ε
2
< ε+kx−yk.
Fazendoε tender a zero, obtemos que
kf(x)−f(y)k≤kx−yk⇒f ∈Lip1(E1(r), E2(r)).
Assim pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema 1.7) existe um ´unico ponto fixo de
Γf em Lip1(E1(r), E2(r)). Chamemos deg este ponto fixo.
¥
Agora provaremos o resultado principal, que ´e o Teorema 2.3.
Prova: Por constru¸c˜ao sabemos que Lip(g)≤1. Para ver que f−1|
graf(g) ´e uma contra¸c˜ao, note que quando (x, g(x)) =f(y, g(y))⇒
x=f1(x, g(y)) =f1◦(id, g)(y) = p1◦f(y, g(y)) temos o seguinte:
(p1|graf(g))−1(x) = (p1|graf(g))−1(x)◦p1◦f(y, g(y)) =⇒
(p1|graf(g))−1(x) = f(y, g(y)) = (x, g(x)) =⇒
f|graf(g)◦(p1|graf(g))−1(x) = f(x, g(x)) =⇒
p1◦f|graf(g)◦(p1|graf(g))−1(x) = p1◦f(x, g(x))
Pelo Lema 2.7 temos que f1◦(id, g) ´e homeomorfismo, logo invert´ıvel, ent˜ao
(p1|graf(g))−1◦p1◦f|graf(g)◦(p1|graf(g))−1(x) = (p1|graf(g))−1◦f1(x, g(x)) =⇒
f|graf(g)◦(p1|graf(g))−1(x) = (p1|graf(g))−1◦f1(x, g(x))
Assimf|graf(g) ´e conjugado a p1◦f(x, g(x)) via (p1|graf(g))−1.
Como p1◦f(x, g(x)) ´e invert´ıvel ent˜ao f|graf(g) ´e invert´ıvel.
Usando o fato de que p1|graf(g) ´e uma isometria com respeito a norma do sup (veja
Proposi¸c˜ao 2.14) e isometria preserva a constante de Lipschitz, conclu´ımos que Lip(f−1|graf(g))<
Variedade Inst´avel 18
Assim f−1|
graf(g) : graf(g)→graf(g) ´e uma contra¸c˜ao.
Afirmamos que o graf(g) ⊂ E ´e fechado. De fato, considere a aplica¸c˜ao ϕ(x, y) =
y−g(x), que ´e cont´ınua, pois g ´e cont´ınua (g ∈ Lip1()E1(r), E2(r)). Observe agora que
graf(g) = ϕ−1(0). Comoϕ ´e cont´ınua e 0 ´e fechado conclu´ımos que graf(g) ´e fechado, j´a que
a pr´e-imagem de fechado por uma aplica¸c˜ao cont´ınua ´e fechado.
Ent˜ao temos que existe um ´unico ponto fixo, que denotamos por p, de f−1| graf(g).
Logo (1) est´a provado.
Para provar (2) considere (x′, y′)∈E
1(r)×E2(r) tal que f(x′, y′)∈E1(r)×E2(r),
para que possamos considerar os iterado de f. Pelo Lema 2.10, temos
kf2(x′, y′)−Γf(g)(f1(x′, y′))k≤(λ+ 2ε)ky′ −g(x′)k.
Comog ´e ponto fixo de Γf, temos que Γf(g) =g, logo
kf2(x′, y′)−g(f1(x′, y′))k≤(λ+ 2ε)ky′−g(x′)k. (2.1)
Repetindo-se o processo para os primeiros n iterados de f, (x′, y′), f(x′, y′), . . . , fn(x′, y′) =
(x, y), temos:
ky−g(x)k = kp2◦fn(x′, y′)−g◦p1◦fn(x′, y′)k
= kp2◦f(fn−1(x′, y′))−g◦p1◦f(fn−1(x′, y′))k
= kf2(fn−1(x′, y′))−g◦f1(fn−1(x′, y′))k
≤ (λ+ 2ε)kp2◦fn−1(x′, y′)−g◦p1◦fn−1(x′, y′)k por (2.1)
≤ (λ+ 2ε)kp2◦f(fn−2(x′, y′))−g◦p1◦f(fn−2(x′, y′))k
≤ (λ+ 2ε)kf2(fn−2(x′, y′))−g◦f1(fn−2(x′, y′))k
≤ (λ+ 2ε)2 kp
2◦fn−2(x′, y′)−g◦p1◦fn−2(x′, y′)k por (2.1)
≤ (λ+ 2ε)n ky′−g(x′)k
≤ (λ+ 2ε)n(ky′ k+kg(x′)k)
≤ (λ+ 2ε)n2r
Masε < 1−λ
2 , pelo Lema 2.9, assim
∞
\
n=0
fn(E1(r)×E2(r))⊂graf(g).
Resta-nos mostrar que graf(g)⊂
∞
\
n=0
fn(E1(r)×E2(r)). Sabemos que graf(Γf(g)) =f(graf(g))∩
(E1(r)×E2(r)). Mas como g ´e o ponto fixo de Γf, temos que
graf(g) =f(graf(g))∩(E1(r)×E2(r))⊂E1(r)×E2(r) (2.2)
Da equa¸c˜ao (2.2), obtemos que
graf(g)⊂f(graf(g))⊂E1(r)×E2(r). (2.3)
Aplicandof na equa¸c˜ao (2.3) temos que
graf(g)⊂f2(E1(r)×E2(r)).
Repetindo-se o mesmo processon vezes, temos que
graf(g)⊂fn(E1(r)×E2(r)) ∀n.
Logo graf(g)⊂T∞n=0fn(E
1(r)×E2(r)).
E assim fica demonstrado o ´ıtem (2).
Para demonstrar o ´ıtem (5), note que como f|−graf(1 g) ´e uma contra¸c˜ao e f−1(0) = 0,
ent˜ao 0 ´e o ´unico ponto fixo def|−graf(1 g). Seja (x, y)∈graf(g), ent˜ao:
kf−n(x, y)−f−n(0)
| {z }
0
k = kf−1(f−n+1(x, y))−f−1(f−n+1(0))k
≤ αkf−n+1(x, y)−f−n+1(0)k (2.4)
≤ αnkxk
≤ αnr,
ondeα = Lip(f|−graf(1 g))<1. Logo
kf−n(x, y)k≤αnr n−→→∞ 0⇒f−n(x, y)n−→→∞0.
2.13 Observa¸c˜ao. Note que como g ´e o ponto fixo de Γf, temos que graf(g) =f(graf(g))∩
(E1(r)×E2(r)). Como f ´e invert´ıvel por hip´otese, temos que f−1(graf(g))⊂graf(g). Assim
Variedade Inst´avel 20
Agora seja (x, y)∈ E1(r)×E2(r) com f−n(x, y)→0. Seja (xn, yn) =f−n(x, y), ou
sejafn(xn, yn) = (x, y). Assim x=p
1◦fn(xn, yn) e y=p2◦fn(xn, yn). Logo, por (2.1)
ky−g(x)k = kp2◦fn(xn, yn)−g(p1◦fn(xn, yn))k
≤ (λ+ 2ε)nkyn−g(xn)k
Como (xn, yn)→0, temos que xn→0 e yn →0. Usando o fato de g ser cont´ınua temos que
g(xn)→g(0) = 0. Assim
ky−g(x)kn−→→∞0⇒(x, y)∈graf(g),
e (5) est´a provado.
Agora para demonstrar (6), tomemos (x, y)∈ graf(g), logo por (5),f−n(x, y)→ 0.
Fazendo (xn, yn) =f−n(x, y), temos que, fn(xn, yn) = (x, y), e (xn, yn)→0.Por outro lado,
quando (xn, yn)∈E1(r)×E2(r), tal que (xn, yn)→0 efn(xn, yn) = (x, y),o resultado segue
diretamente por (5).
2.14 Proposi¸c˜ao. p1|Graf(g) :Graf(g)→E1 ´e uma isometria com a norma do sup.
Prova:
kp1(x, g(x))−p1(y, g(y))ksup=kx−y ksup= sup(kp1(x−y)kE1,kp2(x−y)kE2) =
sup(kx−ykE1,0) =kx−ykE1
.
Resta mostrar que k(x, g(x))−(y, g(y))ksup=kx−ykE1. Mas
k(x, g(x))−(y, g(y))ksup = k(x−y, g(x)−g(y))ksup
= sup(kp1(x−y)kE1,kp2(g(x)−g(y))kE2) = sup(kx−ykE1,kg(x)−g(y)kE2)
= kx−ykE1,
poisg ∈Lip1(E1(r), E2(r)), ou seja, kg(x)−g(y)k≤kx−yk.
Os ´ıtens (3) e (4) s˜ao conhecidos como a vers˜ao diferenci´avel do Teorema da
Varie-dade Inst´avel, pois o leitor pode notar que nestes ´ıtens estamos supondo quef´e diferenci´avel. ´
E necess´ario ent˜ao ver alguns resultados sob esta hip´otese para demonstr´a-los. E isto ´e tarefa
Cap´ıtulo 3
O caso
f
diferenci´
avel
Neste cap´ıtulo mostraremos a vers˜ao diferenci´avel do Teorema da Variedade Inst´avel.
Ou seja, mostraremos que:
(3) Se f ´eCk ent˜ao g ´eCk.
(4) Se f ´eC1 com f(0) = 0, Df(0) =T, ent˜ao o gr´afico de g ´e tangente a E
1 em 0.
A id´eia da prova ´e a seguinte: Se existe uma fun¸c˜aog ∈C1cujo gr´afico ´efinvariante,
ent˜ao a derivada def aplica o espa¸co tangente do gr´afico no espa¸co tangente do gr´afico, isto
´e:
f(x, g(x)) = (y, g(y))⇒Df(x,g(x))(T(x,g(x))graf(g)) =T(y,g(y))graf(g) =Tf(x,g(x))graf(g)
ou
Df(x,g(x))·(id, Dgx) = (id, Dgy) = (id, Dgf1(x,g(x)))⇒
Df(x,g(x))(graf(Dgx)) = graf(Dgf1(x,g(x))),
pois (id, Dgx)·v = (v, Dgx(v)) = graf(Dgx). Ver Figura 3.1.
Depois consideraremos uma nova transforma¸c˜ao de gr´afico (global e linear), em
seguida usaremos o Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema (1.7)) para encontrar uma
x g(x)
f (x,g1 (x)) f (x,g2 (x))
graf Dgx
graf Dgf1(x,g(x))
graf g
Figura 3.1: Derivada de f.
fun¸c˜aoσ :E1(r)→L1(E1, E2), onde L1(E1, E2) ´e o espa¸co das aplica¸c˜oes lineares cont´ınuas
deE1 para E2 cuja norma ´e menor ou igual a 1, que tem a seguinte propriedade:
ΓDfσ(x) = σ(f1(x, g(x))).
E finalmente mostraremos que σ ´e a derivada de g.
Aqui e no que se segue, para simplificar a nota¸c˜ao n´os escreveremos Df para
Df(x,g(x)).
3.1 Lema. Existe um ε > 0, tal que quando k S −T k< ε, a transforma¸c˜ao de gr´afico
ΓS :L1(E1, E2)→L1(E1, E2)´e bem definida. Al´em disso, ΓS ´e Lipschitz emL1(E1, E2)com
constante de Lipschitz menor ou igual aλ+ 2ε.
Prova: Primeiro note que toda aplica¸c˜ao linear ´e Lipschitz, com constante de Lips-chitz igual a sua norma, ou seja, L1(E1, E2) ⊂ Lip1(E1(r), E2(r)) ∀r. Assim escolhendo ε
igual ao do Lema 2.9, n´os temos que ΓS est´a bem definida em Lip1(E1(r), E2(r)) para todo
r, logo em L1(E1, E2).
Sabemos que graf(ΓSσ) =S(graf(σ)). Comoσ´e uma aplica¸c˜ao linear ent˜ao graf(σ)
´e um subespa¸co linear. Sendo S linear, S leva subespa¸co linear em subespa¸co linear, logo
S(graf(σ)) ´e um subespa¸co linear. Conclu´ımos ent˜ao que graf(ΓSσ) ´e subespa¸co linear.
Assim pelo Teorema 1.4 temos que ΓS ´e linear.
Finalmente, a constante de Lipschitz de ΓS ´e estimada pelo Lema 2.11.
O casof diferenci´avel 24
3.2 Lema. SejaUε uma vizinhan¸ca de T em L1(E1, E2). A aplica¸c˜aoΓ :Uε×L1(E1, E2)→
L1(E1, E2) dada porΓ(S, K) = ΓS(K)´e cont´ınua.
Prova: SejaSi =pi◦S. Sabemos que ΓS(K) =S2◦(id, K)◦[S1◦(id, K)]−1. Como
invers˜ao e composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes cont´ınuas s˜ao cont´ınuas sobre o espa¸co das aplica¸c˜oes
lineares, Γ ´e cont´ınua.
¥
Suponha agora que f ´eC1 bem pr´oxima deT, na topologia C1 em E
1(r)×E2(r),
ou seja, Lip(f −T)< ε e kDf −T k< ε para todo z ∈ E1(r)×E2(r). Seja g a aplica¸c˜ao
deE1(r) para E2(r) cujo o gr´afico ´e a variedade inst´avel de f. N´os examinaremos o gr´afico
da derivada deg, supondo que esta ´e diferenci´avel.
Seja h = f1◦(id, g) : E1(r) → E1. O dois lemas precedentes nos permite definir
uma aplica¸c˜ao cont´ınua
F :E1(r)×L1(E1, E2) → E1×L1(E1, E2)
F : (x, L) 7→ (h(x),ΓDfL).
Al´em disso, F faz o seguinte diagrama de aplica¸c˜oes cont´ınuas comutar:
E1(r)×L1(E1, E2) F //
²
²
E1×L1(E1, E2)
²
²
E1(r) h //E1,
onde as aplica¸c˜oes verticais s˜ao proje¸c˜oes, sobre o primeiro fator.
3.3 Lema. kF(x, L)−F(x, K)k≤(λ+ 2ε)kL−K k, uniformemente sobre E1(r) e, al´em
disso, E1(r)⊂h(E1(r)), Lip(h−1)<1.
Prova: kF(x, L)−F(x, K)k=k(h(x),ΓDfL)−(h(x),ΓDfK)k=
k ΓDfL −ΓDfK k≤k L −K k, pelo Lema 3.1. E pelos Lemas 2.7 e 2.8, conclu´ımos a
demonstra¸c˜ao.
Seja Γ0(E
1(r), E1(r)×L1(E1, E2)) o espa¸co das se¸c˜oes cont´ınuas do fibrado trivial
E1(r)×L1(E1, E2)→E1(r), ou seja, Γ0(E1(r), E1(r)×L1(E1, E2)) ={σ :E1(r)→E1(r)×
L1(E1, E2)\σ(x) = (x,Π2σ(x))}, com a m´etrica uniforme, ou seja para se¸c˜oesσ1 e σ2:
d(σ1, σ2) = sup
x∈E1(r)
kΠ2σ1(x)−Π2σ2(x)k,
onde Π2 ´e a proje¸c˜ao sobre o segundo fator de E1(r)×L1(E1, E2). Note que o espa¸co das
se¸c˜oes cont´ınuas ´e isom´etrico, via composi¸c˜ao com Π2, com o espa¸co completo das aplica¸c˜oes
cont´ınuas deE1(r) paraL1(E1, E2) e as imagens da se¸c˜oes correspondem aos gr´aficos. Assim
n´os definimos uma nova transforma¸c˜ao de gr´afico ΓF sendo um automorfismo ΓF : τ 7→ F ◦τ ◦h−1 de Γ0(E1(r), E1(r)×L1(E1, E2)); isto ´e, ΓFτ ´e uma se¸c˜ao cuja a imagem ´e a
intersec¸c˜ao deF(imagem τ) com E1(r)×L1(E1, E2).
3.4 Lema. ΓF tem um ´unico ponto fixo σ que satisfaz
ΓDf(Π2σ(x)) = Π2σh(x) = Π2σf1(x, g(x)).
Prova: Sejam τ1,τ2 se¸c˜oes. Logo
kΓFτ1−ΓFτ2 k = sup
z∈E1(r)
kΓFτ1(z)−ΓFτ2(z)k
= sup
z∈E1(r)
kF ◦τ1◦h−1(z)−F ◦τ2◦h−1(z)k
= sup
z∈E1(r)
kF(h−1(z),Π2τ1(h−1(z)))−F(h−1(z),Π2τ2(h−1(z))) k
≤ (λ+ 2ε) sup
z∈E1(r)
kΠ2τ1(h−1(z)−Π2τ2(h−1(z)k
≤ (λ+ 2ε)d(τ1, τ2).
Comoλ+ 2ε <1⇒ΓF ´e contra¸c˜ao.
Seja σ a se¸c˜ao que ´e o ´unico ponto fixo de ΓF. Ent˜ao
ΓFσ =σ ⇒F σh−1 =σ ⇒F σ=σh.
Assim
F σ(x) =F(x,Π2σ(x)) =σ(h(x)) = (h(x),Π2σh(x)).
MasF(x,Π2σ(x)) = (h(x),ΓDfΠ2σ(x)), pela defini¸c˜ao daF. Logo
O casof diferenci´avel 26
¥
Como um dos nossos objetivo ´e provar que o gr´afico de g ´e tangente a E1 em zero,
iremos agora definir quando duas fun¸c˜oes s˜ao tangentes em um ponto.
3.5 Definic¸˜ao. Seja Y e Z dois espa¸cos m´etricos. Suponha que h1 e h2 s˜ao duas fun¸c˜oes
de uma vizinhan¸ca de x em Y para Z, com h1(x) = h2(x). N´os dizemos que h1 e h2 s˜ao
tangentes em x se, e somente se,
Lipx(h1, h2) = lim sup
y→x
d(h1(y), h2(y))
d(x, y) = 0.
Isto ´e, a distˆancia Lipschitz h1 para h2 em x ´e 0.
1 Exemplo. Se E1 e E2 s˜ao espa¸cos vetoriais normados e L1 e L2 s˜ao duas aplica¸c˜oes
lineares cont´ınuas de E1 para E2, ent˜ao independente de x,
Lipx(L1, L2) =kL1 −L2 k.
De fato,
Lipx(L1, L2) = lim sup
y→x
kL1(y)−L2(y)k
kx−yk
= lim sup
y→x
kL1(y)−L1(x) +L2(x)−L2(y)k
kx−yk , pois L1(x) =L2(x)
= lim sup
y→x
kL1(y−x)−L2(y−x)k
ky−xk
= lim sup
y→x
k(L1−L2)(y−x)k
ky−xk
= kL1−L2 k.
2 Exemplo. Se f : U ⊂E1 →E2, onde U ⊂ E1 ´e aberto, E1 e E2 s˜ao espa¸cos de Banach
e L : E1 → E2 uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua. L ´e a derivada de f em x se, e somente se
f(x+y) e f(x) +L(y) s˜ao tangentes em y= 0, isto ´e
lim
y→0
kf(x)−f(x+y)−L(y)k
kyk = 0.
Iremos provar agora uma proposi¸c˜ao, na qual temos como conseq¨uˆencia o ´ıtem (3)
do Teorema da Variedade Inst´avel (Teorema 2.3).
3.6 Proposi¸c˜ao. Quando f ´eC1, o ponto fixo g de Γf ´eC1 com derivada Π2σ, onde σ ´e o
Prova: Observemos que
(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x))−ΓDf[Π2σ(x)](y) =
(Γfg)(h(x)+y)−g(h(x))−ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)+ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)−ΓDf[Π2σ(x)](y).
Assim
Lip0[(Γfg)(h(x) +y), g(h(x))−ΓDf[Π2σ(x)](y)] = (3.1)
lim sup
y→0
k(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x))−ΓDf[Π2σ(x)](y)k
ky−0k ≤
lim sup
y→0
k(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x))−ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)k
kyk +
lim sup
y→0
kΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)−ΓDf[Π2σ(x)](y)k
kyk =
Lip0[(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x)),ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)] +
Lip0[ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y),ΓDf[Π2σ(x)](y)] =
(I) + (II).
Primeiro iremos trabalhar com a equa¸c˜ao (II). Sejak =p1Df(id, g◦(id+x)−g(x)).
Utilizando o Lema 2.7, substituindof por Df e σ por g◦(id+x)−g(x), temos que k−1 ´e
uma contra¸c˜ao e k ´e sobrejetiva. Isto ´e poss´ıvel, poiskDf −T k< ε eg◦(id+x)−g(x)∈
Lip1(E1(r), E2(r)), visto que
kg(y+x)−g(x)−(g(w+x)−g(x))k=kg(y+x)−g(w+x)k≤ky+x−w−xk=ky−wk.
Agora, note que
k(0) =p1Df(0, g(x)−g(x)) =p1Df(0,0) = 0.
Considere w′ tal que k(w′) = y, isto ´e poss´ıvel pela sobrejetividade de k. Ent˜ao
kyk=kk(w′)−k(0)k≥[Lip(k−1)]−1 kw′−0k>kw′ k,
O casof diferenci´avel 28
Aplicando o Lema 2.11, trocando f, σ1, σ2 por Df, g◦(id+x)−g(x),Π2σ(x),
res-pectivamente, observando que k = p1Df(id, g ◦(id+x)−g(x)) = Df1(id, σ) e (x′, y′) =
(k−1(y), σ
1(k−1)(y)) = (w′, σ1(w′)), temos
kΓDf[g(id+x)−g(x)](y)−ΓDf[Π2σ(x)](y)k ≤ (λ+ 2ε)kσ1(k−1(y))−σ2(k−1(y))k
= (λ+ 2ε)kσ1(w′)−σ2(w′)k
= (λ+ 2ε)kg(w′+x)−g(x)−Π
2σ(x)(w′)k.
Usando o fato de que kw′ k<ky k, temos
kΓDf[g(id+x)−g(x)](y)−ΓDf[Π2σ(x)](y)k
ky k ≤(λ+2ε)
kg(w′+x)−g(x)−Π
2σ(x)(w′)k
kw′ k .
Assim,
(II) = Lip0[ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y),ΓDf[Π2σ(x)](y)]
= lim sup
y→0
kΓDf[g(id+x)−g(x)](y)−ΓDf[Π2σ(x)](y)k
kyk ≤ (λ+ 2ε) lim sup
w′→0
kg(w′ +x)−g(x)−Π
2σ(x)(w′)k
kw′ k = (λ+ 2ε)Lip0[g(w′+x)−g(x),Π
2σ(x)w′]
= (λ+ 2ε)Lip0[g(w′+x), g(x) + Π
2σ(x)w′],
isto ´e
(II)≤Lip0[Π2σ(x), g(x+id)−g(x)]. (3.2)
Agora iremos mostrar que (I) = 0. Para isto, seja w, tal que h(x+w) =h(x) +y,
isto ´e poss´ıvel, poish ´e homeomorfismo. Observe que
kyk=kh(x+w)−h(x)k≥[Lip(h−1)]−1 k(x+w)−xk≥kwk,
e que
(Γfg)(h(x) +y) = (Γfg)(h(x+w)) = (Γfg)(f1(x+w, g(x+w))) =f2(x+w, g(x+w)),
Pela escolha de w′, temos
ΓDf[g(x+id)−g(x)](y) = p2Df(id, g(x+id)−g(x))◦[p1Df(id, g(x+id)−g(x))]−1(y)
= p2Df(id, g(x+id)−g(x))◦k−1(y)
= p2Df(id, g(x+id)−g(x))(w′)
Deste modo, n´os podemos expressar
(III) = k(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x))−ΓDf[g(id+x)−g(x)](y)k
= kp2◦f(x+w, g(x+w))−p2◦f(x, g(x))−p2Df(w′, g(x+w′)−g(x))k
= kp2◦Df(w, g(x+w)−g(x)) +p2◦R[w, g(x+w)−g(x)]
−p2◦Df(w′, g(x+w′)−g(x))k
= kp2◦Df(w−w′, g(x+w)−g(x+w′)) +p2◦R[w, g(x+w)−g(x)]k,
onde, na pen´ultima igualdade, usamos o fato de quef(a+v)−f(a) =Df(a)v+R(v), onde
a= (x, g(x)) e v = (w, g(x+w)−g(x)).
Como kv k=k (w, g(x+w)−g(x))k=k w k, pois como Lip(g) ≤1, k g(x+w)− g(x)k≤kx+w−xk=kwk, pelo Teorema de Taylor
lim
v→0
R(v)
kv k = limw→0
R[w, g(x+w)−g(x)]
kwk = 0.
Assim
(IV) = (III)
kyk ≤kp2Df k
kw−w′ k
kyk +
R[w, g(x+w)−g(x)]
ky k .
Agora observe que
(I) = lim sup
y→0
k[(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x))−ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)]k kyk
= lim sup
y→0
(IV).
Note que lim kyk→0
R[w, g(x+w)−g(x)]
kyk ≤ kwlimk→0
R[w, g(x+w)−g(x)]
kwk = 0, pois k wk≤ky ke assim kyk→0⇒kwk→0.
Iremos agora mostrar que lim kyk→0
kw−w′ k
ky k = 0. Para isto, observe que y = h(x+ w)−h(x) e
h(x+w′)−h(x) = p
1f(x+w′, g(x+w′))−p1f(x, g(x))
= p1Df(w′, g(x+w′)−g(x)) +p1R(w′, g(x+w′)−g(x)),
assim
p1R(w′, g(x+w′)−g(x)) = h(x+w′)−h(x)−y
= h(x+w′)−h(x)−h(x+w) +h(x) = h(x+w′)−h(x+w),
mas
O casof diferenci´avel 30
logo
kw−w′ k≤kp1R(w′, g(x+w′)−g(x))k.
Ent˜ao
lim kyk→0
kw−w′ k
kyk ≤kylimk→0
kp1R(w′, g(x+w′)−g(x))k
kyk = 0 ⇒kylimk→0
kw−w′ k
kyk = 0,
o que nos d´a (I) = 0.
Assim, por (3.1) e (3.2), temos
Lip0[(Γfg)(h(x) +y), g(h(x))−ΓDf[Π2σ(x)](y)]
≤(λ+ 2ε)Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)]. (3.3)
Agora, usando o fato de que Γfg ≡ g e que ΓDf[Π2σ(x)] = Π2σh(x) (Lema 3.4),
temos
Lip0[g(h(x) +y), gh(x) + Π2σh(x)(y)]
≤(λ+ 2ε)Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)]. (3.4)
Comoh−1(E
1(r))⊂E1(r) ex∈E1(r), vemos queh−n(x)∈E1(r) e ent˜ao por (3.4),
temos
Lip0[g(h−n(x) +y), gh−n(x) + Π2σh−n(x)(y)]
≥ 1
λ+ 2εLip0[g(h
−n+1(x) +y), gh−n+1(x) + Π
2σh−n+1(x)(y)]
≥ 1
λ+ 2ε ·
1
λ+ 2εLip0[g(h
−n+2(x) +y), gh−n+2(x) + Π
2σh−n+2(x)(y)].
Repetindo-se esse processon vezes, obtemos a seguinte estimativa:
Lip0[g(h−n(x) +y), gh−n(x) + Π
2σh−n(x)(y)]
≥
µ
1
λ+ 2ε
¶n
Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)]. (3.5)
Queremos mostrar que Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)] = 0. Suponhamos que n˜ao,
ent˜ao existex∈E1(r) tal que Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)] =δ >0, ou seja
lim sup
y→0
kg(x+y)−g(x)−Π2σ(x)(y)k
Logo existe seq¨uˆenciaxn ∈E1(r), tal que Lip0[g(xn+y), g(xn) + Π2σ(xn)(y)]→ ∞, ou seja
lim sup
y→0
kg(xn+y)−g(xn)−Π2σ(xn)(y)k
kyk =∞,
pois pela equa¸c˜ao (3.5) temos que seu segundo membro ´e infinito, visto que estamos supondo
Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)] = δ >0 e
¡ 1
λ+2ε
¢n
→ ∞, pois λ+21 ε >1.
Mas Lip(g)≤1 eσ ∈L1(E1, E2), ou seja,kσk≤1, logo temos quekΠ2σ(xn)k≤1.
Assim
Lip0[g(xn+y), g(xn) + Π2σ(xn)(y)] = lim sup
y→0
kg(xn+y)−g(xn)−Π2σ(xn)(y)k
kyk
≤lim sup
y→0
kg(xn+y)−g(xn)k
kyk + lim supy→0
kΠ2σ(xn)(y)k
kyk
≤lim sup
y→0
kxn+y−xn k
kyk + lim supy→0
kΠ2σ(xn)k
≤1 + 1 = 2,
o que contradiz o fato de que Lip0[g(xn +y), g(xn) + Π2σ(xn)(y)] → ∞, logo n˜ao existe
x∈E1(r), tal que Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)] =δ > 0, ent˜ao
Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)] = 0 ∀x∈E1(r).
Assim, como Π2σ(x) ´e linear, temos que Dg(x) = Π2σ(x).
¥
Para provar o ´ıtem (4) do Teorema 2.3, temos que f(0) = 0 e Df(0) = T. Pelo
Lema 3.4, temos que ΓDf[Π2σ(x)] = Π2σf1(x, g(x)). Fazendox= 0 temos que ΓT[Π2σ(0)] =
Π2σf1(0, g(0)) = Π2σ(0), ou seja, o gr´afico de Π2σ(0) ´e invariante porT. Mas sabemos que
o gr´afico deE1 ´e o ´unico invariante por ΓT. Assim
graf(Π2σ(0)) = graf(Dg(0)) = (E1,0).
Portanto o gr´afico de g ´e tangente aE1 em zero.
O casof diferenci´avel 32
De agora em diante, E(r) denota E1(r)× E2(r) e T E(r) = T E1(r)×T E2(r), o
fibrado tangente deE(r), ou seja, o conjunto {(x, v)/x∈E(r) e v ∈TxE(r)}.
Definamos agora a fun¸c˜ao Tf : T E(r)→ T E dada por, Tf(x, v) = (f(x), Df(x)v). Note que:
(i) kTf(0)k=k(f(0), Df(0)0)k=kf(0) k< δ.
(ii) Tf ´e Lipschitz.
Logo, pelo Teorema da Variedade Inst´avel, aplicado a Tf, existe uma aplica¸c˜ao
g :T E1(r)→T E2(r) cujo o gr´afico ´e a variedade inst´avel para Tf, ou seja, g ´e o ponto fixo
para a aplica¸c˜ao ΓTf : Lip1(T E1(r), T E2(r))→Lip1(T E1(r), T E2(r)) que ´e uma contra¸c˜ao,
pelo Lema 2.11.
Queremos encontrar quem ´e esse ponto fixo. E isto ´e feito pela seguinte proposi¸c˜ao:
3.7 Proposi¸c˜ao. A fun¸c˜ao g : T E1(r) → T E2(r) dada por g(x, v) = (g(x), Dg(x)v) ´e o
ponto fixo de ΓTf.
Prova: Suponhamos que isto seja v´alido, logo
ΓTf(g)(x, v) = Tf2 ◦(id, g)◦[Tf1 ◦(id, g)]
−1(x, v).
Seja [Tf1 ◦(id, g)]
−1(x, v) = (y, w). Assim
(g(x), Dg(x)v) = Tf2 ◦(id, g)(y, w)
= Tf2 ◦(y, w, g(y), Dg(y)w)
= Tf2((y, g(y)),(w, Dg(y)w))
= p2 ◦Tf((y, g(y)),(w, Dg(y)w))
= p2(f(y, g(y)), Df(y, g(y))·(w, Dg(y)w))
Mas
(x, v) = Tf1 ◦(id, g)(y, w)
= Tf1 ◦(y, w, g(y), Dg(y)w) = p1◦Tf((y, g(y)),(w, Dg(y)w))
= p1(f(y, g(y)), Df(y, g(y))·(w, Dg(y)w))
= f(y, g(y)),
obtendo-se quex=f1(y, g(y)) ev =f2(y, g(y)).Substituindo estes valores na equa¸c˜ao (3.6)
temos
(g(f1(y, g(y))), Dg(f1(y, g(y)))·f2(y, g(y))) =Df(y, g(y))·(w, Dg(y)w)⇒
(f2(y, g(y)), Dg(f1(y, g(y)))·f2(y, g(y))) =Df(y, g(y))·(w, Dg(y)w), (3.7)
pois no nosso caso f(y, g(y)) = (x, g(x)), visto que x=f1(y, g(y)).
Assim temos
Df(y, g(y))·(grafDg(y)) = graf(Dg(f1(y, g(y)))),
como vimos no inicio do cap´ıtulo. Assim a equa¸c˜ao (3.7) ´e satisfeita e nosso ponto fixo, ´e de
fato,g(x, v) = (g(x), Dg(x)v).
¥
Note que
graf(g) = (x, v, g(x), Dg(x)v) = (graf(g),graf(Dg(x))) = (W0u, T W0u).
J´a sabemos que se f ´e C1 ent˜ao g ´e C1. Suponhamos que o resultado seja v´alido
para k−1. Logo aplicando a hip´otese de indu¸c˜ao para Tf, temos que se Tf ´eCk−1 ent˜ao g
´eCk−1. Sendo assim
f ´eCk⇒Tf ´eCk−1 ⇒g ´eCk−1 ⇒Dg ´eCk−1 ⇒g ´eCk.
Isto prova o ´ıtem (4) e, por sua vez, o Teorema 2.3 est´a provado.
3.8 Observa¸c˜ao. O ´ıtem (4) do Teorema 2.3 tamb´em pode ser provado usando o Teorema
Cap´ıtulo 4
Variedades Centrais
Neste cap´ıtulo n´os provaremos o Teorema da Variedade central que ´e uma
genera-liza¸c˜ao do Teorema da Variedade Inst´avel.
4.1 Definic¸˜ao. Seja T : E → E uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua de um espa¸co de Banach E. T ´e ρ-pseudohiperb´olico se existe uma decomposi¸c˜ao em soma direta E = E1 ⊕E2
T-invariante e constantes 0< λ1 < ρ < µ1, e C1, C2 >0 tal que:
(1) a restri¸c˜ao T1 de T a E1 ´e um isomorfismo e ∀n ≥0 e ∀v ∈E1
kT1n(v)k≥C1µn1 kv k;
(2) ∀n ≥0 e ∀v ∈E2 e T2 a restri¸c˜ao de T a E2
kTn
2(v)k≤C2λn1 kv k.
Vemos claramente que uma aplica¸c˜ao linear pseudohiperb´olica ´e hiperb´olica quando
ρ = 1. Se assumimos que a norma em E ´e adaptada para T, ent˜ao para 0 < λ < ρ < µ
temos:
(1) kT1(v)k> µkv k para todo v 6= 0 em E1,
(2) kT2(v)k< λkv k para todo v 6= 0 em E2.
4.2 Teorema. Seja T : E → E uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua ρ-pseudohiperb´olica de um espa¸co de Banach E, com decomposi¸c˜ao E =E1 ⊕E2, m´etrica adaptada k k e constantes
0< λ < ρ < µ tais que
kT1(v)k> µkv k para todo v 6= 0 em E1,
kT2(v)k< λkv k para todo v 6= 0 em E2.
Seja ε > 0 um n´umero real tal que f : E → E ´e uma aplica¸c˜ao lipschitz com f(0) = 0 e
Lip(f −T)< ε, ent˜ao
(1) O conjunto W1 =
T
n≥0fnS1, onde S1 ={(x, y)∈E1×E2;kxk≥kyk} ´e o gr´afico de
uma fun¸c˜ao Lipschitz g :E1 →E2 com Lip(g)≤1 e f(graf(g)) = graf(g).
(2) z ∈ W1 se, e somente se, existe a imagem inversa f−nz tal que k f−nz k /ρn → 0
quando n→ ∞ ou quando kf−nzk/ρn →0 est´a limitado quando n → ∞.
(3) Se f ´e Cr e µ−jλ < 1 para 1 ≤ j ≤ r ent˜ao g ´e Cr. Se f ´e diferenci´avel em 0 e se Df(0) =T ent˜ao o gr´afico de g ´e tangente a E1 em 0.
Para µ <1,o gr´afico de g ´e chamado devariendade inst´avel central e denotado por
Wcu ouWcu
f (0). Se λ >1 o gr´afico deg ´e chamado variendade inst´avel fortee denotado por Wuu ouWuu
f (0).
Se f ´e invert´ıvel ent˜ao considerando f−1 existe uma variedade invariante tangente
aE2 em 0, que ´e a interse¸c˜ao Tn≥0f−nS2, onde S2 ={(x, y)∈E1×E2;kxk≤kyk}. Essa
variedade ´e chamada de variedade centro est´avel seλ >1 e variedade est´avel forte se µ <1,
e s˜ao denotadas porWcs e Wss respectivamente.
Considere fun¸c˜oes g : E1 → E2 tais que g(0) = 0 e Lip(g) ≤ 1. Considere Df =
A B
C K
, com E = E1 × E2, α = sup k A−1 k, k = sup k K k, b = sup k B k,
c= supk C k . Quando k > 1, a transforma¸c˜ao de gr´afico, Γf, n˜ao ´e necessariamente uma
contra¸c˜ao na norma do sup, pois Γf(Lip1(E1, E2))6⊂ Lip1(E1, E2), como mostra o exemplo
abaixo.
3 Exemplo. Considere as seguintes fun¸c˜oes: f :R×R→R×Rdada porf(x, y) = (4x,10y), que ´e Lipschitz, e g :R→R dada por g(x) = 1
Variedades Centrais 36
menor do que um. Note que
h(x) =f1◦(id, g)(x) = 4x⇒h−1(x) =
1 4x.
Logo
Γf(g)(x) = f2 ◦(id, g)(
1
4x) = p2◦f( 1 4x,
1 8x) =
5
4x6∈Lip1(R,R).
Ent˜ao definimos a seguinte m´etrica
kg1−g2 k∗= sup
x6=0
kg1(x)−g2(x)k
kxk , x∈E1.
De acordo com o Lema 2.7 temos que h−1 ´e Lipschitz com Lip(h−1) ≤ 1
µ−ε, onde h=f1◦(id, g).
4.3 Lema. Com a norma k k∗ o espa¸co G= {g :E1 → E2|g(0) = 0 e kg k∗<∞} ´e um
espa¸co de Banach e G(1) ={g ∈G|Lip(g)≤1} ´e um subconjunto fechado.
Prova: Sejagnuma sequˆencia de Cauchy em G. Ent˜aognconverge uniformemente sobre os conjuntos limitados, logo pontualmente para uma fun¸c˜ao g. Assim para cada n,
escolham=m(x, n)≥n tal que kgm(x)−g(x)k kxk <
1
n. Ent˜ao
sup
x6=0
kgn(x)−g(x)k
kxk ≤supx6=0
kgn(x)−gm(x)k
kxk +
kgm(x)−g(x)k
kxk ≤εn+
1
n,
ondeεn= supm≥n kgm−gn k∗ .Assimkgn−g k∗→0,quandon→ ∞e ent˜aoG´e completo.
Mostraremos agora que G(1) ´e fechado. Para isto basta mostrarmos que quando
gn→g, na nova m´etrica definida acima, e Lip(gn)≤1 ent˜ao Lip(g)≤1.
sup
x6=0
kgn(x)−g(x)k
kxk =kgn−g k∗< ε=⇒kgn(x)−g(x)k< εkxk.
Logo
kg(x)k = kg(x)−g(0)k
≤ kgn(x)−g(x)k+kgn(x)k ≤ εkxk+kxk
= (ε+ 1)kxk.
¥
4.4 Lema. Γf est´a bem definida e Γf :G(1) →G(1).
Prova: Para toda g ∈G(1), Γf(g) est´a definida e
Lip(Γf(g)) ≤ Lip(f2)Lip(id, g)Lip(h−1)
≤ [Lip(T2) + Lip(p2◦(f−T))]
1
µ−ε ≤ λ+ε
µ−ε <1,
para ε bastante pequeno.
¥
4.5 Lema. Se kxk≥kyk e g ∈G(1) ent˜ao
kf2(x, y)−Γf(g)(f1(x, y))k
kf1(x, y)k
< λ+ 2ε µ−ε
ky−g(x)
kxk .
Ver Figura 4.1.
E1 E2
(x,y)
g(x)
x f (x,y)1
Gf(g)f (x,y)1
Figura 4.1: Lema 4.5.
Prova: Primeiro, note que
kf1(x, g(x))−f1(x, y)k ≤ kf1(x, g(x))−T1(x, g(x)) +T1(x, g(x))
−T1(x, y) +T1(x, y)−f1(x, y)k
≤ k(f1 −T1)(x, g(x))−(f1−T1)(x, y)k+kT1(x, g(x))−T1(x, y)k
| {z }
=0
≤ εky−g(x)k,
Variedades Centrais 38
kf1(x, y)k = kT1(x, y) +f1(x, y)−T1(x, y)k
≥ kT1(x, y)k − k(f1−T1)(x, y)k
≥ µkxk −εk(x, y)k
= (µ−ε)kxk, (4.1)
pois kxk>ky k.
Logo
kf2(x, y)−Γf(g)(f1(x, y))k ≤ kf2(x, y)−f2(x, g(x)) +f2(x, g(x))−Γf(g)(f1(x, y))k
≤ kf2(x, y)−f2(x, g(x))k+kf2(x, g(x))−Γf(g)(f1(x, y))k
≤ Lip(f2)ky−g(x)k+kΓf(g)(f1(x, g(x)))−Γf(g)(f1(x, y))k
≤ (λ+ε)ky−g(x)k+Lip(Γf(g))kf1(x, g(x))−f1(x, y)k
≤ (λ+ε)ky−g(x)k+εky−g(x)k
≤ (λ+ 2ε)ky−g(x)k. (4.2)
Das equa¸c˜oes (4.1) e (4.2) temos
kf2(x, y)−Γf(g)(f1(x, y))k
kf1(x, y)k
< λ+ 2ε µ−ε
ky−g(x)k kxk .
¥
4.6 Lema. Para g, g′ ∈G(1)
kΓf(g)−Γf(g′)k∗≤
λ+ 2ε
µ−ε kg−g
′ k ∗ .
Prova: Seja (x, y) = (h−1(z), g′(h−1(z))), z ∈E
1, ou seja, (x, y) ∈graf(g′). Note
que
Γfg′(z) = f2◦(id, g′)◦[f1◦(id, g′)]−1(z)
= f2◦(h−1(z), g′(h−1(z)))
e que x=h−1(z)⇒z =h(x) =f
1◦(id, g′)(x) = f1(x, g′(x)) = f1(x, y).
Logo
kΓfg′ −Γfg k∗ = sup
z6=0
kΓfg′(z)−Γfg(z)k kz k
= sup
x6=0
kf2(x, y)−Γfg(f1(x, y))k
kf1(x, y)k
≤ λ+ 2ε µ−ε supx6=0
ky−g(x)k kxk ≤ λ+ 2ε
µ−ε supx6=0
kg′(h−1(z))−g(h−1(z))k
kh−1(z)k
≤ λ+ 2ε µ−ε kg
′−g k ∗ .
¥
De acordo com os Lemas 4.3,4.4,4.5,4.6, temos que Γf est´a bem definida, ´e uma
contra¸c˜ao emG(1), logo possui um ´unico ponto fixo, que a partir de agora, denotamos de g.
Iremos agora iniciar a demonstra¸c˜ao do Teorema 4.2.
Prova:
(1) Como g ´e o ponto fixo de Γf, claramente f(graf(g)) = graf(g).Agora, seja (x, y)∈S1.
Pelo Lema 4.5 temos que
kf2(x′, y′)−Γf(g)(f1(x′, y′))k
kf1(x′, y′)k
< λ+ 2ε µ−ε
ky′ −g(x′)k
kx′ k .
Repetindo-se esse processo para os primeirosninterados def, (x′, y′), f(x′, y′), . . . , fn(x′, y′) =
(x, y), temos
ky−g(x)k
kxk =
kp2◦fn(x′, y′)−g(p1◦fn(x′, y′))k
kp1◦fn(x′, y′)k
= kf2(f
n−1(x′, y′))−g(f
1(fn−1(x′, y′)))k
kf1(fn−1(x′, y′))k
< λ+ 2ε µ−ε
kp2 ◦fn−1(x′, y′)−g(p1 ◦fn−1(x′, y′))k
kp1◦fn−1(x′, y′)k
<
µ
λ+ 2ε µ−ε
¶n
ky′−g(x′)k
kx′ k .
Mas note que
ky′−g(x′)k
kx′ k <
ky′ k+kg(x′)k
kx′ k <
ky′ k
kx′ k +
kg(x′)k
Variedades Centrais 40
Logo
ky−g(x)k kxk <
µ
λ+ 2ε µ−ε
¶n
ky′−g(x′)k
kx′ k <
µ
λ+ 2ε µ−ε
¶n
·2−→0,
quando n → ∞. Assim conclu´ımos que y = g(x), ou seja, (x, y) ∈ graf(g), e isto implica que Tn≥0fnS
1 ⊂graf(g).
Agora seja (x, y)∈graf(g),ou seja y=g(x). Como (x, g(x))∈S1, pois
kg(x)−g(0)k≤Lip(g)kx−0k⇒kg(x)k≤kxk,
temos que graf(g)⊂S1. Aplicando f, obtemos
f(graf(g))⊂f S1 ⇒graf(g)⊂f S1.
Repetindo-se esse processo n vezes
graf(g)⊂fnS
1.
Logo graf(g)⊂Tn≥0fnS
1,e assim graf(g) =
T
n≥0fnS1.
(2) Se (x, y)∈graf(g) ent˜ao
(x, y) =fn(h−n(x), gh−n(x)). (4.3)
Provaremos isto por indu¸c˜ao. Seja x=h−1(x)⇒h(x) = x⇒x=f
1(x, g(x)). Assim
f(h−1(x), gh−1(x)) =f(x, g(x)) = (f1(x, g(x)), g(f1(x, g(x)))) = (x, g(x)) = (x, y).
Suponhamos agora, que a equa¸c˜ao (4.3) seja v´alida paran,ou seja, (x, y) =fn(h−n(x), gh−n(x)).
Logo
fn+1(h−n−1(x), gh−n−1(x)) = f ◦fn(h−n(h−1(x)), gh−n(h−1(x)))
= f(h−1(x), gh−1(x))
= (x, y).
Agora note que
kf−n(x, y)k=k(h−n(x), gh−n(x))k=kh−n(x)k≤
µ
1
µ−ε
¶n
kxk.
E ent˜ao temos
kf−n(x, y)k
ρn ≤
µ
ρ µ−ε
¶n
kxk→0,
(3) Primeiro, provaremos que g ´eC1 quando f ´a C1.Defina o fibrado E
1×L1(E1, E2)→
E1 como na prova do Teorema 2.3. O fato de que Lip(f − T) < ε nos d´a que k
Df(x, y)−T k< εpara todo (x, y).Definindo F :E1×L1(E1, E2)→E1×L1(E1, E2)
por F(x, L) = (h(x),ΓDfL) temos que F ´e uma contra¸c˜ao nas fibras, cujo o fator de
contra¸c˜ao e ≤ λ+2ε µ−ǫ .
Seguindo exatamente como na Proposi¸c˜ao 3.6, chegamos a seguinte estimativa:
Lip0[(Γfg)(h(x) +y), gh(x) + ΓDf(σ2(x))(y)]
≤
µ
λ+ 2ε µ−ǫ
¶
Lip0[g(x+y), g(x) +σ2(x)(y)].
E novamente, seguindo as linhas da Proposi¸c˜ao 3.6 a partir da equa¸c˜ao acima,
con-clu´ımos que σ2 ´e a derivada de g. Logo g ´eC1.
Assim se f ´eCk, segue diretamente do Teorema 4.10 (apˆendice) que g ´eCk.
¥
4.1
A n˜
ao unicidade da Variedade Central
Ao contr´ario da variedade inst´avel (est´avel), a variedade central n˜ao ´e ´unica. Um
exemplo bem simples da n˜ao unicidade da variedade central ´e dado a seguir.
4 Exemplo. Considere a seguinte equa¸c˜ao diferencial:
x′ =x2
y′ =−y
A lineariza¸c˜ao do sistema acima, na origem ´e
DX(0)(x, y)
0 0
0 −1
Os autovalores de DX(0) s˜ao 0 e−1. O autoespa¸co associado ao autovalor −1 ´e o eixo y, que ´e o espa¸co est´avel e o autoespa¸co associado ao autovalor 0 ´e o eixo x, que ´e os
Variedades Centrais 42
Note que a curva
y=
y0exp(x1)/exp(x10), se x <0
0, se x≥0
´e uma solu¸c˜ao do sistema inicial, que passa pelo ponto (x0, y0), quando x0 < 0 e que ´e
invariante pelo fluxo. Temos tamb´em que a curva acima ´e tangente ao eixo x em 0, pois
exp(1
x) → 0 quando x → 0
− e dmy
dmx = 0 em x = 0 para todo m ∈ N. Logo ´e uma variedade
central para o nosso sistema inicial.
Sendo assim, o nosso sistema inicial, possui uma infinidade de variedades centrais,
como mostra a figura seguinte.
4.7 Definic¸˜ao. Um fibrado vetorial π : E →X, com espa¸co total E, base X e fibra t´ıpica F, ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua com a seguinte propriedade: para todo ponto x ∈ X existem uma vizinhan¸ca U ∋ x e um homeomorfismo ϕU : U ×F → π−1(U), tal que π◦ϕU = πU,
onde πU :U ×F → U ´e a proje¸c˜ao na primeira coordenada.
A igualdade π(ϕU(x, y)) = x significa que, para cada x ∈ U, ϕU leva x×F ho-meomorficamente sobre π−1(x). Assim, a imagem inversa π−1(x) de cada ponto de X ´e
homeomorfa a fibra t´ıpicaF. O diagrama abaixo ´e comutativo
U ×F ϕU //
πU
%
%
K K K K K K K K K K K
Π−1(U)
π
²
²
U
Quando E =B ×F dizemos que o fibrado ´e trivial.
4.8Definic¸˜ao. Seja Π :E →X um fibrado vetorial com uma m´etrica no espa¸co base. N´os dizemos que uma m´etrica d em E ´e admiss´ıvel quando
(1) d induz uma norma sobre cada fibra;
(2) Existe um fibrado complementar E′ sobre X e um isomorfismo de E⊕E′ em X×A,
onde A ´e um espa¸co de Banach e a m´etrica produto emX×A induz d em E;
(3) A proje¸c˜ao de X×A sobre E ´e de norma 1.
4.9 Definic¸˜ao. Uma aplica¸c˜ao ϕ entre dois espa¸cos m´etricos Y1 e Y2 ´e dita ser α-H¨older,
0< α≤1, se existe uma constante K tal que para todo x, y ∈Y1
d[ϕ(x), ϕ(y)]≤K(d[x, y])α.
